PAM 573 PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL Topik: Review PDB

PAM 573
PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL
Topik: Review PDB
Mahdhivan Syafwan
PERSAMAAN DIFERENSIAL ?
𝒅𝟐 𝒚
+
𝒅𝒕𝟐
𝒌𝒚 = 𝐬𝐢𝐧 𝒕
𝒖𝒕 + 𝒖𝒖𝒙𝒙 + 𝒖𝒕 = 𝟎
𝒇′′ + 𝒇 = 𝟎
𝝏𝒖
+
𝝏𝒕
𝝏𝟐 𝒖
𝒖 𝟐 + 𝒖𝒙
𝝏𝒙
𝑫𝒕 𝒖 + 𝑫𝒙𝒙 𝒖 = 𝟎
=𝟎
𝒇 + 𝜶𝒇𝒇 = 𝒕
PD → persamaan yang memuat turunan suatu fungsi
Solusi dari suatu PD
→ fungsi yang memenuhi PD tersebut (jika ada)
𝒙, 𝒕
variabel bebas
𝒇, 𝒖, 𝒚
variabel tak-bebas
𝒌, 𝜶
parameter
koefisien
2
Klasifikasi Persamaan Diferensial
• Banyaknya variabel bebas
 Persamaan diferensial biasa (PDB) → satu variabel bebas
 Persamaan diferensial parsial (PDP) → lebih dari satu
variabel bebas
• Orde → turunan tertinggi yang muncul
𝑑2 𝑦
𝑑𝑦
3
+
6
−
10𝑦
= 0 (PDB orde … )
2
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝜕𝑓
𝜕3𝑓
+ 𝛼 3 + 𝛽𝑓 4 = 0
𝜕𝑡
𝜕𝑥
(PDP orde … )
3
Klasifikasi Persamaan Diferensial
• Kelinieran
 Linier → semua variabel tak-bebas dan/atau turunannya
muncul dalam bentuk linier
 Nonlinier → bukan linier
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+
𝜕2 𝑢
𝑢 2
𝜕𝑥
+𝑢 =0
𝑑𝑦
+ 4𝑥𝑦 = 𝑒 4𝑥
𝑑𝑥
(PDP orde … linier/nonlinier? )
(PDB orde … linier/nonlinier? )
4
Klasifikasi Persamaan Diferensial
• Kehomogenan
 Homogen → tidak terdapat suku bukan nol yang
merupakan fungsi terhadap variabel bebas (saja)
 Nonhomogen → terdapat suku bukan nol yang merupakan
fungsi terhadap variabel bebas (saja)
𝑑𝑦
+ 4𝑥𝑦 − 𝑒 4𝑥 = 0
𝑑𝑥
(PDB orde … linier/nonlinier? , homogen/nonhomogen? )
𝜕𝑢
𝜕2𝑢
+ 𝑢 2 + 𝑢𝑥 = 0
𝜕𝑡
𝜕𝑥
(PDP orde … linier/nonlinier? , homogen/nonhomogen? )
5
Klasifikasi Persamaan Diferensial
• Kemandirian (autonomicity)
 Mandiri (autonomous) → koefisien (yang menyertai variabel
tak-bebas atau turunannya) bernilai konstan
 Tak-mandiri (non-autonomous) → koefisien (yang menyertai
variabel tak-bebas atau turunananya) bernilai tak-konstan
𝑑𝑓
+ 4𝑡𝑓 − 𝑒 4𝑓 = 0
𝑑𝑡
(PDB orde … linier/nonlinier? , homogen/nonhomogen? ,
mandiri/takmandiri? )
𝜕𝑢
𝜕𝑡
𝜕2 𝑢
+𝑢 2
𝜕𝑥
+𝑡 =0
(PDP orde … linier/nonlinier? , homogen/nonhomogen? ,
mandiri/takmandiri? )
6
Masalah Nilai Awal ?
Masalah Nilai Batas?
• Masalah Nilai Awal
= Persamaan Diferensial + Nilai Awal
𝑑2𝑓
= 𝑘𝑓,
2
𝑑𝑡
𝑓 0 = 0,
𝑓′ 0 = 0
• Masalah Nilai Batas
= Persamaan Diferensial + Nilai Batas
𝑑2 𝑓
= 𝑘𝑓,
2
𝑑𝑥
𝑓 0 = 0,
𝑓 𝐿 =0
Persamaan diferensial → solusi umum
Masalah nilai awal dan/atau batas → solusi khusus
7
PDB Orde 1: 𝑭 𝒙, 𝒚, 𝒚′ = 𝟎
1. Persamaan diferensial terpisah
Bentuk umum:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
=
𝑕(𝑦)
⇒
Contoh: (i)
𝑑𝑦
𝑑𝑡
Kasus khusus:
= 𝑘𝑦
(ii)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑦
𝑥
=𝑓
Misalkan 𝑦 = 𝑣𝑥 →
Contoh:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
= 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑔 𝑥 𝑕(𝑦)
𝑦−𝑥
𝑦+𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑔 𝑥 𝑑𝑥
𝑥 2𝑦′
=𝑣+𝑥
=
𝑑𝑣
𝑑𝑥
𝑥 2 +1
3𝑦 2 +1
= 𝑓(𝑣)
8
PDB Orde 1: 𝑭 𝒙, 𝒚, 𝒚′ = 𝟎
2. Persamaan diferensial linier
Bentuk umum:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+𝑝 𝑥 𝑦 =𝑞 𝑥
Kalikan kedua ruas dengan faktor integrasi
𝜇 𝑥 =𝑒
Contoh:
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑝 𝑥 𝑑𝑥
− 3𝑦 = 𝑒 2𝑡 , 𝑦 0 = 3
Kasus khusus:
Pers. Bernoulli dan Riccati (nonlinier) ?
→ konversi menjadi pers. linier (kerjakan tugas)
9
PDB Orde 2: 𝑭
′
𝒙, 𝒚, 𝒚 , 𝒚′′
=𝟎
1. Linier, homogen, koefisien konstan
𝒂𝒚′′ + 𝒃𝒚′ + 𝒄𝒚 = 𝟎.
Persamaan karakteristik: 𝒂𝒓𝟐 + 𝒃𝒓 + 𝒄 = 𝟎
(i) Dua akar riil berbeda (𝑟1 , 𝑟2 ∈ ℝ): 𝒚 = 𝑨𝐞𝒓𝟏 𝒙 + 𝑩𝐞𝒓𝟐𝒙
(ii) Akar riil kembar (𝑟1 = 𝑟2 = 𝑟 ∈ ℝ): 𝒚 = 𝑨𝒆𝒓𝒙 + 𝑩𝒙𝒆𝒓𝒙
(iii) Akar kompleks (𝑟1,2 = 𝛼 ± i𝛽) : 𝒚 = 𝐞𝜶𝒙 [𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝜷𝒙 + 𝑩 𝐬𝐢𝐧 𝜷𝒙 ]
Contoh:
1) 𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ + 2𝑦 = 0, 𝑦 0 = 0, 𝑦 ′ 0 = 5
2) 𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 𝑦 = 0, 𝑦 0 = 2, 𝑦 ′ 0 = −1
3) 𝑦 ′′ − 3𝑦 ′ = 0,
𝑦 0 = 4, 𝑦 ′ 0 = −2
10
PDB Orde 2: 𝑭
′
𝒙, 𝒚, 𝒚 , 𝒚′′
=𝟎
2. Linier, nonhomogen, koefisien konstan
𝒂𝒚′′ + 𝒃𝒚′ + 𝒄𝒚 = 𝒇(𝒙).
Solusi: 𝒚 = 𝒚𝑯 + 𝒚𝑷
𝑦𝐻 ≡ solusi homogen : 𝑎𝑦 ′′ + 𝑏𝑦′ + 𝑐𝑦 = 0
𝑦𝑃 ≡ solusi partikular, caranya?
Yang dibahas di sini: metode koefisien tak-tentu (coba-coba)
𝐴𝑚
Contoh: 𝑦 ′′ − 4𝑦′ + 4𝑦 = 2e2𝑥
11
PDB Orde 2: 𝑭
′
𝒙, 𝒚, 𝒚 , 𝒚′′
=𝟎
3. Linier, nonhomogen, koefisien tak-konstan
-> Metode variasi parameter (lihat buku referensi PDB)
𝒚′′ + 𝒑(𝒕)𝒚′ + 𝒒(𝒕)𝒚 = 𝒈(𝒕)
𝒚′′ + 𝒑(𝒕)𝒚′ + 𝒒(𝒕)𝒚 = 𝟎
…(16)
…(18)
12