English - PORTAL JURNAL Politeknik Negeri Tanah Laut

JURNAL TEKNOLOGI &
INDUSTRI
ISSN 2087-6920
Vol. 2 No. 1; Juli 2012
EKSISTENSI DAN KETUNGGALAN PERSAMAAN PANAS
*VERI JULIANTO1, YUNI YULIDA2, M. AHSAR KARIM2
1Program
2Program
Studi Teknik Informatika Politeknik Tanah Laut
Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat
Naskah diterima: 10 April 2012; Naskah disetujui: 25 Juni 2012
ABSTRAK
Persamaan diferensial parsial (PDP) merupakan persamaan yang mengandung turunan parsial. Persamaan
diferensial parsial memiliki dua atau lebih variabel bebas. Orde dari PDP adalah turunan tertinggi pada
persamaan diferensial tersebut. Derajat PDP adalah pangakat tertinggi dari turunan tertinggi dari fungsi
yang ada pada persamaan diferensial. Salah satu PDP adalah Persamaan Panas Satu Dimensi
yaitu:
U ( x, t )
 2U ( x, t )
k
,
t
x 2
0 xL
Dengan syarat batas :
U (0, t )  0 ,
U ( L, t )  0,
t>0
Syarat awal :
U ( x,0)  f ( x) 0  x  L .
Solusi Persamaan Panas dengan metode pemisah variabel selanjutnya solusi tersebut akan ditunjukan
eksistensi dan ketunggalan solusinya. Penelitian ini bersifat studi literature, yaitu peneliti mengumpulkan
bahan atau materi yang berkaitan dengan topik penelitian, kemudian mempelajari dan memahami konsep
bahan tersebut kemudian mengaplikasikanya untuk membuktikan eksistensi dan ketunggalan Persamaan
Panas. Hasil penelitian ini diperoleh bahwa eksistensi Persamaan Panas dapat ditunjukan dengan
membuktikan bahwa solusi tersebut konvergen seragam terhadap x dan t. Ketunggalan solusi Persamaan
Panas dibuktikan dengan menggunakan Prinsip Maksimum-Minimum.
PENDAHULUAN
Persamaan diferensial biasa (PDB) merupakan persamaan yang memuat turunan suatu fungsi
dari satu peubah bebas. PDB diartikan sebagai suatu persamaan yang melibatkan turunan pertama
atau lebih dari fungsi sebarang y terhadap peubah x.
Persamaan diferensial parsial (PDP) merupakan persamaan yang mengandung turunan
parsial. Persamaan diferensial parsial memiliki dua atau lebih variabel bebas. Orde dari PDP
adalah turunan
tertinggi pada persamaan diferensial tersebut. Derajat PDP adalah pangkat
tertinggi dari turunan tertinggi dari fungsi yang ada pada persamaan diferensial.
Persamaan diferensial parsial sering dijumpai dalam kaitannya dengan masalah fisik.
Sebagai contoh yaitu apabila suatu batang logam yang akan diukur temperaturnya di sepanjang
logam itu, dimana temperatur logam bergantung pada tempat dan waktu.
Pada persamaan panas satu dimensi, dari hasil pengamatan suatu logam dengan difusifitas k
yang masing-masing ujungnya terletak di x = 0 dan x = L di sumbu x, diasumsikan permukaan
*Korespondensi:
Telepon/nomor faks
Email
: 0512-21537
: [email protected]
46
lateral logam tersebut diisolasi secara sempurna agar tidak ada panas yang hilang. Apabila logam
tersebut mempunyai temperatur 00 C pada kedua ujungnya maka model matematika dapat
dirumuskan dengan menggunakan persamaan panas satu dimensi:
U ( x, t )
 2U ( x, t )
,
k
t
x 2
0 xL
(1.1)
Dengan syarat batas :
U (0, t )  0 ,
U ( L, t )  0,
t>0
(1.2)
Syarat awal :
U ( x,0)  f ( x)
0 xL
(1.3)
(Kartono, 2001).
Salah satu metode agar diperoleh solusi persamaan panas (1.1) dengan syarat batas (1.2) dan
syarat awalnya (1.3) adalah dengan metode pemisahan variabel. Metode pemisahan variabel ini
dilakukan dengan memisahkan variable x dan t pada persamaan (1.1) menjadi
persamaan
diferensial biasa.
METODE PENELITIAN
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur, yaitu peneliti
mengumpulkan bahan atau materi yang berkaitan dengan topik penelitian, kemudian mempelajari
dan memahami konsep tersebut selanjutnya mengaplikasikanya untuk melakukan penelitian.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Solusi Persamaan Panas
Sebelum menentukan eksitensi dan ketunggalan dari persamaan panas (1.1) dengan syarat
batas (1.2) dan syarat awal (1.3) terlebih dahulu akan dicari solusi persamaannya. Untuk mencari
solusi persamaan panas, digunakan metode pemisahan variabel, yaitu dengan memisahkan variabel
bebasnya.
Sehingga penyelesaian umum untuk persamaan (1.1) adalah

U ( x, t )   U n ( x, t )  X n ( x)Tn (t )
n 1
47
 n 
 t
L 
 nx   k 
An sin 
e

 L 
n 1

=
2
, An  Bn C n
2
 nx 
f ( x) sin 
dx .

L0
 L 
L
dengan
An 
Langkah-langkah untuk mencari solusi persamaan panas dengan metode pemisahan
variabel, yaitu Persamaan Diferensial Parsial (1.1) direduksi menjadi PDB. Untuk mereduksi PDP
menjadi PDB pada (1.1) terlebih dahulu dengan memisalkan solusi persamaan (1.1) menjadi
perkalian dua fungsi yaitu
U ( x, t )  X ( x)T (t )
dengan X (x ) adalah fungsi dari x
T (t ) adalah fungsi dari t.
Setelah didapatkan Solusi Persamaan Panas (1.1) selanjutnya akan dibuktikan eksistensi
solusinya. Untuk membuktikan eksistensi Solusi Persamaan Panas maka harus ditunjukan bahwa
ada dan turunannya ada. Berdasarkan hal itu maka akan dibuktikan bahwa deret dari
konvergen seragam
Definisi (Ross, 1984).
Misalkan
adalah barisan fungsi bilangan riil dan masing-masing
didefinisikan pada interval a
a
jika untuk setiap
. Barisan {fn} dikatakan konvergen seragam ke f pada
> 0 terdapat bilangan asli n0 sehingga
untuk semua n >n0 , dan setiap x terletak pada a.
Teorema (Pinsky, 1940)
Diberikan
suatu fungsi konvergen seragam pada
adalah fungsi kontinu untuk setiap
pada
maka
.
48
, dengan
adalah fungsi kontinu
Bukti
diketahui
suatu fungsi konvergen seragam pada
sehingga untuk setiap
terdapat
berlaku
.
, sedemikian sehingga untuk semua
.
Diambil sebarang
karena
, dengan
dengan n=1,2,3,… maka berdasarkan
Misalkan
adalah fungsi kontinu
juga kontinu.
kontinu ke sebarang
sehingga terdapat
sedemikian sehingga
,
. Jadi untuk setiap
, terdapat
sedemikian sehingga
berlaku
Jadi karena c sebarang nilai di
maka terbukti bahwa
adalah fungsi kontinu pada
.
Ketunggalan Persamaan Panas
Pada persamaan panas untuk membuktian ketunggalan solusinya akan digunakan teorema
Prinsip Maksimum-Minimum. Berikut ini definisi dan teorema yang akan digunakan untuk
membuktikan ketunggalan.
Definisi (Bartle. 1927)
Diberikan
dan misalkan
.
49
Dikatakan f mempunyai nilai maksimum pada A jika ada nilai
untuk setiap
, sedemikian sehingga
. Dikatakan f mempunyai nilai minimum pada A jika ada nilai
, sedemikian sehingga
untuk setiap
.
Teorema (Prinsip Maksimum-Minimum untuk Persamaan Panas)
Diberikan
dan
. Misalkan fungsi
selang
tertutup
dan
memenuhi
persamaan
dan
panas
(1.1)
kontinu pada
di
setiap
A
maka
.
Metode Pemisahan Variabel
Sebelum menentukan eksitensi dan ketunggalan dari persamaan panas (1.1) dengan syarat
batas (1.2) dan syarat awal (1.3) terlebih dahulu akan dicari solusi persamaannya. Untuk mencari
solusi persamaan panas, digunakan metode pemisahan variabel, yaitu dengan memisahkan variabel
bebasnya.
Langkah-langkah untuk mencari solusi persamaan panas dengan metode pemisahan
variabel, yaitu Persamaan Diferensial Parsial (1.1) direduksi menjadi PDB. Untuk mereduksi PDP
menjadi PDB pada (1.1) terlebih dahulu dengan memisalkan solusi persamaan (1.1) menjadi
perkalian dua fungsi yaitu
U ( x, t )  X ( x)T (t )
dengan
X (x ) adalah fungsi dari x
T (t ) adalah fungsi dari t.
Berikut ini adalah turunan dari U ( x, t ) terhadap x dan t .
U
 U x  X ' ( x)T (t )
x
 2U
 U xx  X ' ' ( x)T (t )
x 2
(4.1)
U
 U t  X ( x)T ' (t ) .
t
(4.2)
50
Setelah mendapatkan turunan U ( x, t ) terhadap x dan t , kemudian Persamaan (4.1) dan (4.2)
disubsitusikan ke (1.1) sehingga menjadi:
X ( x)T ' (t )  kX ' ' ( x)T (t )
(4.3)
kedua ruas pada persamaan (4.3) dibagi dengan X ( x)T (t ) diperoleh
T ' (t ) X ' ' ( x)
.

kT (t )
X ( x)
(4.4)
Pada persamaan (4.4) ruas kiri fungsi hanya bergantung pada t dan ruas kanan fungsi
hanya bergantung pada x. Selanjutnya dengan menggunakan konstanta pemisah

sehingga
persamaan (4.4) menjadi
T ' (t )
X ' ' ( x)
.
  
kT (t )
X ( x)
(4.5)
Dari persamaan (4.5) diperoleh, yaitu
X ' ' ( x)
 
X ( x)
 X " ( x )    X ( x )  X " ( x )  X ( x )  0
(4.6)
 T (t )"  kT (t )  T (t )" kT (t )  0
(4.7)
dan
T (t )' '
 
kT (t )
Jadi, dengan mereduksi PDP pada (1.1) diperoleh PDB X " ( x)  X ( x)  0 dan
T (t )" kT (t )  0.
Sebelum menentukan penyelesaian persamaan (4.6) akan ditentukan syarat batasnya yaitu :
U (0, t )  X (0)T (t )  0
(4.8)
U ( L, t )  X ( L)T (t )  0
(4.9)
Karena T (t )  0 maka pada persamaan (4.8) X (0)  0 dan persamaan (4.9) X ( L)  0 . Jadi,
syarat batas untuk U ( x, t ) yaitu X ( L)  0 dan X (0)  0.
51
Ketunggalan Solusi Persamaan Panas
Setelah diperoleh solusi dari (1.1) dan kemudian terbukti eksistensinya maka selanjutnya
akan
ditunjukkan ketunggalan solusi persamaan panas yaitu dengan menggunakan prinsip
maksimum dan minimum untuk persamaan panas.
Teorema 4.3.1 (Prinsip Maksimum-Minimum untuk Persamaan Panas)
Diberikan
dan
. Misalkan fungsi
selang
tertutup
dan
memenuhi
persamaan
panas
dan
(1.1)
kontinu pada
di
setiap
A
maka
.
Bukti.
a.
Akan ditunjukan
Misalkan
Akan ditunjukan bahwa
Diberikian fungsi
, dengan
adalah bilangan positif konstan dan
(4.42)
(4.43)
persamaan (4.42) dikurangkan dengan (4.43) sehingga didapatkan
(4.44)
dan
jika titik
maka
.
52
(4.45)
Jika
mencapai
maksimum
pada
titik
mengakibatkan
sehingga kontradiksi dengan (4.44). Oleh karena itu
mencapai maksimum pada titik
,
Andaikan
.
(4.46)
memiliki titik maksimum yaitu
. Ketika
, maka
dengan
,
sehingga
(4.47)
Oleh karena itu,
sehingga kontrdiksi dengan (4.48). Oleh karena
itu
, sehingga
pada R untuk setiap
Karena
, didapatkan
pada R, yang maksudnya
yaitu
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa
suatu fungsi
. Misalkan diberikan
.
Akan ditunjukan bahwa
.
Pertama akan dibuktikan bahwa
superposisi maka
memisalkan
Berdasarkan Teorema
juga merupakan solusi yang memenuhi (1.1). Sehingga dengan
mencapai maksimum pada M. Berdasarkan pembuktian Teorema Maksimum
Persamaan Panas sebelumnya diperoleh
bahwa
Karena diketahui
dan dengan
sehingga
.
Pada pembuktian ketunggalan persamaan panas (1.1) akan digunakan Teorema MaksimumMinimum di atas. Selanjutnya, misalkan persamaan (1.1) terdapat dua solusi berbeda yaitu
u1 dan
u 2 . Untuk solusi u1 dengan mensubsitusikan ke persamaan (1.1) sehingga berlaku
u1 ( x, t )
u ( x, t )
k 1 2 , 0 xL
t
x
53
(4.48)
dengan syarat batas :
u1 (0, t )  0 ,
u1 ( L, t )  0,
t>0
Syarat awal :
0  x  L.
u1 ( x,0)  f ( x)
Untuk solusi
u 2 dengan mensubsitusikan ke persamaan (1.1) sehingga berlaku
u 2 ( x, t )
u ( x, t )
k 2 2 , 0 xL
t
x
(4.49)
dengan syarat batas :
u 2 (0, t )  0 ,
u 2 ( L, t )  0,
u2 ( x,0)  f ( x)
t>0
Syarat awal :
0  x  L.
Berdasarkan Teorema Superposisi
juga merupakan solusi persamaan
panas yaitu
w( x, t ) u1 ( x, t )  u 2 ( x, t )

t
t

u1 ( x, t ) u 2 ( x, t )

t
t
k
u1 ( x, t )
u ( x, t )
k 2 2
2
x
x
berdasarkan persamaan (4.48) dan (4.49) maka berlaku
k

u1 ( x, t )  u 2 ( x, t ) 
x 2
k
w( x, t )
x 2
54
w( x, t )
 u ( x, t ) u ( x, t ) 
 k 1 2  2 2 
t
x
 x

maka dapat dikatakan
juga merupakan solusi persamaan panas dan kemudian akan ditentukan
syarat batasnya.
Dari syarat batas
u1 dan u 2 maka dapat dibentuk syarat batas untuk w yaitu
w(0, t )  u1 (0, t )  u2 (0, t )  0  0  0
t0
(4.50)
w( L, t )  u1 ( L, t )  u2 ( L, t )  0  0  0
t 0
(4.51)
dan syarat awal
0  x  L.
w( x,0)  u1 ( x,0)  u2 ( x,0)  f ( x)  f ( x)  0
(4.52)
sehingga untuk membuktikan solusi (1.1) tunggal maka akan dibuktikan bahwa
w( x, t )  u1 ( x, t )  u2 ( x, t )  0 .
Pertama digunakan prinsip maksimum terlebih dahulu. Berdasarkan
mencapai maksimum saat
dan
atau juga
diperoleh w(0, t )  w( L, t )  0 dan w( x,0)  0 ,
. Berdasarkan (4.50) dan (4.51)
0  x  L , maka dapat disimpulkan bahwa
w( x, t )  0 . Kemudian dengan menggunakan prinsip minimum maka
minimum saat
dan
akan
dan juga
akan mencapai
. Berdasarkan (4.50) dan (4.51)
w(0, t )  w( L, t )  0 dan w( x,0)  0 , 0  x  L , maka dapat disimpulkan bahwa
w( x, t )  0 . Jadi karena diketahui bahwa w( x, t )  0 dan w( x, t )  0 maka dapat
disimpulkan
bahwa
w( x, t )  0 .
Karena
terbukti
u1 ( x, t )  u2 ( x, t )  0 sehingga menyebabkan
bahwa
w( x, t )  0
maka
. Jadi, pengandaian salah
sehingga terbukti bahwa solusi persamaan (1.1) tunggal.
UCAPAN TERIMA KASIH
Terima kasih yang sebesar-besarnya kepada : Dosen – dosen pengajar
program studi
Matematika Fakultas MIPA Unlam. Seluruh rekan mahasiswa matematika FMIPA Unlam.
DAFTAR PUSTAKA
Agarwal R.P and O’Regan D. 2009. Ordinary and partial
Florida Institut Technology.
55
Diferential Equation.Melbourne:
Boyce, W.E, and DiPrima. 1997. Elementery Differential & Boundary Value Problem. Jhon
Wiley and Sons.
Darmawijaya. S. 2006. Pengantar Analisis Real. Yogyakrata: Universitas Gajah Mada.
Goldberg Richard R. 1964. Methods of Real Analisis. London: Indiana University.
Humi, Mayer, dan Miller, W.B. 1993. Boundary Value Problems and Partial Differential
Equation. Boston: Worcester Polytecnic Institute.
Kartono. 2001. Maple untuk Persamaan Diferensial. Yogyakarta : J & J Learning.
Pinsky, M. A. 1998. Partial Differential Equation and Boundary Value Problems with
Aplliciation. Third Edition. Singapore : McGraw-Hill inc.
Purcell, E. J. dan Varberg, D. 1984. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2. Jakarta : Erlangga.
Ross, S.L. 1984. Diferential Equation. Singapore : Jhon Wiley &Sons inc.
56