File

BARIS
tttt
(Winston Chucill)
1
Tujuan Pembelajaran
Dengan mempelajari materi barisan dan deret diharapkan siswa dapat :
1. Menjelaskan pengertian barisan dan deret
2. Menemukan konsep barisan aritmatika
3. Menemukan konsep deret aritmatika
4. Menentukan suku tengah barisan aritmatika
5. Menentukan suku ke-n barisan aritmatika
6. Menghitung jumlah n suku deret aritmatika
7. Menemukan konsep barisan geometri
8. Menemukan konsep deret geometri
9. Menentukan suku tengah barisan geometri
10. Menentukan suku ke-n barisan geometri
11. Menghitung jumlah n suku deret geometri
12. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret aritmatika.
13. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret geometri.
2
Mind Map
A. Barisan dan Deret Aritmatika
𝑈1 + 𝑈2 + ⋯ + 𝑈𝑛 = 𝑆𝑛
𝑆𝑛 =
𝑛
𝑆𝑛 = (2𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏
2
𝑛
(𝑎 + 𝑈𝑛 )
2
Deret
Aritmatika
𝑎, … , 𝑎 + 𝑘𝑏 ∗ , 𝑎 + 𝑏
𝑈𝑛 − 𝑈𝑛−1 = 𝑡𝑒𝑡𝑎𝑝 = 𝑏
Definisi
Sisipan
𝑏∗ =
Barisan
dan Deret
Aritmatika
𝑏
𝑘+1
Suku
Tengah
2𝑈𝑛 = 𝑈𝑛−1 + 𝑈𝑛+1
Barisan
Aritmatika
𝑈1 , 𝑈2 , 𝑈3 , … , 𝑈𝑛.
𝑈1 , … , 𝑈𝑡 , … , 𝑈𝑛
𝑈𝑛 = 𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏
𝑈𝑡 =
𝑎+𝑈𝑛
,𝑡
2
=
𝑛+1
2
3
B. Barisan dan Deret Geometri
tak hingga
(konvergen)
•𝑆 =
berhingga
𝑎
1−𝑟
•𝑆𝑛 =
𝑎(𝑟 𝑛 −1)
𝑟−1
•−1 < 𝑟 < 1
Deret
Geometri
𝑎, … , 𝑎(𝑟′)𝑘 , 𝑎𝑟
𝑈𝑛
= 𝑡𝑒𝑡𝑎𝑝 = 𝑟
𝑈𝑛−1
Definisi
Sisipan
Barisan
dan Deret
Geometri
1
𝑟 ′ = (𝑟)𝑘+1
Suku Tengah
(𝑈𝑛 )2 = 𝑈𝑛−1 . 𝑈𝑛+1
Barisan
Geometri
𝑈1 , 𝑈2 , … , 𝑈𝑛 .
𝑈𝑎 , … , 𝑈𝑡 , … , 𝑈𝑛
𝑈𝑛 = 𝑎. 𝑟 𝑛−1
𝑈𝑡 =
𝑎. 𝑈𝑛 ,𝑡 =
𝑛+1
2
4
BARISAN DAN DERET
Barisan adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu
urutan tertentu.Bilangan-bilangan yang tersusun tersebut disebut suku.Perubahan
di antara suku-suku berurutan ditentukan oleh ketambahan bilangan tertentu atau
suatu kelipatan bilangan tertentu.Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu
barisan.
Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai kelipatan bilangan yang
tetap,maka barisan ini disebut barisan aritmatika, misal :
a. 2, 6, 10, 14, ………….. ditambah 4 dari suku di depannya
b. 112, 107, 102, 97, …… dikurangi 5 dari suku di depannya
Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai tambahan bilangan yang
tetap,maka barisan ini disebut barisan geometri, misal :
a. 3, 6, 9, 12, ……….. dikalikan 3 dari suku di depannya
1
b. 100, 50, 25, ……… dikalikan 2 dari suku di depannya
Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan, missal :
Deret aritmatika ( deret hitung )
: 3 + 6 + 9 + 12 = 39
Deret geometri ( deret ukur )
: 3 + 9 + 27 + 81 = 120
A. Barisan dan Deret Aritmatika
1. Barisan Aritmatika
Barisan aritmetika adalah barisan yang suku berurutannya mempunyai
tambahan bilangan yang tetap.
𝑈1 , 𝑈2 , 𝑈3 , 𝑈4 … … , 𝑈𝑛−1 , 𝑈𝑛 .
𝑈1 = 𝑎
𝑈2 = 𝑎 + 𝑏
𝑈3 = (𝑎 + 𝑏) + 𝑏 = 𝑎 + 2𝑏
5
𝑈4 = (𝑎 + 2𝑏) + 𝑏 = 𝑎 + 3𝑏
𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏
Jika 𝑈2 − 𝑈1 = 𝑈3 − 𝑈2 = ⋯ = 𝑈𝑛 − 𝑈𝑛−1 ,maka
barisan
tersebut
adalah barisan aritmatika.
Jika 𝑈𝑛 − 𝑈𝑛−1 disebut beda atau 𝑏 maka barisan aritmatika adalah
barisan yang mempunyai beda tetap.
a. Syarat barisan aritmatika
2𝑈2 = 𝑈1 + 𝑈3 atau 2𝑈𝑛 =
𝑈𝑛−1 + 𝑈𝑛+1
b. Rumus suku ke-n barisan aritmatika
Jika 𝑈1 = 𝑎 dan maka 𝑈2 − 𝑈1 = 𝑈𝑛 − 𝑈𝑛−1 = 𝑏
suku
𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏
dimana :
⋃ 𝑛 = Suku ke-n
𝑎 = suku pertama
𝑏 = beda antar suku
𝑛 = banyaknya suku
6
Contoh soal :
Tentukan suku ke 100 dari barisan 7,9,11,13!
Jawab :
7,9,11,13, … . , 𝑈100
𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏
𝑈100 = 7 + (100 − 1)(9 − 7)
𝑈100 = 7 + (99)(2)
𝑈100 = 7 + 198
𝑈100 = 205
2. Suku Tengah Barisan Aritmatika
Misal 𝑈𝑡 adalah suku tengah.
𝑈1 , 𝑈2 , 𝑈3 , 𝑈4 , … , 𝑈𝑡 , … , 𝑈𝑛−2 , 𝑈𝑛−1 , 𝑈𝑛 .
Maka 𝑡 =
𝑛+1
2
sehingga 𝑈𝑡 = 𝑎 + (𝑡 − 1)𝑏 menjadi
𝑛+1
1
1
1
1
1
𝑈𝑡 = 𝑎 + [(
) − 1] 𝑏 = 𝑎 + 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 = 𝑎 + (𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏)
2
2
2
2
2
2
Jadi
𝑈𝑡 =
𝑎 + 𝑈𝑛
2
Contoh soal :
Diketahui barisan aritmatika sebagai berikut : 5,8,11, … ,131.
Tentukan suku keberapakah suku tengahnya!
Jawab :
𝑈𝑡 =
𝑎 + 𝑈𝑛
2
𝑈𝑡 =
5 + 133
2
7
𝑈𝑡 =
136
2
= 68
𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏
68 = 5 + (𝑛 − 1)3
66 = 3𝑛
22 = 𝑛
3. Deret Aritmatika
Deret Aritmatika adalah barisan aritmatika yang dijumlahkan.
Jika 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + ⋯ + 𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 dan 𝑆𝑛 disebut jumlah 𝑛 suku pertama
deret aritmatika,maka :
𝑆𝑛 = 𝑎 + (𝑎 + 𝑏) + (𝑎 + 2𝑏) + ⋯ + (𝑈𝑛 − 2𝑏 + 𝑈𝑛 − 𝑏) + 𝑈𝑛
𝑆𝑛 = 𝑈𝑛 + (𝑈𝑛 − 𝑏) + (𝑈𝑛 − 2𝑏) + ⋯ + (𝑎 + 2𝑏) + (𝑎 + 𝑏) + 𝑎
+
2𝑆𝑛 = (𝑎 + 𝑈𝑛 ) + (𝑎 + 𝑈𝑛 ) + … … … + (𝑎 + 𝑈𝑛 ) + (𝑎 + 𝑈𝑛 ) + (𝑎 + 𝑈𝑛 )
Sebanyak n kali
2𝑆𝑛 = 𝑛(𝑎 + 𝑈𝑛 )
Karena 𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏, maka
𝑆𝑛 =
𝑛
(𝑎 + 𝑈𝑛 )
2
𝑆𝑛 =
𝑛
(2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏)
2
Contoh soal :
Terdapat 60 suku dalam barisan aritmetika yang mana suku pertama
adalah 9 dan suku terakhir adalah 127. Tentukan 𝑆60 !
8
Jawab :
𝑆𝑛 =
𝑛
(𝑎 + 𝑈𝑛 )
2
𝑆60 =
60
(9 + 127)
2
𝑆60 = 30(136)
𝑆60 = 4080
B. Barisan dan Deret Geometri
1. Barisan Geometri
Barisan geometri adalah perbandingan dua suku berurutan selalu tetap (konstan).
Misal ada barisan sebagai berikut :
𝑈1 , 𝑈2 , 𝑈3 , 𝑈4 … … , 𝑈𝑛−1 , 𝑈𝑛 .
𝑈1 = 𝑎
𝑈2 = 𝑎 𝑥 𝑟 = 𝑎𝑟
𝑈3 = 𝑎𝑟 𝑥 𝑟 = 𝑎𝑟 2
𝑈4 = 𝑎𝑟 2 𝑥 𝑟 = 𝑎𝑟 3
𝑈𝑛 = 𝑎𝑟 𝑛−1
Jika
𝑈2
𝑈1
=
𝑈3
𝑈2
=⋯=
𝑈𝑛
𝑈𝑛−1
maka barisan tersebut adalah barisan
geometri.
Jika
𝑈𝑛
𝑈𝑛−1
disebut rasio (𝑟) maka barisan geometri adalah barisan yang
mempunyai rasio tetap.
a. Syarat Barisan Geometri
(𝑈2 )2 = 𝑈1 . 𝑈3 atau (𝑈𝑛 )2 = 𝑈𝑛−1 . 𝑈𝑛+1
b. Rumus suku ke-n Barisan Geometri
𝑈𝑛 = 𝑎. 𝑟 𝑛−1
9
Jika 𝑈1 = 𝑎 dan
𝑈2
𝑈1
=
𝑈𝑛
𝑈𝑛−1
= 𝑟 , maka
Contoh soal :
1. Diketahui barisan geometri 3, 9, 27, 81, ...
Tentukan :
a. Suku pertama
b. Rasio
c. Rumus suku ke-n
d. Suku ke 10
Jawab :
a. Suku pertama = 𝑈1 = 3
𝑈
9
b. Rasio = 𝑟 = 𝑈2 = 3 = 3
1
c. Rumus suku ke-n = 𝑎𝑟 𝑛−1
= (3)(3)𝑛−1
= (3)1+(𝑛−1)
= 3𝑛
d. Suku ke 10 = 310 = 59049
1
2. Supaya barisan (2𝑘 − 5), (𝑘 − 4), 5 (𝑘 − 4), … menjadi barisan
geometri maka tentukanlah nilai 𝑘!
Jawab :
1
(2𝑘 − 5), (𝑘 − 4), (𝑘 − 4)
5
𝑈1 , 𝑈2 , 𝑈3
𝑈2 𝑈3
=
𝑈1 𝑈2
10
1
(𝑘 − 4)
𝑘−4
=5
2𝑘 − 5
(𝑘 − 4)
𝑘−4
2𝑘−5
1
=5
5(𝑘 − 4) = 2𝑘 − 5
5𝑘 − 20 = 2𝑘 − 5
5𝑘 − 2𝑘 = 20 − 5
3𝑘 = 15
𝑘=
15
3
𝑘=5
2. Suku Tengah Barisan Geometri
Misal 𝑈1 adalah suku tengah dari barisan sebagai berikut:
𝑈1, 𝑈2 , 𝑈3, …, 𝑈𝑡, … 𝑈𝑛−2, 𝑈𝑛−1. 𝑈𝑛
Maka 𝑡 =
𝑛+1
2
sehingga 𝑈𝑡 = 𝑎. 𝑟 𝑡−1 menjadi :
𝑈𝑡 = 𝑎. 𝑟 (
𝑛+1
)−1
2
= 𝑎. 𝑟 (
𝑛−1
)
2
= √𝑎. 𝑎𝑟 𝑛−1 = √𝑎. 𝑈𝑛
Contoh soal :
1 1
Diketahui barisan geometri sebagai berikut : 4 , 2 , 1, … ,64.Tentukan
suku ke berapakah suku tengahnya!
Jawab :
1
𝑈𝑡 = √ . 64
4
𝑈𝑡 = √16
11
𝑈𝑡 = 4
𝑈𝑡 = 𝑎𝑟 𝑡−1
4=
1 𝑡 1
.2 .
4
2
4=
1 𝑡
.2
8
32 = 2𝑡
25 = 2𝑡
5=𝑡
3. Deret Geometri
Deret Geometri adalah barisan geometri yang dijumlahkan.
a. Deret Geometri Berhingga
Jika 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + ⋯ + 𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 adalah deret geometri dan 𝑆𝑛
disebut jumlah 𝑛 suku pertama deret geometri, maka :
Conto soal :
𝑆𝑛 =
𝑎(𝑟 𝑛 −1)
𝑟−1
atau 𝑆𝑛 =
𝑎
1−𝑟
−
𝑎
1−𝑟
. 𝑟𝑛
Pada deret geometri diketahui 𝑈2 = 6 dan 𝑈5 = 162 maka
tentukanlah jumlah 6 suku pertama!
Jawab :
𝑆𝑛 =
𝑎(𝑟 𝑛 − 1)
𝑟−1
𝑆6 =
2(36 − 1)
3−1
𝑆6 = 36 − 1
𝑆6 = 729 − 1
𝑆6 = 728
12
b. Deret Geometri Tak Hingga
𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + ⋯ = 𝑆…
𝑎
Ada (konvergen) untuk −1 < 𝑟 < 1 yaitu 𝑆 = 1−𝑟
𝑆=
~ (divergen) untuk 𝑟 ≤ −1 dan 𝑟 ≥ 1
C. Aplikasi Barisan dan Deret dalam Kehidupa Sehari-hari
Barisan dan deret banyak digunakan dalam bidang bisnis dan ekonomi,
terutama menyangkut dalam perkembangan dan pertumbuhan. Apabila
perkembangan atau pertumbuhan suatu gejala tertentu berpola seperti
perubahan nilai-nilai suku sebuah deret, baik deret hitung ataupun deret ukur,
maka teori deret yang bersangkutan penad (relevant) diterapkan untuk
menganalisisnya.
Model perkembangan usaha merupakan penerapan teori baris dan
deret.
Perkembangan usaha adalah sejauh mana usaha-usaha yang
pertumbuhannya konstan dari waktu ke waktu mengikuti perubahan baris
hitung. Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha
misalnya produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja, atau
penanaman modal yang berpola seperti deret hitung, maka prinsip-prsinsip
deret hitung dapat digunakan untuk menganalisis perkembangan variable
tersebut. Berpola seperti deret hitung maksudnya di sini ialah bahwa variable
yang bersangkutan bertambah secara konstan dari satu periode ke periode
berikutnya.
13
D. Soal Latihan
Pilihan Ganda
1. Suku ke-3 dan ke-7 suatu barisan aritmatika berturut-turut adalah 88 dan
212.Suku ke-8 barisan aritmatika tersebut adalah …
a. 243
c. 232
b. 234
d. 222
e. 220
2. Sebuah pabrik memproduksi barang jenis A pada tahun pertama sebesar
1960 unit. Tiap tahun produksi turun sebesar 120 unit,sampai tahun ke-16.
Total seluruh produksi yang dicapai sampai tahun ke-16 adalah …
a. 45.760
c. 16.960
b. 45.000
d. 16.000
e. 9.760
3. Suku tengah barisan aritmatika adalah 41. Jika beda adalah 5 dan suku
ketujuh adalah 56, maka jumlah semua suku barisan tersebut adalah …
a. 539
c. 387
b. 437
d. 287
e. 187
4. Barisan geometri dengan 𝑈7 = 384 dan rasio 2. Suku ke-10 barisan
tersebut adalah …
a. 1920
c. 4052
b. 3072
d. 4608
e. 6144
5. Suku ke-3 dan suku ke-7 suatu deret geometri berturut-turut 16 dan 256.
Jumlah tujuh suku pertama deret tersebut adalah …
a. 500
c. 508
b. 504
d. 512
e. 516
6. Jumlah ke-10 dari barisan : 3, 5, 7, 9, …. adalah ….
a. 11
b. 12
c. 19
21
e. 27
7. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 2,5 meter dan memantul dengan
3
ketinggian 5 kali tinggi semula dan setiap kali memantul berikutnya
3
mencapai ketinggi 5 kali tinggi pantulan sebelumnya.Maka jarak lintasan
bola sampai bola berhenti adalah …
a. 5.5 m
b. 7,2 m
c. 9 m
d. 12,5 m
e. 10 m
14
8. Suatu deret aritmatika diketahui 5 deret suku pertama = 35 dan jumlah 4
suku yang pertama = 24. Suku yang ke-15 sama dengan ….
a. 11
b. 25
c. 31
d. 33
e. 59
9. Jumlah n suku yang pertama dari deret aritmatika dinyatakan dengan Sn =
3n2 – 5n. Beda dari deret tersebut adalah….
a. -6
b. -4
c. 2
d. 4
e. 6
10. Jumlah n suku pertama suatu deret geometri dirumuskan dengan Sn =23n
Rasio deret tersebut adalah...
a. 8
b. 7
c. 4
d.-
1
e. -8
8
Essey
1. Suku ke-4 dan suku ke-7 suatu deret aritmatika berturut-turut 17 dan 29.
Suku ke-25 deret tersebut adalah …
2. Jika 𝑈𝑛 = 3𝑛 − 7 merupakan barisan aritmatika maka tentukanlah
bedanya !
3. Tentukan suku ke-7 dari barisan geometri berikut :2 , 6 , 18 , 54, … !
4. Diketahui barisan gometri sebagai berikut :
1 1 2
512
6 3 3
3
, , ,…,
. Tentukan
suku keberapakah suku tengahnya !
5. Pada deret geometri diketahui 𝑈2 = 6 dan 𝑈5 = 48 maka tentukanlah 6
suku pertama !
6. Carilah suku ke-8 dari barisan geometri jika suku pertamanya 16 dan
rasionya adalah 2!
7. Carilah suku ke-11 dalam suatu barisan geometri dimana suku ke-4 adalah
24 dan suku ke-9 adalah 768!
8. Carilah suku ke-10 dari barisan 3, 7, 11, 15, 19, .................
9. Suku ke-3 dan suku ke-16 dari barisan aritmetika adalah 13 dan 78.
Tentukan suku pertama dan bedanya!
10. Carilah suku ke-21 dalam barisan aritmetika dimana suku ke-5 adalah 41
dan suku ke-11 adalah 23!
15
DAFTAR PUSTAKA
Ganesha Operation (2013) Revolusi Belajar : Koding.Jakatra : Duta.
http://matematika-sma.blogspot.com/2007/07/soal-barisan-dan-deret.html
Diakses :14 Oktober 2014
Alfauziah, Dini.11 Agustus 2013.Penerapan Baris dan Deret dalam Kehidupan
Sehari-hari.(http://dinialfauziah.wordpress.com/2013/11/08/penerapan-baris-danderet-dalam-kehidupan-sehari-hari.). Diakses : 11 Oktober 2014
16
BIODATA
Nama Lengkap
: Angga Ibnu Arsalan
NPM
: 114070150
Tempat,Tanggal Lahir
: Cirebon,20 maret 1996
Jenis Kelamin
: Laki-laki
Agama
: Islam
Cita-cita
: Bisnisman
Alamat
: Jalan Otista Blok Asinan Desa Tegalsari
Kecamatan Plered Kabupaten Cirebon Kota Cirebon
No. Hp
: 08987388921
E-mail
: [email protected]
Keanggotaan
: Ketua
Deskripsi Kerja
: 1. Mencari materi
2. Mendesain cover
3. Mencetak buku
17
Nama
: Juneri
NPM
: 114070078
Tempat,Tanggal Lahir
: Cirebon,08 Maret 1996
Jenis Kelamin
: Perempuan
Agama
: Islam
Cita-cita
: Guru PNS
Alamat
: Blok Siseuti rt04/rw02 Desa Kedongdong Kidul
Kecamatan Dukupuntang Kabupaten Cirebon
No. Hp
: 083823751714
E-mail
: [email protected]
Deskripsi Kerja
: 1. Mencari materi
2. Mencetak buku
18
Nama
: Norma Bertia Ningrum
NPM
: 114070075
Tempat,Tanggal Lahir
: Majalengka,01 Oktober 1996
Jenis Kelamin
: Perempuan
Agama
: Islam
Cita-cita
: Guru
Alamat
: Lingkungan Gandasari rt01/rw03 Kelurahan
Cikasarung Kecamatan
Majalengka Kabupaten
Majalengka 45415
No.Hp
: 087723985625
E-mail
: [email protected]
Keanggotaan
: Anggota
Deskripsi Kerja
: 1. Mencari materi
2. Menyusun materi
3. Mencetak buku
19