Vektor Bebas Linier dan Bergantung Linier

ALJABAR MATRIKS
pertemuan 6
Oleh :
L1153
Halim Agung,S.Kom
Ruang Vektor
Ruang vektor V adalah himpunan vektor tak kosong di mana 2 operasi berlaku:
penjumlahan dan perkalian dengan skalar jika memenuhi :
1. Untuk sebarang u,vV berlaku u+v  V
2. u+v = v+u
3. u+(v+w) = (u+v)+w
4. Terdapat 0V (vektor nol) sehingga untuk setiap uV berlaku 0+u=u+0  V
5. Untuk sebarang uV terdapat -uV sehingga u+(-u)= (-u)+u = 0
6. Jika k adalah sebarang skalar dan uV, maka kuV
7. k(u+v) = ku+kv
8. (k+l)u = ku+lu
9. k(lu) = (kl)u
10. 1u = u
Ruang Bagian Vektor (Subruang)
Diketahui W himpunan bagian tak kosong dari V. W disebut ruang bagian jika W adalah
ruang vektor dengan operasi yang sama digunakan di V.
Contoh :
1.
Subruang dari R2
1.
2.
3.
Himp vektor 0
Garis-garis yang melalui titik asal
R2
2.
Subruang dari R3
1.
2.
3.
4.
Himp vektor 0
Garis-garis yang melalui titik asal
Bidang-bidang yang melalui titik asal
R3
Periksa apakah himpunan vektor V = { x | x = [2a , b , -a]T , aεR,bεR}
Jawab :
a ε V , a = [2p , q , -p]T , b ε V , b = [2r , s , -r]T , p , q , r , s ε R
2p
 2r  2p  2r   2(p  r )   2m 


a  b    q     s    q  s    q  s    n 
 p 
 r    p  r   (p  r )  m
jadi a   b ε V , V ruang bagian dari R3
Vektor Bebas Linier dan Bergantung Linier
a. Himpunan m buah vektor (U1, U2,…,Un) disebut bergantung linier jika terdapat skalarskalar (λ1, λ2,…, λm ) yang tidak nol sedemikian sehingga berlaku
λ1U1+λ2U2+…+ λnUm = 0.
b. Himpunan m buah vektor (U1, U2,…,Un ) disebut bebas linier jika skalar-skalar (λ1,
λ2,…, λm ) yang semuanya nol. λ1 = λ2 = λ3 =…= λm = 0,sehingga berlaku
λ1U1+λ2U2+…+ λnUm= 0.
Contoh :
1. Diketahui vektor a=(3,1,2), b=(1,2,1), c=(2,-1,1)єR3. Apakah vektor-vektor tersebut
bebas atau bergantung Linier.
jawab :
λ1a + λ2b+λ3c = 0.
λ1(3, 1, 2) + λ2(1, 2, 1) + λ3(2, -1, 1) = (0, 0, 0).
Ada λ yang tidak nol, yaitu λ1 = 1, λ2 = -1, λ3 = -1, jadi vektor bergantung linier
Vektor Bebas Linier dan Bergantung Linier
 1   0   0  
      
2. Periksa himpunan vektor s  0, 1, 0  bebas linier atau tidak
0 0 1 
      
Jawab :
λ1(1, 0, 0) + λ2(0, 1, 0) + λ3(0, 0, 1) = (0, 0, 0).
nilai λ = 0 , jadi vektor bebas linier
Note :
Dalam menentukan suatu himpunan vektor bisa dilakukan dengan matriks yaitu :
1. Determinan = 0 , himpunan vektor bergantung linier
2. Determinan ≠ 0 , himpunan vektor bebas linier
Kombinasi Linier
Vektor V dikatakan kombinasi linier dari vektor-vektor (U1, U2,…,Un ) jika terdapat skalarskalar (λ1, λ2,…, λm ) sedemikian sehingga : V = λ1U1+λ2U2+…+ λnUm
Contoh :
1. Diketahui vektor p= (2,1,2) q = (1, 0, 3) r = (3, 1, 5)єR3. Tulis p kombinasi linier dari {q
dan r}.
Jawab :
(2, 1, 2) = λ1(1, 0, 3) + λ2(3, 1, 5)
2 = λ1 + 3λ2 …1)
1 = λ2 …2)
2 = 3λ1 + 5λ2 …3)
Sehingga diperoleh λ1 = -1, λ2 = 1, maka p = -q + r.
Kombinasi Linier
2. Diketahui vektor a = (2,1, 3) b = (0, 1, 2) c = (2, 2, 4) tulis a kombinasi linier dari b dan c.
Jawab :
(2, 1, 3) = λ1(0, 1, 2) + λ2(2, 2, 4)
2 = 2λ2 …1)
1 = λ1 + 2λ2 …2)
3 = 2λ1 + 4λ2 …3)
Diperoleh λ1 = 1, λ2 = -1, tetapi nilai tersebut tidak memenuhi persamaan 3 sehingga a
bukan kombinasi linier dari b dan c.
Note :
Vektor v akan dapat dikatakan kombinasi linier dengan vektor – vektor (U1,U2,…,U3)
bila dibentuk matriks skalar maka matriks tersebut mempunyai jawab dan
bergantung linier
Basis
Himpunan m buah vektor B = {u1,u2,…,um} disebut Basis untuk R3 bila B bebas linier dan
membangun / membentang R3
Dimensi
Himpunan vektor V disebut berdimensi hingga jika himpunan vektor berhingga a1,a2,…,an
yang merupakan basis dari V. dimensi dari V adalah n
Contoh :
Tunjukkan bahwa himpunan vektor
 1   0   0  


s  0, 1, 0  membangun R3 atau tidak.
0 0 1 
      
Jawab :
Anggap v = v1(1,0,0) + v2(0,1,0) + v3(0,0,1)
Nilai v = 0 , himpunan vektor s membentang R3 dan bebas linier
Jadi , karena himpunan vektor s membentang R3 dan bebas linier maka himpunan vektor s
merupakan basis untuk R3 dan berdimensi 3
Note :
1. Jika 1≤ m < 3 , himpunan m buah vektor di R3 tak membangun R3
2. Jika B basis dari R3 maka B mempunyai tepat 3 unsur jawab
Latihan
1.
Buatlah gambar dari ruang berdimensi 3 dengan koordinat A = (3, 3, 3)εR3.
2.
Diketahui :
a = (2, 1, -1) dan b = (1, 2, 1)εR3.
Tentukan :
a. │a│,│b│,│ab│
b. Cos θ
c. Proyeksi a pada b.
3.
Tentukan nilai k agar a = (2, -5, k, 1) panjangnya √46
4.
Diketahui : a = (1, -1, 2, 3, 1) dan b = (3, 2, -1, 2, -1)єR5
Tentukan :
a. Persamaan vektor garis lurus.
b. Persamaan parameter.
c. Persamaan linier.
5.
Tentukan persamaan vektoris, parameter dan linier garis lurus melalui B(2, 1, 1) dengan vektor arah :
a. (1, 1, 1)
b. (0, 7, 1)
c. (4, -3, 5)
Latihan
T
T
T
6. Jika a  1,0,2 , b  0,2,1 , tunjukkan bahwa c  1,4,0 adalah kombinasi linier
dari {a,b}
7. Jika u  2,0,2 , v  1,1,1 , a  1,1,0 , b  0,2,1 , c  2,0,1
periksa apakah u dan v masing – masing kombinasi linier dari {a,b,c}
T
T
T
T
T
8. Tunjukkan bahwa W = {x | x = [a,b,2a] , a + b = 1} bukan ruang bagian dari R3
9. Berikan saran dan kritik kalian selama hampir setengah semester ini , thanks ^.^