aljabar linear - Chandra Novtiar, M.Si. | Dosen STKIP Siliwangi

1
Ruang Euclides
dan Ruang Vektor
Sub Pokok Bahasan
 Ruang Euclides
 Ruang Vektor Umum
 Subruang
Ruang Euclides orde n
Operasi-Operasi pada ruang vektor
Euclides:
 Penjumlahan
u  v  u1  v1 , u 2  v2 , ..., u n  vn 
 Perkalian
dengan skalar Riil sebarang (k)
ku  ku1 , ku2 ,..., kun 
 Perkalian
Titik (Euclidean inner product)
u  v  u1v1  u 2 v2  ...  u n vn
 Panjang
vektor didefinisikan oleh :
u  u  u  2  u1  u 2  ...  u n
1
 Jarak
2
2
2
antara dua vektor didefinisikan
oleh : d u , v   u  v  u1  v1 2  u 2  v2 2  ...  u n  vn 2
Contoh :
Diketahui u  1, 1, 2, 3 dan v  2, 2, 1, 1
Tentukan panjang vektor dan jarak antara
kedua vektor tersebut
Jawab:
Panjang vektor :
2
2
2
2
u  u  u  2  1  1  2  3  15
1
v  22  22  12  12  10
Jarak kedua vektor
d u , v   u  v  1  22  1  22  2 12  3 12
  1   1  12  22
2
 7
2
Ruang Vektor Umum
Misalkan u , v , w  V dan k, l Riil
V dinamakan ruang vektor jika terpenuhi
aksioma :
1. V tertutup terhadap operasi
penjumlahan.
Untuk setiap u , v  V maka u  v  V
2. u  v  v  u
3. u  v  w   u  v   w
4. Terdapat 0  V sehingga untuk setiap u V
berlaku u  0  0  u  u
5. Untuk setiap u V terdapat  u 
sehingga u   u    u   u  0
6. V tertutup thd operasi perkalian
dengan skalar.
Untuk setiap u V dan k  Riil maka ku V
7. k u  v   ku  kv
8. k  l  u  ku  lu
9. k l u   l k u   kl u
10.1. u  u
Contoh :
1. Himpunan vektor Euclides dengan
operasi standar (operasi penjumlahan
dan operasi perkalian dengan skalar).
Notasi : Rn (Ruang Euclides orde n)
•
•
•
R : Bilangan real
R2 : Vektor di bidang
R3 : Vektor di ruang tiga dimensi
2. Himpunan matriks berukuran m x n
dengan operasi standar (penjumlahan
matriks dan perkalian matriks dengan
skalar),
Notasi : Mmxn (Ruang Matriks mxn)
3. Himpunan polinom pangkat n dengan
operasi standar.
Notasi : Pn (Ruang Polinom orde n)
Misalkan W merupakan subhimpunan dari sebuah
ruang vektor V.
W dinamakan subruang (subspace) V jika W juga
merupakan ruang vektor yang tertutup terhadap
operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar.
Syarat W disebut subruang dari V adalah :
1. W  { }
2. W  V
3. Jika u , v W maka u  v  W
4. Jika u  W dan k  Riil maka k u  W
Contoh 1
Tunjukkan bahwa W : himpunan titik-titik R2
dengan ordinat nol adalah sub ruang dari ruang
vektor R2
Jawab
W = {(x,0) | x R}
1. Titik (0,0)  W
W≠{}
2. Jelas bahwa W  R2
3. u=(𝑥1 , 0), v=(𝑥2 , 0) W , 𝑥1 , 𝑥2  R sehingga
u+v = (𝑥1 , 0)+(𝑥2 , 0) = (𝑥1 + 𝑥2 , 0)  W
4. k u = k(𝑥1 , 0)= (𝑘𝑥1 , 𝑘0) =(𝑘𝑥1 , 0)  W
Maka, W sub ruang
di R2
Contoh 2
Apakah W sub ruang dari ruang vektor R3 jika
W didefinisikan sebagai {(a,b,c) dimana a.b.c =
0}
Jawab
W = {(a,b,c) dimana a.b.c = 0, a,b,c  R}
Vektor (1,2,0)  W
W ≠ { } dan W  R3
Misalkan a = (0,1,2), b = (2,1,0) adalah vector di W
c = a + b = (2,2,2)
c bukan vector di W karena 2.2.2 = 8 ≠ 0
* Jika c di W, kita tidak dapat membuat
kesimpulan bahwa
W sub ruang dari R3
W bukan sub
ruang di R3
Contoh 3:
Tunjukan bahwa himpunan W yang berisi
semua matriks orde 2x2 dimana setiap unsur
diagonalnya adalah nol merupakan subruang
dari ruang vektor matriks 2x2
Jawab :
 0 0
 W maka W   
1. O  
 0 0
2. Jelas bahwa W  M2x2
3. Ambil sembarang matriks A, B  W
 0 a1 
 0 b1 
 dan B  
Tulis A  


 a2 0 
 b2 0 
Perhatikan bahwa
 0 a1   0
  
A  B  
 a2 0   b2
:
b1 

0
a1  b1 
 0

 
0 
 a2  b2
Ini menunjukan bahwa
A B W
4. Ambil sembarang matriks A  W dan k 
Riil, maka
 0 ka1 


kA  
 ka2
W

0
Ini menunjukan bahwa
kA W
Jadi, W merupakan Subruang dari M2x2.
Latihan Ruang Vektor dan
Subruang
Anggap u = (-3, 2, 1, 0), v= (4, 7, -3, 2), dan w = (5, -2, 8, 1).
Cari:
a. v-w
b. 2u + 7v
c. 6(u-3v)
d. –v-w
2. Buktikan bahwa himpunan semua matriks 2x2 berbentuk
matriks
 a 0  dengan penjumlahan dan perkalian skalar


 0 b  merupakan ruang vektor atau bukan!
3. Buktikan bahwa himpunan semua pasangan tiga bilangan real
(x, y, z) dengan operasi
1.
( x, y, z )  ( x' , y ' , z ' )  ( x  x' , y  y ' , z  z ' ) dan
k ( x, y, z )  (kx, y, z )
Merupakan ruang vektor atau bukan!
KOMBINASI LINEAR DAN
MEMBANGUN
Sebuah vektor u dinamakan kombinasi linear
dari vektor-vektor v1 , v2 , vn
jika vektor-vektor tersebut dapat dinyatakan dalam
bentuk :
u  k1v1  k2v2  ...  knvn
dimana k1, k2, …, kn adalah skalar riil.
Contoh
Misal u  (2, 4, 0) dan v  (1, -1, 3) adalah vektor-vektor di R3.
Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear
dari Vektor-vektor di atas
a. a  (4, 2, 6)
b. b  (1, 5, 6)
c. c  (0, 0, 0)
Jawab :
a. Tulis k1u  k 2 v  a
akan diperiksa apakah ada k1, k2,
sehingga kesamaan tersebut dipenuhi.
 2 
 1
 4 
 
 
 
k1  4   k 2  - 1    2 
 0 
 3
 6 
 
 
 
Ini dapat ditulis menjadi:
 2 1   k1 

  
 4 -1    
 0 3  k 

  2
 4 
 
 2 
 6 
 
dengan OBE, diperoleh:
 2 1 4   1 12 2   1 0 1 

 
 

 4 -1 2  ~  0 1 2  ~  0 1 2 
 0 3 6   0 0 0   0 0 0

 
 

Dengan demikian, k1 = 1 dan k2 = 2
a merupakan kombinasi linear dari
vektor u dan v
atau
  
a  u  2v
b. Tulis :
  
k1u  k 2 v  b
 2 
1 
 1
 
 
 
k1  4   k 2  - 1    5 
 0
 3
 6
 
 
 
ini dapat ditulis menjadi:
2 1


 4 -1 
 0 3 


 1
 k1   
    5 
 k2   6 
 
dengan OBE dapat kita
peroleh :
1 
2 1


5 
 4 -1
 0 3

6


Baris terakhir
1
1
1
 1 12
2  1
2
2 

 

~  0 -3
3 ~ 0 1
2
 0 3
  0 0 9
6

 

pada matriks ini menunjukkan
bahwa SPL tersebut adalah tidak konsisten (tidak
mempunyai solusi).
Jadi, tidak ada nilai k1 dan k2 yang memenuhi
 b tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi
linear dari u dan v
c. Dengan memilih k1 = 0 dan k2 = 0,
maka dapat ditulis
  
k1u  k2 v  c
artinya vektor nol merupakan kombinasi linear
dari vektor apapun.
LATIHAN KOMBINASI LINEAR
1Diketahui
 -9 
2



s   - 7  , u  1
 - 15 
4



s
  1
 3 
  
 
, v   - 1 , w   2 
  3
 5 
  
 
Tunjukkan bahwa 𝑠 kombinasi linear dari 𝑢, 𝑣 dan 𝑤
6 3
2. Nyatakanlah matriks 

0
8


sebagai kombinasi linear dari matriks berikut :
 1 2 0
 1 3 , 

 2
1
 4  2
, dan 

0

2
4


Definisi membangun/Merentang
Himpunan vektor
S  v1 , v2 , ... , vn 
dikatakan membangun suatu ruang vektor V
jika setiap vektor pada V selalu dapat dinyatakan
sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor di S.
Contoh :
Tentukan apakah
v1 = (1, 1, 2),
v2 = (1, 0, 1), dan
membangun 𝑅3 ???
v3 = (2, 1, 3)
Jawab :
Ambil sembarang vektor di R3
misalkan
.
Tulis :
.
 u1 
 
u  u2 
u 
 3
u  k1v1  k 2 v2  k 3 v3
Sehingga dapat ditulis dalam bentuk :
1 1 2  k1 
1 0 1  k  

  2
2 1 3  k3 
 u1 
 
 u2 
u 
 3
Syarat agar dapat dikatakan kombinasi linear
SPL tersebut harus mempunyai solusi (konsisten)
Dengan OBE diperoleh :
Agar SPL itu konsisten haruslah u3 – u2 – u1 = 0
Ini kontradiksi dengan pengambilan vektor sembarang
(unsur-unsurnya bebas, tak bersyarat)
Dengan demikian, vektor-vektor tersebut
tidak membangun R3
Latihan Membangun
Periksa, apakah himpunan A = {6 – x2 , 6 + x + 4x2 } membangun
polinom orde 2 !
Himpunan Bebas Linear dan
Bergantung Linear
Misalkan S  u1 , u 2 ,..., u n 
adalah himpunan vektor diruang vektor V
S dikatakan bebas linear (linearly independent)
JIKA SPL homogen :
k1u1  k 2 u1  ...  k n u n  0
hanya mempunyai satu solusi (tunggal), yakni
k1  0, k2  0, ... , kn  0
Jika solusinya tidak tunggal,
maka S kita namakan himpunan tak bebas linear
(Bergantung linear / linearly dependent)
Contoh :
Diketahui u  1,  2, 1, v  2, 2, 1, dan w   1,1, 1
Apakah saling bebas linear di R3
Jawab :
Tulis
k1u  k2v  k3 w  0
 1   2    1  0 
       
k1   2   k2  2   k3  1    0 
 1    1   1  0 
       
Sehingga diperoleh sistem persamaan
 k1  2k2  k3   0 

  
  2k1  2k2  k3    0 
 k  k  k  0
 1 2 3   
 1 2  1 0  2b  b  1 2  1 0 


 1 2
 0 6 1 0
  2 2 1 0
 1  1  1 0   b1  b3  0  3 0 0 


 2b3
1

0
0

 2b2  b1
2
6
0
1

0
0

1 0
b b
2
1 0 3
1 0  b3  b1
0
1
0
1

0
0

2
6
0

1
1
b2  b3  0

2
 0

0 0 1
 b2
0 0 6
1 0 
2
6
0
1

0
0

2
1
0

1 0
 1 0 
1
 0 
2 
0 0

0 0
1 0 
0 0

0 0
1 0 
dengan demikian diperoleh solusi tunggal yaitu :
k1 = 0, k2 = 0, dan k3 = 0.
Ini berarti 𝑢, 𝑣 dan 𝑤 saling bebas linear.
Contoh :
Misalkan ,  1
2
1
 
 
 
a   3  b   1  c    6
2
  4
  1
 
 
 
,
Apakah ketiga vektor diatas saling bebas linear R3
Jawab :
Tulis :
0  k1 a  k 2 b  k 3 c
atau
  1 1 2  k1   0 

   
 3 1  6  k2    0 
 2  1  4  k   0 

 3   
dengan OBE diperoleh :
 1 1 2 0

 3b1  b2
3
1

6
0


 2  1  4 0  2b1  b3


 1 1 2 0 

 b
 0 4 0 0 1
 0 1 0 0


 1 1  2 0

 1
 0 4 0 0   4 b2  b3
0 1 0 0


 1 1  2 0

1
 0 4 0 0  b2
0 0 0 0 4


 1 1  2 0


0 1 0 0
0 0 0 0


Ini menunjukan bahwa
k1, k2, k3 merupakan solusi tak hingga banyak
Jadi
a , b , c adalah vektor-vektor yang bergantung linear.
Latihan Bebas Linear dan
Bergantung Linear
1. Buktikan bahwa vektor-vektor berikut bebas
linear atau bergantung linear:
a. u= (-1, 2, 4), v= (5,-10,-20) dalam R3
b. u= (-3,0,4), v= (5, -1,2), w= (1,1,3) dalam R3
2. Periksa, apakah himpunan berikut bebas
linear !
a.
b.
{6 – x2 , 6 + x + 4x2 }
{1 + 3x + 3x2, x + 4x2, 5 + 6x + 3x2, 7 +
2x – x2
BASIS DAN DIMENSI
Definisi Basis
Jika V adalah sembarang ruang vektor dan S = { ū1,
ū2, … , ūn } merupakan himpunan berhingga dari
vektor-vektor di V, maka S dinamakan basis bagi V
jika kedua syarat berikut dipenuhi :
• S membangun V
• S bebas linear
Basis dari suatu ruang vektor tidak harus tunggal
tetapi bisa lebih dari satu. Ada dua macam basis
yang kita kenal yaitu basis standar dan basis tidak
standar.
Definisi Dimensi
 Dimensi
suatu ruang vektor berdimensi terhingga
V, yang dinyatakan dengan dim(V), didefinisikan
sebagi jumlah vektor dalam suatu basis untuk V.
Disamping itu kita mendefinisikan ruang vektor
nol mempunyai dimensi nol.
 Contoh,
dim(R3)=3, dim P2=3, dan dim M22=4
Teorema
jika T A : R  R
Jika A adalah suatu matriks nxn, dan
adalah perkalian dengan A, maka pernyataan
berikut ekuivalen:
a) A bisa dibalik/A memiliki invers
b) Ax=0 hanya mempunyai penyelesaian trivial
c) Bentuk eselon baris tereduksi dari A adalah In
d) A dapat dinyatakan sebagai suatu hasil kali
matriks-matriks dasar
e) Ax=b konsisten untuk setiap matriks b nx1
f)
Ax=b tepat mempunyai satu penyelesaian untuk
setiap matriks b nx1
g) Det (A) ≠ 0
n
h) Daerah hasil T A adalah R
T A adalah satu-satu
i)
n
n
Contoh 1:
 Anggap v 1  (1,2,1), v 2  (2,9,0), v 3  (3,3,4)
tunjukkan bahwa himpunan 𝑆 = 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 adalah
suatu basis untuk R3.
Penyelesaian
1) S bebas secara linear, harus ditunjukkan satusatunya penyelesaian dari:
k1 v 1  k 2 v 2  k 3 v 3  0
adalah k1  k 2  k 3  0
2) S membangun R3, harus ditunjukkan bahwa
sembarang vektor b  b1 , b2 , b3 
dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear
b k v  k v  k v
1
1
2
2
3
3
Dari syarat (1) diperoleh
persamaan:
k  2k  3k  0
2k  9k  3k  0
k  4k  0
1
2
1
1
3
2
3
3
 1 2 3  k 1   0 

   
 2 9 3  k 2    0 
 1 0 4    0 

 k 3   
Dari syarat (2) diperoleh
persamaan:
k  2k  3k  b
2k  9k  3k  b
k  4k  b
 1 2 3  k 1   b1 

   
 2 9 3  k 2    b2 
 1 0 4    

 k 3   b3 
1
2
1
1
3
2
3
1
3
2
3
Berdasarkan teorema, untuk membuktikan bahwa S
bebas linear dan merentang dengan menunjukkan
bahwa determinan matriks koefisien tidak nol.
1 2 3
2 9 3  1
1 0 4
Sehingga S merupakan suatu basis untuk R3
Contoh 2:
Andaikan ruang 𝑉 = 𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑠 , dimana
 1
1
 2 
 2 
 
 
 
 
u   1  , v   2  , w   1  , s   0 
1
 2
 5
 8
 
 
 
 
Cari basis dan dimensi dari ruang 𝑉
Gunakan matriks dan OBE :
 u   1
  
v 1
 w   2
  
 s   2
1

2 2 
1 5

0 8
1

Basis V  1
dim(𝑉) = 2
1

1
 2

 2
1 1 

2 2 
1 5

0 8






1
0
0
0
1 1 

1 3 
1 3 

2 6 
1 1 , 1 2 2 
T
T







1
0
0
0
1 1 

1 3 
1 3 

2 6 
 1  1  
    
  1  ,  2  
 1   2  
    






1
0
0
0
1 1 

1 3 
0 0

0 0
 1 1
 u v w s   1 2
1
2

 1 1 2 2 


0

1

1

2


 0 0 0 0


2 2 

1 0
5 8 
 1 1

0 1
0 0

 1 1

 0 1
 0 3

2 2

1 2
0 0 
2 2 

1 2 
3 6 
1 0 3 4


0
1
1
2


0 0 0 0


Perhatikan satu utama terdapat pada kolom 1 dan 2 saja
sehingga basis 𝑉 adalah
 1  1  
    
 1  ,  2  
 1   2  
    

Untuk 𝑅𝑛 ; dengan
1
0
 
 
0
 
1
e 1   .  , e 2   .  ,
.
.
0
0
 
 
0
 
 0
,e n   . 
 
.
1
 
adalah basis dari 𝑅𝑛 , dan 𝑑𝑖𝑚 𝑅𝑛 = 𝑛.
Basis 𝑒1 , 𝑒2 , ⋯ , 𝑒𝑛 disebut basis natural atau
basis standard.
Berdasarkan hal ini, basis standard 𝑅 2 adalah
1
0
e 1   0  , e 2   1 
𝑑𝑖𝑚 𝑅 2 = 2
Latihan Basis dan Dimensi
Cari basis dan dimensi dari ruang 𝑉 = 𝑢, 𝑣, 𝑤 ; jika
1.
2.
1
 2 
 1 
 
 



4

1

14

u   ,v   , w  
 3
1
 11 
 
 


2
2
10
 
 


1
 2
 1
 
 
 

1

1
0
u   ,v   , w   
1
1
1
 
 
 
2

2
 
 
1
3. Periksa, apakah himpunan berikut merupakan
basis bagi polinom orde 2 (P2)
a. {4 + 6x + x2, – 1 + 4x + 2x2, 5 + 2x – x2}
b. {– 4 + x + 3x2, 6 + 5x + 2x2, 8 + 4x + x2}
Teorema
Himpunan 𝑢1 , 𝑢2 , ⋯ 𝑢𝑛 yang bebas linear dari
ruang vektor 𝑉 berdimensi 𝑛 adalah sistem
pembentuk bagi ruang vektor 𝑉
Catatan :
o Setiap sistem pembentuk yang bebas linear
adalah basis dari suatu ruang vektor;
o Setiap himpunan 𝑢1 , 𝑢2 , ⋯ 𝑢𝑛
yang bebas
linear adalah basis dari ruang vektor
berdimensi 𝑛

Teorema
 Jika
ruang vektor 𝑉 berdimensi 𝑛, maka
setiap himpunan yang memuat 𝑛 + 1
anggota atau lebih adalah bergantung
linear.
BASIS RUANG KOLOM DAN
BASIS RUANG BARIS
Misalkan matriks :
 1  2 1 1 


A   1 2 3 1 
 1 2 2 1 


Vektor
baris
Vektor
kolom
dengan melakukan OBE diperoleh :
Perhatikan kolom-kolom pada matriks hasil OBE
matriks A mempunyai basis ruang kolom yaitu :
  1   1 
    
 1 ,  3  
 1   2  
    
basis ruang baris diperoleh dengan cara mentrans-
poskan terlebih dahulu matriks A,
lakukan OBE pada At, sehingga diperoleh :
Kolom-kolom pada matriks hasil OBE yang memiliki
satu utama berseseuaian dengan matriks asal (A).
Ini berarti, matriks A tersebut mempunyai basis
ruang baris :
  1   1  
    
  2   2  
 ,   
  1   3  
 1    1 


Dimensi basis ruang baris = ruang kolom
dinamakan rank.
Jadi rank dari matriks A adalah 2.
Latihan Basis Ruang Kolom
dan Ruang Baris
Tentukan basis ruang kolom dan ruang baris dari matriks
 1 3 4 2 5 4 
 2 6 9 1 8

2

A
 2 6 9 1 9 7 


 1 3 4 2 5 4 