Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3

Persamaan Diferensial
Parsial CNH3C3
Tim Ilmu Komputasi
Coordinator contact:
Dr. Putu Harry Gunawan
[email protected]
Week 3: Pengantar, konsep
dasar dan klasikasi PDP
1 Kontrak kuliah
2 Pendahuluan
Konsep Dasar
Kehomogenan
Orde
Kelinieran
3 Klasikasi PDP
4 Aplikasi
Kontrak kuliah
Batasan materi
Batasan kuliah ini
Pendahuluan
Konsep dasar
Denisi (PDP)
Persamaan diferensial parsial (PDP) merupakan sebuah persamaan
yang memfokuskan pada hubungan antara sebuah fungsi yang
belum diketahui u (x1 , x2 , · · · , xn ) berdimensi n ≥ 2, dan turunan
parsial fungsi terhadap variabel-variabel bebasnya.
Pendahuluan
Konsep dasar
Denisi (PDP)
Persamaan diferensial parsial (PDP) merupakan sebuah persamaan
yang memfokuskan pada hubungan antara sebuah fungsi yang
belum diketahui u (x1 , x2 , · · · , xn ) berdimensi n ≥ 2, dan turunan
parsial fungsi terhadap variabel-variabel bebasnya. Bentuk umum
dari PDP diberikan sebagai berikut:
∂u
∂u ∂2u
∂2u
x1 , x2 , · · · xn , u ,
,··· ,
,
,··· ,
,···
∂ x1
∂ xn ∂ x1 x1
∂ x1 xn
F
= 0.
Pendahuluan
Contoh
Berikut beberapa contoh PDP sederhana dengan u sebagai fungsi
yang belum diketahui (unknown function) dan hanya memiliki dua
variabel bebas:
∂ 2 u (x , y ) ∂ 2 u (x , y )
+
= 0, persamaan
∂x 2
∂y 2
Laplace
(2.1)
Pendahuluan
Contoh
Berikut beberapa contoh PDP sederhana dengan u sebagai fungsi
yang belum diketahui (unknown function) dan hanya memiliki dua
variabel bebas:
∂ 2 u (x , y ) ∂ 2 u (x , y )
+
= 0, persamaan
∂x 2
∂y 2
Laplace
∂ u (t , x )
∂ 2 u (t , x )
−α
= 0, persamaan
∂t
∂x 2
difusi
(2.1)
(2.2)
Pendahuluan
Contoh
Berikut beberapa contoh PDP sederhana dengan u sebagai fungsi
yang belum diketahui (unknown function) dan hanya memiliki dua
variabel bebas:
∂ 2 u (x , y ) ∂ 2 u (x , y )
+
= 0, persamaan
∂x 2
∂y 2
Laplace
∂ u (t , x )
∂ 2 u (t , x )
−α
= 0, persamaan
∂t
∂x 2
2
∂ 2 u (t , x )
2 ∂ u (t , x )
−
c
= 0, persamaan
∂t 2
∂x 2
difusi
gelombang
(2.1)
(2.2)
(2.3)
dengan ∂ u /∂ t , ∂ 2 u /∂ x 2 menyatakan turunan partial terhadap
variabel waktu orde satu dan ruang orde dua secara berurutan.
Pendahuluan
Contoh
Biasanya, dalam beberapa kajian pustaka, secara singkat PDP
dapat juga ditulis dalam bentuk:
+ uyy = 0,
(2.4)
ut
− αuxx = 0,
(2.5)
utt
− c 2 uxx = 0,
(2.6)
uxx
dengan subscript menyatakan turunan parsial.
Pendahuluan
Contoh
Beberapa contoh lain PDP yang terkenal selain tiga contoh diatas
adalah
ut
+ ux = 0,
ut
+ ux − αuxx = 0,
ut
+ uux = 0,
uxx
ut
iut
+ uyy = f (x , y ),
+ uux + uxxx = 0,
+ uxx = 0.
persamaan transport
persamaan reaksi-difusi
persamaan
inviscid
Burger
persamaan Poisson
persamaan KdV
persamaan Schrödinger
(2.7)
(2.8)
(2.9)
(2.10)
(2.11)
(2.12)
Pendahuluan
Notasi umum gradien (grad (u ) = ∇u )
Gradien grad (u ) = ∇u :
Notasi untuk menyatakan vektor gradien dari suatu fungsi
u (x1 , x2 , · · · , xn ) pada n-dimensi ruang Euclidean.
Pendahuluan
Notasi umum gradien (grad (u ) = ∇u )
Gradien grad (u ) = ∇u :
Notasi untuk menyatakan vektor gradien dari suatu fungsi
u (x1 , x2 , · · · , xn ) pada n-dimensi ruang Euclidean. Contohnya:
∇u (x1 , x2 , · · · , xn ) =
∂
∂
∂
,
,··· ,
∂ x1 ∂ x2
∂ xn
u (x1 , x2 , · · ·
, xn ).
Misalkan terdapat fungsi u (x , y ), maka ∇u (x , y ) = (ux , uy ).
Pendahuluan
Notasi umum divergent (div (u ) = ∇ · u )
Divergent div (u ) = ∇ · u :
Notasi untuk menyatakan divergensi (divergence) dari suatu fungsi
u (x1 , x2 , · · · , xn ) pada n-dimensi ruang Euclidean (yaitu jumlah dari
suku-suku vektor gradiennya).
Pendahuluan
Notasi umum divergent (div (u ) = ∇ · u )
Divergent div (u ) = ∇ · u :
Notasi untuk menyatakan divergensi (divergence) dari suatu fungsi
u (x1 , x2 , · · · , xn ) pada n-dimensi ruang Euclidean (yaitu jumlah dari
suku-suku vektor gradiennya). Contohnya:
∇ · u (x1 , x2 , · · · , xn ) =
∂
∂
∂
+
+ ··· +
∂ x1 ∂ x2
∂ xn
u.
Pendahuluan
Notasi umum divergent (div (u ) = ∇ · u )
Divergent div (u ) = ∇ · u :
Notasi untuk menyatakan divergensi (divergence) dari suatu fungsi
u (x1 , x2 , · · · , xn ) pada n-dimensi ruang Euclidean (yaitu jumlah dari
suku-suku vektor gradiennya). Contohnya:
∇ · u (x1 , x2 , · · · , xn ) =
∂
∂
∂
+
+ ··· +
∂ x1 ∂ x2
∂ xn
Misalkan terdapat fungsi u (x , y , z ), maka didapat
∇ · u (x , y , z ) =
∂u ∂u ∂u
+
+
∂x
∂y
∂z
.
u.
Pendahuluan
Notasi umum Laplace (∆u = ∇2 u = ∇ · ∇u )
Laplace operator ∆u = ∇2 u = ∇ · ∇u :
Notasi untuk menyatakan turunan orde dua u (x1 , x2 , · · · , xn ) pada
n-dimensi ruang Euclidean.
Pendahuluan
Notasi umum Laplace (∆u = ∇2 u = ∇ · ∇u )
Laplace operator ∆u = ∇2 u = ∇ · ∇u :
Notasi untuk menyatakan turunan orde dua u (x1 , x2 , · · · , xn ) pada
n-dimensi ruang Euclidean. Contohnya:
∆u (x1 , x2 , · · · , xn ) =
∂2
∂2
∂2
+
+
·
·
·
+
∂ xn2
∂ x12 ∂ x22
u.
Pendahuluan
Notasi umum Laplace (∆u = ∇2 u = ∇ · ∇u )
Laplace operator ∆u = ∇2 u = ∇ · ∇u :
Notasi untuk menyatakan turunan orde dua u (x1 , x2 , · · · , xn ) pada
n-dimensi ruang Euclidean. Contohnya:
∆u (x1 , x2 , · · · , xn ) =
∂2
∂2
∂2
+
+
·
·
·
+
∂ xn2
∂ x12 ∂ x22
Misalkan terdapat fungsi u (x , y , z ), maka didapat
∆u (x , y , z ) =
∂2u ∂2u ∂2u
+
+ 2
∂x 2 ∂y 2
∂z
.
u.
Pendahuluan
Solusi PDP
Secara umum, solusi PDP adalah nontrivial, akan tetapi ketika
sebuah solusi ditemukan, akan sangat mudah untuk membuktikan
apakah fungsi tersebut merupakan solusi atau bukan.
Pendahuluan
Solusi PDP
Secara umum, solusi PDP adalah nontrivial, akan tetapi ketika
sebuah solusi ditemukan, akan sangat mudah untuk membuktikan
apakah fungsi tersebut merupakan solusi atau bukan. Sebagai
contoh, untuk melihat u (x , t ) = e t −x merupakan solusi dari
persamaan gelombang
utt
− uxx = 0,
(2.13)
Pendahuluan
Solusi PDP
Secara umum, solusi PDP adalah nontrivial, akan tetapi ketika
sebuah solusi ditemukan, akan sangat mudah untuk membuktikan
apakah fungsi tersebut merupakan solusi atau bukan. Sebagai
contoh, untuk melihat u (x , t ) = e t −x merupakan solusi dari
persamaan gelombang
utt
− uxx = 0,
(2.13)
secara sederhananya fungsi solusi tersebut kita substitusikan ke
dalam persamaan, sehingga didapat:
(e t −x )tt − (e t −x )xx = e t −x − e t −x = 0.
Pendahuluan
Latihan
Tunjukkan apakah u (x , t ) = sin(x − t ) merupakan solusi dari
persamaan gelombang dibawah ini ?
utt
− uxx = 0,
(2.14)
Pendahuluan
Latihan
Tunjukkan apakah u (x , t ) = f (x − ct ) merupakan solusi dari
persamaan gelombang dibawah ini ?
utt
− c 2 uxx = 0,
(2.15)
Pendahuluan
Kehomogenan
Denisi (PDP tak-homogen)
Persamaan diferensial parsial (PDP) dengan fungsi yang belum
diketahui (u) dikatakan tak-homogen jika dalam persamaan
PDP-nya terdapat term/fungsi lain yang tidak bergantung pada
fungsi u.
Pendahuluan
Kehomogenan
Denisi (PDP tak-homogen)
Persamaan diferensial parsial (PDP) dengan fungsi yang belum
diketahui (u) dikatakan tak-homogen jika dalam persamaan
PDP-nya terdapat term/fungsi lain yang tidak bergantung pada
fungsi u.
Sebagai contoh, persamaan
Poisson:
uxx (x , y ) + uyy (x , y )
= f (x , y )
merupakan persamaan tak-homogen karena ada fungsi f (x , y )
yang tidak bergantung pada fungsi u (x , y ).
Pendahuluan
Kehomogenan
Denisi (PDP tak-homogen)
Persamaan diferensial parsial (PDP) dengan fungsi yang belum
diketahui (u) dikatakan tak-homogen jika dalam persamaan
PDP-nya terdapat term/fungsi lain yang tidak bergantung pada
fungsi u.
Sebagai contoh, persamaan
Poisson:
uxx (x , y ) + uyy (x , y )
= f (x , y )
merupakan persamaan tak-homogen karena ada fungsi f (x , y )
yang tidak bergantung pada fungsi u (x , y ). Sedangkan persamaan
Laplace:
uxx (x , y ) + uyy (x , y ) = 0
merupakan persamaan yang
homogen.
Pendahuluan
Latihan
Tentukan apakah persamaan-persamaan berikut homogen atau
non-homogen!
ut
+ ux = 0,
ut
+ ux − αuxx = 0,
ut
+ uux = 0,
uxx
ut
iut
+ uyy = f (x , y ),
+ uux + uxxx = 0,
+ uxx = 0.
persamaan transport
persamaan reaksi-difusi
persamaan
inviscid
Burger
persamaan Poisson
persamaan KdV
persamaan Schrödinger
(2.16)
(2.17)
(2.18)
(2.19)
(2.20)
(2.21)
Pendahuluan
Orde
Denisi (Orde)
Orde (order) dari PDP adalah orde dari turunan tertinggi yang ada
di dalam persamaan itu sendiri.
Pendahuluan
Orde
Denisi (Orde)
Orde (order) dari PDP adalah orde dari turunan tertinggi yang ada
di dalam persamaan itu sendiri.
Secara umum, kita dapat menuliskan persamaan umum PDP orde
satu untuk (x , y ) sebagai
F (x , y , u (x , y ), ux (x , y ), uy (x , y ))
= F (x , y , u , ux , uy ) = 0, (2.22)
sedangkan untuk PDP orde dua adalah:
F (x , y , u , ux , uy , uxx , uyy )
= 0.
(2.23)
Pendahuluan
Latihan
Tentukan Orde dari:
ut
+ ux = 0 ,
ut
+ uux + uxxx = 0,
persamaan transport
persamaan KdV
(2.24)
(2.25)
Pendahuluan
Kelinieran
PDP dapat ditulis dalam bentuk:
L(u ) = 0,
dengan L disebut sebagai sebuah operator.
(2.26)
Pendahuluan
Kelinieran
PDP dapat ditulis dalam bentuk:
L(u ) = 0,
dengan L disebut sebagai sebuah operator. Maka contoh
persamaan reaksi difusi (2.8), dapat kita tulis menjadi
2
L = ∂∂t + ∂∂x + α ∂∂x 2 , dan sehingga Lu sama dengan (2.8).
(2.26)
Pendahuluan
Kelinieran
PDP dapat ditulis dalam bentuk:
L(u ) = 0,
(2.26)
dengan L disebut sebagai sebuah operator. Maka contoh
persamaan reaksi difusi (2.8), dapat kita tulis menjadi
2
L = ∂∂t + ∂∂x + α ∂∂x 2 , dan sehingga Lu sama dengan (2.8).
Denisi (PDP Linier)
Operator
L
dikatakan linier jika memenuhi
L(u + v ) = Lu + Lv ,
dan
untuk setiap fungsi u , v dan konstanta c .
L(cu ) = c Lu ,
(2.27)
Pendahuluan
Contoh
Sebagai contoh, kita akan menunjukkan bahwa apakah persamaan
transport ut + ux linier atau tidak?
Pendahuluan
Contoh
Sebagai contoh, kita akan menunjukkan bahwa apakah persamaan
transport ut + ux linier atau tidak? Hal ini dapat ditunjukkan
dengan,
L(u + v ) = (u + v )t + (u + v )x = ut + vt + ux + vx
= (ut + ux ) + (vt + vx ) = Lu + Lv
Pendahuluan
Contoh
Sebagai contoh, kita akan menunjukkan bahwa apakah persamaan
transport ut + ux linier atau tidak? Hal ini dapat ditunjukkan
dengan,
L(u + v ) = (u + v )t + (u + v )x = ut + vt + ux + vx
= (ut + ux ) + (vt + vx ) = Lu + Lv
dan
L(cu ) = (cu )t + (cu )x = cut + cux = c Lu .
Sehingga berdasarkan Denisi 2.4, persamaan
persamaan linier.
ut
+ ux merupakan
Pendahuluan
Latihan
Tunjukkan apakah PDP-PDP berikut linier apa tidak!
1. ut + ux − αuxx = 0
2. ut + uux = 0
3. uxx + uyy = f (x , y )
4. ut + uux + uxxx
Klasikasi PDP
Kalsikasi PDP orde dua
Pada PDP dengan turunan orde dua, klasikasi PDP dapat
ditentukan dengan mudah.
Klasikasi PDP
Kalsikasi PDP orde dua
Pada PDP dengan turunan orde dua, klasikasi PDP dapat
ditentukan dengan mudah. Diberikan PDP quasilinier orde dua
nonhomogen dengan dua variabel bebas:
Auxx
+ Buxy + Cuyy + Dux + Euy + Fu = G .
(3.1)
Klasikasi PDP
Kalsikasi PDP orde dua
Pada PDP dengan turunan orde dua, klasikasi PDP dapat
ditentukan dengan mudah. Diberikan PDP quasilinier orde dua
nonhomogen dengan dua variabel bebas:
Auxx
+ Buxy + Cuyy + Dux + Euy + Fu = G .
Klasikasi (3.1) bergantung pada tanda (sign) dari nilai
diskriminan, B 2 − 4AC sebagai berikut:
B2
− 4AC
Negative
Nol
Positif
Klasikasi
Eliptik
Parabolik
Hiperbolik
(3.1)
Klasikasi PDP
Latihan
Klasikasikan PDP-PDP berikut ini!
1. ut + ux − αuxx = 0
2. uxx + uyy = f (x , y )
3. ut + ux + uxx
4. ut t + ux y + uxx
Aplikasi
Aplikasi
Beberapa aplikasi PDP dalam kehidupan sehari-hari:
I Penyebaran panas pada suatu medium
I Vibrasi senar gitar
I Pemberian harga Option (Financial Engineering)
I Gelombang air laut
I Pertumbuhan bakteri pada media tertentu
I Penyebaran polusi virus, atau gossip
I dll
End of presentation!