Integral Parsial Oleh Fasya Nabila Meili

INTEGRAL PARSIAL
Disusun oleh :
FASYA NABILA MEILINDA
16310164
Pendidikan Matematika 1E
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA ILMU PENGETAHUAN
ALAM DAN TEKNOLOGI INFORMASI
UNIVERSITAS PGRI SEMARANG
2018
1
I. INTEGRAL PARSIAL
Integral Parsial adalah suatu cara untuk menaikan pangkat suatu bilangan dua
perkalian fungsi yang berbeda sehingga fungsi bilangan tersebut dapat menaikan
pangkatnya (diintegralkan). Integral parsial dihubungkan dengan fungsi bilangan (𝑢) dan
(𝑑𝑣) yang fungsi tersebut akan dikali dan diintegralkan sesuai dengan aturan rumus
integral parsial.
Integral Parsial memiliki cara khusus dimana dua bilangan fungsi dari (𝑢) dan
(𝑑𝑣) akan dihitung untuk mencari penurunan pangkat dari (𝑢) atau biasa disebut (du) dan
mencari kenaikan pangkat (𝑑𝑣) atau biasa disebut (v). Bilangan fungsi-fungsi diatas
memiliki hubungan yang sangat penting dalam integral parsial
Sering kali terdapat banyak pendapat yang menyatakan bahwa integral parsial
hampir sama penyederhanaannya seperti integral subtitusi. Padahal dalam konsep
penyederhanaan integral parsial lebih rumit dibandingkan integral subtitusi. Integral
parsial menyederhanakan fungsi dengan pemilihan fungsi yang akan diturunkan dan yang
akan diintegralkan untuk membuat fungsi-fungsi baru yang akan digunakan pada rumus
integral parsial.
Integral parsial merupakan suatu metode yang sering digunakan untuk
mengintegralkan hasil kali dua fungsi, yang berdasarkan pada formula hasil kali dua
fungsi sebagai berikut.
𝑑(𝑢 . 𝑣) = 𝑢 𝑑𝑣 + 𝑣 𝑑𝑢
Dengan mengintegralkan kedua ruas, diperoleh :
∫ 𝑑 (𝑢 . 𝑣) = ∫ 𝑢 𝑑𝑣 + ∫ 𝑣 𝑑𝑢
𝑢 . 𝑣 = ∫ 𝑢 𝑑𝑣 + ∫ 𝑣 𝑑𝑢
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
Bentuk integral parsial di atas dapat dicirikan dalam dua bagian yaitu bagian yang
diturunkan dan bagian yang diintegralkan. Dalam keadaan ini, integral parsial sering
dikenal sebagai integral sebagian.
Pada formula integral parsial, ∫ 𝑢 𝑑𝑣 dapat dicirikan bahwa integralnya terdiri
dari dua bagian, yaitu sebuah fungsi u dan sebuah diferensial dari fungsi 𝑑𝑣 . Pemilihan
fungsi 𝑢 dapat diambil apabila diturunkan terus menerus hasil akhirnya nol atau bentuk
turunannya mempermudah pengintegralan bentuk ∫ 𝑢 𝑑𝑣, sedangkan 𝑑𝑣 dipilih atau
diambil agar dapat dengan mudah diintegralkan.
2
II. INTEGRAL PARSIAL TERHADAP FUNGSI ALJABAR
Integral parsial terhadap fungsi aljabar dapat diselesaikan berdasarkan formula,
tabulasi, maupun dengan konsep dasar berkata – kata tentang tururnan, integral, dan
lawan tanda yang akan dijelaskan pada contoh berikut.
Petunjuk :
Pergunakan formula
 ∫(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛 𝑑𝑥
=
1
(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛+1 + 𝐶
𝑎(𝑛 + 1)
 ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
Petunjuk :
Aturan berkata – kata :
Proses awal
: Tulis – integralkan
Proses kedua
: Lawan tanda- turunkan-integralkan
Proses selanjutnya: Lakukan berulang- ulang proses kedua sampai turunan menemui
nol, stop dan tambahkan C.
Contoh 1
Selesaikan integral parsial ∫ 𝑥√4𝑥 𝑑𝑥
Jawab :
Cara formula:
1
∫ 𝑥√4𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 (4𝑥 − 1)2 𝑑𝑥
Misalkan :
𝑢 = 𝑥 ⇾ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
1
𝑑𝑣 = (4𝑥 − 1)𝑑𝑥 ⇾ 𝑣 = ∫(4𝑥 − 1)2 𝑑𝑥
1
= ∫(4𝑥 − 1)2
=
𝑑 (4𝑥 − 1)
4
1
1
∫(4𝑥 − 1)2 𝑑(4𝑥 − 1)
4
1
1 2
. (4𝑥 − 1)2
4 3
3
2
(4𝑥 − 1)2
=
12
3
1
= (4𝑥 − 1)2
6
1
= (4𝑥 − 1)√4𝑥 − 1
6
=
3
3
1
1
𝑥 (4𝑥 − 1)√4𝑥 − 1 − ∫ (4𝑥 − 1)2 𝑑𝑥
6
6
∫ 𝑥√4𝑥 𝑑𝑥 =
=
3 𝑑 (4𝑥 − 1)
1
1
𝑥 (4𝑥 − 1)√4𝑥 − 1 − ∫(4𝑥 − 1)2
6
6
4
=
3
1
1
𝑥 (4𝑥 − 1)√4𝑥 − 1 − ∫(4𝑥 − 1)2 𝑑 (4𝑥 − 1)
6
24
=
5
1
1 2
𝑥 (4𝑥 − 1)√4𝑥 − 1 − . . (4𝑥 − 1)2 + 𝐶
6
24 5
=
1
6
2
𝑥 (4𝑥 − 1)√4𝑥 − 1 − 120 . (4𝑥 − 1)2 √4𝑥 − 1 + 𝐶
1
1
𝑥 (4𝑥 − 1)√4𝑥 − 1 −
. (4𝑥 − 1)2 √4𝑥 − 1 + 𝐶
6
60
1
1
𝐽𝑎𝑑𝑖. ∫ 𝑥√4𝑥 𝑑𝑥 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑥 (4𝑥 − 1)√4𝑥 − 1 −
. (4𝑥 − 1)2 √4𝑥 − 1 + 𝐶
6
60
=
Cara tabulasi :
𝑈𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑚𝑒𝑛𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛 ∫ 𝑥 √4𝑥 − 1 𝑑𝑥, 𝑑𝑖𝑠𝑢𝑠𝑢𝑛 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑏𝑎𝑔𝑎𝑖 𝑏𝑒𝑟𝑖𝑘𝑢𝑡.
Turunkan
Integralkan
∫𝑥
√4𝑥 − 1 dx
1 2
. (4𝑥 − 1)√4𝑥 − 1
4 3
1 1 2
(−) . . (4𝑥 − 1)2 √4𝑥 − 1
6 4 5
1
(+)
0
∫ 𝑥 √4𝑥 − 1 𝑑𝑥 =
1
1
𝑥 (4𝑥 − 1)√4𝑥 − 1 −
. (4𝑥 − 1)2 √4𝑥 − 1 + 𝐶
6
60
Cara berkata – kata (cara Kino) :
∫ 𝑥 √4𝑥 − 1 𝑑𝑥 = ?
Proses awal :
Tulis
x≡x
Integralkan
√4𝑥 − 1
1
2
.(
) (4𝑥 − 1)2 √4𝑥 − 1
4 1.2 + 1
1
≡ (4𝑥 − 1)√4𝑥 − 1
6
≡
Diperoleh
1
6
(4𝑥 − 1)√4𝑥 − 1
4
Proses kedua :
1
1
Lawan tanda
(6 𝑥) ≡ − 6 𝑥
Turunkan
(− 6 𝑥) ≡ − 6
Integralkan
(4𝑥 − 1)√4𝑥 − 1 ≡
1
1
≡
1
1
4
2
. (1.2+1) (4𝑥 − 1)2 √4𝑥 − 1
1
(4𝑥 − 1)2 √4𝑥 − 1
10
1
1
Diperoleh (− 6) . 10 (4𝑥 − 1)2 √4𝑥 − 1 ≡ − 60 . (4𝑥 − 1)2 √4𝑥 − 1
Proses ketiga :
1
1
− (60) = 60
Lawan tanda
1
Turunkan (60) ≡ 0 (𝑠𝑡𝑜𝑝)
≡ +C
Tulis
Diperoleh
1
1
𝑥 (4𝑥 − 1)√4𝑥 − 1 −
. (4𝑥 − 1)2 √4𝑥 − 1 + 𝐶
6
60
∫ 𝑥 √4𝑥 − 1 𝑑𝑥 =
1
1
𝑥 (4𝑥 − 1)√4𝑥 − 1 −
. (4𝑥 − 1)2 √4𝑥 − 1 + 𝐶
6
60
𝐽𝑎𝑑𝑖 ∫ 𝑥 √4𝑥 − 1 𝑑𝑥 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ
Contoh 2
Selesaikanlah∫ x√4𝑥 − 1 dx dengan cara manipulasi aljabar dan substitusi
Jawab:
1
1
∫ x √4x − 1 dx = ∫ 4 (4x − 1)√4x − 1 dx + 4∫ √4x − 1 dx
1
1
= 4∫ (4x − 1)√4x − 1 dx + 4∫ √4x − 1 dx
.................... (1)
Bentuk (1) merupakan bentuk integral substitusi dan diselesaikan dengan cara
substitusi berikut :
1
∫ x √4𝑥 − 1 dx = 4 ((2
2
1
) (4𝑥 − 1)2√4𝑥 − 1 + 4 ((1
. 2+1
Jadi, ∫ x √4𝑥 − 1 dx adalah
1
10
2
) (4𝑥 − 1)√4𝑥 − 1 + C
. 2+1
1
(4𝑥 − 1)2√4𝑥 − 1 + 6 (4𝑥 − 1)√4𝑥 − 1 + c
Contoh 2
Selesaikanlah integral parsial ∫ x2 (2x + 7)3 dx dengan cara Kino.
Jawab:
Proses awal:
Tulis
x2 ≡ x2
Integralkan
(2x + 7)3≡ 2 . 4 (2𝑥 + 7)4 = 8 (2x + 7)4
1
1
1
5
1
Diperoleh
𝑥 2 (2x + 7)4
8
Proses kedua:
1
Lawan tanda
1
𝑥2≡ - 8 𝑥2
8
1
1
Turunkan
(− 8 𝑥 2 ) ≡ -4 𝑥 2
Integralkan
(2x + 7)4 ≡ 2 . 5 (2x + 7)5 = 10 (2x + 7)5
Diperoleh
− 4 𝑥 . 10 (2x + 7)5 = − 40 (2x + 7)5
1
1
1
1
1
1
Proses ketiga:
Lawan tanda
1
1
Turunkan
1
(− 40 𝑥) ≡ 40 𝑥
40
𝑥 ≡
1
40
1
1
1
(2x + 7)5≡ 2 . 6 (2x + 7)5 = 12 (2x + 7)5
Integralkan
1
Diperoleh
1
40
1
. 12 (2x + 7)6 = 480 (2x + 7)6
Proses keempat:
1
1
Lawan tanda
(480 ) = − 480
Turunkan
(− 480) ≡ 0 (stop)
Diperoleh
c
1
Jadi, ∫ x2 (2x + 7)3 dx adalah
1
8
1
1
𝑥 2 (2x + 7)4 - 40 𝑥(2x + 7)5 + 480 (2x + 7)6 + C
III. INTEGRAL PARSIAL TERHADAP FUNGSI TRIGONOMETRI
Integral parsial terhadap fungsi yang melibatkan fungsi aljabar maupun fungsi
trigonometri dapat dilihat pada beberapa contoh berikut ini.
MEMO
∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶
∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶
Contoh 1
(Integral parsial yang melibatkan fungsi trigonometri)
Selesaikan integral ∫ 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 dengan ketiga cara seperti pada integral parsial
terhadap fungsi aljabar (cara formula, cara tabulasi, dan cara Kino)
6
Jawab :
Cara formula :
∫ 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 = ?
Misalkan :
𝑢 = 𝑥 ⇾ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑑𝑣 = sin 𝑥 𝑑𝑥 ⇾ 𝑣 = ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥
Berdasarkan formula : ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 . 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢, 𝑑𝑖𝑝𝑒𝑟𝑜𝑙𝑒ℎ
∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = − x cos 𝑥 − ∫ − cos 𝑥 𝑑𝑥
= − x cos 𝑥 + ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥
𝐽𝑎𝑑𝑖, ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ − x cos 𝑥 + ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥
MEMO
Turunkan
Integral
∫𝑥
sin 𝑥 𝑑𝑥
1
− cos 𝑥 (+)
0
− sin 𝑥 (−)
−𝑥 cos 𝑥 + sin 𝑥 + 𝑐
Cara tabulasi :
Berdasarkan memo di atas jadi, ∫ 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 . cos 𝑥 + sin 𝑥 + 𝐶
Cara Kino :
Proses awal :
Tulis
x≡x
Integralkan
sin x ≡ - cos x
Diperoleh
-x cos x
Proses kedua :
Lawan tanda
(-x) ≡ x
Turunkan
x≡1
Integralkan
cos x ≡ sin x
Diperoleh
sin x
7
Proses ketiga :
Lawan tanda
1 ≡ -1
Turunkan
1 ≡ 0 (stop)
Diperoleh
c
𝐽𝑎𝑑𝑖, ∫ 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 cos 𝑥 + sin 𝑥 + 𝐶
Contoh 2
(Bentuk integral parsial dua kali)
Selesaikanlah integral berikut dengan cara formula ∫ 𝑥 2 sin 𝑥 𝑑𝑥
Jawab :
 Proses integral parsial pertama :
Misal : 𝑢 = 𝑥 2 ⇾ 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑣 = sin 𝑥 𝑑𝑥 ⇾ 𝑣 = ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥
𝑣 = − cos 𝑥
∫ 𝑥 2 sin 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 2 cos 𝑥 + ∫ 2𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥
 Perhatikan ∫ 2𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥, terjadi proses integrasi parsial kedua :
𝑢 = 2𝑥 ⇾ 𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑥
Misal :
𝑑𝑣 = cos 𝑥 𝑑𝑥 ⇾ 𝑣 = ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥
∫ 2𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑥 sin 𝑥 − 2 ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥
= 2𝑥 sin 𝑥 + 2 cos 𝑥 + 𝐶
𝐽𝑎𝑑𝑖, ∫ 𝑥 2 sin 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 2 cos 𝑥 + 2𝑥 sin 𝑥 + 2 cos 𝑥 + 𝐶
Contoh 3
(Integral parsial terhadap fungsi trigonometri)
Memo :
y = arc tan x = tan−1 𝑥
𝑑𝑦
1
=
𝑑𝑥
1 + 𝑥2
𝑑𝑥
𝑑𝑦 =
1 + 𝑥2
Selesaikanlah dengan integral parsial : ∫ 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥 𝑑𝑥
Jawab :
8
Misalkan : 𝑢 = 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥 ⇾ 𝑑𝑢 =
𝑑𝑢
1 +𝑥 2
𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 ⇾ 𝑣 = ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥
∫ 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥 − ∫
= 𝑥 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥 − ∫
= 𝑥 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥 −
𝑥 𝑑𝑥
1 + 𝑥2
𝑥 𝑑 (1 + 𝑥 2 )
(1 + 𝑥 2 ). 2𝑥
1
ln|1 + 𝑥 2 | + 𝐶
2
= 𝑥 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥 − ln √1 + 𝑥 2 + 𝐶
𝐽𝑎𝑑𝑖, ∫ 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥 𝑑𝑥 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑥 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥 − ln √1 + 𝑥 2 + 𝐶
Contoh 4
(Integral parsial melibatkan fungsi logaritma)
MEMO
 ln 𝑥 =
𝑒
log 𝑥
 y = ln 𝑥 ⇾
1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
𝑥
 dy = 𝑥 𝑑𝑥
Carilah : ∫ 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥
Jawab :
1
Misalkan, 𝑢 = ln 𝑥 ⇾ 𝑑𝑢 = 𝑥 𝑑𝑥
1
𝑑𝑣 = 𝑥 𝑑𝑥 ⇾ 𝑣 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 2
2
∫ 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥 =
=
1 2
1
1
𝑥 ln 𝑥 − ∫ 𝑥 2 . 𝑑𝑥
2
2
𝑥
1 2
1
𝑥 ln 𝑥 − ∫ 𝑥 𝑑𝑥
2
2
1 2
1
𝑥 ln 𝑥 − 𝑥 2 + 𝐶
2
4
1
1
𝐽𝑎𝑑𝑖, ∫ 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑥 2 ln 𝑥 − 𝑥 2 + 𝐶
2
4
=
9
Pengintegralan Parsial Berulang
Terkadang dalam soal, kita perlu menerapkan pengintegralan parsial beberapa kali seperti
contoh berikut.
MEMO
 𝑦 = 𝑒𝑥
Contoh 5
⇾ 𝑑𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥
(Integral parsial berulang)
𝑥
Selesaikan integral ∫ 𝑒 sin 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎.
 ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝐶
Jawab :
Cara formula :
Dalam soal ini, kita dapat memisalkan sembarang 𝑢 𝑑𝑎𝑛 𝑣.
Misal pilih :
𝑢 = 𝑒 𝑥 ⇾ 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑣 = cos 𝑥 𝑑𝑥 ⇾ 𝑣 = ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥
∫ 𝑒 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒 𝑥 cos 𝑥 + ∫ 𝑒 𝑥 cos 𝑑𝑥
......................... (1)
Pandang bentuk ∫ 𝑒 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥
𝑢 = 𝑒 𝑥 ⇾ 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥
Pilih :
𝑑𝑣 = cos 𝑥 𝑑𝑥 ⇾ 𝑣 = sin 𝑥
∫ 𝑒 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 sin 𝑥 − ∫ 𝑒 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶
..................... (2)
Subsitusikan persamaan (2) ke (1), diperoleh :
∫ 𝑒 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒 𝑥 cos 𝑥 + 𝑒 𝑥 sin 𝑥 − ∫ 𝑒 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶
2 ∫ 𝑒 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒 𝑥 cos 𝑥 + 𝑒 𝑥 sin 𝑥 + 𝐶
2 ∫ 𝑒 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 (sin 𝑥 − cos 𝑥) + 𝐶
∫ 𝑒 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 =
1 𝑥
𝑒 (sin 𝑥 − cos 𝑥) + 𝐶
2
𝐽𝑎𝑑𝑖, ∫ 𝑒 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ
1 𝑥
𝑒 (sin 𝑥 − cos 𝑥) + 𝐶
2
Cara tabulasi :
Turunkan
Integralkan
∫ 𝑒𝑥
sin 𝑥 𝑑𝑥
𝑒𝑥
− cos 𝑥
𝑒𝑥
(− sin 𝑥)
(+)
(+)
(-)
10
∫ 𝑒 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒 𝑥 cos 𝑥 + 𝑒 𝑥 sin 𝑥 − ∫ 𝑒 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶
∫ 𝑒 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑒 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 = 𝑒 𝑥 (sin 𝑥 − cos 𝑥) + 𝐶
2 ∫ 𝑒 𝑥 sin 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 (sin 𝑥 − cos 𝑥) + 𝐶
1
𝐽𝑎𝑑𝑖, ∫ 𝑒 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ
2
𝑒 𝑥 (sin 𝑥 − cos 𝑥) + 𝐶
Cara Kino :
Proses awal :
Tulis
𝑒𝑥 ≡ 𝑒𝑥
Integralkan
sin 𝑥 ≡ − cos 𝑥
Diperoleh −𝑒 𝑥 cos 𝑥
Proses kedua:
Lawan tanda
(𝑒 𝑥 ) ≡ 𝑒 𝑥
Turunkan 𝑒 𝑥 ≡ 𝑒 𝑥
Integralkan
cos 𝑥 ≡ sin 𝑥
Diperoleh 𝑒 𝑥 sin 𝑥
Proses ketiga:
Lawan tanda
𝑒 𝑥 ≡ −𝑒 𝑥
Turunkan −𝑒 𝑥 ≡ −𝑒 𝑥
Karena yang diintegralkan sin 𝑥, bentuk kembali ke awal, diperoleh :
− ∫ 𝑒 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥
∫ 𝑒 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒 𝑥 cos 𝑥 + 𝑒 𝑥 sin 𝑥 − ∫ 𝑒 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥
2 ∫ 𝑒 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 (sin 𝑥 − cos 𝑥) + 𝐶
∫ 𝑒 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 =
1 𝑥
𝑒 (sin 𝑥 − cos 𝑥) + 𝐶
2
𝐽𝑎𝑑𝑖, ∫ 𝑒 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ
1 𝑥
𝑒 (sin 𝑥 − cos 𝑥) + 𝐶
2
11
LATIHAN SOAL
1.
∫ 𝑥 sin 2𝑥 𝑑𝑥
Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u. Secara umum, pedomannya
adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana. Untuk kasus
ini, pilihlah 𝑢 = 𝑥
𝑢=𝑥
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
Karena memilih 𝑢 = 𝑥 berarti 𝑑𝑣 = sin 2𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑣 = sin 2𝑥 𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑣 = ∫ sin 2𝑥 𝑑𝑥
1
𝑣 = − cos 2𝑥
2
Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
1
1
∫ 𝑥 sin 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥. − cos 2𝑥— cos 2𝑥 𝑑𝑥
2
2
1
1
∫ 𝑥 sin 2𝑥 𝑑𝑥 = − x cos 2𝑥 + ∫ cos 2𝑥 𝑑𝑥
2
2
1
1 1
∫ 𝑥 sin 2𝑥 𝑑𝑥 = − x cos 2𝑥 + . sin 2𝑥 + 𝐶
2
2 2
1
1
∫ 𝑥 sin 2𝑥 𝑑𝑥 = − x cos 2𝑥 + sin 2𝑥 + 𝐶
2
4
1
1
Jadi integral parsial dari ∫ 𝑥 sin 2𝑥 𝑑𝑥 adalah − 2 x cos 2𝑥 + 4 sin 2𝑥 + 𝐶
2.
∫ 𝑥 √𝑥 + 1 𝑑𝑥 = ..
Ada dua kemungkinan untuk memisalkan u, yaitu 𝑢 = 𝑥 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑢 = √𝑥 + 1. Tetapi
kita memilih 𝑢 = 𝑥 karena turunannya lebih sederhana dibanding 𝑢 = √𝑥 + 1.
.
Jadi misalkan :
u=x
du = dx
Lalu,
𝑑𝑣 = √𝑥 + 1 𝑑𝑥
12
∫ 𝑑𝑣 = ∫ √𝑥 + 1 𝑑𝑥
1
𝑣 = ∫(𝑥 + 1)2 𝑑𝑥
3
2
= 3 (𝑥 + 1 )2
Lakukan substitusi u dan v
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
3
3
2
2
∫ √𝑥 + 1 𝑑𝑥 = 𝑥 [ (𝑥 + 1)2 )] − ∫ (𝑥 + 1)2 𝑑𝑥
3
3
=
3
3
2
2
𝑥 (𝑥 + 1)2 − ∫(𝑥 + 1)2 𝑑𝑥
3
3
3
5
2
2 2
𝑥 (𝑥 + 1)2 − . (𝑥 + 1)2 + 𝐶
3
3 5
3
5
2
4
(𝑥 + 1)2 + 𝐶
= 𝑥 (𝑥 + 1)2 −
3
15
3
5
2
4
(𝑥 + 1)2 + 𝐶
𝐽𝑎𝑑𝑖, ∫ 𝑥 √𝑥 + 1 𝑑𝑥 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑥 (𝑥 + 1)2 −
3
15
=
3.
∫ 𝑥 2 𝑒 3𝑒 𝑑𝑥 = ..
Melihat soal diatas, ada 2 fungsi yang bisa dijadikan u. Lalu dengan
mempertimbangkan prioritas permisalan, kita memilih 𝑢 = 𝑥 2 𝑑𝑎𝑛 𝑑𝑣 = 𝑒 3𝑥 𝑑𝑥
𝑢 = 𝑥2
𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥
Lalu,
𝑑𝑣 = 𝑒 3𝑥 𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑒 3𝑥 𝑑𝑥
𝑣=
1 3𝑥
𝑒
3
Lakukan substitusi integral parsial
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
1
1
∫ 𝑥 2 𝑒 3𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 2 . 𝑒 3𝑥 − ∫ 𝑒 3𝑥 . 2𝑥 𝑑𝑥
3
3
=
1 2 3𝑥 1
𝑥 𝑒 − ∫ 2𝑥 . 𝑒 3𝑥 𝑑𝑥
3
3
13
Bentuk ∫ 2𝑥 . 𝑒 3𝑥 𝑑𝑥 menyebabkan kita harus sekali lagi melakukan metode integral
parsial. Jadi lakukan permisalan :
𝑢 = 2𝑥
𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑥
Dan sama seperti sebelumnya,
𝑑𝑣 = 𝑒 3𝑥 𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑒 3𝑥 𝑑𝑥
1
𝑣 = 𝑒 3𝑥
3
Lakukan substitusi sekali lagi melanjutkan yang tadi
1 2 3𝑥 1
𝑥 𝑒 − ∫ 2𝑥 . 𝑒 3𝑥 𝑑𝑥
3
3
∫ 𝑥 2 𝑒 3𝑥 𝑑𝑥 =
=
1 2 3𝑥 1
1
1
𝑥 𝑒 − [ 2𝑥 . 𝑒 3𝑥 − ∫ 𝑒 3𝑥 . 2 𝑑𝑥]
3
3
3
3
=
1 2 3𝑥 1 2
2
𝑥 𝑒 − [ 𝑥 𝑒 3𝑥 − ∫ 𝑒 3𝑥 𝑑𝑥
3
3 3
3
1 2 3𝑥 1
𝑥 𝑒 −
3
3
1
2
= 𝑥 2 𝑒 3𝑥 −
3
9
=
Jadi, ∫ 𝑥 2 𝑒 3𝑒 𝑑𝑥 adalah
4.
1
3
2
2 1
𝑥 𝑒 3𝑥 − . 𝑒 3𝑥 + 𝐶]
3
3 3
2 3𝑥
𝑥 𝑒 3𝑥 −
𝑒 + 𝐶
27
[
2
2
𝑥 2 𝑒 3𝑥 − 9 𝑥 𝑒 3𝑥 − 27 𝑒 3𝑥 + 𝐶
∫ 𝑒 𝑥 sin 2𝑥 𝑑𝑥 = . . .
Berdasarkan pedoman permisalan, lakukan permisalan 𝑢 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑑𝑣 = sin 2𝑥 𝑑𝑥
𝑢 = 𝑒𝑥
du = ex 𝑑𝑥
𝑑𝑣 = sin 2𝑥 𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑣 = ∫ sin 2𝑥 𝑑𝑥
1
𝑣 = − cos 2𝑥
2
Lakukan substitusi menggunakan integral parsial
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
1
∫ 𝑒 𝑥 sin 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑋 (− cos 2𝑥) 𝑑𝑥
2
14
= −
= −
1 x
1
e cos 2𝑥 + ∫ cos 2𝑥 𝑒 𝑥 𝑑𝑥
2
2
1 x
1
e cos 2𝑥 + ∫ 𝑒 𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥
2
2
Lakukan proses integral parsial sekali lagi pada persamaan
dengan memilih
lagi, dengan
, kali ini
. Karena persamaan u sama,
langsung saja ke persamaan dv
𝑑𝑣 = cos 2𝑥 𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑣 = ∫ cos 2𝑥 𝑑𝑥
1
𝑣 = sin 2𝑥
2
Substitusikan untuk ∫ ex cos 2x dx
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 𝑣 − 𝑣 𝑑𝑢
∫ 𝑒 𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 .
=
1
1
sin 2𝑥 − ∫ sin 2𝑥 𝑒 𝑥 𝑑𝑥
2
2
1 𝑥
1
𝑒 sin 2𝑥 − ∫ 𝑒 𝑥 sin 2𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶
2
2
Tulis lagi persamaan semula, dan lakukan substitusi,
∫ 𝑒 𝑥 sin 2𝑥 𝑑𝑥 = −
1 𝑥
1
𝑒 cos 2𝑥 + ∫ 𝑒 𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶
2
2
1
1 1
1
∫ 𝑒 𝑥 sin 2𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑒 𝑥 cos 2𝑥 + [ 𝑒 𝑥 sin 2𝑥 − ∫ 𝑒 𝑥 sin 2𝑥 𝑑𝑥] + 𝐶
2
2 2
2
1
1 1
1
∫ 𝑒 𝑥 sin 2𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑒 𝑥 cos 2𝑥 + [ 𝑒 𝑥 sin 2𝑥 − ∫ 𝑒 𝑥 sin 2𝑥 𝑑𝑥] + 𝐶
2
2 2
2
∫ 𝑒 𝑥 sin 2𝑥 𝑑𝑥 +
1
1
1
∫ 𝑒 𝑥 sin 2𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑒 𝑥 cos 2𝑥 + 𝑒 𝑥 sin 2𝑥 + 𝐶
4
2
4
5
1
1
∫ 𝑒 𝑥 sin 2𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑒 𝑥 cos 2𝑥 + 𝑒 𝑥 sin 2𝑥 + 𝐶
4
2
4
∫ 𝑒 𝑥 sin 2𝑥 𝑑𝑥 =
4
1
1
[ − 𝑒 𝑥 cos 2𝑥 + 𝑒 𝑥 sin 2𝑥] + 𝐶
5
2
4
2
1
∫ 𝑒 𝑥 sin 2𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑒 𝑥 cos 2𝑥 + 𝑒 𝑥 sin 2𝑥 + 𝐶
5
5
2
1
𝐽𝑎𝑑𝑖, ∫ 𝑒 𝑥 sin 2𝑥 𝑑𝑥 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ − 𝑒 𝑥 cos 2𝑥 + 𝑒 𝑥 sin 2𝑥 + 𝐶
5
5
15
5.
∫ 𝑥 sin 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = . .
Sesuai dengan prioritas permisalan, maka kita pilih persamaan 𝑢 = 𝑥 dan
𝑑𝑣 = sin 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥
𝑢=𝑥
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
Dan,
𝑑𝑣 = sin 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑣 = ∫ sin 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥
𝑣 = ∫ sin 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥
1
𝑣 = ∫ . 2 sin 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥
2
𝑣= ∫
𝑣=
1
sin 2𝑥 𝑑𝑥
2
1
∫ sin 2𝑥 𝑑𝑥
2
1
1
. − cos 2𝑥
2
2
1
𝑣 = − cos 2𝑥
4
𝑣=
Masukkan ke dalam rumus integral parsial
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
1
1
∫ 𝑥 sin 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥. − cos 2𝑥 − ∫ − cos 2𝑥 𝑑𝑥
4
4
1
1
= − x cos 2𝑥 + ∫ cos 2𝑥 𝑑𝑥
4
4
1
1 1
= − x cos 2𝑥 + . sin 2𝑥 + 𝐶
4
4 2
1
1
= − x cos 2𝑥 + sin 2𝑥 + 𝐶
4
8
1
1
𝐽𝑎𝑑𝑖, ∫ 𝑥 sin 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ − x cos 2𝑥 + sin 2𝑥 + 𝐶
4
8
6.
∫ 𝑥 3 sin 𝑥 𝑑𝑥 =. .
𝑀𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 𝑢 = 𝑥 3 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑑𝑢 = 3𝑥 2 𝑑𝑥
𝐿𝑎𝑙𝑢 𝑑𝑣 = sin 𝑥 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑣 = − cos 𝑥. 𝑆𝑒𝑡𝑒𝑙𝑎ℎ itu masukkan ke rumus integral
parsial.
∫ 𝑥 3 sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 3 . − cos 𝑥 − ∫ − cos 3𝑥 2 𝑑𝑥
16
= −𝑥 3 cos 𝑥 + 3 ∫ 𝑥 2 cos 𝑑𝑥
Misalkan lagi untuk melakukan integral parsial pada ∫ 3𝑥 2 cos 𝑥 𝑑𝑥. Kali ini pilihlah
𝑢 = 𝑥 2 sehingga 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥.
Lalu 𝑑𝑣 = cos 𝑥 𝑑𝑥 sehingga 𝑣 = sin 𝑥 dan masukkan kembali ke rumus integral
parsial
∫ 𝑥 3 sin 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 3 cos 𝑥 + 3 ∫ 𝑥 2 cos 𝑥 𝑑𝑥
= −𝑥 3 cos 𝑥 + 3 [𝑥 2 . sin 𝑥 − ∫ sin 𝑥 2𝑥 𝑑𝑥]
= −𝑥 3 cos 𝑥 + 3𝑥 2 sin 𝑥 − 3 ∫ 2𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥
= −𝑥 3 cos 𝑥 + 3𝑥 2 sin 𝑥 − 6 ∫ 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥
Karena masih ada bentuk integral parsial di penyelesaian, maka misalkan sekali lagi.
Kali ini 𝑢 = 𝑥 sehingga 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
Lalu 𝑑𝑣 = sin 𝑥 𝑑𝑥 sehingga 𝑣 = − cos 𝑥
Masukkan ke rumus integral parsial lagi
∫ 𝑥 3 sin 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 3 cos 𝑥 + 3𝑥 2 sin 𝑥 − 6 ∫ 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥
= −𝑥 3 cos 𝑥 + 3𝑥 2 sin 𝑥 − 6 [ 𝑥. − cos 𝑥— cos 𝑥 𝑑𝑥
= −𝑥 3 cos 𝑥 + 3𝑥 2 sin 𝑥 + 6𝑥 cos 𝑥 − 6 ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥
= −𝑥 3 cos 𝑥 + 3𝑥 2 sin 𝑥 + 6𝑥 cos 𝑥 − 6 sin 𝑥 + 𝐶
𝐽𝑎𝑑𝑖, ∫ 𝑥 3 sin 𝑥 𝑑𝑥 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ = −𝑥 3 cos 𝑥 + 3𝑥 2 sin 𝑥 + 6𝑥 cos 𝑥 − 6 sin 𝑥 + 𝐶
7.
∫ 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = ....
𝑢 𝑥 ⇾ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑑𝑣 = cos 𝑥 𝑑𝑥 ⇾ 𝑣 = sin 𝑥
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
∫ 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 sin 𝑥 − ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥
∫ 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥 + 𝐶
17
𝐽𝑎𝑑𝑖, ∫ 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥 + 𝐶
8.
∫ 𝑥 2 sin 𝑥 𝑑𝑥 = …
Jawab :
𝑢 = 𝑥 2 → 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑣 = sin 𝑥 𝑑𝑥 ⇾ 𝑣 = − cos 𝑥
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
∫ 𝑥 2 sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 2 (− cos x)— cos 𝑥 .2𝑥 𝑑𝑥
∫ 𝑥 2 sin 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 2 cos 𝑥 + 2 ∫ 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥
Maka diperoleh :
∫ 𝑥 2 sin 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 2 cos 𝑥 + 2(𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥) + 𝐶
∫ 𝑥 2 sin 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 2 cos 𝑥 + 2𝑥 sin 𝑥 + 2 cos 𝑥 + 𝐶
𝐽𝑎𝑑𝑖, ∫ 𝑥 2 sin 𝑥 𝑑𝑥 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ −𝑥 2 cos 𝑥 + 2𝑥 sin 𝑥 + 2 cos 𝑥 + 𝐶
9.
∫ 𝑥 3 cos 𝑥 𝑑𝑥 =...
Jawab :
𝑢 = 𝑥 3 ⇾ 𝑑𝑢 = 3𝑥 2 𝑑𝑥
𝑑𝑣 = cos 𝑥 𝑑𝑥 → 𝑣 = sin 𝑥
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
∫ 𝑥 3 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 3 sin 𝑥 .3𝑥 2 𝑑𝑥
∫ 𝑥 3 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 3 sin 𝑥 − 3 ∫ 𝑥 2 sin 𝑥 𝑑𝑥
Maka diperoleh,
18
∫ 𝑥 3 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 3 sin 𝑥 − 3(−𝑥 2 cos 𝑥 + 2𝑥 sin 𝑥 + 2 cos 𝑥) + 𝐶
∫ 𝑥 3 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 3 sin 𝑥 + 3𝑥 2 cos 𝑥 − 6𝑥 sin 𝑥 − 6 cos 𝑥 + 𝐶
𝐽𝑎𝑑𝑖 ∫ 𝑥 3 cos 𝑥 𝑑𝑥 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑥 3 sin 𝑥 + 3𝑥 2 cos 𝑥 − 6𝑥 sin 𝑥 − 6 cos 𝑥 + 𝐶
1
10. Hasil dari ∫ 2𝑥𝑥 cos 2 𝑥 𝑑𝑥 =...
Jawab :
𝑀𝑖𝑠𝑎𝑙 ∶ 𝑢 = 2𝑥 → 𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑥
1
1
𝑑𝑣 = cos 𝑥 ⇾ 𝑣 = 2 sin 𝑥
2
2
1
1
1
∫ 2𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑥 . 2 sin 𝑥 − ∫ 2 sin 𝑥 2 𝑑𝑥
2
2
2
1
1
= 4𝑥 sin 𝑥 − 4(−2 cos 𝑥) + 𝐶
2
2
1
1
= 4𝑥 sin 𝑥 + 8 cos 𝑥 + 𝐶
2
2
1
1
1
𝐽𝑎𝑑𝑖, ∫ 2𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 4𝑥 sin 𝑥 + 8 cos 𝑥 + 𝐶
2
2
2
11. Hasil ∫ 𝑥 2 sin 2𝑥 𝑑𝑥 =...
Jawab :
𝑀𝑖𝑠𝑎𝑙 𝑢 = 𝑥 2 ⇾ 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥
1
𝑑𝑣 = sin 2𝑥 𝑑𝑥 ⇾ 𝑣 = − cos 2𝑥
2
1
1
∫ 𝑥 2 sin 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 2 − cos 2𝑥— cos 2𝑥. 2𝑥 𝑑𝑥
2
2
1
= − 𝑥 2 cos 2𝑥 + ∫ 𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥
2
1
1
= − 𝑥 2 cos 2𝑥 + [𝑥 2 sin 2𝑥 − ∫
2
1
2
sin 2𝑥 𝑑𝑥]
1
1
1
= − 𝑥 2 cos 2𝑥 + 2 x sin 2𝑥 + 2 cos 2𝑥
2
1
1
𝐽𝑎𝑑𝑖, ∫ 𝑥 2 sin 2𝑥 𝑑𝑥 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ − 𝑥 2 cos 2𝑥 + 2 x sin 2𝑥 +
2
1
2
cos 2𝑥
12. ∫ 𝑥 √16 − 𝑥 2 𝑑𝑥
𝑀𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛
𝑢 = √16 − 𝑥 2
𝑢2 = 16 − 𝑥 2
19
2𝑢 𝑑𝑢 = −2𝑥 𝑑𝑥
𝑢 𝑑𝑢 = −𝑥 𝑑𝑥
𝑥 𝑑𝑥 = −𝑢 𝑑𝑢
𝑀𝑎𝑘𝑎 ∫ 𝑥 √16 − 𝑥 2 𝑑𝑥
= ∫ √16 − 𝑥 2 𝑥 𝑑𝑥
= ∫ 𝑢. (−𝑢)𝑑𝑢
= ∫ −𝑢2 𝑑𝑢
1
= [− 𝑢3 ] + 𝐶
3
3
1
= − (√16 − 𝑥 2 ) + 𝐶
3
1
= − (16 − 𝑥 2 )(√16 − 𝑥^2) + 𝐶
3
1
𝐽𝑎𝑑𝑖, ∫ 𝑥 √16 − 𝑥 2 𝑑𝑥 adalah − (16 − 𝑥 2 )(√16 − 𝑥^2) + 𝐶
3
13. ∫ 𝑥 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 =....
𝑢 = 𝑥 ⇾ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑑𝑣 = 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 ⇾ 𝑣 = ∫ 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒 −𝑥
∫ 𝑢 . 𝑑𝑣 = 𝑢 𝑣 − ∫ 𝑣 . 𝑑𝑢
∫ 𝑥 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥. (−𝑒 −𝑥 )𝑑𝑥
= 𝑥 . (−𝑒 −𝑥 ) − (𝑒 −𝑥 ) + 𝐶
= −𝑒 −𝑥 (𝑥 + 1) + 𝐶
𝐽𝑎𝑑𝑖, ∫ 𝑥 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ − 𝑒 −𝑥 (𝑥 + 1) + 𝐶
14. 𝑇𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛 ℎ𝑎𝑠𝑖𝑙 𝑑𝑎𝑟𝑖 ∫ 𝑥(𝑥 + 4)5 𝑑𝑥
Turunkan
Integralkan dv
x (+)
(𝑥 + 4)5 𝑑𝑥
1 (-)
(𝑥 + 4)6
0
1
(𝑥 + 4)7
7
Selanjutnya jumlahkan hasil kali baris di atas :
∫ 𝑥(𝑥 + 4)5 𝑑𝑥 = 𝑥[(𝑥 + 4)6 ] − 1 [
1
(𝑥 + 4)7 ] + 𝐶
42
20
1
(𝑥 + 4)(𝑥 + 4)6 ] + 𝐶
42
1
2
= 𝑥(𝑥 + 4)6 − [( 𝑥 + ) (𝑥 + 4)6 ] + 𝐶
42
21
1
2
= [𝑥 − ( 𝑥 + )]. (𝑥 + 4)6 + 𝐶
42
21
1
2
= (𝑥 −
𝑥 − ) . (𝑥 + 4)6 + 𝐶
42
21
6
2
= ( 𝑥 − ) . (𝑥 + 4)6 + 𝐶
42
21
1
2
= ( 𝑥 − ) . (𝑥 + 4)6 + 𝐶
7
21
1
(3𝑥 − 2) . (𝑥 + 4)6 + 𝐶
=
21
1
(3𝑥 − 2) . (𝑥 + 4)6 + 𝐶
𝐽𝑎𝑑𝑖, ∫ 𝑥(𝑥 + 4)5 𝑑𝑥 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ
21
= 𝑥(𝑥 + 4)6 − [
15. 𝑇𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛 ℎ𝑎𝑠𝑖𝑙 𝑑𝑎𝑟𝑖 ∫(4𝑥 + 2) cos(2𝑥 + 5)𝑑𝑥
Jawab :
Turunkan
Integralkan dv
4𝑥 + 2 (+)
cos(2𝑥 + 5)𝑑𝑥
4
1
sin(2𝑥 + 5)
2
1
− cos(2𝑥 + 5)
4
(-)
0
Selanjutnya jumlahkan hasil kali baris di atas :
1
1
∫(4𝑥 + 2) cos(2𝑥 + 5)𝑑𝑥 = (4𝑥 + 2) [ sin(2𝑥 + 5)] − 4[− cos(2𝑥 + 5)] + 𝐶
2
4
= (2𝑥 + 1) sin (2𝑥 + 5) + cos(2𝑥 + 5) + 𝐶
𝐽𝑎𝑑𝑖, ∫(4𝑥 + 2) cos(2𝑥 + 5)𝑑𝑥 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ (2𝑥 + 1) sin (2𝑥 + 5) + cos(2𝑥 + 5) + 𝐶
3
16. 𝑇𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛𝑙𝑎ℎ ℎ𝑎𝑠𝑖𝑙 𝑑𝑎𝑟𝑖 ∫ 𝑥 4 √(𝑥 + 1) 𝑑𝑥
1
𝑑𝑣 = (𝑥 + 1)3
𝑣 = ∫(𝑥 + 1)
1
3
1
3
𝑣 = (𝑥 + 1)3
4
3
∫ 𝑥 4 √(𝑥 + 1) dx = 𝑢 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
= 𝑥4
4
4
3
3
(𝑥 + 1)3 − ∫ (𝑥 + 1)3 4𝑥 3
4
4
21
=
4
4
3 4
3
𝑥 (𝑥 + 1)3 − ∫(𝑥 + 1)3 4𝑥 3
4
4
4
7
3 4
3 3
𝑥 (𝑥 + 1)3 − . (𝑥 + 1)3 𝑥 4
4
4 7
4
7
3
9 4
= 𝑥 4 (𝑥 + 1)3 −
𝑥 (𝑥 + 1)3 + 𝐶
4
28
4
7
3 4
9 4
3
𝐽𝑎𝑑𝑖, ∫ 𝑥 4 √(𝑥 + 1) 𝑑𝑥 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ
𝑥 (𝑥 + 1)3 −
𝑥 (𝑥 + 1)3 + 𝐶
4
28
=
17. 𝑆𝑒𝑙𝑒𝑠𝑎𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 ∫ 𝑥(𝑥 − 3)3 𝑑𝑥 !
Penyelesaian :
Misalkan,
𝑢 = 𝑥 → 𝑑𝑢 = 𝑑𝑣
𝑑𝑣 = (𝑥 − 3)4 𝑑𝑥 ↔ 𝑣 = ∫(𝑥 − 3)4 𝑑𝑥 =
1
(𝑥 − 3)5
5
1
1
∫ 𝑥 (𝑥 − 3)4 𝑑𝑥 = 𝑥 (𝑥 − 3)5 − ∫ (𝑥 − 3)5
5
5
1
1 1
𝑥 (𝑥 − 3)5 − . (𝑥 − 3)6 + 𝐶
5
5 6
1
1
= [ 𝑥 − (𝑥 − 3)] (𝑥 − 3)5 + 𝐶
5
30
1
1
3
= ( 𝑥 − 𝑥 − ) (𝑥 − 3)5 + 𝐶
5
30
30
1
(5𝑥 − 3)(𝑥 − 3)5 + 𝐶
=
30
1
(5𝑥 − 3)(𝑥 − 3)5 + 𝐶
𝐽𝑎𝑑𝑖, ∫ 𝑥(𝑥 − 3)3 𝑑𝑥 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ
30
=
18. Tentukan hasil integral dari ∫ 𝑥√𝑥 + 2 𝑑𝑥
Penyelesaian :
𝑢=𝑥 ⇾
𝑑𝑢
= 1 ⇾ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑣 = √𝑥 + 2 𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑣 = ∫ √𝑥 + 2 𝑑𝑥
𝑣 = ∫ √𝑥 + 2 𝑑𝑥
1
= (𝑥 + 2)2 𝑑𝑥
=1
2
1
+ 1
1
(𝑥 + 2)2+1
22
=
1
3
3
(𝑥 + 2)2
2
3
2
= (𝑥 + 2)2
3
Masukkan ke rumus,
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑥.
3
3
2
2
(𝑥 + 2)2 − ∫ (𝑥 + 2)2 𝑑𝑥
3
3
=
3
3
2
2
𝑥 (𝑥 + 2)2 − ∫(𝑥 + 2)2 𝑑𝑥
3
3
=
3
2
2
𝑥 (𝑥 + 2)2 − .
3
3
=
1
3
2
+ 1
3
(𝑥 + 2)2+ ! + 𝐶
3
5
2
2 1
𝑥 (𝑥 + 2)2 − . 5 (𝑥 + 2)2 + 𝐶
3
3
2
2
𝑥 (𝑥 + 2) −
3
3
2
=
𝑥 (𝑥 + 2)2 −
3
5
2 2
. (𝑥 + 2)2 + 𝐶
3 5
5
4
(𝑥 + 2)2 + 𝐶
15
3
5
2
4
𝐽𝑎𝑑𝑖, ∫ 𝑥√𝑥 + 2 𝑑𝑥 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ
𝑥 (𝑥 + 2)2 −
(𝑥 + 2)2 + 𝐶
3
15
=
3
2
19. 𝐻𝑎𝑠𝑖𝑙 𝑑𝑎𝑟𝑖 ∫ 8𝑥 2 cos 2𝑥 𝑑𝑥 =
Penyelesaian :
𝑢 = 8𝑥 2 ⇾ 𝑑𝑢 = 16𝑥 𝑑𝑥
1
𝑑𝑣 = cos 2𝑥 ⇾ 𝑣 = ∫ cos 2𝑥 𝑑𝑥 = sin 2𝑥
2
𝑀𝑎𝑠𝑢𝑘𝑘𝑎𝑛 𝑘𝑒 𝑟𝑢𝑚𝑢𝑠,
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
∫ 8𝑥 2 cos 2𝑥 𝑑𝑥 = 8𝑥 2
1
1
sin 2𝑥 − ∫ sin 2𝑥 16 𝑥 𝑑𝑥
2
2
= 4𝑥 2 sin 2𝑥 − 8 ∫ 𝑥 sin 2𝑥 𝑑𝑥
1
1
= 4𝑥 2 sin 𝑥 − 8(− 𝑥 cos 2𝑥 + sin 2𝑥) + 𝐶
2
4
= 4𝑥 2 sin 𝑥 + 4𝑥 cos 2𝑥 − 2 sin 2𝑥 + 𝐶
𝐽𝑎𝑑𝑖, ∫ 8𝑥 2 cos 2𝑥 𝑑𝑥 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 4𝑥 2 sin 𝑥 + 4𝑥 cos 2𝑥 − 2 sin 2𝑥 + 𝐶
23
1
20. 𝐻𝑎𝑠𝑖𝑙 𝑑𝑎𝑟𝑖 ∫ 6𝑥 (3𝑥 − 1)−3 𝑑𝑥 =...
Turunkan
6x
(+)
6
(-)
Integralkan
1
(3𝑥 − 1)−3
1
2
2
(3𝑥 − 1)3
5
1
(3𝑥 − 1)3
10
1
2
5
1
1
(3𝑥 − 1)3 ] + 𝐶
∫ 6𝑥 (3𝑥 − 1)−3 𝑑𝑥 = 6𝑥 [ (3𝑥 − 1)3 ] − [6 .
2
10
0
5
6
(3𝑥 − 1)3 + 𝐶
10
1
2
5
6
(3𝑥 − 1)3 + 𝐶
𝐽𝑎𝑑𝑖, ∫ 6𝑥 (3𝑥 − 1)−3 𝑑𝑥 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ = 3𝑥(3𝑥 − 1)3 −
10
2
= 3𝑥(3𝑥 − 1)3 −
21. ∫(3𝑥 + 2) cos(3𝑥 + 2)𝑑𝑥 =.....
Turunkan
3x + 2
3
Integralkan
cos(3𝑥 + 2)
(+)
1
sin(3𝑥 + 2)
3
1
− cos(3𝑥 + 2)
9
(-)
0
1
1
∫(3𝑥 + 2) cos(3𝑥 + 2)𝑑𝑥 = (3𝑥 + 2) . sin(3𝑥 + 2) + 3 . cos (3𝑥 + 2) + 𝐶
3
9
2
1
= (𝑥 + ) sin(3𝑥 + 2) + cos (3𝑥 + 2) + 𝐶
3
3
2
1
𝐽𝑎𝑑𝑖, ∫(3𝑥 + 2) cos(3𝑥 + 2)𝑑𝑥 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ (𝑥 + ) sin(3𝑥 + 2) + cos (3𝑥 + 2) + 𝐶
3
3
22. ∫ 𝑥 (𝑥 + 4)4 𝑑𝑥 =....
Penyelesaian :
Turunkan
Integralkan
𝑥
(𝑥 + 3)4
(+)
1
(𝑥 + 3)5
5
1
0
(𝑥 + 3)6
30
𝑥
1
∫ 𝑥 (𝑥 + 4)4 𝑑𝑥 = (𝑥 + 3)5 − (𝑥 + 3)6 + 𝐶
5
30
1
(-)
=
𝑥
1
(𝑥 + 3)5 − (𝑥 + 3)(𝑥 + 3)5 + 𝐶
5
30
24
𝑥
1
− (𝑥 + 3)](𝑥 + 3)5 + 𝐶
5 30
𝑥
𝑥
3
=[ −
−
](𝑥 + 3)5 + 𝐶
5
30
30
6𝑥
𝑥
3
=[
–
–
](𝑥 + 3)5 + 𝐶
30 30 30
5𝑥
3
=[
− ](𝑥 + 3)5 + 𝐶
30
30
1
=
(5𝑥 − 3) (𝑥 + 3)5 + 𝐶
30
1
𝐽𝑎𝑑𝑖, ∫ 𝑥 (𝑥 + 4)4 𝑑𝑥 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ
(5𝑥 − 3) (𝑥 + 3)5 + 𝐶
30
=[
23. ∫ 𝑥 2 (𝑥 + 3)2 𝑑𝑥 =....
Penyelesaian :
𝑢 = 𝑥 2 ⇾ 𝑑𝑢 = 2𝑥
𝑑𝑣 = (𝑥 + 3)2 = (𝑥 2 + 6𝑥 + 9)
1
𝑣 = ( 𝑥 3 + 3𝑥 2 + 9𝑥)
3
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
1
1
∫ 𝑥 2 (𝑥 + 3)2 𝑑𝑥 = x 2 . ( x 3 + 3x 2 + 9x) − ∫ ( x 3 + 3x 2 + 9x) . (2x)
3
3
1
2
= ( 𝑥 5 + 𝑥 4 + 9𝑥 3 ) − ∫ ( 𝑥 4 + 6𝑥 3 + 18𝑥 2 )
3
3
1
10
3
= ( 𝑥 5 + 𝑥 4 + 9𝑥 3 ) − ( 𝑥 5 + 𝑥 4 + 6𝑥 3 )
3
3
2
9
3
= (− 𝑥 5 − 𝑥 4 + 3𝑥 3 )
3
2
9
3
𝐽𝑎𝑑𝑖, ∫ 𝑥 2 (𝑥 + 3)2 𝑑𝑥 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ (− 𝑥 5 − 𝑥 4 + 3𝑥 3 )
3
2
24. ∫ 4𝑥 3 (2𝑥 − 4)𝑑𝑥 =....
Penyelesaian :
𝑢 = 4𝑥 3 ⇾ 𝑑𝑢 = 12 𝑥 2 𝑑𝑥
1
𝑑𝑣 = (2𝑥 − 4)𝑑𝑥 ⇾ 𝑣 = ∫(2𝑥 − 4)𝑑𝑥 = ( ) (2𝑥 − 4) + 𝐶
12
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
25
∫ 4𝑥 3 (2𝑥 − 4)𝑑𝑥 = 4𝑥 3 (
1
1
) (2𝑥 − 4) − ∫ ( ) (2𝑥 − 4) 12𝑥 2 𝑑𝑥
12
12
=
1 3
𝑥 (2𝑥 − 4) − ∫ 𝑥 2 (2𝑥 − 4)𝑑𝑥
3
=
1 3
1
1
𝑥 (2𝑥 − 4) − [( ) 𝑥 2 (2𝑥 − 4) − ( ) ∫ 𝑥 (2𝑥 − 4)𝑑𝑥]
3
14
7
=
1 3
1
1
𝑥 (2𝑥 − 4) − ( ) 𝑥 2 (2𝑥 − 4) + ( ) ∫ 𝑥 (2𝑥 − 4)𝑑𝑥
3
14
7
1 3
1
1
1
1
𝑥 (2𝑥 − 4) − ( ) 𝑥 2 (2𝑥 − 4) + ( ) [( ) 𝑥 (2𝑥 − 4) − (
) (2𝑥 − 4) + 𝐶
3
14
7
16
288
1
1
1
1
= 𝑥 3 (2𝑥 − 4) − ( ) 𝑥 2 (2𝑥 − 4) + (
) 𝑥 (2𝑥 − 4) − (
) (2𝑥 − 4) + 𝐶
3
14
112
2016
=
𝐽𝑎𝑑𝑖, ∫ 4𝑥 3 (2𝑥 − 4)𝑑𝑥 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ
1 3
1
1
1
𝑥 (2𝑥 − 4) − ( ) 𝑥 2 (2𝑥 − 4) + (
) 𝑥 (2𝑥 − 4) − (
) (2𝑥 − 4) + 𝐶
3
14
112
2016
25. ∫ 𝑥 √3 − 2𝑥 𝑑𝑥 =.....
Penyelesaian :
1
𝑢 = 𝑣 ⇾ 𝑑𝑣 = (3 − 2𝑥)2
3
1 2
. (3 − 2𝑥)2
2 3
3
1
= − (3 − 2𝑥)2
3
3
3
1
1
∫ 𝑥 √3 − 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 . (− ) (3 − 2𝑥)2 + ∫ (3 − 2𝑥)2 𝑑𝑥
3
3
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 ⇾ 𝑣 = −
3
5
1
1
1
2
= − 𝑥 . (3 − 2𝑥)2 + . (− ) . ( ) (3 − 2𝑥)2 + 𝐶
3
3
2
5
3
5
5
1
1
2
= − 𝑥 (3 − 2𝑥)2 + . (− ) . ( ) (3 − 2𝑥)2 + 𝐶
15
3
2
5
3
5
5
2
= − 𝑥 (3 − 2𝑥)2 − ( ) (3 − 2𝑥)2 + 𝐶
15
30
3
5
5
1
= − 𝑥 (3 − 2𝑥)2 − ( ) (3 − 2𝑥)2 + 𝐶
15
15
3
1
(3 − 2𝑥)2 (5𝑥 + 3 − 2𝑥) + 𝐶
= −
15
3
3
= − 𝑥 (3 − 2𝑥)2 (3𝑥 + 3) + 𝐶
15
3
1
= − 𝑥 (3 − 2𝑥)2 (𝑥 + 1) + 𝐶
5
3
1
= − 𝑥 (3 − 2𝑥)2 (𝑥 + 1)√3 − 2𝑥 + 𝐶
5
3
1
𝐽𝑎𝑑𝑖, ∫ 𝑥 √3 − 2𝑥 𝑑𝑥 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ − 𝑥 (3 − 2𝑥)2 (𝑥 + 1)√3 − 2𝑥 + 𝐶
5
26