bab iv ukuran pemusatan data (modus dan median)

BAB IV UKURAN PEMUSATAN DATA
(MODUS DAN MEDIAN)
4.1 Modus
Modus digunakan untuk menyatakan fenomena yang paling banyak terjadi.
Modus dari sekumpulan pengamatan (data) ialah nilai yang paling sering mucul atau
mempunyai frekuensi tertinggi. Dalam data bisa terdapat satu modus (unimodus), dua
modus (bimodus), lebih dari dua modus (multimodus), atau sama sekali tidak
memiliki modus. Jika semua pengamatan mempunyai frekuensi sama maka modus
tidak ada.
Contoh 4.1
a. Modus dari data 3, 4, 4, 6, 6, 6, 8, 9, adalah 6 karena 6 paling sering muncul
yaitu sebanyak 3 kali.
b. Modus dari data 3, 4, 6, 8, 9, 10, 11 tidak ada, atau dikatakan data ini tidak
mempunyai modus karena frekuensi datum sama yaitu 1 kali.
c. Data 20, 20, 25, 25, 29, 29, 30, 30 tidak mempunyai modus karena frekuensi
masing-masing datum sama yaitu 2 kali.
d. Modus dari 2, 4, 6, 6, 9, 9, 11, 12 adalah 6 dan 9 karena 6 dan 9 sama-sama
mempunyai frekuensi 2.
e. Modus dari 1, 1, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8 adalah 1, 4, dan 7, karena masingmasing muncul sebanyak 2 kali.
Contoh 4.2
Misalkan diketahui data sebagai berikut:
Skor
5
6
7
8
9
Frekuensi
10
18
15
12
9
Modus data dalam tabel ini adalah 6
Statistika-Handout 4
20
Contoh 4.3
Misalkan diketahui data dalam tabel distribusi frekuensi sebagai berikut:
Skor
40 – 49
50 – 59
60 – 69
70 – 79
80 – 89
90 – 99
Frekuensi
5
15
10
28
17
10
Dari tabel di atas, modus yang sesungguhnya tidak dapat dicari. Oleh karena itu
ditetapkan aturan bahwa kelas yang frekuensinya tertinggi disebut kelas modus,
sedangkan modus dari data dalam distribusi frekuensi tersebut ialah bilangan dalam
kelas modus yang ditentukan dengan rumus:
 b 
Modus = Bmod + p  1 
 b1  b2 
(4.1)
dengan:
Bmod : Batas bawah kelas modus, yaitu interval dengan frekuensi terbanyak.
p
b1
: panjang kelas interval pada kelas modus.
: selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas interval dengan tanda
kelas lebih kecil sebelum tanda kelas mous
.b2
: frekuensi kelas modus dikurangi dengan frekuensi kelas sesudahnya.
Jadi, dari data dalam daftar distribusi di atas diperoleh:
Kelas modus: 70-79
Batas bawah kelas modus, Bmod = 70  0,5 = 69,5
panjang kelas, p = 80  70 = 10
b1 = 28 – 10 = 18
b2 = 28 – 17 = 11
 b 
 18 
Modus = Bmod + p  1  = 69,5 + 10 
 = 69,5 + 6,21 = 75,71
b

b
18

11


 1
2 
Statistika-Handout 4
21
Modus suatu data tidak selalu berupa bilangan.
Contoh 4.4
Tabel Banyak Kendaraan Lewat
Jenis
kendaraan
Sepeda
Sepeda motor
Mobil
Bus
Truck
Becak
Frekuensi
10
45
20
5
4
2
Modus data dalam tabel ini adalah sepeda motor karena frekuensinya yang paling
banyak.
4.2 Median
Apabila data numerik, yang terdiri atas n skor diurutkan dari yang terkecil sampai
yang terbesar, maka data itu disebut juga statistik urutan, sedangkan skor yang nomor
urutnya k, disebut statistik urutan ke-k dan dinyatakan dengan lambang X[k]. Dalam
hal demikian, rentang data = X[n] - X[1]
Jika n merupakan bilangan ganjil, maka statistik urutan ke
n 1
2
merupakan skor
yang terletak di tengah setelah data diurutkan. Skor itu disebut median.
Jadi, apabila n adalah bilangan ganjil,
Median = X  n 1 
 2 


Apabila n merupakan bilangan genap, maka median data adalah rata-rata dari dua
skor yang ditengah, yaitu:
X n   X n
Median =

 2 1


2
 
2
Contoh 4.5
Statistika-Handout 4
22
Jika dari hasil ujian tujuh orang mahasiswa diperoleh nilai 6, 7, 9, 5, 8, 10, 8. Untuk
menentukan median dari nilai tersebut data diurutkan dari yang kecil ke yang besar:
5
6
7
8
8
9
10
Karena n = 7 (ganjil), sehingga mediannya adalah
median = X  71 = X 4 = 8
 2 


Contoh 4.6
Misalkan pada Contoh 4.5, data yang dipunyai adalah nilai delapan orang mahasiswa
yaitu 6, 7, 9, 5, 8, 10, 7, dan 9. Data diurutkan dari yang kecil ke yang besar:
5
6
7
7
8
9 9 10
X 8   X 8
Median =

 2 1


2
 
2

X [4]  X [5]
2

78
 7,5
2
Contoh 4.7
Tentukan median dari data berikut:
Nilai
2
4
5
7
8
Jumlah
Frekuensi
4
3
1
5
8
21
Jawab:
n = 21 (ganjil) sehingga mediannya adalah
median = X  211  = X 11 = 7
 2 


Contoh 4.8
Misalkan diketahui data dalam tabel distribusi frekuensi sebagai berikut:
Kelas
57,1 – 64,0
64,1 – 71,0
71,1 – 78,0
78,1 – 85,0
85,1 – 92,0
92,1 – 99,0
Statistika-Handout 4
Frekuensi
5
16
40
10
5
6
23
Jumlah
82
Dari suatu tabel distribusi frekuensi seperti ini, yang disebut median ialah bilangan
yang dapat dianggap sebagai statistik urutan ke
n
seandainya dalam setiap kelas,
2
skor (data) tersebar merata di dalam interval kelasnya..
Dari tabel di atas, median ialah bilangan yang dapat dianggap sebagai statistik urutan
ke-41, karena n = 82
Nilai median tersebut ditentukan dengan rumus:
n

2 F
Median = Bmed + p 

 f med 


(4.2)
dengan:
Bmed = Batas bawah kelas median (kelas yang memuat median).
p = panjang kelas median.
n = jumlah semua frekuensi.
F = jumlah semua frekuensi kelas dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas
median.
fe = frekuensi kelas median.
Jadi, dari data dalam tabel distribusi frekuensi tersebut, diperoleh:
Kelas median adalah kelas ke-3 yaitu kelas: 71,1 – 78,0 karena median ialah bilangan
yang dapat dianggap sebagai statistik urutan ke
n
atau statistik urutan ke-41.
2
Bmed = 71,1 – 0,05 = 71,05
p=7
F = 5 +16 = 21
fmed = 40
 41  21
Median = 71,05 + 7 
 = 71,05 + 7
 40 
Statistika-Handout 4
 20 
 40  = 71,05 + 3,5 = 74,55
 
24
Latihan 4
1. Pegawai suatu kantor memberikan sumbangan bencana alam dalam ribuan rupiah
sebagai berikut:
10, 40, 25, 5, 20, 10, 25, 50, 30, 10, 5, 15, 25, 50, 10, 30, 5, 25, 45, dan 15.
Tentukan modus dan mediannya.
2. Diketahui data Nilai UAN Matematika 80 siswa SMP X sebagai berikut:
Nilai
31 – 40
41 – 50
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 – 100
Jumlah
Frekuensi
2
3
5
14
24
20
12
80
Hitunglah modus dan mediannya.
3. Jika data nilai pretes mahasiswa yang mengambil kuliah Bahasa Inggris adalah
sebagai berikut
Nilai
pretes
fi
5
6
7
8
9
10
5
12
18
10
8
3
Tentukan modus dan mediannya.
Statistika-Handout 4
25