Barisan dan Deret

Barisan dan Deret
Agus Yodi Gunawan
1
Barisan
1. Definisi. Barisan tak hingga adalah suatu fungsi dengan daerah asalnya himpunan
bilangan bulat positif dan daerah kawannya himpunan bilangan real. Notasi untuk
barisan an adalah a1 , a2 , a3 , · · · , atau {an }∞
n=1 , atau {an }. Barisan dapat dinyatakan
oleh formula eksplisit (contoh, an = 2n + 1, n ≥ 1) atau formula rekursif (contoh,
an = an−1 + 2, n ≥ 2).
2. Barisan konvergen. Barisan {an } dikatakan konvergen ke L, dinotasikan oleh
lim an = L, jika untuk setiap bilangan positif ε ada bilangan positif yang bersesuan→∞
ian N sehingga
N ≤ n ⇒ |an − L| < ε.
Perhatikan bahwa definisi kekonvergenan ini dapat dipandang sebagai definisi limit
di tak hingga dari suatu fungsi. Dalam hal barisan tidak konvergen, maka barisan
tersebut dikatakan barisan yang divergen.
3. Sifat barisan konvergen. Misalkan {an } dan {bn } masing-masing barisan konvergen dam k suatu konstanta. Maka
(a) lim kan = k lim an .
n→∞
n→∞
(b) lim (an ± bn ) = lim an ± lim bn .
n→∞
n→∞
n→∞
(c) lim (an · bn ) = lim an · lim bn .
n→∞
n→∞
n→∞
lim an
an
= n→∞ , asalkan lim bn ̸= 0.
n→∞ bn
n→∞
lim bn
(d) lim
n→∞
4. Beberapa teorema barisan.
(a) Misalkan fungsi f (x) (x merupakan peubah real) adalah fungsi yang bersesuaian dengan barisan f (n) (n bilangan bulat positif). Maka
lim f (x) = L ⇒ lim f (n) = L.
x→∞
n→∞
Fakta ini biasa digunakan pada saat kita memeriksa kekonvergenan barisan
(menguji nilai limit) dengan menerapkan aturan L’Hôpital.
(b) Teorema Apit. Misalkan {an } dan {cn } masing-masing konvergen ke L dan
an ≤ bn ≤ cn untuk n ≥ K (K suatu bilangan bulat tetap). Maka barisan
{bn } juga konvergen ke L.
1
(c) Jika lim |an | = 0, maka lim an = 0. Fakta ini dapat dipergunakan untuk
n→∞
n→∞
memeriksa barisan yang berganti tanda.
(d) Teorema barisan monoton. Misalkan {an } adalah barisan tak turun untuk
n ≥ N , yaitu an ≤ an+1 , n ≥ N . Misalkan pula U suatu bilangan bulat tetap.
Jika an < U untuk setiap n ≥ N , maka barisan {an } konvergen ke L, L < U .
Hal ini mengatakan bahwa barisan tak turun yang terbatas di atas merupakan
barisan yang konvergen. Hal serupa berlaku pada barisan tak naik yang terbatas di bawah.
2
Deret
1. Notasi dan jumlah parsial. Deret tak hingga dinotasikan ole a1 + a2 + a3 + · · · ,
∞
∑
∑
ak , atau
ak . Jumlah parsial ke-n dari deret tersebut dinyatakan oleh
atau
k=1
Sn = a1 + a2 + · · · + an =
n
∑
ak .
k=1
∑
ak konvergen dan memiliki jumlah S
2. Kekonvergenan deret. Deret tak hingga
jika barisan jumlah parsial {Sn } konvergen ke S. Jika barisan jumlah parsial {Sn }
∑
divergen, maka deret
ak dikatakan divergen.
3. Uji suku ke-n. Jika
∑
ak konvergen, maka lim an = 0 . Pernyataan yang sama
n→∞
∑
dengan ini adalah Jika lim an ̸= 0 atau jika limit tersebut tidak ada, maka
ak
n→∞
∑
divergen. Catatan: lim 1/n = 0 tetapi
1/n divergen.
n→∞
∑
∑
4. Kelinearan deret konvergen. Jika
ak dan
bk masing-masing deret konver∑
gen dan α, β konstanta, maka (αak + βbk ) konvergen, dan
∑
∑
∑
(αak + βbk ) = α
ak + β
bk .
Catatan: Jika
∑
ak divergen dan α ̸= 0, maka
∑
αak divergen.
5. Pengelompokan suku-suku deret. Jika suku-suku dari deret konvergen dikelompokkan tetapi tetap mempertahankan urutan suku-sukunya, maka deret yang dihasilkan juga konvergen ke jumlah yang sama dengan deret asalnya.
∑
6. Uji kekonvergenan Deret tak negatif. Jika ak ≥ 0, maka deret
ak dikatakan
∑
deret tak negatif. Jika ak > 0, maka ak dikatakan deret positif. Uji kekonvergenan
deret tak negatif/ positif:
(a) Uji jumlah parsial terbatas. Deret tak negatif
hanya jika jumlah parsialnya terbatas di atas.
2
∑
ak konvergen jika dan
(b) Uji integral. Misalkan f (x) suatu fungsi kontinu, positif, dan tak naik pada
selang [1, ∞). Misalkan pula ak = f (k) untuk setiap bilangan bulat k > 0.
∫∞
∑
Maka,
ak konvergen jika dan hanya jika f (x) dx konvergen.
1
∑
Taksiran galat untuk hampiran jumlah deret. Misalkan deret
ak konvergen ke S. Jika deret tersebut kita hampiri dengan jumlah parsial ke-n, Sn ,
maka galatnya diberikan oleh En = S − Sn = an+1 + an+2 + · · · .
Misalkan f (x) suatu fungsi dengan sifat ak = f (k), dan f (x) fungsi positiff,
∫∞
kontinu, dan tak naik di selang [1, ∞). Maka, En < f (x)dx (hal ini men
nyatakan batas atas untuk galat En ).
(c) Uji deret p. Untuk suatu konstanta p, deret
∑
i. Deret
1/k p konvergen jika p > 1.
k
∑
ii. Deret
1/k p divergen jika p ≤ 1.
∑
1/k p disebut deret-p.
k
k
(d) Uji banding biasa. Misalkan 0 ≤ an ≤ bn untuk n ≥ N .
∑
∑
i. Jika
bn konvergen, maka
an juga konvergen.
∑
∑
ii. Jika
an divergen, maka
bn juga divergen.
(e) Uji banding limit. Misalkan 0 ≤ an , 0 ≤ bn dan lim an /bn = L.
n→∞
∑
∑
i. Jika 0 < L < ∞, maka an dan bn keduanya konvergen, atau keduanya
divergen.
∑
∑
ii. Jika L = 0 dan
bn konvergen, maka
an juga konvergen.
∑
(f) Uji banding suku. Misalkan an adalah deret positif dan lim an+1 /an = ρ.
n→∞
i. Jika ρ < 1, maka deret konvergen.
ii. Jika ρ > 1, atau lim an+1 /an = ∞, maka deret divergen.
n→∞
iii. Jika ρ = 1, uji ini tidak menyimpulkan apa-apa, perlu dilakukan uji yang
lainnya.
∑
7. Deret berganti tanda. Misalkan an ≥ 0. Deret (−1)n an disebut deret berganti
tanda atau deret berayun. Untuk menguji kekonvergenan deret berganti tanda
dapat dilakukan cara berikut:
∑
(a) Misalkan diberikan deret berganti tanda (−1)n an dengan an > an+1 > 0
(suku-sukunya turun). Jika lim an = 0, maka deret berganti tanda konvergen.
n→∞
∑
∑
∑
n
|(−1) an | = an konvergen, maka (−1)n an konvergen.
(b) Jika
∑
8. Konvergen mutlak dan konvergen bersyarat. Misalkan diberikan deret
un .
3
∑
∑
(a) Deret
un dikatakan konvergen mutlak jika
|un | konvergen. Lebih jauh
lagi, jika deret konvergen mutlak maka deret tersebut konvergen.
∑
∑
∑
(b) Deret
un dikatakan konvergen bersyarat jika
un konvergen tetapi
|un |
divergen.
∑
9. Uji banding suku mutlak. Misalkan
un deret dengan suku-sukunya tak nol.
Dengan menggunakan sifat kekonvergenan mulak yang menyebabkan deret konvergen, maka uji (6f) dapat digunakan untuk menyelidiki kekonvergenan deret ini dengan mensubstitusikan an = |un |.
3
Deret pangkat atau deret kuasa
Pada bagian terdahulu telah dipelajari deret dengan suku-suku konstan. Pada bagian ini
akan dipelajari deret dengan suku-sukunya berupa fungsi; suku fungsi yang akan dipelajari
di sini berbentuk un (x) = xn .
1. Definisi. Deret pangkat dalam x adalah deret dengan bentuk
∞
∑
an xn = a0 + a1 + a2 + · · · .
n=0
Selanjutnya akan dinotasikan dengan
saja.
∑
an xn dan disebut dengan deret pangkat
∑
2. Kekonvergenan deret pangkat. Daerah kekonvergenan dari deret pangkat an xn ,
yang disebut himpunan/selang kekonvergenan deret, selalu merupakan salah satu
dari yang berikut:
(a) Titik tunggal, x = 0.
(b) Selang (−R, R), mungkin juga termasuk dengan ujung-ujung selangnya.
(c) Himpunan bilangan real.
Berdasarkan urutan di atas, deret dikatakan mempunyai jari-jari kekonvergenan
0, R, dan ∞.
Himpunan kekonvergenan deret pangkat dapat dicari dengan menggunakan uji banding suku mutlak (9).
∑
Deret pangkat
an xn konvergen mutlak pada titik dalam dari selang kekonvergenannya.
∑
Jika sekarang diberikan deret pangkat berbentuk
an (x − c)n , maka himpunan
kekonvergenan untuk dua urutan pertama menjadi x = c dan (c − R, c + R), sedangkan yang terakhir tetap sama. Demikian pula dengan jari-jari kekonvergenannya, hanya sekarang dengan pusat x = c.
4
3. Operasi pada deret pangkat. Misalkan S(x) merupakan jumlah dari suatu deret
pangkat pada selang I, yaitu
S(x) =
∞
∑
an xn .
n=0
Maka, jika x adalah titik dalam di I (untuk menjamin kekonvergenan),
(a) S ′ (x) =
∞
∑
(an xn )′ =
nan xn−1 .
n=1
n=0
∫x
∞
∑
∞ ∫x
∑
∞
∑
an n+1
x .
n=0 n + 1
n=0 0
0
∑
∑
Operasi Aljabar. Jika f (x) =
an xn dan g(x) =
bn xn keduanya konvergen
paling tidak di |x| < r, maka penjumlahan, pengurangan, dan perkalian dari kedua
deret tersebut konvergen di |x| < r. Khusus untuk pembagian f (x)/g(x) diperlukan
syarat tambahan yaitu b0 ̸= 0.
(b)
S(t) dt =
an tn dt =
4. Formula Taylor dengan galat. Misalkan f (x) suatu fungsi yang dapat diturunkan sebanyak (n + 1) kali untuk setiap x di selang buka I yang memuat titik a.
Maka, untuk setiap x ∈ I,
f (x) = f (a) + f ′ (a)(x − a) +
f ′′ (a)
f (n) (a)
(x − a)2 + · · · +
(x − a)n + Rn (x)
2!
n!
dimana galat (sisa) Rn (x) diberikan oleh
Rn (x) =
f (n+1) (c)
(x − a)n+1
(n + 1)!
dengan c suatu titik diantara x dan a.
5. Deret Taylor. Misalkan f (x) suatu fungsi yang dapat diturunkan tak hingga kali
pada selang (a − r, a + r). Deret Taylor
f ′′ (a)
f (x) = f (a) + f (a)(x − a) +
(x − a)2 + · · ·
2!
′
menyajikan fungsi f (x) pada selang (a − r, a + r) jika dan hanya jika
lim Rn (x) = 0
n→∞
dimana Rn (x) adalah galat formula Taylor.
Jika dipilih a = 0, maka deret di atas disebut deret Maclaurin.
5
6. Deret Binomial. Untuk sembarang bilangan real p dan untuk |x| < 1,
( )
( )
( )
p
p 2
p 3
p
(1 + x) = 1 +
x+
x +
x + ···
1
2
3
( )
p
p!
=
dengan
.
k
k!(p − k)!
7. Hampiran Taylor. Diberikan fungsi f (x) yang dapat diturunkan hingga n kali di
selang I dan a ∈ I. Sukubanyak Taylor orde-n dari f (x) di sekitar x = a adalah
f ′′ (a)
f (n) (a)
2
Pn (x) = f (a) + f (a)(x − a) +
(x − a) + · · · +
(x − a)n .
2!
n!
Jika dipilih a = 0, maka sukubanyak di atas disebut sukubanyak Maclaurin berorden.
Hampiran Taylor berorde -n untuk fungsi f (x) adalah f (x) ≈ Pn (x).
Untuk n = 1, biasa disebut hampiran linear untuk fungsi f (x). Secara geometri,
hampiran ini merupakan garis singgung kurva f (x) di titik x = a.
′
Beberapa deret Maclaurin yang penting diingat.
1
= 1 + x + x 2 + x3 + x4 + · · ·
1−x
x2 x3 x4
ln(1 + x) = x −
+
−
+ ···
2
3
4
x3 x5 x7
arctan x = x −
+
−
+ ···
3
5
7
x2 x3 x5
ex = 1 + x +
+
+
+ ···
2!
3!
5!
x3 x 5 x7
sin x = x −
+
−
+ ···
3!
5!
7!
x2 x4 x 6
cos x = 1 −
+
−
+ ···
2!
4!
6!
x3 x 5 x7
sinh x = x +
+
+
+ ···
3!
5!
7!
x2 x4 x6
+
+
+ ···
cos x = 1 +
2!
4!
6!
()
()
()
(1 + x)p = 1 + p1 x + p2 x2 + p3 x3 + · · ·
−1 < x < 1
−1 < x ≤ 1
−1 ≤ x ≤ 1
x∈R
x∈R
x∈R
x∈R
x∈R
−1 < x < 1
Latihan
1. Periksa kekonvergenan
nilai limitnya.
√ barisan berikut; jika konvergen tentukan
2
2
ln(1/n)
1
1
3n + 2
sin n
an = e−n sin n; an =
; an = √
+ √
; an = √ ; an = √
n
3
2n + 1
n
n
2n
3
3
2
1 1
1 1
1
,
, · · · ; sin 1, 2 sin(1/2), 3 sin(1/3), · · · ; 1 − 2 , 2 − 3 , 3 − 4 , · · ·
1, 2
2 − 12 32 − 22
6
2. Gunakan teorema barisan monoton untuk menunjukkan bahwa barisan berikut konvergen:
an = (1 − 12 )(1 − 91 ) · · · (1 − n12 ), n ≥ 2; an+1 = 12 (an + a2n ), a1 = 2.
(
)
[
]
n
n
∑
∑
k 1
1
1
sin
3. Hitung: (a) lim
, (b) lim
.
2
n→∞ k=1
n→∞
n n
n
k=1 1 + (k/n)
4. Periksa kekonvergenan deret berikut:
[ ( )k
) ∑
)k
( )k ] ∑
∞ (
∞
∞ (
∞
∑
∑
1
1
1
1
2k k!
1
2
+3 −
,
−
,
,
.
1−
4
5
k
k
−
1
(k
+
2)!
k
k=0
k=2
k=1
k=1
5. Tuliskan desimal berulang berikut sebagai deret tak hingga dan tentukan jumlah
deretnya: 0, 21212121 · · · ; 0, 36717171 · · · .
6. Tuliskan jumlah parsial ke-n untuk deret
∞
∑
k=1
ln
k
, kemudian perlihatkan
(k + 1)
bahwa deret ini divergen.
(
)
∞
∑
1
7. Tunjukkan bahwa
ln 1 − 2 = − ln 2.
k
k=2
8. Gunakan uji integral untuk menyelidiki kekonvergenan deret berikut:
∞
∞
∑
∞ k2
∑
∑
1000
−3k2
ke
,
,
.
k
k(ln k)2
k=1 e
k=1
k=1
9. Periksa kekonvergenan deret berikut:
) ∑
∞
∞
∞ (
∞
∑
∞ k
∑
1 ∑ arctan k ∑ 1
1
1
k
sin
,
,
,
−
,
.
3
2
2
k
k
1
+
k
k
k
+
1
1
+
4k
k=1 e
k=1
k=1
k=1
k=1
10. (a) Taksir galat untuk hampiran deret berikut sampai dengan 3 suku pertama; (b)
Tentukan seberapa banyak suku yang diambil agar galat hampirannya tidak lebih
dari 0,0002 untuk deret berikut:
∞
∞
∑
∑
1
1
,
.
2
k(k
+
1)
k=1 1 + k
k=1
11. Gunakan uji-uji kekonvergenan untuk deret tak negatif berikut:
∞
∞
∞ k2 + 1
∑
∑
∑
4k 3 + 3k
52k ln 2 ln 3 ln 4
,
,
;
+ 2 + 2 + ···
3k
k 5 − 4k 2 + 1 k=1 k! 22
3
4
k=1
k=1
∑
12. Uji akar. Jika an > 0 dan lim (an )1/n = R, maka
an konvergen jika R < 1 dan
n→∞
∑
an divergen jika R > 1. Gunakan uji ini untuk menyelidiki kekonvergenan deret:
(
)k ∞ (
)k
∞
∑
∑
k
1
,
ln k
3k + 2
k=2
k=2
7
13. Dalam beberapa kasus, untuk menguji kekonvergenan deret terkadang menjadi mudah bila menggunakan manipulasi sifat logaritma. Periksa kekonvergenan deret
(
) ∞
)2
∞ (
∞
∑
∑
∑
ln k
1
1
berikut:
,
.
ln 1 +
,
ln k
k
k
k=1
k=2 (ln k)
k=1
14. Periksa kekonvergenan (konvergen absolut/bersyarat atau divergen) deret berganti
tanda berikut: ∞
∞
∞
∞
∑ (−1)k sin k ∑
∑
(−1)k
1 ∑ (−3)k+1
√
√
,
k sin ,
,
k k=1
k2
k 2 − 1 k=1
k k
k=1
k=1
15. Tentukan himpunan kekonvergenan dari deret pangkat berikut:
x
x2
x3
x4
+
−
+
− ···
1·3 2·4 3·5 4·6
(x + 2)2 (x + 2)3
1 + (x + 2) +
+
+ ···
2!
3!
x − 2 (x − 2)2 (x − 2)3 (x − 2)4
+
+
+
+ ···
12
22
32
42
∞
∑
1 · 2 · 3···k
x2k+1
k=1 1 · 3 · 5 · · · (2k − 1)
∞ (pk)!
∑
xk , untuk p bilangan bulat positif.
p
k=0 (k!)
(a) 1 −
(b)
(c)
(d)
(e)
16. Tentukan deret pangkat fungsi berikut serta himpunan kekonvergenannya:
∫x
f (x) = x2 /(1 − x2 ), f (x) = 0 arctan t dt, f (x) = e−x arctan x
∫x
f (x) = arctan x/(1 + x2 + x4 ), f (x) = 0 arctan t/t dt
17. Tentukan jumlah deret berikut:
∞
∞
∑
∑
kxk ;
k(k + 1)xk ; cos x + cos2 x + cos3 x + · · · ; x − x2 + x3 − x4 + · · · .
k=1
k=1
18. Tentukan lima suku pertama dari deret Maclaurin untuk fungsi-fungsi berikut:
√
f (x) = ex + x + sin x, f (x) = 1/(1 − sin x), f (x) = cos x/ 1 + x.
19. Gunakan sukubanyak Maclaurin orde 4 untuk menghampiri nilai f (0, 4) dari fungsi√
fungsi berikut: f (x) = ln(1 + x), f (x) = 1 + x.
20. Tentukan nilai taksiran yang cukup baik untuk nilai maksimum dari fungsi-fungsi
berikut, dengan c terdapat pada selang yang dituliskan:
| tan c + sec c|, [0, π/4]; | cos c/(c + 2)|, [0, π/4]; |(c2 − c)/ cos c|, [0, π/4]
8