MATEMATIKA TEKNIK II TE 4227 (3SKS)

Persamaan Diferensial Parsial
Turunan Parsial
z = f ( x, y )
Jika x berubah − ubah sedangkan y tetap,
z adalah fungsi dari x dan turunannya terhadap x adalah
f ( x + ∆x, y ) − f ( x, y )
∂z
f x ( x, y ) =
= lim
∆x
∂x ∆x → 0
disebut turunan parsial pertama dari z = f ( x, y ) terhadap x
Jika y berubah − ubah sedangkan x tetap,
z adalah fungsi dari y dan turunannya terhadap y adalah
∂z
f ( x, y + ∆y ) − f ( x, y )
f y ( x, y ) =
= lim
∂y ∆y→0
∆x
disebut turunan parsial pertama dari z = f ( x, y ) terhadap y
Matematika Teknik II
( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
1
Contoh :
z = x3 + y 3 − 2 x 2 y
∂z ∂z
Tentukan
,
∂x ∂x
Penyelesaian :
∂z
= 3x 2 + 0 − 4 xy
∂x
∂z
= 0 + 3y 2 − 2x2
∂y
∂z
= 3 x 2 − 4 xy
∂x
∂z
= 3 y 2 − 2x2
∂y
Matematika Teknik II
( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
2
Fungsi dengan lebih dari dua
variabel Bebas
f ( x, y, z ) = xy + 2 yz + 3zx
∂f
= y + 3z
∂x
∂f
= x + 2z
∂y
∂f
= 2 y + 3x
∂z
y dan z = konstan
x dan z = konstan
x dan y = konstan
Matematika Teknik II
( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
3
Turunan Parsial Tingkat Dua
z
z
Suatu fungsi z = z(x,y)
Turunan Tingkat Pertama dari z :
Turunan Tingkat Dua dari z :
∂z
∂x
∂ ⎛ ∂z ⎞ ∂ 2 z
⎜ ⎟= 2
∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂x
∂ ⎛ ∂z ⎞ ∂ z
⎜ ⎟=
∂y ⎝ ∂x ⎠ ∂y∂x
2
∂z
∂y
∂2 z
∂2z
=
∂x∂y ∂y∂x
Matematika Teknik II
( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
∂z ∂z
,
∂x ∂y
∂ ⎛ ∂z ⎞ ∂ 2 z
⎜⎜ ⎟⎟ =
∂x ⎝ ∂y ⎠ ∂x∂y
∂ ⎛ ∂z ⎞ ∂ 2 z
⎜⎜ ⎟⎟ = 2
∂y ⎝ ∂y ⎠ ∂y
4
z = 3 x + 4 xy − 5 y
2
Contoh :
2
Carilah turunan tingkat dua dari z
Penyelesaian :
∂z
= 6 x + 4 y,
∂x
∂z
= 4 x − 10 y,
∂y
∂ 2 z ∂ ⎛ ∂z ⎞
= ⎜ ⎟ = 6,
2
∂x
∂x ⎝ ∂x ⎠
∂ ⎛ ∂z ⎞
⎜ ⎟=4
∂y ⎝ ∂x ⎠
∂ ⎛ ∂z ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = 4,
∂x ⎝ ∂y ⎠
∂ 2 z ∂ ⎛ ∂z ⎞
= ⎜⎜ ⎟⎟ = −10
2
∂y
∂y ⎝ ∂y ⎠
∂2 z
∂2 z
=
=4
∂x∂y ∂y∂x
Matematika Teknik II
( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
5
Persamaan Diferensial Parsial
Persamaan yang mengandung turunan-turunan
parsial dari suatu fungsi yang tidak diketahui yang
diturunkan terhadap dua atau lebih variabel bebas .
z Orde persamaan diferensial parsial dapat ditentukan
dari turunan tertinggi dari persamaan tersebut.
∂ 2u
= 2x − y
Orde 2
∂x∂y
3
3
Contoh :
2 ∂ R
3 ∂ R
Orde 3
x
=y
3
3
∂y
∂x
z
⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ =1
⎝ ∂u ⎠ ⎝ ∂v ⎠
2
2
Orde 1
Matematika Teknik II
( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
6
Persamaan Diferensial Parsial Linear
z
Bentuk umum persamaan diferensial parsial
linear orde dua dengan dua variabel bebas :
∂ 2u
∂ 2u
∂ 2u
∂u
∂u
+C 2 + D + E
+ Fu = G
A 2 +B
∂x
∂x∂y
∂y
∂x
∂y
A, B, C , D, E , F dan G tergantung dari x dan y bukan u
Persamaan diferensial parsial orde dua dengan dua
variabel bebas x dan y tidak dapat dituliskan dalam
bentuk umum seperti diatas disebut persamaan
taklinear. Jika G=0 disebut persamaan homogen,
sebaliknya jika G≠0 disebut tidak homogen
Matematika Teknik II
( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
7
Contoh Persamaan Diferensial Parsial
Linear Orde Dua yang penting
2
u
∂
∂ 2u
2
=c
2
∂x 2
∂t
2
∂u
∂
u
= c2 2
∂t
∂x
∂ 2u ∂ 2u
+ 2 =0
2
∂y
∂x
Persamaan Gelombang Dimensi Satu
Persamaan Aliran Panas Dimensi Satu
Persamaan Laplace Dimensi Satu
∂ 2u ∂ 2u
+ 2 = f ( x, y )
2
∂x
∂y
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
+ 2 + 2 =0
2
∂x
∂y
∂z
Persamaan Poisson Dimensi Dua
Persamaan Laplace Dimensi Tiga
Matematika Teknik II
( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
8
Penyelesaian Persamaan Diferensial
Parsial
z
Contoh :
Penyelesaian Umum :
∂ 2u
= 2x − y
∂x∂y
u = x y − xy + F ( x) + G ( y )
2
1
2
2
Penyelesaian Khusus :
Jika F ( x) = 2 sin x dan G ( y ) = 3 y 4 − 5 , maka
u = x 2 y − 12 xy 2 + 2 sin x + 3 y 4 − 5 ,
Penyelesaian yang tidak dapat dicari dari penyelesaian
umum dengan memberikan nilai tertentu pada sembarang
fungsi disebut Penyelesaian Singular
Matematika Teknik II
( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
9
Metode Penyelesaian Persamaan
Diferensial Parsial
z
Prinsip Superposisi/Prinsip Kelinearan
Jika u1 dan u2 adalah penyelesaian persamaan
diferensial parsial homogen, kemudian :
u = c1u1 + c2u2
z
dengan c1 dan c2 adalah konstanta juga merupakan
penyelesaiannya.
Penyelesaian Umum persamaan diferensial parsial
tidak homogen dapat dicari dengan menambahkan
penyelesaian khusus persamaan tak homogen dengan
penyelesaian umum persamaan homogen.
Matematika Teknik II
( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
10
Carilah penyelesaian u ( x, y ) dari persamaan
Contoh :
diferensial parsial u xx − u = 0
Penyelesaian :
Dari persamaan u xx − u = 0 , tidak ada u diturunkan
terhadap y sehingga persamaannya menjadi u"−u = 0
didapatkan u = Ae x + Be − x dengan A dan B konstanta.
Barang kali A dan B merupakan fungsi dari y, maka
penyelesaiannya u ( x, y ) = A( y )e x + B( y )e − x
Matematika Teknik II
( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
11
Carilah penyelesaian persamaan
Contoh :
diferensial parsial u xy = −u x
Penyelesaian :
misal u x = p, jadi p y = − p ,
py
= −1, ln p = − y + c( x),
p = c ( x )e − y
p
Diintegrasikan terhadap x maka didapat :
u ( x, y ) = f ( x )e − y + g ( y )
f ( x) = ∫ c( x)dx
dan f ( x) dan g ( y ) fungsi sembarang.
Matematika Teknik II
( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
12
Buktikan u ( x, t ) = sin( x + 2t ) merupakan penyelesaian
Contoh :
persamaan gelombang dimensi satu
∂ 2u
∂ 2u
=4 2
2
∂t
∂x
Penyelesaian :
∂u
∂u
= cos( x + 2t )
= 2 sin( x + 2t )
∂x
∂t
∂ 2u
∂ 2u
= − sin( x + 2t )
= −4 sin( x + 2t )
2
2
∂x
∂t
∂ 2u
∂ 2u
= −4 sin( x + 2t ) = 4[− sin( x + 2t )]= 4 2
2
∂t
∂x
Terbukti
Matematika Teknik II
( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
13
Buktikan u ( x, t ) = e −8t adalah penyelesaian persoalan syarat batas
∂ 2u
=2 2
∂x
∂t
Contoh : ∂u
u (0, t ) = u (π , t ) = 0,
u ( x,0) = sin 2 x
Penyelesaian :
u ( x, t ) = e −8t sin 2 x
u (0, t ) = e −8t sin 0 = 0
u (π , t ) = e −8t sin π = 0
u ( x,0) = e0 sin 2 x = sin 2 x
∂u
∂u
− 8t
= 2e −8t cos 2 x
= −8e sin 2 x
∂x
∂t
Subtitusi ke persamaan diferensial:
[
− 8e −8t sin 2 x = 2 − 48e −8t sin 2 x
]
terbukti
Matematika Teknik II
( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
∂ 2u
− 8t
4
sin 2 x
=
−
e
2
∂x
∂u
∂ 2u
=2 2
∂t
∂x
14