LINEAR ALGEBRA Modul Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Tugas Terstruktur Mata Kuliah : Komputasi Matematik Dosen Pengampu : Arif Abdul Haqq S.Si., M.Pd. Oleh: Saeful Bahri (1808105093) Fatonah (1808105106) Soka Wayana (1808105119) T.MTK 6C JURUSAN TADRIS MATEMATIKA FAKULTAS ILMU TARBIYAH DAN KEGURUAN (FITK) IAIN SYEKH NURJATI CIREBON 2021 KATA PENGANTAR Dengan menyebut nama Allah Yang Maha Pengasih lagi Maha Penyayang, puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan Rahmat, Hidayah, dan Inayah-Nya sehingga kami dapat merampungkan penyusunan modul Komputasi Matematika ini dengan judul “Linear Algebra" tepat pada waktunya. Tidak lepas dari semua itu, kami menyadari sepenuhnya bahwa masih terdapat kekurangan baik dari segi penyusunan bahasa dan aspek lainnya. Oleh karena itu, dengan lapang dada kami membuka selebar-lebarnya pintu bagi para pembaca yang ingin memberi saran maupun kritik demi memperbaiki modul ini. Akhirnya kami sangat mengharapkan semoga dari modul sederhana ini dapat diambil manfaatnya dan besar keinginan kami dapat menginspirasi para pembaca untuk mengangkat permasalahan lain yang relevan pada modul-modul selanjutnya. Cirebon, 29 April 2021 Penyusun i DAFTAR ISI KATA PENGANTAR ....................................................................................................... i DAFTAR ISI .................................................................................................................... ii LINEAR ALGEBRA .........................................................................................................3 3.1.1 Vektor dan Matriks dalam Maple .............................................................................. 3 3.1.2 Persamaan Linear Simulan ...................................................................................... 11 3.1.3 Elementary Row Operations(Operasi Baris Dasar) ................................................. 18 Latihan Soal .....................................................................................................................30 DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................................31 ii LINEAR ALGEBRA 3.1.1 Vektor dan Matriks dalam Maple Sebelum kita dapat mulai menjelajahi banyak aljabar linier di Maple, pertama-tama kita harus mengetahui caranya untuk membuat blok bangunan dasar yang diperlukan. Dengan demikian, bagian ini pada dasarnya dikhususkan hanya untuk sintaks dan semantik Maple untuk blok bangunan dasar aljabar linier; matriks dan vektor. Ini sangat disayangkan, tetapi perlu, dan kami kembali ke upaya matematika yang lebih dominan secepat mungkin. Seperti yang dinyatakan sebelumnya, aljabar linier kurang lebih bermuara pada vektor dan matriks (meskipun perbedaannya tidak terlalu jelas dan siswa tahun kedua atau lebih baru aljabar linier harus melihat bahwa matriks bisa menjadi vektor dari sebuah vector ruang). Maple dapat menangani kreasi, dan aritmatika dasar (penjumlahan, penskalaan, dan perkalian nonkomutatif) tanpa perlu memuat paket eksternal apa pun. Ada beberapa cara untuk mendeklarasikan vektor. Perhatikan, bagaimanapun, bahwa daftar Maple adalah bukan vektor, meskipun mungkin berperilaku sedikit seperti vektor. Cara termudah untuk mendefinisikan vektor menggunakan notasi pintasan <>. Sekilas metode ini memberikan cara mudah untuk melihat bahwa sesuatu adalah vektor. Trik satu-satunya adalah mengingat bahwa koma digunakan sebagai pembatas jika diinginkan vektor kolom, dan batang vertikal digunakan ketika seseorang menginginkan vektor baris. 3 Maple juga menyediakan perintah Vektor (perhatikan huruf besar "V") untuk pembuatan vektor. Bentuk paling sederhana dari perintah ini mengambil list sebagai input, dan menghasilkan vektor kolom, atau vektor baris jika parameter yang digunakan benar Sebagai gantinya, perintah Vektor dapat digunakan untuk menentukan jumlah elemen dalam vektor, serta fungsi (atau nilai) yang harus diambil setiap elemen. Jika tidak ada detik parameter diberikan, maka nilai defaultnya adalah 0. 4 Untuk penggunaan tambahan dari perintah Vektor, lihat file bantuan Maple (? Vektor). Matriks dapat dideklarasikan dengan cara yang serupa. Kita mungkin menganggap matriks sebagai vektor di mana setiap baris juga merupakan vektor (atau, ekuivalen, vektor baris di mana setiap kolom juga vektor). Dengan demikian, pintasan hi kami juga memungkinkan kami untuk mendeklarasikan matriks. Sama seperti vektor, ada juga fungsi Matriks untuk deklarasi matriks. Itu bentuk dasar dari perintah ini membutuhkan list list, dimana list terdalam harus semuanya memiliki panjang yang sama, dan mewakili vektor baris. Tersisa, seperti halnya vektor, kapasitas untuk menentukan ukuran file secara langsung matriks, dan fungsi (atau nilai) untuk mengisinya, dengan default adalah 0. Perhatikan itu saat menentukan ukuran matriks, baik jumlah baris, maupun jumlah kolom harus ditentukan, dalam urutan itu. Jika hanya satu ukuran yang diberikan maka matriksnya adalah dianggap persegi, tetapi orang harus berhati-hati menggunakan metode ini, sebagai yang kedua 5 parameter pasti harus berupa fungsi atau variabel. Jika tidak yakin, itu selalu yang terbaik untuk menyatakan lebar dan tinggi secara eksplisit. Sekarang kita tahu bagaimana menghasilkan vektor dan matriks di Maple, kita harus menerapkannya untuk dapat melakukan aritmatika biasa dengan Maple. Sebagian besar masih mungkin tanpa perlu paket tambahan, tetapi kami mulai mengalami beberapa situasi di mana mungkin lebih baik untuk mulai menggunakan beberapa fungsi LinearAljabar. Matriks dan vektor dapat ditambahkan dan dikurangi dengan operator Maple biasa untuk tujuan tersebut. Mereka dapat diskalakan menggunakan perkalian dan pembagian operator (perhatikan bahwa pembagian dengan a sama dengan menskalakan vektor dengan a −1). Catat itu vektor harus berupa 6 vektor baris atau kolom agar dapat ditambahkan. Demikian pula, matriks harus memiliki ukuran yang sama agar dapat ditambahkan. Matriks juga dapat dikalikan menggunakan. (titik) operator. Berhatihatilah di sini, ini adalah "titik penuh" (titik) dan bukan · yang telah kita gunakan sampai sekarang untuk perkalian. Kita juga dapat mengambil pangkat dari matriks menggunakan metode superskrip biasa. Itu. operator adalah operator Maple untuk melakukan perkalian nonkomutatif; lihat? titik. Berhati-hatilah, karena mungkin sulit untuk membedakan antara file dua simbol perkalian. Itu. Operator (titik) juga bisa, 7 seperti namanya mungkin membuat kita tersangka, digunakan untuk menghitung perkalian titik dari dua vektor. Jawabannya di sini adalah perkalian titik yang lebih umum seperti yang didefinisikan untuk vektor kompleks ruang. Ini, tentu saja, memberikan jawaban yang sama dalam kasus nyata jika kita mengingatnya konjugasi atau bilangan real itu sendiri (yaitu, x¯ = x if x ∈ R). Kita harus berhati-hati pastikan bahwa kedua vektor tersebut adalah jenis vektor yang sama (baris atau kolom), jika tidak Maple mungkin menghasilkan beberapa hasil yang tidak terduga. Kasus pertama terlihat seperti perkalian titik biasa (meskipun tanpa kompleks konjugasi). Kasus kedua adalah matriks 2x2, dan persis seperti matriks yang kita inginkan dapatkan jika kita menganggap vektor u menjadi matriks kolom tunggal, dan vektor v menjadi matriks baris tunggal. Kebingungan di atas dapat diredakan dengan beberapa fungsi dari Paket LinearAlgebra. Namun, ini datang dengan biaya pengetikan tambahan, dan tampilan yang kurang matematis untuk input. Perintah DotProduct dan Multiply melakukan perkalian titik, dan perkalian. 8 Keuntungan DotProduct adalah kita tidak perlu memastikan keduanya vektor memiliki jenis yang sama dan, sebagai tambahan, kami tidak dapat secara tidak sengaja melakukan matriks perkalian. Perintah Multiply kurang lebih melakukan segala sesuatu yang file. operator juga yang biasa dilakukan operator perkalian (·), dengan pengecualian perkalian titik vektor. Konsultasi file bantuan pada fungsi ini menjelaskan perilaku yang tidak biasa saat kami mencoba untuk mengalikan dua jenis vektor (yang seharusnya, pada gilirannya, menjelaskan mengapa. operator berperilaku tidak biasa dalam kasus ini juga). Mengalikan vektor baris dengan vektor kolom (dalam urutan itu) menghasilkan skalar. Itu skalar yang dimaksud adalah elemen tunggal di dalam matriks 1 × 1 yang kita inginkan memiliki jika kita menganggap vektor menjadi matriks baris / kolom tunggal, masing-masing. Ini adalah berbeda dari perkalian titik karena kita hanya mengalikan elemen individu dari setiap vektor bersama-sama. Jika vektor berisi bilangan kompleks, kita tidak akan berakhir dengan konjugasi kompleks dalam hal ini yang kita lakukan dengan perkalian titik. Akhirnya, sebelum kita beralih ke sesuatu yang lebih matematis, kita mendemonstrasikan dua hal lebih banyak jalan pintas. Kebalikan dari sebuah 9 matriks (jika ada), dapat dihitung dengan menggunakan notasi eksponensial, seperti yang diharapkan. Artinya, jika kita menaikkan matriks ke power −1 Maple akan menghitung matriks invers. Ingatlah bahwa untuk matriks persegi A matriks invers adalah matriks unik (biasanya ditulis A − 1) dengan properti itu A − 1A = AA − 1 = I. Transposisi matriks (matriks dibuat saat vektor kolom diubah menjadi menjadi vektor baris, atau — ekuivalen — sebaliknya, biasanya ditulis AT) dapat diperoleh dengan meningkatkan matriks (di Maple, yaitu) dengan kekuatan% T. Biasanya, ada fungsi tambahan dalam paket LinearAlgebra yang juga akan digunakan melakukan invers matriks dan transpose. 10 Fungsi lain dalam paket LinearAlgebra dapat (dan bahkan harus) diperiksa menggunakan file bantuan Maple pada paket (? LinearAlgebra). Diskusi lebih lanjut tentang fungsi dari paket ini (dan pendekatan Maple untuk aljabar linier secara umum) membutuhkan tempatkan sebagai dan kapan mereka dibutuhkan dalam kursus matematika berikut. 3.1.2 Persamaan Linear Simultan Salah satu bagian pertama dari aljabar linier yang dilihat siswa adalah metode penyelesaian sistem persamaan linier menggunakan matriks dan eliminasi Gauss – Jordan. Kami memeriksa kembali topik ini sekarang. Mari kita mulai dengan contoh sederhana. Kita ingin mencari nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan π₯ + π¦ = 2 dan 2π₯ + π¦ = 3 secara bersamaan. Ini harus bisa kita lakukan dengan cepat di kepala kita, atau di atas kertas. Jika kita menggunakan Maple, kita mungkin akan menggunakan perintah selesaikan. > Namun, kita juga bisa mengatasi masalah ini menggunakan alat dari aljabar linier. Mari kita mulai dengan membangun sebuah vektor di mana elemen-elemen di dalam vektor adalah persamaan yang kita coba selesaikan secara bersamaan [ π₯+π¦ =2 ] 2π₯ + π¦ = 3 Ini dapat dianggap sebagai [ π₯+π¦ 2 ]=[ ] 2π₯ + π¦ 3 yang di turn dapat dianggap sebagai 11 2 1 π₯ ] [π¦ ] = [ ] 3 1 1 [ 2 yang merupakan persamaan bentuk π΄π₯ = π dimana π΄ adalah matriks, dan π₯ dan π adalah matriks. Solusi untuk masalah ini adalah dengan menyusun matriks augmented 1 1 [ 2 1 2 ] 3 dan melakukan eliminasi Gaussian agar matriks tersebut berbentuk eselon baris, atau eliminasi Gauss – Jordan agar matriks berada dalam bentuk eselon baris tereduksi. Eselon baris tereduksi adalah bentuk yang lebih mudah untuk melihat solusi secara langsung, tetapi biasanya sedikit rumit (atau, setidaknya rumit) untuk diproduksi dengan tangan. Untungnya, kami tidak memiliki masalah seperti itu saat menggunakan CAS, dan paket LinearAlgebra menyertakan fungsi yang akan menghitung bentuk eselon baris tereduksi dari sebuah matriks dan diberi nama, mungkin tidak mengejutkan, ReducedRowEchelonForm > Kita dapat membaca jawaban bahwa x = 1 dan y = 1 langsung dari matriks ini, mengingat bahwa ini adalah matriks tambahan yang mewakili persamaan vektor 1 0 π₯ 1 [ ][ ] = [ ] 0 1 π¦ 1 yang setara dengan persamaan awal kita (karena fakta bahwa operasi baris dasar, seperti yang dilakukan di Eliminasi Gauss – Jordan tidak mengubah solusi dari sistem persamaan). 12 Secara umum, untuk sistem persamaan linier simultan m dalam n yang tidak diketahui, kita membangun matriks koefisien m × n, A katakanlah, dan vektor konstanta (ruas kanan persamaan) b. Sistem kemudian dapat dianggap sebagai persamaan vektor π΄π₯ = π di mana x adalah vektor dari nilai yang tidak diketahui. Kami kemudian menghitung solusi dengan mengurangi matriks yang diperbesar [π΄ | π] menjadi bentuk eselon baris tereduksi. (Perhatikan di sini bahwa [π΄ | π] adalah matriks A dengan b ditambahkan sebagai vektor kolom terakhir). Ini seharusnya bukan sesuatu yang baru bagi setiap siswa yang telah mempelajari matematika universitas tahun pertama Dalam kasus sistem persamaan dengan dua atau tiga variabel yang tidak diketahui, terdapat interpretasi geometris yang jelas dari sistem persamaan linier ini. Persamaan ax + by = c mendeskripsikan garis unik dalam bidang Euclidean. Garis ini dapat dianggap sebagai kumpulan semua titik (x, y) pada bidang yang memenuhi persamaan ax + by = c. Saat mengevaluasi dua persamaan tersebut secara bersamaan, kami mencari kumpulan semua titik (x, y) yang memenuhi kedua persamaan pada saat yang sama, atau — secara geometris — kumpulan semua titik yang terletak pada kedua garis (perpotongan keduanya garis). Dengan pesawat, tidak banyak hal berbeda yang bisa terjadi. Entah semua persamaan menggambarkan garis yang sama, dalam hal ini kita akan melihat banyak solusi yang tak terhingga, atau garis-garis tersebut akan bertemu pada suatu titik di suatu tempat, dalam hal ini akan ada satu solusi, atau garis-garis itu sejajar dalam hal ini tidak akan ada solusi. Mari kita lihat contoh di atas, π₯ + π¦ = 2 dan 2π₯ + π¦ = 3. Kita sudah tahu bahwa satu-satunya solusi untuk sistem persamaan ini adalah π₯ = 1, π¦ = 1. Saat kita memplot garis-garis ini, kita harus berharap melihat mereka 13 menyeberang di titik (1, 1). Perhatikan bahwa untuk memplot garis-garis ini, kita perlu memanipulasi persamaan ke dalam bentuk ekuivalen π¦ = 2 − π₯ dan π¦ = 3 − 2π₯ > Ketika lebih dari dua garis diperkenalkan, kemungkinan ada titik di mana mereka semua berpotongan menjadi lebih kecil (sangat mungkin bahwa dua garis akan berpotongan; intinya di sini adalah bahwa solusi persamaan simultan haruslah titik di mana semua garis berpotongan pada titik yang sama). Misalnya, jika kita memperluas sistem di atas untuk juga menyertakan persamaan −3π₯ + π¦ = 4 dan −π₯ + π¦ = −2, memplot keempat garis menunjukkan dengan jelas bahwa tidak ada titik perpotongan yang sama untuk keempat garis 14 > Dan aljabar linier menghasilkan hasil yang diharapkan > > Error, (in LinearAlgebra:-LinearSolve) inconsistent system 15 Ini tidak benar-benar datang lebih jelas dari pesan kesalahan itu, selama kita tahu bahwa sistem persamaan linier yang tidak konsisten tidak memiliki solusi. Bahkan jika kita tidak mengetahuinya, seharusnya cukup jelas dari konteksnya. Kami juga dapat, jika ingin, membaca ini langsung dari matriks yang diperbesar dalam bentuk eselon baris tereduksi. Perhatikan baris kedua dari bawah yang seharusnya terbaca 0π₯ + 0π¦ = 1. > Sekarang mari kita lihat ini dalam tiga dimensi. Ingatlah bahwa dalam ruang-3 nyata, persamaan ax + dengan + cz = d mendeskripsikan sebuah bidang. Perpotongan dari tiga atau lebih bidang yang berbeda akan berupa garis, titik, atau tidak ada. Dalam kasus hanya dua bidang yang berbeda maka persimpangan hanya dapat berupa garis atau tidak ada sama sekali. Kita mulai dengan himpunan persamaan berikut π₯ + π¦ + π§ = 3 −π₯ − π¦ + π§ = −2 2π₯ + π¦ + π§ = 0 Tujuan kita di sini adalah untuk melihat bagaimana bidang-bidang berpotongan (jika memang demikian). Untuk melakukan ini paling efektif, kita perlu tahu apakah mereka berpotongan, dan jika demikian, lalu di mana. Jadi kita pertama-tama memecahkan sistem persamaan. 16 Untuk menyelesaikan persamaan ini sekarang kita menggunakan fungsi πΏπππππππππ£π dari paket LinearAlgebra. Fungsi ini memiliki dua bentuk dasar. Jika A adalah matriks, dan b adalah vektor, maka perintah πΏπππππππππ£π (π΄, π) akan menyelesaikan sistem linier π΄π₯ = π. Namun, jika kita menggunakan bentuk πΏπππππππππ£π (π΄) (tanpa b) maka Maple akan menganggap bahwa A adalah matriks yang diperbesar, dan menyelesaikan sistem linier untuk matriks yang diperbesar tersebut. Kami menggunakan formulir pertama di sini. > > Jadi sekarang kita melihat bahwa hanya ada satu titik, [−3, 11 2, 1 2] di mana ketiga bidang berpotongan. Sekarang kita dapat memplot pesawat sedemikian rupa untuk melihat persimpangan ini dengan jelas. Untuk memiliki titik potong dekat dengan tengah plot (sehingga, kami berharap, untuk melihat sebagian besar keterkaitan bidang) kita plot di atas rentang-x (0, 6) dan rentangy ( 3, 9). Namun, kami memiliki masalah kecil. Jika kita meminta Maple untuk memplot fungsi ini dengan satu perintah plot, kita akan memiliki daftar tiga elemen untuk plot kita, yang akan diinterpretasikan plot3d sebagai persamaan parametrik. Untuk menghindari masalah ini kita membuat parameter ketiga bidang sebagai 17 1 [π₯, π¦, (−ππ₯ − ππ¦ + π)] π > > > > 3.1.3 Elementary Row Operations(Operasi Baris Dasar) Sekarang kita melihat lebih dekat pada operasi baris dasar (dan, ekuivalen, kolom). Ada tiga operasi dasar yang dapat dilakukan: ο· Tukar dua baris 18 ο· ο· Mengalikan baris dengan konstanta Tambahkan kelipatan dari satu baris kebaris lain. Diharapkan bahwa tidak ada yang baru bagi pembaca. Apa yang mungkin baru, bagaimanapun, adalah bahwa dimungkinkan untuk membangun matriks yang melakukan operasi baris ini ketika mereka dikalikan (di sebelah kiri) dengan matriks lain. Ide inilah yang kami jelajahi. Penting untuk dicatat pada poin ini bahwa tidak ada tujuan praktis untuk melakukan operasi baris dengan perkalian matriks dan, memang, melakukan operasi secara langsung lebih cepat dan lebih mudah. Namun, fakta bahwa kita dapat melakukan ini memungkinkan kita untuk membuktikan beberapa fakta tentang matriks yang dapat dibalik. Untuk membuat matriks operasi baris ini, yang disebut matriks elementer, kita cukup melakukan operasi baris secara manual pada matriks identitas. Matriks yang dihasilkan kemudian akan melakukan operasi baris yang sama ketika dikalikan dengan matriks lain. Kami mendemonstrasikan hal ini untuk kasus matriks 2x2. > > > > Paket LinearAlgebra Maple memberi kita fungsi RowOperation (seperti yang telah kita gunakan di atas) untuk melakukan operasi baris. Ada (tidak mengherankan) tiga cara menggunakan fungsi ini. Metode yang digunakan di atas, RowOperation (M, [a, b]), akan menukar baris a dan b dalam matriks M. Inilah yang kita lihat terjadi pada matriks identitas di atas. 19 > > Saat kita mengalikan matriks S di sebelah kiri dengan matriks arbitrer, kita dapat melihat bahwa matriks tersebut menukar baris seperti yang diklaim. Perilaku ini dapat diverifikasi di atas kertas, dan melakukannya harus menunjukkan mengapa matriks melakukan ini. Selanjutnya, ketika kita mengalikan di sebelah kanan dengan matriks kita, ia melakukan pertukaran sebagai operasi kolom. Ini juga dapat dikonfirmasi di atas kertas. Melanjutkan cara ini, sekarang kita membuat matriks untuk mengalikan baris tertentu dengan konstanta. Bentuk perintah untuk operasi ini adalah RowOperation (M, r, k) yang mengalikan baris r pada matriks M dengan konstanta k. > > > Benar saja, kedua matriks ini berperilaku seperti yang diharapkan. Mengalikan di kiri terhadap matriks arbitrer melakukan operasi baris, dan mengalikan di kanan melakukan operasi kolom yang setara. Terakhir, kami membuat matriks untuk menambahkan kelipatan satu baris ke baris lain. Bentuk perintah untuk operasi ini adalah RowOperation (M, [a, b], k) yang menambahkan baris b dikalikan dengan k ke baris a. Kita menggunakan skema 20 penamaan yang mungkin terlalu rumit untuk matriks-matriks ini, tetapi tidak menyisakan sedikit keraguan tentang apa yang matriks itu lakukan. > > > > Harus disebutkan pada poin ini bahwa matriks elementer ini tidak perlu dikalikan dengan matriks kuadrat saja. Matriks dasar itu sendiri akan selalu persegi (karena diperoleh dengan melakukan operasi baris pada matriks identitas, yang selalu persegi). Namun, seperti halnya operasi baris dapat dilakukan pada matriks ukuran apa pun, matriks dasar juga akan melakukan operasi baris yang sesuai pada matriks ukuran apa pun. Ketentuan satu-satunya adalah yang biasa untuk perkalian matriks, yaitu ketika mengalikan matriks A dan B bersama-sama, A harus memiliki jumlah kolom yang sama karena B memiliki baris. Artinya untuk matriks elementer kita adalah bahwa matriks elementer n × n akan melakukan operasi barisnya saat mengalikan di sebelah kiri setiap matriks dengan tepat n baris. Demikian pula, ketika mengalikan di sebelah kanan, matriks tersebut akan melakukan operasi kolom pada matriks apa pun dengan n kolom. > > 21 > Error, (in LinearAlgebra:-Multiply) first matrix column dimension (5) <> second matrix row dimension (2) Perhatikan bahwa hal terakhir yang kita coba adalah mengalikan di kanan, bukan di kiri, dan Maple mengeluarkan kesalahan untuk memberi tahu kita bahwa matriks bisa tidak bisa dikalikan dalam urutan itu, seperti yang sudah kita ketahui bahwa mereka tidak bisa. > > > Error, (in LinearAlgebra:-Multiply) first matrix column dimension (2) <> second matrix row dimension (5) Kami sekarang menggabungkan semua ini dengan matriks nyata (permainan kata-kata). Untuk memungkinkan kita menggunakan matriks M dan A dengan benar, kita membuat fungsi yang memungkinkan kita memilih nilai k tertentu yang kita inginkan. 22 Sekarang kita melakukan operasi baris — melalui perkalian dengan matriks elementer — untuk mereduksi matriks R menjadi bentuk eselon baris tereduksi form. Kita harus mencatat di sini bahwa kita telah secara tidak sengaja menemukan matriks invers untuk R. Inversi tersebut adalah hasil kali dari tiga matriks elementer yang kita gunakan dalam urutan yang benar. Karena kita mengalikan di kiri secara keseluruhan, urutan perkalian yang benar adalah dimulai dengan matriks elementer terakhir, dan dilanjutkan ke belakang. 23 Benar saja, jika kita meminta Maple secara langsung untuk kebalikan dari matriks R kita maka itu memberi kita matriks yang baru saja kita hitung. Ini bukan kebetulan. Dalam kasus ini, matriks yang dapat dibalik akan selalu menjadi matriks identitas bila diubah menjadi bentuk eselon baris tereduksi. Selain itu, setiap matriks yang dapat dibalik selalu dapat dibuat dengan mengalikan beberapa urutan matriks dasar. Kita lihat ide ini sekarang. Pertama, amati bahwa setiap matriks elementer dapat dibalik. Ini adalah konsekuensi langsung dari fakta bahwa operasi baris itu sendiri adalah proses yang dapat dibalik. Kita dapat, sangat sederhana, membatalkan operasi baris apa pun yang kita lakukan sebagai berikut: Operation(oprasi) Tukari baris a dan b Kalikan baris a dengan konstanta k Tambahkan k kali baris a ke baris b Inverse(terbalik) Tukari baris a dan b 24 1 Kalikan baris a dengan konstanta π Tambahkan –k kali baris a ke baris b Kita melihat matriks dasar tiga dimensi kali ini. Pertama kita harus membatalkan penetapan variabel yang kita gunakan untuk berbagai ragam matriks dasar sebelumnya, karena kita akan menggunakannya lagi. Kita menyederhanakan pembuatan matriks dengan menggunakan beberapa for loop. Perhatikan bahwa untuk menukar baris, menukar baris a dan b sama persis dengan menukar baris b dan a, jadi kita hindari membuat duplikat matriks pertukaran baris, dan tetapkan, saat menukar baris, bahwa kita akan selalu menentukan baris bernomor terendah terlebih dahulu. 25 Disini || adalah operator Maple untuk penggabungan stringnya r || i + k . r || j diubah oleh Maple menjadi ri + k · rj, dengan i dan j diganti dengan benar untuk nilai yang benar. Sebaliknya, hanya memasukkan ri + k · rj secara langsung tidak akan melakukan substitusi yang relevan karena Maple akan menganggap ri dan rj sebagai nama variabel lengkap dengan hak mereka sendiri. Mari kita lihat matriks dasar baru kita sekarang. Sekarang kita melakukan reduksi baris lagi pada matriks 3 × 3 nyata, seperti yang kita lakukan di atas untuk matriks R 2 × 2 kita. Bahkan, kita bahkan menggunakan kembali nama tersebut. Namun, kami melanjutkan sedikit lebih cepat, dan mengambil beberapa langkah sekaligus, di mana jelas untuk melakukannya. 26 Jadi, kita dapat memutar ulang urutan gerakan ini untuk menemukan kebalikan dari R (mengamati bahwa urutan matriks A pada setiap langkah tidak menjadi masalah). 27 Demi kesederhanaan, sebut saja urutan matriks elementer ini πΈ1 πΈ2 πΈ3 πΈ4 πΈ5 πΈ6 πΈ7 πΈ8 (karena lebih mudah untuk menulis dan mengetik). Kita tahu bahwa πΈ1 πΈ2 πΈ3 πΈ4 πΈ5 πΈ6 πΈ7 πΈ8 π = πΌ atau ekuivalennya πΈ1 πΈ2 πΈ3 πΈ4 πΈ5 πΈ6 πΈ7 πΈ8 = π −1 dan kita juga tahu bahwa semua matriks πΈπ serta matriks R dapat dibalik. Mengingat (π΄π΅)−1 = π΅ −1 π΄−1 , maka haruslah π = πΈ8−1 πΈ7−1 πΈ6−1 πΈ5−1 πΈ4−1 πΈ3−1 πΈ2−1 πΈ1−1 Periksa ini di Maple untuk contoh kita di atas: Sebenarnya, ini akan selalu terjadi untuk matriks yang dapat dibalik. Kami memiliki teorema berikut. Teorema 2. Misalkan A adalah matriks persegi. Berikut ini adalah padanannya. 1. A dapat dibalik. 2. Sistem linier Ax = 0 hanya memiliki solusi trivial (yaitu, x = 0). 3. Bentuk eselon baris tereduksi dari A adalah matriks identitas. 4. A dapat diekspresikan sebagai produk dari matriks elementer. Bukti. Perhatikan bahwa jika A dapat dibalik, maka Ax=0⇒π΄−1 (Ax) =π΄−1 0⇒(π΄−1 (π΄−1 A)x=0⇒x=0 28 menunjukkan bahwa vektor x haruslah vektor nol. Jika x = 0 adalah satusatunya solusi untuk batang sy linier Ax = 0 maka matriks yang diperbesar [A | 0] pasti memiliki bentuk eselon baris tereduksi [I | 0] (sesuai dengan solusi x = 0). Jadi bentuk eselon baris tereduksi dari A adalah I. Jika I adalah bentuk eselon baris tereduksi dari A maka harusadanya beberapa himpunan matriks elementer sehingga πΈ1 πΈ2 … πΈπ π΄ = πΌ ⇒ π΄ = πΈπ−1 … πΈ1−1 πΈ2−1 menunjukkan bahwa A dinyatakan sebagai hasil kali dari matriks elementer. Dan akhirnya jika A diekspresikan sebagai hasil kali dari matriks elementer, maka A harus dapat dibalik, karena matriks elementer semuanya dapat dibalik, jadi π΄−1 = πΈ1 πΈ2 … πΈπ Justru teorema inilah yang memungkinkan kita menemukan invers dari matriks A yang dapat dibalik dengan menggunakan operasi baris pada matriks yang diperbesar [A | I] di mana I adalah matriks identitas. Ingat, bagaimanapun, bahwa dalam praktiknya tidak ada gunanya melakukan operasi baris dengan matriks dasar, karena melakukan operasi baris secara langsung pada matriks jauh lebih cepat (baik untuk komputer maupun manusia). Namun, keberadaan matriks elementer memungkinkan kita untuk membuktikan teorema di atas, yang utilitasnya memang cukup signifikan. 29 Latihan Soal 30 DAFTAR PUSTAKA Borwein, J. M., & Skerritt, M. P. (2011). An Introduction to Modern Mathematical Computing. London: Springer. 31
