Hasil kali titik (dot product)

Aljabar Linear Elementer
MA1223
3 SKS
Silabus :
Bab
Bab
Bab
Bab
Bab
Bab
Bab
Bab
I
Matriks dan Operasinya
II Determinan Matriks
III Sistem Persamaan Linear
IV Vektor di Bidang dan di Ruang
V Ruang Vektor
VI Ruang Hasil Kali Dalam
VII Transformasi Linear
VIII Ruang Eigen
18/07/2017 15:04
MA-1223 Aljabar Linear
1
VEKTOR DI BIDANG DAN DI RUANG
Pokok Bahasan :
1. Notasi dan Operasi Vektor
2. Perkalian titik dan Proyeksi Ortogonal
3. Perkalian silang dan Aplikasinya
Beberapa Aplikasi :
• Proses Grafika Komputer
• Kuantisasi pada proses kompresi
• Least Square pada Optimasi
• Klasifikasi sinyal
18/07/2017 15:04
MA-1223 Aljabar Linear
2
Notasi dan Operasi
Vektor  besaran yang mempunyai arah
Notasi vektor
 c1 
 
c   c2   c1iˆ  c2 ˆj  c3kˆ  c1 , c2 , c3 
c 
 3
 c1 
 
Notasi panjang vektor c   c2 
c 
 3
adalah
c  c1  c2  c3
2
2
2
Vektor satuan  Vektor dengan panjang atau norm
sama dengan satu
18/07/2017 15:04
MA-1223 Aljabar Linear
3
Operasi Vektor meliputi :
1. Penjumlahan antar vektor (pada ruang yang sama)
2. Perkalian vektor
(a) dengan skalar
(b) dengan vektor lain
• Hasil kali titik (Dot Product)
• Hasil kali silang (Cross Product)
18/07/2017 15:04
MA-1223 Aljabar Linear
4
Penjumlahan Vektor
Misalkan u dan v adalah vektor – vektor
yang berada di ruang yang sama,
maka vektor
v
u  v didefinisikan
u v
u
18/07/2017 15:04
MA-1223 Aljabar Linear
5
Perkalian vektor dengan skalar
Perkalian vektor
 
u dengan skalar k, k u
didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali
panjang vektor u dengan arah
Jika k > 0  searah dengan u
Jika k < 0  berlawanan arah dengan u
2u
u
 2u
18/07/2017 15:04
MA-1223 Aljabar Linear
6
Scaling
P’
P
18/07/2017 15:04
MA-1223 Aljabar Linear
7
Secara analitis, kedua operasi pada vektor diatas
dapat dijelaskan sebagai berikut :
Misalkan a  a1 , a2 , a3  dan
b  b1 , b2 , b3 
adalah vektor-vektor di ruang yang sama
maka
1. a  b  a1  b1 , a2  b2 , a3  b3 
2. a  b  a1  b1 , a2  b2 , a3  b3 
3. k a  ka1 , ka2 , ka3 
18/07/2017 15:04
MA-1223 Aljabar Linear
8
Perkalian antara dua vektor
• Hasil kali titik (dot product)
• Hasil kali silang (cross product)
Hasil kali titik (dot product)
 Hasil kali titik merupakan operasi
antara dua buah vektor pada ruang yang sama
yang menghasilkan skalar
Hasil kali silang (Cross product)
 Hasil kali silang merupakan operasi
antara dua buah vektor pada ruang R3
yang menghasilkan vektor
18/07/2017 15:04
MA-1223 Aljabar Linear
9
Dot Product
Misalkan a, b
adalah vektor pada ruang yang sama
maka hasil kali titik antara dua vektor :
a  b  a b cos 
dimana
a
: panjang a
b
: panjang b

: sudut antara keduanya
18/07/2017 15:04
MA-1223 Aljabar Linear
10
Contoh 2 :
Tentukan hasil kali titik dari dua vektor
a  2iˆ dan b  2iˆ  2 ˆj
Jawab :
Karena tan  = 1 , artinya  = 450
a  b  a b cos 
1
2 8
2
=4
18/07/2017 15:04
MA-1223 Aljabar Linear
11
Ingat aturan cosinus
c
a

a2 = b2 + c2 – 2 bc cos 
b
Perhatikan
a
a b
a

b
a b
2
 a
18/07/2017 15:04
2
 b
2
b
2 a
b
b cos 
MA-1223 Aljabar Linear
12
Selanjutnya dapat ditulis
b cos 
a
1
2
 a

2
 b
2
 a b
2


Ingat bahwa :
1. a  b  a b cos 
2. a
3.
4.
b
a  b  a1b1  a2b2  ...  anbn
2
 a1  a2  ...an
2
 b1  b2  ...  bn
a b
2
2
2
2
2
2
2
  a1  b1    a2  b2   ...   an  bn 
2
2
2
 a12  a2 2  ...  an 2  b12  b2 2  ...  bn 2
 2a1b1  2a2b2  ...  2anbn
18/07/2017 15:04
MA-1223 Aljabar Linear
13
Perhatikan setiap sukunya, diperoleh hubungan :
a  b  a1b1  a2b2  ...  anbn
Tentukan kembali hasil kali titik dari dua vektor pada
contoh sebelumnya
a  b  a1b1  a 2 b2
= 2 (2) + 0 (2)
=4
Beberapa sifat hasilkali titik :
1. a  b  b  a

  
2. a  b  c   a  b  a  c


3. k a  b  k a  b  a  kb , dimana k  R
18/07/2017 15:04
MA-1223 Aljabar Linear
14
Latihan
18/07/2017 15:04
MA-1223 Aljabar Linear
15
18/07/2017 15:04
MA-1223 Aljabar Linear
16
Diketahui:
u   2, 2,3
v  1, 3, 4 
w   3, 6, 4 
Tentukan:
a. u  v
b. u  v
c. 2u  2 u
d. 3u  5 v  w
1
e.
w
w
f.
1
w
w
18/07/2017 15:04
MA-1223 Aljabar Linear
17
Proyeksi Ortogonal
a
w
terlihat bahwa
b
c k b
k
c  proyb a
Karena
a  w c
a b
b
2
a  b  w  c   b
 w b  c b
 kb  b
k b
18/07/2017 15:04
MA-1223 Aljabar Linear
2
18
Jadi,
rumus proyeksi diperoleh :
Pr oyb a 
a b
b
2
b
Contoh 4 :
Tentukan proyeksi ortogonal
  2
 
vektor u    4 
 3 
 
 1 
 
terhadap vektor v   3 
  4
 
18/07/2017 15:04
MA-1223 Aljabar Linear
19
Jawab :
Pr oyv w 
w v
v
2
v
  2  1 

 

  4   3 
 3    4   1 
 

 
 3 
2
2
2
1  3  ( 4)   4 


 1 

 2  (12)  ( 12) 

 3 
26
  4


 1 

 26 

 3 
26 

  4
  1


   3
 4 


18/07/2017 15:04
MA-1223 Aljabar Linear
20
Cross Product (hasilkali silang)
Hasil kali silang merupakan hasil kali antara dua vektor
di Ruang (R3) yang menghasilkan vektor yang tegak
lurus terhadap kedua vektor yang dikalikan tersebut.
iˆ
ˆj
kˆ
C  A x B  A1
A2
A3
B1
B2
B3
A2
A3
B2
B3

18/07/2017 15:04
iˆ 
A1
A3
B1
B3
ˆj 
MA-1223 Aljabar Linear
A1
B1
A2 ˆ
k
B2
21
Ilustrasi Cross Product (hasilkali silang)
C  A xB
18/07/2017 15:04
MA-1223 Aljabar Linear
22
Contoh :
Tentukan w  u  v ,
dimana u  1, 2,  2 v  (3, 0, 1)
Jawab :
ˆj
kˆ
w  u1 u2
u3
v1
v2
v3
iˆ
ˆj
iˆ
kˆ
 1 2 2
3 0
1
 2.1  0(2)  iˆ  3(2)  1.1 ĵ  1.0  3.2 k̂
 2 iˆ  7 ˆj  6 kˆ
18/07/2017 15:04
MA-1223 Aljabar Linear
23
Beberapa sifat Cross Product :
a. u   u x v   0
b. v   u x v   0
c. u  v
2
 u
18/07/2017 15:04
2
v
2
 u  v 
2
MA-1223 Aljabar Linear
24
Dari sifat ke-3 diperoleh
u v
2
 u
2
v
 u  v 
2
2
 u  v   u  v  cos  
2
2
2

 u  v  u  v  cos 2 
2
2
2
2
 u  v
2
2

1  cos  
2
 u  v  sin 2 
2
2
Jadi, u x v  u  v  sin 
18/07/2017 15:04
MA-1223 Aljabar Linear
25
Perhatikan ilustrasi berikut :
v
v sin 

u
u
Luas Jajaran Genjang  u x v  u  v  sin 
Luas segitiga yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut
adalah
1
Luas segitiga  u  v
2
18/07/2017 15:04
MA-1223 Aljabar Linear
26
Contoh :
Diketahui titik-titik diruang ( di R³ ) adalah :
A = (1, –1, –2)
B = (4, 1, 0)
C = (2, 3, 3)
Dengan menggunakan hasilkali silang, tentukan luas
segitiga ABC !
Jawab :
Tulis
AB = B – A= (4, 1, 0) – (1, –1, –2)
= (3, 2, 2)
AC = C – A= (2, 3, 3) – (1, –1, –2)
= (1, 4, 5)
18/07/2017 15:04
MA-1223 Aljabar Linear
27
AB  AC
iˆ
ˆ
j
ˆ
k
 3
2
2
1
4
5
 2iˆ  13 ˆj  10kˆ
Luas segitiga ABC yang berimpit di A adalah
1
Luas 
4  169  100
2
1

273
2
18/07/2017 15:04
MA-1223 Aljabar Linear
28
Orientasi pada titik B
BA  a  b = (1,-1,-2) – (4,1,0) = (-3,-2,-2)
BC 
c  b = (2,3,3) – (4,1,0) = (-2,2,3)
BA  BC 
iˆ
ˆj
kˆ
3
2
2
2
2
3
 2iˆ  13kˆ  10 ˆj
Sehingga luas segitiga ABC yang berimpit di B adalah :
1
 BA x BC  1 4  169  100
2
2

18/07/2017 15:04=
1
273
2
MA-1223 Aljabar Linear
29
Latihan Bab 4
1. Tentukan cos sudut yang terbentuk oleh
pasangan vektor berikut :
6
a. u   1  dan v   
b.
 2
  8
 1 
 
u    3
 7 
 
 8 
 
v    2
  2
 
dan
2. Tentukan proyeksi ortogonal vektor terhadap vektor
dan tentukan panjang vektor proyeksi tersebut:
a. a   2  dan b    3 
 2 
 
1
b.
 2
 
a    1
 3
 
18/07/2017 15:04
dan
1
 
b   2
 2
 
MA-1223 Aljabar Linear
30
3. Tentukan dua buah vektor satuan di bidang
yang tegak lurus terhadap
 3 

u  
  2
4. Tentukan vektor yang tegak lurus terhadap vektor
  7
 
u  3 
 1 
 
 2
 
dan v   0 
 4
 
5. Tentukan luas segitiga yang mempunyai titik
sudut P (2, 0, –3), Q (1, 4, 5), dan R (7, 2, 9)
18/07/2017 15:04
MA-1223 Aljabar Linear
31
18/07/2017 15:04
MA-1223 Aljabar Linear
32
18/07/2017 15:04
MA-1223 Aljabar Linear
33
18/07/2017 15:04
MA-1223 Aljabar Linear
34
18/07/2017 15:04
MA-1223 Aljabar Linear
35