Salah satu bagian pertama dari aljabar linier yang dilihat siswa adalah metode penyelesaian sistem persamaan linier menggunakan matriks dan eliminasi Gauss – Jordan. Kami memeriksa kembali topik ini sekarang. Mari kita mulai dengan contoh sederhana. Kita ingin mencari nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan π₯ + π¦ = 2 dan 2π₯ + π¦ = 3 secara bersamaan. Ini harus bisa kita lakukan dengan cepat di kepala kita, atau di atas kertas. Jika kita menggunakan Maple, kita mungkin akan menggunakan perintah selesaikan. > Namun, kita juga bisa mengatasi masalah ini menggunakan alat dari aljabar linier. Mari kita mulai dengan membangun sebuah vektor di mana elemen-elemen di dalam vektor adalah persamaan yang kita coba selesaikan secara bersamaan [ π₯+π¦ =2 ] 2π₯ + π¦ = 3 Ini dapat dianggap sebagai π₯+π¦ 2 [2π₯ + π¦] = [ ] 3 yang di turn dapat dianggap sebagai 1 [ 2 1 π₯ 2 ][ ] = [ ] 1 π¦ 3 yang merupakan persamaan bentuk π΄π₯ = π dimana π΄ adalah matriks, dan π₯ dan π adalah matriks. Solusi untuk masalah ini adalah dengan menyusun matriks augmented 1 1 2 [ ] 2 1 3 dan melakukan eliminasi Gaussian agar matriks tersebut berbentuk eselon baris, atau eliminasi Gauss – Jordan agar matriks berada dalam bentuk eselon baris tereduksi. Eselon baris tereduksi adalah bentuk yang lebih mudah untuk melihat solusi secara langsung, tetapi biasanya sedikit rumit (atau, setidaknya rumit) untuk diproduksi dengan tangan. Untungnya, kami tidak memiliki masalah seperti itu saat menggunakan CAS, dan paket LinearAlgebra menyertakan fungsi yang akan menghitung bentuk eselon baris tereduksi dari sebuah matriks dan diberi nama, mungkin tidak mengejutkan, ReducedRowEchelonForm > Kita dapat membaca jawaban bahwa x = 1 dan y = 1 langsung dari matriks ini, mengingat bahwa ini adalah matriks tambahan yang mewakili persamaan vektor 1 [ 0 0 π₯ 1 ][ ] = [ ] 1 π¦ 1 yang setara dengan persamaan awal kita (karena fakta bahwa operasi baris dasar, seperti yang dilakukan di Eliminasi Gauss – Jordan tidak mengubah solusi dari sistem persamaan). Secara umum, untuk sistem persamaan linier simultan m dalam n yang tidak diketahui, kita membangun matriks koefisien m × n, A katakanlah, dan vektor konstanta (ruas kanan persamaan) b. Sistem kemudian dapat dianggap sebagai persamaan vektor π΄π₯ = π di mana x adalah vektor dari nilai yang tidak diketahui. Kami kemudian menghitung solusi dengan mengurangi matriks yang diperbesar [π΄ | π] menjadi bentuk eselon baris tereduksi. (Perhatikan di sini bahwa [π΄ | π] adalah matriks A dengan b ditambahkan sebagai vektor kolom terakhir). Ini seharusnya bukan sesuatu yang baru bagi setiap siswa yang telah mempelajari matematika universitas tahun pertama Dalam kasus sistem persamaan dengan dua atau tiga variabel yang tidak diketahui, terdapat interpretasi geometris yang jelas dari sistem persamaan linier ini. Persamaan ax + by = c mendeskripsikan garis unik dalam bidang Euclidean. Garis ini dapat dianggap sebagai kumpulan semua titik (x, y) pada bidang yang memenuhi persamaan ax + by = c. Saat mengevaluasi dua persamaan tersebut secara bersamaan, kami mencari kumpulan semua titik (x, y) yang memenuhi kedua persamaan pada saat yang sama, atau — secara geometris — kumpulan semua titik yang terletak pada kedua garis (perpotongan keduanya garis). Dengan pesawat, tidak banyak hal berbeda yang bisa terjadi. Entah semua persamaan menggambarkan garis yang sama, dalam hal ini kita akan melihat banyak solusi yang tak terhingga, atau garis-garis tersebut akan bertemu pada suatu titik di suatu tempat, dalam hal ini akan ada satu solusi, atau garis-garis itu sejajar dalam hal ini tidak akan ada solusi. Mari kita lihat contoh di atas, π₯ + π¦ = 2 dan 2π₯ + π¦ = 3. Kita sudah tahu bahwa satusatunya solusi untuk sistem persamaan ini adalah π₯ = 1, π¦ = 1. Saat kita memplot garisgaris ini, kita harus berharap melihat mereka menyeberang di titik (1, 1). Perhatikan bahwa untuk memplot garis-garis ini, kita perlu memanipulasi persamaan ke dalam bentuk ekuivalen π¦ = 2 − π₯ dan π¦ = 3 − 2π₯ > Ketika lebih dari dua garis diperkenalkan, kemungkinan ada titik di mana mereka semua berpotongan menjadi lebih kecil (sangat mungkin bahwa dua garis akan berpotongan; intinya di sini adalah bahwa solusi persamaan simultan haruslah titik di mana semua garis berpotongan pada titik yang sama). Misalnya, jika kita memperluas sistem di atas untuk juga menyertakan persamaan −3π₯ + π¦ = 4 dan −π₯ + π¦ = −2, memplot keempat garis menunjukkan dengan jelas bahwa tidak ada titik perpotongan yang sama untuk keempat garis > Dan aljabar linier menghasilkan hasil yang diharapkan > > Error, (in LinearAlgebra:-LinearSolve) inconsistent system Ini tidak benar-benar datang lebih jelas dari pesan kesalahan itu, selama kita tahu bahwa sistem persamaan linier yang tidak konsisten tidak memiliki solusi. Bahkan jika kita tidak mengetahuinya, seharusnya cukup jelas dari konteksnya. Kami juga dapat, jika ingin, membaca ini langsung dari matriks yang diperbesar dalam bentuk eselon baris tereduksi. Perhatikan baris kedua dari bawah yang seharusnya terbaca 0π₯ + 0π¦ = 1. > Sekarang mari kita lihat ini dalam tiga dimensi. Ingatlah bahwa dalam ruang-3 nyata, persamaan ax + dengan + cz = d mendeskripsikan sebuah bidang. Perpotongan dari tiga atau lebih bidang yang berbeda akan berupa garis, titik, atau tidak ada. Dalam kasus hanya dua bidang yang berbeda maka persimpangan hanya dapat berupa garis atau tidak ada sama sekali. Kita mulai dengan himpunan persamaan berikut π₯ + π¦ + π§ = 3 −π₯ − π¦ + π§ = −2 2π₯ + π¦ + π§ = 0 Tujuan kita di sini adalah untuk melihat bagaimana bidang-bidang berpotongan (jika memang demikian). Untuk melakukan ini paling efektif, kita perlu tahu apakah mereka berpotongan, dan jika demikian, lalu di mana. Jadi kita pertama-tama memecahkan sistem persamaan. Untuk menyelesaikan persamaan ini sekarang kita menggunakan fungsi πΏπππππππππ£π dari paket LinearAlgebra. Fungsi ini memiliki dua bentuk dasar. Jika A adalah matriks, dan b adalah vektor, maka perintah πΏπππππππππ£π (π΄, π) akan menyelesaikan sistem linier π΄π₯ = π. Namun, jika kita menggunakan bentuk πΏπππππππππ£π (π΄) (tanpa b) maka Maple akan menganggap bahwa A adalah matriks yang diperbesar, dan menyelesaikan sistem linier untuk matriks yang diperbesar tersebut. Kami menggunakan formulir pertama di sini. > > Jadi sekarang kita melihat bahwa hanya ada satu titik, [−3, 11 2, 1 2] di mana ketiga bidang berpotongan. Sekarang kita dapat memplot pesawat sedemikian rupa untuk melihat persimpangan ini dengan jelas. Untuk memiliki titik potong dekat dengan tengah plot (sehingga, kami berharap, untuk melihat sebagian besar keterkaitan bidang) kita plot di atas rentang-x (0, 6) dan rentang-y ( 3, 9). Namun, kami memiliki masalah kecil. Jika kita meminta Maple untuk memplot fungsi ini dengan satu perintah plot, kita akan memiliki daftar tiga elemen untuk plot kita, yang akan diinterpretasikan plot3d sebagai persamaan parametrik. Untuk menghindari masalah ini kita membuat parameter ketiga bidang sebagai 1 [π₯, π¦, (−ππ₯ − ππ¦ + π)] π > > > >
