Aljabar Linear Elementer

Aljabar Linear Elementer
MA1223
3 SKS
Silabus :
Bab
Bab
Bab
Bab
Bab
Bab
Bab
Bab
I
Matriks dan Operasinya
II Determinan Matriks
III Sistem Persamaan Linear
IV Vektor di Bidang dan di Ruang
V Ruang Vektor
VI Ruang Hasil Kali Dalam
VII Transformasi Linear
VIII Ruang Eigen
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
1
RUANG VEKTOR
Sub Pokok Bahasan
– Ruang Vektor Umum
– Subruang
– Basis dan Dimensi
– Basis Subruang
Beberapa Aplikasi Ruang Vektor
 Beberapa metode optimasi
 Sistem Kontrol
 Operation Research
 dan lain-lain
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
2
Ruang Vektor Umum
Misalkan u , v , w  V dan k, l  Riil
V dinamakan ruang vektor jika terpenuhi aksioma :
1. V tertutup terhadap operasi penjumlahan
Untuk setiap u , v  V maka u  v  V
2. u  v  v  u
3. u  v  w   u  v   w
4. Terdapat 0 V sehingga untuk setiap u V
berlaku u  0  0  u  u
5. Untuk setiap u V
terdapat  u  sehingga
u   u    u   u  0
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
3
6. V tertutup thd operasi perkalian dengan skalar.
Untuk setiap u V
dan k  Riil maka ku V
7. k u  v   ku  kv
8.
k  l  u  ku  lu
9. k l u   l k u   kl u
10. 1. u  u
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
4
Contoh :
1. Himpunan vektor Euclides dengan operasi standar
(operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan
skalar).
Notasi : Rn (Ruang Euclides orde n)
2. Himpunan matriks berukuran m x n
dengan operasi standar (penjumlahan matriks
dan perkalian matriks dengan skalar),
Notasi : Mmxn (Ruang Matriks mxn)
3. Himpunan polinom pangkat n dengan operasi standar.
Notasi : Pn (Ruang Polinom orde n)
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
5
Ruang Euclides orde n
Operasi-Operasi pada ruang vektor Euclides:
• Penjumlahan
u  v  u1  v1 , u 2  v2 , ..., u n  vn 
• Perkalian dengan skalar Riil sebarang (k)
ku  ku1 , ku2 ,..., kun 
• Perkalian Titik (Euclidean inner product)
u  v  u1v1  u 2 v2  ...  u n vn
• Panjang vektor didefinisikan oleh :
u  u  u 
1
2
 u1  u 2  ...  u n
2
2
2
• Jarak antara dua vektor didefinisikan oleh :
d u , v   u  v
13/03/2014 13:12

u1  v1 2  u 2  v2 2  ...  u n  vn 2
MA-1223 Aljabar Linear
6
Contoh :
Diketahui u  1, 1, 2, 3 dan v  2, 2, 1, 1
Tentukan panjang vektor dan jarak antara kedua
vektor tersebut
Jawab:
Panjang vektor :
1
2
2
2
2
u  u  u  2  1  1  2  3  15
v  22  22  12  12  10
Jarak kedua vektor
d u , v   u  v


1  22  1  22  2 12  3 12
 12   12  12  22
 7
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
7
Misalkan W merupakan subhimpunan dari sebuah
ruang vektor V
W dinamakan subruang (subspace) V
jika W juga merupakan ruang vektor
yang tertutup terhadap operasi penjumlahan dan
perkalian dengan skalar.
Syarat W disebut subruang dari V adalah :
1. W  { }
2. W  V
3. Jika u , v W maka u  v  W
4. Jika u  W dan k  Riil maka k u  W
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
8
Contoh :
Tunjukan bahwa himpunan W yang berisi semua
matriks orde 2x2 dimana setiap unsur diagonalnya
adalah nol merupakan subruang dari ruang vektor
matriks 2x2
Jawab :
 0 0
 W maka W 
1. O  
 0 0
2. Jelas bahwa W  M2x2

3. Ambil sembarang matriks A, B  W
Tulis
0
A  
 a2
13/03/2014 13:12
a1 
0
 dan B  
0
 b2
b1 

0
MA-1223 Aljabar Linear
9
Perhatikan bahwa :
 0 a1   0 b1 
  

A  B  
 a2 0   b2 0 
a1  b1 
 0

 
0 
 a2  b2
Ini menunjukan bahwa A  B  W
4. Ambil sembarang matriks A  W dan k  Riil
maka
 0 ka1 
  W
kA  
 ka2 0 
Ini menunjukan bahwa kA W
Jadi, W merupakan Subruang dari M2x2.
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
10
Contoh :
Periksa apakah himpunan D yang berisi semua
matriks orde 2x2 yang determinannya nol
merupakan subruang dari ruang vektor M2x2
Jawab :
Ambil sembarang matriks A, B  W
Pilih a ≠ b :
 a b  , jelas bahwa det (A) = 0

A  
 0 0
 0 0  , jelas bahwa det (A) = 0

B  
b a
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
11
Perhatikan bahwa :
A B
a b

= 
b a
Karena a ≠ b
Maka det (A + B ) = a2 – b2 ≠ 0
Jadi D bukan merupakan subruang
karena tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
12
Sebuah vektor
u
dinamakan kombinasi linear dari vektor – vektor
v1, v2 , … , vn
jika vektor – vektor tersebut
dapat dinyatakan dalam bentuk :
u  k1v1  k2v2  ...  knvn
dimana k1, k2, …, kn adalah skalar Riil.
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
13
Contoh
Misal
u = (2, 4, 0), dan v = (1, –1, 3)
adalah vektor-vektor di R3.
Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear
dari vektor – vektor di atas
a.
a = (4, 2, 6)
b. b = (1, 5, 6)
c.
c
= (0, 0, 0)
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
14
Jawab :
a. Tulis k1u  k 2 v  a
akan diperiksa apakah ada k1, k2,
sehingga kesamaan tersebut dipenuhi.
 2 
 1 
 4 






k1  4   k 2  - 1    2 
 0 
 3 
 6 






Ini dapat ditulis menjadi:
 2 1 


4
1


 0 3 


13/03/2014 13:12
 k1 
 4 





2




 k 
 6 


 2
MA-1223 Aljabar Linear
15
dengan OBE, diperoleh:
 1 12 2   1 12

 
 1 -3 -6 ~ 0 1
 0 3 6   0 0

 
2
2
0





Dengan demikian,
a merupakan kombinasi linear dari vektor u dan v
atau
 

a  u  2v
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
16
b. Tulis :

 
k1u  k 2 v  b
 2 


k1  4   k 2
 0 


1 
 1 
 


1

5
 


 3
 6 
 


ini dapat ditulis menjadi:
 2 1 
 1 

  k1  

   5 
 4 - 1  
 0 3   k2   6 




13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
17
dengan OBE dapat kita peroleh :
2 1

 4 -1
 0 3

1
5
6
  1 12
 
 ~ 0 -3
  0 3
 
0
3
6
 1
 
~ 0
  0
 
1
2
1
0
1


2
3 
2
Baris terakhir pada matriks ini menunjukkan bahwa
SPL tersebut adalah tidak konsisten
(tidak mempunyai solusi).
Jadi, tidak ada nilai k1 dan k2 yang memenuhi
 b tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear
dari u dan v
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
18
c. Dengan memilih k1 = 0 dan k2 = 0,
maka dapat ditulis

 
k1u  k 2 v  c
artinya vektor nol merupakan kombinasi linear
dari vektor apapun.
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
19
Definisi membangun dan bebas linear
Himpunan vektor
S  v1 , v2 , ... , vn 
dikatakan membangun suatu ruang vektor V
jika setiap vektor pada V selalu dapat dinyatakan
sebagai kombinasi linear dari vektor – vektor di S.
Contoh :
Tentukan apakah
v1 = (1, 1, 2),
v2 = (1, 0, 1), dan
v3 = (2, 1, 3)
13/03/2014 13:12
membangun V???
MA-1223 Aljabar Linear
20
Jawab :
Ambil sembarang vektor di R2
misalkan
.
Tulis :
 u1 
 
u  u2 
u 
 3
u  k1v1  k 2 v2  k 3 v3
.
Sehingga dapat ditulis dalam bentuk :
1 1 2  k1 
 u1 
1 0 1   k    u 
 2

  2
u 
2 1 3  k3 
 3
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
21
Syarat agar dapat dikatakan kombinasi linear
SPL tersebut harus mempunyai solusi (konsisten)
Dengan OBE diperoleh :
Agar SPL itu konsisten haruslah u3 – u2 – u1 = 0
Ini kontradiksi dengan pengambilan vektor sembarang
(unsur – unsurnya bebas, tak bersyarat)
Dengan demikian vektor – vektor tersebut
tidak membangun R3
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
22
Misalkan S  u1 , u 2 ,..., u n 
adalah himpunan vektor diruang vektor V
S dikatakan bebas linear (linearly independent)
JIKA SPL homogen :
k1u1  k 2 u1  ...  k n u n  0
hanya mempunyai satu solusi (tunggal), yakni
0
k1 , 0 k 2 ,...,
kn  0
Jika solusinya tidak tunggal
maka S kita namakan himpunan tak bebas linear
(Bergantung linear / linearly dependent)
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
23
Contoh :
Diketahui u   1, 3, 2 dan a  1, 1,  1
Apakah saling bebas linear di R3
Jawab :
Tulis

 
k1u  k 2 a  0
atau
 -1 1 

  k1 
1    
 3
 2  1   k2 


13/03/2014 13:12
 0
 
 0
 0
 
MA-1223 Aljabar Linear
24
dengan OBE dapat diperoleh :
 -1 1 0 
1



1 0  ~ 0
 3
 2 1 0 
0



 1 0
1 0 0



4 0 ~ 0 1 0
0 0 0
1 0 


dengan demikian diperoleh solusi tunggal yaitu :
k1 = 0, dan k2 = 0.
Ini berarti ū dan ā adalah saling bebas linear.
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
25
Contoh :
Misalkan
,  1
 
a  3 
 2
 
 2 
1
 
 
b   1  c    6
  1
  4
 
 
,
Apakah ketiga vektor diatas saling bebas linear R3
Jawab :
Tulis :
0  k1 a  k 2 b  k 3 c
atau
2   k1 
1 1

 
 3 1  6  k 2 =
 2  1  4  k3

 
13/03/2014 13:12
0
 
0
0
 
MA-1223 Aljabar Linear
26
dengan OBE diperoleh :
1
1  1  2



0  ~ 0
0 4
0 1
0
0 


 1  2

1
0 
0
0 
Ini menunjukan bahwa
k1, k2, k3 mrp solusi tak hingga banyak
Jadi
a , b , c adalah vektor-vektor yang bergantung linear.
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
27
Basis dan Dimensi
Jika V adalah sembarang ruang vektor
dan S = { ū1, ū2, … , ūn } merupakan
himpunan berhingga dari vektor – vektor di V,
maka S dinamakan basis bagi V
Jika kedua syarat berikut dipenuhi :
• S membangun V
• S bebas linear
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
28
Contoh :
Tunjukan bahwa himpunan matriks berikut :


M 


3 6 
3  6,


 8   1 0 
 0  1  0

,
,
 1 0   12  4  1 2 

 
 
 

merupakan basis bagi matriks berukuran 2 x 2
Jawab :
Tulis kombinasi linear :
3 6 
k1 
 k2

3  6
atau
 0  1
 1 0   k3


3k1  k 4


 3k1  k 2  12k 3  k 4
13/03/2014 13:12
 0  8
 12  4  k4


 1 0  a b 
  1 2   c d 

 

6k1  k 2  8k 3   a b 
  

 6 k1  4k 3  2 k 4   c d 
MA-1223 Aljabar Linear
29
dengan menyamakan setiap unsur
pada kedua matriks, diperoleh SPL :
0
0
1   k1   a 
 3
 6 1  8 0  k  b 

  2   
 3  1  12  1  k3   c 

    
 6 0  4 2   k 4   d 
Determinan matriks koefisiennya (MK) = 48
• det(MK)  0  SPL memiliki solusi
untuk setiap a,b,c,d
Jadi, M membangun M2 x 2
• Ketika a = 0, b = 0, c = 0, d = 0,
det(MK)  0 SPL homogen punya solusi tunggal.
Jadi, M bebas linear.
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
30
Karena M bebas linear dan membangun M2 x 2
maka M merupakan basis bagi M2 x 2.
Ingat…
Basis untuk setiap ruang vektor adalah tidak tunggal.
Contoh :
Untuk ruang vektor dari M2 x 2, himpunan matriks :



1 0 0 1 0 0 0 0 
0 1, 0 0, 1 0, 0 1 

 
 
 
 
juga merupakan basisnya.
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
31
Misalkan matriks :
 1  2 1 1 


A 1
2
3 1 
 1

2
2

1


Vektor baris
Vektor kolom
dengan melakukan OBE diperoleh :
Perhatikan kolom-kolom pada matriks hasil OBE
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
32
matriks A mempunyai basis ruang kolom yaitu :
  1   1 
    
 1 ,  3  
 1   2  
    
basis ruang baris diperoleh dengan cara,
Mentransposkan terlebih dahulu matriks A,
lakukan OBE pada At, sehingga diperoleh :
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
33
Kolom-kolom pada matriks hasil OBE yang memiliki
satu utama berseseuaian dengan matriks asal (A).
Ini berarti,
matriks A tersebut mempunyai basis ruang baris :
  1   1  
    
  2   2  
 ,   
  1   3  
 1    1 


Dimensi basis ruang baris = ruang kolom
dinamakan rank.
Jadi rank dari matriks A adalah 2.
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
34
Contoh :
Diberikan SPL homogen :
2p + q – 2r – 2s = 0
p – q + 2r – s
=0
–p + 2q – 4r + s = 0
3p – 3s
=0
Tentukan basis ruang solusi dari SPL diatas
Jawab :
SPL dapat ditulis dalam bentuk :







13/03/2014 13:12
2 1 2 2
1 1 2 1
1 2  4 1
3 0
0 3
0

0
0

0 
MA-1223 Aljabar Linear
35
dengan melakukan OBE diperoleh :
1

0
0

0

0 0 1
1 2 0
0 0
0
0 0
0
0

0
0

0 
Solusi SPL homogen tersebut adalah :
 p 1  0
     
 q   0  2
 r    0 a   1 b
     
 s  1  0
     
dimana a, b merupakan parameter.
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
36
Jadi, basis ruang solusi dari SPL diatas adalah :







1
 
0
0 ,
 
1
 
0 
 
 2 
1 
 
0 
 
Dimensi dari basis ruang solusi dinamakan nulitas.
Dengan demikian, nulitas dari SPL diatas adalah 2.
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
37
Latihan Bab 5
6 3
1.Nyatakanlah matriks 

 0 8
sebagai kombinasi linear dari matriks berikut :
 1 2 0
  1 3 , 

 2
1
 4  2
, dan 


0

2
4


2. Periksa, apakah himpunan berikut bebas linear !
a.{6 – x2 , 6 + x + 4x2 }
b.{1 + 3x + 3x2, x + 4x2, 5 + 6x + 3x2, 7 + 2x – x2}
3. Periksa, apakah himpunan A = {6 – x2 , 6 + x + 4x2 }
membangun polinom orde 2 !
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
38
4. Periksa, apakah himpunan berikut merupakan
basis bagi polinom orde 2 (P2)
a.{4 + 6x + x2, – 1 + 4x + 2x2, 5 + 2x – x2}
b.{– 4 + x + 3x2, 6 + 5x + 2x2, 8 + 4x + x2}
5. Misalkan
2
J 
a  bx  cx

a 2  b2  c2 


merupakan himpunan bagian dari ruang vektor
Polinom orde dua.
Periksa apakah J merupakan subruang
dari ruang vektor Polinom orde dua
Jika ya, tentukan basisnya
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
39
6. Diberikan SPL homogen :
p + 2q + 3 r = 0
p + 2q – 3 r = 0
p + 2q + 3 r = 0,
Tentukan basis ruang solusi (buktikan)
dan tentukan dimensinya.
7. Tentukan rank dari matriks :
 1  2  1 1 
1

2
3

1


 1
2
2  1
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
40