Barisan (sequence) dan Deret (summafions)

Barisan (sequence) dan Deret (summa)ons) “Learning is not child's play, we cannot learn without pain.” -­‐Aristotle Matema(ka Komputasi -­‐ Barisan dan Deret Agi Putra Kharisma, ST., MT. 1 Barisan Aritme=ka (analogi diskrit dari fungsi linier f(x) = dx + a) Barisan yang suku berurutannya mempunyai tambahan bilangan yang tetap. a n = a 1 + (n-­‐1)b a n = Suku ke-­‐n a 1 = Suku pertama b = Beda antar Suku contoh: • 
• 
2, 5, 8, 11, 14,.. à ditambah 3 100, 95, 90, 85, 80, à dikurang 5 Matema(ka Komputasi -­‐ Barisan dan Deret Agi Putra Kharisma, ST., MT. 2 La=han 1.  Carilah suku ke-­‐10 dari barisan aritme=ka 3, 7, 11, 15, 19, … 2.  Suku ke-­‐3 dan suku ke-­‐16 dari barisan aritme=ka adalah 13 dan 78. Tentukan suku pertama dan bedanya ! 3.  Carilah suku ke-­‐21 dalam barisan aritme=ka dimana suku ke-­‐5 = 41 dan suku ke-­‐11 = 23 Matema(ka Komputasi -­‐ Barisan dan Deret Agi Putra Kharisma, ST., MT. 3 Barisan Geometri (analogi diskrit dari fungsi eksponensial f(x) = arx) Barisan yang suku berurutannya mempunyai kelipatan bilangan yang tetap. a n = arn-­‐1 an = suku ke-­‐ n a = suku pertama r = rasio antar suku berurutan contoh: • 
• 
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,.. à dikali 2 80, 40, 20, 10, 5, 2½,..
à dikali 1/2 Matema(ka Komputasi -­‐ Barisan dan Deret Agi Putra Kharisma, ST., MT. 4 La=han 1.  Carilah suku ke-­‐8 dari barisan geometri jika suku pertamanya 16 dan rasionya adalah 2. 2.  Carilah suku ke-­‐11 dalam suatu barisan geometri dimana suku ke-­‐4 adalah 24 dan suku ke-­‐9 adalah 768 3.  Tentukan formula eksplisit barisan berikut: a.  -­‐1, 1, -­‐1, 1, -­‐1, 1, -­‐1, … b.  0, 1, -­‐2, 3, -­‐4, 5, … c.  1/4, 2/9, 3/16, 4/25, 5/36, 6/49, … Matema(ka Komputasi -­‐ Barisan dan Deret Agi Putra Kharisma, ST., MT. 5 Recurrence Rela=on Recurrence rela)on untuk barisan {an} adalah persamaan yang menyatakan an dalam satu atau lebih suku sebelumnya, yaitu a0, a1, a2, … an-­‐1, untuk semua bilangan bulat n > n0, dimana n adalah bilangan bulat non-­‐nega=f. Contoh: Barisan Fibonacci f0 = 0
Kondisi awal/inisial f1 = 1
f =
f + f untuk n = 2, 3, 4, … Leonardo Pisano Bigollo n
n!1
n!2
a.k.a. Fibonacci Matema(ka Komputasi -­‐ Barisan dan Deret 6 Agi Putra Kharisma, ST., MT. Formula Tertutup (1) Jika kita berhasil membuat suatu persamaan yang memenuhi recurrence rela)on serta menghilangkan kondisi awalnya, dikatakan kita telah memecahkan recurrence rela)on beserta kondisi awalnya. Persamaan yang dihasilkan disebut dengan formula tertutup. Matema(ka Komputasi -­‐ Barisan dan Deret Agi Putra Kharisma, ST., MT. 7 Formula Tertutup (2) Contoh: Tentukan formula tertutup untuk recurrence rela)on berikut a0 = 2; an = an-­‐1 + 3 untuk n = 1,2,3,4,5,… Solusi: a0 = 2 a1 = 2 + 3 a2 = (2 + 3) + 3 = 2 + 3.2 a3 = (2 + 3 + 3) + 3 = 2 + 3.3 … Formula tertutup, an = 2 + 3(n) untuk n = 0,1,2,3,4,5,… tanpa kondisi awal Matema(ka Komputasi -­‐ Barisan dan Deret Agi Putra Kharisma, ST., MT. 8 Deret Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan. n
am + am+1 +... + an
aj
!
j=m
Contoh: 5
3+ 5 + 7 + 9 +11 = 35
! 2 j +1
j=1
Matema(ka Komputasi -­‐ Barisan dan Deret Agi Putra Kharisma, ST., MT. 9 Bentuk Tertutup Deret juga dapat dinyatakan dalam bentuk tertutup, beberapa yang cukup berguna adalah: Telescoping Sum Sumber: Kenneth H. Rosen. Discrete Mathema)cs and Its Applica)ons Matema(ka Komputasi -­‐ Barisan dan Deret Agi Putra Kharisma, ST., MT. 10 •  Deret Aritme=ka n
Dn = (2a + (n !1)b)
2
Telescoping Sum •  Deret Geometris n
a(1! r )
Dn =
(1! r)
Keterangan: Dn : Jumlah deret suku ke-­‐n a : Suku pertama b : beda antar suku berurutan r : rasio antar suku berurutan Matema(ka Komputasi -­‐ Barisan dan Deret Agi Putra Kharisma, ST., MT. 11 Faktorial n! = n.(n-­‐1).(n-­‐2)…3.2.1 Jika n = 0, n! = 1. Jika n > 1, n! = n.(n-­‐1)! Contoh: Pendefinisian secara rekursif 5! = 5.4.3.2.1 = 120 Matema(ka Komputasi -­‐ Barisan dan Deret Agi Putra Kharisma, ST., MT. 12 La=han 1.  Tulis deret berikut dalam notasi deret (summa)on): 12 – 22 + 32 – 42 + 52 – 62 + 72 2.  Tentukan nilai dari: 5
3
2
!! j k
2
j=1 k=1
3.  Gabungkan deret berikut dalam satu notasi n
deret (summa)on): n
2" (3k 2 + 4) + 5" (2k 2 !1)
k=1
k=1
Matema(ka Komputasi -­‐ Barisan dan Deret Agi Putra Kharisma, ST., MT. 13 La=han 4.  Pada deret di bawah, ubah variabel k dengan variabel: j = k – 1 n+1
! k $
'#" n + k &%
k=1
Matema(ka Komputasi -­‐ Barisan dan Deret Agi Putra Kharisma, ST., MT. 14 Referensi Kenneth H. Rosen. Discrete Mathema)cs and Its Applica)ons 7th Ed. Rinaldi Munir. Matema)ka Diskrit edisi ke)ga. Susanna S .Epp. Discrete Mathema)cs with Applica)ons 4th Ed. Matema(ka Komputasi -­‐ Barisan dan Deret Agi Putra Kharisma, ST., MT. 15