mathlogic 09 aljabar-boolean 2

ALJABAR BOOLEAN
(2)
-Prinsip Dualitas
-Hukum/Aturan AB
Altien Jonathan Rindengan, S.Si, M.Kom
Prinsip Dualitas


Di dalam aljabar Boolean banyak ditemukan
kesamaan (identity) yang dapat diperoleh dari
kesamaan lainnya, misalnya pada dua aksioma
distributif yang sudah disebutkan di dalam postulat
Huntington:
(i) a(b + c) = ab + ac
(ii) a + bc = (a + b)(a + c)
Aksioma yang kedua diperoleh dari aksioma
pertama dengan cara mengganti  dengan + dan
mengganti + dengan .
Prinsip Dualitas ….


Prinsip ini dikenal dengan prinsip dualitas, prinsip
yang juga kita temukan di dalam teori himpunan
maupun logika.
Definisi prinsip dualitas di dalam aljabar Boolean
adalah sebagai berikut ini:
Prinsip Dualitas ….

Definisi
Misalkan S adalah kesamaan (identity) di dalam aljabar
Boolean yang melibatkan operator + , , dan komplemen,
maka jika pernyataan S* diperoleh dengan cara
mengganti
 dengan +
+ dengan 
0 dengan 1
1 dengan 0
dan membiarkan operator komplemen tetap apa adanya,
maka kesamaan S* juga benar. S* disebut sebagai dual
dari S.
Prinsip Dualitas ….

Contoh 2
Tentukan dual dari
1.
2.
3.
4.
5.

a+0=a
(a  1)(0 + a’) = 0
a(a’ + b) = ab
(a + b)(b + c) = ac + b
(a + 1)(a + 0) = a
Penyelesaian:
1.
2.
3.
4.
5.
a1=a
(a + 0) + (1  a’) = 1
a + a’b = a + b
ab + bc = (a + c)b
(a  0) + (a  1) = a
Hukum/Aturan Aljabar Boolean


Beberapa dari hukum yang terdapat di dalam tabel
sudah disebutkan di dalam postulat Huntington.
Terdapat kemiripan antara hukum-hukum aljabar
Boolean dengan hukum-hukum aljabar himpunan dan
hukum-hukum aljabar proposisi.
Hukum Aljabar Boolean ….
1. Hukum identitas:
2. Hukum idempoten:
(i) a + 0 = a
(i) a + a = a
(ii) a  1 = a
(ii) a  a = a
3. Hukum komplemen:
4. Hukum dominasi:
(i) a + a’ = 1
(i) a  0 = 0
(ii) aa’ = 0
(ii) a + 1 = 1
5. Hukum involusi:
(a’)’ = a
6. Hukum penyerapan:
(i) a + ab = a
(ii) a(a + b) = a
Hukum Aljabar Boolean ….
7. Hukum komutatif:
8. Hukum asosiatif:
(i) a + b = b + a
(i) a + (b + c) = (a + b) + c
(ii) ab = ba
(ii) a (b c) = (a b) c
8. Hukum distributif:
9. Hukum De Morgan:
(i) a + (b c) = (a + b) (a + c)
(i) (a + b)’ = a’b’
(ii) a (b + c) = a b + a c
(ii) (ab)’ = a’ + b’
10. Hukum identitas:
(i) 0’ = 1
(ii) 1’= 0
Hukum Aljabar Boolean ….

Perhatikanlah bahwa hukum yang ke-(ii) dari setiap
hukum di atas merupakan dual dari hukum yang ke(i). Sebagai contoh,
Hukum komutatif:
a+b=b+a
dualnya :
ab = ba
Hukum asosiatif :
a + (b + c) = (a + b) + c
dualnya :
a(bc) = (ab)c
Hukum distributif:
a(b + c) = ab + ac
dualnya :
a + bc = (a + b)(a + c)
Hukum Aljabar Boolean ….


Beberapa hukum aljabar Boolean di atas akan
dibuktikan di bawah ini.
Bukti:
Untuk (2i)
a+a
= (a + a)(1)
(Identitas)
= (a + a)(a + a’)
(Komplemen)
= a + aa’
(Distributif)
=a+0
(Komplemen)
=a
(Identitas)
Hukum Aljabar Boolean ….
Untuk (4ii)
a  0= a(aa’)
= (aa) a’
= aa’
=0
Untuk (6i)
a + ab
=a1+ab
= a (1 + b)
=a1
=a
(Komplemen)
(Asosiatif)
(Idempoten)
(Komplemen)
(Identitas)
(Distributif)
(Dominasi)
(Identitas)
Hukum Aljabar Boolean ….

Contoh 3
Buktikan bahwa untuk sembarang elemen a dan b dari aljabar
Boolean maka kesamaan berikut a + a’b = a + b adalah
benar.

Penyelesaian:
a + a’b= (a + ab) + a’b
= a + (ab + a’b)
= a + (a + a’)b
=a+1•b
=a+b
(Penyerapan)
(Asosiatif)
(Distributif)
(Komplemen)
(Identitas)
Fungsi Boolean

Definisi 5.3
Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah
pemetaan dari Bn ke B melalui ekspresi Boolean, kita
menuliskannya sebagai
f:Bn  B
yang dalam hal ini Bn adalah himpunan yang
beranggotakan pasangan terurut ganda-n (ordered
n-tuple) di dalam daerah asal B.
Fungsi Boolean ….


Misalkan ekspresi Boolean dengan n peubah
adalah E(x1, x2, ..., xn).
Menurut definisi ini, setiap pemberian nilai-nilai
kepada peubah x1, x2, ..., xn merupakan suatu
pasangan terurut ganda-n di dalam daerah asal Bn
dan nilai ekspresi tersebut adalah bayangannya di
dalam daerah hasil B.
Fungsi Boolean ….




Dengan kata lain, setiap ekspresi Boolean tidak
lain merupakan fungsi Boolean.
Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah
f(x, y, z) = xyz + x’y + y’z.
Fungsi f memetakan nilai-nilai pasangan terurut
ganda-3.
Misalnya (1, 0, 1) yang berarti x = 1, y = 0, dan
z = 1 sehingga f(1, 0, 1) =1  0  1 + 1’  0 + 0’  1
= 0 + 0 + 1 = 1.
Fungsi Boolean ….

Contoh 5.4
Contoh-contoh fungsi Boolean:
 f(x)
=x
 f(x, y) = x’y + xy’ + y’
 f(x, y) = x’y’
 f(x, y) = (x + y)’
 f(x, y, z) = xyz’
Fungsi Boolean ….



Setiap peubah di dalam fungsi Boolean, termasuk
dalam bentuk komplemennya, disebut literal.
Fungsi h(x, y, z) = xyz’ pada contoh di atas terdiri
dari 3 buah literal, yaitu x, y, dan z’.
Fungsi tersebut berharga 1 jika x = 1, y = 1, z =
0, sebab
h(1, 1, 0) = 1  1  0’ = (1  1)  1 = 1  1 = 1
dan berharga 0 untuk harga x, y, dan z lainnya.