smk matematika - e-Learning Sekolah Menengah Kejuruan

SMK
Bisnis Dan Perkantoran
MATEMATIKA
Penulis:
Bandung Arry Sanjoyo Fmipa
Sri Suprapti
ITS
Nur Asyiah
Dian Winda S.
SMK
Editor:
Erna Apriliani
DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL
DIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH
DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN
2007
Bandung Arry Sanjoyo, Sri
Suprapti, Nur Asyiah, Dian
Winda S.
MATEMATIKA BISINIS
DAN PERKANTORAN
SMK
Direktorat Pembinaan Sekolah Menengah Kejuruan
Departemen Pendidikan Nasional
Hak Cipta pada Departemen Pendidikan Nasional
Dilindungi Undang-undang
MATEMATIAK BISNIS
DAN PERKANTORAN
Untuk SMK
Penulis : Bandung Arry Sanjoyo, Sri Suprapti, Nur Asyiah, Dian Winda S.
Ukuran Buku
……
BAS
….
: …… x …… cm
Bandung Arry Sanjoyo, Sri Suprapti, Nur Asyiah, Dian Winda S.
Matematika Bisinis dan Perkantoran oleh Bandung Arry Sanjoyo, Sri
Suprapti, Nur Asyiah, Dian Winda S..--Jakarta:Pusat Direktorat Pembinaan Sekolah Menengah Kejuruan,
Direktorat Manajemen Pendidikan Dasar dan Menengah, Departemen
Pendidikan Nasional, 2008.
vi. 636 hlm.
ISBN ……-……-……-……
1. Matematika Bisnis dan Perkantoran
Diterbitkan oleh Direktorat Pembinaan Sekolah Menengah Kejuruan
Departemen Pendidikan Nasional
Tahun 2008
Diperbanyak oleh….
KATA SAMBUTAN
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT, berkat rahmat dan karunia
Nya, Pemerintah, dalam hal ini, Direktorat Pembinaan Sekolah Menengah
Kejuruan Direktorat Jenderal Manajemen Pendidikan Dasar dan Menengah
Departemen Pendidikan Nasional, pada tahun 2008, telah melaksanakan
penulisan pembelian hak cipta buku teks pelajaran ini dari penulis untuk
disebarluaskan kepada masyarakat melalui website bagi siswa SMK.
Buku teks pelajaran ini telah melalui proses penilaian oleh Badan Standar
Nasional Pendidikan sebagai buku teks pelajaran untuk SMK yang
memenuhi syarat kelayakan untuk digunakan dalam proses pembelajaran
melalui Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 12 tahun 2008.
Kami menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada seluruh
penulis yang telah berkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepada
Departemen Pendidikan Nasional untuk digunakan secara luas oleh para
pendidik dan peserta didik SMK di seluruh Indonesia.
Buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepada Departemen
Pendidikan Nasional tersebut, dapat diunduh (download), digandakan,
dicetak, dialihmediakan, atau difotokopi oleh masyarakat. Namun untuk
penggandaan yang bersifat komersial harga penjualannya harus memenuhi
ketentuan yang ditetapkan oleh Pemerintah. Dengan ditayangkannya soft
copy ini akan lebih memudahkan bagi masyarakat untuk mengaksesnya
sehingga peserta didik dan pendidik di seluruh Indonesia maupun sekolah
Indonesia yang berada di luar negeri dapat memanfaatkan sumber belajar
ini.
Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini. Selanjutnya,
kepada para peserta didik kami ucapkan selamat belajar dan semoga dapat
memanfaatkan buku ini sebaik-baiknya. Kami menyadari bahwa buku ini
masih perlu ditingkatkan mutunya. Oleh karena itu, saran dan kritik sangat
kami harapkan.
Jakarta,
Direktur Pembinaan SMK
KATA PENGANTAR
Matematika merupakan suatu alat untuk berkomunikasi di bidang ilmu
pengetahuan
dan
teknologi.
Dengan
matematika
kita
dapat
mengungkapkan gejala – gejala alam, sosial, dan teknik dengan suatu
ungkapan
rumusan matematika yang tidak memuat makna ganda.
Bahkan dengan berbantuan matematika kita dapat menyelesaikan
permasalahan sosial, ekonomi, manajemen, dan teknik dengan
penyelesaian yang akurat dan optimal. Fakta menunjukkan bahwa
beberapa pemenang nobel untuk bidang ekonomi atau teknik berasal
dari matematikawan.
Oleh karena itu, mempelajari dan menguasai matematika dari usia
sekolah dasar maupun lanjut merupakan suatu kebutuhan. Buku ini
disusun dengan memperhatikan konsep berfikir matematis dan selalu
mengaitkannya
dalam
kehidupan
sehari-hari,
khususnya
pada
permasalahan ekonomi, bisnis, dan manajemen. Pada setiap konsep
kecil yang dituangkan dalam suatu sub bab selalu dikaitkan dengan
permasalahan sehari – hari. Juga pada setiap bab diawali dengan
kalimat motivasi, pembuka dan perangsang bagi pembaca untuk
mengerti dari awal, kira-kira akan dipakai seperti apa dan dimana.
Belajar matematika tidak cukup hanya dengan mengerti konsep saja.
Harus disertai dengan banyak latihan olah pikir serupa dengan contoh –
contoh yang diberikan. Untuk itu, pada setiap akhir sub bab diberikan
banyak soal – soal sebagai latihan dalam menguasai konsep dan
miningkatkan ketrampilan olah pikir dan penyelesaian permasalahan.
i
ii
Kata Pengantar
Susunan materi di buku ini berpedoman pada silabus dan GBPP yang
telah disusun oleh Depdiknas untuk matematika tingkat SMK bidang
Bisnis dan Perkantoran. Sehingga rujukan yang dipakai banyak
menggunakan buku matematika untuk SMK dan SMA/MA. Namun
demikian juga memperhatikan beberapa buku matematika untuk
perguruan tinggi maupun buku aplikasi matematika. Dengan harapan
bahwa konsep dan aplikasi matematika tidak terabaikan, juga tingkatan
penyampaian materi sangat memperhatikan usia sekolah SMK.
Banyak kata motivasi dan kalimat definitif diambil dari buku rujukan
yang dipakai. Untuk suatu topik gagasan, sering diambil dari gabungan
beberapa buku yang kemudian diungkapkan kedalam suatu kalimat
yang sekiranya akan mudah dimengerti oleh siswa SMK.
Buku Matematika SMK Bisnis dan Perkantoran ini terdiri dari 11 bab.
Bab awal memuat materi dasar dalam matematika, yang akan dipakai
untuk materi lain yang ada pada bab sesudahnya. Setiap bab berisi
tentang topik kajian matematika yang disajikan lewat orientasi /
ilustrasi, teori, beberapa contoh soal mulai dari yang mudah ke soal
yang sulit. Sebelum mengerjakan latihan soal-soal pada setiap subbab,
didahului dengan rangkuman, dengan tujuan siswa dapat mengingat
hal-hal penting dari subbab yang telah dipelajari.
Bab 1, tentang topik kajian bilangan real. Bilangan real merupakan hal
dasar dari mempelajari semua topik kajian matematika. Oleh karena itu,
bab ini wajib dipelajari terlebih dahulu sebelum mengkaji bab – bab
lain. Bab 1 memuat tentang himpunan bilangan-bilangan. Mulai dari
bilangan asli sampai dengan bilangan real. Operasi pada bilangan real
iii
Kata Pengantar
dan sifat-sifatnya dibahas mendetail pada bab ini. Seperti operasi
jumlah, kurang, kali, bagi, pangkat, dan logaritma.
Bab 2, tentang persamaan dan pertidaksamaan. Setelah mengenal objek
bilangan real, dikenalkan tentang ekspresi matematika dalam bentuk
persamaan dan pertidaksamaan. Persamaan dan pertidaksamaan ini
merupakan ekspresi matematika yang dapat dipakai untuk merumuskan
berbagai macam persoalan yang sering kita hadapi. Persamaan dan
pertidaksamaan
yang
dikaji
dibatasi
pada
persamaan
dan
pertidaksamaan linear dan kuadrat. Namun juga membahas sistem
persamaan linear dengan dua dan tiga peubah. Sistem persamaan linearkuadrat juga dikenalkan pada bab ini. Pemakaian keduanya pada
permasalahan sehari-hari juga disajikan cukup banyak.
Bab 3, tentang matriks. Matriks merupakan suatu objek di matematika
yang didefinisikan dan dikenakan berbagai macam operasi pada
matriks. Macam matriks dan sifat-sifat operasi pada matriks dibahas
secara mendalam, yang pada akhir dapat dipakai untuk menyelesaikan
berbagai macam permasalahan kita. Sepertinya permasalahan sistem
persamaan linear dapat juga diselesaikan dengan menggunakan konsep
matriks ini.
Bab 4, tentang program linear. Program linear merupakan suatu metoda
untuk mendapatkan nilai optimal dari suatu permasalahan optimasi atas
suatu kendala sistem pertidaksamaan linear. Pada pembahasan program
linear, dibatasi pada permasalahan yang hanya melibatkan dua peubah,
diawali dengan contoh-contoh penerapan pada permasalahan seharihari. Dilanjutkan dengan pemodelan kalimat verbal ke dalam model
iv
Kata Pengantar
matematika program linear. Teknik meyelesaiakan program linear
disajikan dalam dua cara, termasuk penggunaan garis selidik.
Bab 5, tentang logika matematika. Pada bab ini membahas tentang nilai
kebenaran suatu kalimat. Berbagai macam operasi penghubung kalimat
seperti ingkaran/ negasi, disjungsi, konjungsi, implikasi, biimplikasi,
modus ponens, tollens, dan silogisme.
Bab 6, tentang fungsi. Diawali pembahan tentang pengertian fungsi,
pengenalan berbagai macam fungsi seperti fungsi linear dan fungsi
kuadrat dan penerapannya pada permasalahan sehari-hari.
Bab 7, tentang barisan dan deret. Diawali tentang pembahasan
pengertian barisan dan deret, pengenalan pola bilangan, macam-macam
deret seperti deret aritmatika dan geometri.
Pemakaian deret pada
kasus nyta juda sedikit dikenalkan.
Bab 8, tentang geometri bidang. Suatu konsep matematika yang
mempunyai banyak pemakaian adalah geometri. Bab geometri bidang
diawali dengan pengenalan sudut, keliling, luas, transformasi geometri,
dan penerapannya.
Bab 9, tentang peluang. Konsep di matematika yang setiap haris kita
selalu berhubungan adalah konsep peluang. Peluang yang dibahas pada
buku ini dimulai dari membahas secara detail tentang ruang sampel.
Dalam konsep penghitungan (counting), ruang sampel merupakan dasar
dari semua penghitungan dan penghitungan peluang dari setiap
kejadian. Dibahas pula tentang peluang kejadian bersyarat.
v
Kata Pengantar
Bab 10, tentang statistika. Membahas segala hal yang berkaitan dengan
data. Penyajian data dalam berbagai macam bentuk, seperti tabel,
diagram, dan grafik dibahas pada bab ini. Dilanjutkan dengan
pembahasan tentang ukuran statistika dan penyebaran data.
Bab 11, tentang matematika keuangan. Hitung keuangan adalah suatu
kegiatan yang setiap hari dijalani manusia. Dasar dari aktivitas hitung
keuangan adalah matematika keuangan. Dalam bab ini, dibahas tentang
berbagai macam hitung keuangan seperti bunga tunggal, bunga
majemuk, diskonto, nilai tunai, valuta, rente, anuitas, dan saldo
menurun.
Dengan bekal matematika untuk SMK Bisnis dan perkantoran ini,
diharapkan lulusan SMK mempunyai bekal yang cukup dalam berfikir
secara logis dan sistematis dengan selalu berpijak pada kaidah-kaidah
keilmuan matematika dalam menghadapi problema-problema pada
dunia kerja.
Penulis sangat menyadari bahwa buku ini masih jauh dari
kesempurnaan. Oleh karena itu, kritik dan saran untuk perbaikan sangat
diharapkan oleh penulis. Suatu penghargaan yang setinggi – tingginya
disampaikan kepada semua pihak yang telah mendukung dan
meberikan fasilitas dalam penyusunan buku ini. Terutama kepada
beliau-beliau
yang
dengan
ikhlas
mengarahkan,
mengoreksi,
memberikan masukan terhadap isi buku ini. Sekali lagi kami
menyampaikan perhargaan yang sangat tinggi dan terima kasih yang
sedalam-dalamnya.
Penulis.
vi
Kata Pengantar
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR
I
DAFTAR ISI
1.
VII
SISTEM BILANGAN REAL
1.1
1
BILANGAN REAL DAN OPERASI PADA REAL
1.1.1
BILANGAN REAL
1.1.2
OPERASI PADA BILANGAN REAL
1.2
2
2
PERBANDINGAN, SKALA DAN PERSEN
16
25
1.2.1
PERBANDINGAN
25
1.2.2
SKALA
29
1.2.3
PERSEN
30
1.3
OPERASI PADA BILANGAN BERPANGKAT BULAT
34
1.3.1
PANGKAT BILANGAN POSITIF
34
1.3.2
PANGKAT BILANGAN NEGATIF DAN NOL
37
1.3.3
PENERAPAN OPERASI BILANGAN BERPANGKAT
43
1.4
BILANGAN DALAM BENTUK AKAR (IRASIONAL)
53
1.4.1
OPERASI ALJABAR PADA BILANGAN BERBENTUK AKAR
55
1.4.2
MERASIONALKAN PENYEBUT
58
1.5
BILANGAN BERPANGKAT RASIONAL
62
1.6
LOGARITMA
70
1.6.1
PENGERTIAN LOGARITMA
70
vii
viii
Daftar Isi
1.6.2
MENGHITUNG LOGARITMA
73
1.6.3
SIFAT – SIFAT LOGARITMA
82
1.6.4
CONTOH PEMAKAIAN LOGARITMA
85
2.
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
2.1
93
PERSAMAAN LINEAR
94
2.1.1
PERSAMAAN LINEAR SATU PEUBAH
95
2.1.2
PERSAMAAN LINEAR DUA PEUBAH
101
PERSAMAAN KUADRAT
2.2
107
2.2.1
MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT
2.2.2
MENCARI HUBUNGAN AKAR‐AKAR PERSAMAAN KUADRAT 127
2.2.3
HUBUNGAN ANTARA AKAR‐AKAR PERSAMAAN
110
KUADRAT
LAINNYA
2.2.4
MENERAPKAN PERSAMAAN KUADRAT
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
2.3
134
142
154
2.3.1
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA PEUBAH
156
2.3.2
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA PEUBAH 165
2.4 SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT DUA PEUBAH
171
2.5
175
PERTIDAKSAMAAN
2.5.1
PERTIDAKSAMAAN LINIER SATU PEUBAH
178
2.5.2
PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
182
2.5.3
PERTIDAKSAMAAN PECAH RASIONAL
185
2.5.4
MENERAPKAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
189
3.
MATRIKS
177
Daftar Isi
ix
3.1
MATRIKS DAN OPERASINYA
177
3.2
INVERS MATRIKS
189
3.3
DETERMINAN
196
3.4
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN MATRIKS
207
3.4.1
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DENGAN INVERS
MATRKS
3.4.2
210
METODA CRAMER
212
4. PROGRAM LINEAR
219
4.1
220
SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR
PERTIDAKSAMAAN LINEAR DAN DAERAH PENYELESAIANNYA
4.1.1
220
4.1.2
SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DAN DAERAH
PENYELESAIANNYA
229
4.2 MODEL MATEMATIKA DARI PROGRAM LINEAR
240
4.3
NILAI OPTIMUM DARI DAERAH PENYELESAIAN SISTEM
PERTIDAKSAMAAN LINEAR.
253
4.4 PENYELESAIAN PROGRAM LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN
GARIS SELIDIK
270
5.
279
LOGIKA
5.1
PERNYATAAN DAN KALIMAT TERBUKA
281
5.1.1
PROPOSISI
281
5.1.2
KALIMAT TERBUKA
283
x
5.2
Daftar Isi
PENGHUBUNG ATAU KONEKTIF (CONNECTIVE)
285
5.2.1
NEGASI
286
5.2.2
KONJUNGSI
287
5.2.3
DISJUNGSI
288
5.2.4
IMPLIKASI (PROPOSISI BERSYARAT)
290
5.2.5
BIIMPLIKASI
293
5.2.6
TABEL KEBENARAN (TRUTH TABLE)
297
5.3
KUANTOR UNIVERSAL DAN KUANTOR EKSISTENSIAL
301
5.3.1
NEGASI DARI PERNYATAAN BERKUANTOR
303
5.3.2
HUBUNGAN INVERS, KONVERS DAN KONTRAPOSISI
304
5.3.3
DUA BUAH PERNYATAAN MAJEMUK YANG EKUIVALEN
306
5.4
SILOGISME, MODUS PONENS DAN MODUS TOLLENS
310
5.4.1
SILOGISME
311
5.4.2
MODUS PONENS
313
5.4.3
MODUS TOLLENS
315
6. FUNGSI
321
6.1
FUNGSI DAN RELASI
322
JENIS‐JENIS FUNGSI
327
6.1.1
6.2 FUNGSI LINIER
332
6.2.1
MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI LINIER
333
6.2.2
PERSAMAAN GARIS LURUS YANG MELALUI SEBUAH TITIK
DENGAN GRADIEN DIKETAHUI
6.2.3
PENENTUAN PERSAMAAN GARIS LURUS YANG MELALUI DUA
TITIK
337
336
Daftar Isi
xi
6.2.4 KEDUDUKAN DUA BUAH GARIS LURUS
338
6.2.5
INVERS FUNGSI LINIER
6.3 FUNGSI KUADRAT
6.3.1
BENTUK UMUM PARABOLA
6.3.2
MENENTUKAN PUNCAK, PERSAMAAN SUMBU SIMETRI DAN
338
343
346
KOORDINAT FOKUS SUATU PARABOLA
348
6.4 APLIKASI UNTUK EKONOMI
359
7.
365
BARISAN DAN DERET
7.1
POLA BILANGAN, BARISAN, DAN DERET
366
7.1.1
POLA BILANGAN
366
7.1.2
BARISAN
368
7.1.3
NOTASI SIGMA
374
7.1.4
DERET
380
7.2
BARISAN DAN DERET ARITMATIKA
388
7.3
BARISAN DAN DERET GEOMETRI
399
8. GEOMETRI BIDANG
413
8.1
414
SUDUT
8.2 KELILING BANGUN DATAR
424
8.2.1
PERSEGI DAN PERSEGI PANJANG
425
8.2.2
JAJARAN GENJANG, LAYANG – LAYANG DAN TRAPESIUM
427
8.2.3
SEGITIGA
427
8.2.4 LINGKARAN
8.3
LUAS BANGUN DATAR
435
437
xii
Daftar Isi
8.3.1
PERSEGI DAN PERSEGI PANJANG
437
8.3.2
SEGITIGA
438
8.3.3
JAJARAN GENJANG
439
8.3.4 LAYANG ‐ LAYANG
440
8.3.5
TRAPESIUM
442
8.3.6 LINGKARAN
443
8.4 TRANSFORMASI GEOMETRI
446
8.4.1
447
TRANSLASI
8.4.2 ROTASI
451
8.4.3 REFLEKSI (PENCERMINAN)
455
8.4.4 DILATASI
459
8.5 KOMPOSISI TRANSFORMASI
464
8.5.1
KOMPOSISI TRANSLASI
464
8.5.2
KOMPOSISI ROTASI
465
8.5.3
KOMPOSISI REFLEKSI (PENCERMINAN)
466
8.5.4 KOMPOSISI LEBIH DARI DUA TRANSFORMASI
468
8.6 PENERAPAN GEOMETRI BIDANG
471
9. PELUANG
475
9.1
476
PENGERTIAN DASAR
9.2 KAIDAH PENCACAHAN
479
9.2.1
KAIDAH PERKALIAN
480
9.2.2
KAIDAH PENJUMLAHAN
483
9.3 PERMUTASI DAN KOMBINASI
485
NOTASI FAKTORIAL
485
9.3.1
Daftar Isi
xi
ii
9.3.2
PERMUTASI
486
9.3.3
KOMBINASI
498
9.4 PELUANG SUATU KEJADIAN
PELUANG KOMPLEMEN SUATU KEJADIAN
9.4.1
509
515
9.4.2 PELUANG GABUNGAN DUA KEJADIAN
516
9.4.3 PELUANG GABUNGAN DUA KEJADIAN SALING LEPAS
518
9.4.4 PELUANG BERSYARAT DAN KEJADIAN SALING BEBAS
520
9.4.5 FREKUENSI HARAPAN SUATU KEJADIAN
528
10.
535
STATISTIKA
10.1
PENGERTIAN DASAR
535
10.1.1
PENGERTIAN STATISTIKA
536
10.1.2
PENGERTIAN POPULASI DAN SAMPEL
536
10.1.3
MACAM – MACAM DATA
537
PENYAJIAN DATA
10.2
540
10.2.1
PENYAJIAN DATA DALAM BENTUK TABEL
540
10.2.2
PENYAJIAN DATA DALAM BENTUK DIAGRAM
546
10.2.3
PENYAJIAN DATA DALAM BENTUK GRAFIK
551
UKURAN STATISTIKA BAGI DATA
10.3
555
10.3.1
UKURAN PEMUSATAN
555
10.3.2
UKURAN PENYEBARAN
563
11.
MATEMATIKA KEUANGAN
581
11.1
BUNGA TUNGGAL DAN BUNGA MAJEMUK
581
11.2
DISKONTO
591
xiv
Daftar Isi
11.3
BUNGA MAJEMUK
593
11.4
NILAI TUNAI, NILAI AKHIR, DAN VALUTA
597
11.5
RENTE (RENTETAN MODAL)
602
11.6
ANUITAS
613
11.7
METODE SALDO MENURUN
624
1.
Sistem Bilangan Real
Bab
1
SISTEM BILANGAN REAL
B
Anton
ilangan real mempunyai banyak pemakaian, misal setengah
keuntungan usaha Anton tahun 2007 digunakan untuk
menambah modal usaha. Jika keuntungan usaha Anton pada
tahun 2007 adalah Rp 100.000.000, maka
pada
tahun
2007
bertambah
modal usaha
sebesar
. Penambahan modal usaha
Anton tersebut, juga dapat dinyatakan dalam bentuk persen (%), yaitu
50% dari keuntungan pada tahun 2007. Besarnya kerugian suatu usaha
juga dapat dinyatakan dengan menggunakan bilangan real negatif. Pada
bab ini akan dipelajari tentang bilangan real dan operasi yang dapat
dilakukan pada bilangan real.
Operasi-operasi yang berlaku pada bilangan real tersebut meliputi:
operasi pada bilangan bulat dan pecahan, operasi pada bilangan
berpangkat, menerapkan operasi pada bilangan irasional (bentuk akar),
operasi pada logaritma. Selain itu, juga dibahas konversi bilangan-
1
2
Bab 1: Sistem Bilangan Real
bilangan bulat dan bilangan pecahan ke atau dari bentuk persen,
pecahan desimal, pecahan campuran. Pada bab ini juga dibahas
masalah perbandingan, skala, dan persen.
1.1 BILANGAN REAL DAN OPERASI PADA REAL
1.1.1 BILANGAN REAL
Sistem bilangan merupakan dasar matematika. Oleh karena itu,
sangatlah penting untuk mengenal berbagai jenis bilangan dan
perbedaan di antara bilangan-bilangan tersebut. Dalam sub-bab ini akan
dikenalkan mengenai dasar dan istilah yang berkaitan dengan bilangan
asli, cacah, bulat, rasional, irasional, dan real.
Bilangan Asli
Dalam keseharian, biasanya orang membilang mulai dari 1, 2, 3, 4, 5, 6,
dan seterusnya. Bilangan – bilangan ini dinamakan bilangan asli.
Himpunan bilangan asli (natural) biasa dilambangkan dengan N,
adalah suatu himpunan yang anggotanya bilangan asli, seperti
dituliskan berikut ini.
N = {1, 2, 3, 4, 5, ... }
Bilangan Cacah
Jika bilangan 0 dimasukkan dalam himpunan bilangan asli, maka
himpunan tersebut dinamakan himpunan bilangan cacah, dan
dilambangkan dengan H, yaitu:
H = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
Bab 3: Sistem Bilangan Real
3
Setiap bilangan asli juga merupakan bilangan cacah, akan tetapi bukan
sebaliknya.
CONTOH 1.1.1
•
Bilangan 7 adalah bilangan asli dan 7 juga merupakan bilangan
cacah.
•
Bilangan 4 adalah bilangan asli dan 4 juga merupakan bilangan
cacah.
•
Bilangan 0 merupakan bilangan cacah akan tetapi 0 bukan
merupakan bilangan asli.
Bilangan Bulat
Bilangan asli 7 dapat juga dituliskan dengan memberikan tanda +
didepannya menjadi +7. Jadi bilangan 7 dan +7 adalah sama. Namun
demikian, tanda + tidak biasa dituliskan. Dalam perhitungan banyaknya
suatu objek, sering dijumpai adanya kekurangan objek. Misal jumlah
apel dalam suatu kardus seharusnya 100 buah apel, ternyata setelah
dilakukan penghitungan banyaknya apel ada 97 buah. Jadi ada
kekurangan buah apel sebanyak 3 buah. Untuk menyatakan kekurangan
3 buah apel ini dapat dituliskan dengan symbol -3 buah apel.
Selanjutnya didefiniskan suatu bilangan negatif –n dengan n adalah
bilangan asli. Himpunan bilangan yang dinotasikan dengan lambang Z
dan mempunyai anggota seperti berikut ini dinamakan himpunan
bilangan bulat (integer).
Z = {... ,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ... }
4
Bab 1: Sistem Bilangan Real
Setiap bilangan cacah juga merupakan bilangan bulat, akan tetapi
bukan sebaliknya. Himpunan bilangan asli merupakan himpunan
bagian dari himpunan bilangan cacah, begitu juga himpunan bilangan
cacah merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan bulat.
CONTOH 1.1.2
•
Bilangan 7 adalah bilangan cacah dan 7 juga merupakan
bilangan bulat.
•
Bilangan 0 adalah bilangan cacah dan 0 juga merupakan
bilangan bulat.
•
Bilangan -7 merupakan bilangan bulat akan tetapi -7 bukan
merupakan bilangan cacah.
Jadi bilangan bulat terdiri dari:
9 Bilangan bulat positif, yaitu: 1, 2, 3, ...
9 Bilangan bulat 0 (nol), dan
9 Bilangan bulat negatif, yaitu: -1, -2, -3, ...
Bilangan Rasional
Himpunan bilangan rasional, dinotasikan dengan lambang Q.
Bilangan rasional berbentuk pembagian bilangan bulat dengan p
disebut pembilang (numerator) dan q≠0 disebut penyebut
(denominator). Karena itu, himpunan bilangan rasional dapat
dituliskan sebagai berikut.
Bab 3: Sistem Bilangan Real
5
CONTOH 1.1.3
Berikut ini merupakan contoh-contoh bilangan rasional:
•
adalah bilangan rasional yang berbentuk
dengan a < b.
Bentuk bilangan rasional seperti ini disebut pecahan murni.
•
adalah bilangan rasional yang berbentuk
dengan a > b. Bentuk bilangan rasional seperti ini disebut pecahan
tak murni.
Perhatikan bahwa setiap bilangan bulat juga merupakan bilangan
rasional karena setiap bilangan bulat p dapat ditulis sebagai pembagian
. Bilangan rasional mempunyai tak berhingga banyak bentuk
representasi bilangan. Seperti bilangan rasional 1 dapat dituliskan
dengan , atau , atau , atau yang lainnya. bilangan rasional
dituliskan dengan , atau
Sifat bilangan rasional:
, atau
, atau yang lainnya.
dapat
6
Bab 1: Sistem Bilangan Real
Nilai dari suatu bilangan rasional
tidak berubah, jika pembilang p dan
penyebut q keduanya dikalikan atau dibagai dengan bilangan bulat
selain 0.
Bentuk Desimal
Bilangan
rasional
dapat
dituliskan
dalam
bentuk
desimal
. Untuk i = 1, 2, 3, …, n+m, di
merupakan angka / digit desimal 0, 1, 2, …, atau 9. Nilai dari bilangan
adalah
bentuk desimal
d1(10n)+d2(10n-1)+…+dn(100)+dn+1(10-1)+dn+2(10-2)+…dn+m(10m)
dengan :
•
,
,
•
,
•
Sedangkan
, dan seterusnya.
,
, dan seterusnya
didefinisikan dengan
Sebagai gambaran bilangan 235,47 mempunyai nilai
.
Bab 3: Sistem Bilangan Real
7
CONTOH 1.1.4
Berikut ini merupakan contoh-contoh bentuk desimal dari
bilangan rasional:
•
, nilai 0,5 didapat dari membagi bilangan 1 dengan
bilangan 2.
•
, nilai 0,25 didapat dari membagi bilangan 1 dengan
bilangan 4.
•
, nilai 7,5 didapat dari membagi bilangan 15 dengan
bilangan 2.
•
, tanda … menyatakan angka perulangan 3 diulang
terus sampai dengan tak berhingga banyak. Bentuk 0,33333… ini
sering disingkat dengan
•
.
, tanda … menyatakan angka perulangan 25 diulang
terus sampai dengan tak berhingga banyak. Bentuk 0,252525… ini
sering disingkat dengan
.
Dengan memperhatikan contoh di atas, dapat dikatakan bahwa:
1. Ada bilangan rasional yang dapat dinyatakan dalam bentuk
desimal terbatas, seperti bilangan 0,5 ; 0,25 ; 0,125 dan lainnya.
2. Ada bilangan rasional yang dapat dinyatakan dalam bentuk
desimal tak terbatas, seperti:
a. Bilangan 0,3333… angka 3 dibelakang tanda koma berulang
tak terbatas.
8
Bab 1: Sistem Bilangan Real
b. Bilangan 0,125125125125… angka 125 dibelakang tanda koma
berulang tak terbatas.
CONTOH 1.1.5
Nyatakan bilangan rasional desimal berikut ini ke dalam bentuk
pembagian dua bilangan bulat .
a. 2,3
b. 23,45
Penyelesaian:
a. Dimisalkan bilangan rasional yang dicari adalah x.
Jadi x = 2,3
Kalikan kedua ruas dari persamaan dengan 10. Kita ambil pengali
10 karena angka dibelakang tanda koma terbatas satu angka.
Lanjutkan dengan operasi aljabar, didapat hasil berikut ini.
10 x = 23, atau
x=
b. Dimisalkan bilangan rasional yang dicari adalah x.
Jadi x = 23,45
Kalikan kedua ruas dari persamaan dengan 100. Kita ambil pengali
100 karena angka dibelakang tanda koma terbatas dua angka.
Lanjutkan dengan operasi aljabar, didapat hasil berikut ini.
100 x = 2345, atau
x=
Bab 3: Sistem Bilangan Real
9
CONTOH 1.1.6
Nyatakan bilangan rasional desimal berikut ini ke dalam bentuk
pembagian dua bilangan bulat .
a. 1,33333…
b. 0,123123123…
Penyelesaian:
a. Dimisalkan bilangan rasional yang dicari adalah x.
Jadi x = 1,33333…
Kalikan kedua ruas dari persamaan dengan 10, kita ambil pengali
10 karena angka dibelakang tanda koma tak terbatas dan hanya
satu angka yang berulang, yaitu 3. Lanjutkan dengan operasi
aljabar, didapat hasil berikut ini.
10 x = 13,33333…
10 x = 12 + 1,33333…
10 x = 12 + x
9 x = 12
x=
b. Dimisalkan bilangan rasional yang dicari adalah x.
Jadi x = 0,123123123…
Kalikan kedua ruas dari persamaan dengan 1000, kita ambil pengali
1000 karena angka dibelakang tanda koma tak terbatas dan hanya
tiga angka yang berulang, yaitu 123. Lanjutkan dengan operasi
aljabar, didapat hasil berikut ini.
1000 x = 123,123123123…
1000 x = 123 + 0,123123123…
10
Bab 1: Sistem Bilangan Real
1000 x = 123 + x
999 x = 123
x=
Langkah-langkah berikut merubah bilangan rasional berbentuk desimal
menjadi bilangan rasional berbentuk .
1. Lakukan pemisalan bilangan rasional yang dicari adalah
x=
.
2. Jika m berhingga / terbatas, maka kalikan kedua ruas
.
persamaan pada langkah 1 dengan bilangan
Jika m tak berhingga / tak terbatas, maka kalikan kedua ruas
persamaan pada langkah 1 dengan bilangan
, dengan r
adalah banyaknya digit yang berulang pada deretan digit
dn+1dn+2…dn+m.
3. Lakukan operasi aljabar untuk membawa x kedalam bentuk
dengan p dan q≠0 bilangan bulat.
Bilangan desimal yang mempunyai angka dibelakang tanda koma tak
terbatas dan tak berulang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk
pembagian
bilangan
bulat
.
Seperti
bilangan
desimal
x=3,010010001000010000010000001… tidak dapat dinyatakan dalam
bentuk pembagian bilangan bulat. Oleh karena itu bilangan x tersebut
bukan bilangan rasional, atau x merupakan bilangan irasional.
Bilangan Irasional
Bab 3: Sistem Bilangan Real
11
Bilangan irasional atau bilangan bukan rasional yaitu bilanganbilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pembagian bilangan
bulat.
CONTOH 1.1.7
Bilangan
adalah bilangan irasional. Ini dapat dibuktikan secara
analitis, namun tidak ditunjukkan disini. Akan tetapi,
akan
ditampilkan dalam bentuk desimal yang diambil dengan menggunakan
perangkat
lunak Maple. Amatilah bahwa angka-angka dibelakang
tanda koma pada bilangan
tidak ada yang berulang.
•
, nilai desimal
yang dipotong sampai dengan 30 angka dibelakang tanda koma.
•
,
nilai desimal
yang dipotong sampai dengan 80 angka
dibelakang tanda koma. Simbul
adalah simbul “hampir sama
dengan”.
CONTOH 1.1.8
Amatilah bahwa angka-angka dibelakang tanda koma pada bilangan
yang diambil dengan menggunakan perangkat lunak Maple, tidak ada
sederetan angka yang berulang.
12
Bab 1: Sistem Bilangan Real
•
, nilai desimal
yang dipotong sampai dengan 20 angka dibelakang tanda koma.
•
,
desimal
nilai
yang dipotong sampai dengan 80 angka dibelakang tanda
koma.
Bilangan Real
Gabungan himpunan bilangan rasional dan irasional membentuk suatu
himpunan bilangan yang disebut himpunan bilangan real dan
dinotasikan dengan R.
Bilangan real dapat dikaitkan dengan titik pada sebuah garis. Garis ini
mempunyai arah ke kanan dan ke kiri. Dipilih sebuah titik acuan 0 pada
garis tersebut, yang disebut titik awal. Titik acuan awal ini yang
berkaitan dengan bilangan real 0. Dari titik acuan 0, garis arah ke kanan
sebagai arah positif dan titik pada garis arah positif ini menyatakan
sebuah bilangan real positif. Dari titik acuan 0 ke arah kiri sebagai arah
negatif dan titik pada garis arah negatif ini menyatakan sebuah
bilangan real negatif. Lihat Gambar 1.1.1 dibawah ini.
2
Gambar 1.1.1. Garis Bilangan Real 1
1
Pada tahun 1637 Ren´e Descartes1 menerbitkan suatu karya filsafat yang berjudul
Discourse on the Method of Rightly Conducting the Reason. Dalam lampiran tersebut
Ren´e Descartes menghubungkan aljabar dengan geometri, yang merupakan kreasi baru
dan disebut geometri analitik; suatu cara untuk menjelaskan rumus aljabar dengan
Bab 3: Sistem Bilangan Real
13
Dengan sebarang satuan pengukuran, setiap bilangan real positif x
Dengan sembarang satuan pengukuran, setiap bilangan real positif x
dinyatakan dengan suatu titik yang berjarak x satuan ke arah kanan dari
titik awal, dan setiap bilangan real negatif –x dinyatakan dengan titik
yang berjarak x satuan ke arah kiri dari titik awal.
CONTOH 1.1.9
Perhatikan Gambar 1.1.2, pada garis bilangan real diberi tanda tempat
titik-titik dengan koordinat
. Tempat dari
dan π
merupakan hampiran yang diperoleh dari hampiran desimalnya yaitu
dan
.
Gambar 1.1.2 Posisi beberapa bilangan real pada garis bilangan
Berdasarkan cara di atas, bilangan-bilangan real dan titik-titik pada
garis koordinat adalah berhubungan. Setiap bilangan real akan
dikawankan dengan satu titik tunggal dan setiap titik akan dikawankan
dengan satu bilangan real. Oleh karena itu, bilangan real dan titik-titik
pada garis koordinat berkorespondensi satu-satu.
kurva geometrik dan sebaliknya, kurva geometrik dengan rumus aljabar. Dalam
geometri analitik, bilangan real dinyatakan dengan titik pada sebuah garis.
14
Bab 1: Sistem Bilangan Real
Bilangan real dapat diurut berdasarkan nilai desimalnya. Bilangan real
lebih besar dari bilangan real . Karena
Bilangan real
lebih kecil dari bilangan real . Karena
>
1,4.
<
.
Bilangan Kompleks
Kuadrat suatu bilangan real selalu tak negatif. Oleh karena itu
persamaan
tidak mempunyai penyelesaian dalam bentuk
bilangan real. Pada abad XVIII para matematikawan memperbaiki
permasalahan tersebut dengan memperkenalkan bilangan baru, yang
dinotasikan dengan
dan didefinisikan sebagai
. Definisi ini
selanjutnya mengarah pada perkembangan bilangan kompleks, yaitu
bilangan-bilangan yang berbentuk
a + bi
dengan a dan b bilangan real. Bilangan – bilangan kompleks ini, jika
dihimpun membentuk sebuah himpunan bilangan kompleks yang biasa
dinotasikan dengan C dan dinyatakan sebagai:
Bab 3: Sistem Bilangan Real
15
CONTOH 1.1.10
Beberapa contoh bilangan kompleks, sebagai berikut.
a. 1‐2i =
b. 2+i =
c. ‐5+10i =
dengan a = 1 dan b = ‐2.
dengan a = 2 dan b = 1.
dengan a = ‐5 dan b = 10.
d. ‐5 =‐5 + 0i dengan a = ‐5 dan b = 0.
e. 10i = 0 + 10 I dengan a = 0 dan b = 10.
Perhatikan bahwa setiap bilangan real a juga merupakan bilangan
kompleks karena dapat ditulis sebagai a = a + 0i. Jadi, himpunan
bilangan real adalah himpunan bagian dari bilangan kompleks.
Bilangan kompleks yang bukan bilangan real disebut bilangan
imajiner. Jadi bilangan imajiner berbentuk bi, dengan
Susunan bilangan-bilangan dapat diringkas dalam gambar berikut ini
Gambar 1.1.3 Diagram Himpunan Bilangan
16
Bab 1: Sistem Bilangan Real
Pada buku ini, bilangan kompleks hanya ditampilkan sebagai
perkenalan, dan tidak akan dibahas lebih mendalam.
1.1.2 OPERASI PADA BILANGAN REAL
Sebelum ini, kita telah dikenalkan dengan jenis bilangan, yaitu bilangan
asli, cacah, bulat, rasional, irasional, real, dan kompleks. Untuk
selanjutnya, bilangan yang akan dibahas adalah bilangan real. Pada sub
bab ini akan diperkenalkan operator dan sifat-sifat operasi dasar pada
bilangan real. Beberapa operator yang dapat dikenakan pada bilangan
real adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian,dan pembagian.
1. Operasi Penjumlahan (+)
Jika a, b merupakan bilangan real atau a,b∈ R maka hasil
penjumlahan antara a dan b adalah bilangan real c dan ditulis c
= a + b.
Cara mendapatkan hasil penjumlahan secara geometris
•
Letakkan bilangan pertama a pada garis bilangan.
•
Untuk b > 0, langkahkan ke kanan sejauh (sebanyak) bilangan
kedua b.
Untuk b < 0, langkahkan ke kiri sejauh bilangan -b.
Untuk b=0, a+b=a.
Langkah – langkah di atas, untuk b positif dapat digambarkan
sebagai berikut.
Bab 3: Sistem Bilangan Real
17
Gambar 1.1.4 Representasi geometris dari c = a + b
Sifat operasi penjumlahan
Untuk bilangan real a, b, dan c, berlaku sifat-sifat operasi
penjumlahan sebagai berikut.
i.
Sifat tertutup
Penjumlahan dua buah bilangan real menghasilkan bilangan
real juga.
ii.
Sifat komutatif
a+b=b+a
iii.
Sifat asosiatif
(a + b) + c = a + (b + c)
iv.
Adanya elemen identitas/netral
a+0=0+a =a
Bilangan 0 dinamakan elemen identitas untuk penjumlahan.
v.
Adanya elemen invers
a + (-a) = 0 , bilangan -a dikatakan invers penjumlahan dari a.
CONTOH 1.1.11
Tentukan hasil 5 + 3 dan 3 + 5 + 2 dengan menggambarkan secara
geometris.
Penyelesaian:
18
Bab 1: Sistem Bilangan Real
Berdasarkan gambar di atas:
•
•
Hasil dari 5 + 3 adalah 8.
Hasil dari 3 + 5 + 2 = (3+5)+2 = 8 + 2 = 10
Lakukan sendiri untuk menjumlahkan 3 + 5 dan 5 + (3 + 2). Perhatikan
bahwa sifat-sifat tertutup, komutatif dan assosiatif terlihat pada contoh
ini.
CONTOH 1.1.12
Tentukan hasil a + a dan a + a + a dengan menggambarkan secara
geometris. Dengan a > 0.
Penyelesaian:
Berdasarkan gambar di atas:
•
Hasil dari a + a adalah 2a.
•
Hasil dari a + a + a = (a + a)+a = 2a + a = 3a
Bab 3: Sistem Bilangan Real
19
2. Operasi Pengurangan (-)
Jika a,b∈ R maka hasil pengurangan / selisih antara a dan b adalah
bilangan real c dan ditulis c = a – b = a + (-b).
Cara mendapatkan hasil pengurangan secara geometris
•
Letakkan bilangan pertama a pada garis bilangan.
•
Untuk b > 0, langkahkan ke kiri sejauh (sebanyak) bilangan
kedua b.
Untuk b < 0, langkahkan ke kanan sejauh bilangan -b.
Untuk b=0, a-b=a.
Langkah – langkah di atas (untuk nilai b > 0) dapat digambarkan
sebagai berikut.
Gambar 1.1.5 Representasi geometris dari c = a – b = a + (-b)
Sifat operasi pengurangan
Untuk bilangan real a, b, dan c, berlaku sifat-sifat operasi
pengurangan sebagai berikut.
i.
Sifat tertutup
Pengurangan dua buah bilangan real menghasilkan bilangan
real juga.
ii.
Sifat tidak komutatif
Jika a ≠ b, maka a - b ≠ b - a
20
Bab 1: Sistem Bilangan Real
iii.
Sifat tidak asosiatif
Jika c≠ 0, maka (a - b) - c ≠ a - (b - c)
CONTOH 1.1.13
Tentukan hasil 5 - 3 dan 5 - 3 - 2 dengan menggambarkan secara
geometris.
Penyelesaian:
Berdasarkan gambar di atas:
•
Hasil dari 5 - 3 adalah 2.
•
Hasil dari 5 - 3 - 2 = (5-3)-2 = 2 + 2 = 0
Lakukan sendiri untuk menghitung 3 - 5 dan 5 - (3 - 2).
3. Operasi Perkalian (× atau ·)
Jika a,b∈ R maka hasil perkalian antara a dan b adalah bilangan
real c dan ditulis c = a × b = a·b = ab .
Cara mendapatkan hasil perkalian a dan b.
i.
Jika a merupakan bilangan bulat maka
Banyaknya suku b ada a suku
Bab 3: Sistem Bilangan Real
ii.
Jika
dan
21
keduanya rasional, maka
Sifat operasi perkalian
Untuk bilangan real a, b, dan c, berlaku sifat-sifat operasi perkalian
sebagai berikut.
i.
Sifat tertutup
Perkalian dua buah bilangan real menghasilkan bilangan real
juga.
ii.
Sifat komutatif
ab=ba
iii.
Sifat asosiatif
(a b)c = a (b c)
iv.
Adanya elemen identitas/netral
a×1=1×a =a
bilangan 1 dinamakan elemen identitas untuk perkalian.
v.
Adanya elemen invers
=
, bilangan dikatakan invers perkalian dari
a.
CONTOH 1.1.14
Tentukan hasil 5 × 3,1 dengan menggunakan definisi di atas.
Penyelesaian:
5 × 3,1 = 3,1 + 3,1 + 3,1 + 3,1 + 3,1 = 15,5
22
Bab 1: Sistem Bilangan Real
CONTOH 1.1.15
Tentukan hasil 1,5 × 2,3 dengan menggunakan definisi di atas.
Penyelesaian:
1,5 dan 2,3 merupakan bilangan rasional. Karena itu, dapat kita
gunakan rumusan pada perkalian untuk dua bilangan rasional.
1,5 × 2,3 =
4. Operasi Pembagian (/ atau )
Jika a,b∈ R dan b≠0 maka hasil pembagian antara a dan b adalah
bilangan real c dan ditulis c = a/ b =
Cara mendapatkan hasil pembagian a dan b.
Jika
keduanya rasional maka
a×b =
p r p s
/ = ×
q s q r
dengan
Sifat operasi pembagian
Bab 3: Sistem Bilangan Real
23
Untuk bilangan real a, b, dan c, berlaku sifat-sifat operasi
pembagian sebagai berikut.
i.
Sifat tertutup
Pembagian dua buah bilangan real dengan penyebut tidak nol
menghasilkan bilangan real.
ii.
Sifat tidak komutatif
Jika a≠0,b≠0, dan a≠b maka a/b ≠ b/a
iii.
Sifat tidak asosiatif
Jika a, b, c tidak nol, a≠b, dan c≠1 maka (a/b)/c ≠ a/(b/c)
CONTOH 1.1.16
Tentukan hasil
dengan menggunakan definisi di atas.
Penyelesaian:
1,5 dan 2,3 merupakan bilangan rasional. Karena itu dapat kita gunakan
rumusan pada perkalian untuk dua bilangan rasional.
1,5 × 2,3 =
• RANGKUMAN
•
Bilangan real terdiri dari bilangan rasional dan irasional.
•
Bilangan bulat merupakan bagian dari bilangan rasional.
24
Bab 1: Sistem Bilangan Real
•
Bilangan rasional dapat dinyatakan bentuk , dengan p, dan
q≠0 adalah bilangan bulat. Bentuk pecahan desimal dari
bilangan rasional adalah berulang.
•
Operasi yang bekerja pada bilangan real adalah operasi
penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.
SSO
OAALL LLAATTIIH
HAAN
N 11--11
1. Hitung dan sketsakan pada garis bilangan :
a. 3 + 6
b. 0 - 7
c. -5 + 9
2. Hitung dan sketsakan pada garis bilangan :
a. 3 × 4
b. -2 × 3
c. 4 × 3.25
3. Dengan menggunakan definisi operator penjumlahan pada bilangan
real, tentukan nilai ekpresi berikut ini.:
a.
b.
c.
4. Dengan menggunakan definisi operator pengurangan pada bilangan
real, tentukan nilai ekpresi berikut ini.:
a.
b.
c.
5. Dengan menggunakan definisi operator penjumlahan pada bilangan
real, tentukan nilai ekpresi berikut ini.:
a.
b.
c.
6. Dengan menggunakan definisi operator penjumlahan pada bilangan
real, tentukan nilai ekpresi berikut ini.:
a.
b.
c.
Bab 3: Sistem Bilangan Real
25
7. Nyatakan bilangan rasional berikut ini dalam bentuk pecahan
desimal.
a.
b.
c.
8. Nyatakan bilangan rasional bentuk pecahan desimal berikut ini
dalam bentuk pembagian bilangan bulat.
a.
b.
c. -15,263
1.2 PERBANDINGAN, SKALA DAN PERSEN
Kita sering melihat kondisi suatu wilayah atau daerah melalui peta
daerah tersebut. Satu Negara dapat kita gambarkan keadaan
geografinya dalam sebuah peta kecil dalam selembar kertas. Ukuran
panjang jalan 1 cm dalam sebuah peta, mewakili beberapa km pada
panjang jalan aslinya. Pada peta tersebut, biasanya dituliskan
perbandingan ukuran panjang dipeta dan panjang aslinya. Perbandingan
ini dituliskan dalam skala peta.
Pada sub bab ini, kita akan belajar tentang perbandingan, skala, dan
persen yang sangat terkait dengan kehidupan sehari-hari.
1.2.1 PERBANDINGAN
Jika kita mengamati dua buah objek, maka kita bisa membandingkan
ukuran kedua objek tersebut, misalnya membandingkan tingginya,
panjangnya, beratnya dan sebagainya. Untuk membandingkan dua
26
Bab 1: Sistem Bilangan Real
ukuran dapat dinyatakan dengan hasil bagi dari kedua ukuran tersebut.
Dengan demikian perbandingan dapat dinyatakan dalam bentuk
pecahan sederhana.
Agar lebih mudah dipahami, perhatikan beberapa ilustrasi berikut:
1. Dede mempunyai 10 buah buku, sedangkan Zaza mempunyai 5
buah. Perbandingan banyaknya buku Dede dan banyaknya buku
Zaza adalah 10 : 5 atau 2 : 1.
2. Berat badan Kiki 45 kg dan berat badan Boy 72 kg. Perbandingan
berat badan Kiki dan Boy adalah 45 : 72 atau 5 : 8.
3. Jarak rumah Chacha ke Sekolah 400 m sedangkan jarak ke Kantor
Pos 2 km. Perbandingan jarak ke Sekolah dan jarak ke Kantor Pos
dari rumah Chacha adalah 400 : 2000 atau 1 : 5.
Jika perbandingan dua besaran / ukuran sejenis A dan B adalah
A : B = x : y atau
maka pernyataan perbandingan tersebut dapat diartikan sebagai berikut:
•
•
B
•
•
Perbandingan Senilai
Bab 3: Sistem Bilangan Real
27
Untuk memahami maksud perbandingan senilai, perhatikan ilustrasi
dibawah ini:
1. Jika membeli sebuah buku, seseorang harus membayar x rupiah,
maka untuk membeli n buah buku, orang tersebut harus membayar
sebanyak n x rupiah.
2. Untuk menempuh jarak 50 km diperlukan bahan bakar sebanyak 1
liter premium, jika jarak yang harus ditempuh adalah 300 km,
maka bahan premium yang diperlukan adalah 6 liter.
Dari gambaran diatas, makin banyak buku yang akan dibeli, makin
banyak pula uang yang harus dikeluarkan. Begitu juga, makin jauh
yang harus ditempuh makin banyak premium yang dibutuhkan.
Perbandingan Berbalik Nilai
Untuk memahami maksud perbandingan berbalik nilai, perhatikan
ilustrasi dibawah ini:
1. Suatu pabrik memproduksi sepatu dengan target sebanyak 100
pasang. Jika dikerjakan oleh seorang saja, maka waktu yang
dibutuhkan 100 hari. Jika dikerjakan oleh dua orang, maka waktu
yang diperlukan sebanyak 50 hari. Jika dikerjakan oleh empat
orang, maka waktu yang diperlukan sebanyak 25 hari. Jika
dikerjakan oleh lima orang, maka waktu yang diperlukan sebanyak
20 hari.
2. Untuk menempuh jarak 45 km diperlukan waktu selama 45 menit
dengan kecepatan rata-rata 60 km/jam. Jika kecepatan rata-rata 80
km/jam, maka waktu yang dibutuhkan sebanyak 33,75 menit.
28
Bab 1: Sistem Bilangan Real
Begitu juga, jika kecepatan rata-rata 70 km/jam, maka waktu yang
diperlukan adalah 38,57 menit.
Dari contoh di atas, bahwa makin banyak pegawai yang ikut
mengerjakan makin sedikit hari yang dibutuhkan. Begitu juga, dengan
menambah kecepatan rata-rata yang diperlukan, waktu yang dibutuhkan
makin sedikit.
CONTOH 1.2.1
Lapangan sepak bola mempunyai ukuran panjang 110 m dan lebar 60
m lebar. Carilah perbandingan antaran panjang dan lebar dari lapangan
sepak bola.
Penyelesaian:
Panjang : Lebar = 110 m : 60 m
= 110 : 60
= 11 : 6
CONTOH 1.2.2
Seseorang mengatakan bahwa harga bahan bakar minyak premium
pada awal tahun 2007 ini mencapai tiga kali lipat dari harga premium 5
tahun yang lalu. Jika pada awal tahun 2007 harga premium adalah Rp
5000, maka berapakah harga premium pada awal 2002?.
Penyelesaian:
Misal harga premium awal tahun 2007 adalah x dan harga premium
awal tahun 2002 adalah y.
Bab 3: Sistem Bilangan Real
29
Perbandingan antara x dan y adalah 5 : 1. Atau
yang berarti
Jadi harga premium di awal 2002 adalah Rp 1.000.
1.2.2 SKALA
Dalam pelajaran Geografi sering diminta untuk menentukan letak suatu
pulau, sungai, kota, dan gunung pada suatu wilayah tertentu. Untuk
melukiskan keseluruhan area dalam tempat tertentu pasti tidak
memungkinkan. Karena itu perlu penskalaan atau perbandingan yang
dapat mewakili tempat-tempat tersebut. Gambaran yang dibuat
sebanding dengan aslinya tetapi dengan ukuran yang lebih kecil
dinamakan penskalaan. Misalnya gedung, skala antara gedung
sebenarnya dengan miniaturnya adalah 1:100. Jika pada miniatur
berjarak 1 cm, maka jarak pada gedung aslinya adalah 1cm × 100 =
100cm = 1m.
Skala biasanya digunakan untuk perbandingan ukuran pada peta
(miniature, blue print) dibandingkan dengan ukuran sebenarnya. Atau
30
Bab 1: Sistem Bilangan Real
CONTOH 1.2.3
Suatu peta pulau Jawa mempunyai skala 1 : 2.000.000. Pada peta
tersebut jarak antara Jakarta Pusat ke Bandung terukur 10 cm, tentukan
jarak sebenarnya?
Penyelesaian:
Diketahui skala = 1 : 2.000.000
Jarak sebenarnya =
.
1.2.3 PERSEN
Istilah persen sering kita jumpai dalam keseharian. Potongan harga
barang – barang yang dijual oleh suatu toko, biasanya dinyatakan
dalam persen (%). Kenaikan harga juga dapat dinyatakan dalam persen.
Apa itu maksud dari persen? Akan dibahas dalam subbab ini.
Perbandingan suatu bilangan dengan bilangan 100 disebut dengan
persen (%). Dengan kata lain pecahan dengan penyebut 100, ditulis
dengan %. Perbandingan antara 15 dengan 100 atau ditulis dalam
bentuk pecahan adalah
.
Setiap bilangan real dalam bentuk desimal dapat dinyatakan dalam
persen, yaitu dengan cara mengalikan bilangan tersebut dengan 100 dan
diikuti dengan tanda %. Sebagai contoh, bilangan 0,025 dapat ditulis
dalam bentuk persen 0,025=0,025 × 100% = 2,5%.
Bab 3: Sistem Bilangan Real
31
Sebaliknya, setiap bilangan persen dapat dinyatakan dalam bentuk real
desimal, yaitu dengan cara membagi bilangan persen dengan 100.
Sebagai contoh, bilangan 800% dapat ditulis dalam bentuk desimal
.
menjadi
CONTOH 1.2.4
Nyatakan pecahan berikut ini menjadi bentuk persen.
b.
a.
c.
Penyelesaian:
×
a.
atau
atau
b.
c.
×
×
CONTOH 1.2.5
Nyatakan bilangan persen berikut ini menjadi bentuk desimal atau
pecahan.
a. 50%
Penyelesaian:
a.
b.
b. 75,5%
c.
32
Bab 1: Sistem Bilangan Real
c.
CONTOH 1.2.6
Misal harga premium saat ini adalah Rp 5.000 per liter. Pemerintah
mengumumkan
kenaikan
harga
premium
sebesar
30%
yang
diberlakukan bulan depan. Berapakah harga premium bulan depan?
b. 50%
b. 75,5%
c.
Penyelesaian:
d.
e.
• RANGKUMAN
•
Perbandingan antara dua objek dapat dinyatakan dalam
bentuk pembagian bilangan.
•
Skala biasanya digunakan untuk perbandingan ukuran pada
peta (miniature, blue print) dengan ukuran sebenarnya.
•
Perbandingan suatu bilangan dengan bilangan 100 disebut
dengan persen (%).
SSO
OAALL LLAATTIIH
HAAN
N 11--22
Bab 3: Sistem Bilangan Real
33
1. Wawan mempunyai buku sebanyak 9 buah, sedangkan Wati
mempunyai 6 buah. Berapakah perbandingan banyaknya buku
Wawan dan banyaknya buku Wati?
2. Berat badan Eko 65 kg dan berat badan Seno 73 kg. Berapakah
perbandingan berat badan Eko dan Seno ?
3. Jarak rumah Dede ke Sekolah adalah 400 m dan jarak rumah Dede
ke Warnet adalah 2 km. Berapakah perbandingan jarak ke Sekolah
dan jarak ke Warnet dari rumah Dede ?
4. Kiki membeli 2 buah apel dan Dede membeli 8 buah apel. Jika
harga seluruhnya Rp 12.000, maka berapakah banyaknya uang
yang harus dikeluarkan oleh Kiki dan Dede?
5. Seorang pemborong dapat menyelesaikan pembangunan jembatan
selama 64 hari dengan pekerja 48 orang. Berapa pekerjakah yang
diperlukan bila pembangunan jembatan ingin dipercepat selesai
menjadi 12 hari?
6. Jarak kota A ke kota B adalah 100 km. Jika Zaza naik sepeda motor
Z dengan kecepatan rata-rata 40 km/jam, maka berapa waktu yang
diperlukan oleh Zaza sampai tujuan? Jika Zaza naik sepeda motor Y
dengan kecepatan rata-rata 50 km/jam, maka berapa waktu yang
diperlukan oleh Zaza sampai tujuan?
7. Tika membeli apel 10 kg seharga Rp 50.000. Setelah dijual, Tika
mendapatkan laba 25%. Tentukan harga juah apel per kg?
8. Sebuah lahan berbentuk persegi panjang dengan keliling 100 m.
Jika lebar lahan tersebut 8 m kurang dari panjangnya, maka
tentukan luas lahan tersebut?.
9. Sebuah perusahaan mempunyai dua lokasi pabrik. Pabrik A seluas
1.500 m2, sedangkan pabrik B seluas 2.000 m2. Untuk keperluan
diversifikasi usaha, perusahaan tersebut menambah pabrik C seluas
34
Bab 1: Sistem Bilangan Real
jumlahan dari luas pabrik A dan B. Tentukan luas tanah yang
dimiliki oleh perusahaan tersbut.
10. Pada gambar blue print dari sebuah gedung, tinggi gedung tersebut
adalah 2 cm dan tinggi pintunya adalah 1cm. Jika tinggi pintu yang
sebenarnya adalah 2 m, maka tentukan tinggi gedung yang
sebenarnya?
1.3 OPERASI PADA BILANGAN BERPANGKAT BULAT
Pada bagian ini dibahas mengenai pengertian bilangan berpangkat dan
sifat-sifatnya. Bilangan berpangkat yaitu suatu bilangan yang
dipangkatkan dengan bilangan lain. Pangkat dari suatu bilangan dapat
berupa bilangan bulat atau pecahan. Diuraikan pula, semua sifat-sifat
operasi aljabar dari bilangan berpangkat dan penerapannya.
1.3.1 PANGKAT BILANGAN POSITIF
Biasanya penulisan bilangan yang cukup besar akan menjadi sederhana
apabila ditulis dalam bentuk perpangkatan, misalnya 2.000.000 dapat
ditulis sebagai 2 × 106.
DEFINISI 1.3.1 :
Untuk bilangan bulat positif n dan sebarang bilangan real a, bilangan an
(dibaca: a pangkat n) mempunyai arti:
a × a × a … × a (sebanyak n faktor yang sama)
Bilangan a disebut basis dan bilangan n disebut pangkat atau eksponen.
Bab 3: Sistem Bilangan Real
35
CONTOH 1.3.1 :
Berikut ini adalah beberapa contoh bilangan berpangkat.
1. 23 = 2 × 2 × 2 = 8
Bilangan 2 dipangkatkan 3, artinya adalah bilangan 2 dikalikan
dengan dirinya sendiri sebanyak 3 kali.
2. (-3)2 = (-3) × (-3) = 9
Bilangan -3 dipangkatkan 2, artinya adalah bilangan -3 dikalikan
dengan dirinya sendiri sebanyak 2 kali.
3. -32 = - (3 × 3) = - 9
4.
■ Sifat Operasi Bilangan Berpangkat Positif
i.
Jika m dan n bilangan bulat positif dan a bilangan real sebarang,
maka
ii.
.
Jika m dan n bilangan bulat positif dan a bilangan real sebarang
dengan a≠0, maka
iii.
.
Jika m dan n bilangan bulat positif dan a bilangan real sebarang,
maka
iv.
Jika n bilangan bulat positif dan a, b bilangan real sebarang,
maka berlaku:
a.
b.
=
, untuk b≠0.
36
Bab 1: Sistem Bilangan Real
CONTOH 1.3.2 :
Berikut ini adalah beberapa contoh bilangan berpangkat.
a. 24+3 = 24 × 23 = 16 × 8 = 128
b. (-3)5+2 = (-3)5 × (-3)2 = (-243) × 9 = -2087
c. ( )3+2 = ( )3 × ( )2 = ( ) × =
d. 24-3 =
=
=2
e. (-3)5-2 = (-3)5 : (-3)2 = (-243) : 9 = -27
f.
(24)3 = 24×3 = 212 = 2048
g. (-3×4)5 = (-3)5 × 45 = (-243) × 1024 = -248.832
h. ( )4 =
=
CONTOH 1.3.3 :
Hitunglah
ekspresi
berikut
ini
dan
tuliskan
hasilnya
menggunakan tanda kurung.
a. (a2-b2) × (a2+b2)
b. (a2+b2) × (a2+b2)
c. (a2-3b3) × (a2-b3)
d. (a2-b3)2
Penyelesaian:
a. (a2-b2) × (a2+b2) = a2(a2+b2) – b2(a2+b2)
4
2 2
2 2
(Sifat distributif)
4
= a +a b – {b a +b }
(Sifat distributif)
= a4+a2b2 – a2b2–b4}
(Sifat komutatif)
tanpa
Bab 3: Sistem Bilangan Real
37
= a4-b4
b. (a2+b2) × (a2+b2) = a2(a2+b2) + b2(a2+b2)
= a4+a2b2 + {b2a2+b4}
4
2 2
2 2
= a +a b + a b +b
4
2 2
= a + 2a b + b
4
(Sifat komutatif)
= a4-3a2b3 - {3b3a2-3b6}
2 2
2 3
6
= a -3a b - 3a b +3b
4
2 3
(Sifat distributif)
4
c. (a2-3b3)×(a2-b3) = a2(a2-3b3) - 3b3(a2-b3)
4
(Sifat distributif)
= a - 6a b + 3b
(Sifat distributif)
(Sifat distributif)
(Sifat komutatif)
6
d. (a2-b3)2 = (a2-b3) × (a2-b3)
= a2(a2-b3) - b3(a2-b3)
4
2 3
3 2
6
= a -a b - {b a -b }
4
2 3
2 3
4
= a -a b - a b +b
(Sifat distributif)
(Sifat distributif)
(Sifat komutatif)
= a4 - 2a2b3 + b6
1.3.2 PANGKAT BILANGAN NEGATIF DAN NOL
Pada subbab sebelumnya, telah dibahas mengenai perpangkatan dengan
bilangan bulat positif, yang artinya perkalian atas basis bilangan
(sebagai faktor) sebanyak pangkat yang diketahui. Bagaimana suatu
bilangan berpangkat bilangan negatif atau berpangkat nol, seperti 10-2
atau 70 ?. Gagasan-gagasan yang muncul dari sifat-sifat perpangkatan
dengan pangkat bilangan bulat positif dapat digunakan untuk
mengungkapkan arti pangkat bilangan negatif ataupun pangkat nol.
■ Bilangan Berpangkat Nol
Untuk memahami arti bilangan a0, perhatikan sifat perpangkatan
38
Bab 1: Sistem Bilangan Real
a0 × am = a0+m = am
Jika am ≠ 0 maka haruslah a0 = 1, agar kesamaan a0 × am = am dipenuhi.
Selanjutnya dengan tambahan syarat untuk bilangan a, yaitu agar am ≠
0 cukup dipilih a ≠ 0. Perhatikan definisi berikut ini.
DEFINISI 1.3.2 :
Untuk bilangan real a≠0, a0
(dibaca: a pangkat 0)
didefinisikan
sebagai:
a0 = 1
CONTOH 1.3.4 :
a. 20 = 1
b. (‐3)0 = 1
c. ( +7)0 = 1
d. (a + b)0 = 1, apabila a + b ≠ 0
■ Bilangan Berpangkat Negatif
Bagaimana kita mendefinisikan bilangan pangkat negatif ?. Mari kita
lihat kembali sifat perpangkatan
Jika a ≠ 0 dan m = 0 maka didapat
Bab 3: Sistem Bilangan Real
39
Oleh karena itu dibuat definisi bilangan berpangkat negatif berikut ini.
DEFINISI 1.3.3 :
Untuk bilangan bulat n dan bilangan real a≠0,
a-n didefinisikan
sebagai:
a-n =
CONTOH 1.3.5 :
a.
b.
c.
=
Sekarang kita telah mengenal bilangan berpangkat bilangan bulat, baik
itu berpangkat bulat positif, bulat negatif, maupun berpangkat 0.
ƒ
i.
Sifat Operasi Bilangan Berpangkat Positif
Jika m dan n bilangan bulat dan a bilangan real sebarang dengan
a≠0, maka
ii.
Jika m dan n bilangan bulat positif dan a bilangan real sebarang
dengan a≠0, maka
iii.
.
.
Jika m dan n bilangan bulat positif dan a bilangan real sebarang
dengan a≠0, maka
40
iv.
Bab 1: Sistem Bilangan Real
Jika n bilangan bulat positif dan a, b bilangan real sebarang
dengan a≠0 dan dengan b≠0, maka berlaku:
a.
b.
=
CONTOH 1.3.6 :
Sederhanakanlah:
a.
b.
Penyelesaian:
a.
b.
Bab 3: Sistem Bilangan Real
CONTOH 1.3.7 :
Tuliskan bentuk
ke dalam bentuk pangkat bilangan bulat positif.
Penyelesaian:
■ Notasi Ilmiah dari Bilangan
41
42
Bab 1: Sistem Bilangan Real
Notasi ilmiah dari bilangan digunakan untuk menuliskan bilangan yang
sangat besar ataupun bilangan yang sangat kecil. Sebagai contoh,
bilangan 375.000.000.000 ditulis sebagai
0,00000016 ditulis sebagai
, bilangan -
.
Bentuk baku notasi ilmiah suatu bilangan adalah penulisan dalam
bentuk
dengan -10 < a < 10 dan n bilangan bulat
Perlu diperhatikan pengertian perpindahan letak tanda koma (desimal),
yaitu:
i.
Pergeseran (melompat) n angka/digit ke kiri berarti
memunculkan perkalian dengan
ii.
Pergeseran (melompat)
n angka ke kanan berarti
memunculkan perkalian dengan
CONTOH 1.3.8 :
Tuliskanlah bilangan – bilangan berikut ini dalam notasi
ilmiah.
a. Jarak bumi ke matahari sekitar 150.000.000 km.
b. ‐0,00002345
Penyelesaian:
Bab 3: Sistem Bilangan Real
a.
Jarak bumi ke matahari kira‐kira
43
km.
Didapat dengan cara menggeser tanda koma ke kiri sampai
setelah angka pertama. Dalam hal ini diperlukan 8 kali
lompatan.
b. Bilangan ‐0,00002345 apabila ditulis dalam notasi ilmiah
diperlukan menggeser tanda koma hingga setelah angka tak
nol pertama. Jadi diperlukan pergeseran ke kanan sebanyak 5
lompatan, sehingga diperoleh
.
1.3.3 PENERAPAN OPERASI BILANGAN BERPANGKAT
Sebelum ini, kita telah mengenal bilangan berpangkat, operasi bilangan
berpangkat, dan sifat-sifatnya. Pada subbab ini, kita akan memakai
operasi
bilangan
berpangkat
ini pada
beberapa
permasalahan
matematika, permasalahan yang terkait dengan bisnis, dan kehidupan
sehari-hari. Beberapa penerapan disajikan dalam bentuk contoh.
Pertama kita awali dengan contoh yang sederhana, memuat pangkat 2
atau kuadrat.
CONTOH 1.3.9
Seorang pemborong pelayanan kebersihan gedung akan melakukan
pekerjaan pembersihan gedung yang bentuknya hampir menyerupai
setengah bola. Biaya pembersihan Rp. 50.000 per m2. Jika diameter
gedung adalah 200 m, maka berapa perkiraan biaya pembersihan
permukaan gedung tersebut ?
Penyelesaian:
44
Bab 1: Sistem Bilangan Real
Luas permukaan gedung didekati dengan setengah luas kulit bola.
Karena itu, luas permukaan gedung mendekati
dengan L adalah luas permukaan gedung, r adalah jari-jari gedung =
setengah dari diameter, dan π didekati dengan 3,14.
Biaya pembersihan per m2 adalah Rp 50.000, sehingga perkiraan biaya
pembersihan keseluruhan gedung adalah
Untuk contoh penerapan yang lainnya, coba kita perhatikan segitiga
Pascal berikut ini.
ƒ
Segitiga Pascal
Salah satu pemakaian bilangan berpangkat adalah untuk
menghitung / menguraikan bentuk
. Hasil dari
Bab 3: Sistem Bilangan Real
penguraian bentuk
45
mempunyai suatu keteraturan
koefisien dari setiap suku yang dinamakan Segitiga Pascal.
Sekarang kita coba uraikan bentuk
untuk k = 0, 1, 2, 3,
4, 5 seperti berikut ini.
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
Perhatikan pada uraian di atas, bahwa:
•
Pada setiap suku dari
, ada bentuk
2, ..., k.
Sebagai ilustrasi, perhatikan untuk k=5 berikut ini.
dengan i = 0, 1,
46
Bab 1: Sistem Bilangan Real
o Pada suku ke-1, (i=0), mempunyai bentuk
o Pada suku ke-2, (i=1), mempunyai bentuk
o Pada suku ke-3, (i=2), mempunyai bentuk
o Pada suku ke-4, (i=3), mempunyai bentuk
o Pada suku ke-5, (i=4), mempunyai bentuk
o Pada suku ke-6, (i=5), mempunyai bentuk
•
Konstanta (koefisien) dari tiap-tiap suku pada
dengan
sampai
mempunyai suatu bentuk keteraturan yang
dinamakan segitiga Pascal seperti berikut ini.
Gambar 1.3.1 Segitiga Pascal Enam Baris
Kalau diperhatikan nilai-nilai pada suatu baris ke-k pada segitiga Pascal
merupakan ‘jumlahan silang’ dari baris ke k-1 (baris sebelumnya).
Sehingga koefisien segitiga Pascal tersebut dapat kita lanjutkan lagi
untuk k=6 dan k=7 seperti Gambar 1.3.2.
Bab 3: Sistem Bilangan Real
47
Gambar 1.3.2 Segitiga Pascal Delapan Baris
ONTOH 1.3.10
Dengan menggunakan segitiga Pascal, uraikan bentuk – bentuk
perpangkatan dibawah ini.
a.
b.
Penyelesaian:
a. Nilai-nilai pada baris k=6 merupakan koefisien-koefisien dari
, diperoleh
b. Nilai-nilai pada baris k=7 merupakan koefisien-koefisien dari
, diperoleh
48
Bab 1: Sistem Bilangan Real
CONTOH 1.3.11
Persamaan
untuk
menghitung
investasi
dengan
modal
dengan laju bunga i=10% per tahun selama n
tahun adalah
Mo adalah modal awal, sedangkan Mn adalah jumlah uang setelah n
tahun. Berapakah total nilai uang setelah 2 tahun ?.
Bab 3: Sistem Bilangan Real
49
Jadi besarnya investasi setelah dua tahun adalah Rp 1.210.000.
CONTOH 1.3.12
Pada tanggal 1 Januari 2004, bapaknya si A meminjam uang bank
sebesar untuk pengembangan usaha. Pinjaman tersebut ditagihkan
kepada si A pada tanggal 31 Desember 2007 sebesar $
. Jika
bunga pinjaman sebesar 4% per tahun ditambahkan pada tiap akhir
tahun sebagai pinjaman, maka berapa besar yang dipinjam oleh
bapaknya si A?
Penyelesaian:
Karena bunga ditambahkan sebagai pinjaman di setiap akhir tahun,
bank menerapkan bunga berbunga. Oleh karena itu, kita pakai rumus
Mo adalah pinjaman awal, sedangkan Mn adalah jumlah pinjaman
setelah n tahun. Pinjaman dilakukan selama 4 tahun, dari 1 Januari
2004 sampai dengan 31 Desember 2007. Sedangkan i adalah besarnya
bunga tiap tahun.
50
Bab 1: Sistem Bilangan Real
Kita hitung terlebih dahulu
sebagai berikut.
.
.
.
Hasil ini dimasukkan ke
Jadi besarnya pinjaman oleh bapaknya si A adalah $ 5000.
• RANGKUMAN
Bab 3: Sistem Bilangan Real
•
Bilangan real dapat di pangkatkan dengan bilangan bulat.
•
Untuk bilangan real a≠0, a0 = 1.
•
Untuk n bulat positif dan a real, bilangan an = a×a×a×…×a.
•
Sifat operasi pangkat bulat pada bilangan real:
51
1.
2.
3.
4.
5.
=
SSO
OAALL LLAATTIIH
HAAN
N 11--33
1. Jika a dan b merupakan bilangan real, maka nyatakan ekspresi
berikut ini dalam bentuk notasi pangkat (eksponen).
a. 5 × 5 × 5 × 5
b. (-3) × (-3) × (-3) × (-3)
c. -2 × 4 × 2 × (-16)
d. 2a × 2a × 2a
e. ab × ab × ab
f. (-b) × (-b) × (-b)
2. Jika a dan b merupakan bilangan real, maka nyatakan ekspresi
berikut ini menjadi bentuk bilangan yang lebih sederhana.
a.
b. (-16)2
c. (-2ab2)4
d. (2a)5
52
Bab 1: Sistem Bilangan Real
f.
e.
3. Jika x dan y adalah bilangan real, maka sederhanakanlah ekspresi
berikut ini menjadi bentuk yang tidak memuat tanda kurung.
a. (25-16)3
b. (-2+16)(2+8)2
c. (-2x-y)2
d. (2x+y)3
e.
f.
4. Jika a, b, x dan y adalah bilangan real, maka sederhanakanlah
ekspresi rasional berikut ini.
a.
b.
×
c.
d.
+
f.
-
e.
5. Tentukan hasil perkalian berikut ini dan tuliskan dalam bentuk
pangkat bilangan positif.
a. 55. 53
b. 3-5. 93
c. 5-5. 5-3
d. (2x)3(3y-2)
e.
f.
g.
h. 4x2y-3)(2x-2y3)-2
6. Tuliskanlah bilangan – bilangan berikut ini dalam notasi ilmiah.
a. 10.000.000
b. 3-5. 903
c. 0,00000314
d. -0,012
e. Diameter
atom
Helium
adalah 0,000000022 cm
f. Pada tahun 2010, penduduk
Indonesia berjumlah 300 juta.
Bab 3: Sistem Bilangan Real
53
1.4 BILANGAN DALAM BENTUK AKAR (IRASIONAL)
Pada bagian ini dibahas mengenai bentuk akar, misalnya
.
Bentuk akar ditulis menggunakan tanda radikal dengan simbol
.
Sedangkan kata akar merupakan terjemahan dari kata root dalam
bahasa Inggris.
DEFINISI 1.4.1 :
Akar kuadrat suatu bilangan real a non negatif adalah bilangan non
negatif b yang kalau dipangkatkan dua, menjadi bilangan semula a.
Secara notasi matematika:
jika b2 = a; dan b bilangan positif
Tulisan
dibaca “akar kuadrat dari a” atau “akar dari a”.
Jadi mencari akar suatu bilangan merupakan kebalikan dari
pemangkatan.
CONTOH 1.4.1 :
a.
b.
, karena 32 = 9
, karena 52 = 25
CONTOH 1.4.2 :
Tentukan hasil akar kuadrat berikut ini.
54
Bab 1: Sistem Bilangan Real
a.
b.
Penyelesaian:
a. Pertama, difaktorkan 1296. Karena akhir bilangan tersebut
adalah 2, maka 2 merupakan faktor.
(648 difaktorkan)
(324 difaktorkan)
(162 difaktorkan)
(81 difaktorkan)
=
=
=
=
=
=
karena 362 = 1296
Jadi
b. Faktorkan bilangan 194481 menjadi 194481 =
.
Jadi
karena 4412 = 194481
Kalau kita lihat definisi akar di atas, berlaku bahwa:
i.
ii.
CONTOH 1.4.3 :
a.
b.
Bab 3: Sistem Bilangan Real
55
CONTOH 1.4.4 :
Untuk x bilangan real, tentukan hasil dari
.
Penyelesaian:
= x + 1, jika (x+1) ≥ 0 atau x ≥ -1
= -(x+1), jika (x+1) < 0 atau x < -1
1.4.1 OPERASI ALJABAR PADA BILANGAN BERBENTUK
AKAR
Bilangan dalam bentuk akar juga dapat dikenakan operasi aljabar
seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Karena
pada dasarnya bilangan dalam bentuk akar adalah suatu bilangan real
yang dapat dioperasikan.
■ Perkalian dan Pembagian Bilangan Bentuk Akar
Jika a dan b merupakan bilangan real positif, maka berlaku:
i.
ii.
=
56
Bab 1: Sistem Bilangan Real
CONTOH 1.4.5 :
a.
b.
c.
d.
jika a > 0.
■ Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bentuk Akar
Jika a, b merupakan bilangan real dan c merupakan bilangan real
positif, maka berlaku:
i.
=
ii.
=
Jika kita lihat sifat di atas, maka penjumlahan dan pengurangan
bilangan dalam bentuk akar hanya dapat dilakukan pada dua bilangan
yang sejenis (pada ekspresi i & ii di atas
dikatakan bilangan
sejenis). Lihat kembali sifat distributif pada bilangan real, sebenarnya
operasi jumlah dan kurang di atas sama dengan yang telah lalu.
CONTOH 1.4.6 :
Tentukan hasil dari pengoperasian bilangan bentuk akar di bawah ini.
a.
b.
Bab 3: Sistem Bilangan Real
57
c.
Penyelesaian:
Jika bilangan dalam tanda akar belum sejenis, maka kita rubah sebisa
mungkin untuk dapat sejenis.
a.
=
b.
=
=
=2
= ‐3
=
c.
=
=
=
=
CONTOH 1.4.7 :
Sederhanakanlah bentuk
Penyelesaian:
Sifat distributif pada bilangan real dapat dipakai, karena bilangan dalam
bentuk akar juga merupakan bilangan real.
= 15 . 3 – 4
= 45 – 8 = 37
58
Bab 1: Sistem Bilangan Real
1.4.2 MERASIONALKAN PENYEBUT
Pada pembagian yang memuat bentuk akar, hasilnya dapat berupa
pecahan dengan penyebut bentuk akar. Bentuk akar pada penyebut itu
dapat diubah sehingga penyebutnya tidak lagi memuat bentuk akar.
Proses
demikian
dinamakan
merasionalkan
penyebut.
Proses
merasionalkan penyebut dapat dikerjakan dengan memanfaatkan
bentuk perkalian:
i.
ii.
CONTOH 1.4.8 :
Rasionalkan penyebut pada bilangan:
b.
a.
c.
Penyelesaian:
a. Pada kasus ini, kalikan penyebutnya dengan bilangan yang
sama dengan penyebut tersebut, yaitu
nilai bilangan, pembilang juga dikalikan
=
×
=
=
. Agar tidak merubah
.
=
b. Pada kasus ini, kalikan penyebutnya dengan bilangan yang
sama dengan penyebut tersebut, yaitu
nilai bilangan, pembilang juga dikalikan
. Agar tidak merubah
.
Bab 3: Sistem Bilangan Real
×
=
59
=
c. Pada kasus ini, gunakan bentuk
.
Oleh karena itu, kalikan penyebutnya dengan bilangan
dan kalikan pembilang dengan
=
.
×
=
=
=
CONTOH 1.4.9 :
Rasionalkan penyebut pada bilangan
.
Penyelesaian:
Pada kasus ini, penyebut memuat dua bilangan yang berbentuk akar.
Bentuk akar ini akan kita hilangkan satu per satu.
Penyebut
berikut ini.
=
, sehingga kita buat seperti
60
Bab 1: Sistem Bilangan Real
×
=
=
=
; penyebut hanya memuat
satu bentuk akar
=
=
=
=
×
Bab 3: Sistem Bilangan Real
61
SSO
OAALL LLAATTIIH
HAAN
N 11--44
1. Dengan memfaktorkan bilangan dalam tanda akar, carilah nilai
akarnya.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
2. Dengan memfaktorkan bilangan dalam tanda akar, carilah nilai
akarnya.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
.
3. Carilah nilai akar dari
4. Jika x merupakan bilangan real positif, maka tentukan nilai akar
berikut ini.
a.
b.
c.
d.
5. Carilah
tiga
contoh
bilangan,
apabila
bilangan
tersebut
dikuadratkan berakhir dengan angka 1 atau 9 ?.
6. Carilah contoh bilangan, apabila bilangan tersebut dikuadratkan
berakhir dengan angka 2, 3, 7, atau 8 ?.
7. Jelaskan bahwa bilangan bulat yang berakhir dengan angka nol
sebanyak ganjil bukan merupakan bilangan kuadrat.
8. Tentukan hasil dari operasi aljabar pada bilangan bentuk akar di
bawah ini.
62
Bab 1: Sistem Bilangan Real
a.
c.
e.
g.
b.
d.
f.
h.
×
9. Rasionalkan bilangan bentuk akar dibawah ini.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
1.5 BILANGAN BERPANGKAT RASIONAL
Sebelum ini telah dikenalkan perpangkatan bilangan real dengan
bilangan bulat. Pertanyaan selanjutnya adalah “apakah diperbolehkan
bilangan real berpangkat dengan rasional ?”. Pada subbab ini akan
dibahas bilangan real dipangkatkan dengan bilangan rasional.
DEFINISI 1.5.1 :
Akar pangkat tiga dari suatu bilangan a adalah bilangan b yang apabila
dipangkatkan 3 menjadi bilangan a, ditulis dengan
Bab 3: Sistem Bilangan Real
63
, jika
Untuk lebih jelasnya, kita lihat contoh numerik berikut ini.
CONTOH 1.5.1 :
a.
karena 23 = 8.
b.
karena 53 = 125.
c.
karena (-3)3 = -27.
d.
karena 103 = 1000.
e.
karena (-10)3 = -1000.
DEFINISI 1.5.2 :
Akar pangkat n dari suatu bilangan a adalah bilangan b yang apabila
dipangkatkan n menjadi bilangan a, ditulis dengan
, jika
Jika n genap, maka nilai a harus non negatif.
Dalam keadaan khusus:
•
Jika n genap maka
•
Jika n ganjil maka
, untuk sembarang nilai a.
Untuk lebih jelasnya, kita lihat contoh numerik berikut ini.
64
Bab 1: Sistem Bilangan Real
CONTOH 1.5.2 :
a.
karena 24 = 16.
b.
karena 54 = 625.
c.
karena (-3)5 = -243.
d.
karena 105 = 100000.
e.
karena (-10)5 = -100000.
CONTOH 1.5.3 :
Tentukan hasilnya (jika ada).
b.
a.
c.
Penyelesaian:
a. Bilangan dalam tanda akar, 32 difaktorkan.
32 = 2 × 16 = 2 × 2 × 8 = 2 × 2 × 2 × 4 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 25.
.
b. Bilangan dalam tanda akar, 81 difaktorkan.
81 = 3 × 27 = 3 × 3 × 9 = 3 × 3 × 3 × 3 = 34.
.
c. Bilangan dalam tanda akar, ‐1024 difaktorkan.
‐1024 = ‐2 × 512 = …
=
=
=
.
Bab 3: Sistem Bilangan Real
65
Selanjutnya, kita akan menelaah arti dari
rumusan sebelumnya bahwa
, sehingga
yang mempunyai
Dikaitkan dengan rumusan bahwa
arti
. Berdasarkan
, maka dapat diperoleh
DEFINISI 1.5.3 :
Untuk n bilangan asli, arti dari
adalah
atau
akan mempunyai nilai apabila:
•
Untuk n genap, nilai a harus positif.
•
Untuk n ganjil.
Pangkat bilangan rasional secara umum didefinisikan berikut ini.
DEFINISI 1.5.4 :
Untuk bilangan bulat non negatif m dan bilangan asli n, arti dari
adalah
66
Bab 1: Sistem Bilangan Real
atau
Untuk memperjelas maksud dari definisi ini, kita lihat contoh berikut
ini.
CONTOH 1.5.4 :
Tentukan hasil dari operasi perpangkatan berikut ini.
b.
a.
c.
Penyelesaian:
a.
b.
c.
Sifat – sifat perpangkatan bilangan rasional sama dengan sifat
perpangkatan bilangan bulat.
■ Menyelesaikan Persamaan Pangkat Sederhana
Persamaan pangkat mempunyai bentuk seperti 3x = 9 atau x2 = 9. Untuk
mendapatkan jawab persamaan pertama, ubahlah 9 menjadi bilangan
berpangkat dengan basis (bilangan yang dipangkatkan) 3, yaitu
3x = 32
Bab 3: Sistem Bilangan Real
67
Dengan demikian, jawab dari persamaan tersebut adalah x = 2. Untuk
persamaan ke-dua, ubahlah 9 menjadi bilangan berpangkat 2, yaitu
x2 = 32
Sehingga didapat jawab untuk persamaan itu. Dalam hal ini, karena
pangkatnya genap maka terdapat dua jawab yang mungkin yaitu x = 3
atau
.
Langkah-langkah serupa gambaran di atas, selanjutnya dapat digunakan
untuk menyelesaikan persamaan pangkat yang lain.
CONTOH 1.5.5 :
Dapatkan penyelesaian dari persamaan berikut ini.
a.
b.
Penyelesaian:
a. Ruas kanan dari persamaan ini dijadikan bentuk 2 pangkat
sesuatu.
kita dapatkan bahwa
atau
68
Bab 1: Sistem Bilangan Real
b. Ruas kiri dan kanan dari persamaan ini dijadikan bentuk 2
pangkat sesuatu.
kita dapatkan bahwa
atau
• RANGKUMAN
•
Akar pangkat,
•
Akar pangkat n,
, jika
.
, jika
•
SSO
OAALL LLAATTIIH
HAAN
N 11--55
1. Tentukan nilai akar berikut ini.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
2. Tentukan nilai perpangkatan berikut ini.
a.
b.
c.
d.
Bab 3: Sistem Bilangan Real
e.
69
f.
3. Tentukan nilai perpangkatan berikut ini.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
4. Tentukan nilai perpangkatan berikut ini.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
5. Tentukan nilai perpangkatan berikut ini.
a.
b.
c.
d.
e.
6. Nyatakan dalam bentuk perpangkatan rasional.
a.
b.
c.
d.
7. Nyatakan dalam bentuk perpangkatan rasional yang sederhana.
a.
c.
b.
d.
8. Dapatkan penyelesaian dari persamaan berikut ini.
a.
b.
70
Bab 1: Sistem Bilangan Real
c.
d.
e.
f.
9. Dapatkan semua nilai dari persamaan berikut ini.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
1.6 LOGARITMA
Pada modul ini dibahas mengenai kebalikan dari pemangkatan yang
disebut logaritma. Dengan logaritma, perhitungan dengan bilangan
yang sangat besar dapat disederhanakan. Perkalian dapat dihitung
dengan penjumlahan dan pembagian dapat dihitung menggunakan
pengurangan. Diuraikan pula, semua sifat-sifat operasi aljabar dari
logaritma tersebut.
1.6.1 PENGERTIAN LOGARITMA
Pada bagian sebelumnya telah dibahas mengenai arti bilangan
berangkat, misalnya ap = b, dan permasalahannya adalah mencari
bilangan b jika a dan p diketahui. Sekarang akan dibahas mengenai
permasalahan menentukan bilangan p jika a dan b diketahui.
Permasalahan demikian yang merupakan permasalahan logaritma.
Perhatikan definisi berikut ini.
Bab 3: Sistem Bilangan Real
71
DEFINISI 1.6.1 :
Untuk b bilangan positif dan b ≠ 1, arti dari blog a = x adalah bx = a
Berkaitan dengan pengertian logaritma pada definisi di atas, ada
beberapa hal yang perlu diperhatikan.
(a) Bilangan b disebut basis atau bilangan pokok logaritma, dan x
disebut hasil logaritma.
(b) Bilangan b dipilih positif. Jika b negatif dan dipangkatkan dengan
bilangan rasional, maka tidak selalu menghasilkan bilangan real.
(c) Karena b positif dan x real, nilai bx > 0. Karena a = bx, berarti a
juga harus positif.
(d) Nilai b harus tidak sama dengan 1, sebab untuk sebarang x maka
nilai 1x = 1.
(e) Gantilah x pada ekspresi bx = a dengan blog a = x akan diperoleh b.
sering ditulis dalam bentuk logb a.
Penulisan
(f) Karena b0 = 1 untuk b > 0, maka blog 1 = 0.
CONTOH 1.6.1
a.
, karena 102 = 100
b.
, karena 24 = 16
c.
, karena 161/4 = 2
72
Bab 1: Sistem Bilangan Real
, karena 10-1 = 0,1
d.
, karena 2-3 = 1/8
e.
CONTOH 1.6.2:
Tentukan nilai logaritma berikut ini.
a.
b.
c.
Penyelesaian:
a. Untuk mencari nilai
, sama halnya kita mencari
jawaban atas pertanyaan “10 dipangkatkan berapakah agar sama
dengan 10.000?”. Jawabannya adalah 4, atau 104 = 10.000.
Oleh karena itu,
= 4.
b. Untuk mencari nilai
, sama halnya kita mencari jawaban
atas pertanyaan “3 dipangkatkan berapakah agar sama dengan
243?”. Jawabannya adalah 5, atau 35 = 243.
Oleh karena itu,
= 5.
Kita juga dapat mencari nilai log dari suatu bilangan dengan cara
memfaktorkan bilangan tersebut menjadi perkalian basis dari
logaritmanya. Karena 243 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 35, maka
.
c. Karena 0,25 = ¼ = 4‐1 = 2‐2, maka
Tidak semua logaritma dapat dicari hasilnya dengan mudah seperti
contoh di atas. Misalnya
tidak dapat dicari menggunakan cara
seperti di atas. Nilai tersebut dapat dicari menggunakan tabel atau
Bab 3: Sistem Bilangan Real
73
kalkulator. Selain itu, perhatikan bahwa karena b > 0, berapapun nilai
x akan menghasilkan bx yang selalu positif. Dengan demikian
logaritma terdefinisi hanya untuk bilangan positif.
1.6.2 MENGHITUNG LOGARITMA
Logaritma adalah kebalikan dari proses pemangkatan, untuk itu diawali
bagian ini dengan mengulang singkat sifat-sifat perpangkatan. Misalkan
akan digambarkan grafik pangkat dengan menghitung nilai-nilai
pangkat sebanyak mungkin. Untuk menggambarkan sketsa grafik y =
2x, dapat dihitung beberapa nilai y untuk nilai-nilai x seperti dalam tabel
berikut ini:
Tentu saja dapat dihitung lebih banyak nilai y untuk mendapatkan
sketsa grafik yang lebih tepat (halus). Dari tabel di atas dapat diamati
beberapa sifat berikut:
(a) Untuk x makin besar, nilai 2x juga makin besar dan 2x > x.
(b) Untuk x makin kecil (negatif), nilai 2x makin kecil menuju nol.
(c) Untuk sebarang x, nilai 2x > 0.
(d) Untuk x = 0, nilai 2x = 1.
(e) Jika x1 < x2, nilai
.
Berdasarkan nilai-nilai pada tabel dan sifat di atas,
dapat
disketsakan seperti Gambar 1.6.1. Gambar tersebut merupakan pola
dari grafik y = ax dengan a > 1.
74
Bab 1: Sistem Bilangan Real
Gambar 1.6.1 Grafik
Gambar 1.6.2 Grafik
Dengan cara yang sama, sketsa grafik y =
seperti Gambar 1.6.2. Sketsa grafik y =
dapat digambarkan
merupakan pola dari grafik
y = ax dengan 0 < a < 1.
Untuk memberikan gambaran mengenai grafik y = ax untuk a yang lain,
perhatikan sifat berikut ini. Misal a > b, berlaku.
(a) untuk x > 0, maka ax > bx.
(b) untuk x < 0, maka ax < bx.
Bab 3: Sistem Bilangan Real
Gambar 1.6.3 Grafik
75
dan
Berdasarkan informasi ini dapat digambarkan sketsa grafik y = ax.
Misalnya perbedaan grafik y = 2x dan y = 3x dapat dilihat pada Gambar
1.6.3. Perhatikan bahwa untuk x > 0 maka 2x < 3x dan untuk x < 0 maka
2x > 3x. Sedangkan Gambar 1.6. menunjukkan perbedaan antara grafik y
=(
dan y =
.
76
Bab 1: Sistem Bilangan Real
Gambar 1.6.4 Grafik
dan
Grafik logaritma dapat dicari dari gafik pangkat. Misalnya, untuk
mendapatkan gafik y =
dapat diperoleh dari pencerminan grafik
y = 2x terhadap garis y = x (lihat Gambar
ditunjukkan grafik y =
pada Gambar 1.6..
1.6.). Secara terpisah
Bab 3: Sistem Bilangan Real
Gambar 1.6.5 Grafik Logaritma
Gambar 1.6.6 Sketsa Grafik Logaritma
77
78
Bab 1: Sistem Bilangan Real
Dari grafik-grafik tersebut dapat dicari nilai logaritma dengan ketepatan
terbatas. Sebagai contoh, dari grafik pada Gambar 1.6.6, jika ditarik
garis y = 3 yang memotong grafik kira-kira di titik dengan x = 1,6. Hal
ini berarti
≈ 1,6
(≈ dibaca ‘hampir sama dengan’)
Secara umum, untuk mendapatkan nilai
dapat diikuti gambaran
yang diberikan pada Gambar 1.6.6.
Sifat yang lain dari logaritma diberikan berikut ini.
•
Untuk sebarang bilangan b > 1, dan 0 < p < q, berlaku
<
•
Untuk 0 < b < 1 dan 0 < p < q, berlaku
>
Uraian
berikut
ini
memberikan
gambaran
menghitung
berdasarkan sifat di atas.
Diketahui bahwa
2 < 3 < 22
karena
= 1 dan
= 2, maka 1 <
(1.6.3)
< 2.
Bab 3: Sistem Bilangan Real
Jadi
79
= 1,…
Untuk mendapatkan angka ke-dua dari
diperlukan nilai
perpangkatan dari 2 oleh 0,1 ; 0,2 ; dan seterusnya.
Tabel 1.6.1
Selanjutnya, dengan membagi 2 pertidaksamaan(1.6.3) diperoleh
1 < 1,5 < 2
dan berdasarkan tabel perpangkatan dari 2 di atas diketahui bahwa 1,5
terletak di antara
20,5 = 1,41 < 1,5 < 1,51 = 20,6
(1.6.4)
Untuk mendapatkan kembali angka 3, kalikan pertidaksamaan (1.6.4)
dengan 2 dan diperoleh
21,5 < 3 < 21,6
dan ini berarti bahwa
1,5 <
< 1,6
80
Bab 1: Sistem Bilangan Real
Untuk mendapatkan ketepatan yang lebih tinggi, harus dihitung 20,01,
20,02, dan seterusnya.
Karena 2x > 1 untuk setiap x > 0, maka pertidaksamaan (1.6.4) dapat
dibagi dengan 1,41 dan diperoleh
1 < 1,064 < 1,134351773
Seperti sebelumnya, dihitung nilai-nilai seperti dalam Tabel 1.6.2.
Tabel 1.6.2
Perhatikan bahwa 1,064 terletak di
20,08 = 1,0570 < 1,064 < 1,0644 = 20,09
dan untuk mendapatkan kembali angka 3, dikalikan ketaksamaan
tersebut dengan 1,41 = 20,05 dan kemudian dengan 2 = 21 (angka yang
digunakan untuk membagi) sehingga diperoleh
21+0,5+0,08 < 3 < 21+0,5+0,09
Hal ini berarti bahwa
1,58 <
Dengan demikian
< 1,59
Bab 3: Sistem Bilangan Real
81
= 1,58…
Tahapan ini dapat dilanjutkan untuk mendapatkan nilai hampiran
dengan ketepatan sesuai yang diinginkan. Karena diketahui bahwa
< 1,59, berati
1,585 lebih baik dibandingkan dengan
1,58.
CONTOH 1.6.3
Dengan menggunakan tabel pangkat yang telah dibuat di atas, hitunglah
.
Penyelesaian:
•
Karena 22 = 4 < 5 < 23, berarti
•
Ketaksamaan tersebut dibagi dengan 22 = 4, dan diperoleh
= 2,…
1 < 1,25 < 2
Selanjutnya menggunakan Tabel 1.6.1, diketahui bahwa 1,25
terletak
20,3 = 1,23 < 1,25 < 1,32 = 20,4
Dengan mengalikan ketaksamaan terakhir dengan 22 diperoleh
22+0,3 < 5 < 22+0,4
Ini berarti
= 2,3… .
82
Bab 1: Sistem Bilangan Real
•
Untuk memperoleh ketepatan yang lebih baik, ketaksamaan
1,23 < 1,25 dibagi dengan 1,23 dan diperoleh 1 < 1,0163 dan
selanjutnya berdasarkan Tabel 1.6.2, diketahui bahwa 1,0163
terletak
20,02 = 1,0140 < 1,0163 < 1,0210 = 20,03
Dengan mengalikan dengan 22+0,3 diperoleh
22+0,3+0,02 < 5 < 22+0,3+0,03
dan ini berarti
belakang koma, berarti
= 2,32…. Untuk ketepatan tiga angka di
2,325.
1.6.3 SIFAT – SIFAT LOGARITMA
Sebagaimana telah diuraikan pada subbab sebelumnya, bahwa
logaritma dapat diturunkan dari perpangkatan. Dengan pemahaman
tersebut, sifat-sifat perpangkatan dapat digunakan untuk mendapatkan
sifat-sifat logaritma seperti berikut ini.
i.
Jika b > 0, b≠1, p > 0
dan q > 0, maka
ii.
Jika b > 0, b≠1, p > 0
dan q > 0, maka
Bab 3: Sistem Bilangan Real
iii.
83
Jika b > 0, b≠1, p > 0
dan q > 0, maka
iv.
Jika b > 0, b≠1, p real,
dan q rasional, maka
CONTOH 1.6.4
Misal diketahui
dan
, tentukan
dan
, tentukan
.
Penyelesaian:
= 0,3010 + 0,4771
= 0,7781
CONTOH 1.6.5
Misal diketahui
dan
.
84
Bab 1: Sistem Bilangan Real
Penyelesaian:
•
= 0,4771 – 0,3010
= 0,1761
•
= 0,3010 ‐ 0,4771
= ‐ 0,1761
CONTOH 1.6.6
Misal diketahui
dan
dan
, dapatkan
.
Penyelesaian:
•
•
CONTOH 1.6.7
Misal diketahui
, dapatkan
.
Bab 3: Sistem Bilangan Real
85
Penyelesaian:
1.6.4 CONTOH PEMAKAIAN LOGARITMA
Pada subbab ini, akan disajikan contoh-contoh pemakaian logaritma,
diantaranya: untuk mengalikan bilangan, mebagi bilangan, menghitung
pangkat suatu bilangan.
CONTOH 1.6.8
Dengan menggunakan logaritma, hitunglah pendekatan
Penyelesaian:
Misal
86
Bab 1: Sistem Bilangan Real
CONTOH 1.6.9
Dapatkan nilai x yang memenuhi
Penyelesaian:
Sebelah kiri dan kanan tanda sama dengan dikenakan operasi
= 1,58505
(berdasarkan contoh 1.6.6,
= 1,58505)
CONTOH 1.6.10
Dana Rp 100.000.000 dideposito dengan bunga 10 % per tahun.
Perhitungan 9 tahun kemudian menggunakan rumusan.
Bab 3: Sistem Bilangan Real
87
Tentukan besarnya dana pada akhir tahun ke 9.
Penyelesaian:
0,041393 = 8,372534
(disini
dihitung berbantuan kakulator, karena
sebelumnya tidak ada contoh penghitungan untuk
; atau dapat berbantuan tabel logaritma)
CONTOH 1.6.11
Persamaan untuk menghitung nilai tunai (present value/PV) dari anuitas
biasa adalah
88
Bab 1: Sistem Bilangan Real
Dengan :
R adalah pembayaran periodik dari anuitas.
i adalah laju bunga per periode bunga.
n adalah jumlah interval pembayaran
Jika diinginkan mencapai nilai tertentu di masa mendatang (Future
value/ FV), maka tentukan rumusan berapa lama untuk mencapainya.
Penyelesaian:
Persamaan pada contoh ini, PV digantikan dengan FV menjadi
Kita akan mencari nilai n, berapa lama untuk mendapatkan nilai yang
akan datang yang diinginkan.
Kenakan operasi log pada kedua sisi persamaan, diperoleh
Bab 3: Sistem Bilangan Real
89
• RANGKUMAN
•
Untuk b bilangan positif dan b ≠ 1, arti dari blog a = x adalah bx
= a.
•
Jika b > 0, b≠1, p > 0 dan q > 0, maka berlaku :
6.
7.
8.
9.
90
Bab 1: Sistem Bilangan Real
SSO
OAALL LLAATTIIH
HAAN
N 11--66
1. Tentukan nilai dari logaritma berikut ini.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
2. Tentukan nilai dari logaritma berikut ini.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
3. Dengan mengikuti cara pada Contoh 1.6.4, hitunglah logaritma
di bawah ini sampai ketepatan dua angka di belakang koma.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
4. Jika dipunyai tabel seperti berikut ini
Maka hitunglah logaritma di bawah ini sampai ketepatan satu
angka di belakang koma.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Bab 3: Sistem Bilangan Real
5. Jika
dan
, maka hitunglah
a.
b.
c.
d.
e.
f.
6. Jika
, maka hitunglah
a.
b.
c.
d.
e.
f.
7. Jika
dan
, maka hitunglah
a.
b.
c.
d.
e.
f.
8. Jika
91
, maka hitunglah
a.
b.
c.
d.
9. Dengan menyamakan basis logaritma, hitunglah
a.
b.
10. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut ini.
a.
b.
Bab
2
PERSAMAAN DAN
PERTIDAKSAMAAN
2.
Persamaan Dan Pertidaksamaan
Persamaan atau pertidaksamaan merupakan suatu bentuk model
matematik yang dibangun dari dunia nyata sebagai bentuk hubungan
perwujudan dari alam pikir terhadap suatu masalah. Setiap model
persamaan atau pertidaksamaan
harus memuat unsur-unsur
yang
merupakan abstraksi dari kenyataan masalah tersebut.
Model yang berbentuk persamaan atau pertidaksamaan merupakan
struktur dari suatu masalah yang mengandung peubah-peubah atau
parameter yang dianalisis atau diselesaikan dengan menggunakan
operasi matematika.
Pada kenyataannya persamaan atau pertidaksamaan yang muncul dari
fenomena nyata dapat berbentuk linier atau tak linier. Akan tetapi, pada
93
94
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
buku ajar ini akan dibahas bentuk linier dan kuadrat. Berikut ini
beberapa ilustrasi permasalahan yang ada di kehidupan sehari-hari.
a. Satu rombongan bus wisata mengunjungi obyek wisata, biaya yang
harus dikeluarkan untuk memasuki obyek wisata tersebut sebesar
Rp 150.000 per bus. Jika dalam satu bus ada 30 orang, maka berapa
biaya masuk objek wisata per orang ?.
b. Perusahaan roti memproduksi 500 bungkus roti setiap hari. Roti
terdiri dari tiga jenis, yaitu: roti keju, roti cokelat, dan roti daging.
Setiap roti keju diproduksi paling sedikit 50 bungkus, roti cokelat
paling sedikit 100 bungkus, dan roti daging paling sedikit 70
bungkus. Permasalahan ini dapat dimodelkan dalam bentuk
pertidaksamaan. Jika keuntungan dari tiap-tiap jenis roti diketahui,
maka berapakah banyaknya tiap-tiap jenis harus diproduksi agar
memberikan keuntungan yang sebesar-besarnya.
2.1 PERSAMAAN LINEAR
Persamaan dikatakan linear jika pangkat dari peubah adalah 1, seperti:
1. 2x + 5 = 8
2. 5y = 20
3. 7x + 6y = 10
Selain banyaknya peubah pada persamaan linear juga dapat ditinjau
dari banyaknya persamaan linear yang muncul secara serentak disebut
sistem persamaan linear, misalnya:
1. 2x + 3y = -2
x + 2x = 3
2. x + 2y + z = -1
-x + y + 2z = 2
x+z
= 1
3. 2x - y + 2z – u = 0
x + 2y – u
=0
y -z+u
=0
z -u
=0
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
95
Dari bentuk–bentuk persamaan linear tersebut, dapat dilakukan hal-hal
sebagai berikut :
1. Mendapatkan penyelesaian persamaan, yaitu mendapatkan nilainilai peubah yang memenuhi persamaan tersebut.
2. Menggambar grafik dari persamaan, khususnya untuk sistem
persamaan dengan 2 peubah .
2.1.1 PERSAMAAN LINEAR SATU PEUBAH
Persamaan linear satu peubah secara umum dapat dinyatakan sebagai
berikut :
ax + b =c
(2.1.1)
dengan a≠0, b, dan c ∈ R.
Penyelesaian dari persamaan (2.1.1) adalah nilai x yang memenuhi
persamaan tersebut, misalnya.
a. 2x + 3 = 7, untuk x = 2 didapat 2(2) +3 = 7. Berarti x = 2
merupakan penyelesaian dari persamaan tersebut.
b. 2x + 3 = 5 , jika diberikan x = 1, maka diperoleh 2(1) + 3 = 5.
yang berarti x = 1 merupakan penyelesaian dari persamaan
tersebut.
■ Mencari Penyelesaian Persamaan Linier Satu Peubah
Perhatikan persamaan ax + b = c. Kedua ruas dikurangi dengan b,
diperoleh
96
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
ax + b – b = c – b
ax + 0 = c – b atau ax = c – b.
Kemudian kedua ruas dikalikan dengan
diperoleh
, atau
(2.1.2)
Himpunan penyelesaiannya adalah :
Dari uraian tersebut diatas, terdapat langkah- langkah dalam mencari
penyelesaian persamaan linier 1 peubah
sebagai berikut.
Langkah 1 : Kedua ruas dikurangi dengan b.
Langkah 2 : Kedua ruas dikalikan dengan kebalikan dari koefisien
peubah x yang pada persamaan tersebut adalah a.
CONTOH 2.1.1
Selesaikan persamaan 3x – 7 = 9 ?.
Penyelesaian:
3x – 7 = 9
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
97
3x + (–7) = 9 kedua ruas dikurangi –7
3x +(– 7) – (–7) = 9 – (–7)
diperoleh
3x = 16,
Kemudian kedua ruas dikalikan dengan kebalikan 3 yaitu diperoleh
atau
Himpunan penyelesaiannya adalah
}.
CONTOH 2.1.2
Dapatkan himpunan penyelesaian dari persamaan 7 = 5 + 2x ?
Penyelesaian:
7 = 5 + 2x
kedua ruas dikurangi 5
-5 + 7 = -5 + 5 + 2x
diperoleh
2 = 2x,
kedua ruas dikalikan dengan kebalikan 2 yaitu diperoleh
98
atau
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 1 }.
CONTOH 2.1.3
?.
Dapatkan nilai peubah t yang memenuhi
Penyelesaian :
kedua ruas ditambah 7
diperoleh
,
kedua ruas dikalikan dengan kebalikan dari yaitu
atau
Himpunan penyelesaiannya adalah
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
99
CONTOH 2.1.4
Selesaikan persamaan 3y – 8 = 9 + 5y ?
Penyelesaian:
3y – 8 = 9 + 5y
kelompokkan y pada ruas kiri dan yang tidak mengandung y pada ruas
kanan. Kurangi kedua ruas dengan –5y dan menambah kedua ruas
dengan 8:
-5y + 3y – 8 + 8 = 9 + 5y – 5y + 8 , diperoleh
-2y = 9 + 8 atau
-2y = 17
kemudian kedua ruas dikalikan dengan kebalikan dari –2 yaitu
, diperoleh
y
Himpunan penyelesaiannya adalah
100
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
CONTOH 2.1.5
?.
Dapatkan nilai u yang memenuhi persamaan
Penyelesaian:
,
kelompokkan u pada ruas kiri dan yang tidak mengandung u pada ruas
kanan yaitu dengan mengurangi kedua ruas dengan -3u dan menambah
kedua ruas dengan
.
diperoleh
kemudian kedua ruas dikalikan dengan kebalikan dari
.
atau
,
yaitu
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
Himpunan penyelesaiannya adalah
101
.
2.1.2 PERSAMAAN LINEAR DUA PEUBAH
Persamaan linear dua peubah secara umum dapat dinyatakan sebagai
berikut :
(2.1.3)
dengan a≠0, b≠0, c ∈ R.
Pandang persamaan linear dua peubah
(2.1.4)
Mari kita amati seperti berikut ini.
1.
Misal diambil suatu nilai x = 0 diperoleh y = 2. Ini berarti
bahwa pasangan nilai x = 0 dan y = 2 memenuhi persamaan
(2.1.4) atau dengan kata lain pasangan (0,2) merupakan
penyelesaian dari persamaan (2.1.4).
2.
Misal diambil lagi, suatu nilai x = 1 diperoleh y = 4/3. Ini
berarti bahwa pasangan nilai x = 1 dan y = 4/3 memenuhi
persamaan (2.1.4). Jadi pasangan (0,2) merupakan penyelesaian
dari persamaan (2.1.4).
102
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
Dari pengamatan di atas, nilai x bisa diambil berapa saja, akan didapat
nilai untuk y. Oleh karena itu, persamaan (2.1.4) mempunyai banyak
penyelesaian. Penyelesaian dari persamaan (2.1.4) berupa pasangan
(x,y) yang memenuhi persamaannya.
Secara umum, persamaan (2.1.3) mempunyai tak berhingga banyak
penyelesaian yang berbentuk (x,y).
Jadi, himpunan penyelesaian dari (2.1.3) adalah
CONTOH 2.1.6
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 3x + 4y = 2 ?
Penyelesaian:
Oleh karena
x, y
R
maka nilai x dan y yang memenuhi
persamaan tersebut ada tak berhingga banyak.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { (x , y) | 3x + 4y = 2 , x, y
R}
CONTOH 2.1.7
Dapatkan nilai u yang memenuhi persamaan
diberikan v = 2
Penyelesaian:
4u – 2v = - 5 jika
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
103
4u – 2v = - 5 ,
untuk v = 2 diperoleh 4u – 2(2) = -5.
4u – 4
= -5
kedua ruas ditambah 4.
4u – 4 + 4 = -5 + 4
diperoleh
4u = -1
kedua ruas dibagi 4 .
u = -1/4.
Himpunan penyelesaiannya adalah : { -1/4 }
CONTOH 2.1.8
Dapatkan himpunan penyelesaian dari persamaan 2x + 3y = 4x – 8 jika
y = -3.
Penyelesaian:
2x + 3y = 4x – 8 , untuk y = -3 diperoleh
2x + 3(-3) = 4x -8
2x – 9 = 4x – 8
pengelommpokkan pada kedua ruas.
2x – 4x = -8 + 9 atau
-2x = 1 , kedua ruas dibagi – 2
Diperoleh x = -1/2
CONTOH 2.1.9
Selesaikan persamaan berbentuk 5t – 3s + 10 = 3s – 4t – 5 jika s = -1 ?
104
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
Penyelesaian:
5t – 3s + 10 = 3s – 4t – 5, untuk s = -1 diperoleh
5t – 3 (-1) + 10 = 3(-1 ) – 4t – 5 atau
5t + 3 + 10 = -3 – 4t – 5 atau
5t + 13 = -8 – 4t , pengelompokkan pada kedua ruas.
5t + 4t = -8 – 13 , atau
9t = -21 , kedua ruas dibagi 9
t = -21/9
Himpunan penyelesaiannya adalah : {-21/9}
CONTOH 2.1.10
Dapatkan himpunan penyelesaian dari persamaan linier 2x + y = 6 jika
x, y bilangan bulat positif ?
Penyelesaian:
Dari persamaan
2x + y = 6, dapat
diperoleh nilai – nilai x dan y :
Untuk x = 0
Untuk x = 1
Untuk x = 2
Untuk x = 3
maka y = 6
maka y = 4
maka y = 2
maka y = 0
• RANGKUMAN
•
Persamaan linear satu peubah
c ∈ R mempunyai:
dengan a ≠ 0, b, dan
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
•
•
penyelesaian
•
himpunan penyelesaian
105
Persamaan linear dua peubah dinyatakan sebagai
dengan a≠0, b≠0, c ∈ R. Dan mempunyai
himpunan penyelesaian
SSO
OAALL LLAATTIIH
HAAN
N 22--11
a. Dapatkan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut ini.
c.
d.
e.
f. 7x – 6 = 8 + 8x
g.
h. 7 ( 4 – 5/p) = 8
i. 7(4+5/p) = 8
j.
3
7
=
2b − 4 4 + 4b
b. Selesaikan persamaan berikut ini.
•
3 – 2/x = 4 +3/x
•
•
7 + 8h = ‐7‐8h
•
•
•
6k – 4 = 4 – 6k
3y+2/3 =9y-2/3
106
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
c. Dapatkan himpunan semua penyelesaian dari persamaan
berikut ini.
a. 4x + 5 = 5y -4
b. 5y +3x = 7
c. 7x - 7 = 7-7x
d. 5(3x - 2) = 10 15y
e.
f.
d. Dapatkan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut untuk s =
1.
a. 2s + 4 = 4 – 5t.
c. 6s + 8 =
e.
g.
4
−6
2t
3
2
=
6t − 4 4 + 4 s
4
2
1
−
=
−5
3t 2 s 4t
b. 8 d.
2s
4s
= 4s +
t
5t
5t
4s
−6=
+5
7
5
f. 4 ( 2t + 3s ) = 8 t + 8
h.
5t − 2 s 4 s + 4
=
3t
6
e. Selesaikan persamaan berbentuk.
a. 2x + 4y – 6 = 5 untuk x=2.
b. 4t + 5s =
c. 7u d.
2s
+ 4t untuk t = -2
3t
3
3u
− 8 untuk v=-2
= 4v +
v
3v
1
5 p − q 4q + 4
=
untuk q =
2p
6
2
e. 4(2n + 3m ) = 8 m+ 8 untuk n=x
f.
2h h 7
− = untuk h = y
x x 8
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
f.
107
Dapatkan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut ini
dengan grafik.
a . 4x – 3y + 4 = 5 untuk semua bilangan x, y riil
b. u -
3
3u
+ 8 untuk v = 1 dan u bilangan bulat
= 3v v
2v
c. 4m – 3 n =
2
+ 5n − 6 untuk m bilangan ganjil dan n bilangan
3m
bulat positif.
d. 4t - 5s =
2s
+ 4 s untuk t riil negatip dan s bilangan sebarang.
3t
e.
2 3 3x + 2 y − 7
+ =
untuk x = 1 dan y bilangan cacah
x y
xy
f.
2y 2 7
− = untuk x bilangan ganjil dan z bilangan genap.
z z 8
2.2 PERSAMAAN KUADRAT
Persamaan kuadrat seringkali dijumpai dari permasalahan yang muncul
dari suatu fenomena nyata. Sebagai ilustrasi: si Pegy mempunyai usaha
penjualan paket kue. Dalam penjualan, Pegy mempunyai banyak
pekerja keliling. Salah satu pekerjanya bernama si A. Dalam setiap
harinya, si A diberikan honorarium sebesar Rp (10+2x), dengan x
adalah banyaknya paket yang dijual oleh si A. Jika si A berhasil
menjual x paket, maka si Pegy juga memperoleh pendapatan akibat dari
penjualan oleh si A, dan besarnya adalah
.
108
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
Pegy menginginkan pendapatan setiap hari yang berasal dari si A
adalah Rp 10. Berapa paket kue yang harus di jual si A agar target
pendapatan si Pegy terpenuhi. Pada permasalahan ini, dapat
dirumuskan dalam bentuk persamaan kuadrat.
Bentuk umum persamaan kuadrat.
(2.2.1)
dengan a≠0, b, c ∈ R.
Untuk lebih jelasnya, kita lihat beberapa contoh persamaan kuadrat
berikut ini.
CONTOH 2.2.1
2
1. x − 2 x + 1 = 0 , persamaan kuadrat dengan a=1, b=-2, c=1.
2. 3y2+4y+5=1, persamaan kuadrat dengan a=3, b=4, c= 5–1= 4.
2
3. 2 t + 2t + 1 = 1 , persamaan kuadrat dengan a=2, b=2, c= 1-1 = 0.
4. 4n2-16=0, persamaan kuadrat dengan a=4, b=0, c= -16.
5. u2 + 2u1/2- 5 = 0 , bukan persamaan kuadrat karena terdapat
pangkat ½ dari peubah u.
Bentuk persamaan kuadrat bergantung pada koefisian dari peubah x
yaitu a , b , c sehingga terdapat beberapa bentuk persamaan kuadrat :
1. Jika nilai a, b, c merupakan bilangan real maka persamaan kuadrat
yang terbentuk disebut Persamaan Kuadrat Real.
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
109
2. Jika nilai a, b, c merupakan bilangan rasional maka persamaan
kuadrat yang terbentuk disebut Persamaan Kuadrat Rasional.
3. Jika c = 0 maka persamaan kuadrat yang terbentuk disebut
Persamaan Kuadrat Tak Lengkap.
4. Jika b = 0 maka persamaan kuadrat yang terbentuk disebut
Persamaan Kuadrat Sejati.
CONTOH 2.2.2
Nyatakan persamaan berikut menjadi bentuk umum.
a. (x – 2)(x + 5) = 0
b. (2x – 4)2 – 6 = 2x.
c. 3x2 – 6x + 3 = x(x + 3 )
d.
=7
Penyelesaian:
Bentuk umum persamaan kuadrat yang diminta adalah
.
a. (x – 2)(x + 5) = 0, dijabarkan menjadi x2 + 5x – 2x – 10 = 0 atau
x2 + 3x – 10 = 0.
b. (2x – 4)2 – 6 = 2x, dijabarkan menjadi (2x)2 –2(2x)(4) + (4)2 -6 = 2x
4x2 – 16x + 16 -6 = 2x atau
4x2 – 18x +10 = 0.
4x2 – 16x – 2x + 10 = 0 atau
110
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
c. 3x2 – 6x + 3 = x(x + 3) , dijabarkan menjadi 3x2 – 6x + 3 = x2 + 3x
3x2 – x2 – 6x –3x+3= 0 atau
2x2 – 9x+3 = 0.
=7 disamakan penyebutnya menjadi
d.
atau
, dijabarkan menjadi
3x+9+2x -4 = 7(x2 + 3x – 2x -6 ) atau
7x2 +2x – 47=0
2.2.1 MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT
Seperti halnya yang telah dijelaskan sebelumnya bahwa persamaan
kuadrat bergantung pada nilai-nilai a, b, c. Oleh karena itu penyelesaian
dari persamaan kuadrat tersebut juga bergantung pada nilai a, b, c dan
hasil penyelesaian tersebut berupa nilai peubah x yang disebut sebagai
akar-akar persamaan kuadrat.
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
111
Terdapat 3 cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat :
1. Dengan cara memfaktorkan
Cara ini dilakukan berdasarkan pada definisi yang berlaku pada
bentuk kesamaan kuadrat bahwa x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b).
Perhatikan bentuk persamaan kuadrat :
ax2 + bx + c = 0, dengan a≠0
kedua ruas dibagi a atau jadikan koefisien x2 menjadi 1 seperti
persamaan (2.2.2).
(2.2.2)
Jika
dan
maka persamaan (2.2.2) dapat
difaktorkan menjadi
. Sehingga diperoleh:
atau
.
Jadi akar–akar persamaan kuadrat tersebut adalah x1= -p dan x2=-q.
Himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah { -p,-q }.
Cara lain dalam memfaktorkan persamaan kuadrat untuk
dapat dilakukan sebagai berikut.
112
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
Perhatikan
bentuk
persamaan
kuadrat
,
persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk :
atau
(2.2.3)
Jika
dan
, maka persamaan (2.2.3) dapat
. Sehingga diperoleh
difaktorkan menjadi
atau
.
Jadi akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah
dan
.
CONTOH 2.2.3
Dapatkan himpunan penyelesaian dari persamaan 2x2 – 6x – 20 = 0 ?.
Penyelesaian:
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
113
2x2 – 6x – 20 = 0 , kedua ruas dibagi 2 diperoleh
x2 – 3x – 10 = 0 dapat dirubah menjadi
x2 + (2 – 5)x + (-5)(2) = 0 , terlihat bahwa p = 2 dan q = -5
maka persamaan kuadrat tersebut dapat ditulis
(x + 2)(x – 5) = 0
dengan x +2 = 0 dan x – 5 = 0 diperoleh akar – akar x1 = - 2 dan x2 = 5.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah : {-2, 5}.
CONTOH 2.2.4
Selesaikan persamaan kuadrat berbentuk 3x2 + 4x - 10 = 2x2 + 3x + 2
Penyelesaian:
3x2 + 4x - 10 = 2x2 + 3x + 2
Jadikan persamaan berbentuk umum dengan membuat ruas kanan sama
dengan 0
3x2-2x2 + 4x – 3x – 10 - 2 = 0
diperoleh persamaan berbentuk x2 + x – 12 = 0
atau dapat ditulis
x2 + (4 – 3)x + 4(-3) = 0 dan terlihat bahwa p = 4 dan q = -3
x2 + x – 12 = (x + 4)(x – 3) = 0
sehingga diperoleh x + 4 =0 dan x – 3 = 0.
Akar-akar persamaan adalah x1 = 3 dan x2 = -4 sehingga himpunan
penyelesaian adalah {-4,3}.
114
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
CONTOH 2.2.5
Dapatkan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat
.
Penyelesaian:
Dari persamaan
koefisien dari
dijadikan 1.
Untuk itu, kedua ruas dari persamaan dikalikan dengan 3. Didapat hasil
x2 + 5x + 6 = 0
atau dapat ditulis x2 + (2 + 3)x + 2(3) = 0
dan terlihat bahwa p = 2 dan q = 3
x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3 ) = 0.
Sehingga diperoleh x+2= 0 dan x+ 3 = 0. Jadi akar-akar persamaannya
adalah x1= -2 dan x2= -3.
Oleh karena itu, himpunan penyelesaiannya adalah : {-2,-3}
CONTOH 2.2.6
Selesaikan persamaan berbentuk
.
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
115
Penyelesaian:
Pada persamaan
, ruas kiri penyebutnya disamakan.
Sehingga diperoleh:
atau
Selanjutnya kedua ruas dikalikan dengan x(x-1), didapat:
2 = x(x -1) atau x2 – x – 2 = 0.
Lakukan pemfaktoran sehingga didapat hasil:
x2 + (1 – 2)x + (–2)(1) = 0 atau (x + 1)(x – 2) = 0
Dari sini diperoleh x + 1 = 0 atau x – 2 = 0
Sehingga akar–akar persamaan tersebut adalah x1 = -1 atau x2 = 2.
Jadi himpunan penyelesaian adalah {-1, 2}.
2. Dengan Cara Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Cara lain untuk menyelesaikan persamaan kuadrat adalah dengan
melengkapkan kuadrat sempurna.
116
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
Perhatikan persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Jadikan koefisien x2
menjadi 1 dengan membagi kedua ruas dengan a, diperoleh:
Atau
(2.2.4)
(2.2.5)
Persamaan (2.2.4) dan (2.2.5) merupakan bentuk kuadrat sempurna.
Jika pada persamaan (2.2.4) nilai
, maka persamaan di atas
menjadi
.
Atau
(2.2.6)
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
117
CONTOH 2.2.7
Dapatkan himpunan penyelesaian dari x2 + 4x + 4 = 0 ?.
Penyelesaian:
x2 + 4x + 4 = 0 dapat ditulis
x2 + 2(2)x + 22 = (x + 2)2 = (x + 2)(x + 2 )= 0.
Akar – akar persamaan tersebut adalah x1 = -2 dan x2 = -2.
Himpunan penyelesaiannya adalah : {-2}.
CONTOH 2.2.8
Nyatakan persamaan kuadrat 3x2 + 6x + 9 = 0 dalam bentuk kuadrat
sempurna ?.
Penyelesaian:
3x2 + 6x + 9 = 0, kedua ruas dibagi 3 diperoleh
x2 + 2x + 3 = 0, melengkapkan dalam bentuk kuadrat sempurna.
x2 + 2x + 12 + 2 = 0 atau x2 + 2x + 12 = - 2 .
Jadi 3x2 + 6x + 9 = x2 + 2x + 12 + 2 = 0 .
x2 + 2x + 12 = -2 atau (x + 1)2 = - 2.
Didapat akar
.
118
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
CONTOH 2.2.9
Nyatakan persamaan kuadrat 4x2 + 6x + 9 = 0 dalam bentuk kuadrat
sempurna ?.
Penyelesaian:
4x2 + 6x + 9 = 0, kedua ruas dibagi 4 diperoleh
.
Melengkapkan dalam bentuk kuadrat sempurna dengan cara
menyatakan persamaan kedalam bentuk
Diperoleh hasil berikut ini.
, atau
, atau
, atau
Ini merupakan bentuk kuadrat sempurna.
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
119
3. Dengan Cara Menggunakan Rumus abc
Akan ditunjukkan berikut ini bahwa persamaan kuadrat
dengan a ≠ 0, mempunyai akar-akar
dan
Pada ax2 + bx + c = 0, kedua ruas dibagi dengan a diperoleh
, lanjutkan dengan melengkapkan dalam bentuk
persamaan kuadrat sempurna.
, atau
, atau
, atau
120
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
, dari persamaan ini diperoleh dua persamaan
berikut ini.
• Pertama:
Dari sini diperoleh
• Kedua:
Dari sini diperoleh
Kedua akar x1 dan x2 di atas, biasa dituliskan dalam bentuk:
(2.2.7)
Persamaan (2.2.7) dinamakan rumus abc.
CONTOH 2.2.10
Dengan menggunakan rumus abc, dapatkan akar-akar persamaan
kuadrat 2x2 – 2x + 6 = 0 ?.
Penyelesaian:
Pada persamaan 2x2 – 2x + 6 = 0, mempunyai a = 2, b = - 2, dan c = 6.
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
121
Oleh karena itu, akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah:
Oleh karena terdapat
tanda negatif pada akar, persamaan kuadrat
tersebut tidak mempunyai akar real.
CONTOH 2.2.11
Selesaikan persamaan kuadrat 3x2 + 2x – 4 = 0 ?.
Penyelesaian:
x2 + 5x + 4 = 0 yang mempunyai a = 1, b = 5 dan c = 4
Oleh karena itu, akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah:
122
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
Dari sini diperoleh akar-akar
dan
.
CONTOH 2.2.12
Dapatkan himpunan penyelesaian dari persamaan
Penyelesaian:
, kalikan kedua ruas dengan x diperoleh
-x2 + 4x = -4 -2x2, ruas sebelah kanan dibuat sama dengan 0
?.
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
123
-x2 + 2x2 + 4x +4 = 0 atau dapat ditulis
x2 + 4x + 4 = 0, merupakan persamaan kuadrat dengan a = 1, b = 4 dan
c = 4.
Dengan menggunakan rumus abc, diperoleh:
Dari
sini
diperoleh
penyelesaiannya adalah
akar-akar
}.
.
Jadi
himpunan
124
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
CONTOH 2.2.13
?.
Selesaikan persamaan berbentuk
Penyelesaian:
, kedua ruas dikalikan dengan x + 2, diperoleh:
, atau
, ruas kanan difaktorkan, diperoleh:
, kedua ruas dibagi
, atau
, atau
Ini merupakan persamaan kuadrat dengan a = 1, b = 3 dan c = -4.
Dengan menggunaakan rumus abc, diperoleh:
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
125
Dari sini diperoleh akar-akar
.
dan
CONTOH 2.2.14
Selesaikan persamaan (x2 – x)(x + 2 ) = -4(x + 2) + (x2 +5x + 6) ?
Penyelesaian:
(x2 – x)(x + 2) = -4(x + 2) + (x2 +5x + 6 ) ,
dengan memfaktorkan persamaan kuadrat pada ruas kanan, diperoleh
(x2 – x)(x + 2) = -4(x + 2) + (x2 +(2+3)x + 2(3), diperoleh
126
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
(x2–x)(x+2) = -4(x+2)+(x + 2)(x + 3) kedua ruas dengan (x + 2) didapat
(x2 – x) = -4 + (x + 3), kedua ruas ditambah 4, -x dan -3 diperoleh
x2 – 2x +1 = 0
Ini merupakan persamaan kuadrat dengan a = 1, b = -2 dan c = 1.
Dengan menggunaakan rumus abc, diperoleh:
Dari sini diperoleh akar-akar
Dari
beberapa
contoh
penyelesaian
.
persamaan
kuadrat
yang
menggunakan rumus abc, terlihat bahwa nilai akar ada mempunyai
dua akar real berbeda, ada yang dua akarnya kembar (sama nilainya),
ada juga yang akarnya berupa bilangan imaginer. Ketiga kondisi ini
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
tergantung dari nilai
127
. Nilai ini dinamakan diskriminan dan
sering disimbulkan dengan
. Ada tiga nilai diskriminan
yaitu:
•
Jika
, maka persamaan kuadrat mempunyai akar sama
atau akar kembar x1 = x2.
•
Jika
, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real
berbeda, x1 ≠ x2.
•
Jika
, maka persamaan kuadrat mempunyai akar
imaginer.
2.2.2 MENCARI HUBUNGAN AKAR‐AKAR PERSAMAAN
KUADRAT
Pada subbab ini akan dibahas beberapa pernyataan yang berkaitan
dengan akar-akar persamaan kuadrat x1 dan x2.
Akar dari persamaan kuadrat, menurut rumus abc dinyatakan sebagai:
Beberapa pernyataan yang berkaitan dengan akar-akar ini adalah:
128
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
1.
Jika
ditambahkan dengan
, maka dapat diperoleh:
(2.2.8)
2.
Jika
dikalikan dengan
, maka dapat diperoleh:
(2.2.9)
Dengan
persamaan
(2.2.8)
dan
(2.2.9),
persamaan
kuadrat
dapat dinyatakan dalam bentuk:
Atau
(2.2.10)
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
129
CONTOH 2.2.15
Carilah persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah
dan
.
Penyelesaian:
dan
a.
b.
Kita masukkan ke dalam persamaan (2.2.10), didapatkan persamaan
kuadrat: x2 – (x1 + x2 )x + x1x2 = 0 atau x2 – 2x – 1 = 0.
CONTOH 2.2.16
Jika
adalah salah satu akar persamaan kuadrat
dan akar lainnya adalah
Penyelesaian:
atau
.
maka dapatkan nilai dari p ?.
130
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
Salah satu bentuk persamaan kuadrat adalah
Dari sini terlihat bahwa
.
CONTOH 2.2.17
Perhatikan persamaan kuadrat
. Jika salah satu
akarnya merupakan 4 kali akar yang lain, maka dapatkan nilai p dan
akar-akar tersebut ?
Penyelesaian:
Perhatikan kembali bentuk persamaan kuadrat:
Kalau kita padankan dengan persamaan kuadrat
didapat:
•
Karena diketahui bahwa
•
, maka:
atau
,
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
.
Dari ini, nilai
Jadi akar-akarnya adalah
131
dan .
Selanjutnya nilai p dicari dari
atau
atau nilai
CONTOH 2.2.18
Salah satu akar dari persamaan kuadrat -4x2 + px – 16 = 0 adalah -2
kali terhadap akar yang lain, dapatkan nilai p dan bentuk persamaan
kuadratnya.
Penyelesaian:
x1 + x2 =
−b
− p
c − 16
=
=
dan x1x2 =
,
a
−4
a −4
diketahui x1 = -2x2 maka
(-2x2)x2 = -4
diperoleh (x2)2 – 2 = 0 atau x2 = ± 2 dan x1 = -2x2 = ± 2 2
132
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
x1 + x2 =
− p
−b
=
= 2 2 −
a
−4
2
diperoleh p1 = 8 2 − 4 2 dan p2= − 8 2 + 4 2 .
Untuk p1 = 8 2 − 4 2 ,
maka persamaan kuadratnya adalah
-4x2 + ( 8 2 − 4 2 ) x – 16 = 0
dengan akar-akar x1= 2 2 , x2 = - 2
Untuk p2 = − 8 2 + 4 2 ,
maka persamaan kuadratnya adalah
-4x2 + ( − 8 2 + 4 2 )x – 16 = 0
dengan akar-akar x1= − 2 2 , x2 =
2
CONTOH 2.2.19
Dapatkan akar-akar dan nilai p jika persamaan kuadrat berbentuk x2–
2px+12=0 dan selisih dari akar-akarnya adalah 4.
Penyelesaian:
x1 + x2 =
−b
p
c 12
= p dan x1x2 =
=
= 12
=
a
1
a 1
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
133
diketahui bahwa x1 – x2 = 4 atau x1 = 4 + x2 maka (4 + x2)x2 = 12
atau x2 + 4x – 12 = 0,
dengan cara faktorisasi dapat diperoleh
(x + 6)(x – 2) = 0
yang mempunyai akar-akar x2 = -6 dan x2 = 2.
Oleh karena x1 = 4 + x2 maka untuk x2 = -6 diperoleh x1 = -2 dan untuk
x2 = 2 diperoleh x1 = 6.
x1 + x2 =
−b
p
= p jika untuk nilai x2 = -6 dan x1 = -2
=
a
1
maka diperoleh p = -8 dan persamaan kuadrat yang terbentuk adalah
x2 +16x + 12 = 0 .
Jika untuk x2 = 2, x1 = 6 maka diperoleh p = 8 dan persamaan kuadrat
yang terbentuk adalah x2 +16x + 12 = 0.
CONTOH 2.2.20
Hasil kali akar-akar suatu persamaan kuadrat adalah
dan salah satu
akar dari akar yang lain, dapatkan persamaan kuadrat tersebut.
Penyelesaian:
134
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah x1 dan x2, telah
diketahui bahwa x1x2 =
atau dapat ditulis x2 -
1
2
2
1
dan x1 = x2 maka diperoleh ( x2)x2 =
2
3
3
2
3
1
= 0 dengan akar-akar x12 = ±
3
4
2
1
1
3 diperoleh x1 = 3
2
3
1
1
3 diperoleh x1 = - 3
demikian pula untuk akar x2 = −
2
3
Untuk akar x2 =
Jadi
jumlah kedua akar-akarnya persamaan kuadrat mempunyai 2
kemungkinan yaitu x1+x2 =
1
1
1
1
3 + 3 atau x1+x2 = - 3 −
3
3
2
3
2
Dengan demikian persamaan kuadratnya adalah
x2 - (
1
1
1
3+
3 ) + = 0 atau
2
3
2
x2 + (
1
1
1
3 +
3) +
=0
2
3
2
2.2.3 HUBUNGAN ANTARA AKAR‐AKAR PERSAMAAN
KUADRAT LAINNYA
Misalkan persamaan kuadrat berbentuk ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 dengan
akar x1 dan x2.
Hubungan diantara akar-akar x1 dan x2
dan
seperti
dapat dipakai untuk mempermudah
pencarian bentuk-bentuk hubungan antar akar-akar yang lainnya
seperti:
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
135
1. (x1 - x2)2
2. x12 + x22
3. x12x2+ x22x1+ x1x2
4.
CONTOH 2.2.21
Jika akar-akar persamaan kuadrat 4x2 + 2x – 1 = 0 adalah x1 dan x2,
maka dapatkan nilai – nilai dari hubungan akar-akar dibawah ini :
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Penyelesaian:
Dari persamaan kuadrat dapat diperoleh hubungan akar-akar
x1 + x2 =
a. Bentuk
− 2 −1
−b
c −1
=
=
=
dan x1 x2 =
a
4
2
4
a
dinyatakan dalam bentuk penjumlahan dan
perkalian dari akar-akar persamaan kuadrat, telah diketahui
sebelumnya bahwa bentuk sempurna kesamaan kuadrat:
136
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
dengan demikian:
b. Seperti sebelumnya, dapat dicari x12 x2 + x22 x1 = x1 x2 ( x1 + x2 )
Sehingga diperoleh
x12 x2 + x22 x1 =
c. x13 + x23 = ( x1 + x2 )( x12 – x1 x2 + x22 )
= ( x1 + x2 )( x12 + x22– x1 x2 ),
dari contoh diatas telah diperoleh x12 + x22
sehingga diperoleh x13 + x23 =
d.
Telah dicari sebelumnya bahwa
Dengan demikian
.
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
137
e.
f.
■ Menyusun Persamaan Kuadrat Jika Akar-akarnya Mempunyai
Hubungan Dengan Akar-akar Persamaan Kuadrat Lainnya.
Untuk menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya mempunyai
hubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat yang diketahui
mempunyai 2 cara yaitu:
1. Dengan menggunakan rumus penjumlahan dan perkalian akarakar.
2. Dengan menggunakan penggantian.
•
Menggunakan Rumus Penjumlahan dan Perkalian Akarakar
Jika diketahui persamaan kuadrat berbentuk ax2 + bx + c = 0, maka
didapat penjumlahan akar
x1x2 =
x1 + x2 =
−b
dan
a
perkalian akar
c
a
Untuk menentukan persamaan kuadrat baru perlu untuk dicari akar-akar
dari persamaan kuadrat tersebut dan hubungannya dengan akar – akar
persamaan kuadrat yang diketahui.
138
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
CONTOH 2.2.22
Dapatkan persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah x1 + 3 dan x2 +
3 dimana x1 dan x2 akar-akar persamaan x2 + 4x + 4 = 0.
Penyelesaian:
Persamaan kuadrat x2 + 4x + 4 = 0 mempunyai jumlahan akar-akar x1 +
x2 = -4 dan perkalian akar-akar x1x2 = 4 .
Jika dimisalkan persamaan kuadrat baru berbentuk au2 + bu + c = 0
dengan akar-akar u1 = x1 + 2 atau u1 - 3 = x1
dan u2 - 3 = x2 maka
dapat dicari akar-akar tersebut dari:
•
x1 + x2 = -4 atau u1 – 2 + u2 – 3 = -4
sehingga u1 – 3 + u2 – 3 = -4 atau u1 + u2 = 2
•
x1x2 = 4 atau
(u1 – 3)(u2 – 3) = 4 atau diperoleh persamaan u1u2 – 3 (u1+ u2) = -5
atau u1u2 = -5 + 3(2) = 1.
Dengan demikian persamaan kuadrat yang baru adalah
u2 – (u1 + u2)u + u1u2 = 0 atau u2 – 2u + 1 = 0
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
139
CONTOH 2.2.23
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya
3
3
dan
jika x1 dan
x1
x2
x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat x2 + 2 x + 1 = 0 ?
Penyelesaian:
Penjumlahan akar-akar x1 + x2 = -2 dan
Perkalian akar-akar x1 x2 = 1.
Misalkan persamaan kuadrat baru berbentuk a y2 + b y + c = 0 dengan
akar-akar y1 =
•
3
x1
atau x1 =
x1 + x2 = -2 atau
3
y1
dan x2 =
3
maka dapat dicari:
y2
3
3
+
= - 2 atau
y1
y2
3( y1 + y2 )
= −2 atau 3(y1 + y2) = -2y1y2.
y1 y2
3 3
= 1 atau y1 y2 = 9 sehingga dapat diperoleh
• x1 x2 = 1 atau
y1 y 2
3(y1 + y2) = - 2 y1 y2
atau y1 + y2 = - 6 .
Dengan demikian persamaan kuadrat yang baru adalah
y2 – (y1 + y2) y + y1 y2 = 0 atau y2 + 6y + 9 = 0
•
Menggunakan penggantian
Untuk mendapatkan persamaan kuadrat yang baru dengan cara
penggantian dapat dilakukan jika akar-akar persamaan kuadrat yang
baru simetri dengan akar-akar persamaan kuadrat yang diketahui.
140
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
CONTOH 2.2.24
Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat dari x2 – 4 x + 4
= 0 maka dapatkan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah :
a.
1
1
dan
dx1
dx 2
dengan d adalah konstanta yang tidak nol.
b. x12 + x22 dan x12 x2 + x22 x1
Penyelesaian:
Dari persamaan yang diketahui x2 – 4 x + 4 = 0 dapat diperoleh
x1 + x2 = 4 dan x1 x2 = 4
1. Misalkan akar-akar persamaan baru adalah
dimana
dan
penjumlahan dan perkalian dari akar-akar tersebut
berbentuk simetri walaupun nilai dari x1 dan x2 dirubah. Oleh
karena itu, dapat dilakukan penggantian dari akar-akar tersebut
1
pada persamaan kuadrat x2– 4x +4 = 0
yaitu y = 1 atau x =
dx
dy
yaitu
(
1
4
1 2
1
− + 4 = 0 , kedua ruas
) –4
+ 4 = 0 atau
2
(dy) dy
dy
dy
dikalikan d2y2 diperoleh 1 – dy + 4d2y2 = 0 atau 4d2y2 – dy + 1 = 0
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
141
1.3 Misalkan akar-akar persamaan baru adalah y1 = x12 + x22 atau
y1 = ( x1 + x2 )2 – 2 x1 x2 = 16 – 32 = -16 dan y2 = x12 x2 + x22 x1
atau y2 = x1 x2 ( x1 + x2 ) = 16.
Dengan demikian persamaan kuadrat yang baru adalah
y2 – ( y1 + y2 ) + y1 y2 = 0 atau y2 – 256 = 0
CONTOH 2.2.25
Dapatkan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya
1
1 1
+
dan
x1 x2
x1 x2
dimana x1 dan x2 merupakan akar persamaan kuadrat x2 + 6x + 9 = 0.
Penyelesaian:
Dari persamaan kuadrat yang diketahui diperoleh x1 + x2 =
dan x1 x2 =
−b
=-6
a
c
= 9.
a
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah v1 =
1
=9
x1 x2
x1 + x 2
−6 −2
1 1
+
=
=
=
maka persamaan kuadrat yang
x1 x2
x1 x 2
9
3
25
v−6 = 0
baru adalah v2 – (v1 + v2) + v1v2 = 0 atau v2 –
3
v2 =
142
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
2.2.4 MENERAPKAN PERSAMAAN KUADRAT
Sebelum ini, kita telah belajar banyak tentang persamaan kuadrat dan
berbagai cara menyelesaikan persamaan kuadrat. Banyak permasalahan
yang berhubungan dengan persamaan kuadrat. Pada subbab ini, kita
akan menggunakan persamaan kuadrat untuk menyelesaikan beberapa
permasalahan.
CONTOH 2.2.26
Sekelompok orang melakukan usaha bersama membentuk suatu badan
usaha. Pada tahun pertama usaha tersebut mendapatkan keuntungan
sebesar Rp 10.000.000. Keuntungan tersebut dibagai rata pada setiap
anggotanya. Jika ada 2 orang anggota tidak mau menerima keuntungan
usaha tahun pertama, maka setiap anggota kelompok akan menerima
Rp 250.000 lebih banyak dari penerimaan yang
dibagai pada semua anggotanya. Tentukan
banyaknya anggota kelompok tersebut.
Penyelesaian:
Misal
x
merupakan
banyaknya
anggota
kelompok.
•
Jika
keuntungan
anggota
anggotanya
dibagi
kelompok,
menerima
Besarnya nilai A adalah
pada
maka
A
semua
setiap
rupiah.
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
•
143
Jika keuntungan tersebut dibagi (x-2) orang, maka setiap
anggotanya menerima B rupiah. Besarnya nilai B adalah
•
Jika ada 2 orang tidak mau menerima keuntungan, maka selisih
yang diterima setiap anggota adalah Rp 250.000. Dari sini
diperoleh
144
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
Dari persamaan ini, diperoleh
dan
. Akan tetapi, nilai x
harus lebih besar nol. Karena itu, diperoleh hasil banyaknya anggota
ada sebanyak 10 orang.
CONTOH 2.2.27
Panitia wisata menyewa sebuah bus seharga Rp 2.000.000. Biaya sewa
bus ditanggung secara merata oleh peserta
wisata. Jika pada saat mau berangkat ada 8
orang yang mengundurkan diri, maka setiap
peserta harus menambah biaya sebesar Rp
12.500. Tentukan banyaknya peserta wisata tersebut.
Penyelesaian:
Misal x merupakan banyaknya peserta wisata.
•
Jika biaya sewa bus dibagi pada semua peserta, maka setiap
peserta membayar A rupiah. Besarnya nilai A adalah
•
Jika biaya sewa tersebut dibagi (x-8) orang, maka setiap peserta
membayar B rupiah. Besarnya nilai B adalah
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
•
145
Jika ada 8 peserta mengundurkan diri, maka setiap peserta
menambah Rp 12.500. Dari sini diperoleh
Dari persamaan ini, diperoleh
dan
. Akan tetapi, nilai x
harus lebih besar nol. Karena itu, diperoleh hasil banyaknya anggota
ada sebanyak 10 orang.
146
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
CONTOH 2.2.28
Si Pegy mempunyai usaha penjualan paket kue. Dalam penjualan, Pegy
mempunyai banyak pekerja keliling. Salah satu pekerjanya bernama si
A. Dalam setiap harinya, si A diberikan honorarium sebesar Rp
(10+2x), dengan x adalah banyaknya paket yang dijual oleh si A. Jika si
A berhasil menjual x paket, maka si Pegy juga memperoleh pendapatan
akibat
dari
penjualan
oleh
si
A,
dan
besarnya
adalah
. Pegy menginginkan pendapatan setiap
hari yang berasal dari si A adalah Rp 10. Berapa paket kue yang harus
di jual si A agar target pendapatan si Pegy terpenuhi.
Penyelesaian:
Pada permasalahan ini, dapat dirumuskan dalam bentuk persamaan
kuadrat
atau
Diperoleh x=-10 dan x=5. Karena x adalah banyaknya paket barang
yang dijual, x tidak boleh negatif.
Jadi diperoleh hasil x=5, si A harus menjual sebanyak 5 paket agar si
Pegy memperoleh pendapatan Rp 10 dari penjualan si A.
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
147
CONTOH 2.2.29
Pada luar lapangan sepak bola yang berukuran 100 m × 50 m, akan
dibuat jalur lari dengan lebar jalur tetap. Jalur tersebut mengelilingi
lapangan sepak bola. Jika luas jalur tersebut adalah 2.500 m2, maka
tentukan lebar jalur tersebut.
Penyelesaian:
Misalkan lebar jalur yang harus dibuat adalah x m, lihat Gambar 2.2.1.
Gambar 2.2.1 Jalur lari dengan lebar tetap.
Luas jalur dalam m2 adalah
L = 2(100x) + 2(50x) + 4x2
Karena luas jalur adalah 2.500 m2, maka :
2.500 = 4x2 + 300x
x2 + 75x - 2.500 = 0
(x+100) (x -25)=0
Karena nilai x > 0, maka diperoleh x = 25 m.
Jadi lebar jalur di sisi lapangan sepak bola tersebut adalah 25 m.
148
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
• RANGKUMAN
•
Bentuk umum persamaan kuadrat adalah
dengan a≠0, b, c ∈ R.
•
Jika dapat difaktorkan ke bentuk
maka penyelesaiannya adalah
,
dan
•
Mempunyai bentuk kuadrat sempurna
•
Mempunyai akar‐akar
.
dan
•
Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat, maka
•
•
SSO
OAALL LLAATTIIH
HAAN
N 22--22
•
Dapatkan akar
memfaktorkan.
persamaan
kuadrat
dengan
a . x2 + x – 12 = 0
b . x2 – 2x – 8 = 0.
c . x2 – 4x – 5 = 0
d . x2 + 5x = -6
cara
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
e . x2 + 2x = 3
•
Carilah
149
f . x2 – 14x – 32 = 0
akar
persamaan
kuadrat
dengan
cara
melengkapkan bentuk sempurna.
a . ( x – 1)2 = 100
b. x2 – 12x – 45 = 0
c. (y – 2)(y – 2) = 9
d. 3t2 + t – 2 = 0
e. (2x + 3)2 = 25
f. u2 + 8u – 9 = 0.
•
Carilah akar persamaan kuadrat dengan menggunakan
rumus abc.
a. 2x2 -4x – 2 = 0
b. x2 – 5x + 3 = 0
c. 6x2 – 7x + 2 = 0.
d. 2x2 – 6x + 11 = 0.
e. 3x2 – 6x = 9
f. x2 + 4x – 8 = 0
•
Setiap sabtu, Amir pelari peserta PON berlatih lari 18 km,
tujuannya adalah mengurangi waktu tempuh sebesar
setengah jam, dengan bantuan murid SMU kelas 1
dianjurkan agar ia berlari 1,2 km perjam lebih cepat.
Tentukan kecepatan ia berlari ?
•
Peluru ditembakkan vertikal ke udara dengan kecepatan
awal v0 dan pada saat
tertentu akan mencapai ketinggian sebesar v0t – 10t2 . jika
ketinggian maksimum 30 maka tentukan waktu sampai peluru
mencapai tanah ?
150
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
•
Suatu kotak berbentuk balok yang mempunyai volume =
luas alas x tinggi, jika alas dan tutup kotak berbentuk bujur
sangkar , sisi balok berbentu empat persegi panjang maka
dapatkan luas sisi balok untuk volume = 100 , alas dan
tutup diabaikan, tinggi =2?
•
Jumlah pangkat dua dari tiga bilangan ganjil
berurutan
yang
adalah 515 . tentukan bilangan –bilangan
tersebut ?
•
Suatu tangga dengan panjang 10 bersandar pada tembok ,
jarak ujung tangga dengan lantai adalah 6, tentukan jarak
geseran kaki tangga agar ujung atas tangga bergeser sama
panjang dengan geseran bawah ?
•
Dapatkan persamaan kuadrat yang akar‐akarnya.
a. 4 dan -4
b. u dan 2 – u
c. 2 dan 7
d. 1/t dan t
•
Jika a dan b akar‐akar persamaan kuadrat maka bentuk
faktor dari persamaan kuadrat dapat ditulis (x + a)(x + b) =
0 , dapatkan persamaan kuadrat tersebut jika:
1.3.2.1.1
a = ‐3 dan b = 4.
1.3.2.1.2
a=(2+
1.3.2.1.3
a =(
1.3.2.1.4
a=
)( 2 ‐
)
dan b = (
, b =
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
•
Susunlah suatu persamaan kuadrat yang akar‐akarnya
adalah
•
151
1
1
±
2
a
Dapatkan persamaan kuadrat yang hubungan diantara
akar‐akarnya adalah
a. jumlah akar-akarnya = 3 , hasil kali akar-akarnya = 4.
b. jumlah akar-akarnya = -4 , hasil kali akar-akarnya =
1
3
c. jumlah akar-akarnya = 2 , hasil kali akar-akarnya = 2
d. jumlah akar-akarnya = 1 , hasil kali akar-akarnya = -1.
•
Diketahui salah satu akar persamaan kuadrat x2 – 2qx + 4q = 0
tiga kali akar yang lain , dapatkan nilai p dan akar-akarnya
•
Akar-akar persamaan
(2p – 1)x2 – 15/2x – 3 = 0 saling
berkebalikan , dapatkan nilai p dan akar-akarnya.
•
Persamaan kuadrat berbentuk 2x2 + (p + 3) x – 4p = 0 yang
selisih akar-akarnya sama dengan 7 , dapatkan nilai p dan akarakarnya
•
Salah satu akar persamaan –2x2 + px – p + 2 = 0 sama dengan
0, dapatkan nilai p.
•
Salah satu akar persamaan kuadrat 3x2 – (p – 3)x + p + 2 = 0
berlawanan 2 kali, dapatkan nilai p ?
•
x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 – 3x = ,
dapatkan p dan akar- akarnya jika 2x1 + x2 = 2 ?
152
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
•
Akar-akar persamaan kuadrat x2 – 2x – 4 = 0 adalah x1 dan x2 ,
dapatkan
bentuk
simetri
dengan
tanpa
mencari
akar
persamaannya .
a.
b.
c.
d.
•
Akar persamaan kuadrat x2 – (p + 1)x – 2p+4 = 0, hitunglah
bentuk berikut yang merupakan bentuk simetri dari x1 dan x2
a. x12 + x22
b. x14 + x24
c. x13 + x12 x2 + x1 x22 + x23
d.
•
Akar‐akar persamaan 9x2 – 15x + p = 0 adalah x1 dan x2,
hitunglah p jika
a. x12 + x12 x2 + x1 x22 + x22 = 2
•
b . x12 + x22 = x1 + x2
Hitunglah p jika x12 + x22 = 10 untuk persamaan kuadrat
berbentuk x2 – px – 4 = 0 ?
•
Bilangan x1 dan x2 adalah akar persamaan x2 – 2bx + b2 = 0 ,
dapatkan b jika x12 + x22= 2 ?
•
Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2 kali
lebih kecil dari akar persamaan kuadrat x2 + 6x + 9 = 0 ?
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
•
153
Akar persamaan kuadrat x2 - 3x + a - 1= 0 adalah x1 dan x2,
tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya
a.
x1
x2
dan
x2
x1
b. x12 dan x22
c.
1
1
dan
x1 − 2
x2 − 2
d.
•
Susunlah suatu persamaan kuadrat baru
1
1
2 dan
2
x1
x2
yang akar-akarnya
kebalikan dari akar-akar persamaan x2 – 6ax -6a = 0 ?
•
Persamaan yang akar-akarnya 2 lebih kecil dari persamaan
kuadrat x2 – 6ax -6a = 0 adalah 2x2 – 6x + 6 = 0 , tentukan a
dan akar-akarnya ?
•
Persamaan kuadrat 6x2 – x - 12 = 0 mempunyai akar-akar x1
dan x2, tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya x12
+ x22 dan x12 - x22.
•
Sekelompok orang menerima borongan pekerjaan penggalian
selokan dengan imbalan sebesar Rp 2 juta yang dibagi rata
pada
setiap
anggotanya.
Jika
2
orang
onggotanya
mengundurkan diri, maka setiap anggota kelompok akan
menerima Rp 50.000 lebih banyak dari penerimaan semula,
sebelum ada yang mengundurkan diri. Tentukan banyaknya
anggota kelompok tersebut.
•
Seseorang berjalan menyusuri sepetak pekarangan berbentuk
persegi panjang yang luasnya 216 m2 tanpa berhenti. Andaikan
langkah orang tersebut selalu tetap sebesar 60 cm, maka
154
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
tentukan ukuran pekarangan tersebut jika orang tersebut selesai
mengelilingi pekarangannya dalam 100 langkah.
•
Jika jumlah dari kebalikan dua bilangan genap yang berurutan
adalah
, maka tentukan jumlah dari dua bilangan genap
tersebut.
2.3 SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Sistem persamaan linier atau juga disebut sebagai sistem persamaan
linier serentak merupakan kumpulan atau himpunan dari persamaan
linier. Dalam buku ini dibahas system persamaan linear:
1. Sistem persamaan linier 2 peubah dengan 2 persamaan.
2. Sistem persamaan linier 3 peubah dengan 2 persamaan.
3. Sistem persamaan linier 3 peubah dengan 3 persamaan.
Sistem persamaan linier banyak sekali dijumpai dalam banyak aplikasi
misalnya:
•
Seorang pengusaha busana seragam untuk pria dan wanita dengan
bentuk yang berbeda dan terbagi dalam 2 ukuran sedang dan
besar. Ukuran sedang memerlukan 1,2 meter untuk seragam pria
dan 2 meter untuk seragam wanita. Ukuran besar memerlukan 1,5
meter per seragam pria dan 2,5 meter perseragam wanita. Jika
bahan yang tersedia untuk pria sebanyak 100 meter dan
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
155
wanita 200 meter, maka banyaknya seragam yang dapat dibuat
untuk ukuran sedang dan besar adalah.
Misalkan peubah x menyatakan seragam dengan ukuran sedang.
Peubah y menyatakan seragam dengan ukuran besar. Banyaknya
seragam pria yang dapat dibuat adalah
banyaknya
seragam
wanita
yang
, dan
dapat
dibuat
adalah
. Dan ini membentuk dua persamaan linier
berikut ini.
1,2x + 1,5y = 100
•
dan 2x + 2,5y = 200
Suatu obyek wisata yang mempunyai 3 lokasi dengan bentuk yang
berbeda pada
suatu tempat yang sama, setiap lokasi pendapatan
yang diperoleh rata-rata adalah
1.
Lokasi A sebesar Rp 10.000.000,- dengan harga karcis Rp
2.500,- per dewasa, Rp 1.500,- peranak dan Rp 1000,permobil.
2.
Lokasi B sebesar Rp 12.000.000,- dengan harga karcis
Rp3.500,-per dewasa, Rp 2.500,- peranak dan Rp 1.000,permobil.
3.
Lokasi C sebesar Rp 14.000.000,- dengan harga karcis Rp
3.000,- perdewasa, Rp 2.000,- peranak dan Rp 1000,- permobil.
Banyaknya pengunjung dari ketiga lokasi wisata tersebut dapat
diformulasikan sebagai berikut.
156
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
Misal x menyatakan banyaknya pengunjung dewasa, y menyatakan
banyaknya pengunjung anak-anak dan z menyatakan banyaknya
pengunjung mobil. Permasalahan ini membentuk suatu sistem
persamaan linier:
2500 x + 1500 y + 1000 z = 10.000.000
3500 x + 2500 y + 1000 z = 12.000.000
3000 x + 2000 y + 1000 z = 14.000.000
•
Pada ilustrasi nomor 2, jika hanya terdapat 2 lokasi pada obyek
wisata tersebut, maka banyaknya pengunjung kedua lokasi wisata
tersebut adalah :
2500x + 1500 y + 1000 z
= 10.000.000
3000 x + 2500 y + 1000 z = 12.000.000
2.3.1 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA
PEUBAH
Sistem persamaan linear dua peubah secara umum dapat ditulis :
a1x + b1y = c1 dengan a1 , b1 , c1 ∈ R
a2x + b2y = c2 dengan a2 , b2 , c2 ∈ R
a1 , b1 , a2 , b2 tidak boleh bersama – sama bernilai nol.
Mencari penyelesaian dari sistem persamaan linear merupakan
pasangan (x, y)
yang memenuhi kedua persamaan linear tersebut
sehingga memberikan pernyataan yang benar.
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
157
Ada beberapa cara dalam mencari penyelesaian sistem persamaan
linear yaitu :
1 . Metode Grafik.
2. Metode Eliminasi
3. Metode Substitusi.
4. Metode gabungan eliminasi dan substitusi.
5. Metode Matrik, dibahas pada Bab 3.
i.
Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dengan Metode
Grafik.
Menyelesaikan sistem persamaan linier dengan metode grafik maka
persamaan a1x + b1y = c1 dan a2x + b2y = c2 dapat dipandang sebagai
garis lurus maka perpotongan dari kedua garis tersebut merupakan
penyelesaian dari sistem persamaan linier .
Misalkan garis u1 : a1x + b1y = c1 dan garis u2 : a2x + b2y = c2 maka
akan terdapat beberapa kemungkinan diantara kedua garis tersebut
yaitu:
1. Terdapat satu titik potong jika
. Pada kondosi ini,
sistem persamaan linier mempunyai satu penyelesaian/
jawab.
2. Garis u1 berimpit dengan garis u2 jika
. Pada kondisi
ini, terdapat banyak titik yang memberikan jawaban yang
benar dan dikatakan bahwa sistem persamaan linier
mempunyai banyak penyelesaian.
158
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
3. Garis u1 sejajar dengan u2 namun tidak berhimpit, jika
. Pada kondisi ini, tidak terdapat perpotongan
atau singgunggan antara kedua garis tersebut, sehingga
sistem persamaan linier tidak mempunyai penyelesaian.
CONTOH 2.3.1
Dapatkan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier
berbentuk
x + 2y = 3 dan 2x + y = 3.
Penyelesaian:
Dari persamaan x + 2y = 3, didapat:
untuk x = 0 , y = dan
untuk y =0 , x = 3
Jadi grafik melalui titik (0, ) dan (3, 0).
Dari persamaan 2x + y = 3, didapat:
untuk x=0, y = 3 dan
untuk y=0, x =
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
159
Jadi grafik melalui titik (0,3) dan ( ,0).
Dari grafik terlihat bahwa perpotongan garis terjadi disekitar (1, 1).
Sehingga penyelesaian dari sistem persamaan linear ini adalah x=1, dan
y=1.
ii.
Menyelesaikan Dengan Metode Substitusi.
Misalkan sistem persamaan linier berbentuk a1x + b1y = c1 , a2x + b2y =
c2. Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dengan substitusi
dimaksud adalah melakukan substitusi terhadap salah satu peubah x
atau y dari 1 persamaan ke persamaan yang lain.
c1 a1
− x disubstitusi pada
b1 b1
c1 a1
persamaan a2x + b2y = c2 diperoleh a2x + b2( − x ) = c2 atau
b1 b1
a1x + b1y = c1, b1y = c1- a1x atau y =
( a2 -
b2 a1
bc
) x = c2 − 2 1
b1b2
b1
b2 c1
b1
.
Jadi x =
b2 c1
a2 −
b1
c2 −
CONTOH 2.3.2
Dapatkan penyelesaian dari sistem persamaan linier
3x – 2y = 5
160
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
2x + 4y = -2
Penyelesaian:
Ambil salah satu persamaan 3x – 2y = 5 atau x =
ke persamaan lainnya 2x + 4y = -2 atau 2 (
, disubstitusikan
) + 4 y = -2 , kedua ruas
dikalikan 3 didapat
10 + 4y + 12y = - 6 atau y =
= -1.
Nilai y=-1 dimasukkan ke persamaan 3x – 2y = 5, didapat:
3x – 2(-1) = 5 atau x = 1
Sehingga penyelesaian dari sistem persamaan linier adalah x=1, dan
y=-1.
CONTOH 2.3.3
Selesaikan sistem persamaan linier berbentuk
2x = 6y + 4
3x + 4y = 3
Penyelesaian:
Ambil persamaan 2x = 6y + 4 atau x = 3y + 2 disubstitusikan pada
persamaan 3x + 4y = 3, didapat
3(3y + 2) + 4y = 3 atau 13y = -3
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
dan nilai y ini dimasukkan ke salah satu persamaan,
Diperoleh y =
didapat x =
161
+2=
.
Jadi penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah
dan
.
iii.
Menyelesaikan Dengan Metode Eliminasi.
Misalkan sistem persamaan linier berbentuk
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
untuk menyelesaikan sistem persamaan linier
dengan eliminasi
dimaksudkan adalah menghilangkan salah satu peubah dari sistem
persamaan dengan menyamakan koefisien dari peubah tersebut.
a1x + b1y = c1 | x a2 Æ diperoleh a2a1x + a2b1y = c1a2
a2x + b2y = c2
| x a1 Æ diperoleh a2a1x + a1b2y = c2 a1
(a2b1 – a1b2)y = c1a2 - c2a1
c a −c a
2 1
c1 − 1 2
b1
c1a2 − c2 a1
a 2 b1 − a1b2
Jadi y =
dan x =
a2b1 − a1b2
a1
162
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
CONTOH 2.3.4
Selesaikan sistem persamaan linier dengan eliminasi berbentuk
2u + 8v = -2
-u + 3v = 4
Penyelesaian:
2u + 8v = -2 dikalikan 1 diperoleh
2u + 8v = -2
-u + 3v = 4 dikalikan 2 diperoleh
-2u + 6v = 8
14v = 6
atau v = 3/7
2u + 8v = -2 dikalikan 3 diperoleh 6u + 24 v = - 6
-u + 3v = 4 dikalikan 8 diperoleh -8u + 24 v = 32 14u = - 38
atau u =
.
CONTOH 2.3.5
Dapatkan himpunan penyelesaian dengan eliminasi jika terdapat
persamaan berbentuk 3s – 4t = 6 dan 2s + 5t = - 3.
Penyelesaian:
3s – 4t = 6
dikalikan 2 diperoleh
2s + 5t = -3 dikalikan 3 diperoleh
6s – 8t = 12
6 s + 15 t = - 9 -23t = 21
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
163
.
atau t =
3s – 4t = 6
dikalikan 5 diperoleh
15s – 20t = 30
2s + 5t = - 3 dikalikan 4 diperoleh
8s + 20t = -12 +
23s = 18
atau s =
Himpunan penyelesaiannya adalah { ,
iv.
}.
Menyelesaikan Dengan Metode Gabungan Eliminasi dan
Substitusi.
Misalkan sistem persamaan linier berbentuk
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
Penyelesaikan sistem persamaan linier dengan gabungan eliminasi dan
subtitusi dimaksudkan adalah melakukan eliminasi terhadap salah satu
peubah yang kemudian melakukan subtitusi pada salah satu persamaan
atau sebaliknya.
CONTOH 2.3.6
Selesaikan sistem persamaan linier berbentuk
164
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
3x – 4y = 5 dan -2x + 2y = 4
Penyelesaian:
3x – 4y = 5 dikalikan 2 diperoleh
6x – 8y = 10
-2x + 2y = 4 dikalikan 3 diperoleh -6x + 6y = 12
+
-2y = 22
atau y = -11 , dilakukan subtitusi pada persamaan -2x + 2y = 4 maka
didapat
-2x + 2(-11) = 4 atau x = - 13.
Penyelesaian dari sistem persamaan linier adalah {-13, -11}.
CONTOH 2.3.7
Dapatkan himpunan penyelesaian dari persamaan 4u – 8v = 7 dan 3u
+ 2v = 2
Penyelesaian:
4u – 8v = 7 dikalikan 3 diperoleh 12u – 24v = 21
3u + 2v = 2 dikalikan 4 diperoleh 12u + 8v = 8
-
-32v = 13
atau v =
3u + 2(
, dilakukan subtitusi pada persamaan 3u + 2v = 2 maka :
) = 2 atau u =
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { ,
}.
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
165
2.3.2 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA
PEUBAH
Sistem persamaan linear tiga peubah dapat dinyatakan dalam bentuk
a1 x + b1 y + c1 z = d1
a2 x + b2 y + c2 z = d2
(2.3.1)
a3 x + b3 y + c3 z = d3
dengan
a1, b1 ,c1 , d1 , a2, b2 , c2 , d2 , a3 , b3 , c3, d3 merupakan
bilangan real.
Menyelesaikan sistem persamaan linier 3 peubah dapat dilakukan
seperti halnya pada sistem persamaan linier 2 peubah .
CONTOH 2.3.8
Selesaikan sistem persamaan linier berbentuk
x – 2y + z = 2
2x + y + 2z = 1
-x + y + z = 2
Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier tersebut
dengan menggunakan metode eliminasi .
x – 2y + z = 2
dikalikan 2 diperoleh 2x – 4y + 2z = 4
dilakukan
166
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
2x + y + 2z = 1 dikalikan 1 diperoleh 2x + y + 2z = 1
- 5y
-
=3
atau y = -3/5
x – 2y + z = 2 dikalikan 1 diperoleh
x – 2y + z = 2
-x + y + z = 2 dikalikan 1 diperoleh -x + y + z = 2
+
- y + 2z = 4
dilakukan subtitusi nilai y pada persamaan tersebut diperoleh
-(-3/5) + 2z = 4 atau z =
, subtitusikan pada persamaan -x+ y + z = 2
didapat
-x + (
+
= 2 atau x =
.
CONTOH 2.3.9
Selesaikan sistem persamaan linier berbentuk
2x – 2y + z = 3
x + y + 2z = -1
-x + y + z = 2
Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier tersebut
dengan menggunakan metode eliminasi .
x + y + 2z = -1
dilakukan
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
-x + y + z = 2
167
+
2y + 3z = 1
2x – 2y + z = 3 | x 1 diperoleh
2x – 2y + z = 3
x + y + 2z = -1 | x 2 diperoleh
2x + 2y + 4z = -2 -3z=5
, dilakukan subtitusi pada persamaan 2y + 3z = 1
atau
diperoleh 2y + 3 (
) = 1 atau y = 3, kemudian disubtitusikan pada
persamaan x + y + 2z = -1 diperoleh x + 3 + 2 ( ) = - 1 atau x =
Jadi himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier adalah
.
• RANGKUMAN
•
Penyelesaian dari sistem persamaan linear dua peubah
merupakan pasangan (x, y)
yang memenuhi kedua
persamaan linear tersebut.
•
Ada beberapa cara dalam mencari penyelesaian sistem
persamaan linear dua peubah, yaitu :
168
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
1 . Metode Grafik.
2. Metode Eliminasi
3. Metode Substitusi.
4. Metode gabungan eliminasi dan substitusi.
SSO
OAALL LLAATTIIH
HAAN
N 22--33
1. Dapatkan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut
dengan menggunakan metode grafik.
a. x – 2y = 3
b. 2x + 3y = -2
-x + 2y = 3
2x+y = 1
c. 3x – 4y -4 = 0
x + 2y
d. x – y = 0
=1
e. 5x – 2y -4 = 0
3x + y – 4 = 0
f.
x + 2y – 1 = 0
2. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier
berikut dengan menggunakan metode eliminasi.
a. 2x – 2y = -2
b. x + 2y = 3
-x + 2y = 3
x + 2y = 5
c. 4x – 2y -4 = 0
x+y
=3
e. 2x + 3y = 4
x+y =4
d. 3x +5y = 7
3x + 2y – 4 = 0
f.
x + 2y – 1 = 0
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
169
3. Dapatkan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier
berikut dengan menggunakan metode subtitusi .
•
3x + 2y = 7
•
-x + 2y = 3
2x - y = 1
•
•
x + 2y
•
x – 4y = 6
2x + 3y – 2 = 0
=1
x + y -3 = 0
1/2x + 1/3y = 1
•
4. Dapatkan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier
berikut dengan menggunakan gabungan eliminasi dan subtitusi
1. x – 2y = 3
2. 2x + 3y = -2
-x + 2y = 3
2x+y = 1
3. 3x – 4y -4 = 0
x + 2y
4. x – y = 0
=1
5. 5x – 2y -4 = 0
3x + y – 4 = 0
6.
x + 2y – 1 = 0
5. Dua titik (2, 3) dan (-1, 1) yang dilalui oleh garis lurus ax + by = 6 ,
tentukan nilai a dan b ?
6. Sebuah industri pakaian jadi memproduksi 2 jenis pakian yaitu pria
dan wanita, jika pada saat tertentu mendapatkan hasil penjualan
sebesar Rp 250.000 dari 120 pakaian wanita dan 100 pakaian pria ,
demikaian pula dari 90 pakian pria dan 80 pakaian wanita
170
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
mendapatkan sebesar Rp 200.000, dapatkan harga jual setiap
pakaian pria dan wanita ?
7. Jumlah penduduk dari suatu kota A dan B adalah 4.000.000. akan
tetapi jumlah penduduk kota A sama dengan 1.500.000 lebihnya
dari 3 kali penduduk kota B dapatkan jumlah penduduk kedua kota
tersebut ?
8. Dapatkan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier
berikut.
a. 2x – 3y + z = 2
b. x + 4y – z = 15
x + 2y – z = 4
2x - 2y +3z = 12
2x
+ z = 10
x + 2y – z = 10
y
+ 5z = 5
x-
y +z=1
c . x – 3y
= -5
9. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut.
a.
1 1 3
+ − = 10
x y z
b.
3 1
− =2
x y
2 1 3
− + =5
x y Z
2 1
+ =3
y z
2 3 1
+ − =8
x y z
2 3
− =1
x z
c.
2 1 3
− + =1
z x y
1 2 3
+ − = −1
y x z
2 1
− =2
x z
10. Diketahui persamaan kuadrat y = ax2 + bx + c , tentukan nilai a, b, c
jika fungsi tersebut melalui titik berikut ini.
a. (1,1), (2, 4) dan (-2, 4)
b. (-2, 0), (2, 0) dan (0, 1).
c. (0,-1), (-4, 0) dan (4, 0).
d. (0, 1), (2, 0) dan (2, 1)
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
171
2.4 SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT
DUA PEUBAH
Sistem persamaan linier dan kuadrat untuk dua peubah dapat
dinyatakan dalam bentuk
y = a1 x + b
y = a 2 x 2 + b2 x + c2
(2.4.1)
dimana a1≠0, b1, a2≠0, b2, c2 merupakan bilangan real.
Untuk menyelesaiakan sistem persamaan tersebut dapat dilakukan
dengan cara
1. Metode subtitusi.
2. Metode grafik.
CONTOH 2.4.1
Dapatkan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
.
Penyelesaian:
172
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
Untuk menyelesaikan
sistem persamaan tersebut dilakukan dengan
subsitusi persamaan
pada
diperoleh
atau
atau
Nilai-nilai x disubtitusikan pada
.
diperoleh x1 = 0 dan x2 = -1
, yaitu untuk x1 = 0
diperoleh y1 = 1 dan untuk x2 = -1 diperoleh y2 = 0.
Jadi himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah
{(0, 1), (-1, 0)}.
CONTOH 2.4.2
Selesaikan sistem persamaan berbentuk y = x + 2 dan y = x2
Penyelesian:
y=x+2
y = x2
Subtitusikan persamaan
pada persamaan
diperoleh
x + 2 = x2 atau
x2 – x – 2 = 0 , dilakukan faktorisasi diperoleh
(x – 2)(x + 1) = 0 dan diperoleh hasil x1 = 2 dan x2 = -1
Nilai-nilai x disubtitusikan pada persamaan y = x + 2, didapat:
, akan
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
173
1. Untuk x1 = 2 diperoleh y1 = 4
2. Untuk x2 = -1 diperoleh y2 = 1
Sehingga
himpunan
penyelesaian
adalah {(2, 4) , (-1, 1 )}.
Secara
geometrik
himpunan
penyelesaian tersebut merupakan titik
potong dari kedua persamaan, seperti
yang
diperlihatkan
pada
gambar
disamping ini.
• RANGKUMAN
•
Sistem persamaan linear dan kuadrat untuk dua peubah dapat
dinyatakan dalam bentuk
y = a1 x + b
y = a 2 x 2 + b2 x + c2
dimana a1≠0, b1, a2≠0, b2, c2 merupakan bilangan real
•
Ada beberapa cara penyelesaian yang dapat dipakai untuk
menyelesaikan sistem persamaan linear dan kuadrat dua
peubah, yaitu :
1 . Metode Grafik.
2. Metode Substitusi.
174
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
SSO
OAALL LLAATTIIH
HAAN
N 22--44
•
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut.
a. y =2x
b. y = x
2
y = x + 2x - 1
•
y = x + 2x - 2
y = x2 + 2x - 2
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut.
a. y = x + 1
y = x2 + 2x - 1
•
c. y = x + 2
2
b. y = x -2
y = x2 + 2x - 2
c. y = 3x + 2
y = x2 + 2x - 2
Dapatkan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut
ini.
a. y + x – 1=0
2
y = x - 3x + 2
•
b. y – 2x -9 = 0
2
y –x + 5x -5=0
c. y - 2x + 5 = 0
y = x2 - 3x + 3
Dapatkan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut
ini.
a. y - x = 10
y = x2 - 3x + 2
•
b. y – 2x = 5
y –x2 + 5x -5=0
c. y + x = 5
y = x2 - 3x + 3
Dapatkan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut
ini.
a. y = x – 1
2
y = x - 3x + 2
•
b. y – 2x -9 = 0
2
y –x + 5x -5=0
c. y = - 2x + 5
y = x2 - 3x + 3
Tentukan konstanta k agar agar sistem persamaan linear-kuadrat
berikut
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
o
Mempunyai dua penyelesaian.
o
Mempunyai satu penyelesaian dan kemudian tentukan
175
penyelesaiannya.
o
Tidak mempunyai penyelesaian.
2.5 PERTIDAKSAMAAN
Suatu persamaan dinyatakan dengan tanda “=“. Untuk hubungan dari
peubah – peubah yang menyatakan pertidaksamaan digunakan tanda <
(lebih kecil), ≤ (lebih keci sama dengan), > (lebih besar), atau ≥ (lebih
besar sama dengan.
Ekspresi
y < x + 1 merupakan suatu
pertidaksamaan. Pada persamaan yang memuat hubungan diantara 2
peubah x dan y,
jika (x, y) merupakan pasangan dari titik yang
memenuhi y = x + 1, maka (x, y) merupakan titik pada bidang
koordinat yang terletak pada persamaan y = x + 1. Pada
pertidaksamaan, jika pasangan
(x, y) memenuhi pertidaksamaan
, maka pasangan (x, y) berada dibawah grafik y = x + 1.
Daerah penyelesaian pada ketidaksamaan dengan satu peubah dapat
dinyatakan pada garis bilangan.
CONTOH 2.5.1
Beberapa contoh pertidaksamaan.
176
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
1.
, pertidaksamaan linier dengan satu peubah.
2.
, pertidaksamaan kuadratik.
3.
, pertidaksamaan pecah rasional.
, pertidaksamaan linier dengan dua peubah.
4.
■ Sifat-Sifat pertidaksamaan
Jika a, b, c, dan d merupakan bilangan real, maka berlaku:
a. Jika
dan
maka
b. Jika
dan
maka
c. Jika
dan
maka
d. Jika
maka
e. Jika
dan
f.
maka
Jika
.
.
.
, untuk sembarang c.
maka
.
.
Untuk pertidaksamaan dengan tanda selain <, mempunyai sifat yang
identik dengan pertidaksamaan dengan tanda <.
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
177
Penyelesaian pertidaksamaan sering terkait dengan selang atau
interval. Karena itu, kita bahas terlebih dahulu tentang selang /
interval.
9 Interval
Himpunan tertentu yang menarik dan sering muncul dalam
matematika adalah himpunan bilangan real yang dinamakan
selang / interval. Secara geometrik interval merupakan sepotong
garis pada garis bilangan real.
DEFINISI 2.5.1 :
Jika a dan b bilangan real dengan a < b, maka interval tertutup dari a
ke b ditulis dengan [a, b] dan didefinisikan dengan:
Jika a dan b bilangan real dengan a < b, maka interval terbuka dari a
ke b ditulis dengan (a, b) dan didefinisikan dengan:
Kurung siku menunjukkan bahwa titik ujung termasuk dalam interval,
sedangkan kurung biasa menunjukkan bahwa titik ujung tidak
termasuk dalam interval. Suatu interval dapat diperluas sampai tak
hingga arah positif
, arah negatif
, atau keduanya.
178
Simbol
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
bukan merupakan suatu bilangan, hanya
merupakan perluasan ke arah tak berhingga negatif atau tak berhingga
positif. Interval yang diperluas sampai tak terhingga dinamakan
interval tak hingga. Interval yang titik-titik ujungya berhingga
disebut interval berhingga. Interval berhingga yang memuat satu titik
ujung, tetapi tidak memuat titik ujung yang lain disebut interval
setengah terbuka atau interval setengah tertutup.
2.5.1 PERTIDAKSAMAAN LINIER SATU PEUBAH
Pertidaksamaan linier dengan satu peubah berbentuk
(2.5.1)
Dengan a, b, c, dan d merupakan bilangan real, dan a dan c tidak
keduanya nol. Tanda < dapat digantikan dengan tanda pertidaksamaan
lainnya.
Untuk mendapatkan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut, setiap
peubah dipindahkan pada ruas kanan dan setiap bilangan dipindahkan
keruas kiri, atau sebaliknya. Kemudian dinyatakan dalam garis
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
179
bilangan, sehingga setiap nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
merupakan daerah penyelesaian.
Jika dipunyai pertidaksamaan
dengan a, b, c, dan d
bilangan positif dan a-c≠0, maka penyelesaian dari pertidaksamaan
tersebut dapat dilakukan sebagai berikut:
• Pindahkan cx ke ruas kiri, dan b dipindahkan ke ruas kanan,
didapat
atau
.
• Untuk memperjelas gambaran penyelesaian, nyatakan
dalam garis bilangan. Langkah ini hanya untuk memperjelas
gambaran penyelesaian.
GAMBAR 2.5.1 Daerah penyelesaian dari suatu
pertidaksamaan linear
CONTOH 2.5.2
Dapatkan daerah penyelesaian yang memenuhi 4x – 2 < 2x + 1.
Penyelesaian:
Untuk mendapatkan penyelesaian pindahkan 2x pada ruas kiri dan -2
pada ruas kanan. Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nomor 3,
kedua ruas dikurangi 2x dan dilanjutkan dengan dikurangi -2, didapat:
180
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
4x – 2 < 2x + 1, atau
4x – 2x < 1 + 2
2x < 3
x<
3
2
Nyatakan
dalam garis bilangan.
.
CONTOH 2.5.3
Dapatkan daerah penyelesaian yang memenuhi ketidaksamaan
?
Penyelesaian:
, Kedua ruas dikurangi 2x dan dikurangi 2, didapat:
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
181
Dalam garis bilangan:
CONTOH 2.5.4
Dapatkan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan 2 – 4x > 6 + 3x .
Penyelesaian:
, dipindahkan 3x keruas kiri dan 2 keruas kanan
, atau
, kedua ruas dikalikan dengan
.
.
182
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
2.5.2 PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
Pertidaksamaan kuadrat berbentuk
ax2+bx + c < 0
(2.5.2)
dengan a≠0, b, dan c adalah bilangan real. Tanda < dapat digantikan
dengan tanda pertidaksamaan lainnya.
Untuk mendapatkan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat, dilakukan
dengan cara:
ƒ
Rubahlah pertidaksamaan menjadi bentuk (2.5.2), dan lakukan
pemfaktoran bentuk kuadrat
ƒ
.
Tentukan nilai-nilai x yang mengakibatkan
yaitu
dan
. Gambarkan
,
dan
pada garis
bilangan, diperoleh titik yang membagi garis bilangan menjadi
selang-selang yang merupakan daerah uji untuk setiap nilai x
yang memenuhi pertidaksamaan. Jika kita anggap p < q, maka
selang-selang pada garis bilangan dapat digambarkan seperti
pada Gambar 2.5.2.
GAMBAR 2.5.2 Daerah penyelesaian dari suatu
pertidaksamaan kuadrat
Interval yang terbentuk adalah:
-
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
183
ƒ
Ambil titik uji x pada setiap selang/interval.
Berikan tanda + di setiap interval pada garis bilangan apabila
.
Berikan tanda ─ di setiap interval pada garis bilangan apabila
.
ƒ
Penyelesaian dari pertidaksamaannya adalah interval yang
memuat nilai-nilai x yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.
CONTOH 2.5.5
Dapatkan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan x2 + 5x + 6 < 0.
Penyelesaian:
ƒ
Faktorisasi bentuk kuadrat pada pertidaksamaan.
ƒ
Tentukan nilai-nilai x yang mengakibatkan
,
Untuk
, diperoleh titik
.
Untuk
, diperoleh titik
.
184
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
Terdapat
beberapa selang/interval yang menyatakan daerah
penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan,
yaitu: (-∞,-3), (-3, -2) , dan (-2,∞).
Ambil titik uji pada masing-masing interval, misal x = -4, x = -2,5
dan x = 0. Lakukanlah penghitungan tanda + dan -, akan didapat
hasil seperti gambar di bawah ini.
Karena yang diminta soal adalah nilai-nilai yang lebih kecil nol, daerah
penyelesaiannya adalah daerah yang bertanda ─, yaitu (-3, -2).
Atau, himpunan penyelesaiannya adalah
}
CONTOH 2.5.6
Dapatkan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan
.
Penyelesaian:
ƒ
Faktorisasi bentuk kuadrat pada pertidaksamaan.
ƒ
Tentukan nilai-nilai x yang mengakibatkan
Untuk
Untuk
, diperoleh titik
, diperoleh titik
,
.
.
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
185
Terdapat beberapa selang yang menyatakan daerah penyelesaian
yang memenuhi pertidaksamaan,
yaitu:
,(
, dan
.
Ambil titik uji pada masing-masing interval, misal x = -1, x = 0,
dan x = 3. Lakukanlah penghitungan tanda + dan -, akan didapat
hasil seperti gambar di bawah ini.
Karena yang diminta soal adalah nilai – nilai yang lebih besar atau
sama dengan nol, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang bertanda
─, yaitu
atau
.
Atau, himpunan penyelesaiannya adalah
2.5.3 PERTIDAKSAMAAN PECAH RASIONAL
Bentuk pecah rasional yang akan dibahas disini adalah yang
mempunyai pembilang linear dan penyebut berbentuk linear ataupun
kuadratik.
Pertidaksamaan pecah rasional berbentuk
(2.5.3)
186
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
Atau
(2.5.4)
dengan a≠0, b, c≠0, dan d adalah bilangan real. Tanda < dapat
digantikan dengan tanda pertidaksamaan lainnya.
Untuk mendapatkan penyelesaian pertidaksamaan pecah rasional,
dilakukan dengan cara:
ƒ
Rubahlah pertidaksamaan menjadi bentuk (2.5.3) atau (2.5.4),
Apabila ada bentuk kuadrat, lakukan pemfaktoran pada bentuk
kuadrat
ƒ
.
Tentukan nilai-nilai x yang mengakibatkan pembilang nol dan
penyebut nol. Gambarkan titik-titik pembuat nol ini pada garis
bilangan, diperoleh titik yang membagi garis bilangan menjadi
selang-selang yang merupakan daerah uji untuk setiap nilai x
yang memenuhi pertidaksamaan.
ƒ
Ambil titik uji x pada setiap interval.
Berikan tanda + di setiap interval pada garis bilangan apabila
ruas kiri bernilai positif.
Berikan tanda ─ di setiap interval pada garis bilangan apabila
ruas kiri bernilai negatif.
ƒ
Penyelesaian dari pertidaksamaannya adalah interval yang
memuat nilai-nilai x yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
187
CONTOH 2.5.7
Dapatkan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan
?.
Penyelesaian:
ƒ
Tentukan nilai-nilai x yang mengakibatkan pembilang nol dan
penyebut nol.
Dari pembilang: 2x – 4 = 0 diperoleh x = 2 dan
Dari Penyebut:
Terdapat
x + 1 = 0 diperoleh x = -1.
beberapa interval yang pada garis bilangan, yaitu
,
, dan
. Ambil titik uji pada masing-masing
,
interval antara lain
,
.
Karena yang diminta adalah yang lebih besar nol, maka terlihat pada
gambar di atas bahwa daerah penyelesaian adalah daerah yang bertanda
+ yaitu
dan
.
CONTOH 2.5.8
Dapatkan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan
?.
188
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
Penyelesaian:
ƒ
Pertidaksamaan dibawa kedalam bentuk (2.5.3) atau (2.5.4) sebgai
berikut.
ƒ
Tentukan nilai-nilai x yang mengakibatkan pembilang nol dan
penyebut nol.
Dari pembilang: –x – 6 = 0 diperoleh x = –6 dan
Dari Penyebut:
Terdapat
x + 1 = 0 diperoleh x = –1.
beberapa selang ,
yaitu
,
, dan
.
Ambil titik uji pada masing-masing selang, misal
,
dan didapat hasil tanda seperti pada gambar di bawah ini.
,
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
189
Karena yang diminta soal adalah nilai-nilai yang lebih besar nol, daerah
penyelesaiannya adalah yang bertanda +, yaitu
.
2.5.4 MENERAPKAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
Berikut ini akan diberikan beberapa contoh pemakaian pertidaksamaan
kuadrat untuk menyelesaikan persoalan dalam kehidupan sehari-hari.
Penerapan ini akan disajikan dalam bentuk contoh-contoh.
CONTOH 2.5.9
Pada luar lapangan sepak bola yang berukuran 100 m × 50 m, akan
dibuat jalur lari dengan lebar jalur tetap. Jalur tersebut mengelilingi
lapangan sepak bola. Jika luas jalur tersebut tidak boleh kurang dari
2.500 m2, maka tentukan minimal lebar jalur tersebut.
Penyelesaian:
Misalkan lebar jalur yang harus dibuat adalah x m, lihat Gambar 2.5.3.
190
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
GAMBAR 2.5.3 Jalur lari mengelilingi lapangan
sepak bola
Luas jalur dalam m2 adalah
L = 2(100x) + 2(50x) + 4x2 = 300x + 4x2
Karena luas jalur adalah 2.500 m2, maka :
2.500 ≤ 4x2 + 300x
x2 + 75x - 2.500 ≥ 0
(x+100) (x -25) ≥ 0
ƒ
Tentukan
nilai-nilai
x
yang
mengakibatkan
,
Untuk
Untuk
, diperoleh titik
, diperoleh titik
.
.
Terdapat beberapa selang yang menyatakan daerah penyelesaian
yang memenuhi pertidaksamaan, yaitu: (-∞,-100), (-100, 25), dan
(25, ∞).
Ambil titik uji pada masing-masing interval, misal x = -200, x = 0
dan x = 100. Lakukanlah penghitungan tanda + dan -, akan didapat
hasil seperti gambar di bawah ini.
Karena yang diminta soal adalah nilai-nilai yang lebih besar sama
dengan nol, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang bertanda ++
yaitu (-∞, -100] atau [25, ∞). Atau, himpunan penyelesaiannya adalah
}.
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
191
Karena nilai x > 0, maka diperoleh x ≥ 25 m.
Jadi lebar jalur di sisi lapangan sepak bola tersebut minimal 25 m.
CONTOH 2.5.10
Sebuah perusahaan melakukan penjualan x unit barang per minggu.
Harga p (dalam ribuan) rupiah per unit dinyatakan dalam p=188-2x.
Biaya produksi x unit barang adalah c = 200+4x rupiah (dalam ribuan).
Berapa unit barang yang harus diproduksi dan laku terjual untuk dapat
memperoleh laba paling sedikit 4 juta rupiah per minggu ?.
Penyelesaian:
Banyaknya unit adalah x dan harga per unit adalah (188-2x), diperoleh:
9 Pendapatan =
9 Biaya x unit = 200 + 4x
9 Keuntungan = Pendapatan – Biaya
Dinyatakan bahwa laba paling sedikit 4 juta rupiah per minggu, atau
4000 dalam ribuan. Oleh karena itu, diperoleh
192
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
Mirip dengan langkah sebelumnya, carilah titik-titik pembuat nol dan
lakukan uji di beberapa titik. Akan didapat interval-interval pada garis
real sebagai berikut.
Karena yang diminta soal adalah nilai-nilai yang lebih kecil sama
dengan nol, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang bertanda –
yaitu
.
Jadi banyaknya barang yang diproduksi per minggu paling sedikit 42
dan paling banyak 50.
• RANGKUMAN
•
Pertidaksamaan linier dengan satu peubah berbentuk
Dengan a, b, c, dan d merupakan bilangan real, dan a dan c
tidak keduanya nol.
Tanda < dapat digantikan dengan tanda pertidaksamaan lainnya.
•
Pertidaksamaan kuadrat berbentuk
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
193
ax2+bx + c < 0
dengan a≠0, b, dan c adalah bilangan real. Tanda < dapat
digantikan dengan tanda pertidaksamaan lainnya.
•
Pertidaksamaan pecah rasional berbentuk
atau
dengan a≠0, b, c≠0, dan d adalah bilangan real. Tanda < dapat
digantikan dengan tanda pertidaksamaan lainnya.
.
SSO
OAALL LLAATTIIH
HAAN
N 66--22
•
•
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut.
a. x – 3 > 0
b. -4x > 4
d. 4x + 2 ≤12
e.
g. 3x + 5 < 5x – 7
h. 2 – 4x ≥ 6x -2
f.
2
2
<
x−2 3
i. 6x + 6 < 12 – 24x
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut.
a. 3 ≤ 2x – 7 < 5
c.
•
2
>3
x
c. 8 – 4x < 12
x 1 x 5
+ < +
3 2 4 6
b . 2x + 1 < 3x + 5 < 2x + 6
d. x-1 < 2x + 1 ≤ 3 + x
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut.
194
•
•
Bab 2: Persamaan dan Pertidaksamaan
a.
2x + 4
>0
3x + 2
d.
2− x 2− x
>
x−2 x−2
b.
e.
6
3x
<
2x + 4 2x − 4
4
2
+
≥0
x −1 x + 2
c.
f.
−5
+ 2 x + 1> 0
x−3
2x + 3 5
>
x
6
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut.
a.
2 x 2 − 3x + 2
<0
x 2 − 5x + 6
b.
x2 − 4x + 5
>0
x2 − x − 2
c.
x2 − x − 6
≤0
x2 + 2x + 1
d.
x2 + 2 x2 − x
>
3x
x
e.
x2 −1 x −1
>
2
x2 − 2
f.
( x − 2 )( x − 1)
<0
( x − 3)( x − 4 )
Sebuah perusahaan melakukan penjualan x unit barang per minggu.
Harga p (dalam ribuan) rupiah per unit dinyatakan dalam p=250-x.
Biaya produksi x unit barang adalah c = 200+x rupiah (dalam
ribuan). Berapa unit barang yang harus diproduksi dan laku terjual
untuk dapat memperoleh laba paling sedikit Rp 100.000 per
minggu ?.
•
Sebuah penerbit menjual 5.000 buku, masing-masing dengan harga
Rp 2.500. Jika harga dinaikkan Rp 500, maka penjualan berkurang
300 buku. Berapa harga maksimum yang harus dikenakan agar
penerimaan paling sedikit Rp 15.000.000.
1
Bab
3
MATRIKS
3.
Matriks
Matriks banyak dipakai untuk pengembangan berbagai macam cabang
matematika, seperti penyelesaian persamaan linier, tranformasi linier,
teori graf, dan sebagainya. Dalam penerapannya di bidang grafika
komputer matriks dipakai untuk merepresentasi struktur data dari suatu
graf, menyatakan sebuah gambar (citra), menggerakkan gambar dalam
suatu ruang, dan sebagainya. Namun Pada buku ini hanya mengenalkan
matriks, operasi pada matriks, dan penggunaannya pada penyelesaian
sistem persamaan linear.
3.1 MATRIKS DAN OPERASINYA
Pada bagian ini akan dibahas tentang definisi matriks, operasi yang
berlaku dan beberapa sifat matriks, dalam hal ini elemen dari matriks
dibatasi pada bilangan real saja. Perhatikan definisi dibawah ini.
177
178
Bab 3: Matriks
DEFINISI 3.1.1:
Matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegi atau persegi
panjang.
Bilangan-bilangan
dalam
susunan
itu
dinamakan
anggota/elemen matriks tersebut.
CONTOH 3.1.1
Beberapa contoh matriks:
Ukuran matriks ditunjukan dengan banyaknya baris dan banyaknya
kolom, seperti pada Contoh 3.1.1 secara berurutan, ukuran matriks
pertama adalah 3 x 2, karena matriks terdiri dari tiga baris dan dua
kolom. Begitu juga matriks selanjutnya mempunyai ukuran 3 x 3,
matriks yang ketiga juga dinamakan dengan matriks baris atau vektor
baris karena hanya terdiri dari sebuah baris saja. Matriks yang terakhir
adalah matriks kolom atau vektor kolom, karena hanya terdiri dari
sebuah kolom saja. Keduanya, vektor kolom dan vektor baris biasa
dilambangkan dengan sebuah huruf kecil tebal atau huruf kecil diberi
garis atasnya.
Secara umum notasi untuk sebauh matriks menggunakan huruf besar,
sedangkan anggota dari matriks biasanya menggunakan huruf kecil.
Bab 3: Matriks
179
CONTOH 3.1.2
Matriks A mempunyai ukuran m × n, maka matriks tersebut dapat
ditulis sebagai
atau dapat ditulis
Jika diinginkan untuk menyebut sebuah anggota matriks A pada baris
ke-i dan kolom ke-j, maka penyebutan itu menggunakan notasi (A)ij =
aij. Selanjutanya kita akan melihat operasi apa saja yang dapat
dikenakan pada matriks.
■ Beberapa istilah matriks
Untuk matrik
i.
,
Jika banyaknya baris m = 1, maka matriks A dinamakan matriks
baris.
Beberapa contoh matriks baris adalah
ii.
Jika banyaknya baris n = 1, maka matriks A dinamakan matriks
kolom.
Beberapa contoh matriks baris adalah
180
iii.
Bab 3: Matriks
Jika banyaknya baris m = banyaknya kolom n, maka matriks A
dinamakan matriks bujursangkar (square matriks).
Beberapa contoh matriks bujursangkar adalah
iv.
Jika semua elemen A adalah 0, maka matriks A dinamakan
matriks Nol (0).
Beberapa contoh matriks nol adalah
v.
Jika matriks A adalah bujursangkar dan
maka matriks A dinamakan matriks diagonal.
Beberapa contoh matriks diagonal adalah
vi.
Jika matriks A adalah bujursangkar dan
maka matriks A dinamakan matriks identitas (satuan), biasa
disimbolkan dengan In.
Beberapa contoh matriks identitas adalah
vii.
Jika matriks A adalah bujursangkar dan
Bab 3: Matriks
181
maka matriks A dinamakan matriks segitiga bawah.
Beberapa contoh matriks segitiga bawah adalah
viii.
Jika matriks A adalah bujursangkar dan
maka matriks A dinamakan matriks segitiga atas.
Beberapa contoh matriks segitiga bawah adalah
ix.
Jika matriks A adalah bujursangkar dan
maka matriks A
dinamakan matriks simetri.
Beberapa contoh matriks simetri bawah adalah
DEFINISI 3.1.2:
Dua matriks dikatakan sama jika kedua matriks tersebut mempunyai
ukuran yang sama dan anggota yang berpadanan juga sama.
Jika ada dua matriks A = (aij) dan B = (bij) dikatakan sama, maka
berlaku aij = bij
Perhatikan contoh dibawah ini.
182
Bab 3: Matriks
CONTOH 3.1.3
Pandang beberapa matriks di bawah ini.
Jika matriks A = B, maka nilai x pada A harus sama dengan 2. Matriks
B tidak sama dengan matriks C karena kedua matriks tersebut tidak
mempunyai ukuran yang sama.
DEFINISI 3.1.3:
Jika dua matriks A dan B mempunyai ukuran yang sama, maka kedua
matriks
tersebut
dapat
dijumlahkan
atau
dikurangkan.
Untuk
menambahkan atau mengurangkan kedua matriks tersebut anggota
yang berpadanan dijumlahkan atau dikurangkan.
Matriks yang tidak mempunyai ukuran yang sama tidak dapat
dijumlahkan atau dikurangkan
Dua matriks A = (aij) dan B = (bij) dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
Jika kedua matriks tersebut mempunyai ukuran yang sama, maka:
1. Penjumlahan matriks A dan B
A+B=C
Dengan matriks C berukuran sama dengan matriks A dan B,
elemen cij = aij + bij.
2. Pengurangan matriks A dan B
A-B=C
Dengan matriks C berukuran sama dengan matriks A dan B,
elemen cij = aij ‐ bij .
Bab 3: Matriks
183
CONTOH 3.1.4
Pandang beberapa matriks di bawah ini.
Dapatkan A + B dan A-B.
Penyelesaian:
A+B =
Cobalah lakukan penjumlahan A dengan C, apa bisa dilakukan?.
DEFINISI 3.1.4:
Jika sembarang matriks A dikalikan dengan scalar c, maka cA adalah
sebuah matriks yang ukuranya sama dengan ukuran A dan elemennya
adalah caij.
CONTOH 3.1.5
Pandang beberapa matriks di bawah ini.
184
Bab 3: Matriks
Dapatkan 2A dan
Penyelesaian:
DEFINISI 3.1.5:
Dua matriks A dan B dapat dikalikan, jika matriks A mempunyai ukuran
m × p, dan matriks B harus mempunyai ukuran p × n maka hasil-kali A
dan B adalah sebuah matriks C yang mempunyai ukuran m x n dan
anggota cij berasal dari jumlahan perkalian antara baris ke-i dari matriks
A dengan kolom ke-j dari matriks B, atau
dengan i=1, 2, …, n dan j=1, 2, …, m
Bab 3: Matriks
185
CONTOH 3.1.6
Dapatkan perkalian matriks A dan B jika
Penyelesaian:
C= A x B, matriks C berukuran 2x2 karena ukuran A adalah 2x2 dan
ukuran B adalah 2x2.
Selanjutnya cobalah untuk mengalikan A dengan C.
CONTOH 3.1.7
Dapatkan perkalian matriks A dan B jika
Penyelesaian:
C= A x B, matriks C berukuran 2x4 karena ukuran A adalah 2x3 dan
ukuran B adalah 2x4.
186
Bab 3: Matriks
Selanjutnya kalau kita mencoba mengalikan A dengan C, tidak dapat
dilakukan karena ukurannya tidak memungkinkan untuk dikalikan.
DEFINISI 3.1.6:
Matriks transpose dari matriks A ditulis AT atau A’ yang elemennya
merupakan elemen A dengan mengubah baris i menjadi kolom i atau
mengubah kolom ke i menjadi baris ke i.
CONTOH 3.1.8
Dapatkan transpos dari matriks A dan B jika
Penyelesaian:
•
Tranpose matriks A
.
•
Tranpose matriks B.
Bab 3: Matriks
187
DEFINISI 3.1.7:
Jika A merupakan persegi, maka trace A dinyatakan dengan tr(A),
didefinisikan sebagai jumlah elemen pada diagonal utama matriks A.
CONTOH 3.1.9
Dapatkan trace dari matriks
dan
.
Penyelesaian:
tr(A) = 1 + 4 = 5
tr(B) = 1+4 + 0 = 5
• RANGKUMAN
•
Matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegi atau persegi
panjang.
•
Berbagai macam matriks diantaranya: matriks baris, matriks
kolom, matriks bujur sangkar, matriks nol, matriks identitas,
matriks diagonal, matriks segitiga bawah, matriks segitiga atas,
dan matriks simetri.
•
Pada
matriks
berlaku
operasi
kesamaan,
penjumlahan,
pengurangan, dan perkalian asal memenuhi syarat operasi yang
188
Bab 3: Matriks
telah didefinisikan.
•
Untuk matriks bujur sangkar A, trace A = tr(A) merupakan
jumlahan elemen pada diagonal utama matriks A.
SSO
OAALL LLAATTIIH
HAAN
N 33--11
1. Jika
diberikan
matriks
,
maka
dapatkan:
a. A-B
b. 2A+3B
c. (A+B)T
d. AT+BT
e. (A-B)T
f.
2. Jika
A-AT
diberikan
matriks
, maka:
a. Apakah A+AT simetri?
b. Apakah B+BT
dilakukan?
c. Apakah C+CT dapat
dilakukan?
d. Apakah (B+B)T simetri?
dapat
3. Tentukan jenis matriks berikut ini.
a.
b.
c.
d.
4. Tentukan nilai a, b, c, d pada persamaan matriks berikut ini.
Bab 3: Matriks
189
a.
b.
5. Tentukan nilai a, b, c, d pada persamaan matriks berikut ini.
6. Jika
diberikan
matriks
,
maka
periksalah mana diantara hasil perkalian matriks berikut ini yang
dapat dioperasikan dan dapatkan hasil perkaliannya.
a. AB, BA
b. ATB, BTA
c. A2, B2, C2
d. A(BC), (AB)C
e. (ABC)T
f.
CT BT AT
3.2 INVERS MATRIKS
Pada bagian ini akan dibahas tentang invers dari suatu matriks dan cara
mencari inversnya. Sifat-sifat dasar dari suatu matriks yang mempunyai
invers. Sebelumnya perhatikan definisi invers dibawah ini.
DEFINISI 3.2.1:
Misal A merupakan matriks bujur sangkar dan jika ada matriks bujur
sangkar B yang berukuran sama dengan ukuran A, sedemikian hingga
berlaku AB = BA = I, maka A disebut matriks yang dapat dibalik atau
matriks yang punya invers dan matriks B disebut invers dari matriks
A dan ditulis A-1. Sebaliknya matriks A adalah invers dari matriks B,
ditulis B-1.
190
Bab 3: Matriks
CONTOH 3.2.1
Misal
dan
. Dapat kita lihat bahwa:
•
•
Oleh karena AB=BA=I maka:
• matriks A adalah invers dari matriks B, atau B-1=A
• matriks B adalah invers dari matriks A, atau A-1=B.
Jika suatu matriks mempunyai invers, maka invers dari matriks ini
adalah tunggal (hanya ada satu). Perlu diperhatikan bahwa tidak setiap
matriks bujur sangkar mempunyai invers.
TEOREMA 4.2.1:
Jika matriks A dan B adalah matriks yang mempunyai invers dan
berukuran sama, maka:
1. AB juga mempunyai invers.
2. (AB)-1 = B-1A-1
Bukti:
Dengan mengalikan kedua sisi pada statemen nomor 2 dengan AB,
maka (AB)(B-1A-1) = ABB-1A-1 = AIA-1 = I.
Oleh karena (AB)(B-1A-1) = I, matriks AB mempunyai invers, yaitu
B-1A-1. Secara simultan telah ditunjukan bukti untuk (1) dan (2).
Bab 3: Matriks
191
CONTOH 3.2.2
Misal
dan
. Periksalah bahwa:
•
•
•
•
•
Untuk menambahkan wawasan kedalaman tentang pembahasan
matriks, berikut ini akan ditampilkan beberapa definisi dan teorema
yang tidak dibuktikan.
DEFINISI 3.2.2:
Jika A merupakan matriks bujur sangkar, maka dapat didefinisikan
dengan n > 0.
Jika matriks A mempunyai invers, maka dapat didefinisikan
192
Bab 3: Matriks
TEOREMA 4.2.2:
Jika matriks A merupakan matriks bujur sangkar dan m, n adalah
bilangan bulat, maka
dan
.
TEOREMA 4.2.3:
Jika matriks A mempunyai invers, maka
1.
mempunyai invers dan
2.
mempunyai invers dan
.
, untuk n bilangan bulat
positif.
3. Untuk k scalar yang tak nol, kA mempunyai invers dan
.
CONTOH 3.2.3
Misal
•
•
. Periksalah bahwa:
Bab 3: Matriks
193
•
TEOREMA 4.2.3:
Jika matriks A mempunyai invers, maka AT juga mempunyai invers
dan (
.
CONTOH 3.2.4
Misal
dan dari contoh sebelumnya bahwa
Dapatkan invers dari AT.
Penyelesaian:
Berdasarkan teorema 4.2.3,
(
• RANGKUMAN
•
Untuk matriks A dan B yang mempunyai invers, maka:
9 Invers A disimbulkan dengan
, dan Invers B
194
Bab 3: Matriks
disimbulkan dengan
.
9 AB juga mempunyai invers.
9 (AB)‐1 = B-1A-1
•
Untuk matriks bujur sangkar A, berlaku:
9
9
dengan m, n adalah bilangan bulat.
•
Untuk matriks A yang mempunyai invers, matriks AT juga
mempunyai invers dan (
SSO
OAALL LLAATTIIH
HAAN
N 33--22
1. Periksalah apakah matriks B merupakan invers dari matrik A.
a.
b.
c.
d.
2. Periksalah apakah matriks B merupakan invers dari matrik A.
a.
b.
Bab 3: Matriks
195
3. Carilah nilai x, agar matriks B merupakan invers dari matrik A.
a.
b.
4. Jika
diberikan
matriks
maka:
a.
b.
c.
d.
5. Jika
diberikan
matriks
maka:
a.
b.
c.
d.
6. Agar matriks B merupakan invers dari matrik A, dengan
dan
a. Tentukan x
b.
c.
d.
196
Bab 3: Matriks
3.3 DETERMINAN
Dalam subab ini, akan ditekankan bahasan pada pengertian determinan
sebagai fungsi yang mengaitkan setiap matriks bujur sangkar A dengan
suatu bilangan real yang disebut determinan dari A dan dinotasikan
dengan det(A) atau |A|.
Determinan untuk suatu matriks Anxn ditulis
det(A) = |A| =
merupakan suatu nilai real tertentu yang terdefinisi. Pendefinisian nilai
dari suatu determinan akan dibahas setelah ini. Pengertian baris, kolom,
dan unsur pada matriks berlaku juga untuk determinan, tetapi perlu
diperhatikan bahwa determinan hanya didefinisikan untuk ukuran n x n
(berorder n). Elemen a11, a22, …, ann disebut elemen diagonal utama
dari determinan.
Determinan untuk matriks A1x1=(a11) adalah |a11| = a11.
Pada suatu determinan dari matriks An×n, apabila suatu baris ke-r dan
kolom ke-s dihapus (dihilangkan) dari matriks A. Akan diperoleh
determinan berorder n – 1 yang dinotasikan dengan Mrs dan disebut
minor dari elemen ars. Kofaktor dari unsur ars dinotasikan dengan
Krs, diperoleh dengan mengalikan minor Mrs dengan (-1)r+s, yaitu
Krs = (-1)r+sMrs
(3.3.1)
Bab 3: Matriks
197
DEFINISI 3.3.1:
Jika matriks Anxn adalah matriks bujur sangkar dan Kij merupakan
kofaktor dari elemen aij, maka:
1. Matriks
dinamakan
matriks Kofaktor.
2. Matriks KT dinamakan adjoint dari A, ditulis adj(A)=KT.
CONTOH 3.3.1
Misal
, tuliskan determinan dari A, Minor dan kofaktor
dari setiap elemen A. Juga dapatkan matriks Kofaktor dan adj(A).
Penyelesaian:
•
Determinan dari A = det(A)=
•
Minor dari setiap elemen A:
o M11=|2|=2 Æbaris 1 dan kolom 1 pada
dihapus.
Ingat bahwa |2| determinan tingkat 1, bukan
nilai mutlak.
o M12=|‐1|=‐1
Æbaris 1 dan kolom 2 pada
dihapus.
o M21=|‐5|=‐5
dihapus.
Æbaris 2 dan kolom 1 pada
198
Bab 3: Matriks
o M22=|3|=3
Æbaris 2 dan kolom 2 pada
dihapus.
•
Kofaktor dari setiap elemen A:
o K11=(‐1)1+1M11=2
o K12=(‐1)1+2M12=‐(‐1)=1
o K21=(‐1)2+1M21=‐(‐5)=5
o K22=(‐1)2+2M22=3
•
Matriks Kofaktor dari A.
.
•
Matriks adj dari A.
,
DEFINISI 3.3.2: (NILAI DETERMINAN)
Nilai determinan dari matriks Anxn adalah jumlahan dari hasil kali
elemen – elemen dalam satu baris (kolom) dengan kofaktornya, atau
, untuk suatu kolom j
(3.3.2)
, untuk suatu baris i
(3.3.3)
Atau
Rumusan pada definisi di atas ini dinamakan expansi Laplace.
Bab 3: Matriks
199
Dari definisi di atas terlihat dengan jelas bahwa determinan matriks
merupakan suatu skalar (nilai real) yang diperoleh dari elemen-elemen
matriks dengan operasi tertentu.
■ Determinan Tingkat Dua
Berdasarkan ekspansi Laplace pada persamaan (3.3.3) dengan memilih
i=1, determinan dari matriks
adalah:
Dari sini dapat dikatakan bahwa determinan dari matriks 2x2 adalah
perkalian elemen diagonal utama dikurangi denga perkalian elemen
diagonal kedua.
Jika matriks
, maka det(A) = ad -bc
Untuk lebih jelasnya marilah kita tinjau contoh berikut.
CONTOH 3.3.2
Misal
, dapatkan determinan dari A.
Penyelesaian:
det(A) = ad-bc = 3(2) – (-5)(-1) = 6-5 = 1.
200
Bab 3: Matriks
CONTOH 3.3.3
Misal
, jika |A|=2, maka dapatkan nilai x.
Penyelesaian:
det(A) = ad-bc
2 = 3(2) – (x-5)(-1)
2 = 6 +x-5
atau x = 1.
■ Determinan Tingkat Tiga
Berdasarkan ekspansi Laplace pada persamaan (3.3.3) dengan memilih
i=1, determinan dari matriks
adalah:
+
Bab 3: Matriks
201
Untuk memudahkan pencarian nilai determinan tingkat 3 secara
manual, dari hasil rumusan di atas dapat ditata menjadi:
+
-
+
-
+
-
Det(A)=|A|=
Ini yang dinamakan dengan aturan Sarrus. Untuk lebih jelasnya marilah
kita tinjau contoh berikut.
CONTOH 3.3.4
Contoh 3.3.5 Misal
Penyelesaian:
det(A) =
, dapatkan determinan dari A.
202
Bab 3: Matriks
= 3(2)2 – (-5)1(3) + 0(-1)0 – 0(2)3 + 3(1)0 – (-5)(-1)2
= 12 +15 + 0 – 0 + 0 – 10 = 17
Misal
, jika |A|=10, maka dapatkan nilai x.
Penyelesaian:
det(A) =
10 = 3(2)2 – (-x)1(3) + 0(-1)0 – 0(2)3 + 3(1)0 – (-x)(-1)2
10 = 12 +3x + 0 – 0 + 0 – 2x
atau x =-2.
■ Sifat-sifat Dasar Determinan
Berikut ini diberikan beberapa sifat dasar determinan dalam bentuk
teorema tanpa bukti. Dengan sifat-sifat ini penghitungan nilai
determinan dapat lebih sederhana.
i.
Nilai suatu determinan tidak berubah jika baris‐barisnya
ditulis sebagai kolom‐kolom dan sebaliknya.
ii.
Nilai suatu determinan menjadi kelipatan k nilai determinan
semula jika elemen ‐ elemen sebarang baris atau kolom pada
determinan tersebut dikalikan k.
iii.
Jika unsur‐unsur dari satu baris atau kolom suatu
determinan semuanya nol, maka nilai determinan tersebut
adalah nol.
Bab 3: Matriks
iv.
203
Jika semua unsur dari satu baris (atau kolom) suatu
determinan dapat ditulis sebagai jumlahan dua bilangan, maka
determinan tersebut dapat ditulis sebagai jumlahan dua
determinan.
v.
Jika sebarang dua baris (atau kolom) dari determinan ditukar
letaknya, maka nilainya menjadi ‐1 kali determinan semula.
vi.
Jika unsur‐unsur yang bersesuaian dari dua baris (atau
kolom) dari suatu determinan sebanding, maka nilai
determinan tersebut adalah nol.
vii.
Jika unsur-unsur suatu baris (atau kolom) determinan diganti
dengan menambahkan pada unsur-unsur tersebut k kali unsurunsur yang bersesuaian pada baris (atau kolom) yang lain, maka
nilai determinan tersebut tetap tidak berubah.
viii.
Invers dari matriks non-singular A yang berukuran n x ndapat
dinyatakan
Sifat-sifat di atas, merupakan sifat penting dan sering digunakan
dalam penghitungan nilai suatu determinan dan invers matriks.
Mencari Invers Matriks
Kita akan mencari invers matriks yang berukuran 2×2 dengan
menggunakan determinan dan adjoint.
Jika matriks
i.
dan det(A) tidak nol, maka:
Matriks kofaktor dari A adalah
204
Bab 3: Matriks
ii.
Matriks adjoint dari A adalah
iii.
Matriks invers dari A adalah
.
CONTOH 3.3.6
Misal
, dapatkan invers dari A.
Penyelesaian:
•
Telah diperoleh dari contoh sebelumnya bahwa
.
•
•
adalah
=
• RANGKUMAN
•
Pada suatu determinan, apabila suatu baris ke-r dan kolom ke-s
dihapus dari determinan, akan diperoleh determinan berorder
n – 1 yang dinotasikan dengan Mrs dan disebut minor dari
elemen ars=Mrs.
Krs adalah Kofaktor dari unsur ars, dengan Krs = (-1)r+sMrs
•
Determinan untuk matriks A1x1=(a11) adalah |a11| = a11.
•
Matriks KT dinamakan adjoint dari A, ditulis adj(A)=KT.
Bab 3: Matriks
205
•
Jika matriks
, maka det(A) = ad -bc
•
SSO
OAALL LLAATTIIH
HAAN
N 33--33
1. Dapatkan Minor dari setiap elemen dari matriks berikut ini.
a.
b.
c.
d.
2. Dapatkan Kofaktor dari setiap elemen dari matriks berikut ini.
a.
b.
c.
d.
3. Dapatkan Matriks Kofaktor, adjoint, dan invers dari matriks berikut
ini.
a.
b.
206
Bab 3: Matriks
c.
d.
4. Dapatkan Matriks Kofaktor, adjoint, daninvers dari matriks berikut
ini.
a.
b.
5. Dapatkan nilai determinan, matriks kofaktor, adjoint, dan invers dari
matriks berikut ini.
a.
b.
c.
d.
6. Periksalah apakah matriks B merupakan invers dari matrik A.
c.
d.
e.
f.
7. Carilah nilai x pada persamaan berikut ini.
a.
b.
c.
d.
8. Carilah nilai x pada persamaan berikut ini.
Bab 3: Matriks
207
a.
b.
9. Buktikan bahwa:
10. Tunjukkan bahwa:
11. Buktikan bahwa:
3.4 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR
DENGAN MATRIKS
Pada bab 2, telah mengenalkan tentang sistem persamaan linier, yang
diselesaikan dengan metoda grafis dan substitusi. Sekarang kita coba
selesaikan dengan menggunakan matriks.
Ingat kembali tentang sistem persamaan linier dengan n buah variabel
dan n buah persamaan, seperti berikut ini.
208
Bab 3: Matriks
(3.4.1)
…
Persamaan (3.4.1) dapat dituliskan dalam bentuk perkalian matriks
seperti berikut ini.
(3.4.2)
dengan
Bab 3: Matriks
209
CONTOH 3.4.1
Tuliskan sistem persamaan linier berikut ini dalam bentuk perkalian
matriks.
Penyelesaian:
Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk:
CONTOH 3.4.2
Tuliskan sistem persamaan linier berikut ini dalam bentuk perkalian
matriks.
Penyelesaian:
Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk:
210
Bab 3: Matriks
Coba lakukan pengalian matriks terhadap persamaan di atas ini,
apakah kembali ke bentuk seperti persamaan semula?.
Selanjutnya kita akan membahas penyelesaian sistem persamaan linier
dengan menggunakan matriks dan determinan.
3.4.1 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER
DENGAN INVERS MATRKS
Perhatikan kembali persamaan (3.4.2), jika kedua ruas kita kalikan dari
kiri dengan invers A, didapat
I
(3.4.3)
Jadi persamaan (3.4.3) merupakan penyelesaian sistem persamaan
linier persamaan (3.4.1).
CONTOH 3.4.3
Selesaikan sistem persamaan linier berikut ini dengan menggunakan
invers matriks.
Bab 3: Matriks
211
Penyelesaian:
Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk:
•
,
•
Invers dari A:
•
Penyelesaian untuk X adalah
dan
CONTOH 3.4.4
Selesaikan sistem persamaan linier berikut ini dengan menggunakan
invers matriks.
212
Bab 3: Matriks
Penyelesaian:
Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk:
•
,
•
Invers dari A:
•
Penyelesaian untuk X adalah
,
dan
3.4.2 METODA CRAMER
Untuk
menyelesaikan
persamaan
(3.4.1),
dapat
menggunakan
determinan dari matriksnya. Metoda ini dinamakan metoda Cramer,
Bab 3: Matriks
213
namun bukti dari metoda ini tidak dibahas di sini. Pembaca bisa
mencari pada literatur lain.
Ingat kembali sistem persamaan linier dalam bentuk persamaan matriks
berikut ini.
Jika det(A)≠ 0, maka penyelesaian dari sistem persamaan linier tersebut
adalah:
Dengan D=det(A), dan Dk adalah determinan yang diperoleh dari
mengganti kolom ke-k pada determinan D dengan matriks kolom B.
Untuk lebih jelasnya, kita lihat contoh-contoh berikut ini.
CONTOH 3.4.5
Selesaikan sistem persamaan linier berikut ini dengan menggunakan
metoda Cramer.
Penyelesaian:
Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk:
214
Bab 3: Matriks
•
•
,
Determinan Dk:
Penyelesaian untuk X adalah
dan
CONTOH 3.4.6
Selesaikan sistem persamaan linier berikut ini ddengan menggunakan
metoda Cramer.
Penyelesaian:
Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk:
Bab 3: Matriks
•
215
,
•
Determinan Dk:
•
Penyelesaian untuk X adalah
,
dan
• RANGKUMAN
•
Sistem persamaan linear dapat dituliskan dalam bentuk
perkalian matriks
•
Penyelesaian sistem persamaan linier persamaan
mempunyai penyelesaian
•
.
Jika det(A)≠ 0, maka dengan metode Cramer sistem persamaan
linier mempunyai penyelesaian
216
Bab 3: Matriks
Dengan D=det(A), dan Dk adalah determinan yang diperoleh
dari mengganti kolom ke-k pada D dengan matriks kolom B.
SSO
OAALL LLAATTIIH
HAAN
N 33--44
1. Selesaikan sistem persamaan linier berikut ini dengan menggunakan
invers matriks.
a.
b.
c.
d.
2. Selesaikan sistem persamaan linier berikut ini dengan menggunakan
metode Cramer.
a.
b.
c.
d.
3. Selesaikan sistem persamaan linier berikut ini dengan menggunakan
invers matriks.
a.
b.
Bab 3: Matriks
217
c.
d.
1
4. Selesaikan sistem persamaan linier berikut ini dengan menggunakan
metode Cramer.
a.
b.
c.
d.
1
5. Bandingkan antara penyelesaian sistem persamaan linier dengan
menggunakan invers matriks dan menggunakan metode Cramer.
Gunakan soal nomor 3 dan 4, mana yang lebih cepat?
218
Bab 3: Matriks
Utu
4
PROGRAM LINEAR
4. Program Linear
P
rogram
linear
(linear
programming)
adalah
metode
penyelesaian suatu persoalan dimana terdapat dua aktifitas
atau lebih yang saling berhubungan dengan keterbatasan
sumber. Dengan kata lain program linear adalah suatu cara untuk
menyelesaikan persoalan melalui model matematika yang disusun
berdasarkan
persoalan
dalam
bentuk
sistem
persamaan
atau
pertidaksamaan linear.
Permasalahan yang terkait dengan program linear biasanya berkaitan
dengan menentukan nilai optimum. Nilai optimum dapat berupa nilai
maksimum atau nilai minimum. Pencarian nilai optimum berdasarkan
peubah yang ada (misal peubah x dan y). Struktur perumusan program
linear adalah menentukan nilai optimum dari fungsi objektif (tujuan)
dengan kendala berbentuk sistem pertidaksamaan linear.
219
220
Bab 4: Program Linier
Program linear berkembang cukup pesat, terutama pemanfaatannya
dalam bidang manajemen produksi, pemasaran, distribusi, transportasi,
bidang lainnya yang terkait dengan optimasi.
Setelah siswa belajar program linear, siswa mempunyai pemahaman
dan ketrampilan dalam penerapan sistem pertidaksamaan linear dengan
dua peubah. Juga mempunyai ketrampilan dalam membuat model
matematika program linear dan menyelesaikannya.
Sebagai ilustrasi, seorang pedagang memiliki modal belanja barang
yang terbatas, ingin mendapatkan barang-barang dagangan yang akan
memberikan keuntungan sebanyak-banyaknya. Agar mendapatkan
keuntungan yang maksimal, pedagang tersebut harus memilih barang
apa saja yang akan dibeli dan berapa jumlah rupiah akan dipakai untuk
membayar tiap jenis barang dagangan yang dipilih. Problem demikian
ini dapat diformulasikan dan diselesaikan dengan menggunakan
program linear.
4.1 SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR
Sebelum program linear dipelajari secara mendalam, pada subbab ini
akan dipelajari terlebih dahulu mengenai sistem pertidaksamaan linear
dan menentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
linear tersebut.
4.1.1 PERTIDAKSAMAAN LINEAR DAN DAERAH
PENYELESAIANNYA
Pada ilustrasi sebelumnya,
misalkan pedagang tersebut hanya
membawa uang untuk belanja barang dagangan sebesar 6 juta rupiah.
Bab 4: Program Linier
221
Barang yang akan dibeli adalah buah apel dan buah mangga.
Berdasarkan data penjualan tahun sebelumnya, pedagang menghendaki
untuk membeli banyaknya apel dua kali lipat banyaknya mangga. Misal
peubah x menyatakan uang (dalam jutaan rupiah) yang akan dipakai
membeli apel. Peubah y menyatakan uang (dalam jutaan rupiah) yang
akan dipakai membeli mangga.
Besarnya uang untuk belanja apel ditambah besarnya uang untuk
belanja barang tidak boleh melebihi uang yang dibawa. Secara
matematis, pernyataan tersebut dapat dituliskan menjadi
.
Contoh
pernyataan
matematika
tersebut
dinamakan
dengan
pertidaksamaan linear. Karena pertidaksamaan tersebut terdiri dari dua
peubah ( x dan y ) maka pertidaksamaan tersebut dinamakan dengan
pertidaksamaan linear dengan dua peubah. Bentuk umum dari
pertidaksamaan linear dengan dua peubah didefinisikan berikut ini.
DEFINISI 4.1.1 :
Pertidaksamaan
linear
dengan
dua
peubah
merupakan
pertidaksamaan yang memuat dua peubah dan mempunyai bentuk
(4.1.1)
dengan a, b, dan c adalah konstanta real. Nilai a dan b tidak boleh
keduanya nol. Tanda < dapat digantikan dengan >, ≤, atau ≥.
222
Bab 4: Program Linier
Beberapa contoh bentuk pertidaksamaan linear.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Pandang pertidaksamaan
(4.1.2)
Mari kita melakukan pengamatan sebagai berikut.
•
Jika x=1 dan y=3 disubstitusikan ke pertidaksamaan (4.1.2),
maka diperoleh pernyataan
atau
Pernyataan tersebut bernilai benar, yaitu bahwa “5 ≤ 6” adalah
benar.
•
Jika x=7 dan y=1 disubstitusikan ke pertidaksamaan (4.1.2),
maka diperoleh pernyataan
atau
Pernyataan tersebut bernilai salah.
•
Jika x=3 dan y=0 disubstitusikan ke pertidaksamaan (4.1.2),
maka diperoleh pernyataan
Bab 4: Program Linier
223
atau
Pernyataan tersebut bernilai benar.
•
Jika x=3 dan y=2 disubstitusikan ke pertidaksamaan (4.1.2),
maka diperoleh pernyataan
atau
Pernyataan tersebut bernilai salah.
Dari pengamatan tersebut tampak bahwa ada beberapa pasang nilai x
dan y yang menjadikan pertidaksamaan bernilai benar. Ada beberapa
pasang nilai x dan y yang menjadikan pertidaksamaan bernilai salah.
Pasangan nilai x dan y yang menjadikan pertidaksamaan (4.1.2) bernilai
benar dinamakan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut. Jika
pasangan yang demikian dihimpun, akan membentuk suatu himpunan
penyelesaian dari pertidaksamaan yang dimaksud.
Himpunan penyelesaian dari
adalah
Himpunan penyelesaian tersebut berupa suatu daerah pada bidang
koordinat kartesian.
ƒ
Menggambarkan daerah penyelesaian dari
224
Bab 4: Program Linier
pada bidang
Daerah penyelesaian pertidaksamaan
koordinat kartesian dapat dicari dengan langkah-langkah:
i.
Pertidaksamaan
.
garis
ii.
dirubah menjadi sebuah persamaan
Gambarkan garis lurus
•
pada bidang kartesian.
menjadi
Jika a=0 maka persamaan
atau
.
Gambar dari persamaan
berupa garis mendatar sejajar
sumbu x dan berjarak nilai mutlak dari .
Dengan adanya garis ini, daerah bidang kartesian terbagi
menjadi tiga bagian daerah, yaitu:
9 Daerah yang terdiri dari titik-titik yang memenuhi
,
daerah pada garis.
9 Daerah yang terdiri dari titik-titik yang memenuhi
,
daerah di atas garis.
9 Daerah yang terdiri dari titik-titik yang memenuhi
,
daerah di bawah garis.
Seperti tampak pada Gambar 4.1.1, daerah bidang kartesian
terbagai menjadi: daerah pada garis, daerah di atas garis, dan
daerah di bawah garis.
Bab 4: Program Linier
225
Gambar 4.1.1
•
menjadi
Jika b=0 maka persamaan
atau
.
Gambar dari persamaan
berupa garis tegak sejajar sumbu
y dan berjarak nilai mutlak dari .
Dengan adanya garis ini, daerah bidang kartesian terbagi
menjadi tiga bagian daerah, yaitu:
9 Daerah yang terdiri dari titik-titik yang memenuhi
,
daerah pada garis.
9 Daerah yang terdiri dari titik-titik yang memenuhi
,
daerah di sebelah kanan garis.
9 Daerah yang terdiri dari titik-titik yang memenuhi
,
daerah di sebelah kiri garis.
Seperti tampak pada Gambar 4.1.2, daerah bidang kartesian
terbagai menjadi: daerah pada garis, daerah di sebelah kanan
garis, dan daerah di sebelah kiri garis.
226
Bab 4: Program Linier
Gambar 4.1.2
•
Jika a dan b keduanya tidak nol maka gambar dari
persamaan
berupa garis miring.
Untuk menggambar
, dapat dilakukan dengan
cara:
-
Mencari titik potong dengan sumbu x:
Titik potong garis dengan sumbu x terjadi bila nilai y=0.
Diperoleh
atau
. Jadi titik potong garis dengan
sumbu x adalah
-
Mencari titik potong dengan sumbu y:
Titik potong garis dengan sumbu y terjadi bila nilai x=0.
Diperoleh
atau
. Jadi titik potong garis dengan
sumbu y adalah
-
Buat garis lurus yang melalui titik
dan
Dengan adanya garis ini, daerah bidang kartesian terbagi
menjadi tiga bagian daerah, yaitu:
Bab 4: Program Linier
227
9 Daerah yang terdiri dari titik-titik yang memenuhi
, daerah pada garis.
9 Daerah yang terdiri dari titik-titik yang memenuhi
.
9 Daerah yang terdiri dari titik-titik yang memenuhi
.
Seperti tampak pada Gambar 4.1.3, yaitu daerah pada garis, di
atas garis, dan daerah di bawah garis.
Gambar 4.1.3 Daerah penyelesaian pertidaksamaan
iii.
Ambil titik uji yang berasal dari salah satu daerah yang dipisahkan
garis dan substitusikan ke pertidaksamaan, apakah memenuhi
pertidaksamaan tersebut atau tidak.
iv.
Menentukan daerah penyelesaian.
9 Jika pada langkah (iii) hasilnya memenuhi maka daerah yang
memuat titik uji tersebut adalah daerah penyelesaian.
9 Jika pada langkah (iii) hasilnya tidak memenuhi maka daerah
yang memuat titik uji tersebut bukan daerah penyelesaian.
228
Bab 4: Program Linier
CONTOH 4.1.1
Gambarkan daerah penyelesaian dari
.
Penyelesaian:
Kita ikuti langkah-langkah seperti di atas.
i.
ii.
Pertidaksamaan dirubah menjadi
Gambarkan garis lurus
.
pada bidang kartesian,
seperti berikut ini.
-
Titik potong dengan sumbu x terjadi apabila y=0.
Diperoleh nilai
-
.
Titik potong dengan sumbu y terjadi apabila x=0.
Diperoleh nilai
Tarik garis lurus yang melalui titik
iii.
dan
.
Ambil titik uji yang berasal dari salah satu daerah yang
dipisahkan garis, Misal kita ambil titik (0,0).
Substitusikan ke pertidaksamaan, diperoleh
Bab 4: Program Linier
iv.
229
Menentukan daerah penyelesaian.
Hasil langkah (iii) merupakan pernyataan yang benar /
memenuhi pertidaksamaan.
Oleh karena itu, daerah di bawah garis biru yang memuat (0,0)
merupakan daerah penyelesaiannya. Daerah penyelesaian
seperti tampak pada gambar berikut ini adalah daerah yang
diarsir.
Pada subbab selanjutnya membahas tentang sistem pertidaksamaan
linear dan penyelesaianya.
4.1.2 SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DAN DAERAH
PENYELESAIANNYA
Kumpulan dari pertidaksamaan linear yang terdiri dari dua atau lebih
pertidaksamaan linear akan membentuk suatu sistem pertidaksamaan
linear. Pada buku ini dibatasi pada pertidaksamaan linear dengan dua
peubah.
230
Bab 4: Program Linier
DEFINISI 4.1.2 :
Sistem pertidaksamaan linear dengan dua peubah merupakan dua
atau lebih pertidaksamaan linear dengan dua peubah dan mempunyai
bentuk
(4.1.3)
dengan ai, bi, dan ci adalah konstanta real, i=1, 2, ..., m. Nilai ai dan bi
tidak boleh keduanya nol. Tanda < dapat digantikan dengan >, ≤, atau
≥.
Sistem pertidaksamaan linear dapat digambarkan dalam bidang
Kartesian. Daerah pada bidang Kartesian yang memenuhi sistem
pertidaksamaan linear merupakan himpunan penyelesaian dari sistem
pertidaksamaan linear.
Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear 4.1.3 adalah
Himpunan penyelesaian tersebut berupa suatu daerah pada bidang
koordinat kartesian. Untuk mendapatkan himpunan penyelesaian dari
Bab 4: Program Linier
231
pertidaksamaan berbentuk 4.1.3 digunakan langkah-langkah sebagai
berikut.
i.
Ubahlah
setiap
persamaan
ii.
menjadi
pertidaksamaan
.
Setiap persamaan garis
digambar pada bidang
Kartesian. Cara penggambaran garis seperti sebelumnya.
Garis – garis ini membentuk daerah – daerah yang dibatasi oleh
garis – garis pada bidang kartesian.
Daerah – daerah ini
merupakan calon himpunan penyelesaian.
iii.
Ambil titik uji yang berasal dari salah satu daerah yang
dipisahkan garis dan substitusikan ke setiap pertidaksamaan
4.2.1, apakah memenuhi semua pertidaksamaan tersebut atau
tidak.
iv.
Menentukan daerah penyelesaian.
9 Jika pada langkah (iii) hasilnya memenuhi maka daerah
yang
memuat
titik
uji
tersebut
adalah
daerah
penyelesaian.
9 Jika pada langkah (iii) hasilnya tidak memenuhi maka
daerah yang memuat titik uji tersebut bukan daerah
penyelesaian.
Arsirlah daerah penyelesaian dan daerah yang tidak terarsir
bukan merupakan daerah penyelesaian.
232
Bab 4: Program Linier
Untuk mempermudah pengertian dan pemahaman, perhatian contohcontoh berikut.
CONTOH 4.1.2
Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
,
,
.
Penyelesaian:
dan
Pada contoh ini, sengaja dipilih pertidaksamaan
.
Mengingat banyak kasus nyata yang mempunyai penyelesaian bukan
bilangan nengatif. Misalnya hasil produksi suatu pabrik/perusahaan,
jumlah tenaga kerja yang dipakai dan lain sebagainya.
i.
Ubahlah setiap pertidaksamaan
. Sehingga diperoleh:
,
,
.
menjadi persamaan
Bab 4: Program Linier
ii.
Masing-masing persamaan
233
,
, dan
digambar pada bidang Kartesian. Diperoleh gambar berikut ini.
iii.
Ambil titik uji yang berasal dari salah satu daerah yang dipisahkan
garis dan substitusikan ke setiap pertidaksamaan 4.2.1.
Misal kita ambil titik (1,1), diperoleh hasil substitusi sebagai
berikut.
9 2(1)+1 ≤ 6, memenuhi (bernilai benar)
9 1 ≥ 0, memenuhi (bernilai benar)
9 1 ≥ 0, memenuhi (bernilai benar)
iv.
Menentukan daerah penyelesaian.
Pengambilan titik pada (iii) memenuhi semua pertidaksamaan yang
ada. Oleh karena itu, daerah (terkecil) yang memuat titik tersebut
merupakan daerah penyelesaian. Seperti digambarkan pada daerah
arsiran pada gambar di bawah ini.
234
Bab 4: Program Linier
Contoh 4.1.3
Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
,
,
,
.
Penyelesaian:
i.
Ubahlah setiap pertidaksamaan yang ada menjadi:
,
,
Bab 4: Program Linier
235
,
.
ii.
Masing‐masing persamaan
,
,
, dan
digambar pada bidang Kartesian. Diperoleh gambar
berikut ini.
iii.
Ambil titik uji yang berasal dari salah satu daerah yang
dipisahkan garis dan substitusikan ke setiap pertidaksamaan
4.2.1.
Misal kita ambil titik (1,2), diperoleh hasil substitusi sebagai
berikut.
9 1‐2 ≤ 1, memenuhi (bernilai benar)
9 2(1)+1 ≤ 6, memenuhi.
9 1 ≥ 0, memenuhi.
9 1 ≥ 1, memenuhi.
iv.
Menentukan daerah penyelesaian.
236
Bab 4: Program Linier
Pengambilan titik pada (iii) memenuhi semua pertidaksamaan
yang ada. Oleh karena itu, daerah (terkecil) yang memuat titik
tersebut merupakan daerah penyelesaian. Seperti digambarkan
pada daerah arsiran pada gambar di bawah ini.
•
•
RANGKUMAN
Pertidaksamaan linear dengan dua peubah merupakan
pertidaksamaan yang memuat dua peubah yang berbentuk
dengan a, b, dan c adalah konstanta real. Nilai a
dan b tidak boleh keduanya nol. Tanda < dapat digantikan
dengan >, ≤, atau ≥.
•
Himpunan
penyelesaian
dari
adalah
.
•
Sistem
pertidaksamaan
linear
dengan
dua
peubah
merupakan dua atau lebih pertidaksamaan linear dengan dua
peubah.
Bab 4: Program Linier
•
237
Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear
adalah himpunan dari pasangan koordinat (x,y) yang memenuhi
semua pertidaksamaan dalam sistem pertidaksamaan linear.
SSO
OAALL LLAATTIIH
HAAN
N 44--11
1. Gambarlah daerah penyelesaian dari pertidaksamaan dibawah ini :
a. x ≤ 9
d. 4x ≤ 8
b. y ≥ 3
e. y ≥ x + 1
c. 2 ≤ y ≤ 8
f. 1 ≤ x ≤ 8
2. Gambarlah daerah penyelesaian dari pertidaksamaan dibawah ini :
a.
3x + 2y ≥ 6
b.
4x – 5y ≥ 10
c.
2x + 3y ≤ 12
d.
6x + 7,5y ≥ 15
e.
7x – 3y ≤ 21
3. Gambarlah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
dibawah ini :
a. x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 5y ≤ 10, 2x + 2y ≤ 14
b. x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 5y ≤ 10, 2x + 2y ≥ 14
c. x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 3, 3x + 2y ≤ 6
238
Bab 4: Program Linier
d. x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≤ 9, 2x + y ≥ 7
e. x ≥ 0, y ≥ 0, 3x + y ≤ 9, x + y ≥ 5
4. Misalkan daerah yang tidak diarsir adalah daerah penyelesaian dari
suatu sistem pertidaksamaan. Tentukan sistem pertidaksamaan
tersebut yang digambarkan dalam gambar berikut ini :
a.
b.
Bab 4: Program Linier
239
c.
5. Gambarlah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
dibawah ini :
d. x + y ≥ 1, x + y ≤ 3, 3x - 2y ≤ 6 , 3x - 2y ≥ -3
e. x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 9, x ≤ 6
6. Gambarlah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
dibawah ini :
a. x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≥ 4, x - 4y ≥ 4, dan 3x + 4y ≤ 12
b. x ≥ 0, y ≥ 1, x - 4y ≥ 4, y + 4x ≤ 4 dan 3x + 4y ≤ 12
c. x ≥ 1, y ≥ 0, x + 2y ≥ 5, x + y ≤ 4, dan 3x + 4y ≤ 12
240
Bab 4: Program Linier
4.2 MODEL MATEMATIKA DARI PROGRAM LINEAR
Banyak permasalahan dalam bidang ekonomi, bisnis, atau pertanian
dapat diselesaikan dengan menggunakan program linear. Namun
sebelum diselesaikan dengan program linear, permasalahan tersebut
harus diformulasikan dalam bentuk model matematika terlebih dahulu,
baik dalam bentuk persamaan ataupun pertidaksamaan linear.
Model matematika adalah pernyataan suatu persoalan dalam bentuk
bahasa
matematika
dengan
menggunakan
persamaan
atau
pertidaksamaan matematika. Model matematika yang dibahas disini
adalah model matematika program linear. Permasalahan program linear
biasanya berupa mencari nilai optimal (maksimal atau minimal) dari
suatu fungsi objektif (tujuan) dengan kendala sistem pertidaksamaan
linear.
ƒ
Pembentukan Model Matematika dari Program Linear
Seperti diterangkan diatas, agar suatu permasalahan dapat diselesaikan
dengan program linear, haruslah terlebih dahulu permasalahan tersebut
diubah dalam bentuk model matematika. Dari permasalahan berupa
kalimat verbal, akan diubah kedalam bentuk persamaan atau
pertidaksamaan metematika.
Bab 4: Program Linier
241
Bentuk umum dari model matematika program linear dengan dua
peubah adalah:
Optimalkan
dengan a, b adalah konstanta, dan dengan kendala suatu sistem
pertidaksamaan linear sebagai berikut.
dengan ai, bi, dan ci adalah konstanta real, i=1, 2, ..., m. Nilai ai dan bi
tidak boleh keduanya nol. Tanda < dapat digantikan dengan >, ≤, atau
≥.
Untuk membentuk model matematika program linear perhatikan hal
berikut ini:
1. Tentukan peubah x dan y yang berkaitan dengan permasalahan.
2. Dari peubah yang ada, susunlah keterkaitan dari peubah
menjadi sebuah fungsi onbjektif dan sistem pertidaksamaan.
Agar lebih memahami pembentukan model matematika, perhatikan
baik-baik contoh-contoh permasalahan nyata berikut ini :
CONTOH 4.2.1
242
Bab 4: Program Linier
Pada suatu pabrik, untuk memproduksi botol plastik 500 cc diperlukan
proses di mesin A selama 3 jam dan mesin B selama 2 jam. Untuk
memproduksi botol kaca 500 cc diperlukan proses di mesin A selama 1
jam dan mesin B selama 4 jam. Dalam setiap harinya mesin A bekerja
paling lama 18 jam dan mesin B paling lama 20 jam. Jika perusahaan
tersebut setiap harinya memproduksi x botol plastik dan y botol kaca.
Tentukan model matematika dalam x dan y yang menggambarkan
permasalahan produksi tersebut.
Penyelesaian:
Dalam setiap hari, mesin A beroduksi selama 3x jam untuk botol
plastik. Dan berproduksi selema y jam untuk botol gelas. Karena ada
batasan bahwa mesin A bekerja tidak lebih dari 18 jam dalam setiap
hari, maka diperoleh pertidaksamnaan 3x + y ≤ 18.
Dalam setiap hari, mesin B beroduksi selama 2x jam untuk botol
plastik. Dan berproduksi selema 4y jam untuk botol gelas. Karena ada
batasan bahwa mesin A bekerja tidak lebih dari 20 jam dalam setiap
hari, maka diperoleh pertidaksamnaan 2x + 4y ≤ 20 atau x + 2y ≤ 10.
Dinyatakan bahwa setiap hari memproduksi x buah botol plasik dan y
buah botol gelas. Sehingga diperoleh pertidaksamaan x ≥ 0 dan y ≥ 0.
Jadi kondisi produksi perusahaan ini dapat dimodelkan dalam bentuk
sistem pertidaksamaan linear sebagai berikut.
3x + y ≤ 18,
x + 2y ≤ 10,
x ≥ 0,
y ≥ 0.
CONTOH 4.2.2
Bab 4: Program Linier
243
Suatu industri rumahan memproduksi dua jenis pakaian yang bahannya
adalah kain katun dan kain sutera. Model pakaian I memerlukan 1 m
kain katun dan 3 m kain sutera. Model pakaian II memerlukan 2 m kain
katun dan 2 m kain sutera. Kain yang dipunyai adalah 80 m kain katun
dan 120 m kain sutera. Bahan – bahan lain sudah tersedia cukup. Jika
harga jual pakaian I adalah Rp 90.000 dan pakaian jenis II adalah Rp
75.000, maka tentukan banyaknya pakai jenis I dan jenis II yang harus
diproduksi agar pendapatannya maksimum.
Penyelesaian:
•
Menentukan peubah – peubah yang berkaitan:
Misal: x menyatakan banyaknya pakaian jenis I yang dibuat.
y menyatakan banyaknya pakaian jenis II yang dibuat.
•
Keterkaitan antar peubah.
9 Ada 80 meter kain katun,
Dipakai untuk satu pakain jenis I sebanyak 1 m. Sehingga
untuk x buah pakaian jenis I membutuhkan kain katun
sebanyak x m.
Dipakai untuk satu pakain jenis II sebanyak 2 m. Sehingga
untuk y buah pakaian jenis II membutuhkan kain katun
sebanyak 2y m.
Diperoleh hubungan x + 2y ≤ 80.
9 Ada 120 meter kain sutera,
Dipakai untuk satu pakain jenis I sebanyak 3 m. Sehingga
untuk x buah pakaian jenis I membutuhkan kain sutera
sebanyak 3x m.
244
Bab 4: Program Linier
Dipakai untuk satu pakain jenis II sebanyak 2 m. Sehingga
untuk y buah pakaian jenis II membutuhkan kain katun
sebanyak 2y m.
Diperoleh hubungan 3x + 2y ≤ 120.
9 Satu pakaian jenis I mempunyai harga jual Rp 90.000. Jika
diproduksi x buah dengan x ≥ 0, maka pendapatan dari
pakaian jenis I adalah Rp 90.000 x. Sedangkan satu
pakaian jenis II mempunyai harga jual Rp 75.000. Jika
diproduksi y buah dengan y ≥ 0, maka pendapatan dari
pakaian jenis II adalah Rp 75.000 y. Sehingga total
pendapatan yang diinginkan adalah
Maks 90.000 x + 75.000 y
Jadi tersusun model matematika sebagai berikut.
Maks 90.000 x + 75.000 y
Dengan kendala:
x + 2y ≤ 80,
3x + 2y ≤ 120,
x ≥ 0,
y ≥ 0.
CONTOH 4.2.3
PT. Sabun Bersih bermaksud membuat 2 jenis sabun unuk mencuci
pakaian dan peralatan dapur yaitu sabun batangan dan sabun colek.
Untuk itu dibutuhkan 2 macam zat kimia yaitu A dan B dengan jumlah
persediaan A = 200 kg dan B = 260 kg.
Untuk membuat 1 kg sabun batangan diperlukan 2 kg bahan A dan 6 kg
bahan B. Untuk membuat 1 kg sabun colek dibutuhkan 5 kg bahan A
dan 3 kg bahan B. Jika keuntungan yang akan diperoleh untuk setiap
Bab 4: Program Linier
245
membuat 1 kg sabun batangan adalah Rp 200 dan untuk setiap
membuat 1 kg sabun colek adalah Rp 300. Berapa kg jumlah sabun
batangan dan sabun colek yang sebaiknya dibuat agar keuntungan yang
akan diperoleh adalah maksimal.
Penyelesaian:
Langkah – langkah sesuai dengan sebelumnya, dan :
Misalkan jumlah sabun batangan yang akan dibuat adalah x dan jumlah
sabun colek yang akan dibuat adalah y. Keuntungan yang akan
diperoleh adalah berupa fungsi 200 x + 300 y
yang selanjutnya
disebut fungsi obyektif z.
Untuk membuat sejumlah x sabun batangan dibutuhkan sejumlah 2x
bahan A dan 6x bahan B. Untuk membuat sejumlah y sabun colek
dibutuhkan 5y bahan A dan 3y bahan B.
Karena jumlah persediaan bahan A dan B yang terbatas yaitu 200 kg
bahan A dan 260 kg bahan B, maka jumlah bahan A dan B merupakan
jumlahan dari bahan yang dipakai untuk x dan y, secara tabel
dinyatakan sebagai berikut.
Tabel 1
Bahan
A
B
Sabun Batangan
2 kg
6 kg
Sabun Colek
5 kg
3 kg
Persediaan Bahan
200 kg
260 kg
Adapun model matematika dari permasalahan di atas adalah sebagai
berikut.
Karena x dan y menyatakan banyaknya sabun batangan dan sabun
colek, maka harus berlaku x, y ∈ R dan x ≥ 0, y ≥ 0.
246
Bab 4: Program Linier
2x + 5y ≤ 200
6x + 3y ≤ 260
Sedangkan keuntungan yang diinginkan adalah maksimal, diperoleh
Maks z= 200 x + 300 y
Model matematika untuk permasalahan di atas, secara lengkap
dituliskan sebagai berikut.
Maks z= 200 x + 300 y
Dengan kendala sistem persamaan linear:
2x + 5y ≤ 200
6x + 3y ≤ 260
x ≥ 0,
y ≥ 0.
CONTOH 4.2.4
Seorang petani ikan memberikan dua jenis produk makanan suplemen
untuk kolam ikannya. Produk makanan suplemen kemasan satu botol
mengandung 5 gram zat A dan 2 gram zat B. Sedangkan produk
makanan suplemen kemasan satu kontong plastik mengandung 3 gram
zat dan 4 gram zat B. Pada setiap musim tebar ikan, petani tersebut
membutuhkan paling sedikit 30 gram zat A dan 24 gram zat B untuk
kesuksesan ikannya. Jika harga makanan suplemen satu kemasan botol
adalah Rp 50.000 dan untuk kemasan kantong plastik adalah Rp
40.000, maka tentukan banyaknya makanan suplemen kemasan botol
dan kemasan kantong plastik yang harus dibeli agar biaya pemeliharaan
ikannya minimal.
Penyelesaian:
Bab 4: Program Linier
•
247
Menentukan peubah – peubah yang berkaitan:
Misal: x menyatakan banyaknya makanan suplemen kemasan botol
yang dibeli.
y menyatakan banyaknya makanan suplemen kemasan
kantong plastik yang dibeli.
•
Keterkaitan antar peubah.
9 Ada paling sedikit 30 gram kebutuhan zat A,
Dari produk satu kemasan botol sebanyak 5 gram. Sehingga
pembelian x buah produk kemasan botol diperoleh zat A
sebanyak 5x gram.
Dari produk satu kemasan kantong palstik sebanyak 3 gram.
Sehingga pembelian y buah produk kemasan kantong plastik
diperoleh zat A sebanyak 3y gram.
Diperoleh hubungan 5x + 3y ≥ 30.
9 Ada paling sedikit 24 gram kebutuhan zat B,
Dari produk satu kemasan botol sebanyak 2 gram. Sehingga
pembelian x buah produk kemasan botol diperoleh zat B
sebanyak 2x gram.
Dari produk satu kemasan kantong palstik sebanyak 4 gram.
Sehingga pembelian y buah produk kemasan kantong plastik
diperoleh zat B sebanyak 4y gram.
Diperoleh hubungan 2x + 4y ≥ 30.
9 Satu produk makanan suplemen kemasan botol mempunyai
harga Rp 50.000. Jika dibeli x buah dengan x ≥ 0, maka
pengeluaran dari membeli produk kemasan botol adalah Rp
50.000 x. Sedangkan satu produk makanan suplemen kemasan
248
Bab 4: Program Linier
kantong plastik mempunyai harga Rp 75.000. Jika dibeli y
buah dengan y ≥ 0, maka pengeluaran dari membeli produk
kemasan kantong plastik adalah Rp 40.000 y. Sehingga
minimal total pengeluaran adalah
Min 50.000 x + 40.000 y
Jadi tersusun model matematika sebagai berikut.
Min 50.000 x + 40.000 y
Dengan kendala:
5x + 3y ≥ 30,
2x + 4y ≥ 24,
x ≥ 0,
y ≥ 0.
Setelah kita membentuk model matematika dari suatu permasalahan,
kebutuhan selanjutnya adalah menyelesaikan model matematika
tersebut.
Penyelesaian
model
matematika
merepresentasikan
penyelesaian dari permasalahan yang dimodelkan. Oleh karena itu,
selanjutnya kita akan membahas bagaimana menentukan nilai maksimal
atau minimal. Dengan kata lain bagaimana menentukan nilai optimum.
•
•
RANGKUMAN
Bentuk umum dari model matematika program linear dengan
dua peubah adalah:
Optimalkan
dengan a, b adalah konstanta, dan dengan kendala suatu sistem
Bab 4: Program Linier
249
pertidaksamaan linear dengan dua peubah.
•
Membentuk model matematika program linear dengan cara:
1. Tentukan peubah x dan y yang berkaitan dengan
permasalahan.
2. Dari peubah yang ada, susunlah keterkaitan dari peubah
menjadi sebuah fungsi onbjektif dan sistem pertidaksamaan.
SSO
OAALL LLAATTIIH
HAAN
N 44--22
Soal nomor 1 sampai dengan 10, tentukan model matematikanya.
1.
Dua orang sekretaris dan bendahara perusahaan pergi ke
pertokoan. Sekretaris membeli 3 pulpen dan 2 pensil seharga Rp
40.000. Si bendahara membeli 1 pulpen dan 5 pensil dengan
membayar Rp 30.000.
2.
Untuk membuat kue A diperlukan 1 kg mentega dan 2 kg terigu.
Sedangkan untuk membuat kue B diperlukan 2 kg mentega dan 5
kg terigu. Mentega yang tersedia 4 kg dan terigu 8 kg.
3.
Pada suatu pabrik, untuk memproduksi tepung terigu kemasan 1
kg diperlukan proses di mesin A selama 2 jam dan mesin B selama
1 jam. Untuk memproduksi tepung maisena kemasan 1 kg
250
Bab 4: Program Linier
diperlukan proses di mesin A selama 2 jam dan mesin B selama 3
jam. Dalam setiap harinya mesin A bekerja paling lama 20 jam
dan mesin B paling lama 20 jam. Jika perusahaan tersebut setiap
harinya memproduksi x tepung terigu kemasan 1 kg dan y tepung
maisena kemasan 1 kg, maka tentukan banyaknya produksi
masing-masing produkagar diperoleh pendapatan maksimal.
4.
Pedagang sepatu mempunyai toko yang hanya memuat 500
pasang. Sepatu yang dijual adalah sepatu untuk pria dan wanita.
Sepatu pris tidak bisa lebih dari 300 pasang. Harga pembelian
sepatu pria adalah Rp 100.000, sedangkan sepatu wanita Rp
50.000. Modal yang dimiliki adalah Rp 8.000.000. Jika ia menjual
sepatu pria seharga Rp 125.000 dan sepatu wanita Rp 100.000,
maka berapakah keuntungan maksimal yang dia peroleh apabila
semua sepatu terjual.
5.
Sebuah Pesawat mempunyai 48 tempat duduk. Penumpang kelas A
dengan bagasi tidak lebih dari 20 kg membayar Rp 600.000,
sedang kelas B dengan bagasi tidak lebih dari 50 kg membayar Rp
750.000. Jika kapasitas bagasi adalah 1.500 kg, tentukan
banyaknya penumpang masing-masing kelas agar diperoleh
pendapatan yang sebesar-besarnya.
6.
Suatu pabrik membuat dua jenis produk A dan B. Buatlah sistem
pertidaksamaannya jika setiap produk dikerjakan oleh mesin Press
dan mesin Tumbuk. Produk A membutuhkan 2 jam/butir
dikerjakan oleh mesin Press dan 2 jam/butir oleh mesin Tumbuk.
Bab 4: Program Linier
251
Produk B membutuhkan 3 jam/butir dikerjakan oleh mesin Press
dan 1 jam/butir dikerjakan oleh mesin Tumbuk. Sedangkan mesin
Pres bekerja 18 jam/hari dan mesin tumbuk hanya 10 jam/hari.
7.
Seorang penjahit mempunyai 80 m2 kain katun dan 120 m2 kain
wol. Untuk membuat satu jas pria memerlukan 1 m2 katun dan 3
m2 wol, sedangkan jas wanita memerlukan masing-masing 2 m2.
Jika harga jual masing-masing jas adalah Rp 300.000 , tentukan
model program linear untuk memaksimalkan uang hasil penjualan
yang diperoleh ?
8.
Seorang pedagang sepatu menjual dua jenis sepatu A dan B.
Sepatu A dibeli dengan harga Rp 250.000 dan mendapatkan
keuntungan sebesar Rp 50.000 . Sepatu B dibeli dengan harga
Rp 300.000 dan mendapatkan keuntungan sebesar Rp 100 ribu.
Jika pedagang ini mempunyai uang Rp 10 juta dan jumlah sepatu
yang dapat dibawa 30 pasang, tentukan model program linear dari
permasalahan ini agar pedagang memperoleh keuntungan sebesar
mungkin.
9.
Suatu perusahaan production house sedang membuat rencana
kegiatan untuk tahun 2009. Ada dua jenis film untuk tayangan TV
yang akan dibuat yakni telenovela dan komedi. Biaya pembuatan
satu episode telenovela adalah sebesar
Rp
750.000.000
sedangkan biaya pembuatan satu episode komedi adalah sebesar
Rp 400.000.000 .
Satu episode telenovela
dapat dijual dengan harga
Rp
1.000.000.000 sedangkan satu episode komedi dapat dijual dengan
252
Bab 4: Program Linier
harga Rp 800.000.000 Waktu pembuatan satu episode telenovela
membutuhkan waktu 12 minggu sedangkan waktu pembuatan satu
episode film komedi membutuhkan waktu 9 minggu. Waktu
ekivalen jam kerja perusahaan dalam tahun 2009 adalah 600
minggu, bila dana yang tersedia adalah sebesar Rp 25.000.000.000,
tentukan model program linear dari permasalahan ini agar
keuntungan yang akan diperoleh maksimal.
10. Suatu usaha rumah tangga yang memproduksi alat mainan hoopla
hop menyajikan 2 model dimana data produksi diberikan dalam
bentuk tabel berikut :
Bahan
Rotan
Tali Rotan
Amplas
Pelitur
Jam kerja
Model
A
B
Kapasitas
maksimal
1,5
1,2
10
0
0,5
300 m
1800 m
500 lembar
200 kaleng
300 jam
1,6
1,5
12
2
0,4
Model B harus dibuat paling tidak 50 mainan, model A paling tidak
20 mainan.
Keuntungan untuk model A adalah Rp 2000 dan model B Rp
1500 , tentukan model program linear dari permasalahan ini untuk
memaksimalkan keuntungan.
Bab 4: Program Linier
253
4.3 NILAI OPTIMUM DARI DAERAH PENYELESAIAN
SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR.
Pada subbab ini, kita akan belajar tentang menentukan nilai optimum
dari suatu fungsi objektif
Optimalkan
dengan a, b adalah konstanta, dan dengan kendala suatu sistem
pertidaksamaan linear.
Dari pembahasan sebelumnya, penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
linear berupa suatu daerah konveks pada bidang kartesian. Daerah
konveks adalah suatu daerah / himpunan titik – titik dimana setiap garis
yang menghubungkan dua titik yang ada, selalu berada pada daerah
tersebut.
Nilai optimum suatu fungsi objektif
pada daerah himpunan
penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear adalah suatu titik pada
daerah penyelesaian yang menyebabkan fungsi objektif tersebut
bernilai optimum. Nilai optimum dapat berupa nilai maksimum atau
nilai minimum. Titik optimum bisa lebih dari satu.
Untuk mendapatkan titik optimum, akan terlebih dahulu dilakukan
dengan ilustrasi berikut ini.
Pandang suatu daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
254
Bab 4: Program Linier
,
, dan
, seperti yang diperlihatkan pada
Gambar 4.3.1. Daerah penyelesaiannya adalah yang diarsir, katakan
daerah D.
Gambar 4.3.6
Pada ilustrasi ini kita akan mencari nilai optimum dari fungsi objektif
pada daerah D. Pencarian nilai optimum diperoleh dengan
cara mensubstitusikan semua titik yang ada di D ke fungsi z. Namun
ini tidak mungkin, karena banyaknya titik di daerah D adalah tak
berhingga banyak.
Karena daerah D adalah berbentuk konveks, salah satu titik pojok
dari D merupakan nilai optimum z pada D. Ingat bahwa nilai optimum
bisa lebih dari satu. Oleh karena itu, bisa jadi ada titik lain di D yang
juga merupakan nilai optimum.
Tabel 4.3.1. Nilai z pada titik-titik dalam daerah penyelesaian
Titik
(0,0)
Nilai z = 3x + 2y
z = 3.0 + 2.0 = 0
Bab 4: Program Linier
(1,1)
(2,1)
(3,0)
(1,2)
(2,2)
(1,3)
(1,4)
(0,6)
Nilai
255
z = 3.1 + 2.1 = 5
z = 3.2 + 2.1 = 8
z = 3.3 + 2.0 = 9
z = 3.1 + 2.2 = 7
z = 3.2 + 2.2 = 10
z = 3.1 + 2.3 = 9
Z = 3.1 + 2.4 = 11
Z = 3.0 + 2.6 = 12
dari beberapa titik di D disajikan dalam Tabel 4.3.1.
Dari tabel tersebut terlihat bahwa:
9 Nilai maksimum sebesar 12 terjadi pada titik (0, 6).
9 Nilai minimumnya sebesar 0 terjadi pada titik (0, 0). Titik (
0,0 ), (3, 0) dan (0, 6) merupakan titik‐titik pojok dari daerah
penyelesaian.
Berdasarkan hal tersebut, titik optimum dari daerah himpunan
penyelesaian sistem pertidaksamaan linear merupakan titik pojok
daerah penyelesaian.
Dari ilustrasi di atas, untuk mencari nilai optimum fungsi objektif z
pada suatu daerah penyelesaian D dapat dilakukan sebagai berikut.
i.
Gambarkan daerah D yang merupakan daerah penyelesaian
dari kendala yang berupa sistem pertidaksamaan linear.
ii.
Tentukan semua titik pojok dari daerah D.
iii.
Substitusikan semua nilai di titik pojok ke fungsi objektif z,
bandingkan dan pilih mana yang nilainya optimum.
256
Bab 4: Program Linier
Jika diperlukan penyelesaian dalam bentuk bulat, maka
ambillah titik di daerah D dengan nilai x dan y bulat yang
terdekat dengan titik pojok nilai optimumnya.
CONTOH 4.3.1
Tentukan
daerah
pertidaksamaan
himpunan
,
penyelesaian
,
dari
dan
sistem
,
. Tentukan pula nilai maksimum dan minimum dari
pada sistem pertidaksamaan tersebut.
Penyelesaian:
i.
Gambarkan daerah D yang merupakan daerah penyelesaian dari
kendala suatu sistem pertidaksamaan linear.
Cara menggambar daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linear
sama seperti sebelumnya. Gambar dari garis x + 2y = 6 dan garis y
+ 2x = 4 seperti yang terlihat pada Gambar 4.3.2.
Bab 4: Program Linier
257
Gambar 4.3.2
ii.
Tentukan semua titik pojok dari daerah D.
Tampak pada Gambar 4.3.2, bahwa titik pojok dari daerah
penyelesaian D adalah titik O, A, B dan C.
Posisi titik-titik tersebut dicari dengan cara :
9 Titik O( 0,0 ) karena merupakan perpotongan antara garis x = 0
(sumbu y) dan garis y = 0 (sumbu x).
9 Titik A adalah perpotongan antara garis
dan garis
Sehingga didapat: 0 + 2x = 4 atau 2x = 4 atau x = 2.
Posisi titik A adalah (2, 0).
9 Titik B adalah perpotongan antara garis
.
garis
258
Bab 4: Program Linier
Posisi titik B dicari dengan cara :
Dari
, jika
diperoleh
.
maka
dan
Jadi posisi titik B adalah (4/6, 8/3).
9 Titik C adalah perpotongan antara garis x = 0 dan garis
.
Berarti posisi titik C adalah (0, 3).
iii.
Substitusikan semua nilai di titik pojok ke fungsi objektif z,
bandingkan dan pilih mana yang nilainya optimum.
Masukkan posisi titik pojok pada fungsi
yang memberikan :
9 Titik O(0, 0), memberikan nialai z = 0
9 Titik A(2, 0), memberikan nialai z = 6
9 Titik B(4/6, 8/3), memberikan niali
9 Titik C(0, 3), memberikan nilai z = 15
Jadi nilai maksimum fungsi
,
Bab 4: Program Linier
259
.
dan nilai minimum fungsi
CONTOH 4.3.2
Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
,
,
dan
.
Tentukan pula nilai maksimum dan minimum dari
dengan kendala sistem pertidaksamaan linear tersebut.
Penyelesaian :
i.
Gambarkan daerah D yang merupakan daerah penyelesaian
dari kendala suatu sistem pertidaksamaan linear.
Cara menggambar daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linear
sama seperti sebelumnya. Gambar dari garis
seperti yang terlihat pada Gambar 4.3.3.
dan
260
Bab 4: Program Linier
Gambar 4.3.3
ii.
Tentukan semua titik pojok dari daerah D.
Tampak pada Gambar 4.3.3, bahwa titik pojok dari daerah
penyelesaian D adalah titik O, A, B dan C.
Posisi titik-titik tersebut dicari dengan cara :
9 Titik O( 0,0 ) karena merupakan perpotongan antara garis x
= 0 (sumbu y) dan garis y = 0 (sumbu x).
9 Titik A adalah perpotongan antara garis
dan garis
Sehingga didapat: 0 + x = 4 atau x = 4.
Posisi titik A adalah (4, 0).
9 Titik B adalah perpotongan antara garis
.
garis
Bab 4: Program Linier
261
Posisi titik B dicari dengan cara :
Dari
, jika
maka
Jadi posisi titik B adalah (2, 2).
9 Titik C adalah perpotongan antara garis x = 0 dan garis
Berarti posisi titik C adalah (0, 4).
iii.
Substitusikan semua nilai di titik pojok ke fungsi objektif z,
bandingkan dan pilih mana yang nilainya optimum.
Masukkan posisi titik pojok pada fungsi
yang memberikan :
9 Titik A(4, 0), memberikan nialai z = 12
9 Titik B(6, 0), memberikan niali
9 Titik C(2, 2), memberikan nilai z = 16
Jadi nilai maksimum fungsi
,
dan nilai minimum fungsi
.
262
Bab 4: Program Linier
CONTOH 4.3.3
Selesaikan program linear berikut ini.
Maksimum dari z = 3x + 5y
Dengan kendala:
x + 2y ≤ 6.
y + 2x ≤ 4,
x ≥ 0,
y ≥ 0.
x, y ∈ R.
Penyelesaian:
i.
Gambarkan daerah D yang merupakan daerah penyelesaian dari
kendala suatu sistem pertidaksamaan linear.
Cara menggambar daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linear
sama seperti sebelumnya. Gambar dari garis
, seperti yang terlihat pada Gambar 4.3.4.
dan
Bab 4: Program Linier
263
Gambar 4.3.4
ii.
Tentukan semua titik pojok dari daerah D.
Tampak pada Gambar 4.3.4, bahwa titik pojok dari daerah
penyelesaian D adalah titik O, A, B dan C.
Posisi titik-titik tersebut dicari dengan cara :
9 Titik O( 0,0 ) karena merupakan perpotongan antara garis x = 0
(sumbu y) dan garis y = 0 (sumbu x).
9 Titik A adalah perpotongan antara garis
dan garis
Sehingga didapat: 0 + 2x = 4 atau x = 2.
Posisi titik A adalah (2, 0).
9 Titik B adalah
.
perpotongan
antara garis
garis
264
Bab 4: Program Linier
Posisi titik B dicari dengan cara :
3
Dari
, jika
maka
Jadi posisi titik B adalah (4/3, 8/3).
9 Titik C adalah perpotongan antara garis x = 0 dan garis
Berarti posisi titik C adalah (0, 4).
iii.
Substitusikan semua nilai di titik pojok ke fungsi objektif z,
bandingkan dan pilih mana yang nilainya optimum.
Masukkan posisi titik pojok pada fungsi
yang memberikan :
9 Titik O(0,0), memberikan nilai z = 0
9 Titik A(2, 0), memberikan nilai z = 6
9 Titik B(2/3, 8/3), memberikan nilai
9 Titik C(0, 3), memberikan nilai z = 15
Jadi nilai maksimum fungsi
.
Bab 4: Program Linier
265
CONTOH 4.3.4
Seorang petani ikan memberikan dua jenis produk makanan suplemen
untuk kolam ikannya. Produk makanan suplemen kemasan satu botol
mengandung 5 gram zat A dan 2 gram zat B. Sedangkan produk
makanan suplemen kemasan satu kontong plastik mengandung 3 gram
zat dan 4 gram zat B. Pada setiap musim tebar ikan, petani tersebut
membutuhkan paling sedikit 30 gram zat A dan 24 gram zat B untuk
kesuksesan ikannya. Jika harga makanan suplemen satu kemasan botol
adalah Rp 50.000 dan untuk kemasan kantong plastik adalah Rp
40.000, maka tentukan banyaknya makanan suplemen kemasan botol
dan kemasan kantong plastik yang harus dibeli agar biaya pemeliharaan
ikannya minimal.
Penyelesaian:
Pada contoh permasalahan ini telah dirumuskan dalam bentuk model
matematika sebagai berikut.
Minimumkan 50.000 x + 40.000 y
Dengan kendala:
5x + 3y ≥ 30,
2x + 4y ≥ 24,
x ≥ 0,
y ≥ 0.
i.
Gambarkan daerah D yang merupakan daerah penyelesaian
dari kendala suatu sistem pertidaksamaan linear.
266
Bab 4: Program Linier
Cara menggambar daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linear
dan
sama seperti sebelumnya. Gambar dari garis
, seperti yang terlihat pada Gambar 4.3.5.
Gambar 4.3.5
ii.
Tentukan semua titik pojok dari daerah D.
Tampak pada Gambar 4.3.5, bahwa titik pojok dari daerah
penyelesaian D adalah titik A, B dan C.
Posisi titik-titik tersebut dicari dengan cara :
9 Titik A adalah perpotongan antara garis
Sehingga didapat: 0 + y = 10 atau y = 10.
dan garis
Bab 4: Program Linier
267
Posisi titik A adalah (0, 10).
9 Titik B adalah perpotongan antara garis y = 0 dan garis
2
.
Sehingga didapat: 2x + 0 = 24 atau x = 12.
Berarti posisi titik B adalah (6, 0).
9 Titik C adalah
garis
perpotongan
antara garis
.
Posisi titik B dicari dengan cara :
14y
Dari
, jika
maka
Jadi posisi titik C adalah (24/7, 30/7).
iii.
Substitusikan semua nilai di titik pojok ke fungsi objektif z,
bandingkan dan pilih mana yang nilainya optimum.
Masukkan posisi titik pojok pada fungsi
yang memberikan :
9 Titik A(0, 10), memberikan nilai z = 400.000
9 Titik B(12, 0), memberikan nilai
9 Titik C(24/7, 30/7), memberikan nilai z = 2.400.000/7
268
Bab 4: Program Linier
Jadi nilai minimum fungsi
terjadi di titik C(24/7,30/7).
SSO
OAALL LLAATTIIH
HAAN
N 44--33
Soal 1-8, carilah nilai optimum dari masalah program linear berikut ini.
a.
Maksimumkan 24 x + 8y
dengan syarat
2x + 5y ≤ 40 ; 4x + 5y ≤ 20 ; 10x + 5y ≤ 60 dan
x ≥ 0, y ≥ 0
b.
Maksimumkan x + 2y
dengan syarat
c.
x + 6y ≤ 36 ; 3x + 2y ≤ 24 dan x ≥ 0, y ≥ 0
Minimumkan 3x + 4y
dengan syarat 2x + 3y ≥ 36 ; 2x + 2y ≥ 28 ; 3x + 2y ≥ 24 dan
x ≥ 0, y ≥ 0
d.
Minimumkan 2x + y
dengan syarat 3x + y ≥ 15 ; x + 5y ≥ 20 dan
8x + 2y ≥ 32
Bab 4: Program Linier
e.
269
Maksimumkan 4x + 5y
dengan syarat
2x + 6y ≤ 36 ; 5x + 3y ≤ 30 ; 8x + 2y ≤ 40
dan x ≥ 0, y ≥ 0
f.
PT Batako membuat dua jenis produk A25 dan F28. Kedua
produk memberikan sumbangan keuntungan per unit masingmasing Rp 600 dan Rp 850 yang masing-masing dikerjakan
pada mesin 1 dan mesin 2. Model A25 membutuhkan waktu
penyelesaian 9 jam di mesin 1, sedangkan F28 3 jam pada
mesin 2 model A25 selama 4 jam, sedangkan F28 selama 6
jam. Bagian maintenance dalam seminggu hanya mampu
menyediakan waktu operasi 27 jam untuk mesin 1 dan 23 jam
untuk mesin 2. Berapa unit setiap produk yang harus
diproduksi per minggu agar keuntungan maksimal?
Nyatakan permasalahan tersebut dalam model program linear dan
carilah nilai optimumnya.
g.
Seorang yang ingin cepat sehat bermaksud untuk minum
sedikitnya 36 satuan vitamin A setiap hari, 28 satuan vitamin C
dan 32 satuan vitamin D. Multivitamin jenis pertama berharga
3 satuan uang menyediakan 2 satuan vitamin A setiap hari, 2
satuan vitamin C dan 8 satuan vitamin D. Multivitamin jenis
kedua berharga 4 satuan menyediakan 3 satuan vitamin A
setiap hari, 2 satuan vitamin C dan 2 satuan vitamin D. Carilah
jumlah vitamin yang harus diminum agar kebutuhkan akan
vitamin dipenuhi.
270
h.
Bab 4: Program Linier
Pada suatu pabrik, untuk memproduksi tepung terigu kemasan 1
kg diperlukan proses di mesin A selama 2 jam dan mesin B
selama 1 jam. Untuk memproduksi tepung maisena kemasan 1
kg diperlukan proses di mesin A selama 2 jam dan mesin B
selama 3 jam. Dalam setiap harinya mesin A bekerja paling
lama 20 jam dan mesin B paling lama 20 jam. Jika perusahaan
tersebut setiap harinya memproduksi x tepung terigu kemasan 1
kg dan y tepung maisena kemasan 1 kg, maka tentukan
banyaknya produksi masing-masing produkagar diperoleh
pendapatan maksimal.
4.4 PENYELESAIAN PROGRAM LINEAR DENGAN
MENGGUNAKAN GARIS SELIDIK
Pada bagian sebelumnya telah dipelajari, cara mencari nilai optimum
dengan menggunakan titik-titik pojok daerah himpunan penyelesaian.
Pada bagian ini akan dipelajari metode lain untuk menentukan nilai
optimum dari suatu masalah program linear. Metoda ini dikenal dengan
istilah garis selidik.
Garis selidik adalah garis-garis yang sejajar dengan garis yang
merupakan grafik fungsi objektif yang berfungsi untuk menyelidiki
apakah nilai fungsi objektif dari titik pojok tersebut maksimum atau
minimum.
Langkah-langkah yang harus dilakukan dalam penggunaan garis selidik
antara lain.
Bab 4: Program Linier
271
yang memotong sumbu x di
1 Gambarlah garis
(b, 0) dan memotong sumbu y di (0, a) sebagai acuan.
mulai dari nilai ab minimum
2 Tarik garis sejajar
hingga nilai ab maksimal.
yang merupakan garis yang sejajar
a. Jika garis
dan berada paling bawah atau paling kiri
pada daerah penyelesaian, maka k adalah nilai minimum.
yang merupakan garis yang sejajar
b. Jika garis
dan berada paling atas atau paling kanan
pada daerah penyelesaian, maka k adalah nilai maksimum.
Agar lebih mudah dipahami, terutama dalam pembuatan garis selidik
untuk menentukan nilai optimal permasalahan program linear dengan
baik, perhatikan contoh berikut :
CONTOH 4.4.1
Tentukan nilai maksimum dari 3x + 2y pada sistem pertidaksamaan x +
2y ≤ 8, 2x + y ≤ 9 dengan x ≥ 0, y ≥ 0 dan x, y ∈ R
Penyelesaian:
Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
272
Bab 4: Program Linier
x + 2y ≤ 8,
2x + y ≤ 9,
x ≥ 0,
y ≥ 0.
digambarkan pada Gambar 4.4.1 berupa daerah berarsir pada gambar di
bawah.
Gambar 4.4.1
Digambar garis selidik 3x + 2y = k, untuk k = 6 : diperoleh garis
3x + 2y = 6.
Garis yang sejajar dengan garis 3x + 2y = 6 dan letaknya paling jauh
dari titik pangkal adalah garis yang melalui titik B(7/3,10/3 ).
Bab 4: Program Linier
273
Jadi titik B(7/3,10/3) adalah titik pada daerah himpunan penyelesaian
yang menyebabkan nilai 3x + 2y maksimum. Nilai maksimumnya
adalah 3(7/3) + 2(10/3) =
.
CONTOH 4.4.2
Pada Contoh 4.4.1 diatas kita akan menentukan nilai optimum
(maksimum dan minimum) dari fungsi 2x + y dengan menggunakan
garis selidik. Titik A, B, C dan D yang terletak dalam gambar
merupakan titik-titik sudut yang terletak pada daerah himpunan
penyelesaian dari suatu sistem peridaksamaan linear.
Penyelesaian:
Garis 2x + y = k digambar untuk k = 2 diperoleh garis 2x + y = 2.
a. Garis yang sejajar dengan garis 2x + y = 2 dan terletak paling jauh
dari titik pangkal adalah garis yang melalui titik C(0,6), jadi titik
C(0,6) adalah titik pada daerah himpunan penyelesaian yang
menyebabkan fungsi 2x + y maksimum. Nilai maksimumnya adalah
6.
b. Garis yang sejajar dengan garis 2x + y = 2 dan terletak paling dekat
dengan titik pangkal adalah garis yang melalui titik D(0,1) yang
menyebabkan nilai 2x+ y minimum dengan nilai = 1.
274
Bab 4: Program Linier
SSO
OAALL LLAATTIIH
HAAN
N 44--44
Dengan bantuan garis selidik, carilah nilai optimum dari masalah
program linear berikut ini :
1.
Maksimumkan 24 x + 8y
dengan syarat
2x + 5y ≤ 40 ; 4x + 5y ≤ 20 ; 10x + 5y ≤ 60 dan
x ≥ 0, y ≥ 0
2.
Maksimumkan x + 2y
dengan syarat
3.
x + 6y ≤ 36 ; 3x + 2y ≤ 24 dan x ≥ 0, y ≥ 0
Minimumkan 3x + 4y
dengan syarat 2x + 3y ≥ 36 ; 2x + 2y ≥ 28 ; 3x + 2y ≥ 24 dan
x ≥ 0, y ≥ 0
4.
Minimumkan 2x + y
dengan syarat 3x + y ≥ 15 ; x + 5y ≥ 20 dan
8x + 2y ≥ 32
Bab 4: Program Linier
5.
275
Maksimumkan 4x + 5y
dengan syarat
2x + 6y ≤ 36 ; 5x + 3y ≤ 30 ; 8x + 2y ≤ 40
dan x ≥ 0, y ≥ 0
6.
Seorang penjahit mempunyai 80 m2 kain katun dan 120 m2 kain
wol. Untuk membuat satu jas pria memerlukan 1 m2 katun dan
3 m2 wol, sedangkan jas wanita memerlukan masing-masing 2
m2. Jika harga jual masing2 jas adalah Rp 300.000 , tentukan
jumlah jas pria dan wanita yang harus dibuat agar uang hasil
penjualan yang diperoleh maksimal.
7. Seorang pedagang sepatu menjual dua jenis sepatu A dan B. Sepatu
A dibeli dengan harga Rp 250.000 dan mendapatkan keuntungan
sebesar Rp 50.000 . Sepatu B dibeli dengan harga Rp 300.000
dan mendapatkan keuntungan sebesar Rp 100 ribu. Jika pedagang
ini mempunyai uang Rp 10 juta dan jumlah sepatu yang dapat
dibawa 30 pasang, tentukan jumlah tiap jenis sepatu yang harus
dijual agar pedagang memperoleh keuntungan sebesar mungkin.
8. Suatu perusahaan production house sedang membuat rencana
kegiatan untuk tahun 2009. Ada dua jenis film untuk tayangan TV
yang akan dibuat yakni telenovela dan komedi. Biaya pembuatan
satu episode telenovela adalah sebesar Rp 750.000.000 sedangkan
biaya pembuatan satu episode komedi adalah sebesar
400.000.000 .
Rp
276
Bab 4: Program Linier
Satu episode telenovela
dapat dijual dengan harga
Rp
1.000.000.000 sedangkan satu episode komedi dapat dijual dengan
harga Rp 800.000.000.
Waktu pembuatan satu episode telenovela membutuhkan waktu 12
minggu sedangkan waktu pembuatan satu episode film komedi
membutuhkan waktu 9 minggu. Waktu ekivalen jam kerja
perusahaan dalam tahun 2009 adalah 600 minggu, bila dana yang
tersedia adalah sebesar Rp 25.000.000.000 , tentukan jumlah tiap
jenis film yang harus dibuat agar keuntungan yang akan diperoleh
maksimal .
9.
Suatu usaha rumah tangga yang memproduksi alat mainan hoopla
hop menyajikan 2 model dimana data produksi diberikan dalam
bentuk tabel berikut :
Rotan
A
1,5
B
1,6
Kapasitas
maksimal
300 m
Tali Rotan
1,2
1,5
1800 m
Amplas
10
12
500 lembar
Pelitur
0
2
200 kaleng
0,5
0,4
Bahan
Jam kerja
Model
300 jam
Model B harus dibuat paling tidak 50 mainan, model A paling
tidak 20 mainan. Keuntungan untuk model A adalah Rp 2000
dan model B Rp 1500 , tentukan jumlah tiap model hoopla hop
yang akan dibuat agar keuntungan yang akan diperoleh maksimal.
Bab 4: Program Linier
10.
277
PT Batako membuat dua jenis produk A25 dan F28. Kedua produk
memberikan sumbangan keuntungan per unit masing-masing Rp
600 dan Rp 850 yang masing-masing dikerjakan pada mesin 1
dan mesin 2. Model A25 membutuhkan waktu penyelesaian 9 jam
di mesin 1, sedangkan F28 3 jam pada mesin 2 model A25 selama
4 jam, sedangkan F28 selama 6 jam. Bagian maintenance dalam
seminggu hanya mampu menyediakan waktu operasi 27 jam
untuk mesin 1 dan 23 jam untuk mesin 2. Berapa unit setiap
produk yang harus diproduksi per minggu agar keuntungan
maksimal?
Nyatakan permasalahan tersebut dalam model program linear dan
carilah nilai optimumnya.
11.
Seorang yang ingin cepat sehat bermaksud untuk minum
sedikitnya 36 satuan vitamin A setiap hari, 28 satuan vitamin C
dan 32 satuan vitamin D. Multivitamin jenis pertama berharga 3
satuan uang menyediakan 2 satuan vitamin A setiap hari, 2 satuan
vitamin C dan 8 satuan vitamin D. Multivitamin jenis kedua
berharga 4 satuan menyediakan 3 satuan vitamin A setiap hari, 2
satuan vitamin C dan 2 satuan vitamin D. Carilah jumlah vitamin
yang harus diminum agar kebutuhkan akan vitamin dipenuhi.
278
Bab 4: Program Linier
5.
Logika
Utu
5
LOGIKA MATEMATIKA
Dalam setiap kegiatan kita dituntut untuk mempunyai
pola pikir yang tepat, akurat, rasional dan kritis agar
tidak salah dalam penalaran yang menyebabkan
kesalahan dalam mengambil kebijakan. Logika
matematika dapat memberikan bimbingan agar dapat
memiliki pola pikir seperti itu, sehingga dalam setiap
aspek kehidupan manusia, logika sangat dibutuhkan
Blaise Pascal
1623-1662
agar lebih efektif dalam mengenal kehidupan dan
menghindari kesalahan penalaran berfikir.
Kalian semua tentunya tidak asing lagi dengan benda yang disebut
kalkulator dan komputer karena sehari-hari kalian jumpai di sekolah,
kantor bahkan di mall dan sebagainya. Tahukah anda bahwa yang
menemukan mesin hitung (calculator) adalah Blaise Pascal pada tahun
279
280
Bab 5: Logika
1642, yang akhirnya berkembang menjadi komputer digital, pertama
kali dirakit sekitar tahun 1944 hingga tahun 1973. Alat-alat ini bekerja
berdasarkan instruksi bilangan biner. Instruksi ini pada dasarnya
merupakan serangkaian kombinasi logis bilangan “0” atau “1” , yang
dapat diartikan dalam bahasa logika sebagai kondisi “True” atau
“False”. Sehingga dalam pengoperasian komputer hanya dikenal dua
kondisi yang analog dengan logika yaitu ada atau tidaknya aliran listrik.
Logika matematika meliputi: logika pernyataan atau proposisi
(propositional logic) suatu yang menelaah manipulasi antar pernyataan
dan logika penghubung atau predikat (predicate logic) yang
menelaah manipulasi hubungan relasioanal antara pernyataan pertama
dengan pernyataan kedua.
Oleh karena itu logika matematika
adalah ilmu yang menelaah manipulasi
antar
pernyataan
(mathematical
matematik
Statement).
Namun
sebelum melangkah lebih jauh, kita
perlu
memahami
terlebih
dahulu
pengertian pernyataan dan pengertian
penghubung.
Kode Biner dalam Program Komputer George Boole (1815-1864)
Ahli matematika Inggris pertama kali yang menggantikan nilai kebenaran :
“ Benar “ dengan “1”
dan nilai kebenaran
“Salah” dengan “0”.
Sistem bilangan yang hanya terdiri atas dua macam bilangan tersebut dinamakan
Sistem Biner. Temuan ini sangat berguna untuk menyusun program komputer.
Dalam program komputer, proses pengubahan data ke dalam sistem bilangan biner
disebut Konversi Biner. Dan notasi yang dihasilkan dari ini dinamakan Kode Biner
Sumber :Ensiklopedi Matematika & Peradaban Manusia 2002
Bab 5: Logika
281
5.1 PERNYATAAN DAN KALIMAT TERBUKA
Sebelumnya telah dikatakan bahawa logika matematika adalah ilmu
yang menelaah manipulasi antar pernyataan matematik. Oleh karena itu
akan kita definisikan suatu pernyataan dan apa yang dimaksud dengan
Kalimat terbuka.
5.1.1 PROPOSISI
Pada subbab ini diawali dengan menampilkan beberapa contoh kalimat
yang merupakan proposisi (pernyataan) dan yang bukan proposisi.
Contoh 5.1.1
Perhatikan contoh-contoh kalimat dibawah ini :
1. Jakarta adalah ibu kota Republik Indonesia.
2. 7 merupakan sebuah bilangan prima.
3. Manusia adalah salah satu jenis makluk di Bumi.
4. Banyaknya titik sudut dalam suatu kubus adalah 8 buah.
5. Jambi merupakan ibu kota propinsi Jawa Timur.
6. Himpunan penyelesaian x2 = 9 adalah {-3,9}.
7. Taufik pandai main bulu tangkis atau tennes.
8. Jika 10 habis dibagi dengan 4, maka juga habis dibagi dengan 2.
9. Mudah-mudahan anda berhasil dalam meniti karier.
10.Berolahragalah secara teratur!
Kalimat deklaratif 1-6 merupakan kalimat yang bernilai benar saja
atau bernilai salah saja, tidak sekaligus benar dan salah. Kalimat yang
demikian ini merupkan kalimat yang mempunyai nilai kebenaran,
disebut pernyataan. Kalimat 7-8 dua pernyataan yang dihubungkan
282
Bab 5: Logika
dengan suatu kata penghubung. Sedangkan kalimat deklaratif 9-10
tidak mempunyai nilai kebenaran. Oleh karena itu Penjelasan kalimatkalimat deklaratif diatas yang merupakan pernyataan atau bukan
pernyataan adalah sebagai berikut:
-
Kalimat deklaratif 1 – 6
dalam contoh 5.1.1 tidak memuat
penghubung disebut pernyataan primitive (proposisi primitive),
dan biasanya dilambangkan dengan huruf kecil:p, q, r, s dan
sebagainya. Untuk pernyataan 1 – 3 merupakan pernyataan yang
bernilai benar, sedangkan pernyataan 4 – 6 merupakan suatu
pernyataan yang bernilai salah.
-
Kalimat deklaratif ketujuh dan kedelapan memuat penghubung
” atau ” , ”dan ” , “jika...maka... ” disebut proposisi majemuk
(pernyataan majemuk).
-
Kalimat kesembilan dan kesepuluh bukan pernyataan karena tidak
mempunyai nilai kebenaran.
Berikut ini diberikan definisi suatu pernyataan :
DEFINISI 5.1.1 Sebuah pernyataan atau proposisi adalah sebuah
kalimat deklaratif yang mempunyai tepat satu nilai kebenaran,
yaitu: ” Benar ” (B) saja atau” Salah ” (S) saja, tetapi tidak
sekaligus keduanya.
Benar atau salahnya suatu pernyataan dapat ditentukan melalui dasar
empiris yaitu berdasarkan fakta yang sesungguhnya atau dijumpai
dalam kehidup alam ini dan dasar non empiris yaitu berdasarkan
pembuktian atau perhitungan matematika.
Bab 5: Logika
283
5.1.2 KALIMAT TERBUKA
Suatu kalimat yang nilai kebenarannya belum dapat dibuktikan disebut
kalimat terbuka. Ciri dari kalimat terbuka adalah adanya variabel
( peubah)
Berikut ini diberikan beberapa contoh kalimat terbuka :
Contoh 5.1.2
1. x + 9 > 0.
2. Jarak kota B dengan kota Jakarta kurang dari 1000 km.
3. Jumlah titik sudut jajaran genjang adalah n.
-
Pada kalimat pertama memuat variabel x . Jika x diubah dengan
-11 menjadi suatu pernyataan yang salah, dan apabila x diganti
dengan -5 menjadi suatu pernyataan yang benar.
x = -11
dan
x = -5 disebut penyelesaian kalimat terbuka tersebut.
-
Pada kalimat kedua, variabelnya adalah B. Jika B diubah dengan
Ambon menjadi suatu pernyataan yang salah, dan apabila B diganti
dengan Bekasi menjadi suatu pernyataan yang benar.
-
Pada kalimat ketiga, variabelnya adalah n. Jika n diganti dengan 4
menjadi suatu pernyataan yang benar, dan apabila n diganti dengan
7 menjadi suatu pernyataan yang salah.
284
Bab 5: Logika
SSO
OAALL LLAATTIIH
HAAN
N 55--11
1) Diantara kalimat-kalimat berikut
ini tentukan manakah yang
merupakan pernyataan dan mana yang bukan pernyataan. Jika
pernyataan tentukan nilai kebenarannya.
a) Segi tiga adalah suatu bangun yang jumlah sisinya ada tiga
buah.
b) Semua bilangan prima habis dibagi 2.
c) Jumlah sudut segi tiga adalah 360 o .
d) Untuk setiap bilangan real x berlaku x2 ≥ 0
e) π termasuk bilangan rasional.
f) Pertandingan bola basketnya dimulai jam 16.00 WIB.
g) Preti adalah gadis yang cantik.
h) Pergilah ke rumah Santi !
i)
j)
2 merupakan bilangan real.
Ada siswa SMK yang mengikuti OSN bidang matematika
tingkat nasional.
2) Diantara kalimat-kalimat berikut
ini tentukan manakah yang
merupakan pernyataan dan manakah yang merupakan kalimat
terbuka. Jika pernyataan tentukan nilai kebenarannya.
a) X + 5 > 0.
b) X2 + 5 ≥ 0.
c) Satu windu sama dengan n tahun.
d) t hari waktu yang dibutuhkan bumi 1 kali berputar mengelilingi
matahari.
e) Bilangan asli merupakan himpunan bagian bilangan bulat.
Bab 5: Logika
285
f) 2k + 1 merupakan bilangan ganjil, untuk k bilangan cacah.
g) 2k merupakan bilangan genap, untuk k bilangan real.
h) Itu adalah benda cair.
i)
Dua kali bilangan asli adalah bilangan genap
j)
Sin2 x + sin2 y = 1
3) Untuk soal no: 2 diatas yang merupakan kalimat terbuka,
tentukanlah
himpunan
penyesaiannya
agar
menjadi
suatu
Pernyataan.
4) Diberikan kalimat terbuka berikut : x 2 − 1 = 0 , x bilangan real.
Tentukan Himpunan x agar kalimat itu menjadi suatu pernyataan.
5) Carilah himpunan penyelesaian setiap kalimat terbuka berikut jika x
dan y variabel pada bilangan asli:
a)
b)
d)
c)
e)
Bayangan
( x , y ) terhadap sumbu X berada di ( 5,2)
5.2 PENGHUBUNG ATAU KONEKTIF (CONNECTIVE)
Dalam logika matematika dikenal sebanyak 5 operator logika
(penghubung), yaitu: Negasi (Negation), Konjungsi (Conjunction),
Disjungsi (Disjunction), Implikasi (Implication) , Biimplikasi, atau
Ekuivalensi (Equivalence).
286
Bab 5: Logika
5.2.1 NEGASI
Negasi disebut juga ingkaran atau pengingkaran . Ingkaran dari suatu
pernyataan diperoleh dengan menambahkan” tidak benar” di awal
kalimat, atau dengan cara menyisipkan kata ” tidak” atau ” bukan” pada
pernyataan tersebut.
DEFINISI 5.2.1 :
Misalkan p adalah pernyataan.
Negasi dari p:
Untuk sembarang pernyataan p, negasi dari p dilambangkan
dengan p dan dibaca “ bukan p” Suatu pernyataan yang
bernilai salah (S ) jika p benar (B), dan bernilai benar (B ) jika p
Berikut ini tabel kebenaran pernyataan negasi:
P
p
B
S
S
B
Contoh 5.2.1
No
Pernyataan : p
1
3 adalah faktor dari 24
(B)
Tidak benar 3 adalah faktor dari 24 (S)
2
Jumlah sudut dalam suatu segi tiga
Tidak benar Jumlah sudut dalam suatu
selalu 180
3
Tiga
o
puluh
bilangan prima
4
Negasi (ingkaran) :
(B)
sembilan
adalah
(S)
segi tiga selalu 180 o
p
(S)
Tiga puluh sembilan bukan bilangan
prima
(B)
Semua binatang adalah mahluk
Tidak semua binatang adalah mahluk
hidup
hidup
(B)
(S)
Bab 5: Logika
287
5
Cos2x + sin2x = 2
(S)
Tidak benar Cos2x + sin2x = 2
6
seminggu ada 7 hari
(B)
Tidak benar seminggu ada 7 hari (S)
(B)
5.2.2 KONJUNGSI
Pada bagian sebelumnya telah dipelajari
suatu pernyataan tunggal.
Namun selanjutnya akan dipelajari dua atau lebih pernyataan tunggal
yang digabung dan disebut dengan pernyataan majemuk. Konjungsi
merupakan kata penyambung antar beberapa pernyataan yang biasanya
berupa kata “dan”. Berkaitan dengan pernyataan majemuk tersebut,
perhatikan contoh sederhana ini:
Pernyataan pertama :
Pernyataan kedua
Jakarta adalah ibukota Indonesia
: Jakarta terbagi menjadi 6 wilayah
Kedua pernyataan ini dapat digabung menjadi kalimat majemuk
sebagai berikut :
Jakarta adalah ibukota Indonesia dan terbagi menjadi 6 wilayah
Kalimat ini merupakan kalimat majemuk dengan menggunakan kata
penghubung “ dan” Kalimat ini hanya benar jika kedua pernyataan
sama-sama benar. Jika salah satu saja pernyataan itu yang salah (atau
keduanya) maka pernyataan majemuk menjadi salah.
Sebagai contoh :
Pernyataan pertama :
Pernyataan kedua
Jakarta adalah ibukota Malaysia
(S)
: Jakarta terbagi menjadi 6 wilayah
(B)
Jakarta adalah ibukota Malaysia dan terbagi menjadi 6 wilayah (S)
288
Bab 5: Logika
kata penghubung “dan” pada perkataan majemuk dilambangkan dengan
“ ∧ ” yang disebut Konjungsi. Konjungsi didefinisikan sebagai berikut :
DEFINISI 5.2.2 :
Konjungsi
Pernyataan majemuk p dan q disebut
Konjungsi dari p dan q dinyatakan dengan:
”p ∧ q”
adalah sebuah pernyataan bernilai benar
jika pernyataan p dan q keduanya
bernilai benar, dan bernilai salah jika
salah satu p atau q (keduanya) salah
Tabel kebenaran konjungsi:
p
q
p∧q
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
S
Contoh 5.2.2
No
1
2
3
4
P
Pulau Natuna berada di
kepulauan Riau
(B)
Jumlah sudut dalam suatu
segi tiga selalu 180 o (B)
Tiga
puluh
sembilan
adalah bilangan irrasional
(S)
2
2
Cos x + sin x = 2
(S)
q
Natuna termasuk wilayah
Indonesia
(B)
Besar sudut segitiga sama
sisi adalah 90o
(S)
Tiga
puluh
sembilan
adalah bilangan prima
(B)
2
2
(S)
Cos x ≥ 1- sin x
p∧q
B
S
S
S
5.2.3 DISJUNGSI
Disjungsi merupakan kata penyambung berupa kata “atau” dalam
menghubungkan dua pernyataan menjadi kata majemuk, perhatikan
contoh sederhana ini:
p : Bumi adalah satu-satunya planet di jagat raya yang mempunyai
kehidupan
q : Satu dekade sama dengan 10 tahun.
(B)
(B)
Bab 5: Logika
289
Kedua pernyataan ini dapat digabung menjadi kalimat majemuk
sebagai berikut :
Bumi adalah satu-satunya planet di jagat raya yang mempunyai
kehidupan atau satu dekade sama dengan 10 tahun.
Kalimat ini merupakan kalimat majemuk dengan menggunakan kata
penghubung “ atau” Kalimat ini bernilai salah jika kedua pernyataan
sama-sama salah. Jika salah satu saja pernyataan itu yang benar (atau
keduanya) maka pernyataan majemuk menjadi benar.
Sebagai contoh :
Pernyataan pertama :
Pernyataan kedua
Jakarta adalah ibukota Malaysia
(S)
: Jakarta terbagi menjadi 6 wilayah
(B)
Dengan menggunakan kalimat penghubung :
“Jakarta adalah ibukota Malaysia atau Jakarta terbagi menjadi 6
wilayah (B)”
kata penghubung “atau” pada perkataan majemuk dilambangkan
dengan “ ∨ ” yang disebut Disjungsi. Disjungsi didefinisikan sebagai
berikut :
DEFINISI 5.2.3
Berikut ini tabel
Disjungsi :
kebenaran
Pernyataan majemuk p dan q disebut
konjungsi :
Disjungsi dari p dan q dinyatakan dengan:
”pVq”
adalah sebuah pernyataan bernilai benar
jika pernyataan p dan q salah satu atau
keduanya bernila bebar, dan bernilai salah
p
q
p∨ q
B
B
B
B
S
B
S
B
B
290
Bab 5: Logika
Contoh 5.2.3
Tentukan nilai kebenaran pernyataan dalam tabel berikut ini dengan
penghubung ”atau”.
No
1
2
3
4
p
q
Pulau Natuna berada di
kepulauan Riau
(B)
Jumlah sudut dalam suatu
(B)
segi tiga selalu 180 o
Tiga puluh sembilan adalah
bilangan
(S)
Cos2x + sin2x = 2
(S)
Natuna termasuk wilayah
Indonesia
(B)
Besar sudut segitiga sama
sisi adalah 90o
(S)
Tiga puluh sembilan adalah
bilangan prima
(B)
Cos2x ≥ 1- sin2x
(S)
p∨ q
B
B
B
S
5.2.4 IMPLIKASI (PROPOSISI BERSYARAT)
Untuk memahami Implikasi, perhatikan uraian berikut ini. Misalkan
Boby berjanji pada Togar “Jika saya dapat medali olimpiade sainsmatematika nasional tahun ini maka aku akan membelikan kamu sepatu
bola”. Janji Boby ini hanya berlaku jika Boby mendapatkan medali
olimpiade sains-matematika. Akibatnya jika Boby tidak mendapatkan
medali dalam lomba olimpiade sains-matematika yang diikutinya tahun
ini, tidak ada keharusan bagi Boby untuk membelikan sepatu bola buat
Togar.
Misalkan Boby tidak mendapat medali maka Togar tidak kecewa
karena Boby tidak memenuhi janjinya. Akan tetapi jika Boby dapat
meraih medali dalam olimpiade matematika nasional yang diikutinya
tetap membelikan sepatu bola buat Togar, tentu Togar akan senang.
Jika Boby dapat medali namun tidak membelikan sepatu bola maka
Togar akan kecewa dan menganggap tidak menepati janji. Kalimat
Bab 5: Logika
291
yang diucapkan Boby pada Togar dalam bahasa logika matematika
dapat ditulis sebagai berikut :
Jika
p : dapat medali olimpiade sains-matematika nasional.
Maka
q : membelikan sepatu bola
Sehingga dapat dinyatakan sebagai
“ Jika p maka q ” atau
dilambangkan dengan “ p → q ” suatu pernyataan majemuk yang
disebut dengan Implikasi.
Implikasi dari pernyataan p ke pernyataan q dinyatakan dengan ,
” p → q ”, ialah sebuah pernyataan yang bernilai salah jika dan hanya
jika p bernilai benar dan q bernilai salah. Pernyataan
p disebut
hipotesa (premis) dan pernyataan q disebut kesimpulan (konklusi).
Selanjutnya Implikasi didefinisikan sebagai berikut :
DEFINISI 5.2.4
Berikut
Implikasi:
kebenaran konjungsi
Pernyataan
majemuk
p
dan
q
disebut
implikasi
(pernyataan
bersyarat)
adalah
sebuah
pernyataan
majemuk
yang
ini
tabel
p
q
p→q
B
B
B
B
S
S
dan konklusi q bernilai salah. Untuk kasus
S
B
B
lainnya bernilai benar.
S
S
B
dilambangkan :
” p → q ” bernilai
salah hanya jika hipotesa p bernilai benar
Contoh 5.2.4
292
Bab 5: Logika
Tentukan nilai kebenaran pernyataan dalam tabel berikut ini dengan
penghubung ”maka”.
No
1
2
3
4
ƒ
p→q
p
Pulau Natuna berada di
kepulauan Riau
(B)
Jumlah sudut dalam
suatu segi tiga selalu
(B)
180 o
Tiga puluh sembilan
adalah bilangan Prima
(S)
q
Natuna termasuk wilayah
Indonesia
(B)
Jumlah 2 buah sudut dalam
segitiga adalah 120o
(S)
Tiga puluh sembilan adalah
habis dibagi tiga
(B)
B
Cos2x + sin2x ≥ 1
Cos2x ≥ 1
B
(S)
(S)
B
S
Hubungan antara implikasi dengan himpunan.
Perhatikan diagram berikut ini :
S = { 0,1,2,3,4,5}
p(x) : x – 1 = 0
q(x) : x 2 − 3 x + 2 = 0
ungkapan ini dapat ditulis :
P={x/x–1=0}, p benar jika x ∈ P
Q={
x/ x 2 − 3 x + 2 = 0 },
q
benar jika x ∈ Q
Tampak bahwa kalimat
p ( x ) → q ( x ) kalimat implikasi
yang benar.
Bab 5: Logika
293
Secara umum dapat disimpulkan bahwa :
Jika P dan Q masing-masing himpunan penyelesaian dari kalimat
terbuka
p ( x ) dan q ( x ) pada himpunan semesta S,
maka
p ( x ) → q ( x ) benar jika P ⊂ Q.
Kalimat implikasi yang menyebabkan tiap penggantian nilai x benar
untuk p(x) yang akan menyebabkan benar pula untuk q(x) dikatakan
implikasi yang logis.
5.2.5 BIIMPLIKASI
Pernyataan p dan q apabila dirangkai dengan menggunakan hubungan
“Jika dan hanya jika “ Sehingga menjadi suatu kalimat yang dapat
dinyatakan sebagai “p Jika dan hanya jika q ” atau dilambangkan
dengan :
“ p ⇔ q”
suatu pernyataan majemuk disebut dengan Biimplikasi.
Pernyataan majemuk Biimplikasi menyiratkan suatu gabungan dari:
p → q dan q → p
Oleh karena itu nilai kebenaran biimplikasi p ⇔ q dikatakan bernilai
benar jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama seperti yang
diungkapkan pada definisi berikut ini :
294
Bab 5: Logika
Berikut ini tabel
DEFINISI 5.2.5 : Biimplikasi
Pernyataan
majemuk
p
dan
q
disebut
biimplikasi (pernyataan bersyarat dwi arah)
kebenaran
biimplikasi:
adalah sebuah pernyataan majemuk yang
dilambangkan :
” p ⇔ q ”.
Bernilai benar jika p dan q mempunyai nilai
kebenaran yang sama.
p
B
B
S
q
B
S
B
p⇔q
B
S
S
Merujuk pada implikasi, bahwa Jika P dan Q masing-masing himpunan
penyelesaian dari kalimat terbuka
p ( x ) dan q ( x ) pada himpunan
semesta S, maka:
p ( x ) → q ( x ) benar jika P ⊂ Q
dan
q ( x ) → p ( x ) benar jika Q ⊂ P
mengakibatkan pernyataan kalimat majemuk biimplikasi:
p( x) ⇔ q( x)
bernilai benar jika P = Q.
Kalimat biimplikasi yang menyebabkan tiap penggantian nilai x benar
untuk p(x) yang akan menyebabkan benar pula untuk q(x) begitu pula
untuk penggantian nilai x benar untuk q(x) yang akan menyebabkan
benar pula untuk p(x) dikatakan biimplikasi yang logis. Dengan kata
lain p(x) dan q(x) merupakan dua kalimat yang ekuivalen apabila
Bab 5: Logika
295
kedua kalimat terbuka itu mempunyai himpunan penyelesaian yang
sama.
Contoh 5.2.5
Tentukan nilai kebenaran Biimplikasi pernyataan dalam tabel berikut
ini:
No
1
2
3
4
5
6
p⇔q
Segitiga ABC sama sisi ⇔ besar setiap sudut
segitiga adalah 60 o
x 2 − 1 = 0 ⇔ x= 1
n habis dibagi 7 ⇔ n adalah bilangan Prima
ABCD bangun persegi ⇔ ABCD segi empat
yang sisinya sama
grafik f ( x ) bukan garis lurus ⇔ f ( x ) adalah
fungsi yang tidak linier
f ( x ) adalah fungsi linier ⇔ grafik f ( x ) bukan
garis lurus
Nilai
kebenaran
B
S
S
B
B
S
Contoh 5.2.6
Misalkan p, q dan r adalah pernyataan, dimana:
p : Bumi adalah satu-satunya planet di jagat raya yang mempunyai
kehidupan (B).
q : Satu dekade sama dengan 10 tahun. (B)
r : 1 + 1 = 3. (S)
Maka beberapa kombinasi dari pernyataan ini adalah:
1. Bumi bukan satu-satunya planet di jagat raya yang mempunyai
kehidupan.
296
Bab 5: Logika
Secara simbolik ditulis sebagai p dan
bernilai salah(S).
2. Satu dekade sama dengan 10 tahun dan 1 + 1 = 3.
Ditulis sebagai q ∧ r yang bernilai salah(S).
3. Satu dekade sama dengan 10 tahun atau 1 + 1 = 3.
Ditulis sebagai q ∨ r
yang bernilai benar(B).
4. Jika satu dekade sama dengan 10 tahun maka 1 + 1 = 3.
Ditulis sebagai q → r
yang bernilai salah(S).
5. Satu dekade sama dengan 10 tahun jika dan hanya jika 1 + 1 = 3.
Ditulis sebagai q ⇔ r
yang bernilai salah(S).
Contoh 5.2.7
Nyatakan pernyataan berikut dengan simbol dan tentukan apakah benar
atau salah. ”Blaise Pascal menemukan sejumlah mesin hitung dan
tidak benar bahwa komputer digital elektronik pertama dirakit
pada abad ke dua puluh atau π dihitung hingga 1.000.000 angka
desimal pada tahun 1954”.
Jawaban:
Pertama, setiap pernyataan primitif kita beri simbol, misalkan:
p : Blaise Pascal menemukan sejumlah mesin hitung.
(B)
q : Komputer digital elektronik pertama dirakit abad ke dua puluh(B)
r : π dihitung hingga 1.000.000 angka desimal pada tahun 1954. (S)
Maka pernyataan yang ditanyakan bisa ditulis secara simbolik sebagai
(p ∧ q ) ∨ r
Untuk selanjutnya, karena Blaise Pascal menemukan mesin hitung
(calculator) pada tahun 1642, komputer digital pertama kali dirakit
Bab 5: Logika
297
sekitar tahun 1944 dan hingga tahun 1973 tidak pernah π dihitung
sampai 1.000.000 angka desimal, maka pernyataan p dan q bernilai
benar dan pernyataan r bernilai salah. Jika disubstitusikan ke dalam
bentuk simbolik diatas, maka diperoleh
(p ∧ q ) ∨ r ⇔ (B ∧ B ) ∨ S
⇔ (B ∧ S ) ∨ S
⇔ S∨ S
⇔S
Jadi :
pernyataan tersebut diatas bernilai salah.
Logika matematika dapat memberikan bimbingan agar dapat
memiliki pola pikir yang tepat, akurat, rasional dan kritis.
5.2.6 TABEL KEBENARAN (TRUTH TABLE)
Untuk mengevaluasi apakah sebuah pernyataan majemuk benar atau
salah kita perlu tabel kebenaran dari kalimat penghubung yang ada
dalam pernyataan tersebut. Untuk sembarang pernyataan p dan q,
rangkuman tabel kebenaran dari semua penghubung dapat dilihat pada
Tabel 5.2.1.
Tabel 5.2.1. Tabel kebenaran penghubung
p
q
p
p∧q
p∨q
p→q
p⇔q
B
B
S
S
B
S
B
S
S
S
B
B
B
S
S
S
B
B
B
S
B
S
B
B
B
S
S
B
298
Bab 5: Logika
Logika pernyataan tidak bisa menggambarkan sebagian besar
pernyataan dalam matematika dan ilmu komputer. Sebagai ilustrasi,
perhatikan pernyataan berikut
” p : n adalah bilangan ganjil ”
Pernyataan p bukan sebuah pernyataan karena nilai kebenaran p
bergantung pada nilai kebenaran n. Sebagai contoh, p benar jika n=3
dan salah jika n=8. Karena kebanyakan pernyataan dalam matematika
dan ilmu komputer menggunakan peubah (variabel), maka kita harus
mengembangkan sistem logika yang mencakup pernyataan yang
memuat variabel seperti itu.
DEFINISI 5.2.6
Misalkan P(x) merupakan sebuah pernyataan yang mengandung
variabel x dan D adalah sebuah himpunan. Kita sebut P sebuah
fungsi pernyataan (dalam D) jika untuk setiap x di D, P(x) adalah
pernyataan. Kita sebut D daerah asal pembicaraan (domain of
discourse) dari P.
Contoh 5.2.8
Berikut ini beberapa contoh fungsi pernyataan dan himpunan daerah
asal :
1.
n 2 + 2 n adalah bilangan ganjil, dengan daerah asal himpunan
bilangan bulat.
Bab 5: Logika
2.
299
x 2 − x − 6 = 0 , dengan daerah asal himpunan bilangan real.
3. Seorang pemain bisbol memukul bola melampaui 300 ft pada tahun
1974, dengan daerah asal himpunan pemain bisbol.
Sebuah penghubung (predikat)
seringkali menyatakan sebuah
hubungan relasional antara: konstanta, variable dan fungsi.
Simbol-simbol yang digunakan dalam logika penghubung:
ƒ
Simbol konstanta : a, b, c, d.
ƒ
Simbol variabel : x, y, z, w.
ƒ
Simbol fungsi : f, g, h.
ƒ
Simbol penghubung : P, Q, R, S.
Contoh 5.2.9
Beberapa contoh penghubung:
1. 2x+3 ≥ 5, dengan x bilangan bulat positif dapat ditulis sebagai
untuk setiap x (bulat positip),
P(x) : f(x) ≥ 5
2. x + y ≤ x- y, dengan x dan y bilangan real dapat ditulis sebagai
untuk setiap x,y (real), Q(x; y) : f(x; y) ≤ g(x; y)
3. jika x > 0 maka 4x + 1 ≥ 1, dengan x bilangan bulat dapat ditulis
sebagai beberapa x (bulat), jika R(x) : x > 0, maka S(x) : h(x) ≥ 1
Contoh pertama, penghubung P(x) menyatakan hubungan relasional
antara fungsi f(x) dan konstanta 5. Pada contoh kedua penghubung
Q(x; y) menyatakan hubungan relasional antara fungsi f(x; y) dengan
fungsi g(x; y). Contoh
ketiga memuat
penghubung bersyarat
300
Bab 5: Logika
” jika ... maka ... ” dengan premis/hipotesa penghubung R(x) dan
konklusi/kesimpulan penghubung S(x).
SSO
OAALL LLAATTIIH
HAAN
N 55--22
1. Tentukan ingkaran atau negasi dari setiap kalimat berikut:
a) Dua ratus tujuh belas adalah bilangan prima.
b) Diagonal ruang pada suatu kubuas ada 4 buah
c) Untuk semua sudut x, berlaku cos 2 x + sin 2 x = 1
d) Pulau Matak termasuk wilayah propinsi Kepulauan Riau.
e) 49 adalah bilangan kuadrat.
2. Lengkapi tabel kebenaran berikut ini:
p
q
B
B
B
S
S
B
S
S
p
p∧q
p∨q
p→q
p⇔q
3. Diberikan pernyataan-pernyataan sebagai berikut:
p : Dua garis yang sejajar mempunyai titik potong
q : Parabola selalu memotong sumbu x.
r : nilai sinus suatu sudut maksimal 1.
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataannya-pernyataan berikut:
a) (p ∧ q )
d) ( p → q) ⇒ q
b) (p ∨ r) → p
e) (p ∧ q ) ∨ r
c) (p ⇒ q ) ∧ q ⇒ r
f) (p ∧ q ) → (r → q )
Bab 5: Logika
301
4. Diketahui kalimat terbuka p ( x) = x 2 − 6 x + 15 < 10 . Peubah x
berada dalam semesta pembicaraan
S = { 0,1,2,3,4,5,6}.
Pernyataan p terbentuk dari p(x) dengan cara mengganti x ∈ S.
a) Carilah nilai-nilai x ∈ S sehingga p bernilai benar.
b) Carilah nilai-nilai x ∈ S sehingga p bernilai benar.
c) Jika P adalah himpunan penyelesaian kalimat terbuka p(x) dan
P’ adalah himpunan penyelesaian kalimat terbuka p (x) dalam
semesta pembicaraan S, gambarlah P,P’,S
dalam sebuah
diagram Venn.
5. Periksalah kebenaran implikasi berikut. Jika salah berikan contoh
kesalahannya.
a) Jika x=2 maka 2 x 2 − 5 x + 2 = 0
b) Jika ab>0 maka a>0 dan b>0
5.3 KUANTOR UNIVERSAL DAN KUANTOR
EKSISTENSIAL
Sebelum lebih jauh ke dalam kontek pembicaran Invers, konvers dan
kontra posisi simaklah definisi kuantor universal dan kuantor
eksistensial dibawah ini :
302
Bab 5: Logika
DEFINISI 5.3.1 :
Misalkan P(x) adalah fungsi pernyataan dengan daerah asal D.
1. Pernyataan ”untuk setiap x, P(x)” dikatakan sebagai pernyataan
kuantor universal dan secara simbolik ditulis sebagai berikut
" ∀ x; P(x) "
Simbol ”
∀ ” disebut kuantor universal (universal quantifier).
2. Pernyataan ”untuk beberapa x, P(x)” dikatakan sebagai
pernyataan kuantor eksistensial dan secara simbolik ditulis
sebagai berikut
" ∃ x; P(x) "
Simbol ” ∃ ” disebut kuantor eksistensial (existensial quantifier).
Jadi pernyataan yang menggunakan kata “ semua” atau “setiap” disebut
pernyataan kuantor universal (umum) , sedangkan pernyataan yang
menggunakan kata “Beberapa” atau “ada” kuantor eksistensial
(khusus).
Pernyataan untuk setiap x, P(x) bernilai benar jika untuk setiap x ∈ D,
maka P(x) bernilai benar. Pernyataan untuk beberapa x, P(x) bernilai
benar jika terdapat sekurang kurangnya satu x ∈ D sehingga P(x)
bernilai benar.
Jadi untuk mengevaluasi sebuah pernyataan dalam bentuk simbolik dan
memuat penghubung, kita harus menetapkan daerah asal dari setiap
variabelnya dan memberikan interpretasi (makna) terhadap fungsi dan
penghubung yang ada didalamnya.
Bab 5: Logika
303
Contoh 5.3.1
Tulislah pernyataan berikut secara simbolik: ”Untuk setiap bilangan
bulat positif yang habis dibagi dengan 6 juga habis dibagi dengan 3”
Jawaban:
Misalkan: Penghubung ”x habis dibagi dengan y” secara simbolik
ditulis sebagai P(x,y). Maka penghubung ”x habis dibagi 6 juga habis
dibagi 3” secara simbolik dapat ditulis sbb:
Jika P(x,6) maka P(x,3)
Jadi pernyataan yang ditanyakan secara simbolik dapat ditulis sbb:
∀ x, Jika P(x,6), maka P(x,3)
dengan daerah asal himpunan bilangan bulat positif.
5.3.1 NEGASI DARI PERNYATAAN BERKUANTOR
Seperti yang telah diuraikan sebelumnya bahwa negasi adalah ingkaran
dari suatu pernyataan p yang dilambangkan dengan p . Selanjutnya
dapat dengan mudah dapat dirumuskan bahwa :
ƒ
Negasi dari sebuah kuantor universal pastilah kuantor
eksistesial.
ƒ
Negasi dari kuantor eksistensial adalah kuantor universal.
Yang dirumuskan sebagai berikut :
ƒ
Negasi kuantor universal : [∀x, P( x)] ≡ ∃x, P( x)
ƒ
Negasi kuantor eksistensial : [∃x, P( x)] ≡ ∀x, P( x)
304
Bab 5: Logika
Contoh 5.3.2
Tentukan negasi dari formula yang memuat kuantor berikut:
1. ∃x ∈ R, x 2 − 1 = 0
2. ∀x ∈ R, x 2 + 1 ≥ 0
Jawaban:
1.
∃x ∈ R, x 2 − 1 = 0 suatu pernyataan yang benar.
Sedangkan
negasi
dari
pernyataan
tersebut
adalah:
∃x ∈ R, x 2 − 1 = 0 ≡ ∀x ∈ R, x 2 − 1 ≠ 0 Biimplikasi dengan nilai
salah
2.
∀x ∈ R, x 2 + 1 ≤ 0 suatu pernyataan yang salah
Sedangkan negasi dari pernyataan tersebut adalah:
∀x ∈ R, x 2 + 1 ≤ 0 ≡ ∃x ∈ R, x 2 + 1 > 0 Biimplikasi dengan nilai
benar.
5.3.2 HUBUNGAN INVERS, KONVERS DAN KONTRAPOSISI
Untuk melihat hubungan antara implikasi dengan konvers, invers dan
kontraposisi perhatikan pernyataan implikasi berikut ini :
i. “Jika Fahim seorang mahasiswa maka Fahim lulus SMA”.
Dari pernyataan implikasi ini dapat dibuat beberapa pernyataan yang
baru :
ii.Jika Fahim lulus SMA maka Fahim seorang mahasiswa
iii.Jika Fahim bukan mahasiswa maka Fahim tidak lulus SMA
Bab 5: Logika
305
iv.Jika Fahim tidak lulus SMA maka Fahim bukan seorang
mahasiswa
Pernyataan-pernyataan i, ii, iii dan iv dapat ditulis dalam Pernyataanpernyataan komponen dalam lambang sebagai berikut :
i.
p →q
ii.
q →p
iii.
p → q
iv.
q→ p
Pernyataan : q → p disebut Konvers dari implikasi
p →q
Pernyataan : p → q disebut invers dari implikasi
p →q
Pernyataan : q → p disebut Kontraposisi dari implikasi p → q
Untuk semua nilai kebenaran dari hubungan nilai-nilai kebenaran
implikasi, konvers, invers dan kontraposisi dapat diperlihatkan pada
table 5.3.1 sebagai berikut :
Tabel 5.3.1 : Tabel nilai kebenaran
Komponen
Implikasi
p→q
p
q
p
q
B
B
S
B
S
B
S
S
B
S
B
S
Konvers
q→p
invers
kontraposisi
p→
q→ p
q
B
S
B
B
B
S
B
B
S
Berdasarkan tabel tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut
1)
Implikasi ekuivalen dengan kontra posisi.
2)
Konvers ekuivalen dengan invers.
B
S
B
306
Bab 5: Logika
5.3.3 DUA BUAH PERNYATAAN MAJEMUK YANG
EKUIVALEN
Untuk memahami
pengertian dua buah pernyataan majemuk yang
ekuivalen, perhatikan contoh kalimat berikut ini :
p: Boby tidak malas
q : boby rajin belajar
Dibuat dua buah pernyataan majemuk sebagai berikut:
a : Boby tidak malas maka Boby rajin belajar : p → q
dengan nilai kebenaran B
b : Boby malas atau Boby rajin belajar : p ∨ q
dengan nilai kebenaran B.
Dari pernyataan-pernyataan a dan b dapat dibentuk biimplikasi :
⇔ b
a
⇔ p∨ q
p →q
atau :
dengan nilai kebenaran B.
Contoh 5.3.3
Dengan menggunakan tabel kebenaran penghubung maka perlihatkan
bahwa pernyataan:
” p → q”
ekuivalen dengan pernyataan
”p ∨ q”.
Jawaban:
p
q
p→q
p ∨q
p→q⇔ p ∨ q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
B
B
S
B
B
B
B
B
B
Bab 5: Logika
307
p → q ⇔ p ∨ q.
Dari tabel dapat dilihat bahwa :
Perhatikan kolom ke 5 dari tabel pada contoh 6.3.1 , selalu bernilai
benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari tiap pernyataan
komponennya. Perkataan majemuk yang bersifat seperti itu dikatakan
benar logis yang disebut Tautologi.
Tautologi yang berbentuk:
a
⇔ b
dinamaka Ekuivalen Logis ditulis dengan lambang a ≡ b (dibaca
a equivlen b) atau ( a setara dengan b)
Sedangkan untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari tiap
pernyataan komponennya selalu bernilai salah, perkataan majemuk
yang
bersifat
seperti
itu
dikatakan
Kontradiksi.
Berikut
ini
didefinisikan suatu Tautologi dan kontradiksi.
DEFINISI 5.3.2
Tautologi:
Sebuah pernyataan dikatakan bernilai Tautologi (valid), jika
pernyataan tersebut bernilai benar terhadap setiap pemberian nilai
kebenaran bagi setiap variabelnya.
DEFINISI 5.3.3
Kontradiksi:
Sebuah pernyataan dikatakan bernilai Kontradiksi, jika pernyataan
tersebut bernilai salah terhadap setiap pemberian nilai kebenaran
bagi setiap variabelnya.
308
Bab 5: Logika
Contoh 5.3.4
Tunjukkan bahwa Pernyataan p ∨ p adalah tautologi dan pernyataan
p ∧ p adalah kontradiksi
Jawab :
Untuk menunjukkan bahwa Pernyataan p ∨ p adalah tautology atau
bukan dan
pernyataan p ∧ p adalah kontradiksi atau bukan harus
terlebuh dahulu dicari nilai kebenaran untuk semua kemungkinan nilai
kebenaran komponennya. Perhatikan table berikut ini :
p
p
p∨ p
p∧ p
B
S
B
S
S
B
B
S
Jelas
bahwa
pernyataan
majemuk:
selalu benar
p∨ p
sedangkan:
selalu salah
p∧ p
Jadi Pernyataan p ∨ p adalah tautologi dan pernyataan p ∧ p adalah
kontradiksi.
Contoh 5.3.5
Tunjukkan bahwa implikasi ( p → q) ⇒ q bernilai tautology.
Jawab
Bab 5: Logika
309
Untuk menunjukkan bahwa Pernyataan
( p → q) ⇒ q
adalah
tautology atau bukan terlebuh dahulu dicari nilai kebenaran untuk
semua kemungkinan nilai kebenaran komponennya. Perhatikan tabel
berikut ini :
p
q
B
B
S
S
B
S
B
S
p→q
p→q
B
S
B
B
S
B
S
S
q
S
B
S
B
( p → q) ⇒ q Pada kolam 6,
B
B
B
B
nilai selalu benar
untuk implikasi :
( p → q) ⇒ q
LLaattiihhaann 55..33
1)
Tentukan invers, konvers dan kontraposisi dari setiap implikasi
berikut ini:
a. Jika Taufik Juara All England maka Taufik punya medali.
b. Jika Abi pegawai negri maka Abi terima gaji.
c. Jika cos nπ = 0 maka n bilangan ganjil.
2) Tentukan pernyataan implikasi yang memiliki :
a) invers p → q
b) Kontraposisi p → q
3) Tentukan negasi dari setiap pernyataan berkuantor berikut ini :
a) Setiap bilangan rasional adalah bilangan real.
b) Terdapat bilangan real x sehingga x 2 − 4 x < 0
310
Bab 5: Logika
c) Beberapa fungsi kuadrat tidak memotong sumbu x.
d) Tidak semua murid di kelas ini yang lolos SPMB.
e) Semua segitiga sama sisi mempunyai besar sudut 60o.
4) Jika N = himpunan bilangan asli, C = himpunan bilangan cacah
dan R=himpunan bilangan real. Tentukan negasi dari bilangan
berkuantor berikut ini :
a) ∀x ∈ R, n ∈ N berlaku n x > 0
b) ∃x ∈ R, sehingga 4 < x 2 − 4 x < 10 dan x ∈ N
5) Tunjukkan bahwa implikasi berikut ini adalah Tautologi:
a)
( p → q) → p
b)
p→ p∨q
5.4 SILOGISME, MODUS PONENS DAN MODUS
TOLLENS
Silogisme Modus Ponens dan Modus
Tollens adalah metode atau cara yang
digunakan dalam menarik kesimpulan.
Proses penarikan kesimpulan terbagi
atas beberapa hipotesa yang diketahui
nilai kebenarannya yang kemudian
dengan menggunakan prinsip-prinsip
logika diturunkan suatu kesimpulan
(konklusi). Penarikan kesimpulan ini
disebut dengan argumentasi.
Berpokir yang logis memberikan
keamanan dalam bertindak
Bab 5: Logika
311
Prinsip-prinsip logika yang digunakan untuk menarik suatu kesimpulan
adalah sebagai berikut :
i)
Argumen dikatakan berlaku atau syah:
Jika konjungsi dari hipotesa-hipotesanya berimplikasi dengan
kesimpulan
ii) Misalkan hipotesa yang diketahui adalah a dan b sedangkan
kesimpulannya adalah c, Argumen yang berlaku atau syah:
a ∧ b ⇒c
iii) Argumen dikatakan berlaku atau syah:
Jika hipotesa-hipotesanya benar maka kesimpulannya juga benar.
iv) Argumen disusun dengan cara menuliskan hipotesa-hipotesanya
barus demi baris kemudian dibuat garis mendatar dan kesimpulan
diletakkan baris paling bawah sebagai berikut :
a
Hipotesa 1
b
Hipotesa 2
∴c
Kesimpulan
Tanda ∴ c dibaca “Jadi c” atau “Oleh karena itu”.
5.4.1 SILOGISME
Proses penarikan kesimpulan yang menggunakan sifat menghantar dari
pernyataan implikasi , dilakukan dengan cara menyusun bari-baris :
p ⇒q
hipotesa 1
q ⇒r
hipotesa 2
∴ p ⇒r
kesimpulan
312
Bab 5: Logika
dalam bentuk implikasi, silogisme tersebut dapat ditulis menjadi :
(p ⇒ q ) ∧ ( q ⇒ r )
⇒
( p ⇒ r)
dimana syah atau tidaknya kesimpulan, dapat dilihat pada tabel berikut ini:
p
q
r
B
B
B
B
S
S
S
S
B
B
S
S
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
S
p⇒q
q⇒r
p⇒r
p⇒q
∧
(p
q ⇒ r
B
B
S
S
B
B
B
B
B
S
B
B
B
S
B
B
B
S
B
S
B
B
B
B
B
S
S
S
B
S
B
B
→ q
⇒
∧
q → r
)
( p → r)
B
B
B
B
B
B
B
B
Contoh 5.4.1
Tentukan kesimpulan dari argumen berikut :
Jika cuaca mendung maka hari akan hujan ............. hipotesa 1.
Jika hari akan hujan maka udara terasa sejuk .............hipotesa 2.
Jawab :
Jika
Cuaca mendung
maka
p
Jika
maka
udara terasa sejuk
hipotesa 2
r
∴ p ⇒r
Jadi kesimpulannya:
...hipotesa 1
q
Hari akan hujan
q
Hari akan hujan
kesimpulan
Jika cuaca mendung maka udara terasa sejuk
Contoh 5.4.2
Jika x bilangan real, maka x2 ≥ 0.............hipotesa 1.
Bab 5: Logika
313
Jika x2 ≥ 0, maka x2+1 ≥ 0.......................hipotesa 2.
Jawab :
Jika
maka
x bilangan real
p
x2 ≥ 0
q
Jika
maka
x2 ≥ 0
q
...hipotesa 1
x2+1 ≥ 0
r
hipotesa 2
∴ p ⇒r
kesimpulan
Jika x bilangan real maka x2+1 ≥ 0
Jadi kesimpulannya adalah :
5.4.2 MODUS PONENS
Proses penarikan kesimpulan yang menggunakan sifat menghantar dari
pernyataan implikasi , dilakukan dengan cara menyusun bari-baris :
p ⇒q
hipotesa 1
p
hipotesa 2
∴q
kesimpulan
dalam bentuk implikasi, Modus ponens tersebut dapat ditulis menjadi :
(p ⇒ q ) ∧ p
⇒ q
yaitu konjungsi dari hipotesa-hipotesanya berimplikasi kesimpulan.
Modus ponens dikatakan syah atau tidaknya kesimpulan apabila
(p ⇒ q ) ∧ p
implikasi
⇒ q
merupakan sebuah Tautologi. Perhatikan tabel berikut ini:
Tabel Tautologi :
p
q
p→q
p→ q ∧p
(p → q ∧ p ) → q
B
B
B
B
B
B
S
S
S
B
S
B
B
S
B
S
S
B
S
B
314
Bab 5: Logika
Contoh 5.4.3
Tentukan kesimpulan dari argumen berikut :
Jika turun hujan maka udara terasa sejuk.............hipotesa 1.
Dan turun hujan
.............hipotesa 2.
Jawab :
Jika
turun hujan
maka
p
dan
udara terasa sejuk
...hipotesa 1
q
....hipotesa 2
turun hujan
p
∴q
Jadi kesimpulannya adalah :
kesimpulan
udara terasa sejuk
Contoh 5.4.4
Jika x bilangan real, maka x2+1 ≥ 0
.......hipotesa 1.
Dan x bilangan real
.......hipotesa 2.
Bab 5: Logika
315
Jawab :
Jika
x bilangan real
maka
x2+1 ≥ 0
p
dan
...hipotesa 1
q
hipotesa 2
x bilangan real
p
∴q
kesimpulan
Jadi kesimpulannya adalah :
x2+1 ≥ 0
5.4.3 MODUS TOLLENS
Proses penarikan kesimpulan yang menggunakan sifat menghantar dari
pernyataan implikasi, dilakukan dengan cara menyusun bari-baris :
p ⇒q
hipotesa 1
q
hipotesa 2
∴ p
kesimpulan
dalam bentuk implikasi, Modus ponens tersebut dapat ditulis sebagai:
(p ⇒ q ) ∧ q ⇒
p
yaitu konjungsi dari hipotesa-hipotesanya berimplikasi kesimpulan
Modus Tollens dikatakan syah atau tidaknya kesimpulan apabila
implikasi.
(p ⇒ q ) ∧ q ⇒
p
merupakan sebuah Tautologi. Perhatikan tabel berikut ini:
p
q
q
p→q
p→ q ∧ q
p
(p → q ∧ q ) → p
B
B
S
B
S
S
B
B
S
B
S
S
S
B
S
B
S
B
S
B
B
S
S
B
B
B
B
B
316
Bab 5: Logika
Cara lain menunjukkan syah atau tidaknya
sebuah Modus Tollens
adalah dengan mengambil kontra posisi dari argumen sebagai berikut:
p ⇒q
q⇒ p
Kontra posisi :
Contoh 5.4.5
Tentukan kesimpulan dari argumen berikut :
Jika turun hujan maka udara terasa sejuk.............hipotesa 1.
Dan tidak sejuk
.............hipotesa 2.
Jawab :
Jika
turun hujan
maka
p
dan
...hipotesa 1
udara terasa sejuk
q
udara tidak sejuk
....hipotesa 2
q
Kontra posisinya adalah:
Jika
udara tidak sejuk
maka
Jadi kesimpulannya adalah :
Tidak turun hujan
Tidak turun hujan
Bab 5: Logika
317
Contoh 5.4.6
Jika x bilangan real, maka x2+1 ≥ 0
.......hipotesa 1.
Dan x2+1 < 0
.......hipotesa 2.
Jawab :
Jika
x bilangan real
p
dan
maka
x2+1 ≥ 0
...hipotesa 1
q
hipotesa 2
x2+1 < 0
q
Kontra posisinya adalah:
Jika
x2+1< 0
maka
Jadi kesimpulannya adalah :
x bukan bilangan real
x bukan bilangan real
• RANGKUMAN
•
Sebuah pernyataan atau proposisi adalah sebuah kalimat
deklaratif yang mempunyai tepat satu nilai kebenaran.
•
Suatu kalimat yang nilai kebenarannya belum dapat dibuktikan
disebut kalimat terbuka.
•
Penghubung kalimat : negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi,
dan biimplikasi.
•
Sebuah pernyataan dikatakan bernilai tautologi (valid), jika
pernyataan tersebut bernilai benar terhadap setiap pemberian
318
Bab 5: Logika
nilai kebenaran bagi setiap variabelnya.
Sebuah
pernyataan
dikatakan
bernilai
kontradiksi,
jika
pernyataan tersebut bernilai salah terhadap setiap pemberian
nilai kebenaran bagi setiap variabelnya.
LLaattiihhaann 55..44
Untuk Soal no 1-3 tentukan kesimpulan tiap argumen berikut!
1) Jika kena air hujan maka aku sakit
.......hipotesa1.
Aku sakit
.......hipotesa2.
2) Jika f(-x) = f(x) maka f(x) fungsi genap
.......hipotesa1.
f(x) fungsi genap maka f(x) simetri terhadap sumbu x .......hipotesa2.
3) Jika y = ax 2 + bx + c < 0 maka
y
disebut
definit
negatip
hipotesa1
y bukan definit negatip
.......hipotesa2
Untuk Soal no 4-6 periksalah keabsyahan tiap argumen berikut!
4) p ⇒ q
hipotesa 1
q⇒r
hipotesa 2
∴ r→p
kesimpulan
5) p ∨ q
hipotesa 1
q→ p
hipotesa 2
∴q
kesimpulan
Bab 5: Logika
6) p ⇒ q
319
hipotesa 1
q∨r
hipotesa 2
p
hipotesa 3
∴r
kesimpulan
6. Fungsi
Bab
6
FUNGSI
P
ernahkah anda memperhatikan gerakan bola yang dilempar ke
atas oleh seseorng. Secara tidak langsung ternyata anda telah
pemperhatikan gerakan bola tersebut membentuk sebuah
fungsi yang disebut dengan Fungsi Parabola (Gambar 6.1.1). Gambar
a memperlihatkan sebuah lintasan Parabola jika pengamat berada pada
sebuah kereta yang bergerak searah gerakan pelempar bola, sedang
gambar b juga memperlihatkan sebuah lintasan Parabola jika dilihat
pengamat yang diam di tanah.
Pada bab ini akan dibahas materi yang berkaitan dengan fenomena
yang diilustrasikan diatas yaitu berkaitan dengan relasi dan fungsi,
kemudian dilanjutkan dengan permasalahan yang terkait dengan fungsi
yaitu persamaan fungsi linear, fungsi kuadrat, fungsi eksponensial dan
fungsi logaritma.
321
322
Bab 6: Fungsi
Gambar 6.1.1 Sumber : ”Fisika”Tipler
6.1 FUNGSI DAN RELASI
Topik penting yang sering dijumpai dalam matematika adalah relasi
dan fungsi. Kedua topik ini muncul karena adanya hubungan atau
ketergantungan antara satu besaran dengan besaran lainnya. Seringkali,
hubungan ini didapatkan dari permasalahan yang kita hadapi seharihari. Sebagai contoh, adanya hubungan antara pegawai pada suatu
perusahaan dengan bagian/departemen tertentu pada perusahaan
tersebut, hubungan antara luas lingkaran dengan panjang jari-jarinya,
hubungan antara nama-nama siswa dalam suatu kelas dengan kesukaan
(hobby)nya, hubungan antara nama-nama kabupaten di suatu propinsi
dengan jumlah penduduknya, hubungan antara biaya produksi dengan
jumlah produk yang dihasilkan oleh sebuah pabrik, dan lain-lain.
Dari beberapa contoh diatas,
dapat dimengerti bahwa suatu relasi
terjadi antara satu kelompok tertentu dengan kelompok lainnya,
misalnya antara kelompok siswa dengan kelompok hoby. Dalam
Bab 6: Fungsi
323
matematika, istilah kelompok ini dikenal dengan istilah himpunan.
Setiap
himpunan
mempunyai
anggota
(himpunan
yang
tidak
mempunyai anggota disebut himpunan kosong). Dalam penulisannya,
suatu himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf kapital (huruf
besar), misal A, B, C,.... sedangkan anggota himpunan dinyatakan
dengan huruf kecil, misal a, b, c, .... Relasi dari himpunan A ke
himpunan
B
didefinisikan
memadankan/memetakan
sebagai
anggota-anggota
aturan
himpunan
A
yang
dengan
anggota-anggota himpunan B. Untuk memperjelas konsep ini,
perhatikan contoh 6.1.1 yang menyatakan relasi antara himpunan siswa
dengan himpunan kesukaan:
Contoh 6.1.1
A = himpunan siswa dalam suatu kelas
= {Agus, Bima, Cakra, Durna}
B = himpunan kesukaan
= {membaca novel, sepak bola, menonton TV, bermain musik}
Relasi antara kedua himpunan misalkan ditentukan berikut:
9 Agus suka membaca novel dan bermain musik
9 Bima menyukai sepakbola
9 Durna suka bermain musik
9 Cakra suka sepakbola dan menonton TV
Relasi ini dapat digambarkan dalam bentuk diagram berikut:
324
Bab 6: Fungsi
atau dapat juga dinyatakan dengan himpunan pasangan terurut sebagai
berikut:
{(Agus, membaca novel), (Agus, bermain musik), (Bima, sepakbola),
(Durna, bermain musik), (Cakra, sepakbola), (Cakra, menonton TV)}
Fungsi merupakan salah satu bentuk khusus dari relasi. Misalkan A dan
B adalah dua himpunan, dimana anggota himpunan B tergantung pada
anggota himpunan A. misalkan pula x adalah anggota A dan y adalah
anggota B. Fungsi dari A ke B adalah aturan yang memadankan setiap
anggota dalam himpunan A dengan tepat pada satu anggota dalam
himpunan B. Kita dapat mendefinisikan secara formal dalam definisi
6.1.1 berikut :
Definisi 6.1.1:
Sebuah fungsi f adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan
tiap objek x dalam satu himpunan yang disebut daerah asal, dengan
sebuah nilai f(x) dari himpunan kedua. Himpunan nilai yang
diperoleh disebut daerah nilai fungsi tersebut.
Bab 6: Fungsi
325
Dengan kata lain, pemetaan dari x terhadap y disebut fungsi jika:
-
untuk setiap x dalam A dapat dicari nilai y dalam B yang
merupakan nilai/ pasangannya. Elemen x di A dihubungkan
oleh f dengan elemen y di B, ditulis xfy atau y=f(x).
-
untuk satu x kita mempunyai satu dan hanya satu nilai y.
Himpunan A disebut daerah asal atau domain dan himpunan B disebut
daerah kawan atau kodomain. Himpunan bagian dari B, misalkan R,
yang berisi nilai-nilai yang merupakan hasil dari penerapan fungsi atas
anggota dari daerah asal disebut daerah hasil atau range. Untuk
memperjelas konsep diatas, perhatikan dua contoh berikut ini.
Contoh 6.1.2
Diberikan 3 contoh relasi pada Gambar 6.1.2 (a), (b), dan (c), tentukan
mana yang fungsi dan yang bukan fungsi.
(a)
(b)
(c)
Gambar 6.1.2
Jawab:
Pada Gambar 6.1.2(a) elemen c di daerah asal tidak dipetakan pada
daerah hasil, sedangkan Gambar 6.1.2(b) elemen c mempunyai kawan
lebih dari satu di daerah hasil maka 2(a) dan 2(b) hanyalah sebuah
relasi dan bukan menyatakan fungsi dari A ke B. Pemetaan pada
Gambar 6.1.2(c) merupakan fungsi karena kedua syarat fungsi
326
Bab 6: Fungsi
dipenuhi. Pada Gambar 6.1.2(c), domain fungsi adalah himpunan A dan
kodomainnya adalah B. Karena nilai fungsi hanya 2 dan 3 saja maka
range fungsi adalah R = {2, 3}.
Contoh 6.1.3
Berdasarkan pengalaman penyelam, tekanan cairan p bergantung pada
kedalaman d. Berdasarkan data selama penyelaman yang dilakukan,
hubungan antara p dan d tersebut dapat dinyatakan dalam tabel berikut:
kedalaman (d)
10 meter
20 meter
30 meter
40 meter
50 meter
60 meter
70 meter
80 meter
90 meter
Tekanan cairan (p)
2,1 atm.
3,2 atm.
4,3 atm.
5,4 atm.
6,5 atm.
7,6 atm.
8,7 atm.
9,8 atm.
10,9 atm.
Tentukan apakah hubungan tersebut menyatakan fungsi ?.
Jawab:
Pada contoh diatas, pemetaan dari A ke B dapat digambarkan sebagai
berikut : kawan dari 10 adalah 2,1, kawan dari 20 adalah 3,2 dan kawan
dari 30 adalah 4,3 dan seterusnya. Hukum fisika juga mengatakan
bahwa tekanan cairan p bergantung pada kedalaman d. Jadi tidak
mungkin terjadi pada kedalaman yang sama mempunyai tekanan yang
berbeda. Jadi f merupakan fungsi yang dapat dituliskan sebagai berikut:
f(10) = 2,1, f(20) = 3,2, dan f(30) = 4,3 dan seterusnya. Karena
kedalaman yang diperoleh dari data: 0
≤ d ≤ 90,
maka daerah asal
(domain) fungsi tersebut yaitu A adalah bilangan positip yang dapat
ditulis A={d / 0
≤ d ≤ 90), daerah
kawan (kodomain) fungsi yaitu
Bab 6: Fungsi
327
B tekanan adalah lebih atau sama dengan 1 (satu) atau dapat ditulis
B={p / 2,1 ≤
p ≤ 10,9}.
6.1.1 JENIS‐JENIS FUNGSI
Ditinjau
dari
cara
mengkawankannya,
fungsi
dapat
dibedakan menjadi 3 jenis yaitu fungsi injektif, surjektif, dan
bijektif. Jenis fungsi tersebut ada kaitannya dengan sifat pemetaan
dari daerah asal ke daerah hasil . Ketiga jenis fungsi tersebut
adalah :
i)
Fungsi Injektif
ii)
Fungsi Surjektif
iii) Fungsi Bijektif
Definisi 6.1.2 :
Misalkan f adalah fungsi dari himpunan A ke B maka:
i)
Fungsi f disebut injektif jika untuk setiap elemen y di daerah
nilai, y paling banyak mempunyai satu kawan dari x di A.
Dengan kata lain, fungsi injektif adalah fungsi satu-satu.
ii) Fungsi f disebut surjektif jika untuk setiap elemen y di B habis
dipetakan oleh anggota himpunan di A.
iii) Fungsi f disebut bijektif jika fungsi itu injektif dan surjektif
328
Bab 6: Fungsi
Contoh 6.1.4
Diketahui fungsi f dengan aturan pemetaan seperti pada Gambar 8.1.4
Tunjukkan bahwa fungsi tersebut injektif.
Gambar 6.1.4
Jawab:
Pertama dicari dulu daerah hasil (range) fungsi tersebut yaitu {1,3,4,5}
dan kodomain B = {1, 2, 3, 4, 5}. Sekarang kita selesaikan persamaan
f(x) = y jika y anggota {1, 3, 4, 5} di daerah hasil. y=1 merupakan
pemetaan hanya satu anggota dari daerah asal yaitu x=a. Jika y = 3
merupakan pemetaan hanya satu anggota dari daerah asal yaitu x=b.
Demikian juga, jika y = 4, 5 maka merupakan pemetaan hanya satu
anggota dari daerah asal yaitu masing-masing c dan d. Dengan
demikian, f adalah injektif (fungsi satu-satu).
Contoh 6.1.5
Diketahui fungsi f dengan aturan pemetaan seperti pada Gambar 6.1.5.
Tunjukkan bahwa fungsi itu surjektif.
Bab 6: Fungsi
329
Gambar 6.1.5
Jawab:
Dari gambar tampak bahwa A = (a, b, c, d, e } dan B = {1, 2, 3, 4}.
Kemudian kita uji persamaan f(x)=y dengan y semua kemungkinan
elemen di B.
Jika y=1 maka persamaan tersebut merupakan pemetaan f(a)= 1,f(b)=1.
Kemudian untuk y=2 merupakan pemetaan dari f(c)=2.
Demikian pula untuk y=3 merupakan pemetaan dari f(d)=3 dan untuk
y=4 diperoleh dari pemetaan f(e)=4.
Karena untuk semua y, persamaan selalu mempunyai jawaban, maka
fungsi yang diketahui bersifat surjektif.
Contoh 6.1.6
Diketahui fungsi f dengan aturan pemetaan seperti pada Gambar 6.1.6.
Perlihatkan bahwa f adalah bijektif
330
Bab 6: Fungsi
Gambar 6.1.6
Jawab:
Kita harus menguji bahwa persamaan y=f(x) dengan y anggota B harus
mempunyai jawab dan banyaknya jawab hanya satu. Dari gambar
tersebut
dapat
dibuat
tabel
sebagai
berikut:
Karena untuk setiap y anggota B persamaan y=f(x) selalu merupakan
teman pemetaan di x dan paling banyak satu, maka f adalah fungsi yang
bersifat bijektif.
Bab 6: Fungsi
331
LLaattiihhaann 66..11
1. Diketahui
fungsi
f ( x) = x − 2
dengan
daerah
asal
D = { x | 0 ≤ x ≤ 5, x ∈ R}
a. Tentukan nilai fungsi untuk x = 0, x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, dan
x=5
b. Gambarkan sketsa grafik untuk fungsi f
c. Tentukan apakah fungsi tersebut surjektif, injektif atau bijektif
d. Tentukan daerah hasil (kodomain) dari fungsi f
2. Diketahui
fungsi
f ( x) = x 2 − 9
dengan
daerah
asal
D = { x | 2 ≤ x ≤ 5 dan x ∈ R}
a. Tentukan nilai fungsi untuk x = 2, x =3, x = 4 dan x = 5
b. Gambarkan sketsa grafik untuk fungsi f
c. Tentukan apakah fungsi tersebut surjektif, injektif atau bijektif
d. Tentukan daerah hasil (kodomain) dari fungsi f.
2
3. Tentukan apakah fungsi f ( x) = x , x ∈ R fungsi surjektif, injektif
atau bijektif. Bagaimana Anda menentukan domain fungsi supaya
fungsi tersebut bersifat bijektif?
4. Tentukan daerah asal alami fungsi-fungsi berikut :
a.
f ( x) = 3x − 2
d.
f ( x) =
x2 −1
b.
d.
f ( x) = x 2 − 2
f ( x) =
5. Misalkan y 2 = x .
a. Jika x = 5 , Carilah nilai y.
b. Apakah y 2 = x merupakan fungsi.
1
x−2
332
Bab 6: Fungsi
6.2 FUNGSI LINIER
Suatu fungsi y=f(x) disebut fungsi linier jika aturan untuk
mengawankan antara x dan y yang berbentuk y = mx + b
dengan m dan b adalah bilangan
real. Daerah definisi dan daerah
hasil terbesar dari fungsi ini
adalah himpunan bilangan real.
Jika fungsi ini dinyatakan dalam
bentuk grafik, maka grafik dari
fungsi ini akan berbentuk garis
lurus, dengan m menyatakan
nilai kemiringan garis terhadap
sumbu X
perpotongan
dan b adalah
garis
dengan
sumbu Y.
Ciri khas fungsi linier adalah dia tumbuh pada laju tetap. Sebagai
contoh, Gambar 6.2.1 menunjukkan grafik fungsi linier y = 2 x − 1
dan tabel nilai fungsi untuk beberapa nilai x. Perhatikan bahwa jika
nilai x bertambah 1, maka nilai y bertambah 2. Sehingga nilai y
bertambah 2 kali lebih cepat dari x. Jadi, kemiringan grafik y = 2 x − 1
yaitu 2, dapat ditafsirkan sebagai laju perubahan y terhadap x.
Nilai x
Nilai y = 2 x − 1
Bab 6: Fungsi
333
-1
-3
0
1
2
3
-1
1
3
5
Gambar 6.2.1
6.2.1 MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI LINIER
Fungsi linier mempunyai keistimewaan yaitu jika diketahui nilai dari
dua anggota, maka aturan keseluruhannya dapat diketahui. Sifat ini
serupa dengan garis. Melalui dua titik kita dapat menentukan satu garis.
Dengan demikian, untuk menggambar grafik fungsi linier dapat
dilakukan dengan cara berikut:
i.
tentukan dua buah nilai x sembarang, kemudian tentukan nilai y
untuk masing-masing nilai x berdasarkan aturan fungsi
tersebut, sehingga kita dapatkan dua buah titik yang memenuhi
fungsi tersebut
j.
plot dua titik tersebut pada bidang koordinat, kemudian
hubungkan kedua titik tersebut sehingga akan terbentuk garis
lurus. Garis lurus inilah grafik fungsi linier y = mx + b
334
Bab 6: Fungsi
Untuk memperjelas hal ini, perhatikan contoh berikut.
Contoh 6.2.1
Diketahui fungsi linier y = 3 x + 2 . Gambarlah grafik fungsi tersebut.
Jawab:
Pertama, pilihlah dua titik x, misalkan x=0 dan x=3. Kemudian hitung
nilai y untuk masing-masing nilai x. Untuk x = 0 maka y = 3.0 + 2 = 2,
sehingga didapatkan titik yang memenuhi fungsi tersebut yaitu (0, 2)
dan untuk x = 2 maka y = 3.2 + 2 = 8 sehingga didapatkan titik (2,8).
Grafik fungsi
y = 3 x + 2 berupa garis lurus, sehingga cukup
menghubungkan keduatitik (0,2) dan (2,8), sehingga kita dapatkan
grafiknya gambar 6.2.2
Gambar 6.2.2: Grafik fungsi y = 3 x + 2
Bab 6: Fungsi
335
Karena bentuk umum dari fungsi linier y = mx + b merupakan
persamaan garis lurus, maka kita bisa menentukan persamaan grafik
fungsi linier (garis lurus) dengan beberapa cara, antara lain:
-
menentukan persamaan garis lurus jika diberikan dua titik
yang dilalui garis tersebut
-
menentukan persamaan garis lurus jika diketahui gradien dan
satu titik yang dilalui garis tersebut
-
menentukan persamaan garis lurus jika diketahui grafiknya
Seperti dijelaskan diatas, pada persamaan garis lurus y = mx + b , nilai
m merupakan kemiringan garis terhadap sumbu X atau lebih dikenal
dengan istilah gradien garis lurus tersebut. Sebagai contoh, persamaan
garis y = 3 x + 2 mempunyai gradien 3 dan persamaan y = − x − 3
mempunyai gradien -1. Jadi, untuk menentukan persamaan garis lurus,
kita harus bisa menentukan dan mendapatkan gradien garis tersebut
(Gambar 6.2.3). Misalkan garis ini melalui dua titik A ( x1 , y1 ) dan B
( x 2 , y 2 ) . Dari gambar tersebut dapat diperoleh kemiringan garis
tersebut. Untuk mendapatkan gradien garis lurus, perhatikan gambar
garis lurus berikut:
Gambar 6.2.3
336
Bab 6: Fungsi
Dari gambar garis lurus diatas, dapat dibuat suatu segitiga siku-siku
ACB. Dapat ditunjukkan bahwa gradien garis lurus adalah:
dengan
.
Contoh 6.2.2
Tentukam Gradien garis yang melalui titik-titik A(0, 2) dan B(2, 8)
Jawab:
Gradien garis yang melalui titik-titik A(0, 2) dan B(2, 8) adalah
6.2.2 PERSAMAAN GARIS LURUS YANG MELALUI SEBUAH
TITIK DENGAN GRADIEN DIKETAHUI
Melalui sebuah titik sebarang dapat dibuat tak berhingga garis, tetapi
melalui satu titik dan satu kemiringan hanya dapat dibuat satu garis.
Bagaimana cara mendapatkan Garis L : y = mx + b yang melalui
sebuah titik A ( x1 , y1 ) dengan gradien m. Misalkan B ( x, y ) adalah
sebarang titik pada garis L maka pastilah persamaan garis itu adalah :
y = mx + b
Bab 6: Fungsi
337
Oleh karena persamaan garis lurus tersebut melalui sebuah titik
A ( x1 , y1 ) maka ( x1 , y1 ) memenuhi persamaan garis L : y = mx + b
sehingga
Dari
kedua
y1 = mx1 + b
persamaan
yang
kita
peroleh,
disubtitusikan
:
y − mx = y1 − mx1
atau
(6.2.1)
6.2.3 PENENTUAN PERSAMAAN GARIS LURUS YANG
MELALUI DUA TITIK
Seperti dijelaskan diatas, komponen penting dalam persamaan garis
y = mx + b adalah gradien garis (m) dan komponen perpotongan
dengan sumbu Y yaitu y(0)=b. Untuk mendapatkan persamaan garis
lurus yang melalui dua titik A dan B, kita bisa menentukan nilai m
terlebih dahulu dengan rumus pencarian gradien yang melalui satu titik
dengan cara sebagai berikut: Misalkan persamaan garis y = mx + b .
Melalui titik ( x1 , y1 ) maka persamaan
y = mx + b berlaku untuk
pasangan ( x1 , y1 ) sehingga y1 = mx1 + b
diperoleh b = y1 − mx1 .
Oleh karena itu persamaan garis yang melalui titik
mempunyai gradien m adalah :
y = mx + b
y = mx + ( y1 − mx1 )
y − y1 = mx − mx1 )
(x1 , y1 )
dan
338
Bab 6: Fungsi
y − y1 = m ( x − x1 )
Dengan cara yang sama kita bisa juga mendapatkan persamaan garis
lurus yang melalui titik B ( x 2 , y 2 ) adalah:
y − y 2 = m( x − x 2 )
yang akan menghasilkan persamaan dari sebuah garis yang sama.
Dengan mensubtitusikan kedua persamaan yang didapat, kita peroleh
persamaan garis melalui dua buah titik :
(8.2.2)
6.2.4 KEDUDUKAN DUA BUAH GARIS LURUS
Misalkan ada dua buah garis lurus L1 : y1 = m1 x + b
L2 : y 2 = m 2 x + b
dan
Kedudukan L1 terhadap L2 tergantung pada tangen arah kedua garis
tersebut, yaitu m1 dan m2 yang dapat diuraikan pada sifat kedudukan
dua buah garis lurus sebagai berikut :
i.
Jika m1 = m2 maka kedua garis L1 dan L2 saling sejajar.
ii.
Jika m1· m2 = -1 maka kedua garis L1 dan L2 saling tegak lurus.
iii.
Jika
dan
berpotongan.
6.2.5 INVERS FUNGSI LINIER
maka kedua garis
Bab 6: Fungsi
339
Jika hasil pemetaan fungsi y = f(x) dipetakan lagi oleh pemetaan g
hasilnya kembali ke titik semula yaitu x, g(f(x))=x maka g dikatakan
invers dari f. Salah satu ide menentukan invers y = f(x) adalah
mengubah x sebagai fungsi dari y, yaitu x = g(y). Kadang-kadang
proses seperti itu merupakan proses yang mudah atau ada kalanya
cukup rumit. Namun untuk fungsi linier, proses mengubah y = f(x)
menjadi x = g(y) cukuplah sederhana. Sebagai contoh fungsi linier
y = 5x + 1
( y = f(x) )
Mengubah x sebagai fungsi dari y:
( x = g(y) )
Perhatikan x = g(y), jika x diganti dengan y dan y diganti dengan x
diperoleh fungsi y = g(x), proses yang demikian ini merupakan proses
menentukan fungsi invers. Jadi y = g(x) invers dari y = f(x) dan y = f(x)
invers dari y = g(x). Secara formal fungsi invers diberikan sebagai
berikut :
Definisi 6.3 :
Jika y=f(x) dan y=g(x) adalah fungsi dan jika f(g( x)) = x atau
g(f( x)) = x maka f invers dari g atau g invers dari f .
Contoh 6.2.3
Dapatkan persamaan garis lurus yang melalui titik-titik A(0, 2)
dan B(2, 8).
Jawab:
340
Bab 6: Fungsi
Menentukan persamaan garis lurus melewati titik A(0, 2) dan B(2, 8)
adalah sebagai berikut :
y − y2
x − x2
=
y1 − y 2 x1 − x 2
y−2 x−0
=
8−2 2−0
y = 3x + 2
Contoh 6.2.4
Tentukan apakah garis-garis berikut sejajar, berpotongan, jika
berpotongan tentukan titik potongnya.
p:
;
r:
;
s :
Jawab :
p : 2 y = 6 x + 2 mempunyai gradien m = 3
r : y=−
1
1
x + 1 mempunyai gradien m = 3
3
s : y = −2 x − 1 mempunyai gradien m = -2
Jadi garis p berpotongan secara tegak lurus dengan garis r , dan garis
p berpotongan dengan garis s, garis r berpotongan dengan garis s.
Titik potong garis p dan r adalah (0,1)
Titik potong garis p dan s adalah
Titik potong garis r dan s:
Bab 6: Fungsi
341
Contoh 6.2.5
Tentukan invers dari fungsi f(x) = −
1
x + 1 dan jika diketahui
2
Jika f -1(x) = 5 tentukan nilai x.
Jawab:
y= −
dan
1
x + 1 maka x = 2(1 − y ) Jadi
2
x = f( f -1(x)) = f( 5 ) = −
f -1(x) = 2 – 2 x .
3
2
LLaattiihhaann 66..22
1. Tentukan aturan fungsi linear yang mempunyai nilai 2 di x = -3 dan
mempunyai nilai -2 di x = -1.
2. Diketahui persamaan garis y = 3 x − 2
(a). Tentukan gradien dan titik potong fungsi pada sumbu y
(b) Ujilah apakah titik (-2,-8) terletak pada garis tersebut.
(c)
Jika koordinat pertama titik pada (a) ditambah satu,
bagaimana nilai dari koordinat kedua.
3. Gambarkan sketsa grafik untuk fungsi-fungsi linier berikut:
(a). y = − 3 x + 5
(b). y = −
3
x−4
2
342
Bab 6: Fungsi
(c). y = x +
2
5
(d). 2 y = 3 x − 5
4. Dapatkan kemiringan sisi-sisi segi tiga dengan titik sudut- titik
sudut (-1,2), (6.5) dan (2,7).
5. Diketahui persamaan garis dan titik (a, b) pada garis tersebut. Jika
koordinat pertamakita tambah satu, maka koordinat kedua akan
bertambah 4. Tentukan pertambahan/pengurangan koordinat kedua
jika koordinat pertama ditambah 2.
6. Berdasarkan pengalaman penyelam, tekanan cairan p bergantung
pada kedalaman d yang memenuhi rumus p = kd + 1 dengan k
konstan.
(a) Hitunglah tekanan pada permukaan cairan.
(b) Jika tekanan pada kedalaman 100 meter adalalh 11 atm,
hitunglah tekanan pada kedalaman 50 meter.
7. Pengelola sebuah pasar kaget pada akhir minggu mengetahui dari
pengalaman bahwa jika ia menarik x dolar untuk sewa tempat di
pasar itu, maka banyaknya lokasi y yang dapat disewakan
diberikan dalam bentuk persamaan y = 200 − 4 x
(a).Sketsalah grafik fungsi linier (Perhatikan bahwa sewa tiap
lokasi dan banyaknya lokasi yang disewakan tidak dapat
bernilai negatip)
(b).Apa yang dinyatakan oleh kemiringan perpotongan sumbu-y
dan perpotongan sumbu-x dari grafik?
8. Kaitan antara skala suhu Fahrenheit (F) dan Celsius (C) diberikan
oleh fungsi linier F =
9
C + 32 .
5
(a). Sketsalah grafik fungsi F
(b). Berapa kemiringan grafik dan apa yang dinyatakannya?
Bab 6: Fungsi
343
9. Suatu titik mula-mula berada pada posisi ((7.5), bergerak sepanjang
garis dengan kemiringan m = -2 ke posisi baru (x , y)
a). Dapatkan nilai y jika x = 9.
b). Dapatkan nilai x jika y = 12.
10. Klasifikasikan garis-garis yang diberikan : sejajar, tegak lurus atau
tidak keduanya.
a)
dan
dan
b)
c)
dan
d)
dan
6.3 FUNGSI KUADRAT
Fungsi dari Garis lengkung
menarik
untuk
dipelajari
fungsi yang mempunyai
yang
adalah
bentuk
persamaan kuadrat. Di alam ini yang
secara tidak langsung lengkungan
yang mempunyai bentuk persamaan
kuadrat telah anda kenal adalah
bentuk-bentuk
pada
jembatan
gantung, daun jendela yang lengkung,
jarak yang ditempuh oleh lemparan
Gambar 6.3.1
Lintasan Bola berupa Parabola
344
Bab 6: Fungsi
bola secara vertical terhadap waktu
(Gambar 6.3.1) dan masih banyak
lagi contoh contoh fungsi kuadrat.
Grafik fungsi kuadrat ini disebut parabola.
Parabola diperoleh dengan menentukan tempat kedudukan atau
himpunan semua titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah garis l
dan sebuah titik (Gambar 6.3.2). Titik tetap tersebut dikatakan focus
dan garis tersebut dikatakan Garis arah. Jika fokus F disebelah atas
titik asal, misalkan di ( 0, p ) , garis arah kita ambil di sebelah bawah
titik asal dengan persamaan y = − p , dan jika suatu titik ( x , y )
terletak pada lengkungan parabola jika dan hanya jika
( x − 0) 2 + ( y − p) 2 = ( x − 0) 2 + ( y − (− p)) 2
atau ekivalen dengan
(6.3.1)
Gambar (6.3.2)
Bab 6: Fungsi
345
Persamaan (6.3.1) disebut bentuk baku sebuah persamaan parabola
yang terbuka ke atas. Jika p > 0 maka p merupakan jarak dari fokus ke
puncaknya.
Fungsi kuadrat mempunyai 2 jenis baku yang berbentuk Parabola,
tergantung dari terbukanya parabola mengarah kemana. Misalkan
persamaan parabola diberikan oleh x 2 = 4 py , jika p > 0 maka
parabola terbuka keatas dan jika p < 0 maka terbuka kebawah. Kedua
jenis parabola itu dapat dilihat pada Gambar 6.3.3.
Gambar 6.3.3
Contoh 6.3.1 :
Tentukan fokus dan garis arah parabola serta sketsa parabolanya untuk
x 2 = −16 y .
persamaan
Penyalesaian :
Oleh karena persamaan parabola diketahui x 2 = −16 y maka parabola
terbuka ke bawah dan puncaknya berada di titik asal. Fokus diperoleh
dari nilai p untuk persamaan x 2 = 4 py . Dari x 2 = −16 y diperoleh
x 2 = 4( −4) y , maka p = -4.
Sehingga fokus berada di ( 0,-4), dan garis arahnya adalah y = 4.
346
Bab 6: Fungsi
6.3.1 BENTUK UMUM PARABOLA
Bentuk umum persamaan fungsi kuadrat (parabola) yang mempunyai
puncak di (q,r) adalah :
( x − q) 2 = 4 p( y − r )
(6.3.2)
Persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk ekivalen :
(6.3.3)
dengan a= -
1
r
r 2 − 4 pq
, b=
, c=
.
4p
2p
4p
Persamaan (6.3.3) merupakan persamaan kuadrat dalam x
yang
grafiknya berupa parabola. dengan a, b dan c bilangan real diketahui
dan
a ≠ 0 . Daerah asal terbesar dari fungsi kuadrat ini adalah seluruh
bilangan real. Jika tidak dibatasi nilainya, fungsi ini mempunyai daerah
asal seluruh bilangan real. Grafik parabola memiliki satu diantara dua
bentuk yang ditunjukkan gambar (6.3.4) tergantung koefisien variabel
Bab 6: Fungsi
347
yang berpangkat dua. Parabola dengan Persamaan
(6.3.3) terbuka
keatas jika a > 0, terbuka ke bawah jika a < 0. Dengan demikian untuk
persamaan x = ay 2 + by + c merupakan parabola yang terbuka ke
kanan jika a > 0, terbuka ke kiri jika a < 0. (Persamaan
x = ay 2 + by + c bukan termasuk fungsi, tetapi suatu relasi yang
gambarnya berupa parabola). Nilai fungsi pada suatu titik x = t dapat
dihitung
dengan
mengganti
x
dengan
t.
Sebagai
contoh,
adalah fungsi kuadrat dengan a = 2, b = 1 dan c
= -3. Nilai f(x) untuk x = 2 adalah
.
Sekarang kita tinjau kembali fungsi kuadrat yang mempunyai bentuk
.
paling sederhana yaitu fungsi yang mempunyai aturan
Grafik fungsi ini terletak di atas sumbu X sebab untuk semua nilai x,
fungsi bernilai positif. Karena nilai fungsi untuk
x = t
sama
dengan x = -t, maka grafik fungsi ini simetri terhadap sumbu Y .
Selanjutnya sumbu Y disebut sumbu simetri. Titik (0,0) merupakan titik
paling rendah/minimum dan disebut titik balik atau puncak parabola.
Sebutan yang biasa dari grafik parabola ini adalah membuka ke atas
dengan titik balik minimum (0,0). Grafik dari fungsi kuadrat dengan
aturan f(x)=ax2 serupa dengan grafik f(x) = x2, dapat diperoleh dari x2
dengan mengalikan setiap koordinat dengan a. Grafik f(x) = ax2 dengan
a>0 akan membuka ke atas. Sedangkan grafik f(x) = ax2 dengan a < 0
akan membuka ke bawah. (perhatikan Gambar 6.3.4)
348
Bab 6: Fungsi
Gambar 6.3.4. Grafik beberapa fungsi y = ax2
6.3.2 MENENTUKAN PUNCAK, PERSAMAAN SUMBU
SIMETRI DAN KOORDINAT FOKUS SUATU PARABOLA
Grafik parabola memiliki satu diantara
dua bentuk yang ditunjukkan dalam
Gambar 6.3.5, tergantung apakah a
positip atau a negatip. Dalam kedua
kasus parabola tersebut simetri terhadap garis vertikal yang sejajar
sumbu Y. Garis simetri ini memotong parabola pada suatu titik yang
disebut puncak parabola. Puncak tersebut merupakan titik terendah
(minimum) pada kurva jika a > 0 dan titik tertinggi (maksimum) jika
a < 0. Koordinat-x dari puncak, atau disebut juga titik ekstrim. Parabola
mempunyai Persamaan Sumbu Simetri diberikan oleh rumus:
x=−
b
2a
(6.3.4)
Bab 6: Fungsi
349
Puncak Parabola pastilah berada pada sumbu simetri, sehingga
b
b 2 − 4ac
,−
)
koordinat puncak parabola : ( x, y ) = ( −
2a
4a
(6.3.5)
Fokus parabola :
(6.3.6)
Dengan bantuan rumus ini, grafik yang cukup akurat dari suatu
persamaan kuadratik dalam x dapat diperoleh dengan menggambarkan
puncak dan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinatnya atau dua
titik
pada
tiap
sisinya.
Seringkali
perpotongan
parabola
f ( x) = ax 2 + bx + c dengan sumbu-sumbu koordinat penting untuk
diketahui. Perpotongannya dengan sumbu-Y, y = c, didapat langsung
dengan memberikan x = 0. Untuk mendapatkan perpotongan-x, jika
ada, haruslah diberikan y = 0 dan kemudian menyelesaikan persamaan
kuadrat yang dihasilkan dari ax 2 + bx + c = 0 .
350
Bab 6: Fungsi
Gambar 6.3.5
Contoh 6.3.2
Gambarkan grafik parabola dan tandai puncak dan perpotongannya
dengan sumbu-sumbu koordinat.
a) y = x 2 − 3 x − 4
b) y = − x 2 + x
Penyelesaian :
a) Grafik fungsi y = x 2 − 3 x − 4 mempunyai :
Sumbu Simetri : x = −
Puncak di ( x, y ) = (
b
− ( −3) 3
=−
=
2a
2 .1
2
3 (−3) 2 − 4.1.(−4)
3 25
,−
) = ( ,− )
2
4.1
2 4
Titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat:
Dengan sumbu Y :
Dengan sumbu X :
Atau
x = 0 ⇒ y = −4
y = 0 ⇒ 0 = x 2 − 3x − 4
0 = ( x − 4 )( x + 1)
Jadi titik potong dengan sumbu X di ( 4,0) dan ( −1.0) , dengan sumbu Y
di ( 0, − 4 )
Bab 6: Fungsi
b)
351
Grafik fungsi y = − x 2 + x mempunyai :
Sumbu Simetri : x = −
Puncak di ( x, y ) = (
b
1
1
=−
=
2a
2(−1) 2
1 1
1 (1) 2 − 4.( −1).0
)=( , )
,−
2 4
4.(−1)
2
Titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat:
Dengan sumbu Y :
x=0⇒ y =0
Dengan sumbu X :
y = 0 ⇒ 0 = −x2 + x
atau
x = 0,
x =1
Jadi titik potong dengan sumbu di (0,0) dan (1.0)
352
Bab 6: Fungsi
Contoh 6.3.3
Diketahui kurva parabola pada gambar berikut :
Tentukanlah persamaan parabola
gambar disamping.
Penyelesaian :
Parabola terbuka kebawah, tentulah koefisien dari x2 bernilai negatip.
Dari sumbu simetri : x = 1, maka 1 = −
b
⇒ −2 a = b
2a
y = ax 2 + bx + c = ax 2 + (−2a ) x + c
Grafik melalui (1,3) maka 3 = a (1) + ( − 2 a )(1) + c ⇒ c = 3 + a
Bab 6: Fungsi
353
Jadi persamaannya menjadi : y = ax 2 + (−2a ) x + (3 + a )
Grafik melalui (-1,0) , maka
0 = a + 2 a + (3 + a )
3
9
−3
, selanjutnya diperoleh b = , c = .
4
2
4
atau a =
Jadi persamaan parabola dari grafik yang diberikan tersebut adalah:
y=
9
−3 2 3
x + x + atau 4 y = −3 x 2 + 6 x + 9
4
2
4
Contoh 6.3.4
Tentukan persamaan parabola dan focus jika puncak paraboal di titik
asal, yang melalui (-2,4) dan terbuka ke bawah. Gambarkanlah parabola
tersebut.
Penyelesaian :
Bentuk persamaan parabola yang terbuka ke bawah dengan puncak di
titik asal adalah : x 2 = −4 py . Oleh karena parabola melalui (2,-4)
maka (2) 2 = −4 p(−4) , Atau p = 4. Jadi persamaan yang dicari adalah
x 2 = −16 y . Grafiknyasebagai berikut :
354
Bab 6: Fungsi
Contoh 6.3.5
Grafik dari gerakan Bola yang dilempar lurus ke atas dari permukaan
bumi pada waktu t = 0 detik jika diberikan kecepatan awal 24,5 m/det
jika gesekan udara diabaikan dapat ditunjukkan bahwa jarak s (dalam
meter) dari bola itu ke tanah setelah t detik diberikan oleh persamaan
parabola :
s = −4,9 t 2 + 24,5 t
(6.3.7)
a) Gambarkan grafik s terhadap t .
b) Berapakah tinggi maksimum bola tersebut.
Penyelesaian :
a) Persamaan (6.3.7) mempunyai bentuk (6.3.3) dengan :
a= -4,9 < 0 jadi parabola terbuka ke bawah , b = 24,5 dan c = 0.
Sumbu simetri : t = −
24,5
b
= 2,5 det.
= −
2 .(-4,9)
2a
Bab 6: Fungsi
355
Dan akibatnya koordinat-s dari puncak parabola adalah :
(t , s ) = ( −
atau
24,5 2 − 4( −4,9)(0)
b
b 2 − 4ac
,−
) = ( 2,5; −
)
2a
4a
4( −4,9)
(t , s ) = ( 2,5 ; 30,625)
Koordinat titik potong dengan sumbu t jiak s = 0 :
0 = −4,9 t 2 + 24,5 t atau
0 = 4,9 t ( 5 − t )
diperoleh: t = 0
atau t = 5.
Dari informasi puncak dan perpotongan dengan sumbu koordinat
diperoleh grafik parabola Gambar 6.3.6.
b) Oleh karena puncak di (t , s ) = ( 2,5 ; 30,625) , maka tinggi
maksimum lemparan bola adalah s ≅ 30,6
(Gambar 6.3.6)
356
Bab 6: Fungsi
Sebuah sifat geometri sederhana dari parabola dijadikan dasar
penggunaan dalam ilmu teknik. Menurut prinsip ilmu fisika, cahaya
yang datang ke permukaan yang mengkilap, maka sudut datang sama
dengan sudut pantul. Sifat parabola dan prinsip fisika ini dipakai untuk
membuat lampu sorot dimana sumber cahaya lampu diletakkan pada
fokus. Sebaliknya sifat ini digunakan pula dalam teleskop tertentu
dimana cahaya masuk yang semua sejajar dan datang dari bintang di
fokuskan pada suatu titik yaitu fokus parabola.
Contoh 6.3.6
Buatlah sketsa grafik dari fungsi
2
(a). y = x − 2 x − 2
2
(b). y = − x + 4 x − 5
Penyelesaian :
a).
Persamaan
y = x 2 − 2 x − 2 merupakan persamaan
kuadrat
dengan a = 1, b = -2, dan c = -2, sehingga sumbu simetri atau
koordinat-x dari puncaknya adalah:
x=−
b
=1
2a
Menggunakan nilai ini dan dua nilai pada tiap sisi (lihat tabel),
diperoleh hasil grafik fungsi pada Gambar 6.3.7.
Bab 6: Fungsi
357
Gambar 6.3.7
b)
Persamaan
y = −x 2 + 4x − 5
merupakan persamaan
kuadrat dengan a = -1, b = 2, dan c = -2, sehingga dengan
koordinat-x dari puncaknya adalah
x=−
b
=2
2a
Menggunakan nilai ini dan dua nilai pada tiap sisi (lihat tabel),
diperoleh hasil grafik fungsi pada Gambar 6.3.8.
Gambar 6.3.8 Grafik fungsi y = − x + 4 x − 5
2
358
Bab 6: Fungsi
LLaattiihhaann 66..33
Gambarkan grafik parabola dan tandai koordinat puncak (ekstrim) dan
perpotongannya dengan sumbu-sumbu koordinat. Tentukan jenis titik
puncak, apakah titik minimum atau maksimum untuk soal nomor 1
sampai dengan 12.
1.
y = x2 + 2
2.
y = x2 − 3
3.
y = x 2 + 2x − 3
4.
y = x 2 − 3x − 4
5.
y = −x 2 + 4x + 5
6.
y = −x2 + x
7.
y = ( x − 2) 2
8.
y = (3 + x ) 2
9.
x 2 − 2x + y = 0
2
10. x + 8 x + 8 y = 0
2
11. y = 3 x − 2 x + 1
2
12. y = x + x + 2
13. Tentukan nilai a jika harus memenuhi syarat yang diharuskan:
2
(a). g ( x) = 2 x − (a + 2) x − 3 , grafik mempunyai sumbu simetri
di x = −1 .
2
(b). h( x) = − x − 3x + 5a − 1 , grafik mempunyai titik balik di
1
(− ,1) .
6
14. Bola yang dilempar lurus ke atas dari permukaan bumi pada waktu
t = 0 detik jika diberikan kecepatan awal 32 m/det jika gesekan
udara
diabaikan
diberikan
oleh
persamaan
s = 32 t − 16 t 2 .
a) Gambarkan grafik s terhadap t .
b) Berapakah tinggi maksimum bola tersebut.
parabola
:
Bab 6: Fungsi
359
6.4 APLIKASI UNTUK EKONOMI
Tiga fungsi yang penting dalam ekonomi adalah :
C(x) =Total biaya produksi x unit produk selama periode waktu tertentu
R(x) =Total hasil penjualan
x unit produk selama periode waktu
tertentu.
P(x) = Total keuntungan penjualan x unit produk selama periode waktu
tertentu.
Fungsi-fungsi itu secara berturut-turut disebut fungsi biaya, fungsi
pendapatan dan fungsi keuntungan. Jika semua produk terjual,
hubungan fungsi-fungsi itu adalah :
P(x)
=
R(x)
-
C(x)
[Keuntungan] = [Pendapatan] – [ biaya]
Total biaya C(x) untuk produksi x unit dapat dinyatakan sebagai
penjumlahan :
C(x) = a + M(x)
(6.4.1)
Dengan a konstanta, disebut overhead dan M(x) adalah fungsi biaya
pembuatan. Overhead, merupakan biaya tetap tetapi tidak tergantung
pada x, pelaku ekonomi harus membayar tetap jika tidak ada produksi,
misalnya biaya sewa dan asuransi. Disisi lain biaya pembuatan M(x)
tergantung pada jumlah item pembuatan, contoh biaya material dan
buruh. Ini menunjukkan bahwa dalam ilmu ekonomi penyederhanaan
asumsi yang tepat M(x) dapat dinyatakan dalam bentuk
M(x) = bx + cx2
Dengan b dan c konstanta. Subtitisi pada (6.4.1) menghasilkan :
C(x) = a + bx + cx2
(6.4.2)
360
Bab 6: Fungsi
Jika perusahaan perakitan dapat menjual semua item-item produksi
denga p rupiah per biji, maka total pendapatan R(x) menjadi
R(x) = px
Dan total keuntungan :
P(x)
= [total pendapatan] – [total biaya]
P(x)
=
R(x)
P(x)
=
px
-
R(x)
C(x)
Jadi, jika fungsi biaya diberikan pada (6.4.2), maka
P(x)
=
px -
(a + bx + cx2)
(6.4.3)
Tergantung pada faktor-faktor seperti jumlah pekerja, jumlah mesin
yang tersedia, kondisi ekonomi dan persaingan, batas atas l pada jumlah
item-item yang sanggup diproduksi dan dijual. Jadi selama periode
waktu tetap peubah x pada (6.4.3) akan memenuhi :
0≤ x≤l
Persamaan (6.4.3) merupakan suatu persamaan kuadrat dalam x, yang
mana nilai optimum dapat ditentukan , yaitu nilai fungsi pada sumbu
simetri.
Dengan
menentukan
nilai-nilai
x
pada
[0,l]
yang
memaksimumkan (6.4.3) perusahaan dapat menentukan berapa banyak
unit produksi harus dibuat dan dijual agar menghasilkan keuntungan
terbesar. Masala ini diilustrasikan dalam contoh berikut:
Contoh 6.4.1
Pinicilin berbentuk cair dibuat oleh suatu perusahaan farmasi dan dijual
borongan dengan harga Rp 2 000 per unit. Jika total biaya produksi
untuk x unit adalah:
C(x) = 5 000 000 + 800 x + 0,003 x2
Bab 6: Fungsi
361
Dan jika kapasitas produksi terbesar dari perusahaan 300 000 unit
dalam waktu tertentu. Berapa banyak unit-unit pinicilin harus dibuat
dan dijual agar memperoleh keuntungan maksimum ?
Penyelesaian:
Karena total penghailan untuk penjualan x unit adalah R(x) = 2 000 x ,
keuntungan P(x) pada x unit menjadi :
P(x) = R(x) + C(x) = 2 000 x – (5 000 000 + 800 x + 0,003 x2)
P(x) =
- 0,003 x2 + 1 200 x– 5 000 000
Dan karena kapasitas produksi terbesar adalah 300 000 unit, berarti x
harus terdapat pada selang [0 , 300 000]. Sumbu simetri dari fungsi
keuntungan :
x=−
1200
= 200.000
2(−0,003)
Oleh karena titik x = 200.000 berada dalam selang [0 , 300 000] maka
keuntungan maksimum harus terjadi pada titik balik/puncak kurva
parabola yaitu di x = 200.000 dengan koordinat puncak parabola ::
b
b 2 − 4 ac
,−
)
2a
4a
(1 .200 ) 2 − 4 ( − 0 ,003 )( − 5 .000 .000 )
)
= ( 200 000 ; −
4 ( − 0 ,003 )
( x , P ( x )) = ( −
(144 .10 4 − 6 .10 4 )
)
− 12 .10 − 3
138 .10 4
= ( 200 .000 ;
)
12 .10 − 3
= ( 200 .000 ;115 .10 7 )
= ( 200 000 ; −
Jadi
keuntungan
maksimum
P(x) = Rp 1,15.10
9
terjadi
x=200.000 unit diproduksi dan dijual dalam waktu tertentu.
pada
362
Bab 6: Fungsi
• RANGKUMAN
•
Fungsi f disebut injektif jika untuk setiap elemen y di daerah
nilai, y paling banyak mempunyai satu kawan dari x di A.
Fungsi f disebut surjektif jika untuk setiap elemen y di B habis
dipetakan oleh anggota himpunan di A.
Fungsi f disebut bijektif jika fungsi itu injektif dan surjektif
•
Persamaan garis lurus berbentuk:
,
,
dengan m adalah kemiringan garis.
•
Jika y=f(x) dan y=g(x) adalah fungsi dan f(g( x)) = x atau
g(f( x)) = x maka f invers dari g atau g invers dari f .
•
Fungsi kuadrat (parabola) mempunyai bentuk
LLaattiihhaann 66..44
1.
Perusahaan Kimia menjual asam sulfur secara borongan dengan
harga 100 / unit. Jika total biaya produksi harian dalam ribuan
rupiah untuk x unit adalah
Bab 6: Fungsi
363
C(x) = 100.000 + 50 x + 0,0025 x2
Dan jika kapasitas produksi terbesar dari perusahaan 7 000 unit
dalam waktu tertentu.
a)
Berapa banyak unit-unit asam sulfur harus dibuat dan
dijual agar memperoleh keuntungan maksimum ?.
b)
Apakah akan menguntungkan perusahaan apabila
kapasitas produksi perusahaan ditambah?
2.
Perusahaan menentukan bahwa x unit produksi dapat dijual harian
pada harga p rupiah per unit, dimana :
x = 1000 – p
Biaya produksi harian untuk x unit adalah : C(x) = 3.000 + 20 x
(a)
Tentukan fungsi penghasilan R(x).
(b)
Tentukan ungsi keuntungan P(x)
(c)
Asumsikan bahwa kapasitas produksi paling banyak 500
unit/hari, tentukan berapa banyak unit yang harus diproduksi
dan dijual setiap hari agar keuntungan maksimum.
(d)
Tentukan keuntungan maksimum.
(e)
Berapa garga per unit harus ditentikan untuk memperoleh
keuntungan maksimum.
3.
Pada proses pembuatan kimia tertentu tiap hari berat y dari
kerusakan keluaran kimia yang larut bergantung pada total berat x
dari semua keluaran yang didekati dengan rumus :
y(x) = 0,01 x + 0,00003 x2
dengan x dan y dalam kg. Jika keuntungan Rp 1 juta per kg dari
kimia yang tidak rusak dan rugi Rp 200.000 per kg dari produksi
364
Bab 6: Fungsi
kimia yang rusak, berapa kg seharusnya produk kimia diproduksi
tiap hari agar keuntungan maksimum.
c. Suatu perusahaan menyatakan bahwa keuntungan yang diperoleh
bergantung pada jumlah pemakaian uang untuk pemasangan iklan,
Berdasarkan survey jika perusahaan menggunakan x rupiah untuk
iklan maka keuntungan yang diperoleh adalah
Tentukan jumlah uang yang harus dipakai untuk pemasangan iklan
agar mendapatkan keuntungan sebesar-besarnya.
d. Sebidang lahan ingin dipagari dengan syarat kelilingnya adalah 100
meter. Dengan demikian luas persegi panjang dengan keliling
tersebut dapat dinyatakan dalam L ( m 2 ) adalah :
L = x (50 − x )
a) Tentukan Domain dari fungsi luasan tersebut.
b) Tentukan luas terbesar yang dapat dibuat oleh kawat tersebut.
Bab
7
BARISAN DAN DERET
7.
Barisan dan Deret
Bab ini berisi kajian mengenai “barisan dan deret”. Materi dalam bab
ini mempunyai aplikasi yang luas dalam rekayasa dan sains serta
merupakan dasar untuk beberapa cabang matematika.
Misalkan kita mempunyai permasalahan untuk menentukan jumlah
bilangan bulat dari 1 sampai dengan 1000. Dalam kasus ini, akan sangat
menyulitkan apabila kita menghitung jumlahnya dengan menuliskan
semua bilangan bulat dari 1 sampai 1000 tersebut, baru selanjutnya kita
jumlahkan satu persatu bilangan-bilangan tersebut. Sehingga perlu
dicari cara lain untuk menyelesaikan permasalahan tersebut.
Contoh lain, misal dalam bidang rekayasa. Sebuah bola dijatuhkan dari
ketinggian 10 meter. Setiap kali membentur bumi, bola akan memantul
ke atas setinggi ¾ dari ketinggian sebelumnya. Permasalahannya adalah
kita disuruh untuk menentukan total jarak lintasan bola selama bola
memantul sebanyak 100 kali. Untuk menyelesaikan permasalahan ini
365
366
Bab 7: Basisan dan Deret
maka perlu dilihat pola lintasan bola yang terjadi. Hal ini merupakan
salah satu contoh permasalahan yang dapat diselesaikan dengan barisan
dan deret.
Disamping itu, barisan dan deret juga sangat berguna dalam berbagai
bidang-bidang yang lain, termasuk bidang bisnis dan administrasi.
Misalkan seperti pada kasus berikut. Koperasi “Sumber Rejeki “
memberikan pinjaman kepada Doni sebesar Rp. 10.000.000,00 dengan
aturan bahwa Doni harus membayar hutangnya setiap bulan sebesar Rp.
1.000.000,00 ditambah bunga 1% per bulan dari sisa pinjamannya.
Permasalahannya adalah berapa jumlah bunga yang dibayarkan Doni ke
koperasi “Sumber Rejeki “ sampai hutangnya lunas.
Kasus tersebut merupakan salah satu contoh permasalahan tentang
perhitungan
bunga
majemuk,
yang
penyelesaiannya
dapat
menggunakan penerapan barisan dan deret.
7.1 POLA BILANGAN, BARISAN, DAN DERET
Dalam subbab ini akan dibahas pengertian dan definisi-definisi tentang
pola bilangan, barisan, dan deret. Disamping itu diberikan contohcontoh ilustrasi dan contoh soal serta penyelesainnya,
untuk
memudahkan pemahaman konsep pola bilangan, barisan, dan deret.
7.1.1 POLA BILANGAN
Pola bilangan memberikan gambaran tentang bilangan-bilangan dalam
susunan terurut yang membentuk suatu barisan. Untuk mendapatkan
pola bilangan dapat dilakukan dengan melihat susunan terurut dari
bilangan-bilangan tersebut. Berikut ini akan diberikan beberapa macam
pola bilangan.
Bab 7: Basisan dan Deret
ƒ
367
POLA BILANGAN GANJIL DAN POLA BILANGAN
GENAP
Jika kita perhatikan penomoran rumah, sering kita lihat bahwa nomor
rumah di sebelah kiri jalan bernomor 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,… , sedangkan
di sebelah kanan jalan bernomor 2, 4, 6, 8, 10, 12,… . Sehingga ketika
kita mencari rumah bernomor 20, maka kita tinggal mencari rumah
yang berada di sebelah kanan jalan. Penomoran rumah di sebelah kiri
jalan, yaitu 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,… , menggunakan pola bilangan ganjil.
Penomoran rumah di sebelah kanan jalan, yaitu 2, 4, 6, 8, 10, 12,… ,
menggunakan pola bilangan genap.
ƒ
POLA BILANGAN PERSEGI
Sekarang kita perhatikan gambar berikut ini :
⊕
⊕ ⊕
⊕ ⊕
⊕ ⊕ ⊕
⊕ ⊕ ⊕
⊕ ⊕ ⊕
⊕ ⊕ ⊕ ⊕
⊕ ⊕ ⊕ ⊕
⊕ ⊕ ⊕ ⊕
⊕ ⊕ ⊕ ⊕
Dengan melihat susunan terurut dari gambar diatas, pasti kita bisa
membuat gambar berikutnya. Hal ini dikarenakan kita mengetahui pola
dari gambar-gambar pada urutan sebelumnya. Kalau kita perhatikan,
banyaknya lingkaran pada gambar diatas, secara terurut, adalah
1, 22, 32, 42,….
Pola bilangan diatas disebut pola bilangan persegi.
368
ƒ
Bab 7: Basisan dan Deret
POLA BILANGAN SEGITIGA PASCAL
Perhatikan susunan bilangan yang berbentuk segitiga berikut ini :
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
1
3
6
10
1
4
1
10
5
1
Setelah memperhatikan susunan bilangan diatas, kita bisa menentukan
bilangan pada baris ke 7 yaitu 1 6
15
20
15
6
1. Hal ini
dikarenakan kita telah mengetahui pola bilangan pada baris tersebut,
yang diperoleh berdasarkan pada pola yang terjadi dari susunan
bilangan pada baris-baris sebelumnya. Pola bilangan diatas disebut pola
bilangan segitiga Pascal.
Dari uraian beberapa contoh pola bilangan diatas, dalam kehidupan
sehari–hari saudara pasti sering menemui suatu kejadian yang ada
kaitannya dengan pola bilangan. Sekarang silahkan saudara cari contoh
pola bilangan yang lain.
7.1.2 BARISAN
Dalam
bahasa
sehari-hari,
istilah
’barisan’
digunakan
untuk
menjelaskan suatu obyek berurut atau kejadian yang diberikan dalam
urutan tertentu. Secara informal, istilah barisan dalam matematika
Bab 7: Basisan dan Deret
369
digunakan untuk menggambarkan suatu keterurutan pola yang tak
berhingga dari bilangan. Perhatikan urutan bilangan-bilangan berikut :
a. 1, 2, 3 , 4, 5, 6
b. 1, -1, 1, -1, 1
c. 2, 4, 6, 8, 10
Dari urutan bilangan–bilangan di atas, kita dapat melihat pola bilangan
dari barisan tersebut, sehingga dapat meneruskan untuk menentukan
bilangan-bilangan selanjutnya. Sehingga untuk contoh di atas, dapat
dituliskan beberapa urutan bilangan yang merupakan kelanjutan dari
urutan bilangan yang sudah ada. Jadi, misal kita disuruh untuk
menentukan 5 bilangan lagi yang merupakan kelanjutan dari urutan
bilangan yang sudah ada, maka diperoleh :
a. 7, 8, 9, 10,11.
b. -1, 1, -1, 1,-1.
c. 12, 14, 16, 18.
Dari gambaran di atas, maka dapat didefinisikan barisan sebagai berikut
DEFINISI 7.1.1:
Barisan bilangan adalah Untaian atau urutan suatu bilangan-bilangan
yang mempunyai pola atau urutan tertentu.
370
Bab 7: Basisan dan Deret
CONTOH 7.1.1
a. 1, 3, 5, 7, 9, … ( biasa disebut barisan bilangan ganjil ).
b. 2, 4, 6, 8, 10, … ( biasa disebut barisan bilangan genap ).
c. 1, 4, 9, 16, 25, … ( biasa disebut barisan bilangan kuadrat ).
d. 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, … ( barisan bilangan dimana bilangan pada
urutan berikutnya ditambah 4).
Bilangan-bilangan dalam suatu barisan disebut suku dari barisan dan
dinotasikan dengan U . Suku-suku ini bisa digambarkan menurut
posisi-posisi dimana bilangan tersebut berada, yaitu :
o
Bilangan pada posisi pertama disebut suku pertama dan
dinotasikan dengan U 1 ,
o
Bilangan pada posisi kedua disebut suku kedua dan
dinotasikan dengan U 2 ,
o
Barisan pada posisi ketiga disebut suku ketiga dan
dinotasikan dengan U 3 , dan seterusnya.
Jadi
U n melambangkan suku ke n, yaitu bilangan pada posisi ke n
dari suatu barisan bilangan.
Karena suatu barisan kontinu secara tak berhingga, maka tidak ada suku
terakhir.
Cara yang paling umum untuk menentukan suatu barisan adalah dengan
memberikan suatu rumus yang menghubungkan antara suku-suku
dengan nomor suku-sukunya. Sebagai contoh, dalam barisan bilangan
berikut :
Bab 7: Basisan dan Deret
371
2, 4, 6, 8,10…
setiap suku adalah dua kali nomor suku tersebut, sehingga suku ke n
dalam barisan adalah U n = 2n . Hal ini didefinisikan dengan menulis
barisan sebagai berikut :
2, 4, 6, 8, 10, …, 2n, …
atau lebih singkat barisan tersebut dinotasikan
{2n },
yang berarti
bahwa barisan dapat dihasilkan dengan cara mensubstitusikan secara
berturut-turut nilai bilangan bulat n = 1, 2, 3, 4, … kedalam rumus 2n .
CONTOH 7.1.2
Tentukan 4 suku pertama dari barisan–barisan berikut ini
a. {3n + 1}
b
{2n
}
+3
2
1 
n
c.  
Penyelesaian :
a. Barisan dinyatakan dalam bentuk {3n + 1} , yang berarti bahwa
suku ke n dalam barisan tersebut adalah U n = {3n + 1} .
Sehingga suku‐suku dari barisan dapat diperoleh dengan cara
mensubstitusikan secara berturut‐turut nilai‐nilai bilangan
bulat n = 1, 2, 3, 4 ke dalam rumus U n = {3n + 1} , yaitu :
U 1 = 3 .1 + 1 = 4
U 2 = 3.2 + 1 = 7
372
Bab 7: Basisan dan Deret
U 3 = 3.3 + 1 = 10
U 4 = 3.4 + 1 = 13
{
}
Jadi 4 suku pertama dari barisan 2n 2 + 3 adalah 4, 7, 10, 13.
b. Barisan dinyatakan dalam bentuk
bahwa
suku
{
ke
n
dalam
{2n
2
barisan
}
+3
yang berarti
tersebut
adalah
}
U n = 2n 2 + 3 . Sehingga suku‐suku dari barisan dapat
diperoleh dengan cara mensubstitusikan secara berturut‐turut
nilai‐nilai bilangan bulat n = 1, 2, 3, 4 ke dalam rumus
{
}
U n = 2n 2 + 3 , yaitu :
U 1 = 2.12 + 3 = 5
U 2 = 2.2 2 + 3 = 11
U 3 = 2.3 2 + 3 = 21
U 4 = 2.4 2 + 3 = 35
{
}
Jadi 4 suku pertama dari barisan 2n 2 + 3 adalah 5, 11, 21, 35.
1 
yang berarti bahwa
n
c. Barisan dinyatakan dalam bentuk  
1 
n
suku ke n dalam barisan tersebut adalah U n =   . Sehingga
suku‐suku
dari
barisan
dapat
diperoleh
dengan
cara
Bab 7: Basisan dan Deret
373
mensubstitusikan secara berturut‐turut nilai‐nilai bilangan
1 
n
bulat n = 1, 2, 3, 4 ke dalam rumus U n =   , yaitu :
U1 = 1
U2 =
1
2
U3 =
1
3
U4 =
1
4
1 
n
Jadi 4 suku pertama dari barisan   adalah 1,
1 1 1
, , .
2 3 4
CONTOH 7.1.3
Tentukan rumus suku ke n dari barisan berikut
a. 1, 3, 5, 7, 9, 11,…
b. 2, -2, 2,-2,2,-2,…
c. 1, 0, 1, 0,1 ,0,…
Penyelesaian :
a. Setiap bilangan pada barisan 1, 3, 5, 7, 9, 11,…, dinyatakan dalam
pola yang sama, yaitu :
1 = 2.1 - 1,
3 = 2.2 - 1,
5 = 2.3 - 1,
7 = 2.4 - 1,
374
Bab 7: Basisan dan Deret
9 = 2.5 - 1,
11 = 2.6 – 1,
Sehingga dapat diperoleh rumus untuk suku ke n dari barisan
tersebut, yaitu : U n = 2n − 1
b. Ingat bahwa − 1 dipangkatkan bilangan genap, yaitu
(− 1)2n ,
adalah berarti 1 , dan − 1 dipangkatkan bilangan ganjil, yaitu
(− 1)2n−1 , adalah berarti − 1 .
Sehingga dari barisan 2, -2, 2, -2, 2, -2,… , secara berturut-turut,
bilangan-bilangan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk 2 (-1)1+1,
2 (-1)2+1, 2 (-1)3+1, 2 (-1)4+1, 2 (-1)5+1, 2 (-1)6+1,… . Sehingga
diperoleh rumus untuk suku ke n adalah U n = 2(− 1)
c.
Dari
barisan
1,
0,
1,
0,1
,0,…
,
n +1
.
terlihat
bahwa
U 1 = U 3 = U 5 = L = 1 dan U 2 = U 4 = U 6 = L = 0 . Sehingga
diperoleh rumus untuk suku ke n, yaitu
0 ,
Un = 
1 ,
jika n genap
jika n ganjil
7.1.3 NOTASI SIGMA
Untuk menggambarkan cara kerja notasi sigma, perhatikan jumlahan
berikut : 13 + 2 3 + 3 3 + 4 3 + 5 3 .
Bab 7: Basisan dan Deret
375
Jumlahan di atas, setiap sukunya berbentuk n 3 , dengan memasukkan
nilai bilangan bulat n secara berurut dari n = 1 sampai dengan n = 5 .
5
Dalam notasi sigma, jumlahan tersebut dinyatakan dengan
∑n
3
.
n =1
Jadi : 13 + 2 3 + 3 3 + 4 3 + 5 3 =
5
∑n
3
n =1
Dari penjelasan tersebut di atas, maka notasi sigma dapat didefinisikan
sebagai berikut :
Definisi 7.1.2:
Misalkan f fungsi pada bilangan bulat , serta a dan b bilangan bulat
dengan a ≤ b , maka notasi
b
∑ f ( n)
menyatakan jumlah dari suku -
n=a
suku yang dapat dihasilkan apabila disubstitusikan bilangan bulan n ke
dalam f (n ) secara berurut, diawali dari n = a dan diakhiri sampai
dengan n = b .
Jadi :
b
∑ f ( n) =
n=a
f (a ) + f (a + 1) + f (a + 2) + L + f (b)
CONTOH 7.1.4
Nyatakan notasi sigma berikut dalam bentuk penjumlahan beruntun :
376
Bab 7: Basisan dan Deret
7
a.
∑ 2n
n=2
8
b.
∑k
2
k =1
6
c.
∑ (3m − 1)
m =3
Penyelesaian
a. Dari soal diketahui
7
f ( n ) = 2 n , maka
∑ 2n
menyatakan
n=2
jumlah dari suku ‐suku yang dapat dihasilkan apabila
disubstitusikan bilangan bulat n = 2, 3, 4, 5, 6, 7 ke dalam 2n
secara berurut. Sehingga diperoleh :
7
∑ 2n = 2.2 + 2.3 + 2.4 + 2.5 + 2.6 + 2.7
n=2
b. Dari soal diketahui bahwa f (k ) = k 2 , maka
8
∑k
2
menyatakan
k =1
jumlah dari suku-suku yang dihasilkan dengan mensubstitusikan
bilangan bulat k = 1 sampai dengan k = 8, secara berurut ke dalam
k 2 . Sehingga diperoleh :
8
∑
k =1
k 2 = 12 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 + 7 2 + 8 2
Bab 7: Basisan dan Deret
c. Dari soal diketahui bahwa f ( m ) = 3m − 1 , maka
377
6
∑ (3m − 1)
m =3
menyatakan jumlah dari suku-suku yang dihasilkan dengan
mensubstitusikan bilangan bulat m = 3 sampai dengan m = 6, secara
berurut ke dalam 3m − 1 . Sehingga diperoleh :
6
∑ (3m − 1) = (3.3 − 1) + (3.4 − 1) + (3.5 − 1) + (3.6 − 1)
m =3
Sekarang bagaimana kalau dari penjumlahan beruntun dinyatakan
dalam notasi sigma ?. Hal ini ditunjukkan dalam contoh berikut ini.
CONTOH 7.1.5
Nyatakan penjumlahan berikut dalam notasi sigma
a. 4 + 8 + 12 + 16 + 20 + 24 + 28
b. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + … + 39
c. 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64
d. 4 + 9 + 16 + 25 +… + 1002
e.
a1 + a 2 + a3 + a 4 + a5 + a 6
Penyelesaian :
Untuk menyelesaikan soal di atas. perhatikan pola dari bilanganbilangan yang dijumlahkan.
378
Bab 7: Basisan dan Deret
a. Setiap bilangan‐bilangan yang dijumlahkan dinyatakan dalam
pola yang sama, yaitu:
bilangan 4 dapat dinyatakan sebagai 4 . 1,
bilangan 8 dapat dinyatakan sebagai 4 . 2,
bilangan 12 dapat dinyatakan sebagai 4 . 3,
bilangan 16 dapat dinyatakan sebagai 4 . 4,
bilangan 20 dapat dinyatakan sebagai 4 . 5,
bilangan 24 dapat dinyatakan sebagai 4 . 6.
Dari pola diatas, terlihat bahwa setiap bilangan-bilangan tersebut
merupakan hasil perkalian dari bilangan 4 dengan bilangan bulat, n,
yang berurutan mulai dari n = 1 sampai dengan n = 6.
Jadi :
4 + 8 + 12 + 16 + 20 + 24 = 4.1 + 4.2 + 4.3 + 4.4 + 4.5 + 4.6
6
= ∑ 4n .
n =1
Dengan cara yang sama dapat dilakukan untuk soal b, c, d, dan e.
Sehingga diperoleh sebagai berikut :
b. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + … + 39
= (2.1‐1) + (2.2‐1) + (2.3‐1) + (2.4‐1) + (2.5‐1) + (2.6‐1)
+ … + (2.20‐1)
20
=
∑ (2n − 1) .
n =1
c. 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64
= 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26
Bab 7: Basisan dan Deret
6
=
∑2
n
379
.
n =1
d. 4 + 9 + 16 + 25 +… + 1002
= 22 + 32 + 42 + 52 + …+ 1002
100
=
∑n
2
.
n =1
e.
6
a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = ∑ an .
n =1
ƒ
SIFAT – SIFAT NOTASI SIGMA
k
Dari pengertian notasi sigma di atas,
∑ a n dan
n =1
k
∑a
n =1
n
= a1 + a 2 + a3 + L + a k , dan
k
∑b
n =1
n
k
∑b
n =1
n
menyatakan :
= b1 + b2 + b3 + L + bk
Notasi sigma tersebut mempunyai sifat – sifat sebagai berikut :
k
1. Jika c suatu konstanta, maka
∑c
n =1
k
2.
∑
n =1
3.
k
c an = c ∑ an
n =1
k
k
k
n =1
n =1
n =1
∑ (a n + bn ) = ∑ an + ∑ bn
=c1+4
c4
+2
c +4
L4+3c = k c
sebanyak k
380
4.
Bab 7: Basisan dan Deret
k
k
k
n =1
n =1
n =1
∑ (a n − bn ) = ∑ a n − ∑ bn
7.1.4 DERET
Pada subbab sebelumnya telah dibahas barisan. Sekarang akan dibahas
tentang deret, yaitu jumlahan berurut dari suku-suku suatu barisan.
Definisi 7.1.3:
Misalkan U 1 , U 2 , U 3 , U 4 , U 5 , U 6 , L merupakan barisan bilangan,
maka deret adalah jumlahan berurut dari suku-suku barisan.
Deret berhingga adalah jumlahan berurut berhingga dari suku–suku
barisan dan dapat dinyatakan sebagai berikut :
k
∑U
n =1
n
= U1 + U 2 + U 3 + L + U k
Misal jumlah n suku pertama dari suku-suku barisan biasa dinotasikan
S n , maka :
S n = U1 + U 2 + U 3 + U 4 + U 5 + U 6 + L + U n
Atau dapat juga dituliskan dalam bentuk notasi sigma, yaitu :
n
S n = ∑U n .
k =1
Bab 7: Basisan dan Deret
381
CONTOH 7.1.6
Diberikan barisan 2, 4, 6, 8, 10, 12, …
a. Tentukan jumlah 5 suku pertama dari barisan tersebut.
b. Tentukan jumlah 8 suku pertama dari barisan tersebut..
Penyelesaian :
a. jumlah 5 suku pertama dari barisan tersebut dinotasikan S 5 , yaitu :
S5 = U1 + U 2 + U 3 + U 4 + U 5
= 2 + 4 + 6 + 8 + 10
= 30.
b. jumlah 8 suku pertama dari barisan tersebut dinotasikan S 8 , yaitu :
S8 = U1 + U 2 + U 3 + U 4 + U 5 + U 6 + U 7 + U 8
= 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16
= 72.
CONTOH 7.1.7
Diberikan barisan 2, 4, 6, 8, 10, 12, …
Nyatakan deret berikut dalam notasi sigma
382
Bab 7: Basisan dan Deret
a. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + … + 32
b. 4 + 6 + 8 + 10 + 12
c 2+4+6+8
Penyelesaian :
Sebelum menentukan
notasi sigmanya, terlebih dahulu kita
menentukan rumus suku ke n. Terlihat bahwa rumus suku ke n dari
barisan 2, 4, 6, 8, 10, 12, … adalah U n = 2n .
a. Diketahui suku pertamanya adalah 2, yang diperoleh pada saat
n = 1, dan suku terakhirnya adalah 32, yang diperoleh pada saat
n = 16. Maka 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + … + 32 menyatakan
jumlahan dari
16 suku pertama dari barisan
{2 n}.
Jadi
diperoleh :
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + … + 32 =
16
∑ 2n .
n =1
b. Diketahui suku pertamanya adalah 4, yang diperoleh pada saat
n = 2, dan suku terakhirnya adalah 12, yang diperoleh pada saat
n = 6. Maka 4 + 6 + 8 + 10 + 12 merupakan jumlahan dari 6
suku pertama dari barisan {2 n}, dimulai dari n = 2 sampai
dengan n = 6.
Sehingga :
6
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 =
∑ 2n .
n =1
c. Diketahui suku pertamanya adalah 2, yang diperoleh pada saat
n = 1, dan suku terakhirnya adalah 8, yang diperoleh pada saat
Bab 7: Basisan dan Deret
383
n = 4. Maka 2 + 4 + 6 + 8 merupakan jumlahan dari 4 suku
pertama dari barisan {2 n}.
Sehingga :
2+4+6+8 =
4
∑ 2n .
n =1
• RANGKUMAN
•
Notasi sigma
b
∑ f ( n) =
n=a
•
Barisan
f (a) + f (a + 1) + f (a + 2) + L + f (b)
bilangan
adalah
untaian
suatu
bilangan
yang
mempunyai suatu pola atau urutan tertentu.
•
Deret berhingga adalah jumlahan berurut tak hingga dari suku –
suku barisan, seperti
k
∑U
n =1
•
n
= U1 + U 2 + U 3 + L + U k .
Untuk matriks bujur sangkar A, trace A = tr(A) merupakan
jumlahan elemen pada diagonal utama matriks A.
SSO
OAALL LLAATTIIH
HAAN
N 77--11
1. Tuliskan notasi sigma berikut dalam bentuk penjumlahan beruntun
5
a.
∑ (5k − 3)
k =1
∑ (n
4
f.
n =1
3
− 3n
)
384
Bab 7: Basisan dan Deret
5
b.
∑ (3n + 5)
n = −2
8
c.
∑
n2
11
h.
∑
j+ 2
j =4
10
∑
n=3
9
1
n − 20
i.
3k
2k − 5
j.
7
e
)
− 3n + 1
2
n =5
n =1
d.
∑ (n
12
g.
∑
k = −1
∑3
i−2
i =2
7
∑ (t − 1)
2
t =1
2. Hitunglah
8
a.
∑
n
6
∑i
f.
n =1
∑ (3n − 4)
40
∑
t = 11
2
+ 2t
4
4
i.
i =1
e.
−2
t =1
20
∑
∑ (t
6
h.
k =2
d.
π
)
n
n = −1
5
∑ (2k + 1)
∑ (3
4
g.
n =4
c.
−2
i =1
9
b.
2
∑ (−t)
t =1
100
j.
t
∑ (− 1)
n =1
n
)
Bab 7: Basisan dan Deret
385
3. Nyatakan penjumlahan berikut dalam notasi sigma
a. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8
b. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + … + 20
c. 2 - 4 + 6 - 8 + 10 - 12 + … + 22
d. -2 + 4 - 6 + 8 - 10 + 12 + … - 42
e. a + 3a + 5a + 7a + 9a + 11a
f.
1 1
1
1
1
1
+
+
+
+
+…+
5 10 15 20 25
50
g. 81 + 82 +83 +84 +85 + … +8k
h.
− k + k 2 − k 3 + k 4 − ... + k 50
i.
b0 + b1 y + b2 y 2 + b3 y 3 + b4 y 4 + b5 y 5
j.
a 5 x + a 4 x 2 + a 3 x 3 + a 2 x 4 + ax 5
4. Diberikan :
n
∑ k = 1 + 2 + 3 + …+ n =
k =1
n
∑k
k =1
2
n ( n + 1)
2
= 1 + 22 + 32 + …+ n2 =
n ( n + 1) ( 2 n + 1 )
6
386
Bab 7: Basisan dan Deret
n
∑
k =1
2
 n ( n + 1) 
k = 1 + 2 + 3 + …+ n = 
 ,
2


3
3
3
3
hitunglah :
50
a.
∑k
30
f.
k =1
50
b.
∑
k
20
g.
∑ (8k + 2)
∑
k2
k =1
∑ (k
20
i.
k =3
30
2
2
− 2k
)
k =1
80
∑ (2k − 1)
∑ (k
15
h.
k =1
e.
∑ (k + 1)
k =1
100
d.
2
k =4
k =5
c.
∑k
3
)
−3
k =1
∑ (2k
10
j.
3
− k 2 + 3k
k =3
5. Tentukan 8 suku pertama dari barisan–barisan berikut ini :
a. { 4n }
b. { 3n + 1 }
c. { n2 + n )
d
{
n−2
}
n+2
)
Bab 7: Basisan dan Deret
e. { 2n -
f.
387
1
}
n
{ 7 2 n + 1 – 3n }
g. { ( 3n – 5 )2 }
6. Tentukan rumus suku ke n dari barisan-barisan berikut ini ;
a. 51, 52, 53, 54, …
b. 24, 28, 212, 216, …
c. -2, 1, -2, 1, -2, 1, …
d. 6, 10, 16, 20, 26, 30, …
e. 5, 15, 25, 35, 45,55, …
f.
10, 100, 1000, 10.000, …
g.
1 2 3 4 5
, , , ,
,…
3 5 7 9 11
7. Dari soal 6, tentukan jumlah 7suku pertama pada barisan tersebut.
9. Diberikan barisan 2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 82, …
Nyatakan soal berikut dalam notasi sigma
a. Jumlah 5 suku pertama
b. Jumlah 9 suku pertama
c. 2 + 5 + 10 + 17
d. 2 + 5 + 10 + 17 + 26 + 37 + 50
388
Bab 7: Basisan dan Deret
e. 2 + 5 + 10 + 17 + …
7.2 BARISAN DAN DERET ARITMATIKA
Perhatikan barisan–barisan berikut ini :
a. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …
b. 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …
c. 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, …
d. 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, …
Kalau kita perhatikan barisan–barisan diatas memiliki beda (selisih)
antara dua suku berurutan yang tetap, yaitu :
a. barisan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, … memiliki beda (selisih) antara dua
suku berurutan tetap, yaitu 1.
b. barisan 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, … memiliki beda (selisih) antara dua
suku berurutan tetap, yaitu 2.
c. barisan 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, … memiliki beda (selisih) antara
dua suku berurutan tetap, yaitu 3.
d. barisan 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, … memiliki beda (selisih) antara
dua suku berurutan tetap, yaitu 10.
Contoh–contoh barisan di atas biasa disebut barisan aritmatika.
Definisi 7.2.1:
Bab 7: Basisan dan Deret
389
Barisan aritmatika adalah suatu barisan yang memiliki beda (selisih)
antara dua suku berurutan tetap.
Berdasarkan definisi tersebut, maka bentuk umum dari barisan
aritmatika dapat dituliskan sebagai :
a, (a+b), (a+2b), (a+3b), (a+4b), …………, (a+(n-1)b)
dengan :
a = U 1 adalah suku pertama
b = U n − U n −1 adalah beda ( selisih ) antara dua suku berurutan
Kalau kita perhatikan dari bentuk umum barisan aritmatika di atas
maka :
Suku ke 1 = U 1 = a
Suku ke 2 = U 2 = a + b
Suku ke 3 = U 3 = a + 2b
Suku ke 4 = U 4 = a + 3b
Suku ke 5 = U 5 = a + 4b
Dan seterusnya, sehingga untuk suku ke n dari barisan aritmatika dapat
dirumuskan sebagai :
U n = a + (n − 1)b
CONTOH 7.2.1
Tentukan rumus suku ke n pada barisan aritmatika berikut ini :
390
Bab 7: Basisan dan Deret
a. 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20,…
b. 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, …
c. 100, 99, 98, 97, 96, 95, 94,…
Penyelesaian :
a. Diketahui suku pertama adalah a = U 1 = 2 , dan beda antara dua
suku berurutan adalah tetap, yaitu b = 3, maka suku ke n dari
barisan tersebut adalah :
U n = a + (n − 1)b
= 2 + (n − 1)3
= 3n − 1
Jadi suku ke n pada barisan aritmatika 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20,…
dapat dirumuskan sebagai U n = 3n − 1 .
b.
Diketahui suku pertamanya adalah a = U 1 = 10 , dan beda antara
dua suku berurutan adalah tetap, yaitu b = 10, maka suku ke n dari
barisan tersebut adalah :
U n = a + (n − 1)b
= 10 + (n − 1)10
= 10n .
Jadi rumus suku ke n dari barisan 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, …
adalah U n = 10n .
Bab 7: Basisan dan Deret
391
c. Diketahui suku pertamanya adalah a = U 1 = 100 , dan beda antara
dua suku berurutan adalah tetap, yaitu b = -1, maka suku ke n dari
barisan tersebut adalah :
U n = a + (n − 1)b
= 100 + (n − 1)(− 1)
= − n + 101 .
rumus suku ke n dari barisan 100, 99, 98, 97, 96, 95, 94, … adalah
U n = −n + 101 .
CONTOH 7.2.2
Tentukan suku ke 5, suku ke 15 dan suku ke 50 dari barisan aritmatika
5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, …
Penyelesaian :
Untuk mengerjakan soal di atas, terlebih dahulu kita harus mencari
rumus suku ke n dari barisan tersebut. Dari barisan tersebut diketahui
suku pertamanya adalah a = U 1 = 5 , dan beda antara dua suku
berurutan adalah tetap, yaitu b = 10 - 5 = 5. Sehingga dapat diperoleh
rumus untuk suku ke n, yaitu :
U n = a + (n − 1)b
= 5 + (n − 1)5
= 5n
Dari rumus suku ke n tersebut, dapat ditentukan :
392
Bab 7: Basisan dan Deret
Suku ke 5 adalah U5 = 5·5 = 25
Suku ke 15 adalah U15 = 5·15 = 75
Suku ke 50 adalah U50 = 5·50 = 250
Selanjutnya akan diberikan pengertian tentang deret dari suatu barisan
aritmatika.
Definisi 7.2.2:
Deret aritmatika adalah jumlah dari suku-suku barisan aritmatika. Jika
S n adalah jumlah n suku pertama dari suku-suku barisan aritmatika ,
maka S1 = U 1 = a
S 2 = U 1 + U 2 = a + (a + b )
S3 = U1 + U 2 + U 3 = a + (a + b) + (a + 2b)
.
.
.
S n = U1 + U 2 + U 3 + U 4 + L + U n
= a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + L + (a + (n − 1)b)
Dari definisi di atas, maka jumlah n suku pertama dari suku-suku
barisan aritmatika dapat disederhanakan menjadi :
Bab 7: Basisan dan Deret
393
Sn = na + (0 + 1 + 2 + 3 + L + (n − 1))b
= na + (0 + 1 + 2 + 3 + L + (n − 1) + n )b − nb
= na + (1 + 2 + 3 + L + n )b − nb
1

= na +  n(n − 1)b − nb
2

1
1
= na + n 2b − nb
2
2
1
= na + n(n − 1)b
2
1
= n(2a + (n − 1)b )
2
Sedangkan
U1 + U n = a + (a + (n − 1)b) = 2a + (n − 1)b , sehingga
1
2
S n juga dapat dinyatakan dalam bentuk S n = n(U 1 + U n ) .
Jadi, jumlah n suku pertama dari suku-suku barisan aritmatika dapat
ditentukan dengan rumus :
Sn =
1
n(2a + (n − 1)b )
2
atau
Sn =
1
n(U1 + U n ) .
2
CONTOH 7.2.3
Hitunglah jumlah 20 suku pertama deret aritmatika :
2 + 5 + 8 + 11 + 14 + L
394
Bab 7: Basisan dan Deret
Penyelelesaian :
Perhatikan bahwa dari deret tersebut diketahui a = U 1 = 2 dan b = 5 .
Dari rumus jumlah n suku pertama dari suku-suku barisan aritmatka,
Sn =
1
n(2a + (n − 1)b ) , maka diperoleh :
2
1
20(2 ⋅ 2 + (20 − 1)5)
2
= 10 ⋅ 99
= 990 .
S 20 =
Jadi jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah 990 .
CONTOH 7.2.4
Diberikan barisan aritmatika 3, 7, 11, 15, 19 , 23, L
Tentukan U6 + U7 + U8 + U9 + U10 + U11 .
Penyelesaian :
Perhatikan bahwa dari deret tersebut diketahui a = U 1 = 3 dan b = 4 ,
dan berdasarkan rumus S n =
1
n(2a + (n − 1)b ) , maka diperoleh :
2
S11 = U 1 + U 2 + U 3 + U 4 + U 5 + U 6 + U 7 + U 8 + U 9 + U 10 + U 11
S5 = U1 + U 2 + U 3 + U 4 + U 5
Bab 7: Basisan dan Deret
395
Jadi
U 6 + U 7 + U 8 + U 9 + U10 + U11 = S11 − S5
1
1
⋅ 11(2 ⋅ 3 + (11 − 1)4) − ⋅ 5(2 ⋅ 3 + (5 − 1)4)
2
2
1
1
= ⋅ 11 ⋅ 46 − ⋅ 5 ⋅ 22
2
2
= 198 .
=
• RANGKUMAN
•
Barisan aritmatika adalah suatu barisan yang memiliki beda
(selisih) antara dua suku berurutan tetap.
Bentuk umum dari barisan aritmatika :
a, (a+b), (a+2b), (a+3b), (a+4b), …………, (a+(n-1)b)
dengan a adalah suku pertama, dan b adalah beda antara dua
suku berurutan.
•
Deret aritmatika adalah jumlah dari suku-suku barisan
aritmatika.
SSO
OAALL LLAATTIIH
HAAN
N 77--22
396
Bab 7: Basisan dan Deret
1. Tentukan rumus suku ke n dari barisan aritmatika berikut ini ,
kemudian tentukan suku ke 10 :
a.
3, 6, 9, 12 , 15, L
b.
7 , 9, 11, 13, 15, L
c
100 , 99 , 98, 97 , L
d.
− 5, − 4, − 3, − 2, − 1, L
e.
1 1 3
51
, , , 1, , L
4
4 2 4
f.
0,1, 0,2 , 0,3 , 0,4 , 0,5 , L
2. Tentukan 7 suku pertama dari barisan aritmatika berikut ini :
a.
a=2 , b=2
b.
a = 4 , b = −2
c.
a = 0,1 , b = 0,5
d.
a = 0,5 , b = 1
e.
a = 3 , b = 3 −3
f.
a = 6k , b = 8
g.
a = 3t − 2 , b = 6t
3. Tentukan nilai n jika diketahui :
a. a = 4 , b = 2 , U n = 100
b. a = 500 , b = −1 , U n = 196
c.
a = 5 , b = 5 , U n = 225
d.
a=
e.
a = 6 , b = 3 , U n = 99
1
51
, b =1 , Un =
2
2
Bab 7: Basisan dan Deret
397
4. Hitunglah jumlah 10 suku pertama deret aritmatika berikut ini :
a.
4 + 9 + 14 + 19 + L
b. 1 + 7 + 13 + 19 + L
c. 100 + 98 + 96 + 94 + L
d.
0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + L
e.
1 1 3
+ + +1+L
4 2 4
5. Jika barisan aritmatika mempunyai suku ke 10 adalah 40, dan suku
ke 20 adalah 80. Tentukan tiga suku pertamanya dan rumus ke n .
6. Jika suatu barisan aritmatika suku ke 5 adalah 30 dan suku ke 25
adalah 70. Tentukan suku ke 35 dari barisan tersebut.
7. Tentukan jumlah semua bilangan bulat :
a. ganjil antara 300 dan 700
b. genap antara 300 dan 700
c. antara 200 dan 500 yang habis dibagi 4
d. antara 200 dan 500 yang tidak habis dibagi 4
e. antara 100 dan 1000 yang habis dibagi 4 dan 10
f.
antara 100 dan 1000 yang habis dibagi 4 atau 10
8. Tentukan suku ke n dari deret aritmatika berikut jika diketahui
a.
S n = n 2 + 2n + 5
b.
S n = 4n 2 + 14n
398
Bab 7: Basisan dan Deret
9. Diketahui jumlah n suku pertama dari deret aritmatika adalah
S n = 2n 2 + 2n − 10 . Tentukan 4 suku pertama dari barisan
aritmatika tersebut.
10. Dari suatu barisan aritmatika diketahui, suku kedelapan adalah 20
dan suku kesepuluh adalah 12. Carilah jumlah dua puluh suku yang
pertama.
11. Deret aritmatika mempunyai 21 suku dengan suku tengah 13. Jika
jumlah suku-suku setelah suku tengah sama dengan 12 kali jumlah
suku-suku sebelumnya, maka tentukan deretnya.
12. Seorang
petani
memetik
mangga
setiap
hari
dan
selalu
mencatatnya. Ternyata banyaknya mangga yang dipetik memenuhi
barisan aritmatika, yaitu banyak mangga yang dipetik pada hari ke
n memenuhi rumus U n = 10n + 100 . Tentukan banyak mangga
yang dipetik selama 20 hari pertama.
13. Budi rajin menabung di bank BNI setiap bulan. Tahun pertama, ia
menabung Rp. 200.000,00 per bulan. Tahun kedua, ia menabung
Rp. 250.000,00 per bulan. Tahun ketiga, ia menabung Rp.
300.000,00 per bulan dan seterusnya, sehingga setiap tahun
bertambah Rp. 50.000,00. Jika dari hasil tabungan tersebut, budi
ingin membeli mobil seharga 51 juta rupiah, pada tahun ke berapa
budi dapat membeli mobil tersebut ? ( bunga bank tidak ikut
diperhitungkan )
14. Irfan seorang pedagang yang sukses. Keuntungannya berdagang
selalu bertambah setiap bulan dengan jumlah yang sama. Bila
Bab 7: Basisan dan Deret
399
keuntungan bulan ke 4 adalah Rp. 3.200.000,00 dan keuntungan
bulan ke 8 adalah Rp. 4.800.000,00, maka tentukan jumlah seluruh
keuntungan Irfan pada bulan ke 10.
7.3 BARISAN DAN DERET GEOMETRI
Perhatikan barisan–barisan berikut ini :
a.
2, 4, 8, 16 , 32 , 64 , 128 , L
b.
2, − 4, 8, − 16 , 32 , − 64 , 128 , L
c. 1, 3, 9, 27 , 81, 243, L
d. 1,
1 1 1 1 1
, ,
, ,
,L
3 9 27 81 243
Kalau kita perhatikan pola barisan–barisan di atas, untuk mendapatkan
suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan suatu bilangan ( rasio )
yang tetap dengan suku sebelumnya yaitu :
a. Pada barisan 2, 4, 8, 16 , 32 , 64 , 128 , L untuk mendapatkan
suku berikutnya dikalikan dengan bilangan (rasio) 2 .
Jadi U n = 2U n −1 .
b. Pada barisan 2, − 4, 8, − 16 , 32 , − 64 , 128 , L untuk mendapatkan
suku berikutnya dikalikan dengan bilangan (rasio) − 2 .
Jadi Un = −2U n −1 .
c. Pada barisan 1, 3, 9, 27 , 81, 243, L untuk mendapatkan suku
berikutnya dikalikan dengan bilangan ( rasio ) 3 .
Jadi U n = 3U n−1 .
400
Bab 7: Basisan dan Deret
1 1 1 1 1
, ,
, ,
, L untuk mendapatkan
3 9 27 81 243
1
suku berikutnya dikalikan dengan bilangan (rasio) .
3
c. Pada barisan 1,
1
3
Jadi Un = U n −1 .
Contoh – contoh barisan di atas biasa disebut barisan geometri.
Definisi barisan geometri diberikan berikut ini.
Definisi 7.3.1:
Barisan geometri adalah barisan yang rasio (perbandingan) antara dua
suku berurutan adalah tetap. Secara umum barisan geometri
mempunyai bentuk:
a, ar, ar 2 , ar 3 , ar 4 ,.............., ar n−1
dimana
a = U 1 adalah suku pertama,
r adalah rasio (perbandingan) antara dua suku berurutan,
yaitu r =
Un
.
U n −1
Bab 7: Basisan dan Deret
401
Kalau kita perhatikan dari definisi barisan geometri di atas, maka :
Suku ke 1 = U 1 = a
Suku ke 2 = U 2 = ar
2
Suku ke 3 = U 3 = ar
Suku ke 4 = U 4 = ar
3
4
Suku ke 5 = U 5 = ar
dan seterusnya, sehingga rumus suku ke n dari barisan geometri dapat
dirumuskan sebagai :
U n = ar n −1
CONTOH 7.3.1
Tentukan rumus suku ke n dari barisan–barisan berikut :
1
1 1 1
, − , , ,L
2
4 8 16
a.
2, − 1,
b.
4, 4 2 , 43 , 4 4 , 45 , 4 6 , L
c.
− 1, 1, − 1, 1, − 1, 1, L
Penyelesaian :
a. Perhatikan bahwa barisan tersebut mempunyai suku pertama
a = U 1 = 2 dan rasio (perbandingan) antara dua suku berurutan
adalah tetap, yaitu r =
−1
, maka barisan tersebut adalah barisan
2
402
Bab 7: Basisan dan Deret
geometri. Berdasarkan rumus untuk suku ke n dari barisan
geometri, maka diperoleh :
U n = ar n −1
 − 1
= 2 
 2 
n −1
Jadi rumus suku ke n pada barisan 2, − 1,
 − 1
adalah U n = 2

 2 
1
1 1 1
, − , , ,L
4 8 16
2
n −1
.
b. Perhatikan bahwa barisan tersebut mempunyai suku pertama
a = U 1 = 4 dan rasio (perbandingan) antara dua suku berurutan
adalah tetap, yaitu r =
42
= 4 , maka barisan tersebut adalah
4
barisan geometri. Berdasarkan rumus untuk suku ke n dari barisan
geometri, maka diperoleh :
U n = ar n−1
= 4 ⋅ 4 n −1
= 4n
2
3
4
5
6
Jadi rumus untuk suku ke n pada barisan 4, 4 , 4 , 4 , 4 , 4 , L
n
adalah U n = 4 .
c. Perhatikan bahwa barisan tersebut mempunyai suku pertama
a = U 1 = −1 dan rasio (perbandingan) antara dua suku berurutan
Bab 7: Basisan dan Deret
adalah tetap, yaitu r =
403
1
= −1 , maka barisan tersebut adalah
−1
barisan geometri. Berdasarkan rumus untuk suku ke n dari barisan
geometri, maka diperoleh :
U n = ar n −1
= −1 ⋅ (− 1)
= (− 1)
n −1
n
Jadi rumus suku ke n pada barisan − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1, L adalah
U n = (− 1) .
n
CONTOH 7.3.2
Diketahui suatu deret geometri dengan U 3 =
Tentukan rasio
1
dan U 6 = 4 .
16
r dan suku pertama a dari deret tersebut.
Penyelesaian :
n −1
,
Berdasarkan rumus suku ke n dari barisan geometri, U n = ar
maka dari yang telah diketahui dalam soal :
U3 =
1
1
berarti ar 2 =
, dan
16
16
U 6 = 4 berarti ar 5 = 4 .
404
Bab 7: Basisan dan Deret
Sehingga diperoleh :
ar 5
ar 2
U
= 6
U3
r3 =
4
1
16
= 64 .
=
Jadi rasio dari deret geometri tersebut adalah r = 4 .
Dengan
mensubstitusikan
U3 = a ⋅ r2 =
nilai r =
4
ke dalam persamaan
4
1
, maka diperoleh a =
.
256
16
Berikut ini akan diberikan contoh penggunaan barisan geometri
CONTOH 7.3.3
Penduduk suatu daerah adalah 20.000 orang. Daerah tersebut setiap
tahun penduduknya bertambah 2%. Tentukan jumlah penduduk pada
awal tahun ke 7.
Penyelesaian :
Jumlah penduduk pada awal tahun pertama adalah U 1 = 20.000 .
Jumlah penduduk pada awal tahun kedua adalah
Bab 7: Basisan dan Deret
405
U 2 = U 1 + 2% ⋅ U 1
= 1,02U 1
= 1,02 × 20.000
Jumlah penduduk pada awal tahun ketiga adalah
U 2 = U 2 + 2% ⋅ U 2
= 1,02U 2
= 1,02 × 1,02 × 20.000
= (1,02) × 20.000
2
dan seterusnya.
Dengan demikian jumlah penduduk pada awal tahun ke n adalah
U n = (1,02)
n −1
× 20.000 ,
sedangkan jumlah penduduk pada awal tahun ke 7 adalah
U 7 = (1,02) × 20.000
6
= 22.523,25 .
Jadi jumlah penduduk pada awal tahun ke 7 sekitar 22.523 orang.
Definisi 7.3.2:
Deret geometri adalah jumlah dari suku-suku barisan geometri.
Jika S n adalah jumlah n suku pertama dari suku-suku barisan geometri,
maka
S1 = U 1 = a
406
Bab 7: Basisan dan Deret
S 2 = U 1 + U 2 = a + ar
S 3 = U 1 + U 2 + U 3 = a + ar + ar 2
S 4 = U 1 + U 2 + U 3 + U 4 = a + ar + ar 2 + ar 3
S n = U 1 + U 2 + U 3 + U 4 + L + U n = a + ar + ar 2 + ar 3 + L + ar n −1
Berdasarkan definisi di atas, akan dicari bentuk umum dari jumlah n
suku pertama dari suku-suku barisan geometri sebagai berikut :
rS n = ar + ar 2 + ar 3 + L + ar n−1 + ar n ………(1)
S n = a + ar + ar 2 + ar 3 + L + ar n−1 …………...(2)
Persamaan (1) – (2) diperoleh
rS n − S n = ar n − a
(
a(r
=
)
− 1)
S n (r − 1) = a r n − 1
Sn
n
(r − 1)
Dengan cara yang sama jika persamaan (2) – (1), diperoleh
Sn =
(
a 1− rn
(1 − r )
)
Jadi, jumlah n suku pertama dari suku-suku barisan geometri dapat
dinyatakan dalam rumus :
Bab 7: Basisan dan Deret
Sn =
(
)
407
(
a r n −1
a 1− rn
atau S n =
(r − 1)
(1 − r )
)
dengan r ≠ 1 .
CONTOH 7.3.4
Diberikan barisan geometri 2, − 4, 8, − 16 , 32 , − 64 , 128 , L
Hitunglah jumlah 10 suku pertama deret tersebut.
Penyelesaian :
Dari barisan geometri tersebut, dapat ditentukan suku pertamanya
adalah a = 2, dan rasionya adalah r = -2. Berdasarkan rumus jumlah n
suku pertama dari suku-suku barisan geometri, maka diperoleh :
Sn =
(
)
a r n −1
(r − 1)
(
)
2 (− 2) − 1
S10 =
− 2 −1
2 ⋅ 1023
=
−3
= −683
n
CONTOH 7.3.5
n
Dalam suatu deret geometri, diketahui S n = 2 + 5 . Tentukan rumus
suku ke n dari barisan geometri tersebut.
408
Bab 7: Basisan dan Deret
Penyelesaian :
U n = S n − S n −1
(
= 2 n + 5 − 2 n −1 + 5
)
= 2 n − 2 n −1
= 2 n −1 (2 − 1)
= 2 n −1
n −1
Jadi rumus suku ke n dari barisan geometri tersebut adalah U n = 2 .
• RANGKUMAN
•
Barisan geometri adalah barisan yang ratio (perbandingan)
antara dua suku berurutan adalah tetap. Secara umum
berbentuk:
a, ar, ar 2 , ar 3 , ar 4 ,.............., ar n−1
•
Deret geometri adalah jumlah dari suku-suku barisan geometri.
Jika S n adalah jumlah n suku pertama dari suku-suku barisan
geometri, maka jumlah n suku pertama dari suku-suku barisan
geometri dapat dinyatakan dalam rumus
Sn =
a (r n − 1)
a (1 − r n )
atau Sn =
r −1
1− r
Bab 7: Basisan dan Deret
409
SSO
OAALL LLAATTIIH
HAAN
N 77--33
1. Tuliskan 4 suku pertama dari barisan geometri berikut ini :
a.
a=2 , r=3
b.
a = −2 , r = 2
c.
a = 8 , r = 0,5
d.
a = 128 , r =
e.
a = 5 , r = −5
f.
a = 1000 , r = 0,1
1
4
2. Tentukan rumus suku ke n dari barisan geometri dibawah ini.
Kemudian tentukan suku ke 8 dan suku ke 12
a.
2, 4, 8, 16 , L
b.
− 3, 6, − 12, 24, L
c. 1, − 1, 1, − 1, L
d.
5, 5 2 , 10, 10 2 , L
e.
80 , 40 , 20 , 10 , L
f.
1,
1 1 1
,L
, ,
4 16 64
3. a. Tunjukkan bahwa suku tengah dari barisan geometri dengan
banyaknya suku (2 k − 1) adalah U k .
b. Dari soal a, tunjukkan juga suku tengah Uk dapat dinyatakan
dalam
410
Bab 7: Basisan dan Deret
Uk =
U 1 . U 2 k −1
dengan U1 .U 2 k −1 ≥ 0 .
4. Tentukan suku tengah dari barisan geometri berikut ini :
( Petunjuk : gunakan rumus pada soal no. 3 )
a. 16, 8, 4, L ,
b.
1
16
4, 8, 16, L , 612
c. 1024 , 612 , 306 , L , 2
d.
5 , 10 , 2, 5 , L16 5
e. 1, − 3, 9, L , − 729
5. Tentukan U10 dari barisan geometri berikut ini jika diketahui :
a.
r = 3 dan U 4 = 162
b.
r = 2 dan U 5 = 160
c.
a = 5 dan U 3 = 500
d.
a = 8 dan U 4 = 64
e.
U 3 = 306 dan U 5 = 1024
6. Diberikan suatu barisan geometri dengan U 1 + U 4 = 4 dan
U 2 + U 5 = 12 . Tentukan :
a. rasionya dan suku pertamanya
b. suku ke 6
c rumus suku ke n
Bab 7: Basisan dan Deret
7. Sisipkan 3 bilangan diantara
411
3 dan 243 sehingga membentuk
barisan geometri. Kemudian tentukan rasio, suku pertama dan suku
ke 8.
8. Tentukan jumlah 7 suku pertama dari deret geometri berikut ini :
a. 3 + 6 + 12 + 24 + L
b. 1 +
1 1 1
+ + +L
2 4 8
c.
2 − 2 + 2 − 2 +L
d.
3 + 9 + 27 + 81 + L
9. Tentukan rumus jumlah n suku pertama suatu deret geometri pada
soal no 7.
10. Jumlah n suku pertama suatu deret geometri ditentukan dengan
S n = 3(2)
n +1
−5 .
Tentukan :
a. suku pertama dan rasionya
b. rumus suku ke –n barisan itu
c.
U 6 + U 7 + U8 + U9
11. Hitunglah :
a.
80 + 40 + 20 + 10 + L
b.
0,1 + 0,01 + 0,001 + L
c.
640 + 160 + 40 + 10 + L
412
Bab 7: Basisan dan Deret
d.
1+
1 1 1
+ + +L
2 4 8
12. Suatu jenis sepeda motor mengalami penurunan harga jual sebesar
4% pada setiap akhir 1 tahun. Jika harga sepeda motor baru adalah
Rp. 16.000.000,00, maka tentukan harga jual sepeda motor tersebut
pada akhir tahun ke empat ?
13. Suatu rumah mengalami kenaikan harga jual sebesar 10% pada
setiap akhir 1 tahun. Jika harga rumah Rp. 150.000.000,00 maka
tentukan harga jual rumah tersebut pada akhir tahun ke lima ?
14. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 40 meter dan memantul
dengan ketinggian
3
dari jarak ketinggian sebelumnya.Tentukan
5
total jarak jatuh bola hingga bola berhenti bergerak.
Bab
8
GEOMETRI BIDANG
8. Geometri Bidang
P
ada bab ini akan dibahas bentuk-bentuk bidang dalam ruang
dimensi dua atau yang disebut dengan bidang datar, seperti
persegi, persegi panjang, jajaran genjang, layang-layang,
trapesium dan lingkaran. Disamping itu juga dibahas tentang
keliling serta luasan dari bidang tersebut, yang penerapannya erat
kaitannya dengan kegiatan ekonomi (bisnis dan manajemen), terutama
yang menyangkut luasan dari bidang. Selain itu, untuk mendukung
pembahasan, juga dikenalkan dua besaran sudut yaitu derajat dan
radian serta hubungan antara kedua satuan ukuran ini. Bidang
matematika yang mencakup bahasan tentan kaitan titik, garis, bangun,
dan sejenisnya dinamakan geometri. Ada berbagai macam geometri,
namun yang dibahas disini adalah geometri Euclid dan lebih khusus
lagi adalah geometri bidang.
413
414
Bab 8: Geometri Bidang
8.1 SUDUT
Sebelum kita membicarakan tentang sudut, terlebih dahulu kita
perhatikan tentang titik (point) dan garis (lines). Titik dan garis
merupakan sesuatu yang tidak didefinisikan dalam geometri Euclid.
Dengan adanya titik dan garis, dibuat juga beberapa aksioma dan
definisi yang membentuk suatu sistem aksioma. Garis disini
dimaksudkan adalah garis lurus. Beberapa aksioma yang kita pakai
sebagai landasan pembahasan bab ini adalah:
-
Hanya ada satu garis lurus yang melalui dua titik.
-
Dua garis lurus hanya berpotongan di satu titik.
-
Melalui suatu titik diluar suatu garis lurus, hanya ada satu garis
lurus yang sejajar dengan garis tersebut.
Pembahasan berikutnya selalu berpijak pada kaidah di atas. Misalkan
kita menggambar dua garis lurus OX dan OP yang berpotongan di titik
O, seperti terlihat pada Gambar 8.1.1. Garis lurus OX dan OP
membentuk sudut di titik O, yang dinamakan sudut O dan
dilambangkan dengan
atau dapat juga ditulis
, sedangkan
garis OX dan garis OP dinamakan sisi sudut dari sudut XOP.
Bab 8: Geometri Bidang
415
Gambar 8.1.1 Garis OX dan garis OP membentuk
Sering kali, suatu sudut dibentuk dari memutar garis dari posisi awal
OX menuju posisi akhir OP, dengan titik O sebagai pusat perputaran.
Garis OX disebut sisi awal sudut dan garis OP disebut sisi akhir sudut.
Untuk mengukur
digunakan aturan berlawanan dengan arah
jarum jam yang putar kanan. Sudut bernilai positip jika arah putar ke
kiri dan bernilai negatif jika arah putar ke kanan. Seperti sudut pada
Gambar 8.1.2 (a) dan (c) adalah sudut positif, sedang sudut pada
Gambar 8.1.2 (b) adalah sudut negatif.
Gambar 8.1.2 Sudut positif dan sudut negatif
Ada dua ukuran sudut yaitu derajat dan radian. Lihat Gambar 8.1.2 (a),
jika kita memutar garis OP dari sisi awal OX ke arah kiri dengan pusat
putaran O sebanyak satu kali putaran (sisi akhir OP berimpit kembali
dengan sisi awal OX), maka sudut XOP yang terbentuk besarnya adalah
. Ukuran satu derajat (o) adalah suatu ukuran sudut pusat
lingkaran yang diperoleh dari membagi keliling busur lingkaran dengan
360. Sebagai ilustrasi lihat Gambar 8.1.3.
416
Bab 8: Geometri Bidang
Gambar 8.1.3 Ukuran sudut dalam derajat
Beberapa ukuran beberapa sudut istimewa disajikan berikut ini.
1. Jika kita memutar garis OP dari sisi awal OX ke arah kiri dengan
pusat putaran O sebanyak setengah putaran (sisi akhir OP
membentuk garis lurus dengan sisi awal OX), maka sudut XOP
yang terbentuk besarnya adalah
. Seperti yang terlihat pada
Gambar 8.1.4 (a).
2. Jika kita memutar garis OP dari sisi awal OX ke arah kiri dengan
pusat putaran O sebanyak seperempat putaran (sisi akhir OP
membentuk garis tegak lurus dengan sisi awal OX), maka sudut
XOP yang terbentuk besarnya adalah
. Seperti yang terlihat
pada Gambar 8.1.4 (b).
3. Jika kita memutar garis OP dari sisi awal OX ke arah kiri dengan
pusat putaran O sebanyak seperdelapan putaran, maka sudut XOP
yang terbentuk besarnya adalah
Gambar 8.1.4 (c).
. Seperti yang terlihat pada
Bab 8: Geometri Bidang
417
Gambar 8.1.4 Ukuran sudut dalam derajat
4. Jika kita memutar garis OP dari sisi awal OX ke arah kanan
dengan pusat putaran O sebanyak seperdelapan putaran, maka
sudut XOP yang terbentuk besarnya adalah
. Seperti yang
terlihat pada Gambar 8.1.4 (f).
Ukuran sudut yang kurang dari
, dinamakan sudut lancip. Ukuran
sudut sama dengan 900 dinamakan sudut siku-siku. Dua garis yang
berpotongan dan membentuk sudut 900 dikatakan saling tegak lurus.
Ukuran sudut lebih dari 900 dinamakan sudut tumpul.
Ada ukuran sudut yang lebih kecil dari derajat, yaitu menit dan detik,
dengan 1 drajat (0) = 60 menit (‘) dan 1 menit (‘) = 60 detik (“).
418
Bab 8: Geometri Bidang
Radian dan Hubungannya dengan Derajat
Dua macam satuan yang biasa digunakan untuk menentukan ukuran
sudut yaitu radian dan derajad. Apabila kita menggunakan ukuran
derajat, sudut yang dibentuk oleh satu putaran garis / sisi berukuran
3600. Dalam ukuran radian, sudut yang dibentuk oleh satu putaran garis
besarnya adalah 2π radian. Misal kita buat sebuah lingkaran dengan
pusat O dan jari-jari r seperti terlihat pada Gambar 8.1.5.
Gambar 8.1.5 Ukuran sudut radian
Misal XP sebuah busur pada lingkaran yang panjangnya sama dengan
jari-jari lingkaran r. Besar sudut pusat XOP yang menghadap busur XP
adalah satu radian. Keliling lingkaran sama dengan 2π r (nilai
π ≈ 3,14 ) dan besar sudut satu putaran adalah 2π radian. Besar sudut
pusat lingkaran dengan satu putaran adalah 3600.
Jadi diperoleh
2π radian = 360 0 atau 1π radian = 180 0
Bab 8: Geometri Bidang
419
Persamaan tersebut adalah persamaan dasar antara radian dan derajat.
Oleh karena itu :
1 radian =
10 =
π
180
180 0
≈ 57 017 '45 "
π
radian = 0,01745 radian
CONTOH 8.1.1
Berapa besar sudut dalam radian jika diketahui besar sudut dalam
derajat adalah 450 ?
Jawab.
Karena 10 =
Maka
π
180
45 0 = 45
radian = 0,01745 radian ,
π
180
radian =
π
4
radian ≈ 0,78525 radian
CONTOH 8.1.2
Berapa besar sudut dalam derajat jika diketahui dalam besar sudut
dalam radian adalah 1,25 radian ?
Penyelesaian:
Karena 1 radian =
180 0
π
≈ 57 017 '45 " ,
420
Bab 8: Geometri Bidang
Maka
1,25 radian = 1,25 ×
180 0
π
≈ 710 37 '11"
CONTOH 8.1.3
Nyatakan besar sudut
2
π dalam derajat !
3
Penyelesaian:
Karena 1π radian = 180 0 ,
maka
2
2
π = × 180 0 = 120 0
3
3
CONTOH 8.1.4
Nyatakan besar sudut 540 0 dalam bentuk π radian
Penyelesaian:
Karena 1π radian = 180 0 ,
0
maka 540 =
540 0
× π radian = 3π radian
180 0
Sudut – sudut yang dibentuk oleh perpotongan garis
1. Perhatikan gambar perpotongan dua garis pada Gambar 8.1.6. Jika
dua garis berpotongan, maka jumlahan sudut – sudut yang
bersebelahan adalah 180o, atau
.
Bab 8: Geometri Bidang
421
Gambar 8.1.6 Jumlahan sudut yang bersebelahan
2. Perhatikan gambar perpotongan dua garis pada Gambar 8.1.7. Jika
dua garis berpotongan, maka sudut – sudut yang bertolak belakang
adalah sama, atau
dan
Gambar 8.1.7 Sudut yang bertolak belakang
3. Perhatikan gambar perpotongan satu garis dengan dua garis yang
sejajar pada Gambar 8.1.8.
Jika sebuah garis memotong sepasang garis yang paralel
sebagaimana pada Gambar 8.1.8, maka:
-
merupakan sudut – sudut dalam (interior)
-
merupakan sudut – sudut luar (exterior)
-
Sudut-sudut yang berseberangan adalah sama, atau
, dan
-
.
Sudut-sudut yang bersesuaian adalah sama, atau
422
Bab 8: Geometri Bidang
,
,
, dan
.
Gambar 8.1.8 Sudut – sudut dalam, luar, bersesuaian, dan
berseberangan.
CONTOH 8.1.5
Tentukan besar sudut
dan
pada gambar berikut ini.
Penyelesaian:
-
Karena sudut
bertolak belakang dengan sudut 30o, maka
.
-
Karena sudut
beseberangan dengan sudut 30o, maka
, atau
Bab 8: Geometri Bidang
-
423
bertolak belakang dengan sudut
Karena sudut
, maka
.
•
RANGKUMAN
• Untuk mengukur besarnya sudut digunakan aturan berlawanan
dengan arah jarum jam yang putar kanan. Sudut bernilai positip
jika arah putar sudut ke kiri dan bernilai negatif jika arah putar
sudut ke kanan. Besar sudut dinyatakan dalam derajat (o) atau
radian.
• Hubungan
1 radian =
antara
180
0
π
radian
dan
derajat
adalah
≈ 57 017 '45 "
• Jika dua garis berpotongan, maka:
-
jumlahan sudut – sudut yang bersebelahan adalah 180o,
atau
-
sudut – sudut yang bertolak belakang adalah sama.
SSO
OAALL LLAATTIIH
HAAN
N 88--11
1. Konversikan besaran sudut dalam derajat ke dalam radian
a. 320 45’
c. 480 15’ 30”
b. 1280 21’ 35”
d. 4500 45’ 45”
2. Konversikan besaran sudut dalam radian ke dalam derajat
a. 6,28 radian
c. 9 radian
424
Bab 8: Geometri Bidang
b. 0,314 radian
d. 11 radian
3. Ubahlah ke dalam satuan π radian
a. 7200
c. 3150
b. 4500
d. 4050
4. Ubahlah ke dalam satuan derajat
a.
5
π
6
c.
11
π
4
b.
3
π
4
d.
7
π
3
5. Ubahlah ke dalam satuan π radian
a. - 900
b. -60o
c. - 300
d. -1800
6. Tentukan besar sudut A, B, dan C pada gambar berikut ini, jika
besarnya sudut D adalah
a. 400
c.
π /6 radian
b. 60o
d. π /10 radian
8.2 KELILING BANGUN DATAR
Keliling suatu bangun datar yang tertutup merupakan jumlah panjang
sisi-sisinya. Juga dikatakan bahwa keliling suatu bangun datar adalah
Bab 8: Geometri Bidang
425
jarak yang ditempuh bila suatu bangun dikitari melalui sisinya dan
sampai kembali ke tempat semula.
8.2.1 PERSEGI DAN PERSEGI PANJANG
Bangun datar yang berbentuk persegi panjang adalah bangun datar segi
empat dengan sudut siku disetiap sudutnya, dan mempunyai ukuran
panjang dan lebar. Sedangkan persegi adalah keadaan khusus dari
persegi panjang yaitu ukuran panjang dan lebar adalah sama. Seperti
terlihat pada Gambar 8.2.1.
Gambar 8.2.1 Bangun persegi panjang dan persegi
Keliling dari persegi adalah jarak yang ditempuh jika mengitari sisisisinya dan kembali pada titik awal.
Untuk persegi panjang, kelilingnya (K) adalah dua kali panjang (p)
ditambah dua kali lebar (l) dan dinyatakan dengan :
Untuk persegi, karena panjang sisi-sisiya sama (s) maka keliling
persegi dinyatakan dengan :
426
Bab 8: Geometri Bidang
Jumlahan semua sudut dalam persegi panjang atau persegiemat adalah
360o.
CONTOH 8.2.1
Hitung keliling persegi panjang dengan panjang 20 satuan dan lebar 15
satuan !
Penyelesaian:
Keliling persegi panjang tersebut adalah:
CONTOH 8.2.2
Hitung keliling persegi dengan panjang sisi-sisinya 20 satuan !
Penyelesaian:
Keliling persegi tersebut adalah:
Bab 8: Geometri Bidang
8.2.2 JAJARAN GENJANG,
TRAPESIUM
LAYANG
427
–
LAYANG
DAN
Bentuk-bentuk segi empat yang lain adalah: Jajaran genjang, Layanglayang dan Trapesium. Jajaran genjang mempunyai dua pasang sisi
yang saling sejajar, layang-layang dua pasang sisinya sama panjang
sedangkan trapesium hanya memiliki sepasang sisi yang sejajar. Bentuk
bangun datar ini diperlihatkan pada Gambar 8.2.2.
Gambar 8.2.3 Bangun datar Jajaran Genjang, Layang-Layang dan
Trapesium
Keliling dari bangun segi empat ini dengan menghitung jarak yang
ditempuh, jika mengitari bangun segi empat ini dan kembali ke titik
asal. Dengan demikian keliling untuk masing masing bangun segi
empat ini adalah :
Jajaran genjang: K = 2( p + l )
Layang-layang : K = 2( p + l )
Trapesium
8.2.3 SEGITIGA
: K = k +l +m+n
428
Bab 8: Geometri Bidang
Segitiga (triangle) dibentuk dari tiga titik (yang tidak segaris) yang
dihubungkan dengan tiga segmen garis yang melalui tiga titik tersebut.
Gambar 8.2.3 merupakan gambar bentuk umum segitiga. Titik – titik
dalam segitiga tersebut adalah A, B, dan C. Karena itu, segitiganya
dinamakan segitiga ABC atau ditulis dengan
. Segmen garis yang
menghubungkan titik-titik tersebut dinamakan sisi dari segitiga.
Pada titik A ada
atau singkatnya
, besarnya
adalah α. Sisi
segitiga yang berada didepan
adalah segmen garis BC dengan
panjang a. Pada titik B ada
atau singkatnya
adalah β. Sisi segitiga yang berada didepan
dengan panjang b. Pada titik C ada
adalah segmen garis AC
atau singkatnya
adalah γ. Sisi segitiga yang berada didepan
AB dengan panjang c.
, besarnya
, besarnya
adalah segmen garis
Bab 8: Geometri Bidang
429
Gambar 8.2.3 Segitiga ABC
Jika pada Gambar 8.2.3 segmen garis AB dianggap sebagai alas
segitiga ABC, maka tinggi dari segitiga ABC adalah t.
Keliling segitiga (K) adalah jumlahan dari ketiga sisinya dan tulis
sebagai berikut.
Sifat sudut dalam segitiga
Dalam segitiga ABC pada Gambar 8.2.3, jumlahan sudut – sudut dalam
segitiga adalah 180o atau ditulis
Hal ini dapat diperlihatkan berikut ini. Pandang segitiga ABC seperti
tampak dibawah ini. Garis BE sejajar dengan garis AC.
-
Karena bersesuaian, besarnya
-
Karena berseberangan, besarnya
Diperoleh
sama dengan
.
sama dengan
.
430
Bab 8: Geometri Bidang
Jenis segitiga
Ada tiga jenis segitiga, yaitu:
Segitiga siku-siku adalah suatu segitiga dengan salah satu
sudutnya siku-siku (90o atau π/2), seperti tampak pada gambar
dibawah ini.
Jika dipunyai segitiga siku-siku seperti tampak pada gambar di
atas, maka:
i.
ii.
berlaku hukum pythagoras,
iii.
didefinisikan beberapa fungsi trigonometri:
-
Dari definisi tentang fungsi trigonometri di atas, berikut ini dibuat
tabel nilai
,
, dan
untuk sudut-sudut α yang
istimewa. Definisi fungsi trigonometri ini, akan dipakai pada akhir
bab.
Bab 8: Geometri Bidang
0o
30o
45o
60o
431
90o
0
1
1
0
0
-30o
-45o
-60o
-90o
0
1
Segitiga sama kaki (isosceles triangle) adalah suatu segitiga
dengan dua sisinya sama panjang, seperti tampak pada gambar
dibawah ini.
Jika dipunyai segitiga sama kaki seperti tampak pada gambar di
atas, maka:
i.
ii.
iii.
a = b,
,
garis ketinggian segitiga CD memotong segmen garis alas
AB di tengah‐tengah, atau panjang AD = panjang DB,
iv.
keliling segitiga
v.
tinggi t dapat ditentukan sebagai berikut.
432
Bab 8: Geometri Bidang
Segitiga sama sisi ketiga sisinya sama panjang
Jika dipunyai segitiga sama kaki seperti tampak pada gambar di
atas, maka:
i.
a=b=c
ii.
iii.
garis ketinggian segitiga CD memotong segmen garis alas
AB di tengah‐tengah, atau panjang AD = panjang DB.
iv.
keliling segitiga
vi.
tinggi t dapat ditentukan sebagai berikut.
CONTOH 8.2.3
Misal dipunyai segitiga seperti tampak pada gambar berikut ini.
Bab 8: Geometri Bidang
433
Tentukan besarnya sudut α !
Penyelesaian:
Jumlahan sudut – sudut dalam segitiga adalah 180o, atau
CONTOH 8.2.4
Suatu segitiga ABC dengan panjang sisi masing – masing adalah a =
45 cm, b = 37 cm, dan c = 57 cm.
Tentukan keliling segitiga tersebut !
Penyelesaian:
Keliling segitiga adalah
434
Bab 8: Geometri Bidang
CONTOH 8.2.5
Suatu penggaris berbentuk segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisi
yang diketahui seperti tampak pada gambar berikut ini.
Tentukan keliling dari penggaris tersebut !
Penyelesaian:
Sisi miring (hypotenuse) belum diketahui, dapat dicari dengan
menggunakan rumus pythagoras.
Jadi keliling dari penggaris tersebut adalah
Bab 8: Geometri Bidang
435
8.2.4 LINGKARAN
Bentuk-bentuk benda yang berupa lingkaran sering kita jumpai dalam
kehidupan sehari-hari. Perhatikan bentuk roda kendaraan, jam tangan
yang bulat, medali, uang logam merupakan contoh benda-benda yang
berbentuk lingkaran. Bentuk lingkaran diperoleh dengan menentukan
tempat kedudukan atau himpunan semua titik-titik yang berjarak tetap
terhadap sebuah titik (Gambar 8.2.4). Titik tetap (xo,yo) tersebut
dikatakan pusat lingkaran dan jarak r
tersebut dikatakan jari-jari
lingkaran.
Gambar 8.2.4 Lingkaran
Keliling sebuah lingkaran sama dengan dua kali π dikalikan dengan
jari-jarinya, atau ditulis :
K = 2π r
436
Bab 8: Geometri Bidang
• RANGKUMAN
•
Keliling suatu bangun datar yang tertutup merupakan
jumlah panjang sisi‐sisinya, dapat juga dikatakan bahwa
keliling suatu bangun datar adalah jarak yang ditempuh bila
suatu bangun dikitari sampai kembali ke tempat semula.
•
Keliling untuk persegi panjang : K = 2 p + 2l = 2( p + l )
•
Keliling Persegi
: K = 2s + 2s = 4s
•
Keliling Jajaran genjang
: K = 2( p + l )
•
Keliling Segitiga
: K = a+b+c
•
Keliling Layang‐layang
: K = 2( p + l )
•
Keliling Trapesium
: K = k +l +m+n
•
Keliling Lingkaran
: K = 2π r
SSO
OAALL LLAATTIIH
HAAN
N 88--22
1.
2.
Tentukan keliling dari bangun datar dibawah ini:
a.
Persegi Panjang dengan panjang = 6 cm, lebar = 3 cm
b.
Persegi dengan sisi = 4 cm
c.
Jajajaran genjang panjang = 12 cm, lebar = 8 cm
d.
Lingkaran dengan jari-jari = 5 cm
Sebuah jendela berbentuk persegi panjang dengan panjang =
2,4 m dan lebar 1,8 m. Diatas jendela diberi lengkungan setengah
lingkaran.
a. Tentukan keliling jendela
b. Jika harga bahan Rp
42.500,-/m dan ongkos pembuatan
jendela Rp 55.000,-. Tentukan harga jendela tersebut.
Bab 8: Geometri Bidang
3.
437
Sebuah pagar berbentuk seperti gambar dibawah ini, bagian
atas pagar diberi hiasan segi tiga sama sisi.
0,5 m
3m
5m
Jika harga bahan Rp 35.000,-/m, ongkos pembuatan Rp 225.000,tentukan harga pagar.
4.
Sebuah taman berbentuk persegi panjang dengan panjang 15 m
dan lebar 10 m, keliling taman diberi pagar seperti pada soal 3.
Berapa beaya yang dibutukhan untuk memberi pagar taman
tersebut.
8.3 LUAS BANGUN DATAR
8.3.1 PERSEGI DAN PERSEGI PANJANG
Bangun datar yang berbentuk persegi panjang adalah bangun datar segi
empat dengan sudut siku disetiap sudutnya, dimana mempunyai ukuran
panjang dan lebar. Sedangkan persegi adalah keadaan khusus dari
persegi panjang yaitu ukuran panjang dan lebar adalah sama. Seperti
terlihat pada Gambar 8.1.2. Luas dari persegi panjang adalah
banyaknya besaran turunan yang dapat menutupi permukaan persegi
438
Bab 8: Geometri Bidang
panjang. Kalau panjang dari persegi panjang adalah p satuan dan lebar
dari persegi panjang adalah l satuan, maka luas persegi panjang
tersebut adalah:
L = p×l
Sedangkan luas dari persegi adalah sisi (s) dikalikan dengan sisi (s) dan
dinyatakan dengan:
L = s × s = s2
CONTOH 8.3.1
Tentukan luas dari persegi panjang dengan panjang 8 cm & lebar 4 cm
Penyelesaian:
L = p × l = 8 cm × 4 cm = 32 cm 2
CONTOH 8.3.2
Tentukan luas dari persegi dengan panjang sisi 4 m
Jawab
L = s × s = 4 m × 4 m = 16 m 2
8.3.2 SEGITIGA
Perhatikan Gambar 8.3.1. Terlihat pada gambar bahwa Luas segi tiga
ABC sama dengan ½ luas persegi panjang ADCF ditambah ½ luas
persegi panjang DBFC maka luas segi tiga ABC sama dengan ½ luas
Bab 8: Geometri Bidang
439
persegi panjang ADCE dan DBFC. Sehingga luas segitiga dapat
dirumuskan sebagai berikut :
Gambar 8.3.1 Segi tiga siku-siku
L=
1
⋅ ( AB ) ⋅ (CD )
2
Jika panjang alas (AB) segi tiga ABC adalah a dan Panjang dari garis
tinggi CD adalah t, maka luas segitiga ABC dapat ditulis:
L=
1
⋅a ⋅t
2
CONTOH 8.3.3
Tentukan luas segitiga yang panjang alasnya 8 cm dan tinggi 4 cm
Jawab
L = 1 ⋅ a ⋅ t = 1 ⋅ 8 cm ⋅ 4 cm = 16 cm 2
2
2
8.3.3 JAJARAN GENJANG
440
Bab 8: Geometri Bidang
Untuk mendapatkan luas jajaran genjang perhatikan Gambar 8.3.2.
Buat garis tinggi dari sepasang sisi yang sejajar. Potong bentuk segitiga
BFD (sebelah kanan), kemudian geser ke sebelah kiri sampai
menempel diatas segitiga AEC, akan membentuk bangun menjadi
persegi panjang. Misalkan panjang alas jajaran genjang diketahui a dan
tingginya t.
Gambar 8.3.2 Jajaran genjang dan persegi panjang yang dibentuk dari
potongan segitiga dari jajaran genjang.
Jadi luas jajajaran genjang dinyatakan dengan:
L = a ⋅t
CONTOH 8.3.4
Tentukan luas jajaran genjang yang panjang alas 8 cm dan tinggi 4 cm.
Penyelesaian:
L = a ⋅ t = 8 cm ⋅ 4 cm = 32 cm 2
8.3.4 LAYANG ‐ LAYANG
Bab 8: Geometri Bidang
441
Luas layang-layang dicari dengan membuat garis diagonal-diagonalnya,
kemudian memotong salah satu diagonalnya. Dari potongan ini terdapat
dua segitiga yang panjang alas sama dengan diagonal dan tinggi dari
kedua segitiga sama dengan panjang diagonal yang lain seperti terlihat
pada Gambar 8.3.3.
Gambar 8.3.3 Layang-layang dipotong menjadi dua segitiga
Luas segitiga BCD (potongan atas) adalah
Luas segitiga ABC (potongan bawah) adalah
Luas layang-layang:
Jadi luas layang-layang:
442
Bab 8: Geometri Bidang
CONTOH 8.3.5
Tentukan luas layang-layang yang panjang diagonalnya 10 cm dan
tinggi 6 cm.
Penyelesaian:
cm2.
8.3.5 TRAPESIUM
Perhatikan Gambar 8.3.4. Penghitungan luas trapesium dengan
membuat dua garis tinggi dari alas trapesium, bidang dipotong
mengikuti garis tinggi, dengan demikian ada dua bidang datar
berbentuk segitiga dan satu berbentuk persegi panjang.
Gambar 8.3.4 Trapesium dan Tiga Potongan
Bab 8: Geometri Bidang
443
Luas trapesium adalah jumlahan dari L1 + L2 + L1, dengan
L1 =
1
⋅c ⋅t
2
L2 = b ⋅ t
L3 =
1
⋅d ⋅t
2
1
1
⋅ c ⋅ t + (b ⋅ t ) + ⋅ d ⋅ t
2
2
Ltrap =
1
2
= t ⋅ c + b +


1 
d
2 
= t ⋅c + b + d −


= t ⋅a −
Ltrap =
1
1 
c − d  , panjang a = c + b + d
2
2 
1
(c + d ) , panjang c + d = a − b
2

1
⋅ t ⋅ (a + b )
2
CONTOH 8.3.6
Tentukan luas trapesium dengan tinggi 4 cm, alas 6 cm dan 5 cm.
Jawab
Ltrap =
1
1
⋅ t ⋅ (a + b ) = ⋅ 4 ⋅ (6 + 5) = 22 cm 2
2
2
8.3.6 LINGKARAN
444
Bab 8: Geometri Bidang
Bentuk-bentuk benda yang berupa lingkaran sering anda jumpai dalam
kehidupan sehari-hari. Perhatikan bentuk roda kendaraan, jam tangan
yang bulat, medali, uang logam merupakan contoh benda-benda yang
berbentuk lingkaran. Bentuk Lingkaran diperoleh dengan menentukan
tempat kedudukan atau himpunan semua titik-titik yang berjarak tetap
terhadap sebuah titik (Gambar 8.2.4). Titik tetap (xo,yo) tersebut
dikatakan Pusat lingkaran dan jarak r
tersebut dikatakan jari-jari
lingkaran.
Gambar 8.3.5 Lingkaran
Luas sebuah lingkaran sama dengan π dikalikan dengan kuadrat jarijarinya, atau ditulis :
L = π r2
CONTOH 8.3.7
Tentukan luas lingkaran dengan jari-jari 4 cm.
Jawab
L = π r 2 = π ⋅ (4) = 16π cm 2
2
Bab 8: Geometri Bidang
445
• RANGKUMAN
•
Luas dari bidang datar adalah banyaknya besaran turunan
yang dapat menutupi permukaan bidang datar tersebut.
•
Luas untuk persegi panjang
: L = p×l
•
Luas Persegi
: L = s × s = s2
•
Luas Jajaran genjang
: L = a ⋅t
•
Luas Layang‐layang
: L = 1 × d1 × d 2
•
Luas Trapesium
: Ltrap =
•
Luas Lingkaran
2
: L =π r
2
1
⋅ t ⋅ (a + b )
2
SSO
OAALL LLAATTIIH
HAAN
N 88--22
1. Tentukan luas dari bangun datar dibawah ini:
a.
Persegi dengan sisi 3 cm
b.
Persegi panjang dengan panjang 5 cm, lebar 2 cm
c.
Segi tiga dengan alas 8 cm dan tinggi 7 cm
d.
Lingkaran dengan jari-jari 6 cm
2. Tentukan luas tanah pada gambar dibawah ini
446
Bab 8: Geometri Bidang
3. Paving dengan ukuran 4 x 8 cm digunakan untuk menutup halaman
sekolah yang berukuran 8 x 10 m
a.
Berapa banyak paving yang dibutuhkan
b.
Jika harga paving Rp 2.500,-/buah berapa harga paving
seluruhnya.
c.
Ongkos pemasangan paving Rp 25.000,-/m2 Berapa beaya
yang dibutuhkan
d.
Agar lebih bagus digunakan paving merah sebanyak 12 m2
dengan harga Rp 2750,-/buah, berapa harga paving seluruhnya
4. Sebuah teras dari cor berbentuk persegi panjang dan diatasnya
diberi setengah lingkaran seperti gambar dibawah, dengan
ketebalan 5 cm tiap meter persegi membutuhkan semen 6 kg, harga
semen yang berisi 50 kg Rp 48.000,a. Berapa luas teras
b. Berapa kg semen yang dibutuhkan
c. Berapa biaya untuk membeli semen
8.4
TRANSFORMASI GEOMETRI
Bab 8: Geometri Bidang
447
Transformasi geometri adalah pemindahan obyek bidang datar dari
tempat asal ketempat yang lain. Terdapat empat bentuk transformasi
geometri yaitu:
Translasi (pergeseran)
Rotasi (putaran)
Refleksi (pencerminan)
Dilatasi (Perbesaran atau perkecilan)
8.4.1 TRANSLASI
Translasi atau pergeseran adalah bentuk transformasi untuk memindahkan suatu obyek pada bidang datar dengan jarak dan arah tertentu.
Panjang jarak dan arah pada translasi dinyatakan oleh vektor AB atau
a
pasangan berurutan   .
b
 
2
2
Suatu translasi dari R (ruang dimensi dua) ke R didefinisikan oleh
pemetaan:
T : R2 → R2
a
Titik P ( x, y ) ditranslasikan oleh T =  
b
artinya titik P ( x, y ) dipetakan ke titik P ' ( x ' , y ') sehingga berlaku
hubungan:
x '= x + a
y '= y + b
Hubungan ini mengandung pengertian:
448
Bab 8: Geometri Bidang
1. Jika a > 0 maka arah pergeseran kekanan dan jika a < 0 arah
pergeseran kekiri.
2. Jika b > 0 maka arah pergeseran keatas dan jika b < 0 arah
pergeseran kebawah.
Secara geometri diperlihatkan pada Gambar 8.5.1.
Gambar 8.5.1 Translasi Titik P( x, y ) ke P ' ( x ' , y ')
CONTOH 8.4.1
 2
Tentukan bayangan titik P (2,−5) dan Q (− 3,1) oleh translasi T  
 3
Jawab
Untuk titik P: P (2,−5) → P ' (2 + 2, − 5 + 3) = P ' (4, − 2 )
Bab 8: Geometri Bidang
449
Untuk titik Q: Q (− 3,1) → Q ' (− 3 + 2,1 + 3) = P ' (− 1, 4 )
CONTOH 8.4.2
Tentukan hasil translasi dari persamaan parabola y = x 2 oleh translasi
 − 1
T   , Gambarkan grafik sebelum dan sesudah translasi.
 3
Penyelesaian:
Persamaan translasi adalah:
x ' = x − 1 → x = x '+1
y ' = y + 3 → y = y '− 3
Substitusikan persamaan translasi ke persamaan parabola didapat:
y = x2
↔ y '−3 = ( x '+1)
2
↔ y ' = (x ') + 2 x '+1 + 3
2
↔ y ' = (x') + 2 x '+ 4
2
Grafik parabola asal dan hasil translasi diperlihatkan pada gambar 8.5.2
y
y ' = (x') + 2x '+4
2
y = x2
y = x + 2x + 1
2
x
450
Bab 8: Geometri Bidang
Gambar 8.5.2 Grafik Parabola dan hasil Translasi
Pertama kita gambarkan grafik y = x 2 , grafik ini digeser ke-kiri sejauh
satu satuan (gambar garis putus-putus), kemudian dilanjutkan digeser
ke-atas sejauh tiga satuan (gambar garis tebal).
CONTOH 8.4.3
a
Bayangan titik (a − 2b, a + b ) oleh translasi   adalah titik (8,1)
b
Tentukan bayangan titik (2b, a + 1) oleh translasi yang sama.
Jawab.
Bentuk translasi sebagai berikut:
 a − 2b   a   8 

 +   =  
 a + b   b  1
a − 2b + a = 8 → 2a − 2b = 8 …….. …….. (1)
a +b+b =1
→ a + 2b = 1 …………….. (2)
Dari persamaan (1) dan (2) didapat a = 3 dan b = −1 ,
Oleh krena itu titik (2b, a + 1) = (− 2, 4 ) .
Bayangan titik (− 2, 4 ) oleh translasi
 x   − 2  3  1
  =   +   =  
 y   4   − 1  3 
3
 − 1
 
adalah:
Bab 8: Geometri Bidang
451
a
 
Jadi, bayangan titik (− 2, 4 ) oleh tranlasi   =   adalah (1, 3)
−1
b
  
3

8.4.2 ROTASI
Rotasi adalah bentuk transformasi geometri untuk memindahkan obyek
dengan cara pemutaran. Untuk melakukan rotasi diperlukan titik pusat,
besar sudut dan arah sudut rotasi. Arah putaran sudut positif berlawanan dengan jarum jam, sebaliknya untuk arah sudut yang negatif
putaran searah dengan jarum jam. Gambar 8.5.3 memperlihatkan
bangun segitiga dirotasikan dengan pusat titik O (0, 0 ) , sudut putar
sebesar θ searah jarum jam.
O
θ
Gambar 8.5.3 Segitiga dirotasi pusat O sebesar θ searah jarum jam
Misalkan titik P ( x, y ) diputar dengan titik pusat O (0, 0 ) dengan sudut
putar sebesar θ berlawanan arah jarum jam, untuk mendapatkan titik
hasil rotasi yaitu titik P ' ( x ' , y ') perhatikan Gambar 8.5.4.
y
452
Bab 8: Geometri Bidang
P ' ( x ' , y ')
y'
r
y
θ
O
P ( x, y )
α
x'
x
x
Gambar
8.5.4 Rotasi titik
P ( x, y ) ke P ' ( x ' , y ')
OP = OP’ = r, ∠XOP = α , ∠ POP ' = θ
x = r cos α , y = r sin α
x ' = r cos(α + θ )
= r (cos α cos θ − sin α sin θ )
= r cos α cos θ − r sin α sin θ
= x cos θ − y sin θ
y ' = r sin (α + θ )
= r (sin α cos θ + cos α sin θ )
= r sin α cos θ + r cos α sin θ
= y cos θ + x sin θ
= x sin θ + y cos θ
Jadi,
x ' = x cos θ − y sin θ
y ' = x sin θ + y cos θ
Bab 8: Geometri Bidang
453
Dalam bentuk matriks persamaan diatas dapat dinyatakan sebagai
berikut:
 x '   cos θ
  = 
 y '   sin θ
 cos θ
 sin θ
Bentuk matriks 
− sin θ  x 
 
cos θ  y 
− sin θ 
 disebut matriks rotasi R[O , θ ].
cos θ 
CONTOH 8.4.4
Diberikan titik-titik A(2, 4 ) , B (− 3, 5) dan C (0, − 3) diputar dengan
sudut seperempat putaran berlawanan arah jarum jam, pusat sumbu
sumbu putar O. Tentukan bayangannya !.
Jawab.
Persamaan rotasi dengan ∠θ = 90 0 dengan pusat sumbu O adalah:
 x '   cos 90 0 − sin 90 0  2 − 3 0 

  = 

0
cos 90 0  4 5 − 3 
 y '   sin 90
 0 − 1 2 − 3 0 


= 
 1 0  4 5 − 3 
 − 4 − 5 3

= 
 2 − 3 0
Jadi,
A ' (− 4, 2 ) ,
B ' (− 5, − 3) dan C ' (3, 0 )
454
Bab 8: Geometri Bidang
Sekarang kita bahas jika titik pusat putar bukan O (0, 0 ) , misal
P (a, b ) . Penyelesaian masalah ini sama dengan mentranslasikan
O (0, 0 ) ke titik P (a, b ) , sehingga didapat persamaan:
x '− a = ( x − a ) cos θ − ( y − b )sin θ
y '−b = (x − a )sin θ + ( y − b ) cos θ
atau dalam bentuk matriks:
 x '− a   cos θ

 = 
y
−
b
'

  sin θ
− sin θ  x − a 


cos θ  y − b 
CONTOH 8.4.5
Tentukan bayangan dari persamaan parabola y = x 2 diputar dengan
sudut putar sebesar 90 0 berlawanan arah jarum jam, titik pusat (2, 0 )
Jawab.
Pusat rotasi (2, 0 ) , besar sudut putar 90 0 berlawanan arah jarum jam,
persamaan rotasi:
x '−2 = ( x − 2) cos 90 0 − ( y − 0)sin 90 0
y '−0 = ( x − 2 )sin 90 0 + ( y − 0) cos 90 0
↔
x ' = 2 + ( x − 2 ) 0 − ( y )1
y ' = 0 + ( x − 2 )1 + ( y ) 0
↔
x '= 2 − y
y '= x − 2
↔
y = 2 − x'
x = y '+2
Bab 8: Geometri Bidang
Substitusikan ke persamaan parabola
455
y = x 2 didapat persamaan
bayangan:
(2 − x ') = ( y '+2)2
atau
x ' = − ( y ') − 4 y '−2
2
Jadi bayangan dari persamaan parabola y = x 2 yang diputar dengan
sudut putar sebesar 90 0 berlawanan arah jarum jam, titik pusat (2, 0 )
2
adalah x = − y − 4 y − 2 .
8.4.3 REFLEKSI (PENCERMINAN)
Refleksi (pencerminan) adalah bentuk transformasi geometri yang
memindahkan obyek menjadi bayangan seperti di depan cermin. Misal
suatu segitiga dicerminkan terhadap garis l, seperti pada Gambar 8.5.5.
l
B
A
C
∨
∨
⟨⟨
⟨⟨
∧
∧
B'
A'
C'
Gambar 8.5.5 Segitiga ABC dicerminkan terhadap l
Pencerminan titik terhadap sumbu cermin, jarak titik asal ke sumbu
cermin sama dengan jarak titik bayangan ke sumbu cermin.
456
Bab 8: Geometri Bidang
Pada koordinat Kartesius, titik P ( x, y ) dicerminkan terhadap sumbu x
dan sumbu y hasil dari pencerminan diperlihatkan pada Gambar 8.5.6.
y
P " (− x, y )
P ( x, y )
x
P ' ( x, − y )
Gambar 8.5.6 Pencerminan P ( x, y ) terhadap sumbu koordinat
Titik P ( x, y ) dicerminkan terhadap sumbu x menghasikan P ' ( x, − y ) ,
bentuk persamaan hasil pencerminan ini adalah:
x '= x ↔ x '= 1x + 0 y
y '= − y ↔ y '= 0 x −1 y
Dinyatakan dalam bentuk persamaan matriks:
 x ' 1 0  x 
  = 
  
 y '   0 − 1  y 
1 0 
 disebut matriks pencerminan terhadap sumbu x.
 0 −1
Matriks 
Dengan cara yang sama dapat dicari bentuk-bentuk matriks
pencerminan pada sumbu-sumbu cermin yang lain, untuk memudahkan
mempelajari pencerminan bentuk-bentuk matriks pencerminan ditulis
dalam tabel 8.5.1
Tabel 8.5.1
Matriks Transformasi Pencerminan
Bab 8: Geometri Bidang
Transformasi
Pencerminan terhadap
sumbu x
Pencerminan terhadap
sumbu y
Pencerminan terhadap
Pusat sumbu O (0, 0 )
Pencerminan terhadap
garis y = x
Pencerminan terhadap
garis y = − x
457
Bentuk Matriks
Pemetaan
1 0 


 0 −1
 −1 0


 0 1
(x, y ) → ( x, − y )
−1 0 


 0 − 1
0 1


1 0
 0 − 1


−1 0 
(x, y ) → (− x,− y )
(x, y ) → (− x, y )
( x, y ) → ( y , x )
(x, y ) → (− y, − x )
Selanjutnya, pengembangan pencerminan dengan mengganti sumbu
cerminnya. Hasil pencerminan terhadap beberapa sumbu cermin adalah
sebagai berikut:
Sumbu cermin garis x = h
P ( x, y ) hasil pencerminan (bayangan) adalah: P ' (2 h − x, y )
Sumbu cermin garis y = k
P ( x, y ) hasil pencerminan (bayangan) adalah: P ' ( x, 2k − y )
Sumbu cermin garis y = mx , bentuk matriks pencerminan:
M y =mx
1 1 − m 2

= 2
m + 1  2m
2m 

m 2 − 1
CONTOH 8.4.6
Diberikan titik-titik A(2, 4 ) , B (− 3, 5) dan C (0, − 3) .
458
Bab 8: Geometri Bidang
Tentukan bayangannya jika jika dicerminkan terhadap garis y = x
Jawab.
0 1

1 0
Matriks pencerminan terhadap garis y = x adalah: 
Persamaan matriks untuk titik-titik A(2, 4 ) , B (− 3, 5) dan C (0, − 3)
 x '
  =
 y '
 0 1   2 − 3 0  4 5 3
 = 

 

4
5
3
1
0
2
−
3
0
 



Jadi hasil pencerminan didapat: A ' (4, 2 ) , B (5, − 3) dan C (− 3, 0 )
CONTOH 8.4.7
Tentukan bayangan titik
(− 3, 7 )
jika dicerminkan terhadap garis
2x − y + 3 = 0
Jawab.
Ubah persamaan garis 2 x − y + 3 = 0 menjadi y = 2 x + 3 .
 0
Garis y = 2 x + 3 diperoleh dari garis y = 2 x ditranslasi oleh T  
 3
Bayangan
(− 3, 7 )
dapat dicari dengan langkah-langkah sebagai
berikut:
 0
1. Translasikan titik (− 3, 7 ) dengan T   diperoleh: (− 3, 4 )
 3
2. Tentukan matriks pencerminan garis y = 2 x
Bab 8: Geometri Bidang
M y =2 x =
1 1 − 2 2

2 2 + 1  2.2
3. Cerminkan titik
459
2.2  1  − 3 4 
= 

2 2 − 1 5  4 3 
(− 3, 4)
terhadap garis
y = 2x
dengan
menggunakan matriks pada 2. diperoleh:
 x  1  − 3 4   − 3
  = 
   =
 y  5  4 3  4 
5
  → ( x, y ) = (5, 0 )
0
 0
4. Translasikan titik (5, 0 ) dengan T   diperoleh (5, 3)
 3
Jadi hasil refleksi (− 3, 7 ) terhadap garis 2 x − y + 3 = 0 adalah: (5, 3)
8.4.4 DILATASI
Dilatasi adalah bentuk transformasi geometri yang memperbesar atau
memperkecil obyek tanpa mengubah bentuk obyek tersebut. Untuk
melakukan dilatasi diperlukan pusat dilatasi dan faktor pengali atau
skala. Jika skala > 1 maka bentuk obyek diperbesar, sebaliknya jika
skal < 1 maka obyek diperkecil.
Perhatikan Gambar 8.5.7, suatu titik P ( x, y ) dilakukan dilatasi dengan
pusat O (0, 0 ) dengan skala a.
y
P " ( x" , y")
y"
P ( x, y )
y
P ' ( x ' , y ')
y'
O
x'
x
x"
x
460
Bab 8: Geometri Bidang
Gambar 8.5.7 Dilatasi titik P ( x, y )
a < 1 menghasikan P ' ( x ' , y ') , a > 1 menghasikan P" (x" , y")
Persamaan dilatasi dengan pusat O (0, 0 ) dan k skala dinyatakan dalam
bentuk:
x '= k x
y '= k y
Persamaan matriksnya adalah:
 x '
  =
 y '
k 0  x 

  
0 k   y
k 0
 disebut matriks dilatasi D [O , k ]
0 k 
Matriks 
Untuk dilatasi dengan pusat P (a, b ) dengan skala k dan ditulis
D [P , k ] bentuk persamaannya adalah:
x ' = a + k (x − a )
y ' = b + k (y − b)
Persamaan dalam bentuk matriks adalah:
 x '
  =
 y '
a k 0  x − a

  + 
 
b  0 k   y − b
Bab 8: Geometri Bidang
461
CONTOH 8.4.8
Tentukan bayangan titik (6, 8 ) oleh dilatasi:
a.
D [O , 2 ]
b.
 1
D O , 
 2
Jawab
a. Titik
(6, 8)
dilatasi D [O , 2 ] , gunakan persaman matriks
dilatasi didapat:
 x '
  =
 y '
 2 0  6

   =
0
2

 8
12 
 
16 
Jadi, hasil dilatasi (12,16 )
b. Titik
(6, 8)


1
dilatasi D O ,  , gunakan persaman matriks
2

dilatasi didapat:
 x '
  =
 y '
1

2
 0


0  6
  =
1   8 

2
 3
 
 4
Jadi, hasil dilatasi (3, 4 )
CONTOH 8.4.9
Tentukan bayangan dari persegi ABCD dengan titik sudut A(2, 2 ) ,
B (− 2, 2 ) , C (− 2, − 2 ) dan D (2, − 2 ) jika dilakukan dilatasi dengan
pusat titik C dengan skala 2
Jawab.
462
Bab 8: Geometri Bidang
Bentuk dilatasi adalah: D [C , 2 ]
Persamaan matriks dilatasi untuk titik-titik: A(2, 2 ) ,
B (− 2, 2 ) ,
C (− 2, − 2 ) dan D (2, − 2 ) adalah:
 x '
  =
 y '
 − 2  2 0  2 + 2 − 2 + 2 − 2 + 2 2 + 2 

  + 
 
 − 2  0 2  2 + 2 2 + 2 − 2 + 2 − 2 + 2
 − 2
 +
 − 2
= 
 2 0  4 0 0 4


 
 0 2  4 4 0 0
6 − 2 − 2 6 

6 6 − 2 − 2
= 
Titik-titik hasil dilatasi:
A ' (6, 6 ) , B ' (− 2, 6 ) , C ' (− 2, − 2 ) dan
D ' (6, − 2 ) .
• RANGKUMAN
•
Transformasi geometri adalah pemindahan obyek bidang datar
dari tempat asal ketempat yang lain
•
Terdapat empat bentuk transformasi geometri yaitu : Translasi
(pergeseran), Rotasi (putaran), Refleksi (pencerminan) dan
Dilatasi (Perbesaran atau perkecilan).
•
Translasi atau pergeseran adalah bentuk transformasi untuk
memindah-kan suatu obyek pada bidang datar dengan jarak dan
arah tertentu.
•
Rotasi
adalah
bentuk
transformasi
geometri
untuk
memindahkan obyek dengan cara pemutaran. Untuk melakukan
rotasi diperlukan titik pusat, besar sudut dan arah sudut rotasi.
Bab 8: Geometri Bidang
•
463
Refleksi (pencerminan) adalah bentuk transformasi geometri
yang memindahkan obyek menjadi bayangan seperti di depan
cermin.
•
Dilatasi
adalah
bentuk
transformasi
geometri
yang
memperbesar atau memperkecil obyek tanpa mengubah bentuk
obyek tersebut. Untuk melakukan dilatasi diperlukan pusat
dilatasi dan faktor pengali atau skala.
SSO
OAALL LLAATTIIH
HAAN
N 88--55
1.
Diberikan koordinat titik segi tiga (0,0), (2,0) dan (2,3).
Tentukan koordinat titik segi tiga jika dikenakan transformasi:
1
a.
Translasi: T =  
 4
b.
Translasi: T =  
 2 
c.
Rotasi titik pusat O dengan θ = 60 0
d.
Rotasi titik pusat O dengan θ = 240 0
e.
Refleksi (pencerminan) terhadap titik O, sumbu x dan
 − 3
sumbu y
f.
Refleksi (pencerminan) terhadap garis y = x , y = -x dan
x=2
g.
Dilatasi dengan titik pusat O dan faktor skala: 3 dan
1/2
2.
 m
Titik A(2,-4) dengan translasi T =   menjadi A’(-1,2).
n
Tentukan m dan n
464
3.
Bab 8: Geometri Bidang
Diberikan
persamaan
parabola
y = x2 +1,
tentukan
persamaan yang sesuai dan sket grafik jika ditransformasikan
dengan:
1
a. Translasi: T =  
 − 1
b. Rotasi titik pusat O dengan θ = 90 0
c. Rotasi titik pusat P(0,1) dengan θ = 180 0
d. Refleksi (pencerminan) terhadap titik O, sumbu x dan sumbu y
4.
Tentukan matriks refleksi terhadap garis x = h dan y = k
8.5 KOMPOSISI TRANSFORMASI
Kita dapat melakukan beberapa transformasi, misal pertama suatu
obyek ditranslasi dengan T1 kemudian dilanjutkan translasi yang kedua
dengan T2 yang dinyatakan dengan
(T2 o T1 ) (x, y ) ,
bentuk ini
dinamakan komposisi dua translasi. Bentuk komposisi transformasi
yang lain dengan menggabungkan bentuk-bentuk transformasi yang
telah dipelajari pada subbab 8.5.
8.5.1 KOMPOSISI TRANSLASI
a
c
Misal diberikan translasi T1 =   dan T2 =   , komposisi dua
b
d 
translasi T1 dan T2 dinyatakan:
a  c   a + c 
 +   = 

b  d  b + d 
(T2 o T1 ) = 
Bab 8: Geometri Bidang
465
 c  a  c + a 
 +   = 

d  b d + b
(T1 o T2 ) = 
Karena jumlah bilangan bersifat komutatif, maka:
(T2 o T1 ) = (T1 o T2 )
Catatan
(T2 o T1 )
artinya obyek ditranslasi oleh T1 dilanjutkan dengan
T2
(T1 o T2 ) artinya obyek ditranslasi oleh T2
dilanjutkan dengan
T1
Walaupun memberi hasil yang sama tetapi penekanan pada urutan
pengerjaan translasi.
8.5.2 KOMPOSISI ROTASI
Misalkan titik P ( x, y ) dilakukan rotasi oleh R1 [O , θ 1 ] kemudian
dilanjutkan dengan R1 [O, θ 2 ] , komposisi rotasi dari R1 dilanjutkan
dengan R 2 dinyatakan:
(R2 o R1 ) (x, y ) =
 cosθ1

 sin θ1
− sin θ1   cosθ 2

cosθ1   sin θ 2
 cosθ1 cosθ 2 − sin θ1 sin θ 2
 sin θ1 cosθ 2 + cosθ1 sin θ 2
= 
− cosθ1 sin θ 2 − sin θ1 cosθ 2   x 
 
− sin θ1 sin θ 2 + cosθ1 cosθ 2   y 
 cos(θ1 + θ 2 ) − sin (θ1 + θ 2 )  x 
  
 sin (θ1 + θ 2 ) cos(θ1 + θ 2 )   y 
= 
− sin θ 2   x 
 
cosθ 2   y 
466
Bab 8: Geometri Bidang
Jadi, merotasikan suatu obyek menggunakan komposisi rotasi berarti
merotasikan obyek tersebut dengan jumlah sudut masing-masing rotasi.
Secara geometri diperlihatkan pada gambar 8.6.1
P"
P'
θ2
θ1
O
P
Gambar 8.6.1 Komposisi Rotasi
Titik P dirotasikan pusat O besar sudut θ 1 didapat P ' dilanjutkan
rotasi pusat O besar sudut θ 2 didapat P " atau dapat dilakukan dengan
pusat O dengan besar sudut rotasi θ 1 + θ 2 .
8.5.3 KOMPOSISI REFLEKSI (PENCERMINAN)
Misalkan titik P ( x, y ) dilakukan refleksi terhadap garis x = k
kemudian dilanjutkan dengan x = h , komposisi refleksi dari M 1
dilanjutkan dengan M 2 dinyatakan:
(M 2 o M 1 ) (x, y ) =
M 2 ([M 1 ]( x, y ))
= M 2 (2k − x, y )
= (2h − (2 k − x ), y )
= (2(h − k ) + x, y )
Bab 8: Geometri Bidang
467
Secara geometri hasil dari komposisi (M 2 o M 1 ) ( x, y ) terhadap garis
x = k dilanjutkan dengan x = h diperlihatkan pada gambar 8.6.2.
y
P ( x, y ) P ' (2 k − x, y )
P" (2(h − k ) + x, y )
x
x=k
x=h
Gambar 8.6.2 Komposisi Refleksi terhadap dua garis sejajar
Bagaimana jika titik P ( x, y ) direfleksikan terhadap sumbu koordinat,
untuk itu perhatikan gambar 8.6.3 dibawah ini. Titik P ( x, y )
direfleksikan terhadap sumbu y menghasilkan P ' ( x, y ) dilanjutkan
terhadap sumbu x menghasilkan P" ( x, y ) . Bagaimana jika P ( x, y )
direfleksikan terhadap sumbu x dilanjutkan sumbu y, dicoba sendiri
sebagai latihan.
y
P ' ( x, y )
P (x, y )
x
P" (− x,− y )
468
Bab 8: Geometri Bidang
Gambar 8.6.3 Refleksi terhadap sumbu y dilanjutkan sumbu x
8.5.4 KOMPOSISI LEBIH DARI DUA TRANSFORMASI
Setelah kita mengerti komposisi dua transformasi, untuk mempelajari
komposisi lebih dari dua transformasi sangatlah mudah. Hal penting
untuk diingat adalah operasi transformasi mana yang lebih dahulu
dikerjakan dan bentuk serta operasi dari matrik transformasi. Untuk
lebih jelasnya perhatikan contoh dibawah ini.
CONTOH 8.5.1
 − 1
Titik P (2, 3) ditranslasikan terhadap T =   , dilanjutkan rotasi
1
dengan titik pusat O dengan θ = 90 0 , selanjutnya direfleksikan
terhadap sumbu x.
Jawab
Urutan dan hasil transformasi adalah:

 − 1
M sumbu x o R[O, 900 ] o T   (2,3) =
 1 

[
]
 − 1
= M sumbu x o R[O , 900 ] o T   (2,3)
2
=
[M
sumbu x
]
  − 1  2 
o R[O, 900 ]    +  
  2   3 
Bab 8: Geometri Bidang
[
]
[
]
469
1
 5
= M sumbu x o R[O , 900 ]  
 0 − 1  1 
  
 1 0   5 
= M sumbu x o 
[
= M sumbu
x
]o  −15 


 1 0   − 5
  
0
−
1

 1 
= 
 − 5

 −1
= 
Jadi titik P (2, 3) hasil dari tiga transformasi berurutan: (− 5,−1)
• RANGKUMAN
•
Komposisi Transformasi geometri adalah menggabungkan
dua atau lebih bentuk‐bentuk transformasi.
•
Komposisi translasi dinotasikan (T2 o T1 ) , artinya obyek
ditranslasi oleh T1 dilanjutkan dengan T2 dan berlaku
•
(T2 o T1 ) = (T1 o T2 ) .
Misalkan titik P ( x, y )
dilakukan rotasi oleh R1 [O , θ 1 ]
kemudian dilanjutkan dengan R1 [O, θ 2 ] , maka disebut
dengan komposisi rotasi dari R1 dilanjutkan dengan R 2 ,
ditulis (R 2 o R1 )
470
Bab 8: Geometri Bidang
•
Misalkan titik P ( x, y ) dilakukan refleksi terhadap garis
x = k kemudian dilanjutkan dengan x = h , komposisi
refleksi dari M 1 dilanjutkan dengan M 2 dinyatakan
(M 2 o M 1 )
SSO
OAALL LLAATTIIH
HAAN
N 88--66
Carilah nilai p dan q dalam masing-masing persamaan berikut
1.
ini
2.
a.
 3   p   − 1
  +   =  
 4  q   6 
b.
 p  4 1
  −   =  
 3   q   4
c.
 p   1   2  p 
  −   +   =  
 2   q   3  q 
Carilah peta dari titik dan transformasi yang ditentukan
dibawah ini
a. Titik (2, - 4) oleh pencerminan berturutan terhadap garis
x = 3 kemudian terhadap garis x = 7
b. Titik (-3, 2) oleh pencerminan berturutan terhadap garis
y = −1 kemudian terhadap garis y = 5
c. Jika (5, 1) → (1, 1) oleh pencerminan berturutan terhadap
x = 4 , kemudian x = h , carilah h
3.
Misalkan refleksi terhadap sumbu x adalah X dan refleksi
terhdapa garis y = x adalah M
Bab 8: Geometri Bidang
471
a. Berilah transformasi tunggal yang ekuivalen dengan M o X ,
dan tulislah peta dari P (a, b )
b. Tulislah matriks A dan yang berkaitan dengan X dan M, dan
periksa apakah BA merupakan matriks yang berkaitan dengan
MoX
c. Periksa apakah AB = BA
4.
Carilah matriks yang berkaitan dengan pencerminan terhadap
sumbu y dilanjutkan dengan setengah putaran terhadap pusat.
Periksa hasilnya secara geometri.
5.
Perlihatkan
bahwa
matriks
 3 − 4


4 3 
memberikan
transformasi yang sama dengan dilatasi [O, 5] dilanjutkan dengan
rotasi sebesar suatu sudut lancip θ terhadap pusat, dimana
tan θ =
3
. Apakah transformasi-transformasi dalam komposisi
4
tersebut bersifat komutatif ?.
8.6 PENERAPAN GEOMETRI BIDANG
Penerapan dalam kehidupan sehari-hari perlu diperhatikan kondisi yang
ada di Lapangan, penghitungan yang eksak harus dibulatkan keatas.
Contoh pada pemasangan keramik untuk lantai rumah kurang 3 buah,
kita tidak bisa membeli keramik hanya 3 buah tetapi harus satu dos,
demikian juga dalam perhitungan yang lain.
472
Bab 8: Geometri Bidang
CONTOH 8.6.1
Perhatikan denah rumah dibawah ini ukuran dalam m, lantai rumah
akan dipasang keramik yang berukuran 30 x 30 cm. Satu dos berisi 10
buah keramik, harga satu dos keramik Rp 42.000,-. Ongkos
pemasangan Rp 25.000,- per m2 . Tentukan Beaya yang dibutuhkan !.
Jawab
Luas lantai adalah: (10 × 10) m 2 − (2 × 4 ) m 2 = 92 m 2
1 dos keramik luasnya adalah: (30 × 30 ) cm 2 × 10 = 9000 cm 2
92 m 2
= 102,222 dos, dibulatkan 103 dos.
Kebutuhan keramik:
0,9 m 2
Beaya yang dibutuhkan:
1.
Pembelian keramik: 103 x Rp 42.000,- = R.
4.326.000,-
2.
Ongkos Pemasangan: 92 x Rp 25.000,- = Rp
2.300.000,-
Total beaya yang dibutuhkan
= Rp 6.626.000,-
Bab 8: Geometri Bidang
473
CONTOH 8.6.2
Sebuah taman yang berukuran 15 m x 10 m diberi pagar yang
berbentuk seperti gambar dibawah ini. Bahan pagar dibuat dari besi
dengan harga Rp 27.000,-/m. Tentukan harga bahan yang dibutuhkan.
0,5 m
3m
5m
Panjang besi
¾ Vertikal (warna biru) = 3 m x 10
= 30 m
¾ Horisontal (warna merah muda) = 5 m x 2 = 10 m
¾ Segitiga = 3 x 0,5 m x 9
= 13,5 m
¾ Lingkaran = 9 x 2 x 3,14 x 0,5 m
= 28, 26 m
Jumlah
= 81,76 m
Ukuran pagar taman = 15 m x 10 m
Bahan yang dibutuhkan untuk panjang taman: 3 x 81,76 m = 245,28 m
Bahan yang dibutuhkan untuk lebar taman
Total bahan yang dibutuhkan
Harga bahan Rp 27.000,Harga bahan seluruhnya adalah:
Rp 27.000,- × 408,8 m = Rp 11.037.600,-
• RANGKUMAN
: 2 x 81,76 m = 163,52 m
= 408,8 m
474
Bab 8: Geometri Bidang
Banyak permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang dapat
diselesaikan dengan menerapkan geometri bidang.
SSO
OAALL LLAATTIIH
HAAN
N 88--77
1.
Tepi-tepi jalan pada gambar dibawah ini dibangun trotoar
terbuat dari paving berukuran 10 cm × 4 cm, harga paving Rp
60.000,-/m2, ongkos pemasangan Rp 24.000,-/m2. Tentukan total
beaya yang dibutuhkan
2.
Anggaran yang tersedia untuk pembangunan jaringan pipa
air sebesar Rp 50.000.000,-, pipa yang digunakan berukuran 1 dim
dengan panjang 6 m, harga satu lonjor pipa Rp 42.000,-, harga
sambungan pipa Rp 5.000,-/buah. Ongkos pemasangan pipa setiap
10 lonjor Rp 45.000,-. Berapa m panjang pipa air yang terpasang.
3.
Dinding sebuah hotel dengan luas 15.600 m2 dilakukan
pengecatan, 1 galon cat berisi 5 kg cukup digunakan untuk
mengecat 15 m2 . Berapa galon cat yang dibutuhkan.
4.
Lantai sebuah lobi hotel berukuran 10 m x 8 m akan
dipasang keramik berukuran 40 cm x 40 cm, 1 dos keramik berisi 6
keramik, berapa dos keramik yang dibutuhkan.
Bab
9
PELUANG
9. Peluang
H
itung peluang mula-mula dikenal pada abad ke-17 yang
bermula dari permainan sebuah dadu yang dilempar.
Peluang (kemungkinan, probability) dari permukaan
dadu yang tampak ketika dilempar,
diamati dan dihitung,
perhitungan sejenis ini berkembang cukup pesat menjadi teori
peluang yang banyak pemakaiannya dalam kehidupan sehari-hari.
Dalam berpergian kita sering mempertanyakan apakah terjadi
hujan hari ini. Dalam berdagang kita selalu berfikir tentang
kemungkinan untuk mengambil keuntungan. Masih banyak
contoh lagi yang berkaitan dengan peluang.
475
476
Bab 9: Peluang
Dalam bab ini siswa akan belajar tentang kaidah pencacahan,
permutasi, kombinasi, peluang kejadian, dan pemakaiannya
dalam menyelesaikan permasalahan.
9.1 PENGERTIAN DASAR
Ruang Sampel adalah himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu
percobaan, biasanya dilambangkan dengan S. Kejadian adalah suatu
himpunan bagian dari ruang sampel. Kejadian dapat terdiri dari satu
titik sampel yang disebut kejadian sederhana, sedangkan kejadian
yang terdiri dari lebih dari titik sampel disebut kejadian majemuk.
Jadi kejadian majemuk merupakan gabungan dari beberapa kejadian
sederhana. Ruang nol adalah himpunan bagian ruang sampel yang
tidak memuat anggota. Elemen / anggota dari ruang sampel dinamakan
titik sampel.
Gambar 9.1.1 merupakan diagram ruang sampel
yang terdiri dari titik sampel a, b, c, d, e, f, dan g. Kejadian
, kejadian
, kejadian
merupakan kejadian bagian dari ruang sampel S.
, dan
Bab 9: Peluang
477
Gambar 9.1.1 Ruang Sampel
, adalah
Irisan dua kejadian A dan B, dinotasikan dengan
kejadian yang memuat semua titik sampel yang ada di A dan juga ada di
B. Dua kejadian A dan B dikatakan kejadian saling terpisah (saling
asing) apabila dua kejadian tersebut tidak memiliki unsur persekutuan,
atau
. Untuk ruang sampel pada Gambar 9.1.1,
,
dan
,
,
,
,
. Kejadian A dan D dikatakan saling terpisah.
Gabungan dua kejadian A dan B, dinotasikan dengan
, adalah
kejadian yang memuat semua titik sampel yang ada di A atau B. Untuk
ruang
sampel
9.1.1,
,
,
,
,
, dan
.
pada
Gambar
478
Bab 9: Peluang
Komplemen suatu kejadian A, dinotasikan dengan
, adalah
himpunan semua titik sampel di S yang bukan anggota A. Untuk ruang
dan
sampel pada Gambar 9.1.1,
.
CONTOH 9.1.1
Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, kemungkinan hasil
percobaannya adalah:
• jika ditinjau dari angka yang muncul maka ruang sampelnya
adalah
Elemen 1, 2, 3, 4, 5, atau 6 merupakan titik sampel.
• jika ditinjau dari keadaan angkanya maka ruang sampelnya
adalah
Elemen genap atau gasal merupakan titik sampel.
CONTOH 9.1.2
Pada percobaan pengambilan sebuah kartu bridge, kemungkinan hasil
percobaannya adalah
• Jika ditinjau dari jenis kartu maka ruang sampelnya adalah
S = {♠, ♣, ♥, ♦}
• Jika ditinjau dari warna kartu maka ruang sampelnya adalah
Bab 9: Peluang
479
CONTOH 9.1.3
Percobaan pelemparan 2 buah mata dadu, ruang sampel-nya adalah
S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),
(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),
(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}
Jika A adalah kejadian munculnya dadu dengan jumlah mata dadu sama
dengan 1 maka A = { }, kejadian mustahil.
Jika B adalah kejadian munculnya dadu dengan jumlah mata dadu sama
dengan 7 maka B = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}.
Jika C adalah kejadian munculnya dadu dengan jumlah mata dadu sama
dengan 11 maka C = {(5,6), (6,5)}.
Jika D adalah kejadian munculnya mata dadu pertama adalah 5 maka
D = {(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)}.
.
Irisan kejadian A dan B adalah
Irisan kejadian B dan C adalah
Irisan kejadian C dan D adalah
.
.
Gabungan kejadian A dan B adalah
.
Gabungan kejadian B dan C adalah
.
Gabungan kejadian C dan D adalah
9.2 KAIDAH PENCACAHAN
480
Bab 9: Peluang
Untuk menentukan jumlah titik sampel yang ada dalam ruang sampel
diperlukan prinsip dasar menghitung, diantaranya kaidah penjumlahan,
kaidah perkalian, permutasi dan kombinasi. Dalam
menghitung
banyaknya elemen ruang sampel dikenal dua prinsip penghitungan
dasar (basic counting principles), yaitu: Kaidah Perkalian (Rule of
Product) dan Kaidah Penjumlahan (Rule of Sum).
9.2.1 KAIDAH PERKALIAN
Sebelum menuju ke kaidah perkalian kita awali dengan pengamatan
percobaan sederhana. Sebuah diagram pohon dapat digunakan dalam
perhitungan ruang sampel. Misalnya pada percobaan 2 kali pelemparan
sebuah mata uang. Himpunan hasil yang mungkin dapat diperoleh oleh
seluruh garis yang ditunjukkan dalam diagram pohon berikut.
Gambar 9.2.1 Diagram pohon untuk dua kali lemparan mata uang
Bab 9: Peluang
481
Dalam setiap percobaan ada 2 kemungkinan hasil angka (A) atau
gambar (G). Percobaan dengan 2 kali pelemparan mata uang didapat
hasil sebanyak 22 = 4 buah titik sampel. Jadi ruang sampel S = {GG,
GA, AG, AA}.
CONTOH 9.2.1
Jika dari kota A menuju kota B ada 3 jalan yaitu jalur p, q, atau r
sedangkan dari kota B ke kota C ada 2 jalan yaitu jalur a atau b maka
dari kota A ke kota C dapat ditempuh melalui 3 x 2 jalur yang berbeda,
yaitu:
Selanjutnya akan kita pelajari suatu kaidah yang berkaitan dengan
percobaan seperti contoh di atas.
Dalam melakukan dua percobaan, kaidah perkalian mengatakan
bahwa:
Jika satu percobaan memiliki m hasil yang mungkin dan percobaan
yang lain memiliki n hasil yang mungkin, maka jika dua percobaan
tersebut dilakukan bersamaan memiliki mn hasil yang mungkin.
Secara umum, dikatakan bahwa:
Misalkan r percobaan dapat dilakukan. Jika percobaan ke-i memiliki ni
hasil yang mung-kin, 1 ≤ i ≤ r, maka jika semua percobaan itu dilakukan
bersamaan memiliki n1, n2, n3, ..., nr hasil yang mungkin.
482
Bab 9: Peluang
CONTOH 9.2.2
Sebuah komite yang terdiri atas 2 orang masing-masing mewakili siswa
kelas 1 dan kelas 2 akan dipilih. Jika calon dari kelas 1 ada 6 orang dan
calon dari kelas 2 ada 4 orang, maka ada 6 × 4 = 24 komite berbeda
yang dapat dipilih.
CONTOH 9.2.3
Bila sepasang dadu dilemparkan sekali, berapa banyak titik sampel
dalam ruang sampelnya ?
Penyelesaian :
Jika sepasang dadu dilemparkan satu kali maka dadu pertama akan
muncul 6 cara sedangkan dadu kedua .akan muncul 6 cara juga
Dengan demikian, sepasang dadu tersebut dapat terjadi dalam 6 × 6 =
36 cara.
CONTOH 9.2.4
Sebuah dadu dan sebuah uang logam dilempar secara bersamaan, hasil
yang mungkin adalah:
•
untuk dadu; jika hasil dari lemparan mata dadu adalah 1, 2, 3,
4, 5, 6, maka ada 6 hasil yang mungkin,
•
untuk uang logam; jika hasil lemparan uang logam ada gambar
dan angka, maka ada 2 hasil yang mungkin.
Sehingga dengan kaidah perkalian diperoleh banyaknya elemen dari
ruang sampel ada 6 × 2 = 12 hasil yang mungkin.
Bab 9: Peluang
483
CONTOH 9.2.5
Diketahui empat angka 1, 3, 4, 9 tentukan banyaknya bilangan yang
dapat dibuat dari angka tersebut yang terdiri dari
a. 2 angka / digit.
b. 2 angka tetapi tidak boleh ada angka yang sama.
Penyelesaian :
a. Untuk mempermudah sediakan dua kotak yang akan diisi
jumlah kemungkinan tiap kotak, yaitu kotak pertama untuk
letak angka puluhan dan kotak kedua untuk angka satuan.
Gambar 9.2.2 Menyusun dua angka pada deretan dua kotak
Kotak pertama ada 4 kemungkinan angka. Kotak kedua ada 4
kemungkinan, karena angka yang muncul di kotak pertama boleh
muncul di kotak kedua. Jadi banyaknya bilangan yang dimaksud
adalah 4 × 4 = 16.
b. Dengan cara yang sama dengan penyelesaian soal a, tetapi
karena tidak boleh sama angkanya maka kalau angka puluhan
sudah muncul kemungkinan angka satuannya berkurang satu
dan jumlah kemungkinannya adalah 4 × 3 = 12.
9.2.2 KAIDAH PENJUMLAHAN
484
Bab 9: Peluang
Dalam melakukan dua percobaan, kaidah penjumlahan mengatakan
bahwa:
jika satu percobaan memiliki m hasil yang mungkin dan percobaan
yang lain memiliki n hasil yang mungkin, maka ada m+n hasil yang
mungkin jika tepat satu percobaan dilakukan.
Secara umum, dikatakan bahwa:
Misalkan r percobaan dapat dilakukan. Jika percobaan ke-i memiliki ni
hasil yang mungkin, maka ada n1+n2+n3+…+nr hasil yang mungkin
jika tepat satu percobaan dilakukan.
CONTOH 9.2.6
Sebuah bola diambil dari sebuah mangkuk yang berisi 4 bola merah dan
dari sebuah kaleng yang berisi 6 bola putih yang masing-masing
bernomor. Hasil yang mungkin adalah: untuk mangkuk ada 4 hasil dan
untuk kaleng ada 6 hasil. Sehingga dengan kaidah penjumlahan, hasil
yang mungkin ada 4 + 6 = 10.
CONTOH 9.2.7
Sebuah program komputer memiliki input yang valid berupa sederetan
huruf saja atau angka saja yang disebut string. String ini hanya terdiri
dari 4 huruf atau angka, atau panjang string adalah 4. Berapa banyak
input untuk program tersebut yang mungkin?
Penyelesaian:
Bab 9: Peluang
•
485
Jika huruf atau angka dalam sebuah string boleh sama, maka:
String huruf ada sebanyak : 26×26×26×26 = (26)4 = 456.976.
String angka ada sebanyak: 10×10×10×10 = (10)4 = 10.000.
Sehingga dengan kaidah penjumlahan, banyaknya string input
adalah 456.976 + 10.000 = 466.976
•
Jika huruf atau angka dalam sebuah string tidak boleh sama,
maka:
String huruf ada sebanyak : 26×25×24×23 = 358.800.
String angka ada sebanyak: 10×9×8×7 = 5.840.
Sehingga dengan kaidah penjumlahan, banyaknya string adalah
358.800 + 5.840 = 364.640.
9.3 PERMUTASI DAN KOMBINASI
Dalam pembahasan permutasi dan kombinasi, kita awali dengan suatu
ekspresi yang sering dipakai dalam matematika, yaitu faktorial.
9.3.1 NOTASI FAKTORIAL
Hasil kali dari bilangan-bilangan bulat positif dari 1 sampai dengan n,
yaitu
1×2×3×4 · … × (n-2) × (n-1) ×n
sering digunakan dalam matematika. Dan selanjutnya buat definisi
sebagai berikut.
486
Bab 9: Peluang
DEFINISI 9.3.1
Untuk sembarang bilangan bulat
, n faktorial yang ditulis n!,
didefinisikan sebagai:
dan didefinisikan 0!=1.
Dari definisi n!, didapat persamaan berikut ini.
CONTOH 9.3.1
4! = 4×3×2×1 = 24.
6! = 6.5! = 6×5×4×3×2×1 = 720.
Notasi faktorial ini akan sering digunakan dalam pembahasan tentang
permutasi dan kombinasi yang akan dibahas berikut ini.
9.3.2 PERMUTASI
Permutasi Tanpa Pengulangan
Permutasi berkaitan dengan pengaturan suatu susunan yang dibentuk
oleh keseluruhan
atau sebagian dari sekumpulan objek tanpa ada
pengulangan. Susunan pada permutasi memperhatikan urutannya.
Bab 9: Peluang
487
CONTOH 9.3.2
Untuk mengatur 3 huruf A, B dan C secara berurutan, didapat hasil
yang mungkin adalah : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, dan CBA.
Masing-masing urutan ini dinamakan permutasi dari 3 obyek berbeda
yaitu: A, B dan C. Jadi banyaknya permutasi dari 3 obyek berbeda ada
6.
Misal, diberikan n obyek berbeda. Banyaknya permutasi n obyek
tersebut dapat dihitung sebagai berikut:
- untuk mengisi posisi urutan pertama ada
n cara berbeda,
- untuk mengisi posisi urutan kedua ada
n-1 cara berbeda,
- untuk mengisi posisi urutan ketiga ada
n-2 cara berbeda,
..................................................
- untuk mengisi posisi urutan ke-r ada
n-(r-1) cara berbeda,
..................................................
- untuk mengisi posisi urutan ke-n ada n-(n-1)=1 cara berbeda.
Sehingga dengan kaidah perkalian diperoleh banyaknya permutasi
adalah
n×(n-1) ×(n-2) ×(n-3) × … × 3×2×1 = n!
488
Bab 9: Peluang
DEFINISI 9.3.2
Suatu pengaturan susunan/urutan r objek tanpa pengulangan yang
dibentuk dari n objek berbeda, dengan
, dinamakan permutasi r
objek dari n objek.
Banyaknya permutasi ini disimbulkan dengan
.
Jika r=n maka banyaknya permutasi n objek yang berbeda adalah
Lihat penjelasan sebelum definisi dan definisi dari
permutasi.
CONTOH 9.3.3
Jika di suatu kantor ada 3 orang yang akan menduduki jabatan Kepala,
Sekretaris, dan Bendahara, maka ada berapa cara dapat dibuat susunan
jabtan tersebut.
Penyelesaian :
Ada 3 orang yang akan disusun urutan masing-masing sebagai Kepala,
Sekretaris, dan Bendahara. Jadi ada 3 objek diambil 3 untuk dibuat
suatu urutan jabatan. Oleh karena itu, susunan yang dapat dibuat ada
sebanyak
.
Bab 9: Peluang
489
TEOREMA 9.3.1
Banyaknya permutasi r obyek yang diambil dari n obyek berbeda
adalah
Bukti:
Setiap permutasi r obyek memuat r posisi berurutan. Untuk mengisi
posisi pertama sampai posisi ke-r secara berurutan dapat dilakukan
dengan : n, n-1, n-2, n-3, …, n-(r-1) cara. Sehingga untuk mengisi r
posisi urutan sekaligus adalah:
(n)(n-1)(n-2)(n-3)…(n-(r-1)) =
CONTOH 9.3.4
Dua kupon diambil dari 5 kupon untuk menentukan hadiah pertama dan
kedua. Hitung banyaknya titik sampel dalam ruang sampelnya.
490
Bab 9: Peluang
Penyelesaian :
Misal 1,2,3,4,5 menyatakan nomor kupon. Akan diambil dua nomor
berbeda yang tidak boleh kembar untuk disusun / dimasukkan ke dalam
sederetan kotak XY. Nomor yang ada pada kotak X adalah nomor yang
mendapatkan hadiah pertama, sedangkan yang ada dalam kotak Y
adalah nomor yang mendapatkan hadiah ke dua. Karena itu,
permasalahan ini sama dengan permutasi 2 objek dari 5 buah objek
yang berbeda. Sehingga banyak titik sampel adalah
CONTOH 9.3.5
Seorang sekretaris ingin menyusun 6 buah buku laporan semesteran dan
3 buah buku laporan tahunan dalam satu rak berjajar. Setiap jenis buku
laporan harus berdekatan. Berapa banyak cara sekretaris tersebut
menyusun buku?.
Penyelesaian :
Disini dipunyai dua kelompok buku laporan, yaitu buku laporan
semesteran dan buku laporan tahunan.
Pengaturan dua jenis buku laporan ini ada sebanyak
cara.
Oleh karena setiap jenis buku laporan harus berdekatan, pengaturan
pada setiap jenis buku laporan dilakukan sebagai berikut:
Bab 9: Peluang
•
491
Jenis buku laporan semesteran: ada 6 buah buku laporan
semesteran yang berbeda dan akan ditata berderetan.
Permasalahan ini sama dengan mengambil 6 buah objek dari 6
objek yang berbeda. Sehingga banyaknya pengaturan buku
.
laporan semesteran ada sebanyak
•
Jenis buku laporan tahunan: ada 3 buah buku laporan tahunan
yang berbeda dan akan ditata berderetan. Permasalahan ini
sama dengan mengambil 3 buah objek dari 3 objek yang
berbeda. Sehingga banyaknya pengaturan buku laporan
tahunan ada sebanyak
.
Karena ini merupakan tiga buah kejadian yang terjadi secara
bersamaan, berlaku kaidah perkalian. Oleh karena itu, banyaknya
pengaturan buku laporan tersebut ada sebanyak 2 720 6 = 8.640 cara.
CONTOH 9.3.6
Profesor Amir memiliki koleksi buku yang terdiri atas: 5 buku
Matematika, 4 buku Statistika, 3 buku Fisika dan 2 buku Kimia, diatur
berjajar dalam sebuah rak buku sehingga buku yang memiliki subyek
sama berkumpul. Tentukan ada berapa pola pengaturan yang mungkin?.
Penyelesaian:
Silahkan dicoba untuk melakukan penghitungan sendiri. Cara
menghitung mirip dengan pada contoh sebelum ini.
Permutasi Dengan Pengulangan
492
Bab 9: Peluang
Permutasi dengan pengulangan merupakan permutasi r objek dari n
buah objek yang tidak harus berbeda. Beda dengan sebelumnya yang n
buah objeknya berbeda. Sebelum menghitung banyaknya permutasi
dengan pengulangan ini, terlebih dahulu kita lihat contoh berikut ini.
CONTOH 9.3.7
Tentukan ada berapa cara untuk menyusun berjajar huruf-huruf yang
terdapat dalam sebuah kata “PEPPER”!
Penyelesaian:
Jika 3 huruf P dan 2 huruf E dapat dibedakan, maka ada sebanyak
cara berbeda yang mungkin.
Akan tetapi, jika 3 huruf P tidak dapat dibedakan, maka 3! susunan
yang dibentuk dari 3 huruf P diwakili/dihitung satu saja. Sehingga
banyaknya susunan yang ada harus dibagi 3!, akibat 3 huruf P yang
kembar.
Secara sama, jika 2 huruf E tidak dapat dibedakan, maka 2! susunan
yang dibentuk dari 2 huruf E diwakili/dihitung satu saja. Sehingga
banyaknya susunan yang ada harus dibagi lagi dengan 2!, akibat 2
huruf E yang kembar.
Jadi banyaknya cara menyusun menyusun huruf-huruf tersebut ada
sebanyak
Bab 9: Peluang
493
Secara umum, kasus seperti contoh di atas membawa kita kepada
teorema berikut ini. Pada buku ini, teorema tersebut tidak disertai
dengan bukti.
TEOREMA 9.3.2
Banyaknya permutasi dari n objek yang terdiri dari n1 objek sama, n2
objek sama, …, nr objek sama, dengan n1+ n2+ n3 + … + nr ≤ n, adalah
CONTOH 9.3.8
Sebanyak 9 bola yang terdiri dari 4 bola berwarna merah, 3 bola
berwarna kuning, dan 2 bola berwarna biru. Semua bola dimasukkan
kedalam sebuah tabung kaca dan membentuk deretan bola memanjang
dalam tabung kaca. Tentukan ada berapa pola warna deretan bola yang
mungkin!.
Penyelesaian:
Sebagai ilustrasi, salah satu bentuk susunan bola tersebut adalah
494
Bab 9: Peluang
Karena 4 bola merah, 3 bola kuning, dan 2 bola biru tak dapat
dibedakan, maka ada sebanyak
pola warna susunan bola.
CONTOH 9.3.9
Berapa banyak susunan yang berbeda bila ingin membuat serangkaian
lampu hias untuk pohon natal dari 3 lampu merah, 4 lampu kuning, dan
2 lampu biru.
Penyelesaian :
Permasalahan ini identik dengan menyusun sederetan 9 buah objek,
dengan 3 buah objek sama, 4 buah objek lainnya lagi sama, dan 2 buah
objek lainnya lagi sama. Oleh karena itu, banyaknya susunan lampu
hias pada pohon tersebut ada sebanyak
CONTOH 9.3.10
Berapa banyak cara 7 orang dapat menginap dalam 1 kamar tripel dan 2
kamar doubel?.
Penyelesaian :
Bab 9: Peluang
495
Untuk mempermudah penyelesaian, dimisalkan:
-
T menyatakan kamar tripel (memuat 3 orang).
-
D1 menyatakan kamar doubel yang pertama (memuat 2
orang).
-
D2 menyatakan kamar doubel yang kedua (memuat 2
orang).
-
Ketujuh orang tersebut diberi nama A, B, C, D, E, F, dan G.
Suatu kondisi:
i.
Orang A, B, dan C berada dikamar T.
ii.
Orang D dan E berada di kamar D1.
iii.
Orang F dan G berada di kamar D2.
Dapat diidentikkan dengan:
i.
Membagi 3 buah objek T ke orang A, B, dan C.
ii.
Membagi dua buah objek D1 ke orang D dan E.
iii.
Membagi dua buah objek D2 ke orang F dan G.
Oleh karena itu, permasalahan tersebut identik juga dengan menyusun 7
buah objek yang terdiri dari 3 objek sama, 2 objek lainnya sama, dan 2
objek lainnya lagi sama.
Sehingga banyaknya susunan 7 orang tersebut menginap ada
Permutasi Siklik
496
Bab 9: Peluang
Permutasi siklik berkaitan dengan penyusunan sederetan objek yang
melingkar. Sebagai gambaran adalah susunan duduk dari beberapa
orang pada meja bundar. Permutasi ini juga dikenal dengan permutasi
melingkar.
Sebagai ilustrasi, misal ada tiga orang A, B, dan C akan didudukan
dalam meja bundar seperti Gambar 9.3.1.
(a)
(b)
(c)
Gambar 9.3.1 Permutasi siklik tiga objek
Susunan pengaturan duduk pada Gambar 9.3.1(a) dianggap sama
dengan susunan pada Gambar 9.3.1 (b) dan Gambar 9.3.1 (c). Karena
pada ketiga gambar tersebut, orang yang berada sebelah kiri A adalah
C, dan disebelah kanan A adalah B. Atau orang yang berada pada
sebelah kiri dan kanan ‘kita’ adalah sama pada susunan gambar
tersebut. Sehingga tiga buah susunan semacam ini dianggap satu.
Jika ilustrasi di atas dikembangkan untuk n buah objek yang disusun
dalam deretan melingkar, maka akan ada n susunan yang sama dan
harus dihitung sekali, dengan kata lain harus dibagi dengan n. Hal ini
akan membawa kita pada teorema berikut ini. Bukti teorema tidak
disertakan dalam buku ini.
Bab 9: Peluang
497
TEOREMA 9.3.3
Banyaknya permutasi siklik dari n objek yang disusun dalam bentuk
deretan melingkar adalah
CONTOH 9.3.11
Tentukan banyaknya menempatkan 5 orang duduk melingkar pada
meja bundar dengan 5 kursi.
Penyelesaian:
Ini adalah permasalahan permutasi siklis dengan 5 objek, sehingga
banyaknya cara menempatkan 5 orang duduk melingkar adalah
CONTOH 9.3.12
Jika kita mempunyai 7 permata dan ingin ditempatkan pada gelang,
maka ada berapa kemungkinan gelang yang dapat dibuat.
Penyelesaian:
Banyak cara menempatkan permata adalah
498
Bab 9: Peluang
CONTOH 9.3.13
Pada suatu pertemuan keluarga, ada 5 pasang suami-istri yang akan
duduk pada meja makan yang melingkar dengan 10 kursi. Berapa
susunan duduk pada pertemuan makan tersebut
jika setiap pasang
suami istri selalu berdampingan.
Penyelesaian:
Anggaplah sepasang suami istri adalah sebuah objek, karena selalu
berdampingan. Oleh karena itu, banyaknya susunan duduk untuk 5
objek melingkar adalah
Akan tetapi, dari setiap pasang
suami istri cara duduknya dapat ditukar, dan ini masih menjamin
suami-istri duduk berdampingan.
Sehingga banyaknya cara duduk pada pertemuan makan keluarga
tersebut adalah 24×2×2×2×2×2 = 768.
9.3.3 KOMBINASI
Didalam permutasi urutan dari suatu susunan diperhatikan, misal
susunan ABC dan BCA dianggap berbeda. Didalam kombinasi dua
susunan tersebut dipandang sama. Sebagai gambaran, tim bola voli
terdiri dari Anton, Budi, Cecep, Dede, Erik, dan Fery. Karena ini
merupakan tim bola voli maka urutannya dibalik dianggap sama, atau
dengan kata lain urutan tidak diperhatikan.
Suatu kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang berlainan
adalah suatu pilihan dari r unsur tanpa memperhatikan urutannya (r ≤
n).
Bab 9: Peluang
499
DEFINISI 9.3.3
Suatu pengaturan susunan r objek yang dibentuk dari n objek berbeda
tanpa memperhatikan urutan, dengan
, dinamakan kombinasi r
objek dari n objek.
Banyaknya kombinasi ini disimbulkan dengan
atau
.
CONTOH 9.3.14
Tentukan kombinasi 3 huruf yang diambil dari 4 huruf A, B, C, dan D.
Penyelesaian:
Kombinasi tersebut adalah: ABC, ABD, ACD, dan BCD. Banyaknya
kombinasi ada 4.
Pada contoh di atas, susunan ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, dan CBA
dianggap sama atau dihitung satu. Sehingga kalau dalam permutasi
dihitung 3!, namun didalam kombinasi susunannya dianggap sama dan
dihitung satu. Oleh karena itu, banyaknya kombinasi sama dengan
banyaknya permutasi dibagi dengan r! = 3!.
Hal tersebut di atas, akan membawa kepada teorema berikut ini.
TEOREMA 9.3.4
Untuk sembarang bilangan bulat positip n dan bilangan tak negatip r,
dengan r ≤ n, banyaknya kombinasi r obyek yang diambil dari n obyek
berbeda adalah
500
Bab 9: Peluang
Bukti:
Jika urutan dalam r elemen diperhatikan, maka ada nPr hasil berbeda.
Karena kombinasi tidak memperhatikan urutan, maka seluruh
permutasi r elemen tertentu dalam himpunan n elemen yaitu sebanyak
r! pola diwakili salah satu saja. Jadi banyaknya kombinasi adalah
CONTOH 9.3.15
Sebuah tim bola voli inti diseleksi dari sebanyak 10 kandidat anggota.
Berapakah banyaknya konfigurasi tim inti yang mungkin?.
Penyelesaian:
Karena dalam tim tidak dikenal urutan, masalah ini identik dengan
masalah menghitung kombinasi 6 obyek yang diambil dari 10 obyek
berbeda.
konfigurasi tim inti.
Jadi
ada
sebanyak
Bab 9: Peluang
501
CONTOH 9.3.16
Club Catur “ Harapan “ akan mengirimkan 2 orang pemain catur dari
10 pemain caturnya dalam suatu turnamen catur nasional. Berapa
banyak kemungkinan susunan 2 orang pemain catur yang dikirim
tersebut.
Penyelesaian :
Masalah pemilihan 2 pemain catur termasuk dalam masalah kombinasi,
karena tanpa memperhatikan urutan anggotanya. Sehingga untuk soal
ini adalah kombinasi 2 dari 10 orang, atau
CONTOH 9.3.17
Empat tim bulu tangkis ganda disusun dari sejumlah 8 pemain.
Tentukan banyaknya konfigurasi yang mungkin, jika setiap pemain
hanya bermain pada satu tim?.
Penyelesaian:
.
- Untuk memilih tim pertama ada sebanyak
- Untuk memilih tim kedua ada
.
502
Bab 9: Peluang
- Untuk memilih tim ketiga ada
.
.
- Untuk memilih tim keempat ada
Jadi dengan kaidah perkalian banyaknya konfigurasi adalah
2.520 .
CONTOH 9.3.18
Diketahui klub Tenis yang terdiri 15 putra dan 10 putri
5. tentukan banyak kemungkinan pengiriman delegasi yang terdiri
dari 5 orang.
6. tentukan banyaknya kemungkinan pengiriman delegasi terdiri dari
3 putra dan 2 putri.
Penyelesaian :
a. Masalah pemilihan delegasi termasuk dalam masalah kombinasi.
Karena tanpa memperhatikan urutan anggotanya, sehingga untuk
soal ini identik dengan kombinasi 5 dari 25 orang, yaitu
b. Dalam hal ada dua pemilihan putra dan putri, untuk pemilihan putra
adalah masalah kombinasi 3 unsur dari 15, yaitu
Bab 9: Peluang
503
Sedangkan untuk pemilihan putri adalah kombinasi 2 unsur dari 10
unsur, yaitu
Banyaknya kombinasi total adalah merupakan hasil kali antara
keduanya, yaitu
(455)(45) = 20.475
• RANGKUMAN
•
Kaidah perkalian
Misalkan r percobaan dapat dilakukan. Jika percobaan ke-i
memiliki ni hasil yang mung-kin, 1 ≤ i ≤ r, maka jika semua
percobaan itu dilakukan bersamaan memiliki n1, n2, n3, ..., nr
hasil yang mungkin.
•
Kaidah Penjumlahan
Misalkan r percobaan dapat dilakukan. Jika percobaan ke-i
504
Bab 9: Peluang
memiliki ni hasil yang mungkin, maka ada n1+n2+n3+…+nr
hasil yang mungkin jika tepat satu percobaan dilakukan.
•
Untuk sembarang bilangan bulat
, n faktorial yang ditulis
n!, didefinisikan sebagai:
Didefinisikan 0!=1
•
Pengaturan susunan r objek tanpa pengulangan yang dibentuk
dari n objek berbeda, dengan
, dinamakan permutasi r
objek dari n objek. Banyaknya permutasi ini disimbulkan
dengan
•
Banyaknya permutasi siklik dari n objek yang disusun dalam
bentuk deretan melingkar adalah
•
Pengaturan susunan r objek yang dibentuk dari n objek berbeda
tanpa memperhatikan urutan, dengan
, dinamakan
kombinasi r objek dari n objek.
Banyaknya kombinasi ini disimbulkan dengan
SSO
OAALL LLAATTIIH
HAAN
N 99--33
atau
Bab 9: Peluang
505
Kerjakanlah soal-soal latihan dibawah ini.
2. Hitunglah ekspresi:
a. 7!
c.
b. 5×4!
d.
3. Hitunglah ekspresi:
a.
c.
b.
d.
4. Diketahui angka 1, 3, 5, 7, 9. Tentukan:
c. Banyak bilangan terdiri dari 2 angka yang dapat dibuat dari
angka tersebut.
d. Banyak bilangan terdiri dari 2 angka yang dapat dibuat dari
angka tersebut tetapi tidak mempunyai angka yang sama.
5. Diketahui angka 0, 1, 2, 4, 5, 6, 8. Tentukan:
e. Banyak bilangan terdiri dari 3 angka yang dapat dibuat dari
angka tersebut.
f.
Banyak bilangan terdiri dari 3 angka yang dapat dibuat dari
angka tersebut tetapi tidak mempunyai angka yang sama.
g. Banyak bilangan terdiri dari 3 angka yang dapat dibuat dari
angka tersebut tetapi bernilai ganjil.
h. Banyak bilangan terdiri dari 3 angka yang dapat dibuat dari
angka tersebut yang habis dibagi 5.
6. Diketahui ada 5 baju berbeda, 4 celana panjang berbeda dan 3 dasi
berbeda. Tentukan banyak kombinasi dalam memakai baju, celana
dan dasi.
506
Bab 9: Peluang
4. Didalam suatu ruangan terdapat 10 kursi.6 pemuda dan 4 pemudi
akan duduk didalam ruangan tersebut.Tentukan banyaknya posisi
duduk, jika
a. duduknya sembarang.
b. pemuda dan pemudi duduknya selang-seling.
7. Diketahui ada 4 buku yang berbeda dalam bahasa Jepang, 5 buku
berbeda dalam bahasa Inggris dan 3 buku berbeda dalam bahasa
Indonesia.
a. Tentukan banyak kemungkinan dalam mengambil tiga buku
dari bahasa yang semuanya berbeda jika urutan bahasa
menjadi tidak penting.
b. Tentukan banyak kemungkinan dalam mengambil tiga buku
dari bahasa yang sama jika urutan bahasa menjadi tidak
penting.
c. Tentukan banyak kemungkinan dalam mengambil tiga buku
yang terdiri dari dua bahasa jika urutan bahasa menjadi tidak
penting.
8. Berapa banyak kemungkinan susunan pengurus OSIS yang terdiri
dari ketua, sekretaris dan bendahara dapat dibentuk, jika ada 50
calon pengurus OSIS.
9. Diketahui 12 bendera yang terdiri dari bendera Indonesia, bendera
Amerika dan bendara Jepang. Bendera yang berasal dari Negara
yang sama tidak dapat dibedakan. Jika diambil 12 bendera tentukan
banyak urutan yang dapat muncul dari pengambilan bendera jika :
a. bendera Indonesia ada 5, bendera Amerika ada 4 dan bendera
Jepang ada 3.
Bab 9: Peluang
507
b. bendera Indonesia ada 3, bendera Amerika ada 3 dan bendera
Jepang ada 6.
10. Di Republik BBM, DPR terdiri dari 2 Partai yaitu Partai Bulan dan
Partai Matahari. Salah satu anggota komite terdiri 7 orang Partai
Bulan dan 5 orang Partai Matahari. Akan dibuat satu delegasi yang
diambil dari komite. Tentukan banyak cara menyusun
a.
delegasi yang terdiri dari 4 orang.
b.
delegasi terdiri dari 4 orang dengan satu orang dari partai
Bulan.
c.
delegasi terdiri dari 5 orang, dengan ketua dari partai
Bulan dan anggota seimbang antara kedua partai.
11. Berapa jumlah 3 tempat pariwisata yang dapat dipilih dari 9 tempat
yang ditawarkan.
12. Tentukan banyaknya pembagi (factor) dari bilangan 10.000
13. Sebuah bola diambil sebuah mangkuk yang berisi 4 bola merah dan
sebuah kaleng yang berisi 6 bola putih yang masing-masing
bernomor, maka berapa banyak hasil yang mungkin?
14. Sebuah program komputer memiliki valid input berupa string huruf
saja atau string angka saja dengan panjang 4. Berapa banyak valid
input program tersebut yang mungkin?.
15. Sebanyak 6 orang akan membeli tiket tanda masuk sebuah
pertunjukkan secara bersa-maan. Jika hanya tersedia sebuah loket
pembelian tiket, maka berapa konfigurasi antrian yang mungkin
dapat terjadi.
508
Bab 9: Peluang
16. Tentukan ada berapa cara untuk menyusun berjajar huruf-huruf
yang terdapat dalam sebuah kata “MEMILIKI”!
17. Ada berapa cara untuk memilih seorang pemenang pertama,
seorang pemenang kedua dan seorang pemenang ketiga dari sebuah
kontes yang diikuti oleh 100 kontestan?
18. Sebuah kata kunci (keyword) terdiri atas 6 huruf kecil. Tentukan
ada berapa kata kunci berbeda yang mungkin?.
19. Sebuah tim bola volley inti diseleksi dari sebanyak 10 kandidat
anggota. Berapakah banyaknya konfigurasi tim inti yang mungkin?.
20. Empat tim bulu tangkis ganda disusun dari sejumlah 8 pemain.
Tentukan banyaknya konfigurasi yang mungkin, jika setiap pemain
hanya bermain pada satu tim?
21. Sebanyak 50 orang turis manca negara ingin mengunjungi sebuah
pulau dengan menggunakan jalur udara. Jika hanya tersedia sebuah
pesawat dengan kapasitas 10 penumpang yang menuju pulau
tersebut, ada berapa formasi penerbangan para turis tersebut?.
22. Ada berapa banyak plat nomor kendaraan berbeda dapat dibuat,
jika setiap pelat memuat sebuah barisan 2 huruf diikuti dengan 4
angka dan diikuti dengan 2 huruf?.
23. Tentukan banyaknya solusi berupa bilangan bulat tak negatip
berbeda yang mungkin untuk persamaan:
?.
Bab 9: Peluang
509
24. Tentukan banyaknya solusi berupa bilangan bulat tak negatip
?.
berbeda yang mungkin untuk persamaan:
9.4
PELUANG SUATU KEJADIAN
Untuk percobaan pelemparan mata dadu, didapat ruang sampel
Seperti yang telah dipaparkan pada awal Bab 9.
Kita dapat beranggapan bahwa setiap mata dadu mempunyai peluang
kemunculan yang sama. Sehingga peluang setiap mata dadu adalah .
Jika peluang mata dadu 1 dinotasikan dengan P(1), maka
Secara
.
sama,
.
Dalam sebuah percobaan, semua kejadian sederhana dalam ruang
sampel dianggap mempunyai peluang (kemungkinan) sama untuk
muncul (equally likely). Ruang sampel yang demikian dinamakan
ruang sampel berpeluang sama.
Jika
merupakan ruang sampel berpeluang sama
dengan N titik sampel, maka peluang dari kejadian sederhana
510
Bab 9: Peluang
dinotasikan dengan
dan didefinisikan
sebagai
Selanjutnya untuk kejadian
dengan k ≤ N, peluang
suatu kejadian A adalah jumlah semua peluang titik sampel dalam A,
atau dituliskan sebagai
(9.4.1)
atau
.
(9.4.2)
Dengan |A| adalah banyaknya titik sampel / elemen di A, dan |S| adalah
banyaknya titik sampel di S. Nilai dari P(A) berkisar mulai dari 0
hingga 1, atau
.
Jika P(A) = 0 maka kejadian A tidak mungkin terjadi. Sedangkan jika
P(A) = 1 maka kejadian A pasti terjadi.
CONTOH 9.4.1
Misalkan kita melakukan percobaan pelemparan satu mata dadu.
d. Jika A adalah kejadian muncul sisi bertanda 2, maka tentukan
peluang dari kejadian A.
Bab 9: Peluang
511
e. Jika B adalah kejadian muncul sisi bertanda genap, maka tentukan
peluang dari kejadian B.
Penyelesaian:
Dalam percobaan pelemparan mata dadu, ruang sampelnya adalah
1. Muncul satu sisi (bertanda apa saja) dalam percobaan pelemparan
dadu merupakan kejadian sederhana. Diasumsikan bahwa dadu
mempunyai enam sisi yang serupa, setiap kejadian sederhana A
mempunyai peluang sama, yaitu
2. Kejadian
peluangnya adalah
, atau
atau B mempunyai tiga anggota, sehingga
512
Bab 9: Peluang
CONTOH 9.4.2
Misal dalam suatu tas Farhan berisi 6 pensil dan 3 pulpen. Kemudian
Farhan mengambil satu objek (bisa pensil atau pulpen) secara acak
(tanpa memilih).
a. Tentukan peluang mengambil pensil
b. Tentukan peluang mengambil pulpen
Penyelesaian :
Ruang sampel dari pengambilan satu objek adalah
S = {P, P, P, P, P, P, L, L, L}, anggota S adalah 9.
Dengan P menyatakan objek pensil yang terambil dan L menyatakan
objek pulpen yang terambil.
Misal A merupakan kejadian mengambil pensil, banyaknya
anggota A adalah 6, jadi peluang kejadian A adalah
Misal B merupakan kejadian mengambil pulpen, banyaknya
anggota B adalah 3, jadi peluang kejadian B adalah
Bab 9: Peluang
513
CONTOH 9.4.3
Irfan mempunyai 6 bola putih dan 3 bola merah. Kemudian Irfan
mengambil dua bola secara acak (tanpa memilih).
3. Tentukan peluang mengambil semuanya bola putih.
4. Tentukan peluang mengambil semuanya bola merah.
5. Tentukan peluang mengambil satu bola merah dan satu bola putih.
Penyelesaian :
Dua bola yang terambil tidak diperhatikan urutannya. Oleh karena itu,
permasalahan ini termasuk permasalahan kombinasi.
Ruang sampel S adalah himpulan cara Irfan mengambil 2 bola dari 9
bola. Banyaknya anggota S (banyaknya titik sampel di S) adalah
a. Misal A merupakan kejadian Irfan mengambil dua bola putih.
Banyaknya anggota A adalah
Jadi peluang dari Irfan mengambil dua bola putih adalah
514
Bab 9: Peluang
b. Misal B merupakan kejadian Irfan mengambil dua bola merah.
Banyaknya anggota B adalah
Jadi peluang dari Irfan mengambil dua bola merah adalah
c. Kejadian mengambil satu bola putih dan satu bola merah dianggap
sama dengan kejadian mengambil satu bola merah dan satu bola
putih. Misal C merupakan kejadian Irfan mengambil satu bola putih
dan satu bola merah. Banyaknya anggota C adalah banyaknya
kejadian Irfan mengambil satu bola putih dikalikan banyaknya Irfan
mengambil satu bola putih. Ingat kembali kaidah perkalian pada
subbab 9.2.1. Jadi banyaknya anggota C adalah
Jadi peluang dari Irfan mengambil satu bola putih dan satu bola
merah adalah
Bab 9: Peluang
515
9.4.1 PELUANG KOMPLEMEN SUATU KEJADIAN
Misal dipunyai ruang sampel S, kejadian A bagian dari S, dan
adalah
komplemen dari A. Lihat Gambar 9.4.1.
Gambar 9.4.1 Ruang Sampel S dan Kejadian A.
Jika A dan
dua kejadian yang satu merupakan komplemen lainnya,
maka
(9.4.3)
Untuk memperjelas rumusan diatas, kita lihat contoh berikut.
CONTOH 9.4.4
Tentukan peluang mengambil satu kartu dari kartu brigde standard
memperoleh bukan As.
Penyelesaian :
Misal A merupakan kejadian mengambil satu kartu dan memperoleh
kartus As. Peluang memperoleh satu kartu As adalah
banyaknya titik sampel di A ada 4 dan banyaknya kartu ada 52.
, karena
516
Bab 9: Peluang
Dengan demikian peluang mengambil satu kartu dan memperoleh
bukan As adalah
9.4.2 PELUANG GABUNGAN DUA KEJADIAN
Misal dipunyai ruang sampel S, kejadian A dan kejadian B bagian dari
S. Lihat Gambar 9.4.2.
Gambar 9.4.2 Kejadian A dan B bagian dari Ruang Sampel S.
Jika A dan B adalah dua kejadian bagian dari S, maka peluang kejadian
adalah
(9.4.4)
Untuk memperjelas rumusan diatas, kita lihat contoh berikut.
CONTOH 9.4.5
Pada percobaan pelemparan dua buah dadu setimbang. Kejadian A
adalah kejadian jumlah mata dadu yang muncul adalah 8. Kejadian B
adalah kejadian mata dadu kedua yang muncul adalah 5. Tentukan
Bab 9: Peluang
517
peluang kejadian jumlah mata dadu yang muncul sama dengan 8 atau
mata dadu kedua yang muncul adalah 5.
Penyelesaian :
Pada pelemparan dua buah dadu setimbang, banyaknya ruang sample
adalah |S| = 36. Misal pasangan angka mata dadu pertama dan angka
mata dadu kedua dinyatakan sebagai (x, y). Ruang sampel S adalah
•
Untuk kejadian A:
- A = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}
- Peluang kejadian A adalah
•
Untuk kejadian B:
- B = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5)}
- Peluang kejadian B adalah
•
Interseksi kejadian A dan B:
- Peluang interseksi kejadian A dan B adalah
518
Bab 9: Peluang
Jadi peluang kejadian jumlah mata dadu yang muncul sama dengan 8
atau mata dadu kedua yang muncul 5
adalah
9.4.3 PELUANG GABUNGAN DUA KEJADIAN SALING LEPAS
Misal dipunyai ruang sampel S, kejadian A dan kejadian B saling lepas
merupakan bagian dari S. Lihat Gambar 9.4.3.
Gambar 9.4.3 Kejadian A dan B Saling Lepas.
Kejadian A dan B adalah dua kejadian bagian dari S yang saling lepas.
Atau,
Jika
peluang kejadian
kita subsitusikan ke persamaan (9.4.4) maka didapat
seperti persamaan (9.4.5).
Bab 9: Peluang
519
(9.4.5)
Untuk memperjelas rumusan diatas, kita lihat contoh berikut.
CONTOH 9.4.6
Pada percobaan pelemparan dua buah dadu setimbang. Kejadian A
adalah kejadian jumlah angka mata dadu pertama dan kedua yang
muncul adalah 3. Kejadian B adalah kejadian jumlah angka mata dadu
pertama dan kedua yang muncul adalah 8. Tentukan peluang kejadian
jumlah angka mata dadu pertma dan kedua yang muncul adalah sama
dengan 3 atau 8.
Penyelesaian :
Pada pelemparan dua buah dadu setimbang, banyaknya ruang sample
adalah |S| = 36.
•
Untuk kejadian A:
- A = {(1, 2), (2, 1)}
- Peluang kejadian A adalah
•
Untuk kejadian B:
- B = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) }
- Peluang kejadian B adalah
•
Interseksi kejadian A dan B:
520
Bab 9: Peluang
, kejadian A dan B saling lepas.
-
Jadi peluang kejadian jumlah mata dadu yang muncul sama dengan 3
atau 8 adalah
9.4.4
PELUANG BERSYARAT DAN KEJADIAN SALING BEBAS
Sebelumnya kita membahas peluang bersyarat ini, terlebih dahulu kita
lihat suatu kasus permasalahan peluang. Peluang dari kejadian orang
mengidap penyakit paru-paru adalah kecil. Akan tetapi, jika kita
berikan syarat bahwa orang yang perokok berat, maka peluang kejadian
orang tersebut mengidap penyakit paru-paru menjadi lebih besar.
Peluang dengan ada suatu syarat seperti yang digambarkan di atas
dinamakan peluang bersyarat.
Sebelum menuju pada suatu rumusan peluang bersyarat, kita lihat
contoh berikut ini.
CONTOH 9.4.7
Perhatikan percobaan pelemparan dadu. Ruang sampel dari percobaan
pelemparan dadu adalah
Bab 9: Peluang
521
Mari kita lihat beberapa kejadian yang terkait dengan pelemparan dau
ini.
•
Misal A merupakan kejadian angka mata dadu yang muncul
adalah ganjil, diperoleh:
- Peluang A adalah
•
Misal B merupakan kejadian angka mata dadu yang muncul
adalah lebih besar dari 2, diperoleh:
- Peluang B adalah
•
Selanjutnya, kita ingin menghitung peluang munculnya angka
mata dadu ganjil dengan syarat angka yang muncul adalah
lebih besar dari 2.
- Angka mata dadu ganjil dan lebih besar dari 2, pasti
merupakan titik sampel yang ada di B. Jika kejadian B ini kita
anggap sebagai ruang sampel (bukan lagi S), maka ruang
sampel yang demikian ini dinamakan ruang sampel
tereduksi.
- Suatu kejadian munculnya angka mata dadu ganjil dan lebih
dan peluangnya
besar dari 2 adalah
.
- Muncul dua dari empat titik sampel di ruang sampel
tereduksi B. Oleh karena itu, dapat dikatakan bahwa adalah
peluang bersyarat munculnya angka mata dadu ganjil
jika diketahui angka mata dadu yang muncul lebih besar
dari 2. Atau dikatakan sebagai peluang kejadian A dengan
522
Bab 9: Peluang
syarat kejadian B, dan diberi notasi
.
Lihat Gambar 9.4.4.
Gambar 9.4.4 Ruang Sampel Tereduksi
Hasil pengamatan di atas, akan membawa kita pada definisi peluang
bersyarat berikut ini.
DEFINISI 9.4.1
Misal kejadian A dan B
bagian dari ruang sampel S. Peluang
kejadian A dengan syarat B dinotasikan dengan
dan
didefinisikan sebagai
dengan
.
Dari definisi di atas juga dapat diturunkan bentuk rumusan sebagai
berikut.
Bab 9: Peluang
523
Atau
.
(9.4.6)
Persamaan (9.4.6) ini dinamakan aturan hasil kali.
Jika
merupakan komplemen dari A, maka peluang kejadian
dengan syarat B adalah
(9.4.7)
Dua kejadian dikatakan saling bebas jika dua kejadian tersebut tidak
saling mempengaruhi. Jadi kejadian A dan kejadian B dikatakan saling
bebas jika diberikan syarat kejadian B, maka tidak mempengaruhi
kejadian A atau sebaliknya. Dengan kata lain P(A|B) = P(A) atau
P(B|A) = P(B) . Jika dimasukkan ke dalam persamaan (9.4.6), maka
diperoleh
(9.4.8)
524
Bab 9: Peluang
Jika berlaku
, maka kejadian A dan kejadian
B merupakan dua kejadian saling bebas.
CONTOH 9.4.8
Sebuah kaleng berisi 2 bola merah dan 2 bola biru. Dilakukan
pengambilan 2 bola secara berurutan, tanpa pengembalian. Tentukan
peluang terpilihnya bola merah pada pengambilan yang kedua, jika
diketahui bola pertama yang terambil adalah biru.
Penyelesaian:
Misal A kejadian terpilihnya bola merah pada pengambilan kedua.
Kejadian B adalah kejadian terpilihnya bola biru pada pengambilan
pertama.
Gambar 9.4.5 Pengambilan Dua Bola Berurutan
Untuk mempermudah, kita beri nama bola merah dengan m1 dan m2.
Bola biru kita beri nama b1 dan b2.
•
Kejadian terpilihnya bola pertama biru, kejadian B.
-
Anggaplah B sebagai ruang sampel tereduksi.
Bab 9: Peluang
525
•
Kejadian terpilihnya bola kedua merah dalam ruang sampel
tereduksi B adalah kejadian
.
Peluang terpilihnya bola merah pada pengambilan kedua, jika
pengambilan bola pertama terpilih putih adalah
CONTOH 9.4.9
Manajemen suatu kompleks pertokoan telepon genggam mencatat
bahwa 60% pembeli adalah wanita dan sisanya adalah pembeli pria.
Sebanyak 80% pembeli wanita membayar dengan cara angsuran.
Pembeli pria yang membayar dengan cara angsuran hanya 20%.
Jika seorang pembeli dipilih secara acak, maka tentukan peluang
terpilihnya:
a. Seorang wanita yang membeli telepon genggam dengan cara
angsuran.
b. Seorang pria yang membeli telepon genggam dengan cara
angsuran.
Penyelesaian:
Ruang sampel S adalah pembelian telepon genggam di pertokoan.
526
Bab 9: Peluang
Misal: - Kejadian W adalah kejadian wanita membeli telepon
genggam, P(W) = 0,6.
- Kejadian L adalah kejadian pria membeli telepon genggam,
P(L) = 0,4.
- Kejadian A adalah kejadian seorang membeli telepon
genggam dengan cara angsuran.
P(A|W) = 0,8 dan P(A|L) = 0,2.
Berdasarkan aturan hasil kali, diperoleh:
a. Peluang terpilihnya seorang wanita membeli telepon genggam
dengan cara angsuran adalah
b. Peluang terpilihnya seorang pria membeli telepon genggam
dengan cara angsuran adalah
Untuk memahami dua kejadian saling bebas, perhatikan contoh berikut
ini.
CONTOH 9.4.10
Sebuah uang logam dan sebuah dadu dilemparkan bersama-sama.
Berapa peluang munculnya sisi angka pada uang logam dan peluang
munculnya angka pada mata dadu adalah ganjil ?.
Bab 9: Peluang
527
Penyelesaian :
Ruang sampel dari percobaan ini adalah
Dengan titik sampel (x, y) adalah
pelemparan uang logam muncul x, nilai dapat a (angka)
-
atau g (gambar)
pelemparan dadu muncul angka y, nilai y dapat 1, 2, 3, 4, 5,
-
atau 6.
Peluang masing – masing kejadian adalah
•
Kejadian A adalah kejadian munculnya sisi angka pada uang
logam
-
•
.
Kejadian B adalah kejadian munculnya angka pada mata dadu
adalah ganjil.
-
•
Kejadian
.
merupakan kejadian munculnya sisi angka
pada uang logam dan angka ganjil pada mata dadu.
528
Bab 9: Peluang
Terlihat bahwa berlaku
Oleh karena itu, dikatakan bahwa kejadian A dan B saling bebas.
9.4.5 FREKUENSI HARAPAN SUATU KEJADIAN
Perhatikan kasus berikut ini : Sebuah dadu dilempar sebanyak 12 kali
Tentukan berapa kali kemungkinan muncul mata dadu 2 ?.
Untuk menjawab permasalahan diatas, kita dapat melakukan kegiatan
dengan cara sebuah dadu kita lempar 12 kali, kemudian kita catat
banyaknya mata dadu 2 yang muncul. Kita ulang lagi dengan melempar
dadu sebanyak 12 kali dan kita catat banyaknya mata dadu 2 yang
muncul. Kegiatan tersebut kita lakukan beberapa kali. Dari
hasil
catatan akan terlihat banyaknya muncul mata dadu 2, misal 2 kali.
Peluang munculnya mata dadu 2 pada pelemparan sebuah dadu adalah
. Jika dadu dilempar sebanyak 12 kali, maka diharapkan mendapatkan
mata dadu 2 sebanyak
kali = 2 kali. Harapan munculnya mata
dadu 2 sebanyak 2 kali tersebut dinamakan frekuensi harapan.
Bab 9: Peluang
529
Frekuensi harapan munculnya kejadian A dengan n kali percobaan
adalah
CONTOH 9.4.11
Sebuah uang logam dilempar sebanyak 40 kali. Tentukan frekuensi
harapan munculnya sisi gambar pada uang logam tersebut.
Penyelesaian :
Misal A merupakan kejadian munculnya sisi gambar,
Peluang kejadian A adalah
.
.
Jadi frekuensi harapan munculnya sisi gambar pada uang logam adalah
kali.
• RANGKUMAN
•
Peluang suatu kejadian
Untuk kejadian
dengan k ≤ N, peluang
suatu kejadian A adalah jumlah semua peluang titik sampel
dalam A. Ditulis sebagai
atau
530
•
Bab 9: Peluang
Peluang komplemen kejadian
Jika A dan
dua kejadian yang satu merupakan komplemen
lainnya, maka
•
Jika A dan B adalah dua kejadian bagian dari S, maka peluang
kejadian
•
.
adalah
Kejadian A dan B bagian dari ruang sampel S. Peluang
kejadian A dengan syarat B adalah
dengan
SSO
OAALL LLAATTIIH
HAAN
N 99--44
Kerjakan soal-soal latihan dibawah ini.
1. Sebuah dadu dilemparkan. Tentukan peluang
a. Muncul mata dadu 4.
b
Muncul mata dadu genap.
c. Muncul mata dadu ganjil.
d. Muncul mata dadu genap atau ganjil.
1. Sebuah dadu dan sebuah uang logam dilempar bersamasama.Tentukan peluang
Bab 9: Peluang
a.
531
Muncul mata uang angka dan angka dadu 3.
b. Muncul mata uang gambar dan angka dadu genap.
c. Muncul angka dadu ganjil.
d. Muncul mata uang angka dan angka dadu lebih dari 2.
2. Dari satu kantong terdiri dari 6 bola merah, 4 bola hitam dan 3 bola
hijau diambil satu bola. Tentukan peluang bola yang terambil
berwarna
3. Merah atau hitam.
4. Merah atau hitam atau hijau.
5. Bukan hitam.
6. Bukan hitam atau bukan merah.
3. Jika sebuah huruf diambil dari kata “ MATEMATIKA “.Tentukan
peluang yang terambil
a. Huruf M
b. Huruf vocal
c. Huruf konsonan
d
Bukan huruf vocal
4. Satu kelompok terdiri dari 12 putera dan 4 puteri. Jika tiga orang
diambil dari kelompok tersebut, berapa peluang bahwa ketiganya
adalah putera.
5. Farhan mempunyai bola 8 bola merah dan 10 bola biru. Kemudian
Farhan mengambil dua bola secara acak. Tentukan peluang bola
yang terambil
a. Semuanya merah
b. Semuanya biru
c. Satu bola merah dan satu bola biru
532
Bab 9: Peluang
6. Budi mempunyai bola 8 bola merah, 10 bola biru dan 6 bola putih
.Kemudian Budi mengambil tiga bola secara acak. Tentukan
peluang yang terambil
a. Tiga bola tersebut berwarna sama
b. Dua bola merah dan 1 bola putih
c. Satu bola merah dan 2 bola biru
d. Paling sedikit 1 bola putih
e. Tiga bola tersebut berlainan warna
7. Dua buah dadu dilempar bersama – sama.Tentukan peluang
munculnya
a. Jumlah mata dadu 5 atau 10
b. Jumlah mata dadu 10 atau mata dadu pertama adalah 6
a. Mata dadu pertama ganjil atau mata dadu kedua genap
8. Pada permainan bridge, 4 pemain masing-masing memegang 13
kartu dari 52 kartu yang ada. Tentukan peluang seorang pemain
tertentu kartunya terdiri dari 7 diamond, 2 club, 3 heart dan 1
spade.
9. Tiga buah dadu dilempar bersama – sama. Tentukan peluang
munculnya
a. Jumlah mata dadu 12
b. Jumlah mata dadu 10 atau 15
10. Tentukan peluang bahwa sebuah bilangan puluhan adalah kelipatan
3
11. Peluang tim sepak bola SMK “ Nusantara “ untuk memenangkan
suatu pertandingan sepak bola adalah 0,6. Jika tim tersebut akan
bermain dalam 50 kali pertandingan, Berapa kali tim sepakbola
tersebut akan menang ?
Bab 9: Peluang
533
12. Peluang tim basket SMK “ Tunas Harapan “ untuk memenangkan
suatu pertandingan basket adalah 0,8. Jika tim tersebut akan
bermain dalam 30 kali pertandingan, Berapa kali tim basket
tersebut akan kalah ?
13. Dua buah dadu dilempar bersama - sama sebanyak 288 kali.
Tentukan frekuensi harapan
a. Munculnya jumlah mata dadu 10.
b. Munculnya jumlah mata dadu 5 atau 12.
c. Munculnya mata dadu pertama 3 dan mata dadu kedua genap.
d. Munculnya jumlah mata dadu selain 8.
Bab
10
STATISTIKA
10. Statistika
Dalam kehidupan sering dijumpai informasi yang berupa kumpulan
data dalam bentuk angka atau sajian data dalam bentuk grafik.
Informasi ini disebut statistik. Pada bab ini dibahas tentang pengertian
statistik, statistika, bentuk penyajian data serta bagaimana cara
menghitung ukuran pusat.
10.1 PENGERTIAN DASAR
Kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi tidak dapat dipisahkan dari
statistik. Seorang manajer yang berpacu dengan waktu akan enggan
membaca laporan hasil survei atau evaluasi yang panjang. Laporan
yang disajikan secara sederhana dan lengkap sangat diperlukan oleh
seorang manajer. Bentuk laporan yang dimaksud adalah statistik.
Contoh lain, dengan keterbatasan waktu berbagai informasi dalam
535
536
Bab 10: Statistika
bentuk tulisan pada majalah dan koran masyarakat enggan membaca,
untuk itu perlu informasi yang lengkap dan mudah dimengerti.
Informasi ini disajikan dalam bentuk grafik atau tabel yang merupakan
bagian dari statistik. Dari dua contoh diatas betapa pentingnya statistik
bagi kehidupan sehari-hari.
10.1.1 PENGERTIAN STATISTIKA
Istilah statistik berasal dari bahasa Yunani status yang artinya state atau
negara. Pada awalnya istilah statistik diartikan sebagai kumpulan
informasi tentang negara dan banyaknya penduduk. Saat ini yang
diamaksud statistik ialah data yang berbentuk daftar, tabel, grafik atau
bentuk penyajian lain. Statistika adalah pengetahuan yang terkait
dengan
metode
pengumpulam
informasi,
pengolahan,
analisis,
penarikan kesimpulan dan pembuatan keputusan. Jadi statistik
merupakan hasil dari statistika. Kegiatan statistika yang terkait dengan
penggunaan data untuk peramalan atau penarik kesimpulan dikenal
dengan
statistika
induktif,
sedangkan
yang
terkait
dengan
pengumpulan, penyajian dan perhitungan disebut dengan statistika
deskriptif.
10.1.2 PENGERTIAN POPULASI DAN SAMPEL
Populasi adalah keseluruhan obyek yang menjadi perhatian atau obyek
dari semua pengukuran yang mungkin dibuat untuk suatu permasalahan
tertentu. Sedangkan sampel adalah himpunan bagian dari populasi atau
sebagian obyek dari pengukuran yang terpilih dari suatu populasi.
Selanjutnya pengambilan data populasi jarang dilakukan karena beaya
Bab 10: Statistika
537
yang terlalu tinggi. Dengan demikian pengambilan data hanya sebagian
saja yaitu berupa sampel data.
CONTOH 10.1.1
Untuk mempelajari golongan darah siswa SMK “Harapan Bunda”,
didata golongan darah siswa sebanyak 100 orang dari total semua siswa
sebanyak 2000 siswa. 2000 siswa adalah populasi, sedangkan 100 siswa
yang terpilih adalah sampel.
10.1.3 MACAM – MACAM DATA
Setiap informasi yang tercatat, apakah dari hasil mencacah, mengukur
atau mengklasifikasi disebut sebagai pengamatan atau data. Jadi data
adalah keterangan / informasi yang dijaring dalam bentuk angka (data
kuantitatif) atau lambang (data kualitatif) dari pengamatan yang
dilakukan seseorang. Data kuantitatif dapat diperoleh dengan mengukur
(data kontinu) atau dengan mencacah (data diskrit).
CONTOH 10.1.2
Jumlah buku milik mahasiswa, jumlah SMK yang ada di Propinsi
tertentu merupakan data diskrit.
Dilihat dari sumbernya dapat diklasifikasikan menjadi
1.
Data intern, yaitu catatan intern perusahaan yang dibutuhkan
oleh perusahaan itu sendiri
2.
Data ekstern, yaitu data yang diperoleh dari luar perusahaan.
538
Bab 10: Statistika
CONTOH 10.1.3
Contoh data intern adalah catatan akademik di sekolah tertentu yang
diperlukan oleh sekolah tersebut. Jika untuk keperluan tertentu sekolah
membutuhkan data dari luar sekolah maka data tersebut termasuk data
ekstern.
Dilihat dari penerbitnya data dapat diklasifikasikan
1.
Data primer, yaitu data yang dikumpulkan dan diolah sendiri
oleh organisasi yang menerbitkan
2.
Data sekunder, yaitu data yang diterbitkan oleh organisasi
yang bukan pengolahnya.
Data dapat dikumpulkan dengan beberapa cara, diantaranya dengan :
a. Wawancara, adalah tanya jawab secara langsung dengan
sumber data atau orang-orang yang dianggap mampu
memberikan data yang diperlukan.
b. Kuisioner,
adalah
tehnik
pengumpulan
data
dengan
memberikan serangkaian pertanyaan yang dikirim per pos atau
langsung pada responden untuk diisi.
c. Pengamatan (Observasi), adalah teknik pengambilan data
dengan mengamati baik secara langsung maupun tidak
langsung terhadap objek.
d. Test & skala obyektif adalah serangkaian test maupun skala
yang obyektif, meliputi test kecerdasan dan bakat, test prestasi
atau test kepribadian.
Bab 10: Statistika
539
Berdasarkan skala data, data dapat diklasifikasikan menjadi :
4. Nominal, membedakan benda / peristiwa satu dengan yang lain
berdasarkan jenis / predikat, misal : Laki-laki – perempuan,
desa – kota.
5. Ordinal, membedakan benda / peristiwa satu dengan yang lain
berdasarkan jumlah relatif beberapa karakteristik tertentu yang
dimiliki masing-masing benda / peristiwa, misal : pemenang
lomba 1, 2, 3.
6. Interval, apabila benda atau peristiwa yang kita selidiki dapat
dibedakan antara yang satu dengan yang lain kemudian
diurutkan. Perbedaan peristiwa yang satu dengan yang lain
tidak mempunyai arti, tidak harus ada nol mutlak, misal: derajat
C = derajat F.
7. Rasio, rasio antara masing-masing pengukuran mempunyai arti,
ada nilai nol mutlak, misal : Tinggi.
SSO
OAALL LLAATTIIH
HAAN
N 1100--11
1. Jelaskan dengan singkat pengertian dari statistik dan statistika
2. Jelaskan pengertian statistik deskriptif dan statistik induktif
3. Jelaskan pengertian populasi dan sample sertai contoh
4. Apa yang dimaksud dengan data primer dan data sekunder,
berikan contoh
5. Berikan contoh data dari hasil:
a. Wawancara
b. Kuisioner
c. Observasi
540
Bab 10: Statistika
10.2 PENYAJIAN DATA
Pada umumnya
untuk memudahkan dalam interpretasi data, data
berukuran besar disajikan dalam bentuk tabel, diagram, dan grafik.
10.2.1 PENYAJIAN DATA DALAM BENTUK TABEL
Penyajian data dalam bentuk tabel dapat berupa tabel statistik atau tabel
distribusi frekuensi.
ƒ
TABEL STATISTIK
Tabel statistik disajikan dalam baris dan kolom. Bentuk umum tabel
statistik adalah sebagai tersebut dalam Gambar 10.2.1
Judul Tabel
Judul kolom
Judul kolom
Judul kolom
Judul baris
Keterangan
Sumber data
Gambar 10.2.1 Bentuk Umum Tabel Statistik
Judul kolom
Bab 10: Statistika
541
Judul tabel ditulis dibagian paling atas dan dimulai dari sisi paling kiri
dengan huruf kapital, Judul tabel memuat apa, macam, klasifikasi,
dimana, kapan dan satuan data yang digunakan secara singkat. Judul
kolom dan judul baris ditulis dengan singkat. Sel adalah tempat nilainilai data. Keterangan diisi jika ada yang mau dijelaskan dari tabel yang
belum tercantum dalam tabel dan sumber data menjelaskan asal data.
CONTOH 10.2.1
Table 10.2.1 . Jumlah pengunjung masing-masing anjungan tempat
wisata “Mekar Sari” tahun 2004-2007 berdasarkan
jenis pengunjung.
Tahun
Anjungan Alfa
Anjungan Beta
Anjungan Gama
Dewasa
Anakanak
Dewasa
Anakanak
Dewasa
Anakanak
46250
37550
85050
25250
35250
75750
2005
47750
38900
84550
15550
25275
78900
2006
48890
45500
75550
19850
30850
78760
2007
48900
45450
89550
12500
25950
85575
Jumlah
191790
167400
334700
73150
117325
318985
2004
Sumber : data diambil dari loket yang terjual pada masing-masing
anjungan
542
ƒ
Bab 10: Statistika
TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI
Tabel distribusi frekuensi terdiri tabel distribusi frekuensi data tunggal
dan tabel distribusi frekuensi data kelompok. Tabel distribusi data
tunggal adalah suatu tabel distribusi frekuensi yang disusun sedemikian
rupa sehingga dapat diketahui frekuensi setiap satuan data (datum).
CONTOH 10.2.2
Percobaan melempar sebuah kubus berangka (alat untuk permainan ular
tangga) sebanyak 30 kali menghasilkan permukaan yang muncul
sebagai berikut :
2 6 3 3 5 6 4 2 4 3
5 3 2 1 4 1 6 5 3 4
4 6 4 3 2 5 1 1 3 2
Data tersebut dapat disusun dalam distribusi frekuensi tunggal seperti
terlihat dalam Tabel 10.2.2
Tabel 10.2.2 Permukaan yang muncul
Angka (Xi)
Tally (turus)
Frekwensi (fi)
1

4
2

5
3
 
7
4

6

5

4
6

4
Jumlah
∑f
i
= 30
Bab 10: Statistika
543
Tabel distribusi frekuensi data kelompok adalah suatu bentuk
penyusunan yang teratur mengenai suatu rangkaian data dengan
menggolongkan besar dan kecilnya angka-angka yang bervariasi
kedalam kelas-kelas tertentu.
Yang harus diperhatikan dalam membuat tabel distribusi data kelompok
adalah bahwa tidak ada satu angkapun dari data yang tidak dapat
dimasukkan kedalam kelas tertentu dan tidak terdapat keragu-raguan
dalam memasukkan angka-angka kedalam kelas-kelas yang sesuai.
Sehingga yang harus dilakukan adalah sebagai berikut :
f.
Penentuan range berdasarkan pembulatan kebawah untuk angka
terendah dan pembulatan keatas untuk angka tertinggi
g. Hindari penggunaan batas kelas secara berulang
h. Batas kelas hendaknya dinyatakan dalam bilangan bulat, bila tidak
mungkin penggunaan jumlah desimal harus sesuai dengan
kebutuhan saja.
Untuk membuat distribusi frekwensi data berkelompok dapat dilakukan
dengan langkah sebagai berikut :
7. Menentukan jumlah kelas, jika menggunakan pendekatan HA
Sturges maka
K = 1 + 3,322 log n
dimana K adalah jumlah kelas dan n adalah jumlah data.
8. Menentukan lebar interval / panjang interval (p)
p = range / K
dimana Range = nilai datum tertinggi – nilai datum terendah
544
Bab 10: Statistika
9. Membuat tabel distribusi frekwensi, biasanya secara lengkap terdiri
dari 9 kolom, dimana
kolom 1: Nomor kelas,
kolom 2: interval kelas/limit kelas,
Pada interval kelas terdapat batas bawah kelas dan batas
atas kelas. Batas bawah kelas adalah nilai ujung bawah
suatu kelas sedangkan batas atas kelas adalah nilai ujung
atas suatu kelas.
kolom 3: tepi kelas
tepi bawah = batas bawah – 0,5
tepi atas = batas atas + 0, 5
kolom 4: titik tengah kelas (mi),
titik tengah kelas adalah suatu nilai yang dapat dianggap
mewakili kelas tersebut dan rumusnya
mi =
1
( batas atas + batas bawah )
2
kolom 5: tabulasi / tally,
kolom 6: frekuensi (fi),
kolom 7: frekuensi kumulatif
frekuensi kumulatif kelas ke –i ( fkomi ) adalah jumlah
frekuensi dari kelas pertama sampai kelas ke -i
kolom 8: distribusi relatif
Bab 10: Statistika
545
distributif relatif kelas ke – i (dreli) adalah proporsi data
yang berada pada kelas ke –i sehingga
dreli =
frekuensi kelas ke− i
=
banyaknya semua datum
fi
∑f
i
kolom 9: distribusi relatif komulatif
distribusi relatif komulatif kelas ke-i (drkomi) adalah
jumlah distributive relative dari kelas pertama sampai
kelas ke -i
10. Memasukkan angka-angka kedalam kelas-kelas yang sesuai,
kemudian menghitung frekuensinya. Proses memasukkan angkaangka dilakukan dengan tally sheet, buat perlimaan.
CONTOH 10.2.3
Skor hasil tes IQ dari 50 siswa SMK “Tunas Baru” tercatat sebagai
berikut :
80 111 122
94 119 125
104
88
86 112
123 110
113
93
96 118 127 129
92 127 103
127 104 117
88 100 117
85
89
89 128 103 115
95
89 110 116 103
88 123 121
87
92 119
84 127
97
89 125 118
Jumlah kelasnya adalah K = 1 + 3,322 log 50 = 6,643978354 ≈ 7
Range = jangkauan = 129 – 80 = 49
Lebar interval kelas = 49 / 6,643978354 = 7,375099283 ≈ 8
546
Bab 10: Statistika
Dari hasil perhitungan ini selanjutnya dibuat, Tabel lengkapnya dapat
dilihat pada Tabel 10.2.3. berikut ini :
Tabel 10.2.3 . Hasil test IQ siswa SMK “ Tunas Baru”
No
Interval
Tepi Kls
mi
Tally
fi
fkomi
dreli
drko
mi
1
80-87
79,5-87,5
83,5

5
5
0,10
0,10
2
88-95
87,5-95,5
91,5

12
17
0,24
0,34

3
96-103
95,5-103,5
99,5
 
6
23
0,12
0,46
4
104-111
103,5-111,5
107,5

5
28
0,10
0,56
5
112-119
111,5-119,5
115,5

10
38
0,20
0,76
10
48
0,20
0,96
2
50
0,04
1,00

6
120-127
119,5-127,5
123,5


7
128-135
127,5-135,5
131,5

Sumber : SMK “Tunas Baru” tahun 2007
10.2.2 PENYAJIAN DATA DALAM BENTUK DIAGRAM
Penyajian data dalam bentuk diagram dilakukan dengan beberapa cara,
diantaranya, diagram garis, diagram kotak / diagram batang, diagram
lingkaran, piktogram.
Bab 10: Statistika
ƒ
547
DIAGRAM GARIS
Diagram Garis adalah suatu diagram berupa garis yang biasa dipakai
untuk menyajikan data yang diperoleh dari waktu ke waktu secara
teratur dalam jangka waktu tertentu.
CONTOH 10.2.4
Dari hasil survey siswa SMK yang membawa sepeda motor didapatkan
hasil seperti pada Tabel 10.2.4
Tabel 10.2.4. Jumlah Siswa SMK yang Membawa Sepeda Motor
Tahun
Jumlah Siswa
2002
40
2003
25
2004
35
2005
40
2006
110
2007
125
Cara menggambar diagram garis dari tabel 10.2.4 seperti menggambar
koordinat kartesius dengan sumbu datar menyatakan tahun dan sumbu
tegak menyatakan jumlah. Selanjutnya gambar posisi titik yang ada
pada tabel dan hubungkan titik tersebut dengan garis lurus.
548
Bab 10: Statistika
Diagram garis dari Tabel 10.2.4 ditunjukkan Gambar 10.2.2.
Jumlah Siswa SMK yang Membawa Sepada Motor
Tahun 2002-2007
120
jumlah
100
80
60
40
20
2002
2003
2004
2005
2006
2007
tahun
Gambar 10.2.2 Contoh Diagram Garis
ƒ
DIAGRAM BATANG
Diagram Batang adalah suatu diagram yang terdiri dari batang-batang,
dimana tinggi batang merupakan frekwensi atau nilai dari data.
CONTOH 10.2.5
Untuk menggambar diagram batang tabel 10.2.4 buat sumbu datar yang
menyatakan tahun dan sumbu tegak menyatakan jumlah. Buat persegi
panjang dengan tinggi dari persegi panjang menyatakan banyaknya
siswa yang membawa sepeda motor.
Diagram batang dari Tabel 10.2.4 ditunjukkan Gambar 10.2.3
Bab 10: Statistika
549
Jumlah Siswa SMK yang Membawa Sepeda Motor
Tahun 2002-2007
140
120
Count
100
80
60
40
20
0
2002
2003
2004
2005
2006
2007
tahun
Gambar 10.2.3. Contoh Diagram Batang
ƒ
DIAGRAM LINGKARAN
Diagram Lingkaran adalah suatu diagram berupa lingkaran, dimana
daerah lingkaran menggambarkan data seluruhnya, sedangkan bagian
dari data digambarkan dengan juring atau sektor.
CONTOH 10.2.6
Membuat diagram lingkaran dari tabel 10.2.4 dengan cara membagi
luas lingkaran dalam juring – juring lingkaran sesuai dengan jumlah
data tiap tahunnya. Untuk data tahun 2002 dengan jumlah 40, maka
luas juring ditentukan oleh sudut sebesar : (40/375) x 3600.
Diagram batang dari tabel 10.2.4 ditunjukkan gambar 10.2.4
550
Bab 10: Statistika
Jumlah Siswa yang Membawa Sepeda Motor
Tahun 2002-2007
C atego ry
2002
2003
2004
2005
2006
2007
Gambar 10.2.4. Contoh Diagram Lingkaran
ƒ
PIKTOGRAM
Piktogram adalah suatu diagram yang disajikan dalam bentuk lambanglambang sesuai dengan objek yang diteliti.
CONTOH 10.2.7
Dari catatan Dinas Pendidikan Kodya “Selayang”, jumlah siswa
diempat SMK dapat dilihat pada Tabel 10.2.5. dan penyajian
piktogramnya dapat dilihat pada Gambar 10.2.5.
Tabel 10.2.5. Jumlah Siswa SMK di Kodya “Selayang”
SMK
Mawar
Melati
Tulip
Anggrek
Jumlah Siswa
500
850
600
1250
Bab 10: Statistika
Sekolah
551
Jumlah Siswa
SMK Mawar
500
SMK Melati
850
SMK Tulip
600
SMK
Anggrek
1250
Keterangan :
sama dengan 50
sama dengan 100
Gambar 10.2.5. Contoh Piktogram
10.2.3 PENYAJIAN DATA DALAM BENTUK GRAFIK
Penyajian data dalam bentuk grafik dapat dilakukan dengan membuat
Histogram atau dengan membuat Poligon.
ƒ
HISTOGRAM
Histogram adalah sebuah bentuk diagram batang tetapi lebar batangnya
merupakan lebar interval kelas sedangkan yang membatasi masingmasing batang adalah tepi kelas, sehingga masing-masing batang
berimpit satu sama yang lainnya. Lihat contoh 10.2.8 dan gambar
10.2.6
552
ƒ
Bab 10: Statistika
POLIGON
Jika ujung masing-masing batang dari histogram, pada posisi titik
tengah dihubungkan dengan sebuah garis, garis tersebut disebut sebagai
polygon frekuensi. Jika polygon frekuensi didekati dengan sebuah
kurva mulus, maka kurva tadi disebut sebagai kurva frekuensi yang
diratakan, tetapi jika penghalusan dilakukan pada polygon komulatif,
maka kurvanya disebut sebagai ogive. Lihat gambar 10.2.7
CONTOH 10.2.8
Dari tabel 10.2.3 Hasil test IQ siswa SMK ” Tunas Baru “ maka
histogramnya dapat dilihat dalam Gambar 10.2.6. dan polygon
frekuensinya dapat dilihat pada Gambar 10.2.7.
Gambar 10.2.6. Contoh Histogram
Bab 10: Statistika
553
Gambar 10.2.7. Contoh Poligon Frekuensi
SSO
OAALL LLAATTIIH
HAAN
N 1100--22
1. Nilai ujian pelajaran matematika dari 80 siswa SMK “ Tunas
Harapan “ adalah sebagai berikut :
51
75
81
62
65
70
68
40
70
60
65
72
75
81
90
65
68
76
60
35
75
81
71
58
70
60
97
74
42
80
79
53
83
61
78
75
69
80
95
37
80
72
90
71
48
85
80
65
91
73
76
82
78
63
75
72
74
76
76
43
65
76
80
78
85
64
65
50
60
72
85
78
68
74
67
85
65
80
77
58
554
Bab 10: Statistika
Buatlah tabel distribusi frekuensi data kelompok dari nilai
matematika diatas.
2. Dari Hasil survey siswa SMK “ Tunas Harapan “ yang membawa
handphone adalah sebagai berikut :
Tabel siswa SMK “ Tunas Harapan “ yang membawa handphone
Tahun
Jumlah siswa
2000
50
2001
65
2002
70
2003
75
2004
40
2005
80
2006
90
2007
105
Sajikan data diatas dalam diagram garis, diagram batang dan
diagram lingkaran.
3. Dari soal no. 1, buatlah histogram dan polygon frekuensi dari nilai
ujian pelajaran matematika SMK “ Tunas Harapan “.
Bab 10: Statistika
555
10.3 UKURAN STATISTIKA BAGI DATA
Dalam mengumpulkan data, jika objek yang diteliti terlalu banyak atau
terlalu luas cakupannya sehingga menjadi cukup besar, maka peneliti
seringkali tidak meneliti seluruh objek, melainkan akan menggunakan
sebagian saja dari seluruh objek yang diteliti. Keseluruhan yang
menjadi perhatian kita / yang kita pelajari disebut sebagai Populasi
sedangkan himpunan bagian dari populasi hasil dari pengukuran yang
terpilih dari suatu populasi disebut sebagai Sample.
Parameter adalah sembarang nilai yang menjelaskan ciri sample-suatu
Populasi misalkan ( µ , σ
2
dll), sedangkan Parameter sample adalah
sembarang nilai yang menjelaskan ciri sample misalkan (
x,s
2
dll).
Untuk menyelidiki segugus data kuantitatif akan sangat membantu bila
didefinisikan ukuran-ukuran numerik yang menjelaskan ciri-ciri data
yang penting. Ukuran yang menunjukkan pusat segugus data disebut
sebagai Ukuran Pemusatan. Ukuran yang menyatakan seberapa jauh
pengamatan (data) menyebar dari rata-ratanya disebut sebagai Ukuran
Keragaman / Penyebaran. Untuk mengetahui sebaran / distribusi
segugus data setangkup atau tidak dipakai Ukuran kemiringan.
10.3.1 UKURAN PEMUSATAN
Ukuran yang menunjukkan pusat segugus data disebut sebagai Ukuran
Pemusatan. Ukuran pemusatan yang biasa dipakai mean, median dan
modus. Selanjutnya akan ditentukan ukuran pemusatan untuk tiga
bentuk data yaitu data tunggal, frekuensi data tunggal dan frekuensi
data kelompok.
556
ƒ
Bab 10: Statistika
MEAN / RATA-RATA HITUNG
Mean atau rata- rata hitung dari suatu data adalah jumlah seluruh datum
dibagi dengan banyak datum.
Untuk data tunggal
x=
x1 + x 2 + ...+ x n
n
Dimana x adalah mean atau rata- rata hitung dari suatu data
xi adalah nilai datum ke i
n adalah banyaknya datum
Untuk frekuensi data tunggal
x=
f 1 x1 + f 2 x 2 + ...+ f k x k 1 k
= ∑ f i xi
n
n i =1
Dimana x adalah mean atau rata- rata hitung dari suatu data
fi adalah frekuensi dari xi
xi adalah nilai datum pada kelas ke i
k adalah banyaknya kelas
n = f1 + f2 + … +fk adalah banyaknya semua datum
Untuk frekuensi data kelompok
x=
f 1 m1 + f 2 m 2 + ...+ f k m k 1 k
= ∑ f i mi
n
n i =1
Dimana : x adalah mean atau rata- rata hitung dari suatu data
fi adalah frekuensi dari xi
Bab 10: Statistika
557
mi adalah nilai tengah data pada kelas ke i
k adalah banyaknya kelas
n = f1 + f2 + … +fk adalah banyaknya semua datum
ƒ
MEDIAN
Median dari suatu data yang telah diurutkan datanya dari nilai datum
yang terkecil ke nilai datum yang terbesar adalah datum yang membagi
suatu data terurut menjadi dua bagian yang sama.
Untuk data tunggal
Jika banyaknya datum n ganjil maka mediannya adalah nilai datum ke
.
Jadi Median =
Sedangkan jika banyaknya datum n genap maka mediannya adalah rata
– rata dari dua nilai datum yang ditengah yaitu
Untuk Data Kelompok
558
Bab 10: Statistika
dimana Lmed = tepi bawah kelas yang memuat median
n = f1 + f2 + … +fk adalah banyaknya semua datum
(∑ f )med = jumlah frekuensi sebelum median
fmed = frekuensi kelas yang memuat median
P = panjang interval
ƒ
MODUS
Modus dari suatu data adalah nilai datum yang paling sering muncul.
Untuk Data tunggal
Modus dari suatu data adalah nilai datum yang paling sering muncul
atau nilai datum yang mempunyai frekuensi terbesar.
Untuk Data kelompok
dimana Mo = modus dari suatu data
LMo = tepi bawah kelas modus
∆ 1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
∆ 2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
P = panjang interval
Bab 10: Statistika
559
CONTOH 10.3.1
Tentukan mean, median dan modus dari data tunggal berikut ini :
100,110,105,120,80,90, 105,125,120,135, 120
Penyelesaian :
Data diatas termasuk data tunggal
a.
Mean dari data tersebut adalah
x=
100 + 110 + 105 + 120 + 80 + 90 + 105 + 125 + 120 + 135 + 120
11
= 111,18
b. Untuk menentukan median, kita urutkan terlebih dahulu datumnya
dari yang terkecil yaitu
80,90, 100,105,105,110,120,120,120,, 125,135
Karena banyaknya datum ada 11 maka median adalah nilai datum ke
11 + 1
= 6. Jadi median = 110
2
b. Dari data diatas terlihat bahwa datum yang sering muncul
adalah 120 maka modusnya = 120
CONTOH 10.3.2
Tentukan mean, median dan modus dari frekuensi data tunggal nilai
matematika SMK Nusantara berikut ini :
Nilai ( Xi)
Banyaknya siswa ( fi )
fi Xi
3
2
6
4
3
12
560
Bab 10: Statistika
5
10
50
6
6
36
7
7
49
8
8
64
9
4
36
Jumlah
40
253
Penyelesaian :
a. Mean x =
∑fx
i
n
i
=
253
= 6,325
40
b. Karena banyaknya data 40 maka median
Median =
1
( x n + xn )
+1
2
2
2
=
1
( x 20 + x 21 )
2
=
1
(6+6)
2
=6
c. Dari data diatas terlihat bahwa frekuensi terbesar adalah 10 dengan
nilai matematika (nilai datum) 5. Jadi modusnya adalah 5
CONTOH 10.3.3
Tentukan mean, median modus dari frekuensi data kelompok hasil test
IQ siswa SMK” Tunas Baru berikut ini :
Bab 10: Statistika
561
Tabel 10.2.3 . Hasil test IQ siswa SMK “ Tunas Baru”
No
Interval
Tepi Kls
mi
fi
fkomi
1
80-87
79,5-87,5
83,5
5
5
2
88-95
87,5-95,5
91,5
12
17
3
96-103
95,5-103,5
99,5
6
23
4
104-111
103,5-111,5
107,5
5
28
5
112-119
111,5-119,5
115,5
10
38
6
120-127
119,5-127,5
123,5
10
48
7
128-135
127,5-135,5
131,5
2
50
Sumber : SMK “Tunas Baru” tahun 2007
Penyelesaian :
a. Mean
x=
f 1 m1 + f 2 m 2 + ...+ f k m k 1 k
= ∑ f i mi
n
n i =1
562
Bab 10: Statistika
5 . 83,5 + 12 . 91,5 + 6 . 99,5 + 5 .107,5 + 10 . 115,5 + 10 . 123,5 + 2 . 131,5
5 + 12 + 6 + 5 + 10 + 10 + 2
5303
=
50
= 106,06
=
b. Karena banyaknya data ada 50 maka Median terletak diantara data
ke-25 dan ke-26, sehingga berada dalam kelas nomer 4 dimana
Lmed = tepi bawah kelas yang memuat median =103,5
n
= jumlah semua data n =
∑f
i
=50
(∑ f )med = jumlah frekuensi sebelum median =23
fmed = frekuensi kelas yang memuat median = 5
P = panjang interval =11,5-103,5 = 8
Jadi
1

 .50 − 23 
8
Median = 103,5 +  2
5






= 106,7
c. Dari tabel terlihat bahwa frekuensi terbesar adalah 12 pada kelas ke 2
maka kelas modus = kelas ke-2 sehingga
LMo = tepi bawah kelas modus = 87,5
∆ 1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
Bab 10: Statistika
563
= 12 -5 = 7
∆ 2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
= 12 -6 = 6
P = panjang interval = 95,5-87,5 = 8
Jadi
10.3.2 UKURAN PENYEBARAN
Ukuran yang menyatakan seberapa jauh pengamatan (data) menyebar
dari rata-ratanya disebut sebagai Ukuran Keragaman / Penyebaran.
ƒ
JANGKAUAN / RENTANG
Untuk data tunggal
Jangkauan dari suatu data adalah selisih antara nilai datum terbesar
dengan nilai datum terkecil sehingga
564
Bab 10: Statistika
Jangkauan = nilai datum terbesar – nilai datum terkecil
Untuk data kelompok
Jangkauan = tepi atas kelas tertinggi – tepi bawah kelas terkecil
ƒ
¾
JANGKAUAN SEMI ANTAR KUARTIL
Menentukan Kuartil
Kuartil adalah suatu nilai yang membagi sekumpulan data menjadi
empat bagian sama banyak.
Untuk data tunggal
Untuk data tunggal, data diurutkan terlebih dahulu dari nilai datum
yang terkecil ke nilai datum yang terbesar
Kuartil I ( Q1 ) = nilai datum yang memisahkan data
1
bagian
4
berada dibawahnya
Kuartil II ( Q2 ) =: nilai datum yang memisahkan data
1
bagian
2
berada dibawahnya
Kuartil III( Q3 ) =: nilai datum yang memisahkan data
3
bagian
4
berada dibawahnya
Dari pengertian diatas,terlihat bahwa kuartil II tidak lain adalah median
Bab 10: Statistika
565
Untuk data kelompok
Nilai kuartil I ( Q1 ), nilai kuartil II ( Q2 ) = median dan nilai kuartil
III ( Q3 ) untuk data kelompok dapat ditentukan dengan rumus sebagai
berikut :
Qk = LQk
k
 4 n − (∑ f )Qk
+
f Qk




 p , dengan k =1, 2, 3


Dimana Qk = kuartil k0
LQk = tepi bawah kelas yang memuat Qk
n = jumlah semua data yaitu n =
(∑ f )
Qk
∑f
i
= jumlah frekuensi sebelum kelas Qk
f Qk = frekuensi kelas yang memuat Qk
P = panjang interval
¾
Menentukan Jangkauan Semi antar Kuartil
Jangkauan Antar Kuartil = Kuartil 3 – Kuartil 1
Jangkauan Semi Antar Kuartil = ½ (Kuartil 3 – Kuartil 1)
566
ƒ
Bab 10: Statistika
SIMPANGAN RATA – RATA
Simpangan rata-rata dari suatu data menyatakan ukuran berapa jauh
penyebaran nilai–nilai data terhadap nilai rata-rata
Untuk data tunggal
Simpangan rata-rata dari nilai-nilai data tunggal x1, x2, x3,… xn adalah
SR =
1 n
∑ xi − x
n i =1
Dimana x = nilai rata-rata dari suatu data
Untuk data kelompok
SR =
1 k
∑ f i mi − x
n i =1
dimana n = banyaknya datum
k = banyaknya kelas
fi = frekuensi kelas ke-i
mi = nilai tengah kelas ke i
x = nilai rata-rata dari suatu data
ƒ
VARIANSI DAN SIMPANGAN BAKU
Untuk data tunggal
Bab 10: Statistika
567
Ragam atau variansi dari nilai-nilai data tunggal x1, x2, x3,… xn adalah
Sedangkan simpangan bakunya adalah
S = var iansi
Dimana x = nilai rata-rata dari suatu data
Untuk data kelompok
Sedangkan simpangan bakunya adalah
S = var iansi
dimana n = banyaknya datum
k = banyaknya kelas
fi = frekuensi kelas ke-i
mi = nilai tengah kelas ke i
x = nilai rata-rata dari suatu data
ƒ
ANGKA BAKU
568
Bab 10: Statistika
Angka Baku dari nilai datum x dari suatu data adalah
z=
x−x
S
Dimana x = nilai rata-rata dari suatu data
S = simpangan baku dari suatu data
ƒ
KOEFISIEN VARIASI SAMPEL
Koefisien variasi sample adalah penyimpangan data relatif yang
umumnya disajikan dalam persen. Koefisien variasi sample ( CV ) dari
suatu data adalah
CV =
S
× 100 %
x
Dimana x = nilai rata-rata dari suatu data
S = simpangan baku dari suatu data
CONTOH 10.3.4
Dari contoh sebelumnya, Tentukan kuartil 1, kuartil 2, kuartil 3,
jangkauan antar kuartil dan jangkaun semi antar kuartil, dari data IQ 50
siswa SMK “Tunas Baru”.
Penyelesaian :
Data terurut adalah
80
84
85
86
87
88
88
88
89
89
Bab 10: Statistika
89
89
92
92
93
94
569
95
96
97
100
103 103 103 104 104 110 110 111 112 113
115 116 117 117 118 118 119 119 121 122
123 123 125 125 127 127 127 127 128 129
Untuk menentukan kuartil 1, kuartil 2 dan kuartil 3 maka kita tentukan
terlebih dahulu kuartil 2 yaitu nilai datum yang membagi data menjadi
2 bagian yang sama. Karena data ada 50 maka kuartil 2 = median
adalah rata-rata dari dua nilai datum yang ditengah yaitu
Kuartil 2 =
=
1
[x 25 + x 26 ]
2
1
( 104 + 110 )
2
= 107
Karena
dari
1
data ada 25 datum maka kuartil 1 merupakan nilai tengah
2
1
bagian bawah data atau nilai tengah dari semua datum yang
2
berada sebelum kuartil 2 yaitu
Kuarti 1 = x13 = 92
Sedangkan kuartil 3 merupakan nilai tengah dari semua datum yang
berada setelah kuartil 2 yaitu
Kuarti 3 = x 25+13 = x38 = 119
Jangkauan antar kuartil = kuartil 3 – kuartil 1= 119 – 92 = 27
570
Bab 10: Statistika
Jangkauan semi antar kuartil =
1
( kuartil 3 – kuartil 1) = 13,5
2
CONTOH 10.3.5
Dari tabel frekuensi data kelompok IQ 50 siswa SMK “Tunas Baru”
Tentukan Kuartil 1, kuartil 2, kuartil 3, simpangan rata-rata dan
simpangan baku dari data tersebut ]
Penyelesaian :
Tabel 10.2.3 . Hasil test IQ siswa SMK “ Tunas Baru”
No
Interval
Tepi Kls
mi
fi
fkomi
1
80-87
79,5-87,5
83,5
5
5
2
88-95
87,5-95,5
91,5
12
17
3
96-103
95,5-103,5
99,5
6
23
4
104-111
103,5-111,5
107,5
5
28
5
112-119
111,5-119,5
115,5
10
38
6
120-127
119,5-127,5
123,5
10
48
7
128-135
127,5-135,5
131,5
2
50
Sumber : SMK “Tunas Baru” tahun 2007
a. Menentukan kuartil 1
Dari contoh soal 10.3.4, kuartil 1 adalah nilai dantum ke-13
sehingga kelas yang memuat kuartil 1( Q1 ) adalah kelas ke-2 yaitu
Bab 10: Statistika
571
LQ1 = tepi bawah kelas yang memuat Q1 = 87,5
n = jumlah semua data yaitu n =
∑f
i
= 50
(∑ f )
= jumlah frekuensi sebelum kelas Q1 = 5
f Q1
= frekuensi kelas yang memuat Q1 = 12
Q1
P
= panjang interval = 95,5 – 87,5 = 8
Jadi
1

 4 n − (∑ f )Q1 
Kuartil 1 = Q1 = LQ1 + 
p
f Q1




1

 4 . 50 − 5 
= 87,5 + 
8
 12 


= 87,5 + 5
= 92,5
b. Menentukan kuartil 2
Dari contoh soal 10.3.4, kuartil 2 adalah rata-rata nilai dantum ke25 dan nilai dantum ke-26 sehingga kelas yang memuat kuartil 2
( Q2 ) adalah kelas ke-4 yaitu
LQ2 = tepi bawah kelas yang memuat Q2 = 103,5
n
= jumlah semua data yaitu n =
(∑ f )
Q2
∑f
i
= 50
= jumlah frekuensi sebelum kelas Q2 = 23
f Q2 = frekuensi kelas yang memuat Q2 = 5
572
Bab 10: Statistika
P
= panjang interval = 8
Jadi
Kuartil 2 = Q2 = LQ2
2
 4 n − (∑ f )Q2
+
f Q2




p


2

 4 . 50 − 23 
= 103,5 + 
8
5




= 103,5 + 3.2
= 106,7
c.
Menentukan kuartil 3
Dari contoh soal 10.3.4, kuartil 3 adalah nilai dantum ke-38
sehingga kelas yang memuat kuartil 1( Q3 ) adalah kelas ke-5 yaitu
LQ3 = tepi bawah kelas yang memuat Q3 = 111,5
n = jumlah semua data yaitu n =
(∑ f )
Q3
∑f
i
= 50
= jumlah frekuensi sebelum kelas Q3 = 28
f Q3 = frekuensi kelas yang memuat Q3 = 10
P = panjang interval = 8
Jadi
3

n − (∑ f )Q 
3
Kuartil 3 = Q = L +  4
p
Q3
3
f Q3




Bab 10: Statistika
573
3

. 50 − 28 
8
= 111,5 +  4

10




= 111,5 + 7,6
= 119,1
d. Dari contoh 10.3.3, diperoleh mean x = 106,06 sehingga
mi
fi
mi − x
f i mi − x
83,5
5
22,56
112,8
91,5
12
14,56
174,72
99,5
6
6,56
39,36
107,5
5
1.44
7.2
115,5
10
9,44
94,4
123,5
10
17,44
174,4
131,5
2
25,44
50,88
jumlah
653,76
Jadi simpangan rata- ratanya adalah
SR =
=
1 k
∑ f i mi − x
n i =1
1
. 653,76
50
= 13,0752
e. Dari contoh 10.3.3, diperoleh mean x = 106,06 sehingga
574
Bab 10: Statistika
fi
mi
mi − x
(m
i
−x
)
2
(
f i mi − x
)
2
83,5
5
-22,56
508,9536
2544,768
91,5
12
-14,56
211,9936
2543,9232
99,5
6
-6,56
63,0336
258,2016
107,5
5
1.44
2,0736
10,368
115,5
10
9,44
89,1136
891,136
123,5
10
17,44
304,1536
3041,536
131,5
2
25,44
647,1936
1294,3872
Jumlah
10584,32
Jadi variansi data tersebut adalah
S2=
=
(
1 k
∑ f i mi − x
n i =1
)
2
1
10584 ,32
50
= 211,6864
sehingga simpangan bakunya adalah
S = var iansi = 211,6864 =14,54944672
CONTOH 10.3.6
Pada ulangan umum matematika dari 150 siswa SMK, rata-rata nilai
adalah 78 dengan simpangan baku 8. Dari hasil evaluasi keaktifan
Bab 10: Statistika
575
siswa dapat dilihat bahwa waktu belajar mereka rata-rata 15 jam per
minggu dengan simpangan baku 3 jam per minggu. Mana yang lebih
homogin, nilai matematika atau waktu belajar mereka.
Jawab
Koefisien Variasi (CV) nilai matematika =
S
× 100 %
x
= (8/78) x 100%
= 10,25641026 %
Koefisien Variasi (CV) waktu belajar = (3/15) x 100% = 20 %
Karena CV nilai matematika lebih kecil daripada CV waktu belajar
maka nilai matematika lebih homogin dibandingkan waktu belajar
mereka.
CONTOH 10.3.7
Pada ulangan umum matematika dari 150 siswa SMK, rata-rata nilai
adalah 78 dengan simpangan baku 8. Tetapi nilai ulangan umum Fisika
mempunyai rata-rata 73 dengan simpangan baku 7,6. Farhan mendapat
nilai 75 pada ulangan matematika dan 71 pada ulangan fisika. Pada
ulangan apakah Farhan mendapat nilai lebih baik.
Penyelesaian :
Angka baku / Nilai standart matematika Farhan adalah
576
Bab 10: Statistika
z=
x − x (75 − 78)
=
= −0,375
8
S
Nilai standart fisika Farhan adalah
z=
( 71 − 73 )
= − 0,26315789
7,6
Karena nilai standart nilai fisika lebih besar daripada nilai matematika
maka nilai fisika Farhan lebih baik dari pada nilai matematikanya.
• RANGKUMAN
•
Statistika adalah pengetahuan yang terkait dengan metode
pengumpulam informasi, pengolahan, analisis, penarikan
kesimpulan dan pembuatan keputusan.
•
Populasi adalah keseluruhan obyek yang menjadi perhatian
atau obyek dari semua pengukuran yang mungkin dibuat untuk
suatu permasalahan tertentu.
Sampel adalah himpunan bagian dari populasi atau sebagian
obyek dari pengukuran yang terpilih dari suatu populasi.
•
Data adalah keterangan yang dijaring dalam bentuk angka (data
kuantitatif) atau lambang (data kualitatif) dari hasil pengamatan.
•
Data berukuran besar disajikan dalam bentuk tabel, diagram,
dan grafik.
•
Ukuran yang menunjukkan pusat segugus data disebut ukuran
pemusatan. Ukuran yang menyatakan seberapa jauh
pengamatan (data) menyebar dari rata-ratanya disebut sebagai
ukuran penyebaran. Untuk mengetahui sebaran / distribusi
segugus data setangkup atau tidak dipakai ukuran kemiringan.
Bab 10: Statistika
577
SSO
OAALL LLAATTIIH
HAAN
N 1100--33
Kerjakan soal-soal berikut
1. Tentukan mean, median, modus, kuartil 1, kuartil 2, kuartil 3,
jangkauan semi kuartil, simpangan rata-rata dan simpangan baku
dari data berikut ini :
a. 35,38,40,30,55,40,40,56,40,44,54, 56,39
b. 101,104,105,80,103,120,135,105,134,135,120,120,101,120
2. SMK “Budi Mulia” mempunyai 19 karyawan. Data umur masingmasing karyawan adalah sebagai berikut : 27, 28, 40, 31, 35, 55,
32, 43, 30, 27, 31, 33, 45, 50, 24, 54, 30, 35, dan 55.
Tentukan kuartil 1, kuartil 2, kuartil 3, jangkauan semi kuartil,
simpangan rata-rata dan simpangan baku
3. Tentukan mean, median, modus, kuartil 1, kuartil 2, kuartil 3,
jangkauan semi kuartil, simpangan rata-rata dan simpangan baku
dari data nilai bahasa Inggris SMK” Nusantara” berikut ini :
Nilai ( Xi)
Banyaknya siswa ( fi )
3
5
4
6
5
10
6
8
578
Bab 10: Statistika
7
12
8
7
9
4
Jumlah
52
11. Diberikan hasil tryout 10 siswa peserta olimpade
Siswa
Matematika
B. Inggris
B. Indonesia
1
92
90
90
2
89
91
92
3
90
87
89
4
92
83
87
5
87
93
85
6
90
84
83
7
87
90
82
8
92
85
80
9
90
90
88
10
85
92
86
i.
Tentukan rata-rata, median dan modus dari hasil tryout.
j.
Tentukan simpangan baku hasil tryout.
k. Mana dari ketiga nilai yang menunjukkan kemampuan siswanya
lebih homogin.
12. Dari tabel distribusi frekuensi data kelompok nilai matematika pada
soal latihan sub-bab 10.2 no 1, tentukan mean, median, modus
Bab 10: Statistika
579
kuartil 1, kuartil 2, kuartil 3, jangkauan semi kuartil, simpangan
rata-rata dan simpangan baku dari data tersebut
Bab
11
MATEMATIKA KEUANGAN
11. Matematika Keuangan
Dalam urusan bisnis dan keuangan tidak akan lepas dari perhitungan
matematika. Seorang pengusaha dalam kehidupannya sering harus
berurusan dengan bank ataupun pemilik modal untuk menjalankan
bisnisnya. Pada saat pinjam di Bank atau ke pemilik Modal perlu
menghitung
berapa
keuntungan
atau
kerugian
yang
mungkin
dihadapinya. Untuk itu diperlukan matematika keuangan bagi
pengusaha dalam menjalankan bisnisnya.
11.1 BUNGA TUNGGAL DAN BUNGA MAJEMUK
Dalam keseharian, sering ditemui bahwa seseorang membeli mobil
secara angsuran dengan bunga 10% pertahun atau seseorang meminjam
uang di bank dengan bunga 2 % per bulan. Jadi kata bunga bukanlah
kata asing di telinga masyarakat Indonesia.
581
582
Bab 11: Matematika Keuangan
Pengertian Bunga
Secara umum “bunga” dapat diartikan sebagai jasa yang berbentuk
uang yang diberikan oleh seorang peminjam kepada orang yang
meminjamkan modal atas persetujuan bersama.
Jika seseorang meminjam uang ke bank sebesar M rupiah dengan
perjanjian bahwa setelah satu bulan dari waktu peminjaman, harus
mengembalikan pinjaman tersebut sebesar ( M + B ) rupiah, maka
orang tersebut telah memberikan jasa terhadap bank sebesar B rupiah
selama satu bulan. Jasa sebesar B rupiah disebut dengan bunga,
sedangkan M rupiah merupakan besarnya pinjaman yang disebut
dengan modal.
Jila pinjaman tersebut dihitung prosentase bunga terhadap besarnya
modal, diperoleh :
B
× 100 %
M
disebut suku bunga. Besar suku bunga berlaku pada lama waktu
perjanjian antara peminjam dengan yang diberi pinjaman. Secara
umum, pengertian suku bunga dapat dituliskan sebagai berikut :
Jika besar modal pinjaman adalah M0 dan besar bunga adalah B, maka
besar suku bunga persatuan waktu dituliskan dengan b, didefinisikan
sebagai
b=
B
× 100 %
M0
Bab 11: Matematika Keuangan
583
Jika besar bunga hanya dihitung dari modal dan pembayaran dilakukan
sesuai dengan waktu perjanjian, maka bunga yang berkaitan disebut
bunga tunggal.
Hubungan antara besar modal, besar suku bunga, dan besar
pengembalian dinyatakan dengan :
M = M0 +
p
M0
100
atau
p 

M = M 0 1 +

 100 
dengan: M menyatakan besarnya pengembalian
M 0 menyatakan besar pinjaman (modal) dan
p menyatakan besar suku bunga dalam %.
CONTOH 11.1.1
Diketahui suatu modal sebesar Rp 3.000.000 dengan suku bunga 15%
pertahun. Tentukan besarnya bunga tunggal tersebut.
a. untuk jangka waktu 8 bulan
b. untuk jangka waktu 20 bulan
Penyelesaian:
Karena besarnya suku bunga pertahun adalah 15%, maka besarnya
bunga tunggal pertahun adalah :
584
Bab 11: Matematika Keuangan
Sehingga diperoleh:
a. Besarnya bunga tunggal untuk jangka waktu 8 bulan adalah
(8/12) x Rp 450.000 = Rp 300.000,b. Besarnya bunga tunggal untuk jangka waktu 20 bulan adalah
(20/12) x Rp 450.000 = Rp 750.000,-
CONTOH 11.1.2
Pak Didik meminjam modal di bank sebesar Rp 1.600.000,- yang harus
dilunasi dalam jangka waktu satu tahun dengan besar pengembalian 5/4
dari besarnya pinjaman. Tentukan besarnya bunga pertiga bulan.
Penyelesaian:
Besar pinjaman M 0 = Rp 1.600.000
Besarnya pengembalian M = (5/4) × Rp1.600.00 0 = Rp 2.000.000
Besarnya bunga dalam satu tahun adalah
B = M − M0
= Rp 2.000.000 − Rp 1.600.000 = Rp 400.000
Besarnya suku bunga pertahun adalah b =
400.000
x 100% = 25%
1.600.000
Jadi besarnya suku bunga pe rtigabulan adalah
3
x 25% = 6,25%
12
CONTOH 11.1.3
Jika suatu modal sebesar Rp 15.000.000,- dibungakan dengan bunga
tunggal dengan suku bunga sebesar 1,2% perbulan. Dalam waktu
berapa bulan, agar modal tersebut menjadi dua kali dari modal semula?
Bab 11: Matematika Keuangan
585
Penyelesaian:
Besar bunga untuk satu bulan adalah
B1 =
1,2
x Rp 15.000.000 = Rp. 180.000
100
Besar bunga selama n bulan adalah
B n = n × Rp180.000
Besar modal setelah n bulan adalah
M n = Rp15.000.0 00 + B n
= Rp15.000.0 00 + [n × Rp180.000 ]
Setelah n bulan, modal menjadi dua kali modal semula.
Jadi M n = 2 × Rp15.000.0 00 = Rp30.000.0 00
Akibatnya
Rp30.000.0 00 = Rp15.000.0 00 + [n × Rp180.000 ]
atau
Rp15.000.0 00 = [n × Rp180.000 ]
Sehingga
n=
Rp. 15.000.000
= 88,33
Rp. 180.000
Jadi waktu yang diperlukan agar modal menjadi dua kali modal semula
adalah 88,33 bulan.
Didalam bunga tunggal ini dikenal dua jenis bunga tunggal, yaitu:
1. bunga tunggal eksak
2. bunga tunggal biasa.
586
Bab 11: Matematika Keuangan
Bunga tunggal eksak adalah bunga tunggal yang dihitung berdasarkan
jumlah hari dalam satu tahun secara tepat (satu tahun ada 365 hari),
sedangkan untuk tahun kabisat, yaitu suatu tahun yang habis dibagi
empat, satu tahun ada 366 hari.
Bunga tunggal biasa adalah bunga tunggal yang dihitung untuk setiap
bulannya terdapat 30 hari (satu tahun ada 360 hari).
CONTOH 11.1.4
Suatu modal sebesar Rp 72.000.000,- dengan suku bunga 10%
pertahun, jika akan dipinjamkan selama 50 hari. Tentukan besarnya
bunga tunggal eksak dan bunga tunggal biasa, jika peminjaman
dilakukan:
a. Pada tahun 2004
b. Pada tahun 2007.
Penyelesaian:
a. Peminjaman dilakukan pada tahun 2004
Besarnya bunga tunggal biasa adalah :
50
10
x
x Rp. 72.000.000 = Rp. 100.000
360 100
Besarnya bunga tunggal eksak adalah :
50
10
x
x Rp. 72.000.000 = Rp. 98.360,65
366 100
Bab 11: Matematika Keuangan
587
(Karena 2004 habis dibagi empat, maka banyaknya hari dalam tahun
2004 adalah 366)
b. Peminjaman dilakukan pada tahun 2007
Besarnya bunga tunggal biasa adalah :
50
10
x
x Rp. 72.000.000 ,- = Rp. 100.000,360 100
Besarnya bunga tunggal eksak adalah :
50
10
x
x Rp. 72.000.000 = Rp. 98.630.136 ,99
365 100
Dari contoh di atas, dapat dilihat bahwa besar bunga tunggal biasa tidak
tergantung pada tahun waktu peminjaman dilakukan (setiap tahun ada
360 hari). Sedang besar bunga tunggal eksak samgat tergantung pada
tahun, dimana waktu peminjaman dilakukan (tahun kabisat atau bukan
kabisat).
Untuk menentukan banyaknya hari dalam peminjaman, dikenal dua
metode perhitungan, yaitu waktu rata-rata dan waktu eksak yang
didefinisikan sebagai berikut :
Waktu rata-rata adalah waktu yang dihitung berdasarkan banyaknya
hari dalam satu bulan terdapat 30 hari. Sedangkan Waktu eksak adalah
waktu yang dihitung berdasarkan banyaknya hari dalam satu bulan
yang dijalani secara tepat.
Menentukan waktu rata-rata
Cara menentukan waktu rata-rata adalah:
588
Bab 11: Matematika Keuangan
i.
Menghitung banyaknya hari pada saat bulan peminjaman, yaitu
30 dikurangi tanggal peminjaman
j.
Menghitung banyaknya hari pada bulan-bulan berikutnya
dengan menggunakan ketentuan bahwa satu bulan ada 30 hari.
k. Menghitung banyaknya hari pada bulan terakhir dari batas
tanggal peminjaman.
l.
Banyaknya hari peminjaman adalah jumlahan dari ketiga
langkah di atas.
CONTOH 11.1.5
Hitung waktu rata-rata dari tanggal 7 Maret 2004 sampai 22 Pebruari
2007.
Penyelesaian:
Banyaknya hari pada saat peminjaman adalah 30-7=23
Banyaknya hari pada bulan berikutnya pada tahun yang sama saat
peminjaman adalah 9x30=270
Banyaknya hari pada tahun berikutnya setelah tahun peminjaman
adalah 2x360=720
Banyaknya hari pada tahun akhir peminjaman adalah 30+22=52
Jadi waktu rata-rata = 23+270+720+52 = 1065
Jadi waktu rata-rata dari tanggal 7 Maret 2004 sampai tanggal 22
Pebruari 2007 adalah 1065 hari.
Bab 11: Matematika Keuangan
589
CONTOH 11.1.6
Hitung waktu rata-rata dari tanggal 17 Agustus 2007 sampai 2
Desember 2007.
Penyelesaian:
Waktu rata-rata = (30 - 17) + 3(30) + 2
= 13 + 90 + 2 = 123
Jadi waktu rata-rata dari tanggal 17 Agustus 2007 sampai tanggal 2
Desember 2007 adalah 123 hari.
Menentukan waktu eksak
Ada dua cara menentukan waktu eksak, yaitu:
e. Dengan menggunakan tabel.
f.
Dengan menghitung banyaknya hari yang dijalani.
Dalam buku ini hanya dibahas cara kedua, yaitu menghitung hari pada
bulan yang dijalani secara tepat.
CONTOH 11.1.7
Hitung waktu eksak dari tanggal 5 Januari 2007 sampai 25 April 2007.
Penyelesaian:
Waktu eksak = (31 - 5) + (28 + 31) + 25
= 26 + 59 +25 = 110
590
Bab 11: Matematika Keuangan
Jadi waktu eksak dari tanggal 5 Januari 2007 sampai tanggal 25 April
2007 adalah 110 hari.
SSO
OAALL LLAATTIIH
HAAN
N 1111--11
1. Budi Utomo mempunyai uang sebesar Rp. 10.000.000,- selanjutnya
uang ditabung pada Bank dengan bunga tetap 12%/tahun. Tentukan
jumlah uang Budi Utomo setelah di tabung selama 10 bulan.
2. Pak Wira menyarankan Budi Utomo untuk usaha membuka Toko
Mracang, usaha tersebut membutuhkan modal Rp. 10.000.000,-.
Dari usaha tersebut didapat keuntungan setiap bulan sebesar Rp.
450.000,-. Bagaimana keputusan dari Budi Utomo ? Berapa
keuntungan usahanya selama 10 bulan ? Berapa jumlah uangnya
selama 10 bulan ?
3. Usaha Toko Mracang membutuhkan 1 orang tenaga kerja, gaji
Pegawai tiap bulan sebesar Rp. 350.000,-
Apakah masih
menguntungkan usaha tersebut dibandingkan apabila uangnya
ditabung pada Bank ?.
4. Selain
harus
menggaji
Pegawai,
modal
untuk
membeli
perlengkapan Toko sebesar Rp. 3.000.000,- terjadi penyusutan
setiap bulan sebesar 1% dimulai pada bulan ke-2. Apakah usaha
Toko Mracang masih menguntungkan ?
5. Tabungan pada Bank berdasarkan peraturan pemerintah dikenakan
pajak 15% dari bunga, Bandingkan dengan soal no. 4
6. Pemerintah mengeluarkan pinjaman lunak untuk Usaha Kecil
dan menengah, Besar pinjaman Rp 20.000.000 dengan bunga
Bab 11: Matematika Keuangan
591
8% per tahun. Dana pinjaman harus dikembalikan setelah
digunakan selama 3 tahun. Tentukan berapa besar bunga
dengan menggunakan perhitungan
a. Bunga tunggal biasa
b. Bunga tunggal eksak
11.2 DISKONTO
Selain bunga tunggal yang telah dibahas, ada juga pinjaman dengan
besar bunga tunggal yang dibayarkan pada awal peminjaman modal.
Masalah seperti ini disebut dengan diskonto. Besar suku bunganya
disebut dengan besar diskonto.
CONTOH 11.2.1
Ibu Alif meminjam uang di bank sebesar Rp 10.000.000,- dengan besar
diskonto 10% dalam jangka satu tahun. Tentukan besar uang pinjaman
saat diterima Ibu Alif.
Penyelesaian:
Besar diskonto 10% pertahun.
Jadi besar bunga dalam satu tahun adalah
10
x Rp. 10.000.000 ,- = Rp.1.000.0 00,100
Besar uang yang diterima Ibu Alif adalah
Rp10 .000 .000 ,− − Rp1.000 .000 ,− = Rp 9.000 .000 ,−
592
Bab 11: Matematika Keuangan
CONTOH 11.2.2
Pak Imron menerima pinjaman dari Bank dengan besar diskonto 12,5%
pertahun. Jika uang pinjaman pada saat diterima Pak Imron sebesar Rp
14.000.000,-. Tentukan besar pinjaman Pak Imron sebelum dipotong
dengan besarnya bunga yang telah ditentukan.
Penyelesaian:
Misal M = besarnya pinjaman Pak Imron
B = besarnya bunga diskonto selama satu tahun
maka
B=
12,5
1
xM= M
8
100
Besar pinjaman Pak Imron = besar uang yang diterima + besarnya
bunga
M = Rp14.000.0 00 + (1/8)M
Akibatnya :
M − (1/8)M = Rp14.000.0 00
(7/8)M = Rp14.000.0 00
Jadi besar pinjaman Pak Imron sebelum dipotong besarnya bunga
adalah M =
8
× Rp.14.000. 000 = Rp. 16.000.000
7
SSO
OAALL LLAATTIIH
HAAN
N 1111--22
1.
Tentukan diskonto tunggal untuk:
a. Rp 3.500.000 selama 60 hari dengan diskonto tunggal 4%
perbulan
Bab 11: Matematika Keuangan
593
b. Rp 5.000.000 selama 90 hari dengan diskonto tunggal 3,5%
perbulan
c. Rp 2.500.000 dari tanggal 5 Maret sampai 10 April diskonto
tunggal 6% perbulan
2.
Pak Budi Utomo meminjam uang di Koperasi ”Jaya Makmur”
sebesar Rp 10.000.000 dengan bunga diskonto sebesar
8%/tahun. Tentukan besar pinjaman Budi Utomo dalam
waktu selama 10 bulan.
3.
Bandingkan soal No. 1 dengan dengan menggunakan aturan
bunga tunggal, lebih menguntungkan mana (bunga tunggal
atau diskonto)?
4.
Pak Wira meminjam uang sebesar Rp 10.000.000 dan harus
dikembalikan selama 2 tahun. Pada saat menerima pinjaman
Pak wira hanya menerima Rp 9.200.000. Berapa besar suku
bunga diskonto yang harus dibayar Pak Wira dalam per tahun?
5.
Koperasi “Rukun Sentosa” menggunakan aturan pinjaman
diskonto. Pak Joko sebagai anggota koperasi ingin meminjam
uang selama 1 tahun. Suku bunga koperasi sebesar 1,5% per
bulan. Jika Pak Joko menerima uang sebesar Rp 8.000.000,
maka berapa besar pinjaman Pak Joko?
11.3 BUNGA MAJEMUK
Pada pembahasan sebelumnya telah dibahas mengenai bunga tunggal,
dengan cara bunga yang dibayarkan pada akhir periode peminjaman,
dan cara diskonto, yaitu pembayaran bunga dilakukan pada awal
periode peminjaman.
594
Bab 11: Matematika Keuangan
Pada bagian ini akan dibahas cara pembayaran bunga yang dilakukan
pada setiap akhir periode tertentu, dan besar bunga ditambahkan
(digabung) dengan modal awal, bunga pada periode berikutnya dihitung
dari besar modal yang sudah digabung dengan bunga. Pada periodeperiode berikutnya bunga dihitung analog. Pembayaran bunga semacam
ini dinamakan sebagai bunga majemuk.
Cara penggabungan bunga dapat dilakukan secara bulanan, kuartalan,
triwulanan, semesteran, atau tahunan. Beberapa istilah yang terkait
dengan masalah bunga majemuk antara lain adalah frekuensi
penggabungan, periode bunga, dan banyaknya periode bunga.
Pengertian dari masing-masing istilah tersebut adalah sebagai berikut:
a. Frekuensi penggabungan adalah banyaknya penggabungan bunga
dengan modal dalam waktu satu tahun.
b. Periode bunga adalah lamanya waktu antara dua penggabungan
bunga terhadap modal yang berurutan.
Hubungan antara modal awal dengan modal setelah n periode yang
dibungakan secara majemuk dinyatakan dalam rumus berikut.
Jika suatu modal sebesar M dibungakan dengan bunga majemuk
dengan suku bunga b = p % b untuk setiap periode bunga, maka besar
modal setelah n periode adalah Mn dengan rumus :
M n = M (1 + b) n
Bab 11: Matematika Keuangan
595
CONTOH 11.3.1
Suatu modal sebesar M dipinjamkan dengan bunga majemuk, suku
bunga ditetapkan sebesar 12% pertahun. Jika penggabungan bunganya
dilakukan triwulan. Tentukan selama 5 tahun
a. Periode bunga
b. Frekuensi penggabungan
c. Besar suku bunga untuk setiap periode
d. Banyaknya periode bunga
Penyelesaian:
a. Karena 1 triwulan = 3 bulan, maka periode bunga adalah 3 bulan.
b. Frekuensi penggabungan = 12/3 = 4
c. Besar suku bunga untuk setiap periode adalah b = (12%/4) = 3 %
d. Banyaknya periode bunga = 5 x 4 = 20.
CONTOH 11.3.2
Suatu modal sebesar M dibungakan selama 2 tahun dengan bunga
majemuk 12% pertahun, dan penggabungan bunga dilakukan
perkuartal.
Tentukan:
a. Periode bunga
b. Frekuensi penggabungan
c. Besar suku bunga untuk setiap periode
d. Banyaknya periode bunga
Penyelesaian:
a. Karena 1 kuartal = 4 bulan, maka periode bunga adalah 4 bulan.
596
Bab 11: Matematika Keuangan
b. Frekuensi penggabungan = 12/4 = 3
c. Besar suku bunga untuk setiap periode adalah b = (12% )/ 3 = 4%
d. Banyaknya periode bunga = 2 x 3 = 6.
SSO
OAALL LLAATTIIH
HAAN
N 1111--33
1. Budi Utomo mempunyai uang sebesar Rp. 10.000.000,- selanjutnya
uang ditabung pada Bank dengan bunga tetap 8%/tahun. Tentukan
jumlah uang Budi Utomo setelah di tabung selama 10 bulan.
2. Berdasarkan PP bunga tabungan dikenakan pajak 15%, selain itu
dibebani administrasi Bank Rp. 6.000,-/bulan. Buat berapa uang
Budi Utomo bila ditabung selama 10 bulan.
3. Untuk biaya hidup kuliah diluar kota setiap bulan membutuhkan
dana Rp. 750.000,- dan lama studi adalah 5 tahun. Jika saat ini
bunga tabungan Bank sebesar 9%/th, maka berapa uang yang harus
ditabung sehingga tiap bulan tidak perlu memikirkan biaya hidup ?.
4. Pak Wira menyarankan Budi Utomo untuk usaha membuka Toko
Mracang. Usaha tersebut membutuhkan modal Rp. 10.000.000,-.
Dari usaha tersebut didapat keuntungan setiap bulan Rp. 450.000,-.
Bagaimana keputusan dari Budi Utomo ? Berapa keuntungan
usahanya selama 10 bulan ? Berapa jumlah uangnya selama 10
bulan ?
5. Usaha Toko Mracang membutuhkan 1 orang tenaga kerja, gaji
Pegawai tiap bulan sebesar Rp. 350.000,-
Apakah masih
menguntungkan usaha tersebut dibandingkan apabila uangnya
ditabung pada Bank ?.
Bab 11: Matematika Keuangan
6. Selain
harus
menggaji
Pegawai,
modal
597
untuk
membeli
perlengkapan Toko sebesar Rp. 3.000.000,- terjadi penyusutan
setiap bulan sebesar 1% dimulai pada bulan ke-2. Apakah usaha
Toko Mracang masih menguntungkan ?
7. Berapa jumlah keuntungan yang harus dicapai sehingga investasi
untuk membuka usaha lebih menguntungkan, jika usaha dibebani
gaji dan ada nilai penyusutan ?.
8. Jika laba tiap bulan naik 10% dari laba sebelumnya (No.2),
bandingkan dengan no.5
9. Untuk menambah modal Bank memberi pinjaman lunak sebesar
Rp. 20.000.000 dengan bunga 17%/th dengan jangka waktu 5 tahun
dengan besar angsuran tetap Berapa angsuran tiap bulan ?.
10. Ada penawaran yang menarik berupa pinjaman dari 4 Bank sebagai
berikut:
Nama Bank
Besar Pinjaman
Jangka waktu
Besar Angsuran
Bank A
Rp 30,000,000
5 tahun
Rp
837,500
Bank B
Rp 20,000,000
5 tahun
Rp
550,000
Bank C
Rp 24,000,000
4 tahun
Rp
770,000
Bank D
Rp 22,000,000
4 tahun
Rp
687,500
Pinjaman dari Bank mana yang akan dipilih ?
11.4 NILAI TUNAI, NILAI AKHIR, DAN VALUTA
Dalam dunia perbankan, selain kata tabungan juga dikenal kata
deposito, yaitu cara penyimpanan uang di bank dengan ketentuan
bahwa penyimpan uang dapat diambil simpanannya pada waktu yang
telah ditentukan, jika diambil pada saat belum jatuh tempo maka
dikenai pinalti (denda) sesuai ketentuan yang telah disepakati.
598
Bab 11: Matematika Keuangan
Beberapa istilah yang terkait dengan deposito, antara lain adalah: nilai
akhir, nilai tunai, dan hari valuta. Pada istilah-istilah tersebut
dimaksudkan sebagai berikut.
Pada deposito, besarnya uang yang disimpan pertama kali disebut nilai
tunai, sedang besarnya uang pada saat pengembalian disebut nilai
akhir, dan saat pengambilan disebut valuta.
CONTOH 11.4.1
Sejumlah uang sebesar M didepositokan selama 2 tahun dengan suku
bunga majemuk 10% pertahun. Jika pada hari valuta, uang tersebut
menjadi Rp12.000.000. Tentukan besar uang yang telah didepositokan.
Penyelesaian:
Dalam masalah ini, akan dicari nilai tunai, dengan rumus :
M n = M (1 + b) n
atau
M =
Mn
(1 + b )n
dengan:
n=2
M 2 = Rp.12.000. 000
b = 10% = 0,1
Bab 11: Matematika Keuangan
M =
M2
(1 + 0,1)
2
=
599
Rp. 12.000.000 ,= Rp. 9.917.355, 37
1,21
Jadi besar uang yang didepositokan adalah M = Rp 9.917.355,37.
CONTOH 11.4.2
Modal sebesar Rp 6.000.000 dibungakan berdasarkan bunga majemuk
dengan bunga 5% pertahun. Tentukan besar modal setelah dibungakan
selama 3 tahun.
Penyelesaian:
Dengan rumus :
M n = M (1 + b) n
dimana :
M = Rp 6.000.000
b = 5% = 0,05
n=3
diperoleh
M 3 = Rp6.000.000 × (1 + 0.05) 3
= Rp6.000.00 0 × (1.157625)
= Rp6.945.75 0
Jadi besar modal selama 3 tahun adalah Rp6.945.750,CONTOH 11.4.3
Modal sebesar Rp 10.000.000 dipinjamkan dengan bunga majemuk.
Penggabungan bunga dilakukan persemester dan besar bunga adalah
12% pertahun. Tentukan lama modal tersebut dipinjamkan setelah
modal menjadi Rp 15.041.000
600
Bab 11: Matematika Keuangan
Penyelesaian:
Karena 1 semester = 6 bulan, maka periode bunga adalah 6 bulan. Jadi
frekuensi penggabungan = 12/6 = 2
Suku bunga setiap periode adalah 12% : 2 = 6%.
Berdasarkan rumus M =
Mn
(1 + b )n
, diperoleh :
(1 + 0.06) n = M n /M
(1 + 0.06) n =
Rp15.041.000
= 1.5041
10.000.000
Dengan rumus logaritma, diperoleh n = 7.
Jadi lama modal tersebut dipinjamkan adalah 7 semester atau 3,5 tahun.
Pada pembahasan di atas, periode bunga adalah bulat. Selanjutnya jika
periode bunga berupa pecahan, maka untuk cara mencari nilai akhir
adalah sebagai berikut:
1. Tentukan nilai akhir dengan bunga majemuk untuk periode bunga
bulat.
2. Tambahkan nilai akhir bunga tunggal untuk periode bunga pecahan.
CONTOH 11.4.4
Modal sebesar Rp 9.000.000 dibungakan berdasarkan bunga majemuk
dengan bunga 4% pertahun. Tentukan besar modal setelah dibungakan
selama 5 tahun 6 bulan.
Penyelesaian:
Dalam hal ini : M = Rp 9.000.000
Bab 11: Matematika Keuangan
601
b = 4% = 0,04
n = 5,5 (karena 6 bulan sama dengan 0,5 tahun)
diperoleh :
1

M 5,5 = Rp. 9.000.000 × (1,04) 5 +  (0,04)Rp. 9.000.000(1,04) 5 
2

 1

= Rp. 9.000.000(1,04) 5 1 +  (0,04 )
 2

= Rp 9.000.000 (1,216652902)(1,02)
= Rp.11.168.873,64
Jadi
besar
modal
setelah
5
tahun
6
bulan
adalah
adalah
M 5,5 = Rp.11.158.873,64
SSO
OAALL LLAATTIIH
HAAN
N 1111--44
1. Tentukan nilai tunai dari:
a. Rp 1.500.000 dalam tempo 10 tahun dan uang berkembang
5%/tahun
b. Rp 2.000.000 dalam tempo 8,5 tahun dan uang berkembang
5%/tahun digabung setengah tahunan
c. Rp 5.000.000 dalam tempo 6 tahun dan uang berkembang
4,85%/tahun ditambahkan kwartalan
d. Rp 4.000.000 dalam tempo 5 tahun 5 bulan dan uang
berkembang 6%/tahun digabung setengah tahunan
602
Bab 11: Matematika Keuangan
2. Pada
kelahiran
anaknya
seorang
ayah
menginginkan
menginvestasikan uang akumulasi bunga 3,5% digabungkan
setengah tahunan menjadi Rp 6.000.000. Jika anaknya berusia 21
tahun, maka berapakah yang harus diinvestasikan ?
3. Seorang debitur ingin membebaskan hutang dengan membayar:
a. Rp 8.000.000 sekarang atau
b. Rp 10.000.000 lima tahun dari sekarang
Jika uang berkembang 5% digabungkan setengah tahunan, maka
berapa yang debitur terima?
4. Hutang Rp 5.000.000 harus dibayar dalam 2 tahun dari hari ini dan
yang lain Rp 7.500.000 harus diabayar dalam 6 tahun dari hari ini
akan dilunasi dengan pembayaran tunggal 4 tahun dari hari ini.
Tentukan besarnya pembayaran tunggal jika uang bertambah 4%
majemuk kwartalan.
5. Tentukan waktu persamaan untuk membayar dua hutang Rp
250.000 untuk setiap pembayaran, satu dibayar dalam 6 bulan dan
yang lain dalam satu tahun jika uang bertambah 6% digabungkan
bulanan.
11.5 RENTE (RENTETAN MODAL)
Rente dikelompokkan kedalam rente terbatas dan rente kekal.
Selanjutnya, akan kita bahas masing – masing rente secara lebih
mendalam.
1. Rente Terbatas adalah rente dengan banyaknya angsuran atau
penambahan uang oleh pihak bank untuk tabungan maupun produk
bank yang lain menggunakan sistem bunga majemuk yaitu setiap
Bab 11: Matematika Keuangan
603
akhir periode bunganya langsung menjadi modal yang dibungakan
lagi atau dikenal dengan bunga berbunga.
Didalam sistem bunga majemuk dikenal istilah rente yaitu rentetan
modal yang dibayarkan setiap periode yang tetap. Pembayaran
yang menggunakan rente antara lain:
1. Pembayaran barang secara kredit
2. Pembayaran asuransi
3. Tabungan berjangka atau deposito
Contoh banyaknya angsuran rente adalah: 12 kali angsuran, 24 kali
angsuran, atau k kali angsuran dengan k adalah bilangan asli dan
berhingga.
2. Rente Kekal (abadi) adalah rente dengan banyaknya angsuran
tidak terbatas, misal k kali angsuran dengan k tak hingga.
Berdasarkan waktu pembayarannya rente dibedakan menjadi 2,
yaitu :
ƒ
Rente
Pranumerando
adalah
suatu
rente
dengan
waktu
pembayarannya dilakukan setiap awal periode, misal tanggal 1
setiap bulan, tanggal 1 Januari setiap tahun.
ƒ
Rente Postnumerando adalah suatu rente dengan waktu
pembayarannya dilakukan setiap akhir periode, misal tanggal 30
setiap bulan, tanggal 30 Desember setiap tahun.
Rente Pranumerando
1. Penghitungan Nilai Akhir
604
Bab 11: Matematika Keuangan
Misalkan dengan modal (M) setiap tahun dalam periode (n) tahun,
dengan suku bunga majemuk (i) per tahun. Maka nilai akhir dari
angsuran itu dapat dicari dengan cara sebagai berikut.
Angsuran dibayar pada awal periode yaitu tanggal 1 Januari dan nilai
akhir dihitung pada akhir tahun ke-n yaitu pada tanggal 31 Desember
tahun ke-n seperti pada penjelasan berikut.
Tahun Pertama
1 Januari
M(1 + i)1
Tahun Kedua
1 Januari
M(1 + i)2
Tahun Ketiga
1 Januari
M(1 + i)3
Tahun ke (n-1)
1 Januari
M(1 + i)n-1
Tahun ke n
1 Januari
M(1 + i)n +
M
k=n
31 Desember
∑ M(1 + i)
k
k −0
Jadi Nilai Akhir dari Rente Pranumerando adalah
k =n
N a = ∑ M(1 + i )
k
k =1
k =n
N a = M ∑ (1 + i )
k
k =1
Atau jika dihitung menggunakan deret, didapat
Na = M (1 + i) + M (1 + i) +…+ M (1 + i)n
yang merupakan deret Geometri, dengan
a = M (1 + i) dan r = (1 + i)
Bab 11: Matematika Keuangan
N = M (1 + i)
(1 + i) n + 1
(1 + i) - 1
N = M (1 + i)
(1 + i) n + 1
i
605
CONTOH 11.5.1
Setiap awal tahun disetorkan sejumlah uang ke bank sebanyak
Rp.1.000.000,-. Jika besar bunga 4 % pertahun, maka tentukan nilai
akhir rente pada tahun ke 3.
Penyelesaian:
M = Rp.1.000.000,n = 3, dan i = 4 %
k =n
N a = ∑ M(1 + i) k
k =1
3
= Rp1.000.00 0 × ∑ (1 + 0.04) k
k =1
= Rp1.000.00 0 × (1.04 + 1.0816 + 1.124864)
= Rp1.000.00 0 × (3.246464)
= Rp3.246.46 4
2. Penghitungan Nilai Tunai
Misalkan dengan modal (M) setiap tahun dalam periode (n) tahun,
dengan suku bunga majemuk (i) per tahun. Maka nilai tunai dari
angsuran itu dapat dicari dengan cara sebagai berikut.
606
Bab 11: Matematika Keuangan
Angsuran dibayar pada awal periode yaitu tanggal 1 Januari dan nilai
tunai dihitung pada akhir tahun ke-n yaitu pada tanggal 1 Januari
tahun ke-n seperti pada penjelasan berikut :
Tahun Pertama
1 Januari
M
Tahun Kedua
1 Januari
M/ (1 + i)
Tahun Ketiga
1 Januari
M/ (1 + i)2
Tahun ke (n-1)
1 Januari
M/ (1 + i)n-2
Tahun ke n
1 Januari
M/ (1 + i)n-1 +
M
M+M
k = n -1
∑
k =1
1
(1 + i) k
Jadi Nilai Tunai dari Rente Pranumerando adalah
k = n -1
Nt = M + M ∑
k =1
= M(1 +
k = n -1
1
(1 + i )k
1
∑ (1 + i )
k =1
k
)
Atau jika dihitung menggunakan deret, didapat suatu deret geometri
dengan a = M, dan r = 1 / (1+i), maka :
1 − (1 + i ) − n 
N t = M(1 + i )

i


CONTOH 11.5.2
Setiap awal tahun disetorkan sejumlah uang ke bank sebanyak Rp
1.000.000. Jika besar bunga 4 % pertahun, maka tentukan nilai tunai
rente pada tahun ke 3.
Bab 11: Matematika Keuangan
607
Penyelesaian:
M = Rp.1.000.000
n=3
i=4%
1 − (1 + 0,04) −3 
N t = Rp.1.000.000,-(1 + 0,04)

0,04


1 - 0,888996358 

0,04


= Rp.1.000.000,− × (1,04) × 
= Rp.1.040.000 (2,775091033)
= Rp.2.886.094,67
Rente Postnumerando
1. Penghitungan Nilai Akhir
Tahun Pertama 31 Desember M(1+i)n-1
Misalkan dengan modal (M) setiap tahun dalam periode (n) tahun,
dengan suku bunga majemuk (i) per tahun. Maka nilai akhir N a dari
angsuran itu dapat dicari dengan cara sebagai berikut :
Angsuran dibayar pada akhir periode yaitu tanggal 31 Desember dan
nilai akhir dihitung pada akhir tahun ke-n yaitu pada tanggal 31
Desember tahun ke-n seperti pada penjelasan berikut :
Tahun Kedua
31 Desember
M(1+i)n-2
Tahun Ketiga
31 Desember
M(1+i)n-3
Tahun ke (n-1)
31 Desember
M(1+i)
Tahun ke n
31 Desember
M
M
+
608
Bab 11: Matematika Keuangan
n -1
M + ∑ M(1 + i) k
k =1
Jadi Nilai Akhir dari Rente Pranumerando adalah
 n −1
k
N a = M 1 + ∑ (1 + i ) 
 k =1

Atau jika dihitung menggunakan deret geometri, didapat
Na =
[
]
M
(1 + i )n + 1
i
CONTOH 11.5.3
Pada tiap akhir tahun dimasukkan uang sebesar Rp. 4.000.000,- ke
bank. Bunga bank 5% pertahun. Pada tahun ke-3, tentukan nilai akhir
rente.
Penyelesaian:
M = Rp.4.000.000,n=3
i = 5%

3
N a = Rp.4.000.000,-1 + ∑ (1 + 0,05) 


= Rp.4.000.000,- ( 2,157625)
= Rp.8.630.500,-
2. Penghitungan Nilai Tunai
Bab 11: Matematika Keuangan
609
Misalkan dengan modal (M) setiap tahun dalam periode (n) tahun,
dengan suku bunga majemuk (i) per tahun. Maka nilai tunai N t dari
angsuran itu dapat dicari dengan cara sebagai berikut :
Angsuran dibayar pada awal periode yaitu tanggal 1 Januari dan nilai
tunai dihitung pada akhir tahun ke-n yaitu pada tanggal 1 Januari tahun
ke-n seperti pada penjelasan berikut:
M
(1 + i )
Tahun Pertama
1 Januari
Tahun Kedua
1 Januari
Tahun Ketiga
1 Januari
M
(1 + i )2
M
(1 + i )3
M
M
Tahun ke (n-1)
1 Januari
(1 + i )n -1
Tahun ke n
1 Januari
M
(1 + i )n
k =n
M
∑ (1 + i )
k =1
k
Jadi Nilai Tunai dari Rente Postnumerando adalah
k =n
N t = M∑
k =1
1
(1 + i )k
Atau jika dihitung menggunakan deret, didapat :
Nt =
[
M
(1 + i )n
i
]
610
Bab 11: Matematika Keuangan
CONTOH 11.5.4
Pada tiap akhir tahun dimasukkan uang sebesar Rp 4.000.000,- ke bank.
Bunga bank 5% pertahun. Pada tahun ke 3, tentukan harga tunai rente ?
Penyelesaian:
M = Rp.4 000.000,n=3
i = 5%
n
N t = M∑
k =1
1
(1 + i )k
 1

1
1
+
+
N 3 = Rp.4.000.000,-

2
(1 + 0,05) 3 
1 + 0,05 (1 + 0,05)
= Rp 4.000.000,- ( 0,952380952++0,907029478+0,863837598)
= Rp 4.000.000,-(2,723248029) = Rp 10.982.991,11
Rente Kekal
Rente kekal atau rente abadi adalah rente dengan banyaknya angsuran
tidak terbatas (n = ~). Maka dari hanya nilai tunainya saja yang dapat
dihitung, sedangkan nilai akhirnya tidak dapat dihitung jumlahnya.
1. Rente Kekal Pranumerando
Rente kekal pranumerando jika dijabarkan nilai tunai untuk tiap
priode merupakan deret geometri tak hingga dengan a = M, dan r =
1
, maka nilai tunai rente pranumerando kekal adalah :
1+ i
Bab 11: Matematika Keuangan
Nt =
611
M
(1 + i ) = M + M
i
i
CONTOH 11.5.5
Setiap awal tahun disetorkan sejumlah uang ke bank sebanyak
Rp.1.000.000,-. Jika besar bunga 5 % pertahun, maka tentukan harga
tunai rente kekal pada tahun ke 3.
Penyelesaian:
M = Rp 1.000.000
n=3
i=5%
M
(1 + i )
i
Rp 1.000.000,(1 + 0,05)
=
0,05
N3 =
= Rp 21.000.000,2. Rente Kekal Postnumerando
Sama
dengan
rente
kekal
pranumerando,
rente
kekal
postnumerando nilai tunainya jika dijabarkan akan berbentuk deret
geometri tak hingga dengan :
a=
M
1
M
dan r =
, sehingga N t =
(1 + i )
(1 + i )
i
612
Bab 11: Matematika Keuangan
CONTOH 11.5.6
Pada tiap akhir tahun dimasukkan uang sebesar Rp. 1.000.000,- ke
bank. Bunga bank 5% pertahun. Pada tahun ke 4, tentukan harga tunai
rente kekal.
Penyelesaian:
M = Rp 1.000.000
n=4
i = 5%
N4 =
Rp.1.000.000,= Rp.20.000.000,0,05
Jadi harga tunai rente kekal adalah Rp. 20.000.000,-.
SSO
OAALL LLAATTIIH
HAAN
N 1111--55
1. Setiap awal tahun disetorkan sejumlah uang ke bank sebanyak
Rp.1.000.000,‐. Jika besar bunga 5 % pertahun, maka tentukan
nilai akhir rente pada tahun ke 3.
2. Setiap awal tahun disetorkan sejumlah uang ke bank sebanyak
Rp 1.000.000. Jika besar bunga 5 % pertahun, maka tentukan
nilai tunai rente pada tahun ke 3.
3. Pada tiap akhir tahun dimasukkan uang sebesar Rp. 4.000.000,‐
ke bank. Bunga bank 4,5% pertahun. Pada tahun ke‐3, tentukan
nilai akhir rente.
Bab 11: Matematika Keuangan
613
4. Pada tiap akhir tahun dimasukkan uang sebesar Rp. 4.000.000,‐
ke bank. Bunga bank 4,5% pertahun. Pada tahun ke 3, tentukan
harga tunai rente ?
5. Setiap awal tahun disetorkan sejumlah uang ke bank sebanyak
Rp.1.000.000,‐. Jika besar bunga 4,5 % pertahun, maka
tentukan harga tunai rente kekal pada tahun ke 3.
11.6 ANUITAS
Anuitas adalah suatu pembayaran atau penerimaan uang secara
periodik dalam jumlah tetap dan dalam jangka waktu yang tetap pula.
Jumlah pembayaran anuitas terdiri dari dua bagian, yaitu:
- Angsuran pelunasan pinjaman
- Pembayaran bunga.
Menentukan Besarnya Anuitas
Untuk menentukan besarnya anuitas dapat digunakan rumus :
A=M
1
n
1
∑ (1 + i )
k =1
k
atau
A = iM
dengan
A = besarnya anuitas
M = besarnya pinjaman
i = suku bunga
(1 + i )n
(1 + i )n − 1
614
Bab 11: Matematika Keuangan
n = banyaknya anuitas
CONTOH 11.6.1
Suatu pinjaman sebesar Rp 10.000.000,- akan dilunasi dengan 3
angsuran dengan suku bunga 12% pertahun. Tentukan besar anuitasnya.
Penyelesaian:
M = Rp 10.000.000,i = 12% = 0,12
n=3
a. Diselesaikan dengan Rumus A = M
1
n
∑ (1 + i )
k =1
anuitas A = Rp. 10.000.000 ,-
1
, diperoleh besarnya
k
1
= Rp 4.163.48,9 8.
2.40183126 7
b. Diselesaikan dengan Rumus A = iM
(1 + i )n
(1 + i )n − 1
Besarnya anuitas adalah
3
(
1,12)
A = 0,12 × Rp. 10.000.000,- ×
(1,12)3 − 1
= Rp 1.200.000 ×
1,404928
= Rp.4.163.48,98
0,404928
Menyusun Rencana Angsuran
Untuk mengetahui bahwa perhitungan anuitas sudah benar, sebaiknya
disusun rencana angsuran. Pada anuitas terakhir, besar angsuran utang
harus nol.
Bab 11: Matematika Keuangan
615
CONTOH 11.6.2
Ibu Rini meminjam uang di Bank sebesar Rp 10.000.000,-. Pinjaman
harus dilunasi dengan anuitas selama setahun dengan pembayaran tiap
tiga bulan. Suku bunga 3% per tiga bulan. Buatlah rencana
angsurannya, dan buatkan tabel rencana angsuran itu.
Penyelesaian:
M = Rp 10.000.000,i = 3%
n = 4 (sebab angsuran dilakukan setiap 3 bulan. Jadi n = 12 : 3 = 4)
Besar anuitas tiap 3 bulan adalah
A=M
1
4
= Rp 10.000.000 ×
1
∑ (1 + 0,03)
k =1
1
3,717089840
k
= Rp 2.690.270,5
Membuat rencana angsuran:
Karena anuitas terdiri dari besar angsuran dan bunga, maka angsuran ke
n, yaitu An, adalah An = A - Bn
dengan Bn adalah bunga pada angsuran ke n.
Oleh karena itu diperoleh:
- Bunga pada akhir tiga bulan pertama
B1 = 3% x Rp 10.000.000 =
3
× Rp. 10.000.000 ,- = Rp. 300.000
100
Angsuran pertama adalah
A1 = A - B1 = Rp 2.690.270,5 - Rp 300.000,- = Rp 2.390.270,5
Pinjaman (sisa utang) pada awal tiga bulan kedua adalah
M1 = Rp 10.000.000,- - Rp 2.390.270,5 = Rp 7.609.729,5.
616
Bab 11: Matematika Keuangan
- Bunga pada akhir tiga bulan kedua
B2 =
3
× Rp.7.609 .729,5 = Rp.228 .291,88
100
Angsuran kedua adalah A2 = A - B2
= Rp 2.690.270,5 - Rp 228.291,88
= Rp 2.461.978,62
Pinjaman (sisa utang) pada awal tiga bulan ketiga adalah
M2 = Rp 7.609.729,5 - Rp 2.461.978,62= Rp 5.147.750,88.
- Bunga pada akhir tiga bulan ketiga adalah
B3 =
3
× Rp.5.147 .750,88 = Rp.154 .432,52
100
Angsuran ketiga adalah
A3 = A - B3 = Rp 2.690.270,5 - Rp 154.432,52 = Rp 2.535.837,98
Pinjaman (sisa utang) pada awal tiga bulan keempat adalah
M3 = Rp 5.147.750,88. - Rp 2.535.837,98 = Rp 2.611.912,9
- Bunga pada akhir tiga bulan keempat adalah
B4 =
3
× Rp.2.611.912,9 = Rp.783.573,87
100
A4 = A - B4 = Rp 269.027,05 - Rp 783.573,87 = Rp 2.611.913,13
Pinjaman (sisa utang) pada awal tiga bulan kelima adalah
Angsuran keempat adalah
M4 = Rp 2.611.912,9- Rp 2.611.913,13= Rp -0,02 = Rp 0
Bab 11: Matematika Keuangan
617
Tabel rencana angsurannya adalah sebagai berikut:
Tabel Rencana Angsuran
Angsuran
ke n
Anuitas
Utang ( Rp. )
Suku bunga
Angsuran
3%
Utang
Sisa Utang
1
10.000.000,-
300.000,-
2.390.270,5
7.609.729,5
2
7.609.729,5
228.291,88
2.461.978,62
5.147.750,88
3
5.147.750,88
154.432,52
2.535.837,98
2.611.912,9
4
2.611.912,9
783.573,87
2.611.913,13
0,-
Anuitas dengan Pembulatan
Biasanya besar anuitas yang dibayarkan (diterima) berupa pecahan.
Untuk mempermudahkan atau menyederhanakan pembayaran, biasanya
besar anuitas dibulatkan ke atas atau ke bawah.
Jika besar anuitas dibulatkan ke bawah, maka besarnya pembayaran
terakhir adalah besarnya anuitas ditambah kekurangannya, dan jika
besar anuitas dibulat kan ke atas, maka besarnya pembayaran terakhir
adalah besarnya anuitas dikurangi kelebihan pembayaran.
CONTOH 11.6.3
Pak Abu meminjam uang di Bank sebesar Rp 10.000.000,-. Pinjaman
harus dilunasi dengan anuitas selama setahun dengan pembayaran tiap
triwulan.Suku bunga 3% per triwulan.
618
Bab 11: Matematika Keuangan
Tentukan:
a. Besar anuitas dengan pembulatan ribuan ke atas
b. Besarnya pembulatan jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke atas
c. Tabel rencana angsuran jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke atas
d. Angsuran terakhir jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke atas
e. Pembayaran terakhir jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke atas
f. Besar anuitas dengan pembulatan ribuan ke bawah
g. Besarnya pembulatan jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke bawah
h. Tabel rencana angsuran jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke bawah
i. Angsuran terakhir jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke bawah
j. Pembayaran terakhir jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke bawah
Penyelesaian:
M = Rp 10.000.000
i = 3%
n = 4 (sebab angsuran dilakukan setiap triwulan. Jadi n = 12 : 3 = 4)
Besar anuitas tiap triwulan adalah
A=M
1
n
1
∑ (1 + i )
k =1
k
1
1/1,03 + 1/1,0609 + 1/1,092727 + 1/1,12550881
1
= Rp.10.000.000,− ×
= Rp.2.690.270,45
3,71709840
= Rp.10.000.000,− ×
Dengan pembulatan ribuan ke atas, diperoleh
a. Besar anuitas adalah Rp 2.700.000,b. Besar pembulatan adalah Rp 2.700.000,00 - Rp 2.690.270,45
= Rp 9.729,55
Bab 11: Matematika Keuangan
619
c. Untuk membuat tabel rencana angsuran, terlebih dahulu dihitung
rencana angsurannya sebagai berikut.
Dengan mengingat
An = A – Bn, dan Bn adalah bunga pada
angsuran ke n, diperoleh:
- Bunga pada akhir triwulan pertama, B1 = 3% x Rp 10.000.000,= Rp 300.000,Angsuran pertama adalah
A1 = A - B1
= Rp 2.700.000 - Rp 300.000
= Rp 2.400.000,Pinjaman (sisa utang) pada awal triwulan kedua adalah
M1 = Rp 10.000.000,00 - Rp 2.400.000,-= Rp 7.600.000,- Bunga pada akhir tiga bulan kedua
B2 =
3
× Rp 7..600.000 ,- = Rp.228.000 ,100
Angsuran kedua adalah
A2 = A - B2 = Rp 2.700.000 ,-- Rp.228.000= Rp 2.472.000,Pinjaman (sisa utang) pada awal triwulan ketiga adalah
M2 = Rp 7.600.000,- - Rp 2.472.000,-= Rp 5.128.000,-.
- Bunga pada akhir triwulan ketiga adalah
B3 = 3% x Rp 5.128.000,-. =
3
Rp. 5.128.000, - = Rp. 153.840,100
Angsuran ketiga adalah
A3 = A - B3 = Rp 2.700.000,- - Rp 153.840,- = Rp 2.546.160,Pinjaman (sisa utang) pada awal triwulan keempat adalah
M3 = Rp 5.128.000,-. - Rp 2.546.160,- = Rp 2.581.840,-
620
Bab 11: Matematika Keuangan
- Bunga pada akhir triwulan keempat adalah
B4 = 3% x Rp 2.581.840,-. =
3
× Rp. 2.581.840, - = Rp. 77.455,2
100
Angsuran keempat adalah
A4 = A - B4 = Rp 270.000,- - Rp 77.455,2 = Rp 2.622.544,8
Pinjaman (sisa utang) pada akhir triwulan keempat adalah
M4 = Rp 2.581.840,- - Rp 2.622.544,8 = Rp -40.704,8
Dengan adanya pembulatan ribuan ke atas, ada kelebihan angsuran
sebesar Rp. 40.704,8.
Jadi tabel rencana angsurannya adalah sebagai berikut:
Angsuran
ke n
Anuitas
Utang ( Rp. )
Suku bunga
3%
Angsuran
Sisa Utang
Utang
1
10.000.000,-
300.000,-
2.400.000,-
7.600.000,-
2
7.600.000,-
228.000,-
2.472.000,-
5.128.000,-
3
5.128.000,-
153.840,-
2.546.160,-
2.581.840,-
4
2.581.840,-
7.745,52
2.622.544,8
-40.704,8
d. Angsuran terakhir adalah
A4 - Rp 40.704,8 = Rp 2.622.544,8 - Rp 4.070,48 = Rp 2.622.544,8
e. Pembayaran terakhir adalah
Angsuran terakhir + Bunga terakhir = Rp 2.622.544,8+ Rp 77.455,2
= Rp 2700.000,-
Bab 11: Matematika Keuangan
621
Dengan pembulatan ribuan ke bawah diperoleh:
a. Besar anuitas adalah Rp 2.690.000,b. Besar pembulatan adalah Rp 2.690 .270 ,45 - Rp 2.690.000,= Rp 270,45
c. Untuk membuat tabel rencana angsuran, terlebih dahulu dihitung
rencana angsurannya sebagai berikut :
Dengan mengingat An = A – Bn dimana Bn adalah bunga pada
angsuran ke n, diperoleh:
- Bunga pada akhir tiga bulan pertama
B1 = 3% x Rp 10.000.000 =
3
Rp. 10.000.000 = Rp. 300.000
100
Angsuran pertama adalah
A1 = A - B1
= Rp 2.690.000 - Rp 300.000
= Rp 2.390.000
Pinjaman (sisa utang) pada awal tiga bulan kedua adalah
M1 = Rp 10.000.000 - Rp 2.390.000 = Rp 7.610.000,-
- Bunga pada akhir tiga bulan kedua
B2 = 3% x Rp7.610.000,- =
3
× Rp. 7,610.000, - = Rp. 228.300,100
Angsuran kedua adalah A2 = A - B2 = Rp 2.690.000,- - Rp 228.300,= Rp 2.461.700,-
622
Bab 11: Matematika Keuangan
Pinjaman (sisa utang) pada awal tiga bulan ketiga adalah
M2 = Rp 7.610.000,- - Rp 2.461.700,- = Rp 5.148.300,-.
- Bunga pada akhir tiga bulan ketiga adalah
3
× Rp. 5.148.300 = Rp. 154.444,90
100
B3 = 3% x Rp 5.148.300 =
Angsuran ketiga adalah A3 = A - B3 = Rp 2.690.000,- - Rp 15.444,90
= Rp 2.535.551,Pinjaman (sisa utang) pada awal tiga bulan keempat adalah
M3 = Rp 5.148.300 - Rp 2.535.551 = Rp 2.612.749,- Bunga pada akhir tiga bulan keempat adalah
B4 = 3% Rp 2.612.749,- =
3
× Rp. 2.612.749, - = Rp. 78.382,47
100
Angsuran keempat adalah A4 = A - B4
= Rp 2.690.000 - Rp 78.382,47
= Rp 2.611.617,53
Pinjaman (sisa utang) pada akhir tiga bulan keempat adalah
M4 = Rp 2.612.749,-- Rp 2.611.617,53 = Rp 1.131,47.
Jadi table rencana angsurannya adalah sebagai berikut :
Angsuran
Anuitas
ke n
Utang
( Rp. )
1
10.000.000,-
300.000,-
2.390.000,-
7.610.000,-
2
7.610.000,-
2288.300,-
2.461.700,-
5.148.300,-
3
5.148.300,-
154.449,-
2.535.551,-
2.612.749,-
4
2.612.479
78.382,47
2.611.617,53
1.131,47
Suku bunga Angsuran
3%
Utang
Sisa Utang
Bab 11: Matematika Keuangan
623
i. Dengan adanya pembulatan ribuan ke bawah, ada kekurangan
angsuran sebesar Rp1.131,47. Jadi angsuran terakhir adalah
A4 + Rp 1.131,47 = Rp 2.611.617,53 + Rp 1.131.47
= Rp 2.612.749,j. Pembayaran terakhir adalah angsuran terakhir + bunga terakhir = Rp
2.612.749 + Rp 78.382,47,- = Rp 2.691.131,47
SSO
OAALL LLAATTIIH
HAAN
N 1111--66
1. Suatu pinjaman sebesar Rp 10.000.000 akan dilunasi dengan 5
angsuran dengan suku bunga 12% pertahun. Tentukan besar
anuitasnya.
2. Ibu Rini meminjam uang di Bank sebesar Rp 10.000.000.
Pinjaman harus dilunasi dengan anuitas selama setahun
dengan pembayaran tiap empat bulan. Suku bunga 4% per tiga
bulan. Buatlah rencana angsurannya, dan buatkan tabel
rencana angsuran itu.
3. Pak Abu meminjam uang di Bank sebesar Rp 10.000.000,‐.
Pinjaman harus dilunasi dengan anuitas selama setahun
dengan pembayaran tiap triwulan.Suku bunga 3% per triwulan.
Tentukan:
a. Besar anuitas dengan pembulatan ribuan ke atas
b. Besarnya pembulatan jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke
atas
624
Bab 11: Matematika Keuangan
c. Tabel rencana angsuran jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke
atas
d. Angsuran terakhir jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke atas
e. Pembayaran terakhir jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke
atas
f. Besar anuitas dengan pembulatan ribuan ke bawah
g. Besarnya pembulatan jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke
bawah
h. Tabel rencana angsuran jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke
bawah
i.
Angsuran terakhir jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke
bawah
j. Pembayaran terakhir jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke
bawah
11.7 METODE SALDO MENURUN
Dengan metode garis lurus, besarnya penyusutan setiap tahun dianggap
sama, tetapi dalam metode saldo menurun, besar penyusutan mula-mula
besar dan semakin lama besar penyusutan penurun sebanding lurus
dengan menurunnya nilai buku ativa (harta) tetap.
Perhitungan penyusutan dengan metode saldo turun ada dua cara, yaitu:
metode angka persen tetap atau metode tarif tetap atas nilai buku, dan
metode menurun berganda.
Perhitungan dengan metode angka persen tetap mempunyai
rumus
Bab 11: Matematika Keuangan
T =1- n
625
S
A
Dimana :
T = persen penyusutan dari nilai buku
S = nilai residu (sisa) aktiva tetap
A = nilai perolehan aktiva tetap
n = perkiraan umur ekonomi aktiva tetap
CONTOH 11.7.1
Diketahui bahwa biaya perolehan suatu aktiva adalah Rp 10.000.000,-.
Taksiran nilai sisa adalah Rp 1.000.000,- dengan umur manfaat 3 tahun.
Dengan metode saldo menurun angka persen tetap,
a. Persentase penyusutan setiap periode
b. Buatkan tabel yang berisikan harga perolehan, penyusutan,
akumulasi penyusutan, dan harga buku.
Penyelesaian:
S = Rp 1.000.000,A = Rp 10.000.000,n=3
626
Bab 11: Matematika Keuangan
a. Persentase penyusutan setiap periode adalah
1- 3
1000000
10000000
T =1- n
S
=
A
= 1 – 0,4641592396
= 0,53584076 = 53,6%
b. Penyusutan periode 1 = 53,6% x Rp 10.000.000,- = Rp 5.360.000,Penyusutan periode 2 = 53,6% x Rp 4.460.000,- = Rp2.487.040,Penyusutan periode 3 = 53,6% x Rp 2.152.960,- = Rp 1.153.986,56
Tabelnya adalah sebagai berikut :
Periode/ta
hun
Harga
Perolehan
Akumulasi
Penyusutan
(Rp.)
( Rp.)
Penyusuta
n
Nilai
Buku
1
10.000.000
5.360.000,-
5.360.000,
4.640.000
2
10.000.000
2.487.040,-
7.847.040
2.152.960
3
10.000.000
1.153.986,56
9.001.026,
998.974,-
Pada penyusutan metode saldo menurun berganda, besar persentase
penyusutan pertahun ditetapkan sebesar dua kali dari penyusutan garis
lurus.
Bab 11: Matematika Keuangan
627
CONTOH 11.7.2
Diketahui bahwa biaya perolehan suatu aktiva adalah Rp 10.000.000
Taksiran nilai sisa adalah Rp 1.000.000,- dengan umur manfaat 4 tahun.
Dengan metode saldo menurun berganda,
a. Persentase penyusutan setiap periode
b. Hitunglah penyusutan selama 4 tahun
Penyelesaian:
8. Persentase penyusutan setiap periode (setiap tahun) adalah
100%
(2) = 50 %
4
9. Besar penyusutan tahu ke 1 = 50% x Rp 10.000.000
= Rp 5.000.000
Nilai Buku awal tahun ke 2 = Rp10.000.000 - Rp 5.000.000
= Rp 5.000.000
Besar penyusutan tahu ke 2 = 50% x Rp 5.000.000
= Rp 2.500.000
Nilai Buku awal tahun ke 3 = Rp 5.000.000 - Rp 2.500.000
= Rp 2.500.000,Besar penyusutan tahu ke 3 = 50% x Rp 2.500.000
= Rp 1.250.000
628
Bab 11: Matematika Keuangan
• RANGKUMAN
•
Bunga adalah uang jasa tambahan yang diakibatkan kita
meminjam uang. Besarnya pinjaman disebut dengan modal.
•
Jika besar modal pinjaman adalah M0 dan besar bunga adalah
B, maka besar suku bunga persatuan waktu dituliskan dengan
b, didefinisikan sebagai
b=
B
× 100 %
M0
•
Jika besar bunga hanya dihitung dari modal dan pembayaran
dilakukan sesuai dengan waktu perjanjian, maka bunga yang
berkaitan disebut bunga tunggal.
•
Jika besar bunga ditambahkan ke modal pinjaman dan akan ikut
dihitung sebagai modal untuk dibungakan lagi, maka bunga
yang berkaitan disebut bunga majemuk.
•
Pada deposito, besarnya uang yang disimpan pertama kali
disebut nilai tunai, sedang besarnya uang pada saat
pengembalian disebut nilai akhir, dan saat pengambilan
disebut valuta.
•
Anuitas adalah suatu pembayaran atau penerimaan uang secara
periodik dalam jumlah tetap dan dalam jangka waktu yang tetap
pula.
Bab 11: Matematika Keuangan
629
SSO
OAALL LLAATTIIH
HAAN
N 1111--77
1.
Diketahui bahwa biaya perolehan suatu aktiva adalah Rp
12.000.000. Taksiran nilai sisa adalah Rp 1.000.000,‐ dengan
umur manfaat 3 tahun. Dengan metode saldo menurun angka
persen tetap, tentukan
a.
Persentase penyusutan setiap periode
b.
Buatkan
tabel
yang
berisikan
harga
perolehan,
penyusutan, akumulasi penyusutan, dan harga buku.
2. Diketahui bahwa biaya perolehan suatu aktiva adalah Rp
10.000.000. Taksiran nilai sisa adalah Rp 1.000.000 dengan
umur manfaat 4 tahun. Dengan metode saldo menurun
berganda, tentukan:
a. Persentase penyusutan setiap periode
b. Hitunglah penyusutan selama 4 tahun
SSO
OAALL LLAATTIIH
HAAN
NU
ULLAAN
NGGAAN
N BBAABB 1111
1. Jika terdapat suatu modal sebesar Rp.25.000.000,- dengan suku
bunga 15% pertahun tentukan besar bunga tunggal untuk jangka
waktu
a. 9 bulan
b. 20 bulan
2. Ibu Ani meminjam modal sebesar Rp.10.000.000,- jika ibu Ani
harus mengembalikan dalam jangka waktu 2 tahun dengan
630
Bab 11: Matematika Keuangan
pengembalian sebesar 8/5 dari modal pinjaman. Tentukan besar
bunga pertahun
3. jika terdapat modal sebesar Rp.15.000.000,- dibungakan dengan
bunga tunggal suku bunga 12% perbulan dalam waktu berapa agar
modal menjadi 5/3 dari modal semula.
4. Jika modal sebesar Rp.16.000.000,-dipinjamkan selama 3 bulan
dengan suku bunga 12,5% pertahun. Tentukan besar bunga tunggal
eksak dan biasa, jika dilakukan pada tahun
a. 2007
b. 2008
5. Tentukan waktu rata-rata dan waktu eksak dari tanggal 22 Pebruari
2000 sampai 17 Mei 2007
6. Ali meminjam modal sebesar Rp.100.000.000,-dengan cara
diskonto, suku bunga yang disepakati 15% pertahun. Tentukan
besar modal pinjaman yang diterima Ali setelah dpotong bunga.
7. Bakri menerima pinjaman setelah dipotong bunga Rp.12.000.000,dengan cara diskonto, suku bunga 16% pertahun. Tentukan besar
pinjaman Bakri.
8. Jika suatu modal sebesar M dibungakan selama 5 tahun dengan
bunga majemuk sebesar 12% pertahun, dan penggabungan bunga
dilakukan perkuartal. Tentukan
a. Frekuensi penggabungan
b. Banyaknya periode bunga
9. Jika modal sebesar Rp.25.000.000,- dibungakan dengan bunga
majemuk, suku bunga1,2% perbulan. Berapa besar modal setelah
a. 10 bulan
b. 3 tahun
Bab 11: Matematika Keuangan
631
10. Jika modal sebesar 30.000.000,- dibungakan berdasarkan bunga
majemuk dengan bunga 8% pertahun. Tentukan besar modal
selama 5 tahun 9 bulan.
11. Jika pada awal tahun disetor sejumlah uang ke Bank sebanyak
Rp.1.000.000,- besar bunga 6% pertahun, maka tentukan nilai akhir
rente pada akhir tahun ke-8
12. Pada tiap akhir tahun dimasukkan uang sebesar Rp.100.000.000,ke bank bunga yang ditawarkan 10% pertahun. Pada tahun ke-6,
tentukanharga tunai rente
13. Pak karta meminjam uang di Bank sebesarRp.100.000.000,- dan
harus dilunasi dengan anuitas selama 3 tahun dengan pembayaran
tiap semester, suku bunga yang ditawarkan adalah 5% persemester.
Tentukan
a. Besar anuitas dengan pembulatan ribuan ke atas
b. Besarnya pembulatan jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke atas
c. Tabel rencana angsuran jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke
atas
d. Angsuran terakhir jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke atas
e. Pembayaran terakhir jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke atas
f.
Besar anuitas dengan pembulatan ribuan ke bawah.
g. Besarnya pembulatan jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke
bawah.
h. Tabel rencana angsuran jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke
bawah.
i.
Angsuran terakhir jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke bawah.
j.
Pembayaran terakhir jika anuitas dibulatkan ke ribuan ke
bawah.
DAFTAR PUSTAKA
10. Benny Hendarman, Endang Riva’I, Matematika untuk SMK kelas
X, HUP, 2007.
11. Benny Hendarman, Endang Riva’I, Matematika untuk SMK kelas
XI, HUP, 2007.
12. B.K Noormandiri, Endar Sucipto, Matmatika SMU, Penerbit
Erlangga, 2004.
13. Edi Suranto, Matematika Bisnis Manajemen, Penerbit Yudistira,
2003.
14. Endang Jaiman, Herwati, Tri Dewilistia, Matematika SMU,
Yudhistira, 2004.
15. Jurusan Matematika ITS, Buku Ajar Kalkulus, 2006.
16. Jurusan Matematika FMIPA-ITS Surabaya, Buku Ajar Kalkulus 2,
2007
17. Koko Martono, R. Eryanto, Firmansyah Noor, Matematika dan
Kecakapan Hidup untuk SMA kelas X, Ganeca, 2007.
18. Koko Martono, R. Eryanto, Firmansyah Noor, Matematika dan
Kecakapan Hidup untuk SMA kelas XI Program IPA, Ganeca,
2007.
19. Koko Martono, R. Eryanto, Firmansyah Noor, Matematika dan
Kecakapan Hidup untuk SMA kelas XII Program IPA, Ganeca,
2007.
20. L. Sembiring, R.A. Rivai Wirasasmita, Yogia, Yance Lagu M.,
Matematika Keuangan, Penerbit M2S Bandung, 2005
21. Maman Abdurahman, Matematika 1 untuk SMK kelas X Bidang
Keahlian Bisnis dan Manajemen Program Keahlian Akuntansi,
Penerbit Armico Bandung, 2007.
22. Marwanto, dkk, Matematika Interaktif, Yudistira, 2004.
633
634
Daftar Pustaka
23. Sembiring, Rama Widya, Olimpiade Matematika SMU, 2004.
24. Srikurnianingsing, Kuntarti, Sulistiono, Matematika SMA dan MA,
Penerbit, Erlangga 2003.
25. Stewart, J., Kalkulus, Alih bahasa: I Nyoman Susila, Hendra
Gunawan, Penerbit Erlangga, 2003.
26. Wila Adiyanto Sukoco, Loedbi, Matematika Bilingual, 2004.
27. Wono Setyo Budhi, Matematika SMU, PT. Arman Delta Selaras,
2002.
28. Yohanes, Kastolan, Sulasin, Matematika SMU, Yudistira, 2004.
INDEKS
635
636
Indeks
Indeks
637