SINGLE DEGREE OF FREEDOM TIDAK TEREDAM OLEH : RIMAWATI NURCHOTIMAH Dibagi menjadi beberapa bahasan pokok, yaitu: 1.1 Derajat Kebebasan 1.2 Sistem Tak Teredam 1.3 Pegas yang Dipasang Paralel atau Seri 1.4 Hukum gerak Newton 1.5 Diagram Free Body 1.6 Prinsip D’Alembert 1.7 Solusi Persamaan Differensial Gerak 1.8 Frekwensi dan Perioda 1.9 Amplitudo Gerak 1.1 Derajat Kebebasan (Degrees of Freedom) Pada umumnya struktur berkesinambungan (continuous structure) mempunyai jumlah derajat kebebasan (number of degree of freedom) tak berhingga. Namun dengan proses idealisasi atau seleksi, sebuah model matematis yang tepat dapat mereduksi jumlah derajad kebebasan menjadi suatu jumlah diskrit dan untuk beberapa keadaan dapat menjadi berderajad – kebebasan – tunggal (single degree of freedom). Gambar 1.1 Contoh Struktur yang dimodelisasikan sebagai sistem berderajat – kebebasan – satu. Sistem berderajad – kebebasan – satu ini dapat dijelaskan secara tepat dengan model matematis pada Gambar 1.2 yang mempunyai elemen–elemen sebagai berikut : (1) elemen massa m menyatakan massa dan sifat inersia dari struktur; (2) elemen pegas k yang menyatakan gaya balik elastisitas (elastic restoring force) dan kapasitas energi potensial dari struktur; (3) elemen redaman c yang menyatakan sifat geseran dan kehilangan energi dari struktur dan (4) gaya pengaruh F(t) ditulis demikian untuk menyatakan gaya luar yang bekerja pada sistem struktur. Gaya–gaya F(t) ditulis demikian untuk menyatakan sebagai fungsi dari waktu. Gambar 1.2 Model Matematis untuk Sistem Berderajad – Kebebasan - Satu 1.2 Sistem Tak Teredam (Undamped System) Sistem berderajad – kebebasan satu tak teredam, yaitu dimana gaya geseran atau redaman diabaikan dan, sebagai tambahan, kita akan tinjau sistem yang bebas dari aksi gaya luar selama bergerak atau bergetar. Pada Gambar 1.3(a) atau Gambar 1.3(b) pada model ini, massa m dihambat oleh pegas k dan bergerak menurut garis lurus sepanjang satu sumber koordinat. Karakteristik mekanis dari pegas digambarkan antara besar gaya Fs yang bekerja pada ujung pegas dengan hasil perpindahan y seperti pada Gbr. 1-4 yang menunjukkan secara grafis tiga jenis pegas yang berbeda. Dari hubungan antara gaya dan perpindahan dari Gambar 1.4 maka dapat ditulis bahwa: Fs = ky 1.3 Pegas yang dipasang Paralel atau Seri 1.4 Hukum Gerak Newton Hubungan analitis antara perpindahan y dan waktu t diberikan oleh hukum Newton kedua untuk gerak yang dalam notasi modern ditulis sebagai : F = ma Dimana F adalah resultan gaya yang bekerja pada partikel massa m dan a adalah resultan percepatan. 1.5 Diagram Free Body -Ky = mÿ Dimana gaya pegas bekerja pada arah negatif mempunyai tanda minus dan percepatan dinyatakan oleh ÿ. Pada notasi ini, dua titik di atas menyatakan turunan kedua terhadap waktu dan satu titik menyatakan turunan terhadap waktu, yaitu kecepatan. 1.6 Prinsip D’Alembert Gambar 1.6(c) memperlihatkan DFB dengan gaya inersia mÿ yang sama dengan massa dikalikan percepatan dan selalu diberikan arah negatif terhadap koordinat yang bersangkutan. Penggunaan prinsip D’Alembert memungkinkan pemakaian persamaan keseimbangan untuk mendapatkan persamaan gerak. Sebagai contoh, pada Gambar 1.6(c), jumlah gaya-gaya pada arah y memberikan mÿ + ky = 0 1.7 Solusi Persamaan Differensial Gerak & 1.8 Frekwensi dan Perioda Solusi umumnya adalah y = A cos ωt + B sin ωt Di mana A dan B adalah konstanta integrasi yang ditentukan dari kondisi awal, A = 𝑦0 B = 𝑣0 /𝜔 𝜔= 𝑘/𝑚 adalah frekwensi natural dalam rad/detik. 𝜔 adalah frekwensi natural dalam siklus perdetik. 1 adalah perioda natural dalam detik. F = 2𝜋 T=𝑓 1.9 Amplitudo Gerak Persamaan gerak dapat ditulis dalam beberapa bentuk, y = C sin (𝜔𝑡 + 𝛼), atau Y = C cos (𝜔𝑡 − 𝛽), dimana C= 𝑣 𝜔 𝑦02 + ( 0)2 , dan tan 𝛼 = 𝑦0 𝑣0 /𝜔 tan 𝛽 = 𝑣0 /𝜔 𝑦0
