teorema pythagoras

TEOREMA PYTHAGORAS
Teorema pythagoras berasal dari seorang matematikawan dari
Yunani yang bernama Pythagoras, tetapi ada juga yang menyebutkan
bahwa teorema pythagoras berasal dari Cina karena ada sebuah buku
yang merupakan buku matematika berbahasa Cina. Diperkirakan
buku tersebut berasal dari tahun 1.100 SM. Pada buku tersebut,
terdapat sebuah diagram yang dinamakan Hsuan-thu. Diagram
tersebut menunjukan hubungan antara hipotenusa dan sisi yang lain
pada segitiga siku-siku.
A. Teorema Pythagoras
1. Kuadrat dan Akar Kuadrat Bilangan
Teorema pythagoras erat kaitannya dengan bentuk kuadrat.
Akar kuadrat dari
(dilambangkan dengan √
negatif yang jika dikuadratkan sama dengan .
Perhatikan definisi berikut !
) adalah suatu bilangan tak
Jika x2 = 𝑎 dan x ≥ 0, maka √𝑎 = x
Contoh
Hitunglah nilai kuadrat bilangan-bilangan berikut.
1. 122
2. 232
3. 352
Hitunglah nilai akar kuadrat bilangan-bilangan berikut.
5. √
√
Penyelesaian
1. 122 = 12 x 12 = 144
2. 232 = 23 x 23 = 529
3. 352 = 35 x 35 = 1225
4. √ = 2
5. √
6. √
=8
= 22
6. √
Ingat Kembali
Bentuk kuadrat dari 𝑎,
𝑎2 = 𝑎 𝑥 𝑎
TEOREMA PYTHAGORAS
2. Prinsip Teorema Pythagoras
Teorema pythagoras merupakan sebuah teoremayang
berhubungan dengan segitiga siku-siku.
Perhatikan bagian-bagian dari sebuah segitiga siku-siku
disamping.
 Sisi-sisi yang membentuk sudut siku-siku (sisi AB dan
BC) dinamakan sisi siku-siku.
 Adapun sisi depan sudut siku-siku merupakan sisi
terpanjang dan dinamakan hipotenusa.
Seperti apakah Teorema Pythagoras itu?
Ingat Kembali
Segitiga siku-siku
adalah segitiga
yang besar salah
satu sudutnya 900
Perhatikan uraian berikut.
Misalnya kamu memiliki 3 persegi yang disusun seperti
pada gambar di samping.
Maka kamu dapat memperolah :
 Luas persegi A adalah 3 x 3 = 9 satuan
 Luas persegi B adalah 4 x 4 = 16 satuan
 Luas persegi C adalah 5 x 5 = 25 satuan
Dengan kata lain, Luas persegi C = Luas persegi A + Luas persegi
B.
Perhatikan definisi berikut.
Teorema Pythagoras
Pada ∆ABC yang siku-siku di B berlaku :
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2
TEOREMA PYTHAGORAS
B. Panjang Sisi Segitiga Siku-Siku
Kamu telah mengetahui bahwa pada sebuah segitiga siku-siku ABC dengan
AB sebagai hipotenusanya berlaku hubungan 2 = 2 + 2 . Hubungan tersebut
dapat dinyatakan dalam berbagai cara yang saling ekuivalen sebagai berikut.
Contoh
Hitunglah panjang setiap ruas garis pada gambar di bawah ini.
F
1 cm
E
2 cm
D
2 cm
C
1 cm
B
4 cm
Penyelesaian
∆ABC siku-siku di B sehingga AC2 = AB2 + BC2
= 42 + 1 2
=16 + 1
AC = √
∆ABD siku-siku di B sehingga AD2 = AB2 + BD2
= 42 + 32
=16 + 9
AD = √
=5
∆ABE siku-siku di B sehingga AE2 = AB2 + BE2
A
TEOREMA PYTHAGORAS
= 42 + 52
=16 + 25
AE = √
∆ABF siku-siku di B sehingga AF2 = AB2 + BF2
= 42 + 6 2
=16 + 36
AF = √
C. Panjang Sisi Berbagai Jenis Segitiga
Teorema pythagoras dapat juga digunakan untuk menentukan apakah sebuah
segitiga merupakan siku-siku, segitiga lancip, atau segitiga tumpul. Bagaimana
caranya?
Perhatikan definisi berikut.
Misalnya, sisi c adalah sisi terpanjang pada ∆ABC.
B
 Jika 𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 , maka ∆ABC merupakan
segitiga siku-siku.
 Jika 𝑎2 + 𝑏 2 > 𝑐 2 , maka ∆ABC merupakan
segitiga lancip.
 Jika 𝑎2 + 𝑏 2 < 𝑐 2 , maka ∆ABC merupakan
A
segitiga tumpul.
c
a
C
b
Contoh
Tentukanlah jenis segitiga berikut.
B
9 cm
6 cm
C
10 cm
A
TEOREMA PYTHAGORAS
Penyelesaian
Urutkanlah panjang sisi segitiga tersebut mulai dari yang terpendek. Kemudian
bandingkan antara kuadrat sisi terpanjang dan jumlah kuadrat sisi lainnya.
BC = 6 cm, BA= 8cm, dan AC = 10 cm.
62 + 92 ... 102
36 + 81 ... 100
111 > 100
Maka ∆ABC merupakan segitiga lancip.
D. Perbandingan Sisi-Sisi Segitiga Siku-Siku Istimewa
Segitiga siku-siku istimewa terdiri atas dua jenis, yaitu segitiga siku-siku yang salah
satu sudutnya 450 dan segitiga siku-siku yang salah satu sudutnya 600.
1. Segitiga Siku-Siku yang Salah Satu Sudutnya 450
Jika salah satu sudut dari suatu segitiga siku-siku adalah 450 maka sudut yang
lain adalah 450. Jadi segitiga siku-siku tersebut adalah segitiga siku-siku sama
kaki. Bagaimanakah perbandingan sisi-sisi pada segitiga sama kaki?
Perbandingan sisi-sisi pada segitiga sama
kaki ABC dengan a sebgai hipotenusanya
450
adalah a : b : c = √ ∶ 1 : 1
450
2. Segitiga Siku-Siku yang Salah Satu Sudutnya 600
Jika salah satu sudut dari suatu segitiga siku-siku adalah 600 maka sudut yang
lain adalah 300. Jadi segitiga siku-siku tersebut adalah segitiga siku-siku sama
kaki. Bagaimanakah perbandingan sisi-sisi pada segitiga sama kaki?
TEOREMA PYTHAGORAS
300
Perbandingan sisi-sisi pada segitiga sama
kaki ABC dengan a sebgai hipotenusanya
adalah a : b : c = 2 : √ ∶ 1
600
Contoh
Tentukan panjang sisi yang belum diketahui pada segitiga berikut ini.
1.
1.
2.
5 cm
450
0 0
3030
12 cm
Penyelesaian
1. ∆ABC siku-siku di A dan <ACB = 450. Jadi, ∆ABC merupakan segitiga sikusiku sama kaki dan berlaku perbandingan AB : AC : BC = 1 : 1 : √ .
AB : AC = 1 : 1
AC = 12 cm
AB : BC = 1 : √
BC = √ x AB
= √ x 12
= 12√ cm
2. ∆ABC siku-siku di A dan <ABC = 300. Dengan demikian berlaku
perbandingan AB : AC : BC = √ ∶
∶
.
TEOREMA PYTHAGORAS
AB : AC = √ : 1
AB = √ x AC
=√ x5
= 5√ cm
AC : BC = 1 : 2
BC = 2 x AC
=2x5
= 10 cm
E. Teorema Pythagoras dalam Kehidupan
Kamu telah mempelajari konsep-konsep Teorema Pythagoras pada bahasan yang
lalu. Teorema Pythagoras sering kamu temukan dalam keseharianmu. Langkahlangkah untuk menyelesaikan soal-soal terapan yang berhubungan dengan
Teorema Pythagoras dapat kamu lihat pada diagram berikut.
Soal terapan
Hasil
Perhitungan
 Buat sketsa gambar
 Segitiga siku-sikunya
 Perumusan masalah
Perhitungan
Contoh
Sebuah tiang listrik, agar dapat berdiri tegak ditahan oleh tali kawat baja. Jika
jarak dari tarik pengikat terhadap tiang listrik adalah 8 m dan tinggi tiang listrik
adalah 6 m, tentukan panjang tali kawat baja yang dibutuhkan ?
Penyelesaian
Buatlah sketsa permasalahan seperti tampak pada gambar di bawah ini.
TEOREMA PYTHAGORAS
Menurut teorema pythagoras :
BC2 = AB2 + CA2
6m
= 82 + 62
= 64 + 36
8m
= 100 m
Latihan Soal
1. Jika panjang dan lebar suatu persegi panjang adalah 12 cm dan 9 cm. Berapakah
panjang diagonalnya?
2. Diberikan ∆ABC sama kaki, dengan AC = BC dan AB = 10 cm. Jika panjang
garis tinggi yang di tarik dari C adalah 12 cm. Berapakah keliling segitiga
tersebut?
3. Seorang tukang kayu membuat segitiga siku-siku dengan salah satu sudutnya
300. Panjang sisi depan sudut 300 tersebut adalah 40 cm. Tentukan panjang
hipotenusanya!
4. Sudut yang dibentuk oleh diagonal sebuah persegi panjang dan sisi
terpendeknya adalah 600. Tentukan luas persegi panjang tersebut jika panjang
diagonalnya 8 cm.
5. Seorang nahkoda kapal melihat puncak mercusuar yang berjarak 120 m dari
kapal. Jika diketahui tinggi mercusuar 40 m, tentukan jarak nahkoda dari
mercusuar!