STRUKTUR RANGKA BATANG

PEMODELAN PARAMETER
Komponen-komponen yang merupakan pemodelan
himpunan parameter dari sebuah struktur adalah
Sesuatu yang menghubungkan gaya dengan
perpindahan, kecepatan, dan percepatan.
Komponen yang menghubungkan gaya dengan
perpindahan disebut pegas.
Gambar idealisasi pegas tak bermassa dan plot gaya dari pegas
terhadap regangan.
Hubungan linier antara gaya dan regangan dinyatakan :
fs = k e
dan, e=u2-u1
dimana
k adalah konstanta pegas.
Besaran k adalah pound/inc (lb/in) atau N/m
Energi tegangan dinyatakan dengan :
V = ½ (k e2)
Energi tegangan dinyatakan sebagai area dibawah kurva fs
terhadap e.
Model analitis yang paling umum dari redaman dalam analisa
dinamika struktur adalah model tahanan dashpot,
Gaya redaman fD dinyatakan :
fD = c (ů 2 – ů1 )
dari fungsi linier dari kecepatan relatif antara dua ujung
dashpot.
Konstanta c disebut koefisien viscositas redaman dan
besarannya adalah pond/inc/detik atau N/m/detik.
Model matematis dalam analisa dinamika struktur
mempunyai beberapa elemen sebagai berikut:




massa m menyatakan massa dan sifat inersia dari
struktur
pegas k menyatakan gaya balik elastis dan kapasitas
energy potensial dari struktur
redaman c menyatakan sifat geseran dan kehilangan
energy dari struktur
gaya pengaruh F(t) menyatakan gaya luar yang
bekerja pada sistem struktur sebagai fungsi dari
waktu.
Namun dalam pembahasan dinamika struktur dengan analisa
sederhana pada sistem berderajat kebebasan tunggal, redaman c
diabaikan.
PEMODELAN MATEMATIS
Contoh model matematis pada struktur
m
K
EI
Model Struktur
Model SDOF
Model Matematis
K
m
y
PEMODELAN MATEMATIS
Contoh model matematis pada struktur
m
P(t)
P(t)
K1
K2
Model Struktur
K
Model SDOF
Model Matematis
K
m
P(t)
PEMODELAN MATEMATIS
Jika suatu pegas terpasang secara paralel atau seri, maka
diperlukan penentuan konstanta pegas ekivalen dari sistem
tersebut
Pegas Paralel
Pegas Seri
K1
K1
K2
K2
y
m
y
P
ke  k1  k2
n
k e   ki
i 1
1
1 1
 
ke k1 k 2
n
1
1

ke i 1 ki
KONSTANTA PEGAS
P  K . yo
yo
K
P
yo
P
yo
P
Ph 3
yo 
12 EI
P
P
12 EI
K


Ph 3
yo
h3
12 EI
P
EI
EI
h
yo
PL3
yo 
48EI
P
P
48EI
K

 3
3
PL
yo
L
48 EI
P
EI
yo
L
Pl 3
yo 
3EI
P
P
3EI
K


Pl 3
yo
L3
3EI
suatu sketsa dari benda yang dipisahkan dari benda lainnya,
dimana semua gaya luar pada benda terlihat jelas
K
m
P(t)
FBD….?
fs
P(t)
I
Dari gambar free body diagram diatas, menunjukan bahwa massa m
yang dipindahkan dengan adanya gaya luar sebesar P(t),
dan memberikan gaya pegas sebesar Fs=ky serta gaya inersia I.
Persamaan Gerak dari beberapa model, dapat
diturunkan dengan menggunakan :
1. Hukum Newton Kedua
2. Prinsip D’Alembert
1. Hukum Newton Kedua
ΣF=m.a
m = massa
a = percepatan (m/s^2)
1. Hukum Newton Kedua
y
fs
fs
m
ΣF=m.a
P(t) - fs  m.y
fs  m.y  P(t)
k.y  m.y  P(t)
P(t)
CONTOH 2.1
Gunakan hukum Newton untuk menurunkan persamaan gerakan dari
system pegas sederhana dan dashpot massa di bawah ini.
Asumsikan hanya ada gerakan vertical.
Dan asumsikan bahwa pegas linier dengan konstanta pegas k.
Abaikan gesekan udara, massa pegas, dan redaman dalam pegas.
P(t) adalah gaya yang bekerja pada massa dari luar.
k
c
Penyelesaian
Tentukan bidang referensi dan kordinat perpindahan
k
c
Pilih
sumbu x sepanjang
garis
pergerakan dan tentukan titik acuan
awal (misal x = 0) pada lokasi dimana
pegas tidak teregang.
u  perpindahan pada arah x.
Gambar diagram free body dari partikel
Gunakan hukum Newton yang kedua
   Fx  mu
catatan : tanda + menunjukkan arah ke bawah dimana u adalah positif
untuk arah ke bawah.
p  fs  fd  W  mu
•Hubungkan gaya dengan system variable gerakan
fs  ke  ku
fd  ce  cu
• Gabungkan dan sederhanakan, susunlah variable yang tidak
diketahui di bagian kanan pada persamaan
mu  cu  ku  W  p(t )
Persamaan ini bisa disederhanakan dengan pertimbangan sebagai
berikut.
Perpindahan statis dari berat W pada pegas linier dinyatakan
W
u st 
k
Misalkan perpindahan dari massa terukur relatif terhadap posisi
kesetimbangan statis sebagai ur sehingga :
u  u r  u st
dimana ust adalah konstan, Persamaan gerak bisa ditulis sebagai :
mur  cur  kur  p(t )
Hukum Newton yang kedua digunakan langsung, sehingga tidak ada
gaya inersia yang diperlihatkan pada diagram free body.
2. Prinsip D’Alembert
Sebuah sistem dapat dibuat dalam keadaan keseimbangan
dinamis dengan menambahkan sebuah gaya fiktif pada gaya-gaya
luar yang disebut sebagai gaya inersia.
Contoh yang sering kita rasakan adalah
bila kita naik mobil, kemudian di rem
atau diperlambat dimana percepatan
yang arahnya berlawanan dengan gerak
mobil. Kita akan merasa terdorong ke
depan. Sebenarnya gaya yang
mendorong kita adalah gaya inersia
yang timbul karena mobil mempunyai
percepatan.
fI=-m.a
Keseimbangan dinamis= ΣF+fI = 0
2. Prinsip D’Alembert
y
fs
fs = ky
m
P(t)
I  my
Keseimbangan dinamis= ΣF+fI = 0
P(t) - fs  fI  0
P(t) - k.y  m.y  0
k.y  m.y  P(t)
Gunakan metode gaya D’alembert untuk menentukan
persamaan gerakan dari massa m, asumsikan bahwa
gaya redaman pada system bisa diwakili dengan
viskos dashpot linier seperti yang diperlihatkan pada
gambar di bawah.
Asumsikan bahwa eksitasi terdukung z(t) diketahui.
Jika u = z = 0 pegas belum diregangkan.
Main Menu
Penyelesaian
Gambarkan diagram free body dari massa termasuk
gaya inersia bersama dengan gaya sesungguhnya.
Tulis persamaan kesetimbangan dinamis
  F 'x  0
Dari diagram freebody didapat
p  fs  fd  mu  0
Hubungkan gaya
sederhanakan
dengan
variable
gerakan
dan
mu  c(u  z)  k (u  z)  p
Ingat bahwa gaya redaman dan gaya pegas yang
dihubungkan dengan gerakan dari massa mempunyai
hubungan dengan gerakan yang terdukung.
Persamaan diatas bisa dituliskan dengan semua nilai
yang diketahui dari bagian kanan persamaan.
mu  cu  ku  cz  kz  p
wu  z
  cw
  kw  p  mz
mw
k
k
c
fs
P(t)
I
fs
fd
I
P(t)
  k.u  P(t) m.u  c.u  k.u  P(t)
m.u