III. ALJABAR BOOLEAN DAN GERBANG LOGIKA

III. ALJABAR BOOLEAN DAN GERBANG
LOGIKA
A. PENDAHULUAN ALJABAR BOOLEAN
Ekspresi Boolean
Adalah pernyataan logika dalam bentuk
aljabar Boolean.
B. FUNGSI BOOLEAN
Tabel 3-1 Rumus –2 pada aljabar Boolean
No
AND
OR
KETERANGAN
1
2
3
4
5
6
7
8
(A.B).C = A.(B.C)
A .B = B .A
(A+B).(A+C)=A+(B.C)
A.O = O
A.A = A
A.A= O
A = A
A.O= O
A .1 = A
A.(A + B ) = A
(A+B)+C=A+(B+C)
A+B=B+A
(A.B)+(A.C)=A(B+C)
A+1= 1
A+A=A
A+ A=1
A=A
A+O=A
A+1=1
A + (A.B) = A
Hk.Asosiatif
Hk.Komutatif
Hk.Distributif
Hk.Identitas
Hk.Idempoten
Hk.Inversi/Negasi
Hk.Negasi Ganda
Hk.Hubungan Dgn
Suatu Konstanta
Hk.Absorbsi
9
CONTOH
1. X + X’ .Y = (X + X’).(X +Y) = X+Y
2. X .(X’+Y) = X.X’ + X.Y = X.Y
3. X.Y+ X’.Z+Y.Z = X.Y + X’.Z + Y.Z.(X+X)’
= X.Y + X’.Z + X.Y.Z + X’.Y.Z
= X.Y.(1+Z) + X’.Z.(1+Y)
= X.Y + X’.Z
C.
KANONIKAL DAN BENTUK STANDARD
Adalah menyatakan suatu persamaan dalam
hubungan
operasi
AND
atau
OR
antar
variabel secara lengkap pada setiap suku.
Dan
antar
suku
operasi OR atau AND.
dihubungkan
dengan
Tabel 2. Bentuk Minterm dan Maxterm
untuk 3 variabel biner
Minterm
X
Y
Z
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
Maxterm
Term
Designation
Term
Designation
x’y’z’
x’y’z
x’yz’
x’yz
xy’z’
xy’z
xyz’
xyz
m0
m1
m2
m3
m4
m5
m6
m7
x+y+z
x+y+z’
x+y’+z
x+y’+z’
x’+y+z
x’+y+z’
x’+y’+z
x’+y’+z’
M0
M1
M2
M3
M4
M5
M6
M7
MINTERM
Adalah suku dalam persamaan yang memiliki
hubungan operasi AND antar variabel secara
lengkap. Dan antar suku dihubungkan dengan
OR
Contoh.
Tunjukkan fungsi Boolean F = A + B’C
dalam
minterm
Jawab.
Fungsi mempunyai 3 variabel A,B dan C
suku pertama A = A(B+B’) (C+C’)
= ABC+ABC’+AB’C+AB’C’
suku kedua BC = B’C (A+A’)
= AB’C + A’B’C
Jadi penulisan Minterm untuk F = A + B’C
adalah
F = ABC+ABC’+AB’C+AB’C’+A’B’C
= m7 + m6 + m5 + m4 + m1
Lanjutan …
Dan tabel kebenaran adalah sebagai berikut.
A
B
C
F
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
MAXTERM
Adalah suku dalam persamaan yang memiliki
hubungan operasi OR antar variabel secara
lengkap. Dan antar suku di hubungkan dengan
operasi AND.
Contoh.
Tunjukkan fungsi Boolean F = XY + X’Z dalam
Maxterm.
Jawab.
Fungsi mempunyai 3 variabel X,Y dan Z
dengan menggunakan Hk.Distributif
F = XY + X’Z = (XY + X’) (XY + Z)
= (X + X’) (Y + X’) (X + Y) (X + Z)
= (X’ + Y) (X + Z) (Y + Z)
Lanjutan …….
Untuk suku 1
(X’+ Y) = X’+ Y + ZZ’ = (X’ + Y + Z) (X’ + Y +
Z’)
(X + Z) = X + Z + YY’ = (X + Z + Y) (X + Y’ + Z)
(Y + Z) = Y + Z + XX’ = (X + Y + Z) (X’ + Y + Z)
Jadi dapat ditulis
F (XYZ) = (X+Y+Z)
(X’+Y+Z’)
= M0.M2.M4.M5
Atau ditulis dengan notasi
F (XYZ) =  (0,2,4,5)
(X+Y’+Z)
(X’+Y+Z)
Lanjutan …
Dan tabel kebenaran adalah sebagai berikut.
A
B
C
F
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
Soal latihan.
Ekspresikan fungsi Boolean tsb dalam bentuk Minterm
dan Maxterm.
F (ABCD) = B’D + A’D + BD
IV. ALJABAR BOOLEAN DAN GERBANG
LOGIKA
A. GERBANG LOGIKA
Tabel 4-1. Gerbang Logika Dasar
Fig.
2-5
Hal 59 M. Mano
B. RANGKAIAN DENGAN GERBANG LOGIKA
Fungsi Boolean di despresikan dalam
bentuk rangkaian dengan Gerbang Logika
CONTOH.
Buatlah rangkaian dengan Gerbang Logika
untuk aljabar Boolean sbb.
X . ( X’ + Y )
Jawab.
X
Y
X.( X’+Y)
C. IMPLEMENTASI DEMORGAN DALAM
RANGKAIAN LOGIKA
Hukum De Morgan
(A + B)’ = A’ . B’
A + B = (A’ . B’)’
(A . B)’ = A’ + B’
A . B = (A’ + B’)’
Beberapa Contoh latihan penyederhanaan
fungsi dengan aljabar Boolean.
1. Buktikan
X+X.Y = X+Y
2. Buktikan
(X+Y).(X’+Z).(Y+Z) = X+Y).(X+Z)