Aljabar Linear Elementer
MA1223
3 SKS
Silabus :
Bab
Bab
Bab
Bab
Bab
Bab
Bab
Bab
I
Matriks dan Operasinya
II Determinan Matriks
III Sistem Persamaan Linear
IV Vektor di Bidang dan di Ruang
V Ruang Vektor
VI Ruang Hasil Kali Dalam
VII Transformasi Linear
VIII Ruang Eigen
07/03/2007 12:33
MA-1223 Aljabar Linear
1
VII
Transformasi Linear
Sub pokok Bahasan
• Definisi Transformasi Linear
• Matriks Transformasi
• Kernel dan Jangkauan
Beberapa Aplikasi Transformasi Linear
• Grafika Komputer
• Penyederhanaan Model Matematis
• dan lain lain
07/03/2007 12:33
MA-1223 Aljabar Linear
2
Transformasi Linear
Misalkan V dan W adalah ruang vektor, T : V Æ W
dinamakan transformasi linear, jika
untuk setiap a , b ∈ V dan α ∈ R berlaku :
1. T (a + b ) = T (a ) + T (b )
2. T (α a ) = αT (a)
Jika V = W maka T dinamakan operator linear
07/03/2007 12:33
MA-1223 Aljabar Linear
3
Contoh :
Tunjukan bahwa T : R2 Æ R3, dimana
⎡⎛ x ⎞⎤
T ⎢⎜⎜ ⎟⎟⎥
⎣⎝ y ⎠⎦
⎛ x − y⎞
⎟
⎜
=⎜ −x ⎟
⎜ y ⎟
⎠
⎝
Rumus Transformasi
merupakan tranformasi linear.
Jawab :
Ambil unsur sembarang di R2,
Misalkan
⎛ v1 ⎞
⎛ u1 ⎞
2
⎜
⎟
=
v
∈
R
⎟
⎜
u = ⎜ ⎟,
⎜v ⎟
u
⎝ 2⎠
⎝ 2⎠
(i) Akan ditunjukan bahwa
T (u + v ) = T (u ) + T (v )
07/03/2007 12:33
MA-1223 Aljabar Linear
4
⎡⎛ u1 ⎞ ⎛ v1 ⎞⎤
T (u + v ) = T ⎢⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟⎥
⎣⎝ u2 ⎠ ⎝ v2 ⎠⎦
⎛ (u1 + v1 ) − (u2 + v2 )⎞
⎜
⎟
=⎜
− (u1 + v1 )
⎟
⎜
⎟
u 2 + v2
⎝
⎠
⎛ (u1 + v1 ) − (u2 + v2 )⎞
⎟
⎜
=⎜
− u1 − v1
⎟
⎟
⎜
u
v
+
2
2
⎠
⎝
⎛ u1 − u2 ⎞ ⎛ v1 − v2 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
= ⎜ − u1 ⎟ + ⎜ − v1 ⎟
⎜ u ⎟ ⎜ v ⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
Terbukti bahwa T (u + v ) = Τ (u ) + Τ (v )
07/03/2007 12:33
MA-1223 Aljabar Linear
5
2
(ii) Ambil unsur sembarang u ∈ R dan α ∈ R
⎡⎛ α u ⎞ ⎤
Τ (α u ) = Τ ⎢ ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎥
⎣⎝ α u 2 ⎠ ⎦
⎛ α u1 − α u 2 ⎞
⎜
⎟
= ⎜ − α u1 ⎟
⎜ αu
⎟
2
⎝
⎠
⎛ α (u 1 − u 2 )⎞
⎟
⎜
= ⎜ α (− u 1 ) ⎟
⎜ α (u ) ⎟
2
⎠
⎝
⎛ u1 − u 2 ⎞
⎟
⎜
= α ⎜ − u1 ⎟
⎟
⎜ u
2
⎠
⎝
= α Τ (u )
Jadi, T merupakan transformasi linear.
07/03/2007 12:33
MA-1223 Aljabar Linear
6
Contoh 2 :
Misalkan T merupakan suatu transformasi
dari M2x2 ke R yang didefinisikan oleh
T(A) = det (A), untuk setiap A ∈ M2x2,
Apakah T merupakan Transformasi linier.
Jawab :
⎛ a1
Misalkan A = ⎜⎜
⎝ a3
a2 ⎞
⎟⎟ ∈ M 2 x 2
a4 ⎠
maka untuk setiap α∈ R berlaku
⎛ α a1 α a2
⎜⎜
det
det (αA) =
⎝ α a3 α a4
=α
07/03/2007 12:33
2
⎞
⎟⎟
⎠
(a1a2 − a3a4 ) = α 2det( A)
MA-1223 Aljabar Linear
7
Perhatikan bahwa det(αA) ≠ α det(A)
Jadi T bukan transformasi linier.
Contoh 3 :
Diketahui T : P2 (Polinom orde-2) Æ R2, dimana
⎛a − b⎞
2
⎟⎟
T (a + bx + cx ) = ⎜⎜
⎝a − c⎠
a. Apakah T merupakan transformasi linear
b. Tentukan T (1 + x + x 2 )
Jawab :
a.(i) Ambil unsur sembarang P2,
u = u1 + u2 x + u3 x 2
07/03/2007 12:33
v = v1 + v2 x + v3 x 2
MA-1223 Aljabar Linear
8
Sehingga
u + v = (u1 + v1 ) + (u2 + v2 ) x + (u3 + v3 )x 2
Perhatikan bahwa
(
T (u + v ) = T (u1 + v1 ) + (u2 + v2 ) x + (u3 + v3 )x 2
)
⎛ (u1 + v1 ) − (u2 + v2 )⎞
⎟⎟
= ⎜⎜
⎝ (u1 + v1 ) − (u3 + v3 ) ⎠
⎛ (u1 − u2 ) + (v1 − v2 )⎞
⎟⎟
= ⎜⎜
⎝ (u1 − u3 ) + (v1 − v3 ) ⎠
⎛u − u ⎞ ⎛v − v ⎞
= ⎜⎜ 1 2 ⎟⎟ + ⎜⎜ 1 2 ⎟⎟
⎝ u1 − u3 ⎠ ⎝ v1 − v3 ⎠
(
)
(
= T u1 + u2 x + u3 x 2 + T v1 + v2 x + v3 x 2
07/03/2007 12:33
MA-1223 Aljabar Linear
)
9
Ambil unsur sembarang P2, u = u1 + u2 x + u3 x 2
dan α ∈ R, sehingga
(
T (α u ) = T α u1 + u2 x + u3 x 2
)
⎛ (αu1 − αu2 )⎞
⎟⎟
= ⎜⎜
⎝ (αu1 − αu3 ) ⎠
⎛ α (u1 − u2 )⎞
⎟⎟
= ⎜⎜
⎝ α (u1 − u3 )⎠
⎛ u1 − u2 ⎞
⎟⎟
= α ⎜⎜
⎝ u1 − u3 ⎠
(
= α T u1 + u2 x + u3 x 2
)
Jadi, T merupakan transformasi linear
07/03/2007 12:33
MA-1223 Aljabar Linear
10
⎛ 1 − 1⎞ ⎛ 0 ⎞
b. T (1 + x + x 2 ) = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 1 − 1⎠
⎝ 0 ⎠
Suatu transformasi linear T : V Æ W dapat
direpresentasikan dalam bentuk :
T ( u ) = Au
untuk setiap u ∈ V.
Î A dinamakan matriks transformasi dari T.
Contoh :
Misalkan, suatu transformasi linear T : R2 Æ R3
didefinisikan oleh :
⎛ x − y⎞
⎟
⎡⎛ x ⎞⎤ ⎜
Τ⎢⎜⎜ ⎟⎟⎥ = ⎜ − x ⎟
⎣⎝ y ⎠⎦ ⎜ y ⎟
⎠
⎝
07/03/2007 12:33
MA-1223 Aljabar Linear
11
Jawab :
Perhatikan bahwa
⎡⎛ x ⎞⎤
Τ⎢⎜⎜ ⎟⎟⎥
⎣⎝ y ⎠⎦
⎛ x − y ⎞ ⎛ 1 −1 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎛ x⎞
= ⎜ − x ⎟ = ⎜ − 1 0 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟
⎜ y ⎟ ⎜ 0
⎟ ⎝ y⎠
1
⎝
⎠ ⎝
⎠
Jadi matriks transformasi untuk T : R2 Æ R3 adalah
⎛ 1 −1 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜ −1 0 ⎟
⎜ 0 1 ⎟
⎝
⎠
Jika T : Rn Æ Rm merupakan transformasi linear
maka ukuran matriks transformasi adalah m x n
07/03/2007 12:33
MA-1223 Aljabar Linear
12
Misalkan
Β = {v1 , v 2 }
Τ : R 2 → R3
basis bagi ruang vektor V dan
merupakan transformasi linear
dimana
Τ(vi ) = (ui ) untuk setiap i = 1,2.
Matriks transformasinya dapat ditentukan dengan cara :
Tulis :
T (v1 ) = Αv1 = u1
T (v 2 ) = Αv 2 = u 2
Sehingga
Jadi
Α 3 x 2 [v1
v2 ]2 x 2 = [u1 u 2 ]3 x 2
[
[v1
v2 ] basis bagi V
maka ia punya invers
]
Α = [u1 u 2 ] v1 v 2 −1
07/03/2007 12:33
MA-1223 Aljabar Linear
13
Contoh 3 :
Misalkan
⎧
⎛1⎞
⎛ 0⎞
⎛ 0 ⎞⎫
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ ⎟⎪
⎪
⎨v1 = ⎜ 1 ⎟, v2 = ⎜ 1 ⎟, v3 = ⎜ 0 ⎟⎬
⎜ − 1⎟
⎜ − 1⎟
⎜ 1 ⎟⎪
⎪
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠⎭
⎩
adalah basis bagi R3
Τ : R 3 → P1 Transformasi linear didefinisikan
T (vi ) = Avi = pi
untuk setiap i = 1,2,3.
Jika
p1 = 1 − x; p2 = 1; p3 = 2 x
⎡⎛ 1 ⎞⎤
Tentukan :
⎢⎜ ⎟⎥
Matrix transformasi dan Τ ⎢⎜ − 1⎟⎥
⎢⎣⎜⎝ 2 ⎟⎠⎥⎦
07/03/2007 12:33
MA-1223 Aljabar Linear
14
Jawab :
Definisikan :
p1 = [1 − x ]B
Karena
Αvi = pi ,
⎛1⎞
⎛1⎞
⎛0⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
= ⎜ ⎟; p2 = [1]B = ⎜ ⎟; p3 = [2 x ]B = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ − 1⎠
⎝0⎠
⎝ 2⎠
∀i = 1,2,3
Maka
0 0⎞
⎛ 1
⎜
⎟ ⎛ 1 1 0⎞
⎟⎟
1 0 ⎟ = ⎜⎜
Α⎜ 1
⎜ − 1 − 1 1⎟ ⎝ − 1 0 2⎠
⎝
⎠
atau
0 0⎞
⎛ 1
⎟
⎛ 1 1 0⎞ ⎜
⎜
⎟
1 0⎟
Α=⎜
⎜ 1
⎟
⎝ − 1 0 2⎠ ⎜ − 1 − 1 1⎟
⎠
⎝
07/03/2007 12:33
−1
MA-1223 Aljabar Linear
15
invers matriks dicari dengan OBE :
⎛1 0 0
⎜
⎜1 1 0
⎜ −1 −1 1
⎝
⎛1 0 0
1 0 0⎞
⎜
⎟
0 1 0⎟ ~ ⎜ 0 1 0
⎜ 0 −1 1
0 0 1 ⎟⎠
⎝
⎛1 0 0
⎜
~ ⎜0 1 0
⎜0 0 1
⎝
Sehingga
0 0⎞
⎟
−1 1 0⎟
1 0 1 ⎟⎠
1
0 0⎞
⎟
−1 1 0⎟
0 1 1 ⎟⎠
1
⎛ 1 0 0⎞
⎟ ⎛ 0 1 0⎞
⎛ 1 1 0⎞ ⎜
⎟⎟ ⎜ − 1 1 0 ⎟ = ⎜⎜
⎟⎟
Α = ⎜⎜
⎝ −1 0 2 ⎠ ⎜ 0 1 1 ⎟ ⎝ −1 2 2 ⎠
⎝
⎠
Jadi matriks transformasi T adalah ⎛ 0
1 0⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ −1 2 2⎠
07/03/2007 12:33
MA-1223 Aljabar Linear
16
Sementara itu,
⎡⎛ 1 ⎞⎤
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎢⎜ ⎟⎥
Τ ⎢⎜ − 1⎟⎥ = Α⎜ − 1⎟
⎜ 2⎟
⎢⎜⎝ 2 ⎟⎠⎥
⎝ ⎠
⎣
⎦
ingat bahwa
jadi
⎛1⎞
⎛ 0 1 0⎞ ⎜ ⎟
⎟⎟ ⎜ − 1⎟
= ⎜⎜
⎝ − 1 2 2⎠ ⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠
⎛ − 1⎞
= ⎜⎜ ⎟⎟
⎝1⎠
⎡⎛ − 1⎞⎤
2
⎢⎜⎜ ⎟⎟⎥ = −1 + x
⎣⎝ 1 ⎠⎦ B
⎡⎛ 1 ⎞⎤
⎢⎜ ⎟⎥
Τ ⎢⎜ − 1⎟⎥ = (− 1 + x )
⎢⎜⎝ 2 ⎟⎠⎥
⎣
⎦
07/03/2007 12:33
MA-1223 Aljabar Linear
17
Contoh 4 :
Diketahui basis dari polinom orde dua adalah
{ 1 + x,
− x + x2 , 1 + x − x2
}
Jika T : P2 Æ R3 adalah transformasi linear
dimana
⎛ 0⎞
⎜ ⎟
T [ 1 + x] = ⎜ 1 ⎟
⎜ 2⎟
⎝ ⎠
Tentukan
(
T 1− x + x2
)
[
T − x + x2
]
⎛1⎞
⎜ ⎟
= ⎜ 2⎟
⎜ 0⎟
⎝ ⎠
⎛ 2⎞
⎜ ⎟
2
T 1 + x − x = ⎜1⎟
⎜ 0⎟
⎝ ⎠
[
]
Gunakan
Definisi
Membangun
.
07/03/2007 12:33
MA-1223 Aljabar Linear
18
Jawab :
Perhatikan bahwa
himpunan 3 polinom tersebut adalah basis
bagi polinom orde 2
maka polinom tersebut ditulis nejadi :
(
)
(
1 − x + x 2 = k1 (1 + x ) + k 2 − x + x 2 + k3 1 + x − x 2
)
Samakan suku-suku sejenis
sehingga diperoleh SPL
k1 + k3 = 1
k1 − k2 + k3 = −1
k 2 − k3 = 1
dengan solusi k1 =0 , k2 = 2, dan k3 = 1.
07/03/2007 12:33
MA-1223 Aljabar Linear
19
Jadi kombinasi linear diatas berbentuk :
(
) (
1 − x + x 2 = 0 (1 + x ) + 2 − x + x 2 + 1 1 + x − x 2
)
atau
(
)
(
(
) (
T 1 − x + x 2 = T 0 (1 + x ) + 2 − x + x 2 + 1 1 + x − x 2
))
Karena transformasi T bersifat linear maka :
(
)
(
) (
T 1− x + x2 = 0T (1+ x) + 2T − x + x2 + T 1+ x − x2
)
⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 4⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
= 2 ⎜ 2⎟ + ⎜ 1⎟ = ⎜ 5⎟
⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 0⎠
07/03/2007 12:33
MA-1223 Aljabar Linear
20
Kernel dan Jangkauan
Misalkan T : V → W merupakan transformasi linear
Semua unsur di V yang dipetakan ke vektor nol di W
dinamakan kernel T
notasi ker ( T ).
atau
Ker (T ) = { u ∈ V | T (u ) = 0 }
Contoh 5 :
Trans. Linear T : P2 Æ R2
⎛a − b⎞
⎟⎟
T (a + bx + cx ) = ⎜⎜
⎝a − c⎠
⎛1 − 1⎞ ⎛ 0 ⎞
2
⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟
Perhatikan bahwa T (1 + x + x ) = ⎜⎜
2
⎝1 − 1⎠
⎝ 0 ⎠
maka 1 + x + x 2 ∈ Ker (T )
07/03/2007 12:33
MA-1223 Aljabar Linear
21
Sementara itu, 1 + 2 x + x 2 ∉ Ker (T )
⎛ − 1⎞
karena T (1 + 2 x + x ) = ⎜⎜ ⎟⎟ ≠ 0
⎝1⎠
2
Jelas bahwa vektor nol pada daerah asal
transformasi merupakan unsur kernel T.
Tetapi, tak semua transformasi linear mempunyai
vektor tak nol sebagai unsur kernel T.
Teorema :
Jika T : V Æ W adalah transformasi linear
maka Ker (T) merupakan subruang dari V
Bukti :
Ambil a , b ∈ Ker (T ) sembarang dan α∈Riil
07/03/2007 12:33
MA-1223 Aljabar Linear
22
1.
Karena setiap a ∈ Ker (T )
artinya setiap a ∈ V sehingga T (a ) = 0
maka Ker(T) ⊆ V
2.
Perhatikan bahwa 0 ∈ Ker (T )
artinya setiap T 0 = A 0 = 0
oleh karena itu Ker(T) ≠ { }
()
3. Karena a , b ∈ Ker (T ) dan Ker(T) ⊆ V
Ingat bahwa V mrp ruang vektor, sehingga berlaku
a + b ∈V
akibatnya
Jadi
(
)
T a + b = T a + Tb = 0 + 0 = 0
a + b ∈ ker (T )
07/03/2007 12:33
MA-1223 Aljabar Linear
23
4. Karena a ∈ Ker (T ) maka a ∈ V
karena V adalah ruang vektor
maka untuk setiap α ∈ Riil berlaku :
T (α a ) = α T (a ) = α 0 = 0
Jadi,
α a ∈ Ker (T )
Dengan demikian, terbukti bahwa
Jika T : V Æ W adalah transformasi linear maka
Ker(T ) merupakan subruang dari ruang vektor V
Karena Ker(T ) merupakan subruang
Î Basis Ker(T).
07/03/2007 12:33
MA-1223 Aljabar Linear
24
Contoh 6 :
Diketahui Transformasi linear T : R3 →P2 dengan
⎡⎛ a ⎞⎤
⎢⎜ ⎟⎥
T ⎢⎜ b ⎟⎥ =(a + b) + (2a – c)x + (2a + b + c)x2
⎢⎣⎜⎝ c ⎟⎠⎥⎦
Tentukan basis dan dimensi Ker(T) dan R(T)
Jawab :
Perhatikan bahwa :
⎡⎛ a ⎞⎤
⎢⎜ ⎟⎥
T ⎢⎜ b ⎟⎥ = (a + b ) + (2a − c )x + (2a + b + c )x 2 = 0
⎢⎣⎜⎝ c ⎟⎠⎥⎦
07/03/2007 12:33
MA-1223 Aljabar Linear
25
Ini memberikan
⎞ ⎛ 0⎞
⎛a + b
⎟ ⎜ ⎟
⎜
⎟ = ⎜ 0⎟
⎜ 2b − c
⎜ 2a + b + c ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎠ ⎝ ⎠
⎝
sehingga
⎞
⎡⎛ a ⎞⎤ ⎛ a + b
⎟
⎜
⎢⎜ ⎟⎥
T ⎢⎜ b ⎟⎥ = ⎜ 2b − c
⎟=
⎢⎣⎜⎝ c ⎟⎠⎥⎦ ⎜ 2a + b + c ⎟
⎠
⎝
⎛1 1 0 ⎞ ⎛a⎞
⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎜ 0 2 − 1⎟ ⎜ b ⎟
⎜ 2 1 1 ⎟ ⎜c ⎟
⎝
⎠ ⎝ ⎠
Jadi, matriks transformasi bagi T adalah
⎛1 1 0 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 0 2 − 1⎟
⎜2 1 1 ⎟
⎝
⎠
07/03/2007 12:33
MA-1223 Aljabar Linear
26
Dengan melakukan OBE pada matriks tersebut :
⎛1 1 0
⎜
⎜ 0 2 −1
⎜2 1 1
⎝
0⎞
⎟
0⎟ ~
0 ⎟⎠
⎛ 1 1 0 0 ⎞ ⎛ 1 0 1/ 2 0⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜ 0 2 −1 0 ⎟ ~ ⎜ 0 1 −1/ 2 0⎟
⎜ 0 −1 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 1/ 2 0⎟
⎠
⎝
⎠ ⎝
⎛1 0 0
⎜
~ ⎜0 1 0
⎜0 0 1
⎝
0
0
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
Dengan demikian, Basis ker(T) = { }
dan nulitasnya adalah nol.
07/03/2007 12:33
MA-1223 Aljabar Linear
27
Perhatikan hasil OBE
maka basis ruang kolom dari matriks A adalah :
⎧⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎨⎜ 0 ⎟, ⎜ 2 ⎟, ⎜ − 1⎟
⎪⎜ 2 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟
⎩⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
oleh karena itu, basis jangkauan dari T adalah :
{1 + 2x2
, 1 + 2x + x2
, − x + x2
}
sehingga rank (dimensi basis R(t)) = 3
07/03/2007 12:33
MA-1223 Aljabar Linear
28
Contoh 7 :
Diketahui transformasi linear T : R4 Æ R3
didefinisikan oleh :
⎡⎛ a ⎞⎤
a+b
⎞
⎢⎜ ⎟⎥ ⎛
⎟
⎜ b ⎟⎥ ⎜
⎢
T ⎜ ⎟ =⎜
c − 2d
⎟
⎢ c ⎥
⎢⎜⎜ ⎟⎟⎥ ⎜⎝ − a − b + c − 2d ⎟⎠
⎢⎣⎝ d ⎠⎥⎦
Tentukan basis kernel dari T dan nulitasnya
07/03/2007 12:33
MA-1223 Aljabar Linear
29
Jawab :
⎡⎛ a ⎞⎤
a+b
⎞
⎢⎜ ⎟⎥ ⎛
⎟
⎜
⎜ b ⎟⎥
⎢
T ⎜ ⎟ =⎜
c − 2d
⎟
⎢ c ⎥
⎢⎜⎜ ⎟⎟⎥ ⎜⎝ − a − b + c − 2d ⎟⎠
⎢⎣⎝ d ⎠⎥⎦
Jadi
⎛a⎞
⎛ 1 1 0 0 ⎞⎜ ⎟
⎜
⎟⎜ b ⎟
= ⎜ 0 0 1 − 2⎟⎜ ⎟
⎜ −1 −1 1 − 2⎟ ⎜ c ⎟
⎝
⎠⎜ d ⎟
⎝ ⎠
⎛1 1 0 0 ⎞
⎟
⎜
A = ⎜ 0 0 1 − 2⎟
⎜ −1 −1 1 − 2⎟
⎠
⎝
07/03/2007 12:33
MA-1223 Aljabar Linear
30
Basis Ker(T) dan Nulitasnya?
Ker(T) adalah ruang solusi dari
⎛a⎞
⎜ ⎟
⎜b⎟
T (v ) = A(v ) = 0, ∀v = ⎜ ⎟ ∈ R 4
c
⎜ ⎟
⎜d ⎟
⎝ ⎠
Dengan OBE
⎛ 1 1 0 0 ⎞ ⎛1 1 0 0 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
A ~ ⎜ 0 0 1 − 2⎟ ~ ⎜ 0 0 1 − 2⎟
⎜ −1 −1 1 − 2⎟ ⎜ 0 0 0 0 ⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
07/03/2007 12:33
MA-1223 Aljabar Linear
31
Ker(T) = ruang solusi dari Av = 0
yaitu
⎧⎛
⎪⎜
⎪⎜
⎨⎜
⎪⎜
⎪ ⎜⎝
⎩
a⎞
⎟
b ⎟
c ⎟
⎟
d ⎟⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎫
⎛ 0 ⎞
a⎞
⎛ 1 ⎞
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎪
0
−
1
b⎟
⎟
⎜
⎪
⎟
⎜
≠
+
=
,
,
0
s
t
s
t
⎬
⎜ 1 ⎟
⎟
⎜
⎟
0
c
⎪
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ 0 ⎟
⎜ 1 ⎟
⎪
d ⎟⎠
⎠
⎝
⎝ 2⎠
⎭
Jadi Basis Ker(T) adalah
⎧⎛ 1 ⎞
⎟
⎪⎜
⎪⎜ − 1 ⎟
⎨⎜
⎟
0
⎪⎜
⎟
⎜
⎪ ⎝ 0 ⎟⎠
⎩
⎛
⎜
⎜
,⎜
⎜
⎜
⎝
0 ⎞⎫
⎟⎪
0 ⎟⎪
1 ⎟⎬
⎟⎪
1 ⎟⎪
2 ⎠⎭
Nulitas = Dimensi dari Ker(T) = 2
07/03/2007 12:33
MA-1223 Aljabar Linear
32
Latihan
1. Suatu transformasi T : ℜ3 Î ℜ2
didefinisikan oleh
⎛a⎞
⎜ ⎟ ⎛ a − 2b ⎞
⎟⎟
T ⎜ b ⎟ = ⎜⎜
⎜c⎟ ⎝ a + c ⎠
⎝ ⎠
Periksa apakah T merupakan transformasi linear
2. Jika suatu transformansi T : P1 Æ P2 diberikan oleh :
T [2 + x] = 4 − x + x 2 dan
T [1 + 3x] = 7 + 2 x − 2 x 2
Tentukan T [3 − x]
07/03/2007 12:33
MA-1223 Aljabar Linear
33
(Untuk no. 3 – 5)
Suatu transformasi linear, T :R2ÆR3
Yang diilustrasikan sebagai berikut :
⎛ 3⎞
⎡⎛ 1 ⎞⎤ ⎜ ⎟
⎟⎟⎥ = ⎜ − 1⎟
T ⎢⎜⎜
⎣⎝ − 2 ⎠⎦ ⎜ 1 ⎟
⎝ ⎠
dan
⎡⎛
T ⎢⎜⎜
⎣⎝
⎛ 1⎞
− 3 ⎞⎤ ⎜ ⎟
⎟⎟⎥ = ⎜ 2 ⎟
5 ⎠⎦ ⎜ ⎟
⎝ −1 ⎠
3. Tentukan matriks transformasi dari T !
⎡⎛ 1 ⎞⎤
4. Tentukan hasil transformasi, T ⎢⎜⎜ ⎟⎟⎥
⎣⎝ 3 ⎠⎦
5. Tentukan basis kernel dan jangkauan dari T !
07/03/2007 12:33
MA-1223 Aljabar Linear
34
6. Tentukan rank dan nulitas matriks Transformasi :
⎡− 1 − 2 − 1 1 ⎤
A = ⎢⎢ 1
2
3 − 1⎥⎥
⎢⎣ 1
2
2 − 1⎥⎦
7. Misalkan T : ℜ3 Î ℜ2 didefinisikan oleh
⎛a⎞
⎜ ⎟ ⎛ a − 2b ⎞
⎟⎟
T ⎜ b ⎟ = ⎜⎜
⎜c⎟ ⎝ a + c ⎠
⎝ ⎠
Tentukan basis Ker(T) dan basis R(T)
beserta dimensinya !
07/03/2007 12:33
MA-1223 Aljabar Linear
35
