Matakuliah: Fisika Komputasi
PERSAMAAN DIFRENSIAL PARSIAL
D
I
S
U
S
U
N
OLEH
KELOMPOK III
AISYAH (8176175001)
DEWI ARISANTI
(8176175003)
DEWI RATNA PERTIWI SITEPU (8176175004)
PENDIDIKAN FISIKA REGULER A 2017
PROGRAM PASCASARJANA
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
2018
KATA PENGANTAR
Puji
syukur
kehadirat
Tuhan
Yang
Maha
Esa
atas
segala
rahmatNyasehingga makalah yang berjudul Persamaan Difrensial ini dapat
tersusun hingga selesai. Tidak lupa kami juga mengucapkan banyak terimakasih
atas bantuan dari pihak yang telah berkontribusi dengan memberikan sumbangan
baik materi maupun pemikirannya.
Dan harapan kami semoga makalah ini dapat menambah pengetahuan dan
pengalaman bagi para pembaca, Untuk kedepannya dapat memperbaiki bentuk
maupun menambah isi makalah agar menjadi lebih baik lagi.
Karena keterbatasan pengetahuan maupun pengalaman kami, Kami yakin
masih banyak kekurangan dalam makalah ini, Oleh karena itu kami sangat
mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari pembaca demi
kesempurnaan makalah ini.
Medan,
April 2018
Kelompok III
i
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR..................................................................................... i
DAFTAR ISI................................................................................................... ii
BAB I PENDAHULUAN
1.1.LatarBelakang ...................................................................................... 1
1.2.RumusanMasalah ................................................................................. 2
1.3.TujuanPenulisan ................................................................................... 2
BAB II PEMBAHASAN
2.1.Persamaan Diferensial Parsial (PDP) ................................................... 3
2.2.Persamaan Diferensial Parsial (PDP) Hiperbolik ................................ 4
2.2.1. Solusi Numerik PDP Hiperbolik
Metode Finite Diffrence .......................................................... 5
2.2.2. Penerapan PDP Hiperbolik ...................................................... 6
2.3.Persamaan Difrensial Parsial (PDP) Parabolik .................................... 12
2.2.1. Solusi Numerik PDP Hiperbolik
Metode Finite Diffrence .......................................................... 13
2.2.2. Penerapan PDP Parabolik ........................................................ 14
BAB III PENUTUP
3.1. Kesimpulan ......................................................................................... 20
DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................... 21
ii
i
BAB I
PENDAHULUAN
1.1.
LatarBelakang
Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan diferensial di mana
fungsi yang tidak diketahui adalah fungsi dari banyak variabel bebas, dan
persamaan tersebut juga melibatkan turunan parsial.
Persamaan diferensial memegang peranan penting dalam rekayasa, fisika,
ilmu ekonomi dan berbagai macam disiplin ilmu. Persamaan diferensial muncul
dalam berbagai bidang sains dan teknologi, bilamana hubungan deterministik
yang melibatkan besaran yang berubah secara kontinu dimodelkan oleh fungsi
matematika dan laju perubahannya dinyatakan sebagai turunan diketahui atau
dipostulatkan.
Ini terlihat misalnya pada mekanika klasik, di mana gerakan sebuah benda
diberikan oleh posisi dan kecepatannya terhadap waktu. Hukum Newton
memungkinkan kita mengetahui hubungan posisi, kecepatan, percepatan da
nberbagai gaya yang bertindak terhadap benda tersebut, danmenyatakannya
sebagai persamaan diferensial posisi sebagai fungsi waktu. Dalambanyakkasus,
persamaan diferensial ini dapat dipecahkan secara eksplisit, dan menghasilkan
hokum gerak.
Contoh pemodelan masalah dunia nyata menggunakan persamaan
diferensial adalah penentuan kecepatan bola yang jatuh bebas di udara, hanya
dengan memperhitungkan gravitasi dan tahanan udara.Percepatan bola tersebut
kearah tanah adalah percepatan karena gravitasi dikurangi dengan perlambatan
karena gesekan udara. Mencari kecepatan sebagai fungsi waktu mensyaratkan
pemecahan sebuah persamaan diferensial.
Teori persamaan diferensial sudah cukup berkembang, dan metode yang
digunakan bervariasi sesuai jenis persamaan.Persamaan diferensial biasa (PDB)
adalah persamaan diferensial dimana fungsi yang tidak diketahui (variabel terikat)
adalah fungsi dari variabel bebas tunggal. Dalam bentuk paling sederhana fungsi
yang tidak diketahui ini adalah fungsi riil atau fungsi kompleks, namun secara
1
umum bisa juga berupa fungsi vector maupun matriks. Lebih jauh lagi, persamaan
diferensial biasa digolongkan berdasarkan orde tertinggi dari turunan terhadap
variabel terikat yang muncul dalam persamaan tersebut.
1.2.
RumusanMasalah
1. Bagaiman amenyusun program computer dengan menggunakan metode
finite difference untuk menyelesaikan PDP hiperbolik satu dimensi?
2. Bagaimana menyusun program computer terapan dalam bidang sains
dengan menggunakan metode finite difference untuk meyelesaikan PDP
hiperbolik satu dimensi?
3. Bagaimana menyusun program computer dengan menggunakan metode
finite difference untuk menyelesaikan PDP parabolic satu dimensi?
4. Bagaimana menyusun program computer terapan dalam bidang sains
dengan menggunakan metode finite difference untuk menyelesaikan PDP
parabolic satu dimensi?
1.3.
Tujuan
1. Menyusun program computer dengan menggunakan metode finite
difference untuk menyelesaikan PDP hiperbolik satu dimensi
2. Menyusun program computer terapan dalam bidang sains dengan
menggunakan metode finite difference untuk meyelesaikan PDP
hiperbolik satu dimensi
3. Menyusun program computer dengan menggunakan metode finite
difference untuk menyelesaikan PDP parabolic satu dimensi
4. Menyusun program computer terapan dalam bidang sains dengan
menggunakan metode finite difference untuk menyelesaikan PDP
parabolic satu dimensi
2
BAB II
TINJAUAN TEORI
2.1.
Persamaan Diferensial Parsial (PDP)
Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan yang di dalamnya
terdapat suku-suku diferensial parsial, yang dalam matematika diartikan
sebagaisuatu hubungan yang mengaitkan suatu fungsi yang tidak diketahui, yang
merupakan fungsi dari beberapa variabel bebas, dengan turunan-turunannya
melalui variabel-variabel yang dimaksud.
PDP juga digunakan untuk melakukan formulasi dan menyelesaikan
permasalahan yang melibatkan fungsi-fungsi yang tidak diketahui, yang
merupakan dibentuk oleh beberapa variabel, seperti penjalaran suara dan panas,
elektrostatika, elektrodinamika, aliran fluida, elastisitas, atau lebih umum segala
macam proses yang terdistribusi dalam ruang, atau terdistribusi dalam ruang dan
waktu. Kadang beberapa permasalahan fisis yang amat berbeda memiliki
formulasi matematika yang mirip satu sama lain.
Persamaan diferensial parsial yang selanjutnya akan dipersingkat menjadi
PDP adalah perubahan variabel tidak bebas terhadap lebih dari satu variabel
bebas. PDP dapat dibagi menjadi tiga jenis, yaitu persamaan diferensial eliptik,
parabolic dan hiperbolik. PDP eliptik dinyatakan sebagai berikut:
Di bidang fisika, persamaan (1) dikenal sebagai Persamaan Poisson. Jika
f(x, y)=0, maka diperoleh persamaan yang lebih sederhana sebagai berikut:
3
yang biasa disebut sebagai Persamaan Laplace. Contoh masalah PDP eliptik di
bidang fisika adalah distribusi panas pada kondisi steady-state pada obyek 2dimensi dan 3- dimensi. Jenis PDP kedua adalah PDP parabolik yang dinyatakan
sebagai berikut:
Fenomena fisis yang bisa dijelaskan oleh persamaan ini adalah masalah
aliran panas pada suatu obyek dalam fungsi waktu t dan difokuskan pada
bagaimana cara menyatakan semua PDP di atas dalam formulasi beda hingga atau
Finite-Difference.
2.2.
Persamaan Diferensial Parsial (PDP) Hiperbolik
Dalam fisika persamaan difrensial Hiperbolik merupakan persamaan
gelombang, karena model persamaan ini dapat menjelaskan fenomena
gelombanng. Bentuk PDP hiperbolik untuk satu dimensi dinyatakan sebagai
berikut:
𝜕2 𝑉
𝜕𝑡 2
𝜕2 𝑉
= 𝑐 2 𝜕𝑥 2
Keterangan:
V = simpangan gelombang
c = cepat rambant gelombang
t = waktu
x = posisi
4
2.2.1. Solusi Numerik PDP Hiperbolik Metode Finite Diffrence
Solusi numerik PDP hiperbolik metode Finite Diffrence ada dua hal yang
harus ditentukan, yaitu sebagai berikut:
1) Syarat awal dan syarat batas
a. 0<v<L, pada t>0
b. V(0,t)=V(L,t)=0, pada t>0
c. V(x,0)=f(x), pada 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
d.
𝝏𝑽
𝝏𝒕
(𝑥, 0) = 𝑔(𝑥) pada 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
2) Segmen waktu dan posisi
h = L / m; m = jumlah segmen posisi
k = T /n; n = jumlah semen waktu
xi = i * h; i =nindeks posisi
tj = j * k; j = indeks waktu
3) Penyelesaian secara numerik
𝜕 2 𝑉 𝑉𝑖,𝑗+1 − 2𝑉𝑖,𝑗 + 𝑉𝑖,𝑗−1
=
𝜕𝑡 2
𝑘2
𝜕 2 𝑉 𝑉𝑖+𝑗+1 − 2𝑉𝑖,𝑗 + 𝑉𝑖−1,𝑗
=
𝜕𝑡 2
ℎ2
𝑉𝑖,𝑗+1 − 2𝑉𝑖,𝑗 + 𝑉𝑖,𝑗−1
𝑉
− 2𝑉𝑖,𝑗 + 𝑉𝑖−1,𝑗
2 𝑖+𝑗+1
−
𝑐
=0
𝑘2
ℎ2
Jika: 𝜆 =
𝑐𝑘
ℎ
𝑚𝑎𝑘𝑎
𝑉𝑖,𝑗+1 − 2𝑉𝑖,𝑗 + 𝑉𝑖,𝑗−1 − 𝜆2 𝑉𝑖+1,𝑗 + 2𝜆2 𝑉𝑖,𝑗 + 𝜆2 𝑉𝑖−1,𝑗 = 0
5
Bentuk persamaan iterasi menjadi:
𝑉𝑖,𝑗+1 = 2(1 − 𝜆2 )𝑉𝑖,𝑗 + 𝜆2 (𝑉𝑖+1,𝑗 − 𝑉𝑖−1,𝑗 ) − 𝑉𝑖−1,𝑗
Syarat awal/batas pada proses iterasi
𝑉0,𝑗 = 𝑉𝑚,𝑗 = 0; pada 𝑡 ≥ 0
𝑉𝑗,0 = 𝑓(𝑥); pada 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
𝑉𝑖,1 = 𝑉𝑖,0 + 𝑘𝑔(𝑥𝑖 )
2.2.2.
1)
Penerapan PDP Hiperbolik
Masalah:
Penyelesaian persamaan gelombang satu dimensi pada dawai dengan
syarat awal/batas sbb:
a. Simpangan pada ujung-ujung dawai
𝑉𝑗,0 = 𝑉𝑚,𝑗 = 0; pada t ≥ 0
b. Simpangan pada t = 0; x = 0 dan x = L;
𝑉0,0 = sin 𝑝𝑖 × 0; 𝑉0,𝐿 = sin 𝑝𝑖 × 𝐿
c. Simpangan awal pada t = 0
𝑉𝑖,0 = 𝑠𝑖𝑛(𝑝𝑖 × 𝑥); pada 0 < 𝑥 < 𝐿
d. Simpangan pada x = i * h dan t = k
g(x) =0
𝑉𝑖,1 = 𝑉𝑖,0
2) Penerapan Data
Unit
Variabel
Type of Data
Keterangan
Lama Pengamatan
T
Numeric
Input data
Panjang dawai
L
Numeric
Input data
Jumlah segmen waktu
N
Numeric
Input data
Jumlah segmen posisi
m
Numeric
Output data
Variasi waktu
t
Array/Numeric
Output data
6
Variasi posisi
X
Array/Numeric
Output data
Simpangan
V
Array/Numeric
Output data
3) Algoritma
1. Mulai
2. Input data
3. Proses
h←L/m; k←T/N ;c←2;
lambda←k*c/h;
% syarat awal / batas
x←0:h:L;
t←0:k:L;
for j←2:N+1
V(1,j) ←0.0;
V(m+1,j) ←0.0;
end
V(1,1) ←sin (pi*0)
V(m+1,1) ←sin(pi*L)
for i←2:m
V(i,1) ←sin (pi*(i-1)*h);
V(i,2) ← V(i,1)
end
% menyelesaikan komputasi matriks
for j←2:N
for i←2:m
V(i,j+1)=2*(1-lambda^2)*V(i,j)+(V(i+1,j)+V(i-1,j)*lambda^2V(i,j-1)
end
end
4. Output
for i←1:m+1
tampil i-1,(i-1)*h, V(I,N+1)
end
tampil grafik: plot (t,x,V)
5. Stop
7
4) Koding dalam Matlab
%DPD hiperbolik
%Menyelesaikan persamaan gelombang
clear;clc;
% parameter gelombang
m=50; T=2; L=2; N=100;
h=L/m; k=T/N; c=2
lamda=k*c/h;
% syarat awal / batas
x=0:h:L;
t=0:k:T;
for j=2:N+1
V(1,j)=0,0;
V(m+1,j)=0.0;
end
V(1,1)=sin(pi*0);
V(m+1,1)=sin(pi*L);
for i=2:m
V(i,1)=sin(pi*(i-1)*h);
V(1,2)=V(i,1);
end
% menyelesaikan komputasi matriks
for j=2:N
for i=2:m
V(i,j+1)=2*(1-lamda^2)*V(i,j)+(V(i+1,j)+V(i1,j))*lamda^2-V(i,j-1);
end
end
disp('No
x
V')
for i=1:m+1
fprintf('%3.0f %8.2f %8.2f\n',i-1,(i-1)*h,V(i,N+1))
end
[t,x]=meshgrid(t,x);
colormap(gray);
surfl(t,x,V);
shading interp;
%mesh(V);
grid on;
title('Grafik Persamaan Gelombang');
xlabel('waktu t');
ylabel('posisi x');
zlabel('simpangan V');
legend('Simpangan');
8
5) Bentuk koding dalam MatLab
9
6) Hasil
10
11
Gambar 2.1 Grafik Simpangan Gelombang V=f(x,t)
2.3.
Persamaan Difrensial Parsial (PDP) Parabolik
Dalam fisika persamaan difrensial parabolik merupakan persamaan difusi,
karena model persamaan ini dapat menjelaskan fenomena difusi sebaran suhu
akibat pertambahan energi kalor pada zat dalam satu, dua atau tiga dimensi.
Perpindahan kalor menyebabkan terjadinya variasi suhu pada zat.
Bentuk PDP Parabolik untuk difusi panas suatu dimensi dinyatakan
sebagai berikut:
𝐷
𝜕 2 𝑇 𝜕𝑇
−
=0
𝜕𝑥 2 𝜕𝑡
𝜕𝑇
𝜕 2𝑇
=𝐷 2
𝜕𝑡
𝜕𝑥
12
Keterangan:
T(t,x) = suhu pada posisi x dan waktu t
D = koefisien difusi panas
2.3.1. Solusi Numerik PDP Parabolik Menggunakan Metode Finite
Diffrence
Solusi numerik PDP hiperbolik metode Finite Diffrence ada dua hal yang
harus ditentukan, yaitu sebagai berikut:
𝜕𝑇 𝑇(𝑡 + 𝑑, 𝑥) − 𝑇(𝑡, 𝑥)
=
𝜕𝑡
𝑑
𝜕 2 𝑇 𝑇(𝑡, 𝑥 + ℎ) − 2𝑇(𝑡, 𝑥) + 𝑇(𝑡, 𝑥 − ℎ)
=
𝜕𝑥 2
ℎ2
𝑇(𝑡 + 𝑑, 𝑥) = 𝑇(𝑡, 𝑥) +
Iterasi akan stabil jika:
𝐷𝑑
= [𝑇(𝑡, 𝑥 + ℎ) + 𝑇(𝑡, 𝑥 − ℎ) − 2𝑇(𝑡, 𝑥)]
ℎ2
𝐷𝑑
ℎ2
1
= 2 ; bentuk persamaan menjadi:
𝑇(𝑡 + 𝑑, 𝑥) =
1
[𝑇(𝑡, 𝑥 + ℎ) + 𝑇(𝑡, 𝑥 − ℎ)]
2
Persamaan Iterasi menjadi:
𝑇(𝑖 + 1, 𝑗) =
1
[𝑇(𝑖, 𝑗 + 1) + 𝑇(𝑖, 𝑗 − 1)]
2
1) Syarat awal dan syarat batas
a.
T(0,j)=f(x). Suhu berada pada kondisi awal atau t=0
b.
0<x<L, pada t>0
c.
T(t,0)=suhu pada ujung x=0;
d.
T(t,L)=suhu pada ujung x=L
13
2.3.2.
Penerapan PDP Parabolik
1) Masalah:
Sebaran suhu pada batang logam setelah t dengan syarat awal dan batas
sebagai berikut:
a.
T(0,j)=2. Suhu pada kondisi awal atau t=0
b.
0<x<L pada t>0
c.
T(t,0)=0;
d.
T(t,L)=100
2) Struktur Data/Variabel Utama
Unit
Lama pengamatan
Panjang penghantar
Jumlah segmen waktu
Jumlah segmen posisi
Segmen waktu
Segmen posisi
Variasi waktu
Variasi posisi
Suhu
Variabel
T
L
N
m
dt
h
t
x
T
Type of Data
Numeric
Numeric
Numeric
Numeric
Numeric
Numeric
Array/Numeric
Array/Numeric
Array/Numeric
3) Algoritma
1. Mulai
2. Input data
L, m, N
3. Proses
D←0.2; % koefisien diffuse
h←L/m
dt←0.5*h^2/D;
tm←N*dt;
t←0:dt:tm;
x←0:h:L;
%syarat awal dan syarat batas
For j←1:N+1
T (j, m+1) ←100; % suhu 100 pada x = L
T (j +1) ←0; % suhu 0 pada x=0
end
for k←2:m
T (1, k)=2; % suhu pada t=0
end
14
Keterangan
Input data
Input data
Input data
Output data
Output data
Output data
Output data
Output data
Output data
4. output
5. Stop
% komputasi penyelesaian
For j←1:N
For k←2:m
T(J+1,k) ←0.5*(T(j,k-1)+T(j,k +1));
end
end
tampil T
Plot (x, t, T);
4) Koding dalam Matlab
%persamaan diffusi
%dengan metode finite diffrence
clear;
clc;
L = input('panjang batang logam :');
m = input('Jumlah segmen interval panjang batang =');
N=input('Jumlah segmen interval panjang batang = ');
D=0.2; % koefisien diffusi
h=L/m;
dt=0.5*h^2/D;
tm=N*dt;
t=0:dt:tm;
x=0:h:L;
% syarat awal dan syarat batas
for j=1:N+1
T(j,m+1)=100; %suhu 100 pada x=L
T(j,1)=0; % suhu 0 pada x=0
end
for k=2:m
T(1,k)=2; % suhu pada t=0
end
% komputasi penyelesaian
for j=1:N
for k=2:m
T(j+1,k)=0.5*(T(j,k-1)+T(j,k+1));
end
end
T
grid on;
colormap(gray);
[x,t]=meshgrid(x,t);
colormap(gray);
surfl(x,t,T);
xlabel('Posisi x');
ylabel('Waktu t');
zlabel('T(t,x)');
title('Diffusi Suhu fungsi f(0,x)=2');
15
5) Bentuk koding dalam MatLab
16
6) Hasil
Testing 1
Gambar 2.2. Sebaran Suhu pada t<2 pada testing 1
17
Testing 2
18
Gambar 2.3. Sebaran Suhu pada t<2 pada testing 2
19
BAB III
PENUTUP
3.1.
Kesimpulan
1. Susunan program computer dengan menggunakan metode finite difference
untuk menyelesaikan PDP hiperbolik satu dimensi disusun dengan cara:
menentukan syarat awal dan syarat batas, menetukan segmen waktu dan
posisi, dan menyelesaikan secara numerik
2. Susunan program computer terapan dalam bidang sains dengan
menggunakan metode finite difference untuk meyelesaikan PDP
hiperbolik
satu
dimensi
yang
digunakan
adalah
fenomena
gelombangdengan menentukan simpangan gelombnag V=f(x,t)
3. Susunan program computer dengan menggunakan metode finite difference
untuk menyelesaikan PDP parabolic satu dimensi disusun dengan cara
menentukan syarat awal dan batas
4. Susunan program computer terapan dalam bidang sains dengan
menggunakan metode finite difference untuk menyelesaikan PDP
parabolic satu dimensi yang digunakan adalah menentukan suhu yaitu
panjang batang logam
20
DAFTAR PUSTAKA
Sahyar, (2014), KomputasiSainsFisika, Unimed Press, Medan
Suarga, (2005), FisikaKomputasiSolusiProblematikaFisikadenganMatLab, Andi
Offset, Yogyakarta
http://wiki.verkata.com/id/wiki/Persamaan_diferensial
http://istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/matek/MT%20Persamaan%20Diferensial%20P
arsial.pdf
Boas, Mary L, 1983, Mathematical Methods in the Physical Sciences, Edisi ke-2,
John Wiley and Sons, New York
21
