materi : bilangan - MKKS PK

PEMBINAAN OLIMPIADE MATEMATIKA
BAGI GURU SDLB DAN SMPLB
SE KALIMANTAN TENGAH
OLEH :
YOVIE ISTANTO,S.Pd,M.Pd.
DINAS PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN
PROVINSI KALIMANTAN TENGAH
PALANGKA RAYA
2015
BAB I ALJABAR
1. Pemfaktoran dan Penguraian
2. Barisan dan Deret
3. Fungsi
4. Suku Banyak
5. Persamaan
6. Sistem Persamaan
7. Ketaksamaan
BAB II TEORI BILANGAN
1. Sifat-Sifat Penjumlahan Dan Perkalian Dua Bilangan
2. Sifat-sifat Keterbagian
3. Uji Habis dibagi
4. Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) Dan Persekutuan Terkecil
(KPK)
5. Banyaknya Faktor Positif
6. Kekongruenan
7. Bilangan Bulat, Rasional dan Prima
8. Bilangan Kuadrat Sempurna
9. Fungsi Tangga dan Ceiling
BAB III GEOMETRI
1. Trigonometri
2. Garis
3. Segitiga
4. Segi Empat
5. Segi-n Beraturan
6 Lingkaran
BAB IV KOMBINATORIK
1. Kaidah Pencacahan Dan Penjabaran Binom Newton
2. Kejadian dan Peluang Suatu Kejadian, Pengambilan
Contoh Dengan dan Tanpa Pengembalian
3. Prinsip Inklusi Eksklusi, Peluang Kejadian Majemuk
4. Pigeon Hole Principle (Prinsip Lubang Merpati)
OLIMPIADE MATEMATIKA TINGKAT SEKOLAH DASAR
MATERI : BILANGAN
A. PENDAHULUAN
Olimpiade matematika tingkat SD menjadi topik yang hangat dibicarakan oleh kalangan
siswa maupun pendidik mulai tahun 2002.Hal ini bermula sejak Pemerintah melalui Departemen
Pendidikan Nasional yang sekarang menjadi Kementrian Pendidikan Nasional
menyelenggarakan Olimpiade Sains Nasional dengan matematika sebagai salah satu
bidangnya.
Berbeda dengan ajang perlombaan matematika lainnya, olimpiade matematika
mempunyai ciri tersendiri dalam hal tipe soal serta tehnis penilaian. Soal-soal yang sering
dimunculkan lebih cenderung bersifat tricky. Untuk dapat menyelesaikan soal-soal olimpiade
matematika, lebih diperlukan ide matematika yang kreatif daripada kemampuan dan kecepatan
komputasi. Wiworo menyatakan bahwa ciri utama dari soal olimpiade matematika adalah
bersifat non-rutin dan menekankan pada pemecahan masalah (problem solving). Oleh karena
itu, soal-soal olimpiade matematika jarang ditemui didalam kelas.
Strategi Membina Calon Peserta Olimpiade
Berikan sebanyak mungkin saoal-soal tingkat Olimpiade.
Mulai dengan soal-soal yang relatif lebih mudah, secara bertahap naikkan tingkat
kesulitan soal.
Jika siswa belum memecahkan suatu soal, berikan petunjuk setahap demi setahap.
Jangan langsung beri jawaban.
Tingkatkan kemampuan siswa untuk memahami bahasa Inggris, terutama kemampuan
membaca dan memahami soal dalam bahasa Inggris.
Para pelatih Olimpiade juga harus banyak berlatih soal-soal sehingga siap menghadapi
berbagai pertanyaan kreatif dari siswa.
Guru juga manusia! Jangan sungkan untuk mengakui kalau tidak mampu mengerjakan.
B. MATERI BILANGAN
Konsep Habis Dibagi
Bilangan yang dapat habis dibagi biasa disebut dengan bilangan kelipatan. Jadi,
bilangan kelipatan n adalah bilangan-bilangan yang dapat dibagi dengan n. Misalnya,
Bilangan kelipatan 3 adalah 3, 6, 9, 12, ...
Bilangan kelipatan 4 adalah 4, 8, 12, 16, 20, ....
Bilangan yang habis membagi disebut dengan faktor. Jadi, faktor dari n adalah bilangan
bilangan yang dapat habis membagi n.
Misalnya,
Faktor dari 24 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, dan 24.
Faktor dari 30 adalah 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, dan 30.
Banyak soal-soal yang dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep hasil bagi
ataupun bilangan kelipatan. Ingat bahwa sisa hasil bagi harus lebih kecil dari bilangan
pembaginya dan bernilai positif.
Contoh :
Soal kompetisi matematika nalaria realistic
Diketahui umur Kelvin kurang dari 50 tahun. Saat ini umurnya merupakan kelipatan 6 dan
tahun depan umurnya merupakan kelipatan 5. Berapakah umur Kelvin sekarang?
Jawab :
Kemungkinan umur Kelvin sekarang yaitu kelipatan 6 yang kurang dari 50
6 12 18 24 30 36 42 48
Jadi, kemungkinan umur Kelvin tahun depan adalah
6+1 12+1 18+1 24+1 30+1 36+1 42+1 48+1
7 13 19 25 31 37 43 49
Karena umur Kelvin tahun depan merupakan kelipatan 5, dan bilangan kelipatan 5 hanya 25
maka umur Kelvin tahun depan adalah 25 umur Kelvin sekarang adalah 24.
Penggunaan bilangan kelipatan dalam soal cerita dapat diterapkan dalam kegiatan yang
dilakukan berulang-ulang.
Berikut ini adalah contoh soal yang dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep
hasil bagi. Cermati soal sisa hasil bagi berikut ini.
Contoh :
Soal olimpiade matematika SD/MI muhammadiyah se-Indonesia
Tanggal 6 maret 2005 adalah hari sabtu. Tentukan hari apakah 100 hari dari tanggal
tersebut!
Jawab :
Perhatikan susunan berikut
Hari 1 : minggu
hari 8 : minggu
Hari 2 : senin
hari 9 : senin
Hari 3 : selasa
hari 10 : selasa
Hari 4 : rabu
hari 11 : rabu
Hari 5 : kamis
hari 12 : kamis
Hari 6 : jumat
hari 13 : jumat
Hari 7 : sabtu
hari 14 : sabtu
hari 15 : minggu
hari 16 : senin
dst.
Dari susunan diatas dapat kita ketahui bahwa bilangan kelipatan 7 selalu jatuh pada hari
sabtu. Jadi, untuk mengetahui jatuh pada hari apakah 100 hari dari tanggal 6 maret, cukup
dicari sisa pembagian 100 atas 7.
100 : 7 = 14 sisa 2 atau dapat ditulis 100 = ( 7 x 14 ) + 2 = 98 + 2
Akibatnya hari ke-98 hari sabtu dan sisa 2 jatuh pada hari senin.
Untuk dapat memahami soal berikut, ingat bahwa 1 x 1 = 1 dan 1 dikali bilangan
berapapun hasilnya adalah bilangan itu sendiri.
Contoh :
Tentukan angka satuan dari 72007
Jawab :
Perhatikan bahwa angka satuan berikut membentuk pola berulang
71 menghasilkan angka satuan 7
72 menghasilkan angka satuan 9
73 menghasilkan angka satuan 3
74
menghasilkan angka satuan 1
75
menghasilkan angka satuan 7, dst.
Jadi, untuk mengetahui angka satuan, cukup dilihat sisa hasil bagi dari 2007 terhadap 4.
Akibatnya,72007 menghasilkan angka satuan 3.
C. KPK dan FPB
Dari bab di atas, kalian telah mempelajari mengenai bilangan kelipatan dan faktor.
Sekarang kita akan mempelajari mengenai KPK atau kelipatan persekutuan terkecil dan FPB
atau faktor persekutuan terbesar.
Misalkan diketahui dua buah bilangan a dan b. KPK dari a dan b adalah bilangan kelipatan a
dan b yang paling kecil, sedangkan FPB dari a dan b adalah bilangan faktor dari a dan b yang
paling besar.
Sebagai contoh :
16 dan 24 ; tentukan kelipatan persekutuan terbesar dan terkecil
Kelipatan Persekutuan Terkecil
Kelipatan 16 adalah 16, 32, 48, 64, 80, 96...
Kelipatan 24 adalah 24, 48, 72, 96, 120 ...
Jadi, KPK dari 16 dan 24 adalah 48.
Faktor Persekutuan Terbesar
Faktor dari 16 adalah 1, 2, 4, 8, 16
Faktor dari 24 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Jadi, FPB dari 16 dan 24 adalah 8.
Contoh :
Tono dan Anton sedang lari pagi. Setiap 15 m Tono berhenti untuk beristirahat, sedangkan
Anton berhenti beristirahat setiap 20 m. Jika Tono dan Anton mengambil start pada tempat
yang sama, berapa m jarak pertama kali mereka berhenti beristirahat di tempat yang sama
dengan jarak awal mereka mengambil start?
Jawab :
Untuk menyelesaikan soal di atas, kita gunakan prinsip KPK.
Tono berhenti beristirahat pada jarak 15 m, 30 m, 45 m, 60 m, 75 m, ,,,,
Anton berhenti beristirahat pada jarak 20 m, 40 m, 60 m, 80 m, 100 m, ...
Jadi, Tono dan Anton berhenti beristirahat pada tempat yang sama pertama kali pada jarak
60 m.
LATIHAN SOAL
1. Carilah bilangan terkecil yang dapat dibagi oleh semua bilangan dari 1 sampai dengan
12.
2.
Pada persamaan a x b = c, jika a ditambah dengan 24 dan b tetap tidak diubah, maka c
bertambah dengan 120. Jika b ditambah 24 dan a tetap tidak diubah, maka c
bertambah dengan 288. Carilah nilai c mula-mula.
3.
Nita merayakan ulang tahunnya pada bulan april 2005. Pada hari itu usianya sama
dengan jumlah angka-angka pada tahun lahirnya. Pada tahun berapa nita lahir?
4. (OSN 2005) Nomor polisi mobil-mobil di suatu negara selalu berupa bilangan 4-angka.
Selain itu, jumlah keempat angka pada setiap nomor juga harus habis dibagi 5. Nomor
polisi terbesar yang dibolehkan di negara itu adalah
OLIMPIADE MATEMATIKA SEKOLAH MENENGAH PERTAMA (SMP)
BAB I ALJABAR
1. PEMFAKTORAN DAN PENGURAIAN
Beberapa bentuk pemfaktoran maupun penguraian yang harus diketahui adalah :
2
2
(i) x − y = (x + y)(x − y)
3
3
2
2
(ii) x − y = (x − y)(x + xy + y )
3
3
2
2
(iii) x + y = (x + y)(x − xy + y )
3
3
3
2
2
2
(iv) x + y + z − 3xyz = (x + y + z)(x + y + z − xy − xz − yz)
2
3
2
2
3
(v) (x + y)(x − y) = x − x y − xy + y
n
n
n-1
n-2
n-3 2
n-2
n-1
(vi) (a − b ) = (a − b)(a + a b + a b + ⋅⋅⋅ + ab + b ) dengan n ∈ bilangan asli
n
n
n-1
n-2
n-3 2
n-2
n-1
(vii) (a + b ) = (a + b)(a − a b + a b − ⋅⋅⋅ − ab + b ) dengan n ∈ bilangan ganjil
(viii) (x + 1)(y + 1)(z + 1) = xyz + xy + xz + yz + x + y + z + 1
4
4
2
2
2
2
(ix) x + 4y = (x + 2y + 2xy)(x + 2y − 2xy)
2
2
2
(x) (x + y) = x + 2xy + y
2
2
2
2
(xi) (x + y + z) = x + y + z + 2xy + 2xz + 2yz
2
2
2
(xii) (x − y) = x − 2xy + y
3
3
3
(xiii) (x + y) = x + y + 3xy(x + y)
3
3
3
(xiv) (x − y) = x − y − 3xy(x − y)
4
4
3
2 2
3
3
(xv) (x + y) = x + 4x y + 6x y + 4xy + y
4
4
3
2 2
3
3
(xvi) (x − y) = x − 4x y + 6x y − 4xy + y
n
Penguraian bentuk (x + y) untuk n > 4 dapat menggunakan binomial Newton yang akan
diterangkan dalam bagian lain.
n
n
Berdasarkan bentuk (vi) dan (vii) didapat fakta bahwa (a − b) membagi (a − b ) untuk n asli dan
n
n
(a + b) membagi (a + b ) untuk n ganjil yang terkadang digunakan untuk menyelesaikan soal pada
teori bilangan.
Contoh 1 :
50502  49502  ....
Nilai dari
Solusi :
Perhatikan bahwa a2 – b2 = (a + b)(a – b)
5050 2  4950 2 
maka
=
=
(5050  4950)(5050  4950)
10000(100)
1000000
= 1000
Contoh 2 :
Salah satu faktor dari 173 − 53 adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
A. 5
B. 17
C. 13
D. 273
E. 399
Solusi :
Perhatikan bahwa a3 – b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) maka
173 – 53 = (17 − 5)(172 + 17 ⋅ 5 + 52)
173 – 53 = 12 ⋅ 399
(Jawaban : E)
Contoh 3 :
2
2
Jika a + b = 6ab maka tentukan nilai dari
Contoh 4 :
2 3 -
2 3 = . . . .
ab
untuk a, b ≠ 0.
a b
Contoh 5 :
2
2
Jika a = 7b + 1945 dan b = 7a + 1945 dengan a dan b adalah bilangan real berbeda, maka nilai
dari ab adalah ⋅⋅⋅⋅⋅
BAB II
TEORI BILANGAN
1. SIFAT-SIFAT PENJUMLAHAN DAN PERKALIAN DUA BILANGAN
Sifat-sifat dalam penjumlahan dua bilangan adalah :
1. Bilangan Ganjil ± Bilangan Ganjil = Bilangan Genap
2. Bilangan Ganjil ± Bilangan Genap = Bilangan Ganjil
3. Bilangan Genap ± Bilangan Ganjil = Bilangan Ganjil
4. Bilangan Genap ± Bilangan Genap = Bilangan Genap
Sifat-sifat dalam perkalian dua bilangan adalah :
1. Bilangan Ganjil x Bilangan Ganjil = Bilangan Ganjil
2. Bilangan Ganjil x Bilangan Genap = Bilangan Genap
3. Bilangan Genap x Bilangan Ganjil = Bilangan Genap
4. Bilangan Genap x Bilangan Genap = Bilangan Genap
Contoh 1 :
(OSK 2003 SMP/MTs) Hasil kali suatu bilangan genap dengan suatu bilangan ganjil adalah 820.
Bilangan ganjil terbesar yang memenuhi syarat tersebut adalah ⋅⋅⋅⋅⋅
Solusi :
2
820 = 2 ⋅ 5 ⋅ 41
Perkalian dua bilangan yang menghasilkan bilangan ganjil hanya didapat jika kedua bilangan
tersebut adalah ganjil.
Faktor ganjil dari 820 selain 1 adalah 5 dan 41.
Bilangan ganjil terbesar yang memenuhi adalah 5 ⋅ 41 = 205.
Jadi, bilangan terbesar yang memenuhi adalah 205.
2. SIFAT-SIFAT KETERBAGIAN
Definisi : Sebuah bilangan bulat a dikatakan membagi b jika terdapat bilangan bulat k sehingga b =
a ⋅ k. Beberapa hal berkaitan dengan pembagian adalah sebagai berikut :
1.1 Misalkan a, b, c, x dan y bilangan bulat, maka sifat-sifat di bawah ini berlaku :
(1) a/a (semua bilangan bulat membagi dirinya sendiri)
(2) a/0 (semua bilangan bulat membagi 0)
(3) 1/a (satu membagi semua bilangan bulat)
(4) Jika a/1 maka a = ±1
(5) Jika a/b maka a⏐xb
(6) Jika ab/c maka a/c dan b/c
(7) Jika a/b dan b/c maka a/c
(8) Jika a/b dan a/c maka a/(bx + cy)
(9) Jika a/b maka xa/xb
(10) Jika a/b dan b ≠ 0 maka
a
≤
b
(11) Jika a/b dan b/a maka a = ±b
(12) Jika a/bc dan FPB(a, b) = 1 maka a/c
(13) 0/a hanya jika a = 0
1.2 Jika suatu bilangan habis dibagi a dan juga habis dibagi b, maka bilangan tersebut akan
habis dibagi ab dengan syarat a dan b relatif prima. Berlaku sebaliknya. Dua bilangan
dikatakan prima relatif, jika faktor persekutuan terbesarnya (FPB) dua bilangan tersebut
sama dengan 1.
Contoh : 36 habis dibagi 4 dan 3, maka 36 akan habis dibagi 12.
45 habis dibagi 15. Maka 45 juga habis dibagi 3 dan 45 juga habis dibagi 5.
12 habis dibagi 4 dan 12 juga habis dibagi 6 tetapi 12 tidak habis dibagi 4 ⋅ 6 = 24 sebab 4 dan
6 tidak relatif prima, FPB (4, 6) = 2
1.3 Bilangan yang dapat diubah menjadi perkalian n bilangan bulat berurutan akan habis
dibagi
n! dengan tanda “!” menyatakan faktorial. n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ n.
Contoh :
3x4x5x6 = 360 merupakan perkalian 4 bilangan bulat berurutan maka habis dibagi 4! = 24.
1.4 Mengingat penjabaran pada dua persamaan berikut :
n
n
n-1
n-2
n-3 2
n-2
n-1
(i) (a − b ) = (a − b)(a + a b + a b + ⋅⋅⋅ + ab + b ) dengan n ∈ bilangan asli
n
n
n-1
n-2
n-3 2
n-2
n-1
(ii) (a + b ) = (a + b)(a − a b + a b − ⋅⋅⋅ − ab + b ) dengan n ∈ bilangan ganjil
n
n
Maka (a − b) membagi (a − b ) untuk semua a, b bulat dan n bilangan asli
n
n
(a + b) membagi (a + b ) untuk semua a, b bulat dan n bilangan ganjil
Contoh 2 :
3
(OSN 2003 SMP/MTs) Buktikan bahwa (n − 1)n(n + 1) senantiasa habis dibagi oleh 6 untuk semua
bilangan asli n.
Solusi :
Alternatif 1 :
3
3
Berdasarkan 1.2 didapat bahwa jika (n − 1)n(n + 1) habis dibagi 6 (n − 1)n(n + 1) maka akan habis
3
dibagi 2 dan juga habis dibagi 3. Jadi, jika dapat dibuktikan bahwa (n − 1)n(n + 1) habis dibagi 2
3
dan juga habis dibagi 3 maka dapat dibuktikan (n − 1)n(n + 1) senantiasa habis dibagi oleh 6 untuk
semua bilangan asli n.
(n − 1) dan n adalah 2 bilangan bulat berurutan maka (n − 1)n akan habis dibagi 2.
3
Berdasarkan 2.1 poin (1) maka (n − 1)n(n + 1) habis dibagi 2.
Sebuah bilangan bulat dapat diklasifikasikan ke dalam salah satu bentuk dari 3k, 3k + 1 atau 3k + 2.
3
Jika n = 3k maka 3 membagi n sehingga 3⏐(n − 1)n(n + 1)
3
Jika n = 3k + 1 maka 3⏐(n − 1) sehingga 3⏐(n − 1)n(n + 1).
3
3
3
2
3
Jika n = 3k + 2 maka n + 1 =(3k + 2) + 1 = 3(9k + 18k + 12k + 3) sehingga 3⏐(n + 1).
3
Maka 3⏐(n − 1)n(n + 1).
3
Didapat bahwa (n − 1)n(n + 1) habis dibagi 2 dan juga habis dibagi 3. Karena 2 dan 3 relatif prima
3
maka (n − 1)n(n + 1) habis dibagi 2 ⋅ 3 = 6.
3
Jadi, (n − 1)n(n + 1) habis dibagi 6.
Alternatif 2 :
3
2
(n − 1)n(n + 1) = (n − 1)n(n + 1)(n − n + 1)
2
Karena n − 1, n dan n tiga bilangan asli berurutan maka (n − 1)n(n + 1)(n − n + 1)
habis dibagi oleh 3!= 6.
3
Jadi, (n − 1)n(n + 1) habis dibagi 6.
Contoh 3 :
(OSK 2005 SMP/MTS) Bilangan 43 dapat dinyatakan ke dalam bentuk 5a + 11b karena untuk a = 13
dan b = −2, nilai dari 5a + 11b adalah 43. Manakah dari tiga bilangan 37, 254 dan 1986 yang tidak
dapat dinyatakan dalam bentuk 5a + 11b ?
A. 1983
B. 254
C. 254 dan 1986
D. semua
E. tak ada
Solusi :
Perhatikan bahwa 1 dapat dinyatakan ke dalam bentuk 5a + 11b dengan a = −2 dan b = 1. Karena 1
membagi semua bilangan bulat maka semua bilangan dapat dinyatakan ke dalam bentuk 5a + 11b.
(Jawaban : D)
Misalkan diinginkan 5a + 11b = k maka kesamaan akan terjadi saat a = −2k dan b = k.
Semua pasangan bilangan asli m dan n yang memenuhi
2 3
  1 adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
m n
Solusi :
Persamaan pada soal ekivalen dengan 2n + 3m = mn
(m − 2)(n − 3) = 6
Dengan demikian m − 2 dan n − 3 keduanya merupakan faktor dari 6.
Karena m dan n bilangan asli maka m − 2 > −2 dan n − 3 > −3
Maka m − 2 = 1, 2, 3 atau 6. Jadi m = 3, 4, 5 atau 8.
Jadi, pasangan (m, n) yang memenuhi adalah (3, 9), (4, 6), (5, 5), (8, 4).
BAB III
GEOMETRI
1. TRIGONOMETRI
Trigonometri pada bidang geometri ini merupakan alat bantu untuk menyelesaikan suatu persoalan.
Rumus-rumus trigonometri yang perlu diingat adalah :
2
2
sin x + cos x = 1
2
2
tan x + 1 = sec x
2
2
cot x + 1 = cosec x
o
sin (90 − x) = cos x
o
cos (90 − x) = sin x
o
tan (90 − x) = cot x
o
sin (90 + x) = cos x
o
cos (90 + x) = −sin x
o
cos (180 + x) = − cos x
o
tan(180 + x) = tan x
sin (x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y
cos (x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y
tan (x ± y) = 
sin 2x = 2 sin x cos x
2
2
cos 2x = cos x − sin x
2
cos 2x = 2 cos x − 1
2
cos 2x = 1 − 2 sin x
2 sin x cos y = sin (x + y) + sin (x − y)
2 cos x sin y = sin (x + y) − sin (x − y)
2 cos x cos y = cos (x + y) + cos (x − y)
2 sin x sin y = −(cos (x + y) − cos (x − y))
Contoh 1 :
o
Nilai dari sin 15 adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
Solusi :
sin (x − y) = sin x cos y − cos x sin y
o
o
o
o
o
o
sin (45 − 30 ) = sin 45 cos 30 − cos 45 sin 30
o
Jadi, sin 15 =
Contoh 2 :
o
Tentukan nilai dari cos 105 .
Solusi :
cos (x + y) = cos x cos y − sin x sin y
o
o
o
o
o
o
cos (60 + 45 ) = cos 60 cos 45 − sin 60 sin 45