Untitled - Graha Ilmu

ii
Aljabar Linear
Kata Pengantar
iii
iv
Aljabar Linear
ALJABAR LINEAR
Oleh
: Setiadji
Edisi Pertama
Cetakan Pertama, 2008
Hak Cipta © 2008 pada penulis,
Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak atau memindahkan sebagian
atau seluruh isi buku ini dalam bentuk apa pun, secara elektronis maupun mekanis, termasuk
memfotokopi, merekam, atau dengan teknik perekaman lainnya,
tanpa izin tertulis dari penerbit.
Candi Gebang Permai Blok R/6
Yogyakarta 55511
Telp.
: 0274-4462135; 0274-882262
Fax.
: 0274-4462136
E-mail
: [email protected]
Setiadji
ALJABAR LINEAR/Setiadji
- Edisi Pertama – Yogyakarta; Graha Ilmu, 2008
viii + 228 hlm, 1 Jil. : 23 cm.
ISBN:
978-979-756-294-6
1. Matematika
I. Judul
KATA PENGANTAR
Mengucapkan syukur kehadirat Allah S.W.T. bahwa akhirnya buku
naskah Aljabar Linier ini dapat dianggap selesai, siap cetak dan siap
dipakai.
Tujuan penulisan buku ini antara lain untuk mengisi kekurangan
adanya buku yang membicarakan dan membahas masalah yang sesuai
dengan judul buku ini di Indonesia, dan membantu mahasiswa jurusan
matematika atau mahasiswa bidang studi lain yang sedang mempelajari
aljabar linier dan pengembangannya. Bagi para dosen, buku ini
diharapkan dapat menjadi salah satu buku acuan. Menurut isinya, buku
ini disediakan untuk kepentingan pengajaran aljabar (khususnya teori
matriks dan pengembangannya) pada program sarjana matematika.
Dalam mempelajari atau memahami buku ini dimulai dari bab I.
Buku ini memuat 9 bab yang berisi teori dan penggunaannya pada
penyelesaian segala macam sistem persamaan linier.
vi
Aljabar Linear
Penulis menyadari bahwa buku aljabar linier ini masih memuat
banyak kelemahan. Oleh karena itu saran-saran dari semua pihak tentang
perbaikan baik dari segi materi maupun tata-bahasa sangat diharapkan.
Semoga buku ini bermanfaat.
Jogjakarta, Agustus 2006
Penulis.
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR
DAFTAR ISI
BAB 1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
BAB 2
2.1
2.2
2.3
2.4
BAB 3
3.1
3.2
3.3
3.4
PENDAHULUAN
v
vii
1
Pendahuluan
Ruang Vektor atas suatu Lapangan
Ruang Bagian
Bebas Linear dan Tak Bebas Linear
Basis
Hasil Tambah dan Hasil Tambah Langsung
1
3
6
14
17
29
TRANSFORMASI LINEAR
35
Transformasi Linear
Rank dan Nullitas Transformasi Linear
Transformasi Non – Singular
Isomorfisma Ruang Vektor
35
40
48
53
MATRIKS
59
Ruang Matriks
Pergandaan Matriks
Blok – Multiplikasi
Matriks Non-Singular, Matriks Invers
59
66
80
83
viii
Aljabar Linear
3.5 Rank Matriks
3.6 Sistem Persamaan linear
BAB 4
PEMETAAN LINEAR DENGAN MATRIKS
91
102
117
4.1 Pemetaan Linear yang Dihubungkan dengan suatu Matriks 117
4.2 Matriks yang Dihubungkan oleh Pemetaan Linear
120
4.3 Basis, Matrix, dan Pemetaan Linear
125
BAB 5
RUANG EUCLID DAN RUANG HERMIT
5.1 Ruang Euclid
5.2 Ruang Hermit
BAB 6
143
143
154
RUANG DUAL
159
BAB 7 PEMETAAN SDJOINT, PEMETAAN SIMETRI DAN
PEMETAAN HERMIT
7.1 Pemetaan Adjoint dan Pemetaan Simetri
7.2 Pemetaan Hermit
7.3 Beberapa Sifat Pemetaan Simetri dan Pemetaan Hermit
175
175
179
184
BAB 8 PROYEKSI ORTOGONAL
195
BAB 9 TEOREMA SPEKTRAL
211
DAFTAR PUSTAKA
225
TENTANG PENULIS
227
-oo0oo-
Bab 1
PENDAHULUAN
1.1 PENDAHULUAN
Maksud bab ini adalah untuk mengembangkan sistim geometri,
yang disebut vektor, atas dasar itu kebanyakan studi matriks akan
didasarkan.
Sebelum memulai definisi umum, akan dipertimbangkan dua
contoh ruang vektor yang sudah dikenal yang merupakan model akurat
dari sistim umum.
Pertama dipertimbangkan bidang kartesian, dalamnya tiap titik
diwakili secara tunggal oleh suatu pasangan berurutan bilangan riil
(relatip terhadap sistim koordinat tegak lurus yang dipilih).
Untuk mewakili besaran yang mempunyai panjang dan arah,
sebagai suatu vektor dalam analisa vektor, ditunjukkan dengan anak
panah yang berangkat dari titik pangkal koordinat dan berakhir pada titik
ujung panah, katakan (a1, a2). Arah anak panah dipilih sebagai arah
besaran dan panjang anak panah sebagai panjang besaran tersebut.
Vektor ini dapat diberikan dengan notasi (a1, a2).
2
Aljabar Linear
Koordinat-koordinat ini disebut komponen-komponen dari vektor
itu. Addisi dua vektor (a1, a2) dan (b1, b2) dan pergandaan dengan skalar k
didefinisikan sebagai berikut:
(a1, a2) + (b1, b2)
k (a1, a2)
= (a1 + b1, a2 + b2) dan
= (ka1, ka2).
Terhadap operasi ini, maka himpunan semua vektor dalam bidang datar
seperti tersebut diatas memenuhi:
I. Semua aksioma dari grup komutatip terhadap addisi, dan
II. k (a1, a2) merupakan vektor lagi.
III. 1) (k1 + k2) (a1, a2) = k1(a1, a2) + k2(a1, a2),
2) k [(a1, a2) + (b1, b2)] = k (a1, a2) + k (b1, b2),
3). (k1k2) (a1, a2) = k1 [k2 (a1, a2)],
4). 1 (a1, a2) = (a1, a2).
Secara serupa, hal ini berlaku pula untuk vektor-vektor dalam ruang
berdimensi tiga.