Sub Ruang - Zainul Gufron Syahroni

SUB RUANG
Oleh:
Ivo Oktora
(060210101166)
Silvi Triandriamaya (070210191004)
Zainul Gufron
(070210191048)
M. S Yusuf
(070210191156)
Rina Azizah
(070210191163)
Definisi Sub Ruang
Sub himpunan W dari sebuah ruang vektor V
dinamakan subruang (subspace) V jika W itu
sendiri adalah ruang vektor dibawah
penambahan dan perkalian skalar yang
didefisikan pada V
Aksioma warisan
2) u + v = v + u
3) u + (v+w) = (u+v)+w
7) k(u+v) = ku + kv
8) (k+l) u = ku + lu
9) kl (u) = k (lu)
10) 1u = u
Aksioma bukan warisan
1) u  v W
4) 0 W
5) u W ,u W
6) kuW
Teorema 4
Jika W adalah himpunan dari satu atau
lebih vektor dari sebuah ruang vektor V,
maka W adalah subruang dari V jika dan
hanya jika kondisi berikut berlaku :
a) Jika u dan v adalah vektor vektor
pada W, maka u + v terletak di W
b) Jika k adalah sebarang skalar dan u
adalah sebarang vektor pada W,
maka ku berada di W
Bukti
Pembuktian dari aksioma 1) dan 6)
aksioma
1) u  v W
6) kuW
Untuk mendapatkan aksioma 5) dapat kita
peroleh dari aksioma 6)
Ambil k = -1
1.u W
 u W aksioma 5)
Untuk mendapatkan aksioma 4) dapat kita
peroleh dari aksioma 1) atau aksioma 6)
aksioma 1) u  v W
Ambil v = -u
u  (u ) W
0 W
aksioma 4)
aksioma 6) kuW
Ambil k = 0
0.u W
0 W aksioma 4)
Contoh Soal
Misalkan: u dan v adalah vector-vektor sembarang pada W,dan W
adalah bidang sembarangyang melewati titik asal. Maka u+v
harus terletak pada W karena vector ini merupakan dan
paralelogram yang dibentuk oleh u dan v , dan vector ku harus
terletak pada W untuk scalar sembarang k karena ku terletak pada
garis yang melewati u. jadi, w tertutup terhadap penjumlahan dan
perkalian skalar, sehingga merupakan sub ruang R3.
Vector u + v dan ku keduanya terletak pada
satu bidang yang sama dengan u dan v
Contoh bukan sub ruang
Misalkan W adalah himpunan semua titik (x,y) pada R2
sedemikian hingga x  0 dan y  0 . Titik ini adalah titik-titik
pada kuadran pertama. Himpunan W bukan merupakan su ruang
dari R2 karena tidak tertutup terhadap perkalian skalar. Sebagai
contoh, v = (1,1) terletak pada W, tetapi bentuk negatifnya (-1)v =
-v = (-1,-1) tidak terletak pada W.
Soal 1
Semua vektor yang berbentuk (a,b,c), dimana b=a+c
Gunakan teorema 4 untuk menentukan bentuk berikut
apakah merupakan subruang R3 ?
Jawab :
R3 merupakan ruang vektor
W1  R 3
Ambil sebarang dua elemen pada W1
x1, x2 W1  x1  (a1, b1, c1 ), b1  a1  c1
 x2  (a2 , b2 , c2 ), b2  a2  c2
 x1  x2  (a1  a2 , b1  b2 , c1  c2 )
b1  b2  a1  a2  c1  c2
 x1  x2 W1
Ambil sebarang skalar k dan x W1
x  ( a, b, c), b  a  c
 kx  ( ka, kb, kc)
kb  ka  kc
 kx  W1
Jadi W1 Subruang pada R3
Soal 2
Semua vektor yang berbentuk (a,b,c), dimana b=a+c+1
Gunakan teorema 4 untuk menentukan bentuk berikut
apakah merupakan subruang R3 ?
Jawab :
R3 merupakan ruang vektor
W2  R3
Ambil sebarang dua elemen pada W2
x1 , x2  w2  x1  (a1, b1, c1 ), b1  a1  c1  1
 x2  (a2 , b2 , c2 ), b2  a2  c2  1
 x1  x2  (a1  a2 , b1  b2 , c1  c2 )
b1  b2  a1  a2  c1  c2  2
 x1  x2 W2
W2 bukan sub ruang R3
Soal 3
1. Misal U merupakan himpunan semua matrik
2x2 yang berbentuk
dengan syarat a= 0
dan d= 0. Tunjukkan bahwa U subruang dri
ruang vektor matrik 2x2!
Jawab:
 Ambil a,b U, akan ditunjukkan bahwa
a+b  U,karena a U maka dipenuhi a=
Dengan syarat a1 = 0 dan d1 = 0, dan karena
B U maka dipenuhi b=
Dengan syarat a2 = 0 dan d2 = 0. maka
a+b=
, karena a1 = 0 dan a2 = 0,
Maka a1 + a2 = 0,sert dikarenakan d1 = 0 dan
d2 = 0, maka d1 + d2 = 0. jadi a + b  U.
 Ambil a U, ambil k R akan ditunjukan
bahwa ka U, karena a U maka dipenuhi

a=
dengan syarat a1 = 0 dan d1 = 0.
Maka ka=
, berarti ka1 = 0 dan kd1 = 0
Jadi ka U
Sehingga U subruang dari ruang vektor 2x2.
Soal 4
a b 
Misalkan U himpunan semua matrik 2x2, 
 berbentuk dengan
c
d


syarat ad=0. Apakah U sub ruang dari ruang vektor matrik 2x2?
Jawab:
U bukan sub ruang dari matrik 2x2, karena itu dibutuhkan contoh
penyangkal.
0 6 
 2 3
dan m2  

U
m1  

U



2
0
5  4 


2 9 
m1  m2  
U

 3  4
Jadi U bukan sub ruang dari
matrik 2 x 2
Soal 5
Misalkan U himpunan semua solusi sistem persamaan linier
homogen AX  0 , dengan A berordo nxn dan tetap. Tunjukkan
bahwa U sub ruang Rn.
Jawab :
1. Ada vektor nol, 0, sehingga A0 = 0. Jadi, U≠∅.
2. Ambil X1 , X 2 U , berarti memenuhi AX1  0 dan AX 2  0 .
Akan ditunjukkan bahwa
X1  X 2 U berarti A( X1  X 2 )  0
{sifat distributif perkalian matrik}
A( X1  X 2 )  AX1  AX 2
A( X1  X 2 )  0  0  0
Jadi, X1  X 2 U
{karena AX1  0 dan AX 2  0 }
3. Ambil, X1 U berarti memenuhi AX1  0 . Akan ditunjukkan
kX1 U , berarti
A(kX1 )  0 .
A(kX1 )  k ( AX1 )
{sifat asosiatif perkalian matrik}
A(kX1 )  k 0  0
{karena AX1  0 }
Jadi, kX1 U
∴U sub ruang dari ruang vektor Rn.