1. Deret

DERET
FISIKA MATEMATIKA
Azwar Sutiono
Departemen Fisika
UNHAS
SASARAN PEMBELAJARAN
1
Menuliskan deret menggunakan notasi
2
Menentukan kekonvergenan suatu deret melalui uji konvergensi
3
Menerapkan berbagai uji kekonvergenan deret
4
Menemukan sajian deret dari suatu fungsi
DESKRIPSI
DERET
Jumlahan dari beberapa atau
tak-hingga banyaknya suku.
Contoh : Representasi gerak satu dimensi benda
GLB
𝑥 𝑡 = 𝑥0 + 𝑣𝑡
GLBB
1
𝑥 𝑡 = 𝑥0 + 𝑣𝑡 + 𝑎𝑡 2
2
∞
𝑥 𝑡 = 𝑐0 + 𝑐1 𝑡 + 𝑐2 𝑡 2 + 𝑐3 𝑡 3 + ⋯ =
𝑐𝑛 𝑡 𝑛
𝑛=0
UJI KONVERGENSI
DERET
Konvergen
Divergen
∞
2𝑛
𝑆 = 1+2+4+8+⋯ =
𝑛=0
1 1 1
𝑆 =1− + − +⋯=
2 3 4
∞
(−1)𝑛
𝑛=0
1
𝑛
UJI KONVERGENSI
Uji Pendahuluan
Divergen
Perlu uji lain
𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ 𝑎𝑛 ≠ 0
𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 0
1 2 3
+ + +⋯=
2 3 4
∞
𝑛=0
𝑛+1
𝑛+2
1 1 1
𝑆 =1+ + + +⋯=
2 3 4
∞
𝑛=0
1
𝑛
UJI KONVERGENSI
Uji Perbandingan
Diperlukan suatu deret yang telah diketahui konvergensinya
Jika untuk setiap elemen yang
bersesuaian dari dua buah deret
dibandingkan dan berlaku 𝑢𝑛 ≤ 𝑎𝑛 ,
dimana
𝑎𝑛 membentuk
deret
konvergen, maka deret yang
dibentuk oleh 𝑢𝑛 juga konvergen.
Jika deret yang dibandingkan adalah
𝑉𝑛 = 𝑣𝑛 dan 𝐵𝑛 = 𝑏𝑛 dimana 𝑉𝑛
divergen, maka jika suku-suku yang
dibandingkan 𝑏𝑛 ≥ 𝑣𝑛 , maka 𝐵𝑛 juga
divergen.
UJI KONVERGENSI
Uji Perbandingan
Tinjau suatu deret geometri berikut
𝑀 =1+
1 1 1
+ + +⋯
2 4 8
Kalikan
1
2
1
1 1 1 1
𝑀= + + +
+⋯
2
2 4 8 16
1
1 1 1 1
1 1 1 1
𝑀− 𝑀 =1+ + + +
+ ⋯−
+ + +
+⋯
2
2 4 8 16
2 4 8 16
=1
𝑀=2
Karena jumlah suku-suku
pada
deret
tersebut
menuju nilai tertentu, ini
berarti deret 𝑀 tersebut
adalah deret yang konvergen
UJI KONVERGENSI
Uji Perbandingan
Tinjau deret lain
1 1 1
𝐴 =1+ + +
+⋯=
2 6 24
∞
𝑛=1
1
𝑛!
Terlihat bahwa suku-suku pada deret 𝐴 selalu kurang dari
atau sama dengan suku-suku deret 𝑀, yang berarti 𝑎𝑛 ≤
𝑚𝑛 . Dengan demikian jumlah deret 𝐴 akan menuju
bilangan tertentu yang kurang dari jumlah deret 𝑀 ,
sehingga disimpulkan bahwa deret 𝐴 adalah deret yang
konvergen
UJI KONVERGENSI
Uji Integral
Uji integral dapat digunakan bila deret yang akan diuji sukusukunya adalah positif dan tidak membesar, artinya 𝑎𝑛+1 ≤
𝑎𝑛 .
Jika 0 < 𝑎𝑛+1 < 𝑎𝑛 untuk 𝑛 > 𝑁, maka deret ∞
𝑛 𝑎𝑛 akan
∞
konvergen jika nilai integral
𝑎𝑛 𝑑𝑛 berhingga dan akan
divergen jika nilai integral tersebut tak hingga
Pada uji integral ini, integral yang dihitung hanya pada batas
atasnya saja
UJI KONVERGENSI
Uji Integral
Misalkan deret yang dinyatakan dengan
∞
𝑛2
𝑛3 + 1
𝑛=1
∞
𝑛2
1
𝑑𝑛
=
𝑛3 + 1
2
∞
= ln
𝑛3
=∞
1
𝑑 𝑛3 + 1
3
𝑛 +1
+1
|∞
𝑫𝒊𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏
UJI KONVERGENSI
Uji Integral
Misalkan deret yang dinyatakan dengan
∞
1
𝑛=1
∞
3
𝑛−
2
1
3
𝑛−2
2
=0
2
−1
𝑑𝑛 =
3
𝑛−2
∞
𝑲𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏
UJI KONVERGENSI
Uji Rasio
Suku ke-n suatu deret
dibandingkan dengan suku
sebelumnya
𝑎𝑛+1
𝜌𝑛 =
𝑎𝑛
𝜌 = lim 𝜌𝑛
𝑛→∞
Konvergensi deret
mengunakan uji rasio ini
ditentukan sebagai berikut :
𝜌 < 1, deret tersebut konvergen
𝜌 = 1, deret tersebut harus diuji
dengan cara lain
𝜌 > 1, deret disebut divergen
UJI KONVERGENSI
Uji Rasio
1 1
1
1 + + + ⋯+ + ⋯
2! 3!
𝑛!
𝜌𝑛 =
=
1
1
𝑛!
:
=
𝑛 + 1 ! 𝑛!
𝑛+1 !
𝑛. 𝑛 − 1 … . . 3.2.1
1
=
𝑛 + 1 . 𝑛. 𝑛 − 1 … . . 3.2.1
𝑛+1
1
𝜌 = lim 𝜌𝑛 = lim
=0
𝑛→∞
𝑛→∞ 𝑛 + 1
Konvergen karena 𝜌 < 1
DERET BERGANTI TANDA
DEFENISI
Deret yang suku-sukunya bergantian positif dan negatif
1 1 1 1
(−1)𝑛+1
1 − + − + + ⋯+
+⋯
2 3 4 5
𝑛
Suatu deret bolak-balik konvergen jika nilai mutlak
suku-sukunya terus berkurang dan menuju nol. Hal ini
berarti suatu deret bolak balik bersifat konvergen jika
𝑎𝑛+1 < 𝑎𝑛 dan lim 𝑎𝑛 = 0
𝑛→∞
DERET BERGANTI TANDA
∞
Jika suatu deret
𝑛=0 𝑎𝑛 bersifat konvergen
maka deret ∞
𝑛=0 𝑎𝑛 juga bersifat konvergen
dan deret tersebut dinamakan deret yang
konvergen mutlak (absolutely convergent)
∞
Jika suatu deret
𝑛=0 𝑏𝑛 bersifat divergen
senmentara deret ∞
𝑛=0 𝑏𝑛 bersifat konvergen
maka deret tersebut dinamakan deret
konvergen besyarat (conditially convergent)
DERET BERGANTI TANDA
∞
(−1)𝑛
1
1
1
1
= −1 +
−
+ −
+⋯
𝑛
3 2
2
5
𝑛=1
Terlihat bahwa
(−1)𝑛
lim
𝑛
𝑛→∞
= 0 dan nilai mutlak
dari suku-suku pada deret tersebut terus
1
1
berkurang yang berarti
<
, dengan
𝑛+1
𝑛
demikian deret tersebut adalah deret yang
konvergen
DERET PANGKAT
∞
BENTUK
UMUM
𝑥 𝑡 = 𝑐0 + 𝑐1 𝑡 + 𝑐2 𝑡 2 + 𝑐3 𝑡 3 + ⋯ =
𝑐𝑛 𝑡 𝑛
𝑛=0
Konvergensi deret pangkat bila diuji dengan uji rasio :
𝑐𝑛+1 𝑡
𝑐𝑛+1
𝜌 = lim
= 𝑡 lim
𝑛→∞
𝑛→∞ 𝑐𝑛
𝑐𝑛
Syarat konvergen :
𝑡 lim
𝑛→∞
𝑐𝑛+1
<1
𝑐𝑛
DERET PANGKAT
Konvergensi suatu deret pangkat bergantung pada nilai
variabel pangkatnya Nilai variabel pangkatnya (dalam
contoh di atas adalah variabel t) ini dapat tidak tunggal
dan berupa interval tertentu. Oleh karenanya ada
rentang nilai varibel t yang menyebabkan suatu deret
pangkat konvergen. Rentang atau interval nilai ini
disebut sebagai interval konvergensi (interval of
convergence)
DERET PANGKAT
Interval Konvergensi Deret
1+
(𝑥 + 2)
2
+
(𝑥 +
2)2
3
∞
+⋯=
(𝑥 + 2)𝑛
𝑛=0
𝑛+1
Bila menggunakan uji rasio :
(𝑥 + 2)𝑛+1 (𝑥 + 2)𝑛
𝜌 = lim
:
𝑛→∞
𝑛+2
𝑛+1
= lim (𝑥 + 2)
𝑛→∞
𝑛+1
𝑛+2
= 𝑥+2
DERET PANGKAT
Deret konvergen bila 𝜌 < 1 :
𝑥 + 2 < 1 ⟹ −3 < 𝑥 < −1
Uji pada batas interval 𝑥 = −3 dan 𝑥 = −1 :
Deret :
∞
𝑛=0
𝑥 = −3 ⟹
1−
𝑥 = −1 ⟹
1+
1
2
1
2
+
+
1
3
1
3
−
+
1
4
1
4
+⋯
𝐾𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛
+⋯
𝐷𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛
(𝑥 + 2)𝑛
𝑛+1
Bersifat konvergen
untuk interval :
−3 ≤ 𝑥 < −1
DERET PANGKAT
𝑛
Tinjau kembali deret 𝑥 𝑡 = ∞
𝑛=0 𝑐𝑛 𝑡 ,
koefisien 𝑐0 dapat diperoleh sebagai berikut
𝑥 0 = 𝑐0 + 𝑐1 0 + 𝑐2 0
2
+ ⋯ ⟹ 𝑐0 = 𝑥(0)
Bila fungsi 𝑥(𝑡) dideferensialkan terhadap 𝑡 di 𝑡 = 0
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑐1 + 2𝑐2 𝑡 + 3𝑐3 𝑡 2 + 𝑡 3
𝑡=0
= 𝑐1
⟹ 𝑐1 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡 𝑡=0
𝑡=0
DERET PANGKAT
Bila dicari turunan kedua fungsi 𝑥(𝑡) terhadap 𝑡 di 𝑡 = 0
𝑑2𝑥
𝑑𝑡 2
= 2𝑐2 + 6𝑐3 𝑡 + 12𝑐4 𝑡 2 + ⋯
𝑡=0
= 2𝑐2
1 𝑑2 𝑥
⟹ 𝑐2 = 2 𝑑𝑡 2
𝑡=0
1 𝑑𝑛 𝑥
𝑐𝑛 =
𝑛! 𝑑𝑡 𝑛
𝑡=0
𝑡=0
DERET PANGKAT
𝑑𝑥
𝑥 𝑡 = 𝑥0 + 𝑡
𝑑𝑡
1 𝑑2𝑥
+𝑡
2 𝑑𝑡 2
𝑡=0
2
∞
𝑥 𝑡 =
𝑛=0
𝑡 𝑛 𝑑𝑛 𝑥
𝑛! 𝑑𝑡 𝑛
+⋯
𝑡=0
𝑡=0
Deret Taylor untuk 𝑥 𝑡 di sekitar 𝑡 = 0
(Deret Taylor - Maclaurin)
DERET PANGKAT
Tinjau kembali deret 𝑥 𝑡 namun dengan mentranslasikan variabel 𝑡 melalui
suatu konstanta tertentu (𝑡0 )
∞
𝑥 𝑡 = 𝑎0 + 𝑎1 (𝑡 − 𝑡0 ) + 𝑎2 (𝑡 − 𝑡0 )2 +𝑎3 (𝑡 − 𝑡0 )3 + ⋯ =
𝑎𝑛 (𝑡 − 𝑡0 )𝑛
𝑛=0
∞
𝑑𝑛 𝑥
1
𝑎𝑛 =
𝑛! 𝑑𝑡 𝑛
𝑥 𝑡 =
𝑡=𝑡0
𝑛=0
(𝑡 − 𝑡0
𝑛!
)𝑛 𝑑 𝑛 𝑥
𝑑𝑡 𝑛
𝑡=𝑡0
Deret Taylor
untuk 𝑥 𝑡 di
sekitar 𝑡 = 𝑡0
EKSPANSI FUNGSI MENGGUNAKAN
DERET PANGKAT
Suatu fungsi sembarang 𝑓(𝑥) dapat
dinyatakan dalam deret pangkat
Menggunakan uraian
deret Maclaurin
∞
𝑓 𝑥 =
𝑛=0
𝑥 𝑛 𝑑 𝑛 𝑓(𝑥)
𝑛! 𝑑𝑥 𝑛
𝑥=0
EKSPANSI FUNGSI MENGGUNAKAN
DERET PANGKAT
Ekspansi fungsi 𝑓 𝑥 = sin(𝑥) dalama deret pangkat
∞
𝑓 𝑥 =
𝑛=0
𝑥 𝑛 𝑑 𝑛 𝑓(𝑥)
𝑛! 𝑑𝑥 𝑛
𝑥=0
𝑑
sin 𝑥 = cos 𝑥
𝑑𝑥
𝑑2
sin 𝑥 = −sin(𝑥)
𝑑𝑥 2
𝑑3
sin 𝑥 = −cos(𝑥)
𝑑𝑥 3
𝑥3 𝑥5 𝑥7
sin 𝑥 = 𝑥 −
+ − +⋯=
3! 5! 7!
∞
𝑛=0
𝑥 2𝑛+1
(−1)𝑛
2𝑛 + 1 !