ALJABAR BOOLEAN (2) -Prinsip Dualitas -Hukum/Aturan AB Altien Jonathan Rindengan, S.Si, M.Kom Prinsip Dualitas Di dalam aljabar Boolean banyak ditemukan kesamaan (identity) yang dapat diperoleh dari kesamaan lainnya, misalnya pada dua aksioma distributif yang sudah disebutkan di dalam postulat Huntington: (i) a(b + c) = ab + ac (ii) a + bc = (a + b)(a + c) Aksioma yang kedua diperoleh dari aksioma pertama dengan cara mengganti dengan + dan mengganti + dengan . Prinsip Dualitas …. Prinsip ini dikenal dengan prinsip dualitas, prinsip yang juga kita temukan di dalam teori himpunan maupun logika. Definisi prinsip dualitas di dalam aljabar Boolean adalah sebagai berikut ini: Prinsip Dualitas …. Definisi Misalkan S adalah kesamaan (identity) di dalam aljabar Boolean yang melibatkan operator + , , dan komplemen, maka jika pernyataan S* diperoleh dengan cara mengganti dengan + + dengan 0 dengan 1 1 dengan 0 dan membiarkan operator komplemen tetap apa adanya, maka kesamaan S* juga benar. S* disebut sebagai dual dari S. Prinsip Dualitas …. Contoh 2 Tentukan dual dari 1. 2. 3. 4. 5. a+0=a (a 1)(0 + a’) = 0 a(a’ + b) = ab (a + b)(b + c) = ac + b (a + 1)(a + 0) = a Penyelesaian: 1. 2. 3. 4. 5. a1=a (a + 0) + (1 a’) = 1 a + a’b = a + b ab + bc = (a + c)b (a 0) + (a 1) = a Hukum/Aturan Aljabar Boolean Beberapa dari hukum yang terdapat di dalam tabel sudah disebutkan di dalam postulat Huntington. Terdapat kemiripan antara hukum-hukum aljabar Boolean dengan hukum-hukum aljabar himpunan dan hukum-hukum aljabar proposisi. Hukum Aljabar Boolean …. 1. Hukum identitas: 2. Hukum idempoten: (i) a + 0 = a (i) a + a = a (ii) a 1 = a (ii) a a = a 3. Hukum komplemen: 4. Hukum dominasi: (i) a + a’ = 1 (i) a 0 = 0 (ii) aa’ = 0 (ii) a + 1 = 1 5. Hukum involusi: (a’)’ = a 6. Hukum penyerapan: (i) a + ab = a (ii) a(a + b) = a Hukum Aljabar Boolean …. 7. Hukum komutatif: 8. Hukum asosiatif: (i) a + b = b + a (i) a + (b + c) = (a + b) + c (ii) ab = ba (ii) a (b c) = (a b) c 8. Hukum distributif: 9. Hukum De Morgan: (i) a + (b c) = (a + b) (a + c) (i) (a + b)’ = a’b’ (ii) a (b + c) = a b + a c (ii) (ab)’ = a’ + b’ 10. Hukum identitas: (i) 0’ = 1 (ii) 1’= 0 Hukum Aljabar Boolean …. Perhatikanlah bahwa hukum yang ke-(ii) dari setiap hukum di atas merupakan dual dari hukum yang ke(i). Sebagai contoh, Hukum komutatif: a+b=b+a dualnya : ab = ba Hukum asosiatif : a + (b + c) = (a + b) + c dualnya : a(bc) = (ab)c Hukum distributif: a(b + c) = ab + ac dualnya : a + bc = (a + b)(a + c) Hukum Aljabar Boolean …. Beberapa hukum aljabar Boolean di atas akan dibuktikan di bawah ini. Bukti: Untuk (2i) a+a = (a + a)(1) (Identitas) = (a + a)(a + a’) (Komplemen) = a + aa’ (Distributif) =a+0 (Komplemen) =a (Identitas) Hukum Aljabar Boolean …. Untuk (4ii) a 0= a(aa’) = (aa) a’ = aa’ =0 Untuk (6i) a + ab =a1+ab = a (1 + b) =a1 =a (Komplemen) (Asosiatif) (Idempoten) (Komplemen) (Identitas) (Distributif) (Dominasi) (Identitas) Hukum Aljabar Boolean …. Contoh 3 Buktikan bahwa untuk sembarang elemen a dan b dari aljabar Boolean maka kesamaan berikut a + a’b = a + b adalah benar. Penyelesaian: a + a’b= (a + ab) + a’b = a + (ab + a’b) = a + (a + a’)b =a+1•b =a+b (Penyerapan) (Asosiatif) (Distributif) (Komplemen) (Identitas) Fungsi Boolean Definisi 5.3 Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari Bn ke B melalui ekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagai f:Bn B yang dalam hal ini Bn adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut ganda-n (ordered n-tuple) di dalam daerah asal B. Fungsi Boolean …. Misalkan ekspresi Boolean dengan n peubah adalah E(x1, x2, ..., xn). Menurut definisi ini, setiap pemberian nilai-nilai kepada peubah x1, x2, ..., xn merupakan suatu pasangan terurut ganda-n di dalam daerah asal Bn dan nilai ekspresi tersebut adalah bayangannya di dalam daerah hasil B. Fungsi Boolean …. Dengan kata lain, setiap ekspresi Boolean tidak lain merupakan fungsi Boolean. Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah f(x, y, z) = xyz + x’y + y’z. Fungsi f memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda-3. Misalnya (1, 0, 1) yang berarti x = 1, y = 0, dan z = 1 sehingga f(1, 0, 1) =1 0 1 + 1’ 0 + 0’ 1 = 0 + 0 + 1 = 1. Fungsi Boolean …. Contoh 5.4 Contoh-contoh fungsi Boolean: f(x) =x f(x, y) = x’y + xy’ + y’ f(x, y) = x’y’ f(x, y) = (x + y)’ f(x, y, z) = xyz’ Fungsi Boolean …. Setiap peubah di dalam fungsi Boolean, termasuk dalam bentuk komplemennya, disebut literal. Fungsi h(x, y, z) = xyz’ pada contoh di atas terdiri dari 3 buah literal, yaitu x, y, dan z’. Fungsi tersebut berharga 1 jika x = 1, y = 1, z = 0, sebab h(1, 1, 0) = 1 1 0’ = (1 1) 1 = 1 1 = 1 dan berharga 0 untuk harga x, y, dan z lainnya.