limid-fungsi

LIMIT FUNGSI ALJABAR
Limit fungsi aljabar
LIMIT FUNGSI:
Mendekati hampir, sedikit lagi,
atau
harga batas
Hal.: 2
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit fungsi aljabar
Limit fungsi:
Suatu limit f(x) dikatakan
mendekati a
{f(x) a} sebagai suatu limit.
Bila x mendekati a {x a}
Dinotasikan
Lim f(x) = a
x a
Hal.: 3
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit fungsi aljabar
Langkat-langkah mengerjakan limit fungsi
(supaya bentuk tak tentu dapat dihindari)
adalah ….
1. Subtitusi langsung.
2. Faktorisasi.
3. Mengalikan dengan bilangan sekawan.
4. Membagi dengan variabel pangkat
tertinggi.
Hal.: 4
LIMIT FUNGSI
Adaptif
LIMIT FUNGSI ALJABAR
Berapa teorema limit:
Bila Lim f(x) = A dan Lim g(x) = B
x a
x a
Maka
1. Lim [k.f(x)]
x a
= k Lim f(x)
x a
= k. A
2. Lim [f(x)+g(x)] = Lim f(x) + Lim g(x)
x a
x a
x a
=A+B
Hal.: 5
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit fungsi aljabar
3. Lim {f(x) x g(x)}
x a
x a
= Lim f(x) x Lim g(x)
x a
x a
=AxB
4.
 f ( x) 
 g ( x)  
Lim
x a


Hal.: 6
Lim f ( x)
Lim g ( x)
x a

A
B
x a
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit fungsi aljabar
5.
n


n
 f ( x)   Lim f ( x)  A
Lim
x a
 x a

n
6.
n
n
Lim f ( x)  Lim f ( x) 
xa
Hal.: 7
n
A
x a
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit fungsi aljabar
Soal latihan:
1. Nilai dari Lim 3x adalah….
x 2
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
e. 6
Hal.: 8
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit fungsi aljabar
Pembahasan 1:
Lim 3x = 3(2)
x
2
=6
Pembahasan 2:
Lim 3x = 3 Lim X
x
2
x
2
= 3(2) = 6
Hal.: 9
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit fungsi aljabar
Jawab:
1. Nilai dari Lim 3x adalah….
x 2
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
e. 6
Hal.: 10
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit fungsi aljabar
2. Nilai dari Lim (2x+4) adalah….
x 2
a.
b.
c.
d.
e.
Hal.: 11
-2
2
4
6
8
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit fungsi aljabar
Pembahasan:
Lim (2x+4) = 2(2) + 4
x 2
=4+4
=8
Hal.: 12
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit fungsi aljabar
3. Nilai dari Lim [6x-2x] adalah….
x 3
a. -6
b. 8
c. 12
d. 14
e. 16
Hal.: 13
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit fungsi aljabar
Pembahasan 1:
Lim [6x-2x] = Lim 4x = 4(3) = 12
X
3
x
3
Pembahasan 2:
Lim [6x-2x] = Lim 6x – Lim 2x
X
3
x
3
x
3
= 6(3) – 2(3)
= 18 – 6 = 12
Hal.: 14
LIMIT FUNGSI
Adaptif
LIMIT FUNGSI ALJABAR
Limit fungsi bentuk
0
0
Jika f(x) = (x-a).h(x)
g(x) = (x-a).k(x)
Maka:
Lim
xa
f ( x)
( x  a ).h( x)
 Lim
g ( x)
x  a ( x  a ).k ( x )
h ( x ) h( a )

 Lim
k ( x) k ( a )
x a
Hal.: 15
LIMIT FUNGSI
Adaptif
LIMIT FUNGSI ALJABAR
Limit Fungsi Bentuk
~
~
Jika diketahui limit tak hingga (~)
Sebagai berikut:
n 1
ax  bx  ...  c
R
Lim
m
m 1
 ...  r
x ~ px  qx
n
Maka:
1. R= 0 jika n<m
2. R= a jika n=m
3. R= ~ jika n>m
Hal.: 16
LIMIT FUNGSI
Adaptif
LIMIT FUNGSI ALJABAR
Limit Fungsi Bentuk (~ - ~)
a.

Lim
~
ax  b 
x

px  q  R
1. R= ~ jika a>p
2. R= 0 jika a=p
3. R= -~ jika a<p
Hal.: 17
LIMIT FUNGSI
Adaptif
LIMIT FUNGSI ALJABAR
b.

ax
Lim
~
2
 bx  c 
x

px 2  qx  r  R
1. R= ~ jika a>p
2.
bq
R
2 a
jika a=p
3. R= -~ jika a<p
Hal.: 18
LIMIT FUNGSI
Adaptif
LIMIT FUNGSI ALJABAR
Soal latihan:
4. Nilai dari
x  3x  4 x
Lim
3
2
2
x

x
 2x
x0
4
2
adalah….
a. 3
b. 2
c. 1
Hal.: 19
d.

1
2
e. -2
LIMIT FUNGSI
Adaptif
LIMIT FUNGSI ALJABAR
Pembahasan:
x  3x  4 x
Lim
3
2
2x  x  2x
x 0
4
2
0  3.0  4.0 0


3
2
2.0  0  2.0 0
4
2
Jika 0 didistribusikan menghasilkan ~
(bukan solusi) sehingga soal diselesaikan dengan
cara faktorisasi
Hal.: 20
LIMIT FUNGSI
Adaptif
LIMIT FUNGSI ALJABAR
Maka:
x  3x  4 x
3
2
2x  x  2x
4
Lim
x 0
2

 Lim

x 0


x x 3  3x  4
2
x 2x  x  2
x  3x  4
 Lim
2
2x  x  2
x 0
004
4


 2
002
2
3
Hal.: 21
LIMIT FUNGSI
Adaptif
LIMIT FUNGSI ALJABAR
Soal latihan:
4. Nilai dari
adalah….
a. 3
b. 2
c. 1
Hal.: 22
x 4  3x 2  4 x
Lim
3
2
2
x

x
 2x
x 0
1
d. 
2
e. -2
LIMIT FUNGSI
Adaptif
LIMIT FUNGSI ALJABAR
5. Nilai dari
x2  4
Lim
2
x
 x6
x 2
adalah….
a. 1
4
b.
5
3
c.
5
Hal.: 23
2
d.
5
e.  1
LIMIT FUNGSI
Adaptif
LIMIT FUNGSI ALJABAR
Pembahasan:
x 4
Lim
2
x  x6
x 2
( x  2)( x  2)
 Lim
( x  2)( x  3)
x 2
x2 22 4


 Lim
x3 23 5
x 2
2
Hal.: 24
LIMIT FUNGSI
Adaptif
LIMIT FUNGSI ALJABAR
5. Nilai dari
x 4
Lim
2
x  x6
x 2
2
adalah….
a. 1
4
b.
5
3
c.
5
Hal.: 25
2
d.
5
e.  1
LIMIT FUNGSI
Adaptif
LIMIT FUNGSI ALJABAR
6. Nilai dari
4 x  3x  6
Lim
2
2 x  8x  1
x~
2
adalah ….
a. -6
b. 2
c. 10
Hal.: 26
d. 16
e. 32
LIMIT FUNGSI
Adaptif
LIMIT FUNGSI ALJABAR
Pembahasan 1:
4 x  3x  6
Lim
2
2 x  8x  1
x~
2
2
4x
3x
6
3
 2  2
4 
2
x
x 
x
 x2
8
2x
8x
1
2 
 2  2
2
x
x
x
x
Hal.: 27
LIMIT FUNGSI
6
2
x
1
2
x
Adaptif
LIMIT FUNGSI ALJABAR
Pembahasan 1:
3
6
4  2
400
~
~


8
1
2

0

0
2  2
~ ~
4
 2
2
Hal.: 28
LIMIT FUNGSI
Adaptif
LIMIT FUNGSI ALBAJAR
Pembahasan 2:
4 x 2  3x  6
Lim
2
2
x
 8x  1
x~
Perhatikan bahwa pangkat diatas sama
dengan pangkat bawah sehingga p = q
(p dibagi q)
p 4
L  2
q 2
Hal.: 29
LIMIT FUNGSI
Adaptif
LIMIT FUNGSI ALJABAR
6. Nilai dari
4 x  3x  6
Lim
2
2
x
 8x  1
x ~
2
adalah ….
a. -6
b. 2
c. 10
Hal.: 30
d. 16
e. 32
LIMIT FUNGSI
Adaptif
LIMIT FUNGSI ALJABAR
7. Nilai dari
{
Lim
~
4 x  2 x  6  4 x  2 x  1}
2
2
x
adalah….
a. -3
b. -2
c. -1
Hal.: 31
d. 0
e. 1
LIMIT FUNGSI
Adaptif
LIMIT FUNGSI ALJABAR
Pembahasan:
bq 22 4
R


2.2
2 a
2 4
4

 1
4
Hal.: 32
LIMIT FUNGSI
Adaptif
LIMIT FUNGSI ALJABAR
7. Nilai dari
{
Lim
~
4 x  2 x  6  4 x  2 x  1}
2
2
x
adalah….
a. -3
b. -2
c. -1
Hal.: 33
d. 0
e. 1
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit fungsi sljabar
8. Nilai dari
adalah….
a. -4
b. 0
c. 2
Hal.: 34
(8 x  2)
Lim
2
x ~ (4 x  1)
2
d. 4
e. 8
LIMIT FUNGSI
Adaptif
LIMIT FUNGSI ALJABAR
Pembahasan:
(8 x  2)2
64 x 2  32 x  4
 Lim
Lim
2
x ~ 16 x 2  8 x  1
(
4
x

1
)
x ~
64

4
16
Hal.: 35
LIMIT FUNGSI
Adaptif
LIMIT FUNGSI ALJABAR
8. Nilai dari
(8 x  2) 2
Lim
2
x ~ (4 x  1)
adalah….
a. -4
b. 0
c. 2
Hal.: 36
d. 4
e. 8
LIMIT FUNGSI
Adaptif
LIMIT FUNGSI ALJABAR
9. Nilai dari
adalah….
a. -~
b. -2
c.
Hal.: 37
1

2
x x
Lim
2
x o x  2 x
2
d. 0
e.
1
2
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit fungsi aljabar
Pembahasan:
x x
x( x  1)
 Lim
Lim
2
x  2x
x( x  2)
x 0
x 0
2
x 1 0 1
1
 Lim


02
2
x0 x  2
Hal.: 38
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit fungsi aljabar
x2  x
9. Nilai dari Lim 2
x o x  2 x
adalah….
a. -~
b. -2
d. 0
1
e. 2
1
c.
2
Hal.: 39
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit fungsi aljabar
10. Nilai dari
6x  4x  2x 1
Lim
4
3
x ~ 3x  2 x  5 x  2
2
2
adalah….
a.
1

2
b. 0
c.
Hal.: 40
d. 2
e. 3
1
2
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit fungsi aljabar
Pembahasan:
6x  4x  2x 1
Lim
4
3
x ~ 3x  2 x  5 x  2
2
2
Perhatikan
Pangkat tertinggi diatas 3
Pangkat tertinggi dibawah 4
Jadi n < m
Nilai R = 0
Hal.: 41
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit fungsi aljabar
10. Nilai dari
adalah….
1
a. 
2
b. 0
6x  4x  2x 1
Lim
4
3
x ~ 3 x  2 x  5 x  2
2
2
d. 2
e. 3
1
c. 2
Hal.: 42
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit fungsi aljabar
11. Nilai dari
2 x  5 x  12
Lim
2
x 4 3x  13x  4
2
adalah….
5
a.
13
8
b.
13
11
c.
13
Hal.: 43
12
d.
13
14
e.
13
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit fungsi aljabar
Pembahasan:
2 x 2  5 x  12
Lim
2
3
x
 13x  4
x 4
(2 x  3)( x  4)
Lim
x 4 (3 x  1)( x  4)
2 x  3 2(4)  3

Lim
3(4)  1
x 4 3 x  1
 11 11


 13 13
Hal.: 44
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit fungsi aljabar
12. Nilai dari
2 x  4 x  10
Lim
2
4x  7
x~
2
adalah….
a.
1
2
b. 0
c.
Hal.: 45
d. -1
e. -6
1

2
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit fungsi aljabar
Pembahasan:
2 x 2  4 x  10
Lim
2
4
x
7
x~
Pangkat diatas = Pangkat dibawah
Maka
2 1

4 2
Hal.: 46
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit fungsi aljabar
12. Nilai dari
adalah….
2 x  4 x  10
Lim
2
4
x
7
x~
2
a. 1
2
b. 0
d. -1
e. -6
c.  1
2
Hal.: 47
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit Fungsi Trigonometri
1. Bentuk lim f(x) = f(a)
x a
Contoh :
Tentukan nilai lim sin 2x.
x

4
Jawab :
Lim sin 2x = sin
x
Hal.: 48


2  
4

= sin 2
=1
4
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit Fungsi Trigonometri
f x 
, dengan f(a) = 0 dan g(a) = 0
x  a g x 
2. Bentuk lim
Ingat !!!
Contoh :
Tentukan nilai dari :
lim
x

2
sin 2 x
cos x
sin 2x  2 sin x cos x
cos 2 x  1  2 sin 2 x
Jawab :
sin 2 x
2 sin x cos x

 lim
 lim 2 sin x  2 sin  2.1  2

 cos x

cos x
2
x
x
x
lim
4
Hal.: 49
4
4
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit Fungsi Trigonometri
sin x
3. Bentuk lim tan x atau lim
x 0 x
x 0 x
Catatan :
sin x
x
 lim
1
x 0 x
x  0 sin x
1. lim
tan x
x
 lim
1
x  0 x x  0 tan x
2. lim
Secara umum
sin ax a
tan ax a
tan ax a
lim
 , lim
 , lim

bx
b
bx
b
sin
ax
b
x 0
x 0
x 0
Hal.: 50
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit Fungsi Trigonometri
Contoh 1 :
Tentukan nilai limit fungsi trigonometri berikut!
sin 8 x
a. lim
x 0
2x
tan 3 x
x0 sin 4 x
b. lim
1  cos 2 x
c. lim
x 0
x2
Jawab :
a. Lim
x0
sin 8 x
sin 8 x 8
 lim
.  1.4  4
x

0
2x
8x 2
tan 3x
tan 3x 4 x 3
 lim
.
.
x0 sin 4 x
x0
3x sin 4 x 4
b. lim
3 3
 1 .1 . 
4 4
Hal.: 51
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit Fungsi Trigonometri
1  cos 2 x
1  (1  2 sin 2 x)
c. lim
 lim
2
x0
x0
x
x2
2 sin 2 x
 lim
x0
x2
2
 sin x 
 lim 2.

x 0
x


sin x 

 2. lim

x 0
x 

2
 2.12  2
Hal.: 52
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Limit Fungsi Trigonometri
Contoh 2 :
cos 2 x  1
Tentukan nilai dari lim
x
sin x
Jawab :
cos 2 x  1
(1  2 sin 2 x)  1
 2 sin 2 x
lim
 lim
 lim
x
x


x
sin x
sin x
sin x
 lim (2 sin x)  2 sin   2.0  0
x
Hal.: 53
LIMIT FUNGSI
Adaptif
Hal.: 54
LIMIT FUNGSI
Adaptif