barisandanderetkompleks-130110014542-phpapp01

Kata Pengantar
Segala puja dan puji kami panjatkan kehadirat Allah swt., yang telah
melimpahkan petunjuk, bimbingan dan kekuatan lahir batin sehingga makalah ini dapat
kami selesaikan. Shalawat dan salam senantiasa dihanturkan pada junjungan kita Nabi
besar Muhammad saw., dan keluarganya.
Makalah ini dibuat sebagai salah satu tugas mata kuliah analisis kompleks,
makalah ini memuat materi tentang Barisan Kompleks, Deret Kompleks, Deret Taylor
dan Deret Maclaurin yang diambil dari beberapa sumber.
Kami telah berusaha semaksimal mungkin untuk membuat makalah ini dengan
sebaik-baiknya. Namun, ibarat pepatah “tak ada gading yang tak retak”. Kami menyadari
masih banyak kekurangan. Untuk itu kami sangat mengharapkan kritik dan saran demi
peningkatan dan penyempurnaan makalah ini.
Akhirnya, semoga makalah ini dapat memberikan manfaat bagi para mahasiswa
khususnya yang mengikuti mata kuliah Analisis Kompleks. Amin.
Palembang, April 2009
Penyusun
1
Daftar Isi
Kata Pengantar
……………………………………………………………………..1
Daftar Isi
……………………………………………………………………..2
Pembahasan :
Barisan Kompleks, Deret Kompleks, Deret Taylor dan Deret Maclaurin
1.1 Barisan Kompleks
……………………………………………………..3
1.1.1
Barisan Konvergen
……………………………………………..3
1.1.2
Barisan Divergen
……………………………………………..4
1.2 Deret Kompleks
1.2.1
……………………………………………………..6
Uji Konvergensi Deret Kompleks
1.3 Deret Taylor dan Deret Maclaurin
……………………………..6
……………………………………11
……………………………………………11
1.3.1
Deret Pangkat
1.3.2
Deret Taylor dan Deret Maclaurin
1.4 Latihan soal dan penyelesaiannya
……………………………11
……………………………………15
1.5 soal dari masing-masing kelompok …………………………………………18
Daftar Pustaka
…………………………………………………………………
2
Barisan dan Deret Kompleks
1.1 Barisan Kompleks
Adalah bilangan kompleks yang diurutkan dengan suatu pola tertentu.
Biasanya ditulis dalam bentuk berikut :
Z1, Z2, Z3, … atau { Z1, Z2, Z3, …} atau disingkat {Zn}.
Suku Zn disebut sebagai suku umum atau suku ke- n barisan tersebut.
Dua barisan {Zn}dan {Wn}dikatakan sama jika dan hanya jika suku-suku yang
bersesuaian sama.
Zn = Wn untuk semua n = 1, 2, 3, …
1.1.1 Barisan Konvergen
Sebuah barisan {Zn} disebut Konvergen jika terdapat suatu bilangan z sehingga :
lim zn  Z
n
Barisan {Zn}dengan Zn = xn + i.yn untuk n = 1, 2, 3, … maka :
lim
n
lim
zn  a i.b , jika dan hanya jika : n xn
Contoh soal :
Tentukan barisan berikut konvergen atau tidak !
æ 2i n ö
ç
÷
÷
a. ç
è 2n -1
b. í
ø
ìi n ü
ý
înþ
Penyelesaian :
æ 2i n
a. çç
ö
÷÷dengan beberapa suku pertama :
è 2n -1 ø
3
a
lim y
dan n
b
n
-2 -2i 2
æ
ö
ç2i,
,
,
,...÷
dengan
lim
3
5
7
è
ø
n
ìi ü
b. í
î
n
ìi
í
î2
2i n
n
2n 1
0
ý dengan beberapa suku pertama:
þ
1
i
ü
,,- ,...ý dengan lim
2 6
þ
in
n
0
n
1.1.2 Barisan Divergen
Ada 2 ciri barisan kompleks disebut barisan divergen, yaitu :
1. Jika n bertambah besar maka suku-suku barisan tersebut bertambah besar nilai
mutlaknya tanpa batas atau dapat ditulis :
lim
n
zn 
2. Jika suku-suku dari suatu barisan berosilasi diantara dua titik (atau lebih) maka
barisan tersebut tergolong divergen.
Contoh soal :
a. (2i)n
b. 4i-2n
penyelesaian :
a. (2i)n dengan beberapa suku pertama :
2i,-4,-8i,16,32i,... tampak suku ke-n makin lama makin besar seiring
dengan
bertambah besarnya nilai n. Sehingga disebut barisan divergen.
b. 4i-2n dengan beberapa suku pertama :
4i - 2,4i - 4,4i -8,...
tampak suku ke-n makin lama makin besar seiring
dengan
bertambah besarnya nilai n. Sehingga disebut barisan divergen.
Contoh – contoh latihan soal :
Tentukanlah apakah barisan berikut konvergen atau divergen !
1. { 1n }
4
ì
1
2. í
în(1 -i)
Penyelesaian :
n
ü
ý
þ
1. Beberapa suku pertama barisan ini :{ -1+i, 1+i, -1+i, …}
Disini tampak terjadi pengulangan suku-sukunya. Dengan kata lain, barisan ini
merupakan barisan yang berosilasi pada beberapa titik. Barisan ini bersifat
divergen.
2. Periksa dulu beberapa suku pertama
1
Suku 1
 1 i
1
Suku 2
1
 2(1 -i)
= 4i
2
1
Suku 3

1
3
3
= 3(1 -3.1 .i +3.1i 2 -i 3 )
3(1 -i)
2
1
=
=
=
3(1 -3i -3 +i)
1
3(-2 -2i)
1
 6  6i
1
Suku 4  4(1 -i)
1
4
4
3
2
= 4(1 - 4.1 .i + 6.1 .i 2 - 4.1.i 3 +i 4 )
1
=
=
4(1 - 4i - 6 + 4i +1)
1
16i
Barisan ini makin lama makin kecil dengan seiring dengan bertambah besarnya
nilai n( bersifat konvergen ).
5
1.2 Deret Kompleks
Deret kompleks merupakan penjumlahan suku-suku dari bilangan kompleks. Bila
barisan dinyatakan dengan pola z1, z2, z3, …, maka deret dinyatakan dengan pola :
s1 = z1;
s2 = z 1 + z 2 ;
s3 = z1+z2+z3 dan seterusnya
Dirumuskan menjadi :
Sn = Z1 + Z2 + Z3 + … + Zn-1 + Zn

Sn = åzn
n1
1.2.1 Uji Konvergensi pada Deret Kompleks
Untuk menguji konvergensi suatu deret kita harus menguasai beberapa metode,
yaitu :
1.

Teorema Divergensi
Jika suatu deret åZ n konvergen maka nilai

lim
ån2k 1
k 1
Penyelesaian :
2k
1
1
lim 2k 1  lim k k 2  2  0  2
10
1
n k 1
n k 1
k k
lim
Zn ¹ 0 maka deret
å
n
¹ 0 maka deret åZ n bersifat divergen

Jika
n Zn
Contoh soal :
k o
lim
1 
Z n bersifat divergen
n
6
Zn
 0
2. Uji Rasio
Andaikan åZ n adalah deret dengan suku-suku tak negative, dan bahwa :
Z
lim n 1  
n
Zn
Maka :
deret konvergen
Jika  > 1 deret divergen
Jika  = 1 deret mungkin konvergen atau divergen
Jika  < 1
Contoh soal :
ån (1  2i)n , selesaikan dengan uji rasio !
n
n0
!
Penyelesaian :
å
n
n
(1 + 2i)
n0
= lim
n!
(1 + 2i)n1
(n +1)!
n
(1 + 2i)
n!
= lim
(1 + 2i)n1
n
n!
x
(n +1)!
æ 1 +2i ö
ç
÷
1
(1 + 2i)n
= lim
(1 + 2i)n (1 + 2i)
n
(n +1)n!
2i
= lim (1 + 2i) = limè n
n (n +1)
n æ n
n ø = ¥ + ¥ =0 + 0 = 0
1ö
1
1+ 0
1+
ç + ÷
èn n ø
¥
 <1 maka konvergen


3. Uji Akar
Andaikan åZ n adalah deret dengan suku-suku tak negatif, dan bahwa :
lim n Z  
n
n
Maka :
1) Jika  < 1  deret konvergen
2) Jika  > 1  deret divergen
3) Jika  = 1  deret mungkin konvergen atau divergen
7
n!
x
(1 + 2i)n
Contoh soal :
ånn 1
n0
2n n
Penyelesaian :
1
n +1
 = lim n
= lim
n
2 n
n
n
1 æ n +1 ön
ç
÷
2è n
1
= lim
ø
n
1æ
ç1
+
2è
1 ön
÷
=
nø
1
2
1+00
=
1
2
Karena  <1 maka deret tersebut konvergen.
4.
Uji Integral
Andaikan åZ n adalah deret dengan suku-suku tak negatif, dan bahwa fungsi y
= f (x) didapat dari penggantian n pada suku umum deret dengan peubah kontinu x.
Untuk x ³ 1 dan f (x) bertambah kecil maka deret åZ n akan konvergen jika dan hanya jika
:

ò f (x)dx juga konvergen
1
Catatan dari kalkulus :

lim
ò f (x)dx =
b
n
òf
(x)dx
a
a
Apabila limit pada ruas kanan ada dan bernilai terhingga, maka integral tak wajar
tersebut konvergen dan memiliki nilai yang sama dengan limit tadi. Jika tidak, integral
tersebut divergen.
Contoh soal :
f (x) 
1
x
Penyelesaian :

ò
1

1
dx  ò x 2 dx  2x
x
1
1
1
2
1 2 x1 2(
n
Karena hasilnya  , maka å
n1
1
n
8
 
1)2(1)
5.
Uji Deret Berganti Tanda
Jika diketahui suatu deret å(1) n Zn , dengan Zn ³ 0, maka :
lim
n
Zn
0
Zn+1 £ Zn
Untuk semua n yang lebih besar dari suatu bilangan bulat M tertentu, maka deret
å(1) n
Zn , konvergen.
Contoh soal :

å
n1
n
i
2
n
Penyelesaian :

å
i
n1
n
n
2

1  i
...


1
4
9
i
Tampak pada bagian berubah tanda dari i, -1, -i, …
Jadi yang
membuat berganti tanda adalah bagian
1 , ternyata lim
dilakukan terhadap bagian
2
n
Konvergen. Karena å

n0
6.
i
n
2
n
i
n1
å
i n sehingga pemeriksaan
i  0 dan
n
2
 n
 1  å i
n
(n 1)
n1 n
1
2
2
 n
n1
i
2
, maka deret itu juga konvergen.
n
Uji Pembandingan
Diketahui åZ n adalah deret dengan suku-suku yang negatif, maka
K
Jika telah diketahui deret å n konvergen dan ternyata Zn £ Kn. Untuk semua
n setelah suatu bilangan tertentu , maka åZ n juga konvergen.
D
Jika telah diketahui deret å n divergen dan ternyata Zn ³ Dn. Untuk semua n
setelah suatu bilangan tertentu , maka åZ n juga divergen.
Contoh soal :
9
2
1

å
n(n 1)
n0
Penyelesaian :

å
1


n(n 1)
n0
å
n.n
n

1 karena å
1 bersifat konvergen.
2
n
n1
Contoh-contoh latihan soal :
2n
 (3  i)
1. å
(2n)!
n0

1
2. ån
n1
Penyelesaian :
2n
lim (3  i)


1.
=
n
2(n 1)!
(2n)!
(3  i)2n
=
2n2
lim (3  i)
 (2n)!
(3  i)2n
n
= lim(3  i)2 
n
=
(3  i)2
lim
n
(2n  2)!
(2n)!
(2n  2)(2n 1)(2n)!
(2n  2)(2n 1)
=0
Karena  < 1, maka deret kompleks diatas konvergen.
2. Dengan uji integral untuk memeriksa konvergen atau tidak deret :

1
ò
1

dx  ln(x)
x
 ln() ln(1)  divergen.
1

Maka deret å
n1
1 juga divergen.
n
1.3 Deret Taylor dan Deret Maclaurin
1.3.1 Deret Pangkat
Adalah deret kompleks yang memiliki bentuk pangkat dari (Z - Zo).
10
Bentuk umum deret pangkat :

åan (Z Z O )n
n0
Dimana : Z = peubah kompleks
a n = koefisien
Zo = titik pusat
 = jari-jari konvegensi
Ada 2 cara mencari  , yaitu:
1.   lim
n
2.   lim
n
an
(formula Cauchy Hadamard)
an 1
an
1
an
n
Ada 3 sifat deret pangkat berdasarkan nilai 
1. Jika  = 0, maka deret konvergen hanya pada titik Zo dan pada titik lain divergen.
2. Jika 0 <  <  ,maka deret pasti konvergen mutlak untuk semua nilai Z dengan Z
Zo <
 dan untuk semua nilai Z dengan Z Zo >  divergen.
3. Jika  =  , maka deret konvergen mutlak untuk semua nilai Z (deret tidak
pernah divergen).
1.3.2 Deret Taylor dan Deret Maclaurin
Misal :
f (z) analitik di
Z Zo
<  , maka titik pada lingkaran
dapat dinyatakan sebagai berikut :

f
f (x) = å(Z Z O ) n dengan an 
no
Sehingga :
f (x) 
å

n0
f
(n)
(Zo )
(Z  ZO ) n
n!
11
(n)
(Zo )
, ( n = 0, 1, 2, 3, … )
n!
f (z)
Deret Maclaurin adalah deret Taylor dengan pusat Zo = 0,
Sehingga :

f (x)  å
f
(n)
n0
(0)
(Z )
n!
n
Ada beberapa bentuk khusus dari deret Taylor :
1. Deret I ( Fungsi Eksponen )
Diketahui : f (z) = ez, cari deret Taylor dan Maclaurin serta turunannya
f ( z) = ez
f ' ( z) = ez
f '' (z) = ez dan seterusnya.
Sehingga deret Taylor
 e z
o
f ( z)
= ez = ån0
(Z  Z )n
n!
o
Deret Maclaurin :

f ( z) = ez = å
n0
zn
n
!
2. Deret 2 ( Fungsi Rasional )
1
Diketahui f ( z) = 1 Z , turunannya adalah
f ( z) = (1-Z)-1
f ' ( z) = (1-Z)-2
f '' (z) = (1-Z)-3
f
'''
(z) = (1-Z)-4, dan seterusnya
n!
maka : f n (z)  (1  z) n1
Sehingga deret Taylor :
f (z) 

1

(1  z)
å
n0
(z  z0 )n
n1
, dan
(1  z)
deret Maclaurin :
12
f (z) 
1

åz n

1z
n0
3. Deret 3 ( Fungsi Trigonometri )
Diketahui f (z)  sin(z)  f (0)  0 ,
Turunannya :
f ' (z)  cos(z)  f ' (0) 1
f "( z) sin( z) f "(0) 0
f "' (z)  cos(z)  f ''' (0) 1
seterusnya.
Maka deret Maclaurin untuk f (z)  sin(z) adalah :
f (z)  sin(z)  Z 
Z3 Z5
...

3!
5!

f (z)  sin(z)  å(1)
n
n0
2n1
Z
(2n 1)!
Contoh – contoh latihan soal :
1. Nyatakan fungsi f (z)  e 2 z dalam bentuk deret Taylor dan deret Maclaurin !
n
æ 4 -2i ö

2. Tentukan jari-jari konvergensi dari deret
åçç
n0
Penyelesaian :
1. f (z)  e 2 z
f ' (z) 2e 2 z
f '' (z)  4e 2 z
f
'''
(z) 8e 2 z
13
÷Z
è 1 +5i ø
n
!
dan
f
''''
(z) 16e 2 z
f
n
(z)  (Z ) n e2 z
Deret Taylor
z

f (z)  å f
0
n
(n)!
n0

n
f (z)  å
(2) e
(z  z0 )n
2Z0
(z  z0 )n
(n)!
n0
Z0=0
Maka diperoleh deret Maclaurin

f (z)  å
n
(2) e

f (z)  å
æ 4 -2i
åçç
n0 è
zn
(n)!
(2z)
n
(n)!
n0

(z  0)n
n
(2)
n0

0
(n)!
n0
f (z)  å
2
ön
æ4 -2i ön
n
÷Z
ç
è 1 +5i ø
=ç
,
÷
an
1 +5i ø
a n disederhanakan menjadi :
an
æ 4 -2i
=ç
ç
è 1 +5i
´
1 -5i ön
÷
1 -5i ø
æ
=ç
ç
è
æ
-3 -11i ön
÷
13
ø
-3 -11i ön
ç
ç
2. Jari-jari konvergensinya
n
æ-3 - 11i
è
÷
ø
13
ön1
ç
ç
è
13
æ 13
1
æ -3 -11i ö
n
è
=lim
lim
÷
ç
÷
ø
è
13ø
æ
=ç
13
ç
è -3 -11i

 3 11i
10

(3)2  (11) 2
 1.3
(10)2
14
-3 -11i
=ç
´
-3 +11i ö
-3 +11i ø
ö
÷
ø
÷=
-3 +11i
10
1.4 Latihan Soal dan Penyelesaiannya
1. Tentukanlah apakah barisan berikut, apakah konvergen atau divergen !
a.
ì2n - i ü
í
ý
în + 2i þ
ì
iü
b. ín - n ý
î
þ
2. Periksalah deret kompleks berikut, apakah konvergen atau divergen !

a. åçç
æ
9i ön
n0 è10
b.
å

n0
5
÷ .n
ø
2i
n
n!
n
n

3. Tentukan jari-jari konvergensinya dari å
n0
2n(z +1)
(2n -1)
n
!
4. Nyatakan fungsi f (x)  sin hz dalam bentuk deret Maclaurin!
5. Tentukan deret Maclaurin dari fungsi f (z)  e3 z !
Penyelesaian :
1.a. periksa beberapa suku pertamanya :
í
ì 2 - i , 4 - i , 6 - i , 8 - i ,...ü 1 + 2i 2 + 2i 3
ý
+ 2i 4 + 2i
îþ
Uji limit : lim
2n  i
n
 2 , barisan ini bersifat barisan konvergen.
n  2i
lim n  i  i 
b. n
, barisan ini bersifat barisan divergen.
n

2. a. uji rasio:
15
æ 9i ön 1
ç
ç
è10
 =lim
ø
n
5
.(n +1)
÷
æ9i
ö
10
ø
ç
ç
æ 9i ö
ç
n
5
÷
.n
(n +1)
÷´
=limç
n
ø
è10
n
5
5
æ 9i
=ç
ç
ö
÷,
è10 ø
è
Berarti  
9i 9
  lim
(2i)n1.(n 1)! 

, karena  < 1 maka deret kompleks di atas konvergen. 10
(n 1)n
n
nn
(2i)n .n!
(n 1).n! 
 lim(2i) 
=lim(2i) ´ç
n
æ
n
ön
èn
+1
ø
.(n 1)! 
(2i)n .n!
n
nn
(n 1)n1
nn
÷
di atas. Jika n 
Perhatikan bentuk
n1
(n 1).(n 1)n
n!
n
 lim (2i)
10
n
maka
n 1
n
1,
n 1
Sehingga :
ön
n
æ
n
ç
÷
=2i ® =
®lim(2i) ´ç
è n +1
2i
=2
, karena  >1 maka deret ini divergen.
ø
3. Dari bentuk ini, maka pusatnya zo=-1 dan an 
2n
maka
2n 1
Jari-jari konvergensinya :
(2(n 1) 1)
(2n 1)
n 2(n 1)
lim
2n
 lim
n
 (2n 1)  4 1
(2n  2) (2n 1)
4
2n
4. f (z)  sinh z  f (0)  sinh(0)  0
f ' (z)  cosh z  f '(0)  cosh(0) 1
f"(z) sinhz  f"(0) sinh(0) 0

f (z)  å
n0
f
n
(0)z n
n!
16

 f ' (0) z1  f " (0) z 2
f (0) z 0
0!12!
 0  z  0.z 2  1.z 3  0.z 4  ...
2624
z3
z

 ...
6

f (z)  å
n0
2n1
z
(2n 1)
5. f (z)  e3 z
f ' (z)  3e3 z
f " ( z ) 9e 3 z
f
'''
(z)  27e3z
f n (z)  3n e z
Deret Taylor :

f (z)  å
n0

n
n
3.0

n
Untuk Z0 = 0
f (z)  å

n0
n
3 .e
n!
3.0
(z  0)  å

n
n0
n
n
3 .z
, Deret Maclaurin
n!
Soal yang diberi oleh kelompok :
Tentukan apakah barisan ini konvergen atau divergen !
i
1. n  n , ( Rolina Afriyanti )

2. (1)n  i
3.zo
f (z0 )
3 .e
3 e
(z  z0 )n  å
(z  z0 )n  å
(z  zo )n
n!
n!
n!
n0
n0
 , ( Elda Efriana )
17
1
3.
n
4.
ni n
2n , ( Ilham )
, ( Nurvatliyanti )
2
1
5.
n 2 , ( Muhammat )
6. n2 
1
n , ( Shinta Novita Sari )
Tentukan apakah deret kompleks ini konvergen atau divergen !

n
(1 + 2i)
7. å
n
n0
, ( Riki Afriansyah )

æ i ön 
ånç ÷ , ( Enti )
è 2 øn0
8.
æ 9i ön

9. åç
÷ n5 , ( Muawwin )
n0
è10 ø
Penyelesaian :
i ì
i
i ü
i
1. n  n = í1 - n ,2 - 2 ,3 - 3 ,... ý, barisan ini termasuk divergen. Karena nilai n makin
î
þ
besar maka barisan ini memiliki suku ke-n yang semakin besar.
2.
(1)n  i =-1 +i,1 +i,-1 +i,... , barisan ini termasuk divergen. Karena berosilasi
pada beberapa titik.
3.
n
1
2
ì 1
= í1,
1
1 ü
1
4 , 9 16 ,... ý, barisan ini termasuk konvergen. Karena lim n 2
î
ni n
4.
2n
þn
ìi
=í
î2
,-
1
,-
2
i
ü
1 i
,
2
,
,...ý
2 2
, barisan ini termasuk divergen. Karena berosilasi
þ
pada beberapa titik.
1
5.
n2
ì
= í1,
î
1 1 1 1
,
,
,
2 3 4 5
ü
1
,...ý , barisan ini termasuk konvergen. Karena lim
þ
n
18
n
2
0
0
2
6.

n
1
ì
1
î
2
= í0,
n
ü
8
,
3
(1  2i)n1
7.   lim
n!
x
(n 1)
n
2
,...ý, barisan ini termasuk divergen. Karena
þ
(1  2i)
n
lim n
n
(1  2i)n1
 lim
(1  2i)
n
n
n!
x
(n 1)
 l lim(1  2i)x
n

1
n
n!
(n 1)n!
 lim 1  2i  0 , karena  <1 maka deret kompleks tersebut konvergen.
n
n 1
æ i ön1
÷
(n +1)ç
8.  = lim
(n +1) æ i ö
è2ø
= lim
æ i ön
n
n
nç ÷
è2ø
n
xç
è2
÷=
ø
i
2 , berarti  
i
2

1
2,
Karena  1 maka deret kompleks tersebut konvergen.
æ
ç
9.  = lim
n
9i ön1
5
÷
(n +1)
è 10 ø
æ 9i ö
ç
n
÷
n
5
æ 9i ö (n +1)5 æ 9i ö
= limç ÷x
= ç ÷ , berarti  
5
n
nè 10 ø
è 10 ø
9i
10

9
10
,
è10 ø
Karena  1 maka deret kompleks tersebut konvergen.
DAFTAR PUSTAKA
Edwin J.Purcel & Dale Varberg. 1994. Kalkulus dan Geometri Analisis. Jakarta:
Erlangga
Hasugian, Jimmy dan Agus Prijono. 2006. Menguasai Analisis Kompleks dalam
Matematika Teknik. Bandung : Rekayasa Sains.
19

2
6.

n
1
ì
1
î
2
= í0,
n
ü
8
,
3
(1  2i)n1
7.   lim
n!
x
(n 1)
n
2
,...ý, barisan ini termasuk divergen. Karena
þ
(1  2i)
n
lim n
n
(1  2i)n1
 lim
(1  2i)
n
n
n!
x
(n 1)
 l lim(1  2i)x
n

1
n
n!
(n 1)n!
 lim 1  2i  0 , karena  <1 maka deret kompleks tersebut konvergen.
n
n 1
æ i ön1
÷
(n +1)ç
8.  = lim
(n +1) æ i ö
è2ø
= lim
æ i ön
n
n
nç ÷
è2ø
n
xç
è2
÷=
ø
i
2 , berarti  
i
2

1
2,
Karena  1 maka deret kompleks tersebut konvergen.
æ
ç
9.  = lim
n
9i ön1
5
÷
(n +1)
è 10 ø
æ 9i ö
ç
n
÷
n
5
æ 9i ö (n +1)5 æ 9i ö
= limç ÷x
= ç ÷ , berarti  
5
n
nè 10 ø
è 10 ø
9i
10

9
10
,
è10 ø
Karena  1 maka deret kompleks tersebut konvergen.
DAFTAR PUSTAKA
Edwin J.Purcel & Dale Varberg. 1994. Kalkulus dan Geometri Analisis. Jakarta:
Erlangga
Hasugian, Jimmy dan Agus Prijono. 2006. Menguasai Analisis Kompleks dalam
Matematika Teknik. Bandung : Rekayasa Sains.
19

2
6.

n
1
ì
1
î
2
= í0,
n
ü
8
,
3
(1  2i)n1
7.   lim
n!
x
(n 1)
n
2
,...ý, barisan ini termasuk divergen. Karena
þ
(1  2i)
n
lim n
n
(1  2i)n1
 lim
(1  2i)
n
n
n!
x
(n 1)
 l lim(1  2i)x
n

1
n
n!
(n 1)n!
 lim 1  2i  0 , karena  <1 maka deret kompleks tersebut konvergen.
n
n 1
æ i ön1
÷
(n +1)ç
8.  = lim
(n +1) æ i ö
è2ø
= lim
æ i ön
n
n
nç ÷
è2ø
n
xç
è2
÷=
ø
i
2 , berarti  
i
2

1
2,
Karena  1 maka deret kompleks tersebut konvergen.
æ
ç
9.  = lim
n
9i ön1
5
÷
(n +1)
è 10 ø
æ 9i ö
ç
n
÷
n
5
æ 9i ö (n +1)5 æ 9i ö
= limç ÷x
= ç ÷ , berarti  
5
n
nè 10 ø
è 10 ø
9i
10

9
10
,
è10 ø
Karena  1 maka deret kompleks tersebut konvergen.
DAFTAR PUSTAKA
Edwin J.Purcel & Dale Varberg. 1994. Kalkulus dan Geometri Analisis. Jakarta:
Erlangga
Hasugian, Jimmy dan Agus Prijono. 2006. Menguasai Analisis Kompleks dalam
Matematika Teknik. Bandung : Rekayasa Sains.
19

2
6.

n
1
ì
1
î
2
= í0,
n
ü
8
,
3
(1  2i)n1
7.   lim
n!
x
(n 1)
n
2
,...ý, barisan ini termasuk divergen. Karena
þ
(1  2i)
n
lim n
n
(1  2i)n1
 lim
(1  2i)
n
n
n!
x
(n 1)
 l lim(1  2i)x
n

1
n
n!
(n 1)n!
 lim 1  2i  0 , karena  <1 maka deret kompleks tersebut konvergen.
n
n 1
æ i ön1
÷
(n +1)ç
8.  = lim
(n +1) æ i ö
è2ø
= lim
æ i ön
n
n
nç ÷
è2ø
n
xç
è2
÷=
ø
i
2 , berarti  
i
2

1
2,
Karena  1 maka deret kompleks tersebut konvergen.
æ
ç
9.  = lim
n
9i ön1
5
÷
(n +1)
è 10 ø
æ 9i ö
ç
n
÷
n
5
æ 9i ö (n +1)5 æ 9i ö
= limç ÷x
= ç ÷ , berarti  
5
n
nè 10 ø
è 10 ø
9i
10

9
10
,
è10 ø
Karena  1 maka deret kompleks tersebut konvergen.
DAFTAR PUSTAKA
Edwin J.Purcel & Dale Varberg. 1994. Kalkulus dan Geometri Analisis. Jakarta:
Erlangga
Hasugian, Jimmy dan Agus Prijono. 2006. Menguasai Analisis Kompleks dalam
Matematika Teknik. Bandung : Rekayasa Sains.
19
