rumus cepat matematika - MatikZone

http://meetabied.wordpress.com
SMAN 1 Bone-Bone, Luwu Utara, Sul-Sel
Kesalahan terbesar yang dibuat manusia dalam
kehidupannya adalah terus-menerus merasa takut
bahwa mereka akan melakukan kesalahan (Elbert
Hubbad)
[RUMUS CEPAT MATEMATIKA]
Vektor
================================================================================
Materi ini dapat disebarluaskan secara bebas, untuk tujuan bukan komersial, dengan atau tanpa
menyertakan sumber. Hak Cipta selamanya pada Allah Swt. Salam hangat selalu …
Muhammad Zainal Abidin | admin of http://meetabied.wordpress.com
A. Definisi Vektor
a
Vektor, adalah suatu besaran yang
mempunyai besar dan arah. Vektor
dinotasikan sebagai ruas garis
a
maka : b
a +b
b
hasil penjumlahan vektor a dan b
®
berarah.
Misal
:
AB
(cara segitiga)
artinya
®
vektor AB, u ,u ,u adalah notasi
untuk vektor u, a artinya vektor a
dan lain-lain. Dengan demikian
penulisan vektor dengan huruf
kecil garis di atas atau garis di
bawah tidak menjadi soal.
B. Menyajikan Vektor
(i) Vektor di R2
Jika a adalah sebuah vektor
dan a = ( a1 , a2 ) berupa baris,
æa ö
sedang a = ç 1 ÷ berupa vektor
è a2 ø
kolom. atau dalam vektor basis
a = a1 i + a2 j
(ii) Vektor di R3
Jika a adalah sebuah vektor
dan a = ( a1 , a2 , a3 ) berupa
æ a1 ö
ç ÷
baris, sedang a = ç a2 ÷ berupa
ça ÷
è 3ø
vektor kolom. atau dalam
vektor basis
a = a1 i + a2 j + a3 k
C. Operasi Vektor
(i) Penjumlahan , Pengurangan
Dan Perkalian.
(versi Geometri)
a +b
hasil penjumlahan vektor a dan b
(cara jajar genjang)
-b
a
maka :
b
b
a
-b
hasil pengurangan vektor a dan b
a
2a
a
( dua kali vektor a)
(ii) Penjumlahan , Pengurangan
Dan Perkalian.
(versi Aljabar)
1 Penjumlahan dan
Pengurangan .
æa ö
Jika a = ç 1 ÷ dan
è a2 ø
æb ö
b = ç 1 ÷ maka :
è b2 ø
æ a + b1 ö
a+b=ç 1
÷
è a 2 + b2 ø
æ a - b1 ö
a-b =ç 1
÷
è a 2 - b2 ø
http://meetabied.wordpress.com
2
æ a1 ö
æ b1 ö
ç ÷
ç ÷
Jika a = ç a2 ÷ dan b = ç b2 ÷ maka :
ça ÷
çb ÷
è 3ø
è 3ø
æ a 1 + b1 ö
a + b = ç a 2 + b2 ÷
ç
÷
è a 3 + b3 ø
æ a 1 - b1 ö
a - b = ç a 2 - b2 ÷
ç
÷
è a 3 - b3 ø
1 Perkalian Skalar dengan vektor
æ a1 ö
ç ÷
Jika a = ç a2 ÷ dan k skalar, maka :
ça ÷
è 3ø
æ a1 ö æ ka1 ö
ç ÷ ç
÷
ka = k ç a2 ÷ = ç ka2 ÷
ç a ÷ ç ka ÷
è 3ø è 3ø
Berlaku pula untuk vektor di R2
1 Perkalian Skalar dua vektor
æ a1 ö
æ b1 ö
ç ÷
ç ÷
Jika a = ç a2 ÷ dan b = ç b2 ÷ , maka :
ça ÷
çb ÷
è 3ø
è 3ø
a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3
D. Vektor Khusus
1 Vektor Nol (0)
Adalah suatu vektor dimana titik
awal dan titik ujungnya berimpit.
Elemen-elemen vektor semuanya
nol.
æ0 ö
ç ÷
o = ç0 ÷
ç0 ÷
è ø
1 Vektor Satuan
Adalah vektor yang panjangnya satu
satuan vektor.
vektor satuan dari vektor a adalah :
e=
a
|a|
1 Vektor Posisi
Adalah vektor yang titik pangkalnya
adalah O.
Penting untuk diingat, bahwa setiap
vektor dapat diganti dengan vektor
posisi, dengan menggunakan prinsip
kesamaan dua vektor.
Jika A(a1,a2) suatu titik, maka titik A
tersebut juga bisa dituliskan sebagai
®
vektor posisi, sebagai OA = a
Jika A = ( a1 , a2 , a3 ) dan
B = ( b1 ,b2 ,b3 ) maka vektor
posisi dari titik A dan B adalah :
æ b1 - a 1 ö
ç
÷
AB = OB - OA = ç b 2 - a 2 ÷
çb - a ÷
3 ø
è 3
®
®
http://meetabied.wordpress.com
®
3
1 Panjang Vektor
c)
d)
e)
f)
g)
æa ö
Jika a = ç 1 ÷ maka panjang dari
è a2 ø
vektor a adalah :
| a |=
a 12 + a 22
2.
æ a1 ö
Jika a = ç a2 ÷ maka panjang dari vektor
ç ÷
è a3 ø
a adalah :
| a |= a12 + a22 + a32
3.
a –b
c –b
a +b +c
2a +3c
-3a +2b
æ5ö
æ 1ö
Diketahui a = ç 2 ÷ dan b = ç 4 ÷
ç4÷
ç0 ÷
è ø
è ø
Tentukan :
a) a +b
b) 2a +3b
Pada gambar di bawah, M adalah
titik tengah PQ. Nyatakan vektorvektor berikut ini dengan a ,b ,dan
R
b
S
a
Jika a dan b dua buah vektor maka :
| a + b |2 = 2 | a |2 +2 | b |2 - | a - b |2
c
.
P
M
d) SM
a) PR
®
®
b) QP
e) RM
®
®
f) QS
c) PM
Gunakan Teori di atas untuk
menyelesaikan soal-soal berikut ini :
1.
Diberikan vektor-vektor sebagai
berikut :
a
b
Gambarkan :
a) a +b
b) a +c
Q
®
®
4) Diketahui balok ABCD.EFGH
diperlihatkan pada gambar di
bawah, dengan AB = 8 cm, AD = 6
cm, dan AE = 4 cm. Ruas-ruas garis
®
®
®
berarah AB , AD , dan AE berturut
turut mewakili vektor p , q dan r
c
H
G
F
E
D
r
A
q
C
p
http://meetabied.wordpress.com
B
4
Tentukan :
a) Panjang vektor-vektor p ,
q dan r
b) | p + q |
c)
| p+r |
Tentukan :
a) a . b
b) a . c
c) b . c
d) (3a)( 2b)
e) (-2a).(3c)
d) | q + r |
e)
5.
| p+q+r |
Diketahui vektor-vektor :
a = 2i + 3 j - 4 k dan
b = i - 5 j - 2k . Tentukan
a) a +b
b) a –b
c) 2a +5b
d) |a +b|
e) |3a -2b|
6.
Diketahui vektor-vektor :
a = 2i + 3 j - 4 k dan
b = i - 5 j - 2k .
c = 3i - j + 2k Tentukan panjang
vektor d = 2a +b –c
7.
Diketahui titik A(0, 6) dan B(-2, 4)
Tentukan panjang ruas garis
(jarak) AB !
10. Carilah nilai a, b dan c jika :
æ 0 ö æ 2 ö æ - 1ö æ 1ö
ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
aç 2 ÷ + bç 1 ÷ + cç 0 ÷ = ç 1÷
ç 1 ÷ ç 0 ÷ ç 1 ÷ ç 1÷
è ø è ø è ø è ø
11. Diketahui titik A(5, 4, 6) dan B(-2,
5,1). Tentukan jarak antara titik A
dan B !
12. Diketahui segitiga ABC dengan A(3,
-1, 5), B(4, 2, -5) dan C(-4,0,3). Jika
D merupakan titik tengah sisi BC,
hitunglah panjang garis AD.
13. Diketahui | a | = 4 cm , | b | = 5 dan
| a –b| = Ö19 . Tentukan | a +b|
14. Diketahui | a | = Ö7 cm , | b | = 3
dan
| a +b| = Ö23 . Tentukan | a -b|
15. Diketahui a = 3i - 2 j ,
b = -i + 4 j dan r = 7 i - 8 j . Jika
8.
Tentukan x dan y dari :
æ xö æ 3ö
æ 8 ö
2ç ÷ + 4ç ÷ = -3ç ÷
è4ø è yø
è - 1ø
9.
Diketahui vektor-vektor :
a = 2i + 3 j - 4 k dan
r = k a + mb , tentukan nilai k +m !
b = i - 5 j - 2k .
c = 3i - j + 2k
http://meetabied.wordpress.com
5
B
A. Perbandingan Bagian
(1) Titik P membagi Ruas garis
AB
a) Jika P di dalam garis AB
®
®
AP dan PB memunyai
arah yang sama dan n dan m
mempunyai tanda yang sama.
n
b
m
p
O
a
A
Rumus :
p=
n
mb + na
m+n
m
A
B
P
(3) Tiga titik Segaris (kolinier)
Rumus :
Jika terdapat titik A, B dan C
maka ketiga titik tersebut akan segaris,
jika :
AP : PB = m : n
AP : AB = m :(m +n)
a) Jika P di luar garis AB
®
®
®
AP dan PB memunyai
arah yang berlawanan dan n dan
m mempunyai tanda yang
berlawanan.
m
A
P
B
®
AB = k AC
Dengan k konstan (riel)
(4) Dua vektor segaris (kolinier)
Jika a adalah vektor posisi titik
A dan b vektor posisi titik B, maka a dan
b akan segaris jika memenuhi :
n
Rumus :
AP : PB = m :- n
AP : AB = m :(m -n)
a = kb
Dengan k konstan.
(2) Pembagian dalam vektor
Jika p menyatakan vektor
posisi titik P yang membagi AB
dengan perbandingan m : n
http://meetabied.wordpress.com
6
B. Sudut antara dua vektor
C. Proyeksi Orthogonal vektor
a
b
q
c
a
Vektor proyeksi dari vektor a pada
vektor b adalah :
Maka berlaku :
1. a .b =| a | . | b | cos q
2. cos q =
b
c=
a.b
| a | .| b |
a.b
.b
| b |2
Panjang proyeksi dari vektor a pada
vektor b adalah :
3. a( a + b ) =| a |2 + | a | . | b | cos q
4. a( a - b ) =| a |2 - | a | . | b | cos q
| c |=
5. | a + b |2 =| a |2 + | b |2 +2 | a || b | cosq
a.b
|b|
6. | a - b |2 =| a |2 + | b |2 -2 | a || b | cosq
Perhatikan gambar diatas, jika:
(i)
a dan b membentuk sudut
900, artinya vektor a dan b
tegak lurus , maka :
a .b = 0
(ii)
Gunakan Teori di atas untuk
menyelesaikan soal-soal berikut ini :
1.
Vektor posisi titik A dan B masingmasing dinyatakan dengan a dan b
Nyatakan vektor posisi titik P
dengan a dan b Jika :
a) titik P membagi AB di dalam
dengan perbandingan 3 : 2
b) titik P membagi AB di luar
dengan perbandingan 3 : 2
2.
Diketahui titik A(2, 3, 4) dan B(9,11,18). Tentukan koordinat titik P,
jika titik P membagi AB di dalam
dengan perbandingan 5 : 2
a dan b membentuk sudut
1800, artinya vektor a dan
b berlawanan , maka :
a .b = -|a|.|b|
(iii)
a dan b membentuk sudut
00, artinya vektor a dan b
sejajar atau berimpit ,
maka :
a .b = |a|.|b|
http://meetabied.wordpress.com
7
3.
Diketahui titik A(2, 1, -1) dan
B(7,3,8). Tentukan koordinat titik
P, jika titik P membagi AB diluar
dengan perbandingan 3 : 2
4.
R adalah titik pada garis PQ.
Tentukan koordinat R jika :
a) P(1,0,2), Q(5,4,10) dan
PR : RQ = 3 : -2
b) P(-3,-2,-1), Q(0,-5,2) dan
PR : RQ = 4 : -2
5.
æ 2 ö
ç ÷
Diketahui vektor a = ç 1 ÷ dan
ç - 3÷
è ø
æ - 1ö
ç ÷
b = ç 3 ÷ . Tentukan besar sudut
ç - 2÷
è ø
yang dibentuk oleh kedua vektor
tersebut.
6.
æ 3 ö
ç ÷
Diketahui vektor a = ç 3 ÷ dan
ç - 3÷
è ø
æ 2ö
ç ÷
b = ç 1 ÷ . Tentukan sinus sudut
ç 3÷
è ø
yang dibentuk oleh kedua vektor
tersebut.
8.
9.
Diketahui segitiga ABC dengan
A(2,-3,2), B(-1,0,2) dan C(0,1,4).
Dengan menggunakan rumus sudut
antara dua vektor, tentukan besar
setiap sudut dalam segitiga itu.
æ 2ö
Diketahui vektor a = ç ÷ dan
è 1ø
æ 3ö
b = ç ÷ . Tentukan :
è4ø
a) Proyeksi vektor a pada b
b) Proyeksi vektor b pada a
c) Panjang Proyeksi vektor a pada
d) Panjang Proyeksi vektor b pada
æ 2 ö
10. Diketahui vektor a = ç - 6 ÷ dan
ç- 3÷
è ø
æ 2 ö
b = ç 1 ÷ . Tentukan :
ç - 2÷
è ø
a) Proyeksi vektor a pada b
b) Proyeksi vektor b pada a
c) Panjang Proyeksi vektor a pada
d) Panjang Proyeksi vektor b pada
11. Diketahui segitiga ABC dengan
A(1,-1,2), B(5,-6,2), dan C(1,3,-1)
Tentukan :
®
a) Panjang proyeksi vektor AB pada
®
7.
æ 1 ö
ç ÷
Diketahui vektor a = ç - 2 ÷ dan
ç 2 ÷
è ø
æ- 4ö
ç ÷
b = ç - 2 ÷ . Tentukan kosinus sudut
ç 4 ÷
è ø
yang dibentuk oleh kedua vektor
tersebut.
vaektor AC
®
b) Panjang proyeksi vektor CA pada
®
vaektor CB
12. Diketahui A(2,3,-1), B(5,4,0) dan
C(x,6,2). Tentukan x agar A, B dan
C segaris.
http://meetabied.wordpress.com
8
13. Diketahui vektor u = (4 ,x , 1) dan
vektor v = (2,x-1,y) . Tentukan nilai
x dan y agar kedua vektor segaris.
3.
PREDIKSI UAN 2006
Diketahui Z adalah titik berat
segitiga ABC dimana A(2 ,3 ,-2), B(
4, 1, 2) dan C(8 ,5 ,-3), maka
panjang vektor posisi Z adalah...
A. Å7
B. Å15
C. Å11
D. Å14
E. Å17
4.
PREDIKSI UAN 2006
Diketahui A(2 ,-1, 4), dan B(3 ,,0).
Titik
P
terletak
pada
perpanjangan AB sehingga :
AP = -2PB. Jika p vektor posisi titik
P, maka p
A. (1 ,3 ,5)
B. (3 ,5, 4)
C. (8 ,-5 ,4)
D. (4 ,-3 ,-4)
E. (8 ,5, -4)
5.
PREDIKSI UAN 2006
Jika P(1 ½ , 2 ½ ,1), Q(1, 0, 0) dan
R(2 ,5, a) terletak pada satu garis
lurus, maka a adalah....
A. 0
B. ½
C. 1
D. 2
E. 2 ½
6.
PREDIKSI UAN 2006
Diketahui | a | = 3, | b | = 5 dan |
+ b | = 6, maka |a – b| = ....
A. 3Å2
B. 4Å2
C. 2Å3
D. 3Å2
E. 4Å2
14. Diketahui u = 2i - 3 j + 4 k dan
v = -i + j + 2k . Tentukan tangens
sudut yang dibentuk oleh kedua
vektor tersebut.
15. Diketahui |u| = 3 dan |v| = 5. Jika
sudut yang dibentuk oleh vektor u
p
dan v sebesar . Tentukan nilai :
3
a) u(u +v)
b) u(u -v)
Pilihlah salah satu jawaban yang
paling tepat.
1.
PREDIKSI UAN 2006
Diketahui a = 3i +2j +k ; b = 2i +j
dan c = 3a -4b , maka | c | = .....
A. Å7
B. Å5
C. Å14
D. Å10
E. Å15
2.
PREDIKSI UAN 2006
Diketahui a = 3i -2j ; b = -i +4j
dan r = 7i -8j, jika r = ka +mb,
maka k +m =....
A. 3
B. 2
C. 1
D. -1
E. -2
http://meetabied.wordpress.com
9
7.
8.
PREDIKSI UAN 2006
æ 3 ö
æ 1ö
Jika a = ç ÷ , b = ç ÷ dan
2
è ø
è0 ø
æ- 5ö
c = ç ÷ . Maka panjang vektor d
è 4 ø
= a + b –c adalah....
A. Å5
B. 2Å13
C. 17
D. 3Å13
E. 2Å41
PREDIKSI UAN 2006
Panjang vektor a , b dan (a +b)
berturut –turut adalah 12 , 8 dan
4Å7. Besar sudut antara a dan b
adalah....
A. 45o
B. 60o
C. 90o
D. 120o
E. 150o
PREDIKSI UAN 2006
Jika a = (1 ,2 ,3) dan b = (3 ,2 ,1),
maka
(2a).(3b) = ....
A. 30
B. 40
C. 50
D. 60
E. 70
10. PREDIKSI UAN 2006
Jika vektor a dan b membentuk
sudut 60o, | a | = 4 , | b | = 3, maka
a (a – b) = ....
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
E. 10
11. PREDIKSI UAN 2006
Besar sudut antara vektor a = 2i
+3k dan
b = i +3j -2k adalah...
A.
B.
C.
1
o
6
1
o
4
1
o
3
1
o
2
2
E. o
3
D.
12. PREDIKSI UAN 2006
Diketahui titik P(-3 ,-1 ,-5), Q(-1 ,2
,0) dan R(1 ,2 ,-2). Jika PQ = a dan
QR = b , maka a . b =..
A. -6
B. -8
C. -10
D. -12
E. -14
9.
13. PREDIKSI UAN 2006
Vektor-vektor p = 2i +aj +k dan
q = 4i -2j -2k saling tegak lurus
untuk a sama dengan...
A. 3
B. 4
C. 4,5
D. 5
E. 6
14. PREDIKSI UAN 2006
Vektor z = adalah proyeksi vektor
= (-Å3, 3 ,1) pada vektor y = (Å3 ,
2 , 3). Panjang vektor z adalah...
A. 1/2
B. 1
C. 3/2
D. 2
E. 5/2
http://meetabied.wordpress.com
10
15. PREDIKSI UAN 2006
æ 3 ö
æ2ö
ç ÷
ç ÷
Diketahui a = ç - 2 ÷ dan b = ç y ÷ .
ç 1 ÷
ç2÷
è ø
è ø
Bila panjang proyeksi a pada b
1
sama dengan panjang vektor b,
2
maka nilai y adalah...
A. 2 -2Å3 atau 2 +2Å3
B. 1 -Å3 atau -1 +Å3
C. -2 -2Å3 atau -2 +2Å3
D. -4(1 -Å3) atau 4(1 -Å3)
E. 4Å3 atau -4
16. PREDIKSI UAN 2006
Vektor yang merupakan proyeksi
vektor (3 ,1 ,-1) pada vektor (2 ,5
,1) adalah....
1
A.
(2 ,5 ,1)
2
1
B.
(2 ,5 ,1)
3
1
C. Å30(2 ,5 ,1)
3
1
D.
(2 ,5, 1)
30
1
E. (2 ,5 ,1)
4
17. PREDIKSI UAN 2006
Diketahui | a | = 5 , | b | = 9 dan
3
tgÉ(a ,b) = , maka a (a +b) = ....
4
A. 51
B. 52
C. 61
D. 108
E. 117
18. PREDIKSI UAN 2006
Bila ketiga titik (-5 ,4 ,4), (4 ,-2,1)
dan (x ,2 ,y) segaris, maka nilai (x
+y ) = ...
A. -3
B. -2
C. 1
D. 2
E. 3
19. PREDIKSI UAN 2006
Diketahui P = (a ,0 ,3) , Q = (0 ,6
,5) dan R = (2 ,7 ,c) . Agar vektor
PQ tegak lurus pada QR , haruslah
nilai a –c = ....
A. -3
B. -2
C. 2
D. 3
E. 5
20. PREDIKSI UAN 2006
Diketahui
panjang
proyeksi
æ 3 ö
æ 1 ö
ç ÷
ç
÷
a = ç 2 ÷ pada b = ç p ÷ adalah
ç- 3 ÷
ç 3÷
è
ø
è ø
1. Nilai p = ...
A. 4
B. 2
1
C.
2
1
D. 4
1
E. 2
21. PREDIKSI UAN 2006
http://meetabied.wordpress.com
11
Jika a = 7i -6j -8k dan b = -2i +j
+5k , maka proyeksi orthogonal a
pada b adalah...
A. -14i +2j +10k
4
2
10
B. - i + j +
k
3
3
3
4 2 10
C.
i- jk
3
3 3
D. 4i -2j -10k
E. 6i -3j -15k
22. PREDIKSI UAN 2006
Diketahui vektor a = 3i +j -5k dan
b = -i +2j -2k, proyeksi vektor
orthogonal a dan b adalah c.
Vektor c adalah...
A. -i -2j -2k
B. -i -2j +2k
C. -i +2j -2k
D. i +2j -2k
E. i +2j +2k
æ 1 ö
ç ÷
D. ç 4 ÷
ç - 3÷
è ø
æ 17 ö
ç- ÷
ç 8 ÷
7
E. ç - ÷
ç 8 ÷
ç 24 ÷
ç
÷
è 8 ø
24. PREDIKSI UAN 2006
Diketahui titik-titik A(2 ,-1, 4), B(4,
1 ,3) dan C(2 ,0 ,5). Kosinus sudut
antara AB dan AC adalah....
1
A.
6
1
1
B.
Å2
D. Å2
3
6
1
1
C.
E. Å2
3
2
23. PREDIKSI UAN 2006
Diketahu titik A(-4 ,1 ,3) dan B(1 ,4,3). Titik P(x,y ,z) pada AB
sehingga AP : PB = 3 : 5. Vektor
posisi titik P adalah....
æ -1 ö
ç
÷
A. ç - 10 ÷
ç 15 ÷
è
ø
æ 17 ö
ç- ÷
ç 2 ÷
7
B. ç - ÷
ç 2 ÷
ç 23 ÷
ç
÷
è 2 ø
æ - 1ö
ç ÷
C. ç - 2 ÷
ç 3 ÷
è ø
http://meetabied.wordpress.com
12
Materi -1 : 2 kali pertemuan
(4 jam pelajaran,selesai dengan aplikasi-1dituntaskan
dengan tugas individu)
Materi -2 : 2 kali pertemuan
(4 jam pelajaran,selesai dengan aplikasi-2 dituntaskan
dengan tugas individu)
Aplikasi-3 : 1 kali pertemuan
(2 jam pelajaran, dituntaskan dengan tugas individu)
Evaluasi-1 : 1 kali pertemuan
(2 jam pelajaran, soal terdiri dari 15 pilihan ganda dan 3
soal essay. 2 versi dengan bobot sama)
------------------------------------------------Total : 1,5 minggu
(12 jam pelajaran)
-----------------------------------------------http://meetabied.wordpress.com
13