Bab VI Ruang Hasilkali Dalam

Aljabar Linear Elementer
MA1223
3 SKS
Silabus :
Bab
Bab
Bab
Bab
Bab
Bab
Bab
Bab
I
Matriks dan Operasinya
II Determinan Matriks
III Sistem Persamaan Linear
IV Vektor di Bidang dan di Ruang
V Ruang Vektor
VI Ruang Hasil Kali Dalam
VII Transformasi Linear
VIII Ruang Eigen
24/07/2017 7:36
MA-1223 Aljabar Linear
1
Ruang Hasilkali Dalam (RHD)
Sub Pokok Bahasan
– Definisi RHD
– Himpunan Ortonormal
– Proses Gramm Schmidt
Aplikasi RHD :
bermanfaat dalam beberapa metode optimasi,
seperti metode least square dalam peminimuman BER
dalam berbagai bidang rekayasa.
24/07/2017 7:36
MA-1223 Aljabar Linear
2
Definisi
Misalnya V adalah suatu ruang vektor, dan u , v  V
maka notasi < , > dinamakan hasil kali dalam
jika memenuhi keempat aksioma sebagai berikut:
1.  u, v    v, u 
2.  u  v , w    u , w    v , w 
3.
(Simetris)
(Aditivitas)
untuk suatu kR,  k u , v    u , k v   k  u , v 
(Sifat Homogenitas)
4.  u , u   0 , untuk setiap u
(Sifat Positifitas)
dan
 u, u   0  u  0
Ruang vektor yang dilengkapi dengan operasi hasilkali
dalam dinamakan Ruang Hasilkali Dalam (RHD)
24/07/2017 7:36
MA-1223 Aljabar Linear
3
Jika V merupakan suatu ruang hasil kali dalam,
maka norm (panjang) sebuah vektor u
dinyatakan oleh :
u
  u, u  2  0
1
Sudut antara dua vektor dalam suatu RHD :
 u, v 
cos  
u v
Contoh 1 :
Ruang Hasil Kali Dalam Euclides ( Rn )
Misalkan u , v  Rn maka  u , v  u1v1  u 2 v2  ...  u n vn
u   u, u 
1
2
0
= (u12 + u22 + …..+un2)½
24/07/2017 7:36
MA-1223 Aljabar Linear
4
Contoh 2 :
Misalnya W  R3 yang dilengkapi dengan operasi
hasil kali  u , v   2u1v1  u2v2  3u3v3 ,
dimana u , v  W
Buktikan bahwa W adalah ruang hasilkali dalam
Jawab :
Misalkan u , v , w  W
 u, v   2u1v1 + u2v2 + 3u3v3
= 2 v1u1 + v2u2+ 3v3u3
  v, u 
(terbukti simetris)
24/07/2017 7:36
MA-1223 Aljabar Linear
5
(ii )  u  v , w   <(u1+v1, u2+v2, u3+v3), (w1, w2, w3)>
= 2(u1+ v1)w1 + (u2+v2)w2 + 3(u3+v3)w3
= 2u1w1+2v1w1+u2w2 +v2w2+3u3w3+3v3w3
= 2u1w1+u2w2+3u3w3+2v1w1+v2w2+3v3w3
  u, w    v, w 
(bersifat aditivitas)
(iii) untuk suatu kR,
 k u , v   <(ku1, ku2, ku3), (v1, v2, v3)>
= 2ku1v1 + ku2v2 + 3ku3v3
= k2u1v1 + ku2v2 + k.3u3v3
 k  u, v    u, k v 
24/07/2017 7:36
MA-1223 Aljabar Linear
(bersifat homogenitas)
6
(iv )  u , u   2u1  u2  3u3
2
2
2
1
Jelas bahwa  u , u  2  0 untuk setiap u
dan  u , u   0 hanya jika u  0
Contoh :
Tunjukan bahwa  u , v   u1v1  2u2v2  3u3v3
bukan merupakan hasil kali dalam
Jawab :
Perhatikan
2
2
2
 u , u   2u1  u2  3u3
Pada saat 3u32 > u12 + 2u22
maka
 u, u   0
24/07/2017 7:36
Tidak memenuhi
Sifat positivitas
MA-1223 Aljabar Linear
7
Himpunan Ortonormal
Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam
dinamakan himpunan ortogonal
jika semua pasangan vektor yang berbeda dalam
himpunan tersebut adalah ortogonal (saling tegak
lurus).
Himpunan ortonormal  himpunan ortogonal yang
setiap vektornya memiliki panjang (normnya) satu.
Misalkan, T  c1 , c2 ,..., cn  pada suatuRHD
T dikatakan himpunan vektor ortogonal jika
 ci , c j   0
untuk setiap i ≠ j
Sedangkan, T dikatakan himpunan vektor ortonormal
jika untuk setiap i berlaku ci  1
24/07/2017 7:36
MA-1223 Aljabar Linear
8
Contoh :
1. A    1 
 -1
   
  0 ,  0

 

Pada RHD Euclides, A bukan himpunan ortogonal.
2.

 1   0  
 
B     

  0 ,  -1  
Pada RHD Euclides, B merupakan himpunan
ortonormal.
24/07/2017 7:36
MA-1223 Aljabar Linear
9
Misalkan
S  v1 , v2 ,..., vn 
adalah basis ortonormal untuk RHD V
Jika u adalah sembarang vektor pada V,
maka
u  k1v1  k 2 v2  ...  k n vn
Perhatikan bahwa, untuk suatu i berlaku :
 u , vi    k1v1  k 2 v2  ...  k n vn , vi 
 k1  v1 , vi  k2  v2 , vi  ...  ki  vi , vi  ...  kn  vn , vi 
Karena S merupakan himpunan ortonormal dan
 vi , v j  0 untuk setiap i  j
24/07/2017 7:36
dan
 vi , vi   1 untuk setiap i
MA-1223 Aljabar Linear
10
Sehingga, untuk setiap i berlaku
 u , vi  k i
Kombinasi linear u  k1v1  k 2 v2  ...  k n vn
Ditulis menjadi
u  u , v1  v1   u , v2  v2  ...  u , vn  vn
Contoh :
Diketahui
1
RHD
a    pada
 2
berupa bidang yang dibangun
 1 


2
u 

1


2

Euclides
 1



dan v   1 2 


2


Nyatakan a sebagai kombinasi linear dari u dan v
24/07/2017 7:36
MA-1223 Aljabar Linear
11
Jawab :
a  k1u  k 2 v
a  a , u  u   a , v  v
1
a    
 2
a
24/07/2017 7:36
3
2
1 
 , 
 2 
u  
1
Ingat …..
{u , v} merupakan
Basis ortonormal

1  1 2 
 u   , 
 v



1
 2   2 
2
2
1
1
2
v
MA-1223 Aljabar Linear
12
Proses Gramm-Schmidt
S   c1 , c2 ,  cn

B  w1 , w2 , ... , wn 
basis bagi suatu RHD V
basis ortonormal bagi V
Langkah yang dilakukan
c1
1. w1 
c1
24/07/2017 7:36
MA-1223 Aljabar Linear
13
w2
c2
2. Langkah kedua
c2
q1
w2
w1
p1
 c2 , w1  w1
p1  proy w1 c2 
 c 2 , w1  w1
w1
w2 
q1  c2  p1
c 2   c 2 , w1  w1
c 2 ,  c 2 , w1  w 2
24/07/2017 7:36
Vektor satuan searah
MA-1223 Aljabar Linear
q1
14
3. Langkah ketiga
c3
w3
c3
q2
w3
W
p2
w1
w2
p2  proyW c3  c3 , w1  w1   c3 , w2  w2
c3   c3 , w1  w1   c3 , w2  w2
w3 
c3   c3 , w1  w1   c3 , w2  w2
24/07/2017 7:36
MA-1223 Aljabar Linear
q 2  c3  p 2
Vektor satuan
Yang tegak lurus
Bidang W
15
Contoh :
Diketahui :

1
0
 0 




 

B  u1  1, u 2   1 , u 3   0 
1
1
 1 

 
 
 

B merupakan basis pada RHD Euclides di R3.
Transformasikan basis tersebut menjadi basis
Ortonormal
Jawab :
Langkah 1.
u1
1, 1, 1
v1 

u1
3
24/07/2017 7:36









1 

3
1 

3
1 

3
MA-1223 Aljabar Linear
16
Langkah 2
v2 
u2  proyv1 u2
u2  proyv1 u2
Sementara itu,
u2  proyv1 u2  u2  u2 , v1 v1
2  1
1
1 


,
,
3 3
3
3
 2 1 1
  , , 
 3 3 3
 0, 1, 1 
Karena itu,
u 2  proy v1 u 2 
sehingga :
24/07/2017 7:36




v2  




4
9
 19  19 
6
3
2 

6
1 

6 
1 

6 
MA-1223 Aljabar Linear
17
Langkah 3
v3 
u3  proyW u3
u3  proyW u3
Sementara itu,
u3  proyW u3  u3  u3 , v1 v1  u3 , v2 v2
1  1 1 1 
1  2 1 1 


 

 0, 0,1 
,
,
,
,


3 3 3 3
6
6 6 6
1 1

  0,  , 
2 2

sehingga :
24/07/2017 7:36
 0 


1
v3    2 
 1 
 2 
MA-1223 Aljabar Linear
18
Jadi,


v1, v2 , v3 = 




1
3
1
3
1
3
   2   0 
  6 

,  16 ,   12 
  1   1 
  6   2 
merupakan basis ortonormal untuk ruang vektor R3
dengan hasil kali dalam Euclides
24/07/2017 7:36
MA-1223 Aljabar Linear
19
Contoh :
 1   0 
   
Diketahui bidang yang dibangun oleh  0 ,  1 
 1   1 
   
merupakan subruang
dari RHD Euclides di R3
Tentukan proyeksi orthogonal dari vektor
1
 
u  1
1
 
pada bidang tersebut.
24/07/2017 7:36
MA-1223 Aljabar Linear
20
Jawab :
Diketahui  1 
0
 
 
v1   0  , v 2   1 
1
1
 
 
merupakan basis bagi subruang pada RHD tsb.
Karena
v1 , v2 
Selain membangun subruang pada RHD
himpunan tsb juga saling bebas linear
(terlihat bahwa ia tidak saling berkelipatan).
Langkah awal :
Basis tersebut  basis ortonormal.
24/07/2017 7:36
MA-1223 Aljabar Linear
21
v
w1  1
v1
1 , 0 ,1
12  02  12
1 , 0 ,1


2
1 
 1
 
,0 ,

2
 2
Perhatikan bahwa : v2 , w1   0 ,1 ,1  1 , 0 , 1  
 2
00

24/07/2017 7:36
2
1
2
1
2
MA-1223 Aljabar Linear
22
Sehingga:
1  1
1 
v2 , w1 w1 

,0 ,

2 2
2
1
1
  ,0 , 
2
2
1
1
v2  v2 , w1 w1  0 ,1 ,1   , 0 , 
2
2
1
 1
   ,1 , 
2
 2
Akibatnya :
2
 1
1
v2  v2 , w1 w1      12   
 2
2
24/07/2017 7:36

1
1
1
4
4

6
4

1
6
2
2
MA-1223 Aljabar Linear
23
Akhirnya, diperoleh
v2  v2 , w1 w1
w2 
v2  v2 , w1 w1
1
 1
  ,1 , 
2
2

1
6
2
 1
2 1 
=
  
,
,
6
6
6

Jadi Basis Orthonormal bagi bidang tsb









24/07/2017 7:36







1 

2
0 
1 
2 




,




1 

6
2 

6 
1 

6 









MA-1223 Aljabar Linear
24
Proyeksi Orthogonal Vektor
1
 
u  1
1
 
pada bidang tersebut adalah
Pr oy W u  u , w1 w1  u , w2 w2
Perhatikan bahwa :
1 
 1
u , w1   1 ,1 ,1 
,0 ,
 
2
 2
dan
1
1

0 
 1
2 1 
2
2
 
 u , w2    1 ,1 ,1  
,
,
6
6
6

2

1
2
1
2
2




 2
24/07/2017 7:36
6
MA-1223 Aljabar Linear
6
6
6
25
Dengan demikian,
Pr oy W u  u , w1 w1  u , w2 w2
 1
 
1  3 
   2 
= 0 


1  3 
1
 


 3 








24/07/2017 7:36
2

3
2
3
4

3
MA-1223 Aljabar Linear
26
Latihan
1. Periksa apakah operasi berikut merupakan
hasil kali dalam atau bukan
a.  u, v  = u12v1 + u2v22
di R2
b.  u, v  = u1v1 + 2u2v2 – u3v3 di R3
c.  u, v  = u1v3 + u2v2 + u3v1 di R3
2. Tentukan nilai k sehingga vektor (k, k, 1)
dan vektor (k, 5, 6 ) adalah orthogonal
dalam ruang Euclides !
24/07/2017 7:36
MA-1223 Aljabar Linear
27
3. W merupakan subruang RHD euclides di 3
yang dibangun oleh vektor
1
 
1
 0
 
 1 
 
dan  0 
  1
 
  1
 
Tentukan proyeksi orthogonal vektor  1 
 2
pada W
 
24/07/2017 7:36
MA-1223 Aljabar Linear
28