kalin 11_03

KS091206
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Independensi Linear
Basis & Dimensi
TIM KALIN
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
Setelah menyelesaikan
mahasiswa diharapkan :
pertemuan
– Dapat mengetahui apakah suatu
bebas linier atau tak bebas linier
– Dapat mencari basis dari suatu SPL
ini
vektor
RUANG-RUANG VEKTOR UMUM
Surabaya, 3 September 2012
2
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 2
Independensi Linier
Basis & Dimensi
RUANG-RUANG VEKTOR
UMUM
3
4
Surabaya, 3 September 2012
Tulis di papan
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 4
Merentang = spanning
5
Surabaya, 3 September 2012
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 5
6
Surabaya, 3 September 2012
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 6
Kombinasi Linier (k.l): w k.l. S = {v1, v2, v3, …., vr } jika
w = k1v1+ k2v2 + k3v3…. + krvr
k1, k2, k3, …., kr terdefinisi /ada nilainya
Independensi Linier:
S = {v1, v2, v3, …., vr }
disebut himpunan bebas linier / tidak-bergantung linier (linearly
independent) jika solusi Sistem Persamaan Linier Homogen
k1v1+ k2v2 + k3v3…. + krvr = 0
adalah solusi trivial k1, k2, k3, …., kr = 0
RUANG-RUANG VEKTOR
UMUM
7
Independensi Linier:
S = {v1, v2, v3, …., vr }
disebut himpunan bebas linier / tidak-bergantung linier (linearly independent) jika
solusi Sistem Persamaan Linier Homogen
k1v1+ k2v2 + k3v3…. + krvr = 0
adalah solusi trivial k1, k2, k3, …., kr = 0
Dependensi Linier:
S = {v1, v2, v3, …., vr }
disebut himpunan tidak-bebas linier / bergantung linier (linearly dependent) jika solusi
Sistem Persamaan Linier Homogen
k1v1+ k2v2 + k3v3…. + krvr = 0
adalah solusi non-trivial k1, k2, k3, …., kr = 0
dan ada kj ≠ 0 (j = 1 .. r)
RUANG-RUANG VEKTOR
UMUM
8
Diketahui : himpunan S = {v1, v2, v3, …., vr }
Ditanyakan: apakah S linearly independent atau linearly dependent?
Jawab:
1. Bentuk SPL Homogen
k1v1+ k2v2 + k3v3…. + krvr = 0
2. Tentukan solusinya
3. Jika solusinya trivial k1, k2, k3, …., kr = 0
maka S linearly independent
4. Jika solusinya non-trivial maka S linearly dependent
RUANG-RUANG VEKTOR
UMUM
9
RUANG-RUANG VEKTOR
UMUM
10
Ex. 6 hal 235
11
Surabaya, 3 September 2012
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 11
ex. 2 hal 232
12
Surabaya, 3 September 2012
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 12
Ex. 3 hal 233
13
Surabaya, 3 September 2012
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 13
14
Surabaya, 3 September 2012
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 14
Ex. 4 hal 233
15
Surabaya, 3 September 2012
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 15
RUANG-RUANG VEKTOR UMUM
Surabaya, 3 September 2012
16
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 16
Basis:
V adalah Ruang Vektor
S = { v1, v2, v3, …, vn } di mana v1, v2, v3, …, vn ∈ V
maka S disebut Basis dari V jika
1. S linearly independent
2. S merupakan rentang (span) dari V
RUANG-RUANG VEKTOR
UMUM
17
Basis:
V adalah Ruang Vektor
S = { v1, v2, v3, …, vn } di mana v1, v2, v3, …, vn ∈ V
maka S disebut Basis dari V jika
1.
S linearly independent
2.
S merupakan rentang (span) dari V
V disebut Ruang Vektor dengan dimensi berhingga (n)
Jika tidak bisa didefinisikan himpunan S (berhingga) yang
dapat menjadi basis untuk V, maka V disebut
berdimensi tak-hingga
Suatu Ruang Vektor bisa mempunyai lebih dari satu basis
RUANG-RUANG VEKTOR
UMUM
18
19
Surabaya, 3 September 2012
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 19
20
Surabaya, 3 September 2012
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 20
21
Surabaya, 3 September 2012
bilqis
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 21
22
Surabaya, 3 September 2012
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 22
Basis Untuk Ruang jawab SPL (1)
23
Surabaya, 3 September 2012
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 23
24
Surabaya, 3 September 2012
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 24
25
Surabaya, 3 September 2012
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 25
26
Surabaya, 3 September 2012
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 26
27
Basis Untuk Ruang jawab SPL (2)
Contoh :
Tentukan basis dan dimensi untuk ruang jawab dari
SPL berikut :
X1 + 2X2 + 7X3 – 9X4 + 31X5 = 0
2X1 + 4X2 + 7X3 – 11X4 + 34X5 = 0
3X1 + 6X2 + 5X3 – 11X4 + 29x5 = 0
Penyelesaian :
Matriks eselon :
1 2 7 −9 31 
0 0 1 −1

0 0 0 0
4 
0 
RUANG-RUANG VEKTOR UMUM
Surabaya, 3 September 2012
28
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 28
Variabel tak bebas x1 dan x3
x2 = t1
x4 = t2
x5 = t3
x3 = t2 – 4t3
x1 = -2t1 + 2t2 – 3t3
(x1,x2,x3,x4,x5) = (-2t1 + 2t2 – 3t3, t1, t2 – 4t3, t2, t3)
= t1(-2,1,0,0,0) + t2(2,0,1,1,0) +
t3(-3,0,-4,0,1)
RUANG-RUANG VEKTOR UMUM
Surabaya, 3 September 2012
29
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 29
• Sehingga didapatkan :
u1 = (−2,1, 0, 0, 0) 
 Basis dari
u 2 = (2, 0,1,1, 0) 
RUANG JAWAB

u 3 = (−3, 0, −4, 0,1) 
RUANG-RUANG VEKTOR UMUM
Surabaya, 3 September 2012
30
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 30
Dimensi:
V adalah Ruang Vektor
S = { v1, v2, v3, …, vn } basis dari V
Dimensi dari V = n (banyaknya vektor di S)
Contoh(1):
Dari jawaban SPL soal sebelumnya :
u1 = (−2,1, 0, 0, 0) 

u 2 = (2, 0,1,1, 0) 

u 3 = (−3, 0, −4, 0,1) 
Dimensi dari ruang jawab tersebut = 3 (karena terdiri dari 3
vektor)
RUANG-RUANG VEKTOR UMUM
31
• Contoh(2):
tentukan dimensi dan basis dari SPL berikut :
2X1 + 2X2 - X3
+ X5 = 0
-X1 - X2 + 2X3 – 3X4 + X5 = 0
X1 + X2 - 2X3 –
X5 = 0
X3 + X4 + x5 = 0
Penyelesaian :
dengan melakukan OBE dan lain-lain didapatkan
penyelesaian : X1 = - s - t, X2 = s, X3 = -t, X4 = 0, X5 =
t
RUANG-RUANG VEKTOR UMUM
Surabaya, 3 September 2012
32
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 32
• Sehingga vektor penyelesaian bisa dituliskan :
 x1 
x 
 2
 x3  =
 
 x4 
 x 5 
sehingga
−






s − t
− s
− t
 − 1
 − 1

 s 
 0 
 1 
 0 
s









− t  =  0  +  − t  = s  0  + t  − 1









0
0
0
0
0










 0 
 t 
 0 
 1 
t
 − 1
 − 1
 1 
 0 




u =  0  dan _ v =  − 1  span _ ruang _ jawab




0
0




 0 
 1 
karena _ saling _ bebas _ linier _ maka _ merupakan
dim ensi
_ basis
= 2
RUANG-RUANG VEKTOR UMUM
33
34
Surabaya, 3 September 2012
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 34
35
Surabaya, 3 September 2012
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 35
Teorema Independensi Linear
Teorema 1:
a. Tak bebas linear jika dan hanya jika paling
tidak satu diantara vektor S dapat dinyatakan
sebagai kombinasi linear dari vektor S lainnya.
b. Bebas linear jika dan hanya jika tidak ada
vektor S yang dapat dinyatakan sebagai
kombinasi linear dalam vektor S lainnya.
RUANG-RUANG VEKTOR UMUM
Surabaya, 3 September 2012
36
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 36
Teorema Independensi Linear
Teorema 2:
a. Jika semua himpunan mengandung vektor nol,
maka himpunan itu tak bebas linear.
b. Sebuah himpunan yang mempunyai persis dua
vektor tak bebas linear jika dan hanya jika
salah satu dari vektor itu adalah perkalian dari
skalar lainnya.
RUANG-RUANG VEKTOR UMUM
Surabaya, 3 September 2012
37
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 37
Teorema Independensi Linear
Teorema 3:
Misalkan S = {v1, v2, ..., vr} adalah himpunan
vektor-vektor pada Rn. Jika r>n, maka S tak
bebas linear.
RUANG-RUANG VEKTOR UMUM
Surabaya, 3 September 2012
38
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 38
Exercises ☺
RUANG-RUANG VEKTOR UMUM
Surabaya, 3 September 2012
39
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 39