Tugas Rutin Komputasi Nilai Eigen

Tugas Rutin Komputasi
FUNGSI EIGEN DAN NILAI EIGEN
Disusun Oleh :
Kelompok 2
Asina Sofia Harianja
8196175004
Gusrianta
8196175006
Mathias Pandiangan
8196175004
Dosen Pengampu :
Dr. Makmur Sirait, M.Si
Dr. Rita Juliani, S.Si., M.Si
PROGRAM MAGISTER PENDIDIKAN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
2020
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena
limpahan Rahmat dan Karunia-Nya kelompk 1 dapat menyelesaikan penulisan
makalah Fisika Komputasi “Fungsi Eigen dan Nilai Eigen”.
Dalam penyelesaian makalah ini tidak terlepas dari bantuan berbagai
pihak. Oleh karena itu penulis mengucapkan terimakasih kepada pihak-pihak yang
telah banyak membantu terutama kepada :
1. Dr. Makmur Sirait, M.Si selaku Dosen Mata Kuliah Fisika Komputasi Jurusan
Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri
Medan
2. Rekan-rekan seperjuangan yang telah banyak membantu dalam penulisan
makalah, terimakasih atas dorongan semangat yang telah diberikan.
Kelompk 1 juga meminta maaf atas segala kesalahan dan kekhilafan baik
yang disengaja maupun tanpa disengaja. Penulis menyadari makalah ini masih
jauh dari kesempurnaan dikarenakan keterbatasan ilmu dan pengetahuan penulis.
Untuk itu penulis sangat mengharapkan kritikan dan saran dari semua pihak.
Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi penulis dan kita semua.
Medan, Maret 2020
Kelompok 1
DAFTAR ISI
Kata pengantar ...........................................................................................................i
Daftar isi .....................................................................................................................ii
Bab I
Pendahuluan
1.1 Latar Belakang ........................................................................................1
1.2 Rumusan Masalah ...................................................................................1
1.3 Tujuan Penulisan ....................................................................................1
Bab II
Pembahasan
2.1
Defenisi eigen value, vector, dan ruang eigen ......................................3
2.2
Sifat eigen value dan eigen vektor ........................................................11
2.3
Diagnolisasi ..........................................................................................15
2.4
Matriks Simetris ....................................................................................17
2.5
Mencari Nilai Eigen Dengan Cara Analisis ..........................................18
2.6
Implementasi Matlab Untuk Nilai Eigen ..............................................
Bab III
3.1
Penutup
Kesimpulan...........................................................................................
DAFTAR PUSTAKA ...............................................................................................
BAB I
PENDAHULUAN
1.1.
Latar Belakang
Biasanya jika suatu matriks A berukuran mxm dan x suatu vektor pada
Rm, tidak ada hubungan antara vektor x dan vektor Ax. Tetapi seringkali kita
menemukan suatu vektor tak nol x tertentu sedemikian hingga x
dan Ax
merupakan pergandaan satu sama lain dan berlaku Ax=x dengan A matrik
berukuran m x m dan  suatu skalar. Kejadian inilah yang dinamakan nilai
eigen dan vektor eigen (eigen value dan eigen vektor)
dan
merupakan
kejadian yang sering dijumpai dalam matriks. Eigen value dan eigen vektor
secara implisit dinyatakan sebagai fungsi elemen-elemen dari sebuah matriks
bujur sangkar (square matrix).
Pembahasan ini, erat kaitannya dengan materi-materi determinan dan
ruang vektor. Dalam bagian ini akan dipelajari bagaimana mendapatkan
eigen value
dan eigen vektor dari suatu matriks bujur sangkar dan sifat-
sifatnya serta penerapannya dalam diagonalisasi.
Pada banyak aplikasi yang mengikutsertakan analisa matriks bujur
sangkar, informasi kunci dari analisa didapatkan dari eigen value dan eigen
vektor ini. Sebagai contoh dalam penentuan penguraian nilai singular dan
penguraian spektral, dimana aplikasi ini banyak dipakai dalam pemodelan.
1.2
Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah dalam makalah ini adalah
1. Bagaimana cara menyelesaikan persamaan fungsi dan nilai eigen?
2. Bagaimana membuat program MATLAB dalam menyelesaikan
persamaan fungsi dan nilai eigen?
1.3
Tujuan
Adapun tujuan dalam makalah ini adalah
1. Mampu menyelesaikan persamaan fungsi dan nilai eigen
2. Mampu
membuat
program
MATLAB
persamaan persamaan fungsi dan nilai eigen
dalam
menyelesaikan
BAB II
PEMBAHASAN
2.1
Definisi Eigen value, Eigen vektor, dan Eigen space (Ruang Eigen)
Jika A adalah matriks m x m, maka setiap skalar λ memenuhi persamaan
Ax  x
(1.1)
untuk m  1 vektor x  0, disebut eigen value dari A. Vektor x disebut eigen
vektor dari A yang berhubungan dengan eigen value , dan persamaan (1.1)
diatas disebut persamaan eigen value-eigen vektor A. Kadang-kadang eigen
value dan eigen vektor juga dinyatakan sebagai latents root and vectors atau
karekteristik roots dan vektor.
Persamaan (1.1) dapat juga dituliskan sebagai
A  x 0
(1.2)
Setiap nilai eigen value harus memenuhi persamaan determinan,
A   0
(1.3)
yang dikenal sebagai persamaan karakteristik A.
Dengan menggunakan definisi suatu determinan, kita bisa mengamati
bahwa persamaan karakteristik adalah sebuah polinomial derajat ke-m dalam .
Karena itu, skalar 0, …, m-
1
seperti halnya persamaan karakteristik
diatas dapat juga dinyatakan sebagai
  m   m1   m1  1      0 0
Karena polinomial derajat m memiliki m (roots), berarti suatu matriks m
m memiliki m eigen value, karena itu terdapat m skalar 1, …, m yang
memenuhi persamaan karakteristik. Apabila semua eigen value A adalah real,
kadang-kadang kita jumpai eigen value terbesar ke-i matriks A sebagai i(A).
Dengan
kata
lain eigen value A dapat juga dituliskan sebagai
1(A) m(A).
Persamaan karakteristik dapat digunakan untuk mencari eigen value
matriks A. Kemudian dapat juga digunakan dalam persamaan eigen value-eigen
vektor untuk mencari eigen vektor. Dari eigen vektor yang telah diperoleh,
dalam bebarapa penerapan, seperti penguraian nilai singular dan spektral,
yang digunakan adalah eigen vektor ternormalisasi. Eigen vektor ternormalisasi
adalah eigen vektor dimana tiap-tiap elemen dibagi dengan panjang vektor
tersebut. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut :
Contoh 1
Tentukan eigen value dan eigen vektor dari matriks A berukuran 33 sebagai
berikut
5 −3 3
𝐴 = [4 − 2 3]
4 −4 5
Jawab :
Dengan menggunakan definisi 1.3, persamaan karakteristik A adalah,
5−𝜆
|𝐴 − 𝜆𝐼| = [4
4
−3
−2−𝜆
−4
3
3]
5−𝜆
   (5   ) 2(2   )  3(4) 2  4(3) 2  3(4)(2   )  3(4)(5   )  3(4)(5   )
=  3  82 17 10
=   5 2  0
Jadi, dari hasil di atas diperoleh tiga eigen value A, yaitu : 1 = 5 , 2 = 2
dan 3=1 Untuk mendapatkan eigen vektor A yang bersesuaian dengan 1 =
5, kita harus
menyelesaikan
persamaan
diperoleh sistem persamaan sebagai berikut,
𝑥1
5 − 3 3 𝑥1
[4 − 2 3] [𝑥2 ] = 5 [𝑥2 ]
𝑥3
4 − 4 5 𝑥3
yang ekuivalen dengan persamaan-persamaan :
5x1  3x 2  3x3 5x1
4x1  2x 2  3x3 5x2
4x1  4x 2  5x3 5x3
Atau
x2 x3
4x  3x3 7x2
x x2
…..
(a)
(b)
……
…..
(c)
Ax = 5x,
sedemikian
hingga
Dari persamaan (a), misal jika kita ambil x2 = 1 maka x3 = 1, sehingga
dengan persamaan (c) diperoleh dan x1 = 1. Sehingga eigen vektor dari A yang
bersesuaian dengan 1 = 5 adalah
x = (1, 1, 1)T. Dari persamaan x2 = x3 dan x1
= x2 , anda dapat mengambil sembarang x2 yang lain, pasti akan memenuhi
persamaan tersebut. Dari hal ini dapat dikatakan bahwa eigen vektor tidak
tunggal.
Dengan cara yang sama, sekarang untuk 2 = 2, kita harus
menyelesaikan persamaan Ax = 2x, sedemikian hingga diperoleh sistem
persamaan sebagai berikut,
5x1  3x2  3x3 2x1
4x1  2x2  3x3 2x2
4x1  4x2  5x3 2x3
Dari persamaan diatas kita peroleh :
3x2  3x3 7x1
4x1  3x3 4x2
4x1  4x2 7x3
Akan terpenuhi jika x1 = 1, x2 = 1 maka x3 = 0 . Sehingga eigen vektor
dari A yang bersesuaian dengan 2 = 2 adalah x = (1, 1, 0)T.
Dan untuk 3 = 1, kita harus menyelesaikan persamaan Ax = x,
sedemikian hingga diperoleh sistem persamaan sebagai berikut,
5x1  3x2  3x3 x
4x1  2x2  3x3 x2
4x1  4x2  5x3 x3
Dari persamaan diatas kita peroleh :
3x2  3x3 4x1
4x1  3x3  3x2
4x1  4x2 4x3
Akan terpenuhi jika x1 = 0 , x2 = 1 maka x3 = 1 . Sehingga eigen vektor
dari A yang bersesuaian dengan 3 = 1 adalah x = (0, 1, 1)T.
Dari ketiga eigen vektor tersebut kita dapatkan eigen vektor yang
ternormalisasi : Panjang eigen vektor yang bersesuaian dengan 1 = 5 adalah
√12 + 12 + 12 = √3
Panjang eigen vektor yang bersesuaian dengan 2 = 2 adalah :
√12 + 12 + 0 = √2
Panjang eigen vektor yang bersesuaian dengan 3 = 1 adalah :
√0 + 12 + 12 = √2
Sehingga eigen vektor yang ternormalisasi yang berhubungan dengan eigen value
5,2,1 :
𝑇
𝑇
(1⁄√3 , 1⁄√3 , 1⁄√3) , (1⁄√2 , 1⁄√2 , 0) , (0, 1⁄√2 , 1⁄√2)
𝑇
Eigen vektor ternormalisasi akan tunggal, kecuali untuk tandanya
saja, sehingga nilai eigen vektor tersebut kita kalikan dengan -1 juga
merupakan eigen vektor yang lain.
Eigen value
dan
eigen vektor
mempunyai
interpretasi
geometri
yang sederhana, misalnya jika  merupakan eigen value dari matriks A yang
bersesuaian dengan eigen vektor x. Vektor Ax merupakan perkalian skalar
dari x dengan eigen value nya, sehingga panjang dari vektor Ax  x.
Tanda plus minus tergantung kepada tanda dari .
Contoh 2
Dari matriks segitiga atas, tentukan eigen value dan eigen vektornya
𝑎11 𝑎12 𝑎13
0
𝑎22 𝑎23
[0
0
𝑎33
0
0
0
𝑎14
𝑎24
𝑎34 ]
𝑎44
Jawab :
Dengan mengingat bahwa determinan dari matriks segitiga adalah perkalian
diagonal utama maka kita dapatkan :
𝑎11 − 𝜆
𝑎12
𝑎13
𝑎14
0
𝑎22 − 𝜆
𝑎23
𝑎24
|𝐴 − 𝜆𝐼| = [
]
0
0
𝑎33 − 𝜆
𝑎34
0
0
0
𝑎44 − 𝜆
= (𝑎11 − 𝜆)(𝑎22 − 𝜆)(𝑎33 − 𝜆)(𝑎44 − 𝜆)
Sehingga persamaan karakteristiknya adalah :
(
11
  )(a22   )(a33   )(a44   )  0
dan diperoleh eigen value nya adalah :
 11; a22 ; a33 dan a44
yang merupakan elemen-elemen diagonal utama dari A
Teorema 1.1
Jika A adalah suatu matriks segitiga (segitiga atas atau segitiga bawah
atau matriks diagonal) berukuran m x m, maka eigen value dari A
adalah elemen-elemen diagonal utama dari A.
Contoh 3
Tentukan eigen value dan eigen vektornya dari matriks berikut :
1
2
𝐴=
−1
[ 5
0
0
2
3
0
−8
4
− 8]
Jawab : ½
Berdasarkan teorema 1, diatas dengan mudah dapat kita tentukan eigen value
dari matriks A yaitu  ;  dan 
Pada prakteknya eigen value dan eigen vektor dari suatu matriks tidak
selalu bernilai real, kadang suatu matriks mempunyai eigen value dan eigen
vektor bilangan komplek. Perhatikan contoh berikut :
Contoh 4
Perhatikan pada matriks 2 2 berikut,
𝐴=[
1
1
]
−2 − 1
Tentukan persamaan karekteristik, dan tentukan eigen valuenya.
Jawab :
Dengan definisi 5.3, persamaan karakteristik matriks A dapat ditentukan :
1
|𝐴 − 𝜆𝐼| = [ 1 − 𝜆
] = −(1 − 𝜆)(1 + 𝜆) + 2 = 𝜆2 + 1 = 0
−2
−1−𝜆
Sehingga eigen value dari A adalah √−1 atau √−1 i dan
√−1 i. Untuk menentukan eigen vektor
yang berhubungan dengan
 i , kita tentukan x = (x1,x2)T = (y1 + iz1, y2 + iz2)T. Untuk mendpatkan nilai
y1, z1, y2, z2 kita gunakan persamaan Ax = ix.
Demikian juga untuk menentukan eigen vektor yang berhubungan
dengan i , kita tentukan x = (x1,x2)T = (y1 - iz1, y2 - iz2)T. Untuk
mendapatkan nilai y1, z1, y2, z2 kita gunakan persamaan Ax = -ix. Untuk
mendapatkan eigen vektor, lakukan sebagai latihan.
Dalam prakteknya, untuk menentukan persamaan karakteristik, eigen
value dan eigen vektor dari suatu matriks yang berukuran besar (4x4 atau
lebih), tentulah bukan hal yang mudah. Perhatikanlah contoh berikut :
Contoh 5
Tentukan persamaan karakteristik, eigen value dan eigen vektor dari matriks A
berikut:
10
𝐴 = [4
0
−9
−2
0
0
0
−2
0
0]
−7
Jawab :
Dengan menggunakan bantuan paket program Matlab, untuk menyelsaikan
matriks diatas, langkah pertama adalah memasukkan nilai dari matriks A sebagai
berikut :
» A=[10 -9 0 0;4 -2 0 0;0 0 -2 -7;0 0 1 2]
A = 10
-9
0
0
4
-2
0
0
0
0 -2
-7
0
0
2
1
inilah bentuk matriks A. Untuk mendapatkan persamaan karakteristik dari
matriks A, lakukan perintah sebagai beikut :
» poly(A)
ans = 1.0000 -8.0000 19.0000 -24.0000 48.0000
Dari hasil diatas ekivalen dengan bentuk persamaan:
14 - 83 + 192 - 24 + 48
Untuk mendapatkan eigen value, lakukan perintah sebagai berikut :
» eig(A)
ans = 4.0000
4.0000
0 + 1.7321i
0 - 1.7321i
Jadi eigen value dari matriks A adalah 4, 4, 1.7321i dan -1.7321i.
Nampak bahwa matriks A mempunyai eigen velue bilangan kompleks. Untuk
mendapatkan nilai eigen vektor, yang bersesuaian dengan eigen veluen,
lakukan perintah
» [V,D]=eig(A)
V=
D=
0.8321
0.8321
0
0
0.5547
0.5547
0
0
0
0
-0.6124 - 0.7071i
-0.6124 + 0.7071i
0
0
4.000
0
0
0
0
4000
0
0
0
0
0
0
0 + 0.3536i
0 + 1.7321i
0
0 - 0.3536i
0
0 - 1.7321i
dimana V berisikan eigen vektor ternormalisasi dari matriks A dan D adalah
matriks Diagonal dengan elemen diagonal adalah eigen value yang bersesuaian
dengan eigen vektor.
-
Kolom pertama matriks V merupakan
eigen vektor
ternormalisasi
eigen vektor
ternormalisasi
eigen vektor
ternormalisasi
yang bersesuaian dengan eigen value 4
-
Kolom
kedua
matriks
V merupakan
yang bersesuaian dengan eigen value 4
-
Kolom ketiga matriks V merupakan
yang bersesuaian dengan eigen value 1.7321i
-
Kolom keempat matriks V merupakan
eigen vektor
ternormalisasi
yang bersesuaian dengan eigen value - 1.7321i
Untuk matriks yang sederhanapun anda dapat menentukan persamaan
karakteristik, eigen value dan eigen vektor dengan program Matlab. Coba anda
kerjakan
kembali contoh
6.1
sampai
dengan
contoh
6.44,
dengan
menggunakan
bantuan
program
Matlab,
bandingkan
hasilnya
dengan
penghitungan manual.
Dalam beberapa kondisi, kita menginginkan bekerja dengan himpunan
semua eigen vektor
yang
dihubungkan
dengan
suatu
eigen value.
Kumpulan semua eigen vektor SA() yang berhubungan dengan eigen value
 tertentu, disebut ruang eigen dari A yang bersesuaian dengan . Dimana
SA()={x:xRm dan Ax = x}.
Teorema 2
Jika SA() adalah ruang eigen dari matriks A berukuran
m x m yang bersesuaian dengan maka SA() adalah sub
ruang vektor dari Rm.
Bukti :
Dengan menggunakan definisi : jika x SA(), maka Ax = x. Maka jika
x SA() dan y  SA(), maka untuk skalar dan berlaku :
A(x + y) = Ax + Ay =( x)+ (y) = (x+ y)
Akibatnya (x+ y)  SA() dan SA() merupakan ruang vektor
Contoh 6
Diberikan matriks A sebagai berikut :
2
𝐴 = [0
0
−1
1
0
0
0]
1
tentukan ruang eigennya.
Jawab :
Langkah pertama, menentukan persamaan karakteristik dari matriks A
sebagai berikut :
2−𝜆
[0
0
−1
0
1−𝜆
0 ] = (1 − 𝜆)2 (2 − 𝜆) = 0
0
1−𝜆
maka diperoleh eigen value dari A adalah 1 dan 2.
Untuk mendapatkan SA(1) , selesaikan persamaan Ax = x.
𝑥1
2 − 3 0 𝑥1
[0
1 0 ] [𝑥2 ] = [𝑥2 ]
𝑥3
0
0 1 𝑥3
ekiuvalen dengan persamaan :
2x x2 x 
 x x2
x2 x2
x3 x3
Misal jika kita pilih x1 = 0 maka x2 = 0 dan kita pilih x3 = 1 . Sehingga
eigen vektor dari A yang bersesuaian dengan 1 = 1 adalah x = (0, 0, 1)T. Pilihan
lain yang juga memenuhi adalah untuk x1 = 1 maka x2 = 1 dan kita pilih x3 = 0 .
Sehingga eigen vektor dari A yang bersesuaian dengan 1 = 1 adalah x = (1, 1,
0)T. Juga merupakan eigen vekor dari A. dimana dua vektor tersebut bebas
secara linear, maka vektor-vektor ini membentuk suatu basis untuk ruang
1 = 1.
eigen yang bersesuaian dengan
Sehingga SA(1) adalah sub ruang
yang merentang dengan basis (x1 ,x2). SA(1) merupakakan bidang dalam R3.
Untuk mendapatkan SA(2) , selesaikan persamaan Ax = 2x
𝑥1
2 − 1 0 𝑥1
[0
1 0 ] [𝑥2 ] = 2 [𝑥2 ]
𝑥3
0
0 1 𝑥3
2x1 x2 2x1
x2 2x2
x3 2x3
Untuk persamaan diatas yang memenuhi adalah untuk x2 = 0 dan
x3 = 0 dan sembarang nilai dari x1, misal kita beri nilai 1 atau
kelipatannya. Sehingga eigen vektor dari A yang bersesuaian dengan 1 = 2
adalah x = (1, 0, 0)T. Sehingga SA(2) adalah garis dalam R3 yang diberikan oleh
{(a,0,0)T ; -< a < }
Contoh 7
Perhatikan pada matriks 3 3 berikut,
1
𝐴 = [0
0
2
1
2
3
0]
1
Persamaan karakteristik dari A adalah |AI| = (1)³ = 0, A memiliki eigen
value 1 yang berulang tiga kali. Eigenvalue-eigenvektor persamaan Ax = x
menghasilkan tiga persamaan skalar.
x1 2x2  3x3 x1
x2 x2
2x2 x3 x3
yang mempunyai pemecahan vektor untuk bentuk x = (a,0,0)T. Jadi,
meskipun perkalian eigen value 1 adalah 3, ruang eigen yang bersesuaian SA(1) =
{(a,0,0)T; -a } adalah hanya berdimensi satu
2.2 Sifat-sifat Eigen value dan Eigen vektor
Pada bagian ini, kita buat beberapa hasil yang berguna yang
bersesuaian dengan eigen value. Bukti dari hasil pada teorema pertama kita dapat
dengan mudah diperoleh
menggunakan
persamaan
karakteristik
atau
persamaan eigen value-eigen vektor.
Teorema 3
Jika diberikan matriks Am x m. Maka,
T
a) Eigen value A adalah sama dengan eigen value A
b) A matriks singular jika dan hanya jika sedikitnya satu eigen value A sama dengan 0
c) Elemen-elemen diagonal A adalah eigen value A, jika A merupakan matriks segitiga
d) Eigen value BAB
-1
sama dengan eigen value A, jika B merupakan matriks nonsingular m x
m
e) Setiap eigen value A adalah +1 atau -1, jika A merupakan matriks orthogonal.
Bukti :
Buktikan teorema 3 sebgai latihan.
Kita perhatikan pada contoh 6 bahwa memungkinkan untuk dimensi sebuah ruang
eigen yang dikaitkan dengan eigen value  lebih kecil daripada perkalian .
Teorema berikut menjelaskan bagaimana jika dim{SA()}r.
Teorema 4
Anggap adalah eigen value dari matriks A m m, dengan
perkalian r 1, maka 1 dim{SA()} r
Bukti :
Jika adalah eigen value A, dengan definisi terdapat x 0 yang memenuhi
persamaan eigen value-eigen vektor Ax = x dan, jelas, dim{SA()}1.
Sekarang, diberikan k = dim{SA()},
dan
x1,,xk.
akan
menjadi
eigen
vektor independen linear yang bersesuaian dengan . Bentuk nonsingular
matriks X berukuran mm yang mana vektor k ini sebagai kolom k, yaitu, X
mempunyai bentuk X  X 1
X 2 , dimana X 1 x1 ,, xk  dan X2 adalah m
 (m  k). Karena setiap kolom X1 adalah eigen vektor A yang bersesuaian
dengan eigen value , kemudian AX1 = X1, dan
𝑋 −1 𝑋1 = [
𝐼𝑘
]
(0)
Mengikuti dari kenyataan bahwa X-1X=Im. Sebagai hasilnya kita dapatkan,
X 1 AX X 1 AX 1 AX 2  X 1 X 1 AX 2 
=[
𝜆𝐼𝑘 𝐵1
]
(0) 𝐵2
dimana B1 dan B2 menyatakan pemisahan matriks X-1AX2. Jika adalah eigen
value
0 = |𝑋 −1 𝐴𝑋 − 𝜇𝐼𝑚 | = |
dimana
persamaan
(𝜆 − 𝜇)𝐼𝑘
(0)
terakhir
𝐵1
| = (𝜆 − 𝜇)𝑘 |𝐵2 − 𝜇𝐼𝑚−𝑘 |
𝐵2 − 𝜇𝐼𝑚−𝑘
diperoleh
dengan
mengulangi
penggunaan
rumus perluasan kofaktor untuk sebuah determinan. Jadi, haruslah merupakan
eigen value X-1AX
dengan
perkalian
sedikitnya
k.
Hasilnya
sekarang
mengikuti karena, berdasarkan teorema 5.3 (d), eigen value X-1AX adalah sama
seperti halnya A.
Jika eigen value dan eigen vektor suatu matriks A diperoleh, maka
Anda dapat dengan mudah mencari eigen value dan eigen vektor dari
sembarang pangkat bilangan bulat positif dari A. Misalnya jika adaalah suatu
eigen value dari A dan x adalah eigen vektor yang bersesuaian, maka :
A2x = A(Ax) = A(x) = (Ax) = (x) = 2x
Yang menunjukkan bahwa 2 merupakan
eigen value
dari
A2 dan
x
merupakan eigen vektor yang bersesuaian. Secara umum, perhatikan teorema
berikut :
Teorema 5
Diberikan  merupakan eigen value matriks A m  m dan x eigen vektor
yang berhubungan. Maka,
a) Jika n adalah integer  1, n adalah eigen value dari An yang berhubungan
dengan eigen vektor x
b) Jika A adalah nonsingular, -1 adalah eigen value dari A-1 yang berhubungan
dengan eigen vektor x
Bukti :
Untuk bagian (a) dengan menggunakan hubungan Ax = λx yang berulang,
sehingga kita mempunyai
An x An1  Ax  A n1 x  An1 x   n x
Untuk membuktikan poin (b), perkalian awal persamaan eigen value-eigen vektor
Ax x
dengan A-1, memberikan persamaan
x  A1 x
(1.4)
Karena A nonsingular, berdasarkan teorema 6.2(b) kita tahu bahwa λ ≠ 0,
sehingga pembagian kedua sisi dengan λ menghasilkan
A1 x λ1 x
yang
mana
merupakan
persamaan
eigen value-eigen vektor
untuk
A-1,
dengan eigen value λ-1 dan eigen vektor x.
Contoh 8
Lihat kembali matriks A pada contoh 6. Tentukan eigenvalue dan eigenvektor dari
A7 !
Jawab :
Dari contoh soal 6, telah diperoleh bahwa eigen value dari matriks A adalah
= 1 dan  = 2. Dengan menggunakan teorema 5 maka = 27 = 128 dan
= 17= 1 merupakan eigen value dari A7.
Eigen vektor dari A yang bersesuaian dengan = 1 adalah x = (0, 0, 1)T.
Dan eigen vektor dari A yang bersesuaian dengan = 27 = 128 adalah x = (1, 0,
0)T
Dalam mempelajari matriks dan statistik lebih lanjut, anda akan
sering berhubungan dengan trace dan determinan suatu matriks. Jika eigen value
dari suatu matriks sudah diperoleh, maka untuk mendapatkan trace ataupun
determinan dari suatu matriks anda akan dapat menentukan dengan mudah.
Perhatikan teorema berikut :
Teorema 6
Diberikan A berupa matriks m × m dengan eigen value λ1, , λm. Maka
(a) tr(A)  i1λ i
(b) A   i1λ i
Bukti : (Tunjukkan sebagai latihan)
Hal penting dalam statistika adalah mengetahui kebebasan linear
dari beberapa vektor. Penerapan dari kebebasan linear telah anda kenal dalam
penentuan rank, basis, dimensi ataupun dalam penyelesaian dari sistem
persamaan linear yang telah dibahas pada modul-modul sebelumnya. Dalam
kaitannya dengan kebebasan linear, juga ada kaitannya dengan eigen value dari
suatu matriks.
Teorema
berikut
memberikan
kondisi
yang
cukup
untuk
serangkaian eigen vektor yang independen secara linear.
Teorema 7
Anggap x1, ,xr adalah eigen vektor matriks A berdimensi m × m, dimana r m.
Jika eigen value yang bersesuaian λ1, ,λr adalah λi ≠ λj untuk semua i ≠ j,
maka vektor x1, ,xr independen secara linear.
Bukti :
Pembuktian kita dilakukan dengan cara berkebalikan, karenanya kita mulai
dari asumsi bahwa vektor x1, ,xr adalah independen secara linear. Kemudian h
adalah bilangan integer terbesar untuk x1, ,xh yang independen secara linear.
Kumpulan yang seperti itu dapat ditemukan karena x1, yang menjadi eigen
vektor, tidak boleh sama dengan 0 (nol), dan karenanya independen secara linear.
Vektor-vektor x1, ,x
h+1
haruslah bergantung secara linear (linearly
dependent), jadi skalar yang ada 1, ,h+1 dengan sedikitnya dua skalar
yang tidak boleh sama dengan nol karena menyebabkan eigen vektor menjadi
vektor null, sehingga
1 x    h1 xh1  0
Penyelesaian persamaan di atas untuk sisi sebelah kiri dengan mengalikannya
dengan (Ah+1I), kita dapatkan
1  A  λ h1  x1   h1  A  λ h1  xh1
 1  Ax1  λ h1 x1    h1  Axh1  λ h1 xh1 
 1  λ1  λ h1  x1  h  λh  λ h1  xh
juga harus sama dengan 0. Tetapi x1, ,xh linear independen sehingga berlaku
1 λ1  λh1    h λh  λh1   0
Kita mengetahui bahwa sedikitnya salah satu dari skalar 1, , h tidak sama
dengan nol dan sebagai contoh, jika i adalah satu dari skalar-skalar yang tidak
nol, maka kita harus memiliki λi = λh+1. Hal ini bertolak belakang dengan kondisikondisi yang disebutkan dalam teorema, jadi vektor-vektor x1, , xr haruslah
independen linear.
2.3. Diagonalisasi
Jika eigen value λ1, , λm dari matriks A berukuran m×m semuanya
adalah berbeda, maka sesuai dengan teorema 6.7 bahwa matriks X = (x1,,
xm) adalah nonsingular, dimana x i adalah eigen vektor yang berhubungan
dengan λi. Berlaku pula dengan persamaan eigen value-eigen vektor Axi = λixi,
yaitu jika tentukan matriks diagonal  = diag(λ1, , λm), maka AX=X.
Perkalian persamaan ini dengan X-1 menghasilkan X-1AX = . Setiap matriks
persegi yang dapat ditransformasikan ke matriks diagonal melalui perkalian
diawal matriks (postmultiplication) dengan sebuah matriks nonsingular dan
perkalian diakhir matriks (premultiplication) dengan inversnya disebut dapat
didiagonalkan (diagonalizable). Jadi, suatu matriks persegi dengan eigen value
berbeda adalah diagonalizable.
Jelasnya, apabila sebuah matriks adalah diagonalizable, rank-nya
sama dengan jumlah eigen value yang tidak nol, karena rank(A) = rank(X-1AX) =
rank()
Contoh 9
Pertimbangkan matriks berukuran 2 x2 berikut :
1
𝐴=[
0
1
0
];𝐵 = [
1
0
1
]
0
tentukan rank dari matriks A dan B.
Jawab :
Dapat anda tentukan dengan mudah bahwa rank dari matriks A dan B adalah 1.
Dan diperoleh persamaan karakteristik dari A adalah  (1  )  0 , sehingga
eigen value dari A adalah 0 dan 1, jadi dalam kasus ini rank dari A adalah sama
dengan jumlah eigen value yang tidak nol.
Perhatikan untuk matriks B, persamaan karakteristik dari B adalah 2 =
0, sehingga eigen value dari B adalah 0 yang diulang sebanyak dua kali. Disini
rank dari B lebih besar dari jumlah eigen value yang tidak sama dengan nol.
Contoh 10
Diberikan matriks A sebagai berikut :
0
𝐴=[ 1
1
0
2
0
−2
1]
3
Tentukan suatu matriks X yang mendiagonalkan matriks A.
Jawab :
Dari matriks tersebut dapat kita tentukan persamaan karakteristiknya adalah (1)(-2)2 = 0 dan didapatkan basis-basis untuk ruang eigen :
= 2 diperoleh e1 = (-1 0 1)T dan e2 =(0 1 0)2
=1 diperolah e3 = (-2 1 1)T
sehingga ada tiga vektor basis dan matriks A dapat didiagonalkan,
−1
𝐴=[ 0
1
0
1
0
−2
1 ] mendiagonalkan A
1
dimana:
1
𝑋 −1 𝐴𝑋 = [ 1
−1
0
1
0
1
0
1 ] [1
−1 1
0
2
0
− 2 −1
1] [ 0
3 1
0
1
0
−2
2
1 ] = [0
1
0
0
2
0
0
0]
1
yang merupakan matriks diagonal dengan elemen diagonalnya adalah eigen value.
Teorema 8
Diberikan matriks A berukuran m×m dengan eigen value λ1, , λm, dan
𝑚
∏(𝐴 − 𝜆𝑖 𝐼) = (0);
𝑖=1
yaitu, jika
 λ
m
  m1  λ 
m1
 1  λ   0 0 adalah persamaan
karakteristik A, maka
 A
m
  m1  A
m1
 1  A  0 0
2.4 . Matriks Simetris
Banyak sekali aplikasi-aplikasi
value dan eigen vektor,
matriks
yang
yang
melibatkan
salah satunya adalah matriks
simetri mempunyai
beberapa
sifat
khusus
eigen
simetri. Dimana
yang
berkaitan
dengan eigen value dan eigen vektor.
Teorema 9
Jika A adalah matriks simetri berukuran m x m, maka:
a) eigen value dari A semuanya bilangan real, dan
b) vektor-vektor eigen dari ruang eigen yang berbeda orthogonal
Bukti :
a) Misal   i merupakan eigen value dari A dan x +y = iz merupakan
eigen vektor yang bersesuaian, dimana i
1 . Akan kita tunjukkan bahwa
=0
Substitusikan ekspresi λ dan x ke dalam persamaan eigen value eigenvector Ax
= λx
A  y  iz    i  y  iz 



(1.5)
Perkalian (1.5) dengan (y  iz) menghasilkan
T
 y  iz 
T
A( y  iz)   i  y  iz  ( y  iz)
T
yang disederhanakan menjadi y’TAy + z TAz = (+ i)(yTy + z Tz), karena y TAz =
z TAy berlaku simetri A. Sekarang x ≠ 0 berimplikasi bahwa (yTy + z Tz) >
0, dan konsekuensinya kita harus mempunyai = 0 karena sisi kiri
persamaan di atas adalah real. Substitusikan  = 0 ke dalam persamaan
(1.5) hasilnya adalah
Ay + iAz = y + iz
Jadi, x= y + iz akan menjadi eigen vektor A yang berhubungan dengan λ =
sepanjang y dan z memenuhi Ay = y, Az = z dan sedikitnya tidak ada
salah satu yang bernilai 0 sehingga x ≠ 0. Sebuah eigenvector real
kemudian dibentuk dengan memilih y ≠ 0 sedemikian hingga Ay = y dan z =
0.
Jadi terbukti bahwa eigen value dari A semuanya bilangan real.
b) Anggap x1 dan x2 adalah eigen vektor yang bersesuaian dengan eigen value x1 dan
x2 yang berbeda dari matriks A. Kita ingin menunjukkan bahwa x1 .x2 = 0. Menurut
teori hasil kali titik pada modul Ruang Vektor, dan kesimetrisan A, diperoleh :
Ax1 .x2 = x1 .A Tx2 = x1 .A Tx2
(1.6)
Tetapi x1 adalah eigen vektor yang bersesuaian dengan 1
dan
eigen vektor
persamaan
yang
bersesuaian
dengan2,
sehingg
x2
adalah
(1.6)
menghasilkan hubungan :
1x1 .x2 = x1 . 2 x2
yang dapat ditulis kembali menjadi :
(1 - 2 )( x1 .x2 ) = 0
(1.7)
Tetapi (1 - 2 ) 0, karena 1 dan 2 dianggap berbeda. Jadi dari persamaan
1.7 dapat kita simpulkan bahwa x1 .x2 = 0. Yang berarti x1 dan x2 ortogonal.
Telah kita lihat bahwa himpunan eigen vektor dari sebuah matriks A ukuran
m×m adalah linear independen jika eigen value yang terasosiasi semuanya adalah
berbeda satu sama lainnya. Sekarang akan kita tunjukkan, jika A simetris, kita bisa
bahas lebih lanjut. Anggaplah x dan y adalah eigenvector A yang berhubungan
dengan eigen value λ dan
, dimana λ ≠
. Maka, karena A simetris, berlaku bahwa
λxT y  (λx)T y  (Ax)T y xT AT y xT (Ay) xT (γy) γxT y
Karena λ ≠  kita harus mempunyai xTy = 0, yaitu eigenvector yang
berhubungan dengan eigen value yang berbeda haruslah orthogonal. Sehingga,
jika m eigen value A adalah berbeda, maka serangkaian eigenvector yang
berhubungan akan membentuk kelompok vektor yang saling orthogonal. Akan
kita tunjukkan bahwa hal itu masih memungkinkan apabila A mempunyai
eigen value yang beragam. Sebelumnya kita perlu hasil berikut :
Teorema 10
Sebuah matriks A simetris m × m dan x adalah vektor tidak nol m × 1. Maka
untuk sembarang r ≥ 1, ruang vektor spanned by vektor x, Ax, …, Ar-1x,
memuat sebuah eigen vektor A.
2.5. Mencari Nilai Eigen Dengan Cara Analitis
1) Nilai Eigen
Sebelumnya telah dijelaskan bahwa nilai eigen merupakan nilai
karakteristik suatu matriks. Secara sederhana, nilai eigen merupakan nilai yang
mempresentasikan suatu matriks dalam perkalian dengan suatu vektor, dapat
ditulis sebagai:
Ax = λx
di mana A suatu matriks persegi (n,n), x merupakan vektor (n,1), dan λ merupakan
nilai eigen dari matriks A. Nilai eigen matriks A dapat dicari dengan
Ax−λx = 0
(A−λ)x = 0
Misalkan diberikan A matriks 3x3 dan vektor x
−8
𝐴 = [−14
−22
21
31
45
a
−9
− 13] dan x = [b]
c
− 19
Berdasarkan persamaan (A−λ)x = 0 dapat dituliskan
[
a
−8 − 𝜆
21
−9
b
[
−14
31 − 𝜆 − 13 ] ] = 0
−22
45 − 19 − 𝜆 c
Untuk mencari nilai λ yang sesuai, terlebih dahulu dihitung determinan dari (A−λ) dengan
metode Sarrus (khusus matriks 3x3) atau ekspansi kofaktor. Menggunakan ekspansi
kofaktor baris pertama, diperoleh
det(A − λ) = (−8 − λ) |
31 − λ
45
(−9) |−14 31 − λ|
−22
45
= −λ3 + 4λ2+ 4 λ− 16
−14
−13
−13
| − (21) |
|+
−22 −19 − λ
−19 − λ
Polinomial yang didapatkan di atas disebut polinomial karakteristik. Berdasarkan
persamaan (A−λ)x = 0, diketahui jika x tidak nol maka A−λ harus sama dengan
nol. Hal ini berarti det(A−λ) = 0. Dengan demikian, diperoleh persamaan
−λ3 + 4λ2+ 4 λ− 16 = 0
Jika dicari dengan pemfaktoran atau dengan bantuan Matlab, diperoleh
−λ3 + 4λ2 + 4λ – 16 = (λ+2)(−λ+2)(λ−4) sehingga didapatkan ketiga nilai eigen
yaitu λ=2, λ=−2 dan λ=4.
Jelaslah untuk matriks persegi orde-n akan memberikan persamaan
karakteristik orde-n pula. Dengan begitu, matriks persegi orde-n memiliki paling
banyak n nilai eigen (bisa kurang jika ada akar kembar).
Cara spesial untuk memperoleh polinomial karakteristik matriks 2x2 dan 3x3
ialah:
-
matriks 2x2: det(A) − λ⋅trace(A) + λ2
-
matriks 3x3: det(A) − λ⋅(M11+M22+M33)+λ2⋅trace(A)−λ3
dengan Mij adalah Minor dari matriks A.
2) Vektor Eigen
Vektor eigen x merupakan solusi dari matriks A−λ untuk setiap nilai λ
yang ada di mana x≠0. Misalkan pada matriks A tadi mempunyai tiga nilai eigen,
maka vektor eigennya juga ada tiga.
Misalkan untuk λ = 2, substitusikan nilai λ ke dalam persamaan:
[
[
a
−8 − 𝜆
21
−9
−14
31 − 𝜆 − 13 ] [b] = 0
−22
45 − 19 − 𝜆 c
−8 − (2)
−14
−22
21
−9
a
0
31 − (2) − 13 ] [b] = [0]
45
− 19 − (2) c
0
−10 21 −9 a
0
b
[−14 29 −13] [ ] = [0]
−22 45 −21 c
0
SPL di atas dapat diselesaikan dengan metode Gauss atau Gauss-Jordan. Metode
Crammer tak dapat digunakan karena matriks di atas tidak memiliki solusi sejati
(determinannya = 0). Jadi kita hanya dapat memperoleh solusi trivialnya dengan
menyatakan a, b, dan c misalkan dalam c. Dengan metode Gauss, matriks pada
−10 21
−9
a
0
ruas kiri persamaan [−14 29 −13] [b] = [0] dapat diubah menjadi matriks
−22 45 −21 c
0
segitiga melalui operasi baris elementer (OBE) yaitu:
−10 21
−9
−9
4
4
−13] 𝑂21 (−14/10) = [ 0
−
− ] 𝑂31 (−22/10)
10
10
−21
−22 45
−21
−10 21
−9
−10 21
−9
4
4
4
4
0
−
−
=
10
10 𝑂32 (−3) = [ 0
−
− ]
10
10
12
12
0
0
0
0
−
−
[
10
10]
−10 21 −9 a
0
Dengan demikian, persamaan [−14 29 −13] [b] = [0] dapat ditulis ulang
−22 45 −21 c
0
−10 21
[−14 29
−22 45
menjadi:
−10 21
−9 a
0
[ 0
−0,4 −0,4] [b] = [0]
c
0
0
0
0
jika a,b,c kita nyatakan dalam c, diperoleh
−0,4b − 0,4c = 0
−10a + 21b − 9c = 0
Dari kedua persamaan di atas diperoleh b = −c dan a = −3c. Jadi vektor eigen
untuk λ = 2 ialah
−3c
−3
x1 = [ −c ] = [−1]
c
1
Dengan cara serupa, untuk λ = −2, jika ditelusuri diperoleh
1
c
4
1
x2 = [ 1c ] = [2]
2
4
c
dan untuk λ=4
c
1
x3 = [c] = [1]
c
1
2.6. Implementasi MATLAB Untuk Mencari Nilai Eigen
 Nilai Eigen
Di bawah ini akan dijelaskan cara mencari nilai eigen untuk persamaan
matriks.
Langkah-langkah dengan MATLAB:
1. Sebagai langkah awal buka program Matlab pada desktop sehingga akan
terbuka program dengan memunculkan kotak dialog MATLAb dan Comman
Window.
2. Buat M-file baru pada Comman Window dengan cara mengklik menu File
pada Comman Window dan pilih New kemudian M-File seperti gambar di
bawah ini:
3. Maka akan muncul kotak M-File baru seperti pada gambar di bawah ini:
4. Masukkan kode program ke program MATLAB sebagai berikut dengan cara
mengketikkannya pada kotak dialog M-File .
Catatan : Jika ada kode/script program yang sudah baku dan lengkap
seperti kode program dibawah ini, maka copy-paste saja kode tersebut ke
kotak dialog M-File. Jika tidak lengkap, maka harus diketik ulang dan
direvisi dimana terdapat kesalahannya. Script/kode tersebut diketahui tidak
lengkap jika setelah di jalankan programnya ternyata eror.
Kode Program :
Coding :
clc;
disp (
' NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN'
Z=input('Mariks Z = ');
disp('Matriks Z =');
disp(Z);
dA=det(Z);
[ba,ka]=size(Z);
disp('nilai eigen matriks Z=');
disp(eig(Z));
);
BAB III
PENUTUP
3.1. Kesimpulan
1. Kefleksibelan persamaan yang dimaksud adalah kita dapat dengan bebas
memasukkan nilai matriks yang akan dicari nilai eigennya apakah angka 0,
bilangan negatif maupun bilangan positif dengan syarat utama yaitu
matriknya harus matriks persegi
2. Jumlah nilai eigen dari matriks persegi ditentukan oleh ordo matriksnya. Jika
matriksnya berordo 2x2 maka nilai eigen matriksnya ada 2, jika matriksnya
berordo 3x3 maka nilai eigen matriksnya ada 3 dan seterusnya untuk matriks
persegi nxn yang lain. Jadi, matrik berordo nxn maka jumlah nilai eigennya
sebanyak n.
3. Pangkat maksimal dari polynomial karakteristik matriks ditentukan oleh ordo
matriksnya. Jika matriksnya berordo 2x2, maka polynomial karakteristik
matriksnya memiliki pangkat maksimal 2, begitupula untuk matriks 3x3 maka
pangkat maksimalnya 3 dan seterusnya untuk matriks persegi nxn yang lain.
Jadi, matrik berordo nxn maka polynomial karakteristiknya berpangkat
maksimal n.
4. Polinomial karakteristik dan nilai eigen dari matriks A yang dicari
menggunakan matlab sesuai dengan yang dicari menggunakan metode
analitis.
DAFTAR PUSTAKA
Fachruddin, Imam. 2013. Metode Numerik. Jakarta : UI Press
Sartono, Arif. 2006. Penggunaan Metode Numerik dan MATLAB Dalam Fisika.
Jakarta : UI Press
Nugroho, Fahrudin. 2013. Pemrograman dan Metode Numerik (Untuk Fisika).
Catatan Kuliah Fisika.
Sahyar. 2013. Algoritma dan Pemrograman Mengunakan Matlab. Medan :
UNIMED Press
Wibawati. 2007. Eigenvalue dan Eigenvektor. Modul5_Nilai_Eigen.
Zakaria, Ulfah. 2010. Metode Numerik. Jakarta: UNILA Press