word ankom

BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG
Bilangan kompleks merupakan salah satu terobosan penting dalam dunia
Matematika. Bagi yang telah mengikuti perkuliahan Aljabar Linear,
himpunan bilangan bulat telah dikenal sebagai suatu himpunan yang
sederhana yang memiliki struktur grup, dan lebih jauh lagi gelanggang.
Struktur grup dari bilangan bulat membuat setiap persamaan linear monik
memiliki solusi. Tetapi persamaan linear umum:
ax + b = c
dengan a; b; c di suatu himpunan F menuntut struktur yang lebih canggih
bagi F, yaitu lapangan.
Tetapi lapangan ini tidak memiliki sifat berikut ini: setiap subset terbatas
darinya memiliki batas atas terkecil dan batas bawah terbesar. Sifat ini
yang kemudian berakibat setiap barisan Cauchy konvergen. Sifat ini
disebut "lengkap". Kebutuhan untuk mengkonstruksi sebuah lapangan
yang lengkap yang kemudian memberikan himpunan bilangan real. Tetapi,
meskipun himpunan bilangan real memiliki sifat kelengkapan, lapangan
tersebut tidak tertutup secara aljabar: setiap polinom berderajat n memiliki
n buah pembuat nol.
Salah satu contoh klasik mengenai fakta ini adalah persamaan x 2 +1 = 0
yang sama sekali tidak memiliki akar di bilangan real. Jika akar dari
persamaan ini disebut i, maka kita dapat membentuk lapangan bilangan
kompleks yang tertutup secara aljabar. Masalah yang serius dalam hal ini
adalah persamaan: x2 +1 = 0 memiliki dua akar. Akar yang manakah yang
akan kita pilih sebagai i? Ini sebabnya pendekatan yang lebih formal dan
rigid dibutuhkan untuk mendefinisikan himpunan bilangan kompleks.
1
B. RUMUSAN MASALAH
1. Apa itu teorema de moivre?
2. Apa itu akar pangkat n dari bilangan kompleks?
3. Apa itu defenisi fungsi kompleks?
4. Apa itu operasi pada fungsi kompleks?
5. Apa itu defenisi fungsi komposisi?
C. TUJUAN PENULISAN
1. Mengetahui dan memahami teorema de moivre
2. Mengetahui dan memahami tentang akar pangkat n dari bilagan
kompleks
3. Mengetahui dan memahami defenisi fungsi kompleks
4. Mengetahui dan memahami operasi pada fungsi kompleks
5. Mengetahui dan memahami defenisi fungsi komposisi
2
BAB II
PEMBAHASAN
1. TEOREMA DE MOIVRE
Misalkan z,z1,z2,…, zn adalah bilangan kompleks dimana z = x+
yi, z1 = x1 +y1i, z2 = x2 +y2i dan zn = xn + yni
Dalam koordinat kutub dapat dinyatakan:
z = r(cos t + i sin t)
z1 = r1(cos t1 + i sin t1)
z2 = r2(cos t2+ i sin t2)
…
zn = rn(cos tn + i sin tn)
Dari persamaan – persamaan ini dapat diperoleh :
z1. z2 = r1 . r2(cos t1 + i sin t1)(cos t2 + i sin t2)
= r1. r2(cos(t1 + t2) + I sin (t1 + t2))
z1 . z2 . z3 =r1. r2 . r3(cos(t1 + t2 + t3) + I sin (t1 + t2 + t3))
z1…….zn = r1…….rn(cos(t1 +…+tn) + i sin (t1 +…+ tn))
Berdasarkan fakt ini dapat diperoleh :
z . z……z=zn = rn (cos nt + i sin nt),yang memberikan : rn(cos t + i
sin t)n = rn(cos nt + i sin nt) ↔ (cos t + i sin t)n = (cos nt + i sin nt)
Persamaan terakhir ini dikenal dengan rumus – rumus de moivre.
Untuk n ∈ Z, rumus De Moivre dibuktikan sebasgai berikut:
1. N = 0, diperoleh 1= 1( pernyataan yang benar)
2. Untuk n ∈ N, dibuktikan dengan induksi matematika: n = 1,
memberikan (cos t + I sin t) (pernyataa benar).
Andaikan benar untuk n = k yang berarti : (cos t + I sin t)k = cos
kt +I sin kt, maka akan ditunjukan benar untukn = k + 1.
(cos t + i sin t)kt = (cos t + i sin t)k (cos t + i sin t)
= (cos kt +i sin kt) (cos t + i sin t)
3
= cos kt cos t + i cos kt sin t + i cos t si kt – sin kt sin t
= cos t si kt – sin kt sin t + i(sin kt cos t + cos kt sin t)
= cos (kt + t) + i (sin(kt + t))
= cos (k + 1)t + i(sin(k + 1)t)(berlaku untuk n = k + 1)
3. Untuk n bilangan bulat negatif, misalkan n = -m
(cos t + i sin t) = ( cos t + i sin t)-m
1
= (cos 𝑡 +𝑖 sin 𝑡)𝑚
1
= cos 𝑚𝑡+𝑖 sin 𝑚𝑡
cos 𝑚𝑡−𝑖 sin 𝑚𝑡
= 𝑐𝑜𝑠2 𝑚𝑡 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑚𝑡
= cos mt + i sin (-mt)
= cos (-m)t + i sin (-m)t
= cos nt + i sin nt (berlaku)
∴ (cos t + i sin t)n = (cos nt + i sin nt), n ∈ Z
Contoh:
Nyatakan (1 + i)8 dalam bentuk a + bi
Jawab :
𝜋
Dalam koordinat kutub (1 + i) = √2 cis 4
𝜋
Maka (1 + i)8 = (√2 cis 4 )8
𝜋
= (21/2)8(cis 4 )8
= 16 cis 2𝜋
= 16 (cos 2𝜋 + i sin 2𝜋)
= 16 (1 + 0)
= 16
4
2. AKAR PANGKAT N DARI BILANGAN KOMPLEKS
Jika diketahui sebarang bilangan kompleks z = r cis
𝑛
t,bagaimana menentukan √𝑧? , n ≥ 2, n ∈ N.
𝑛
Misalkan √𝑧 = w dimana w = 𝜌 cis 𝛼, maka akan ditentukan 𝜌 dan
𝑛
𝛼 yang memenuhi √𝑧 = w
𝑛
√𝑧 = w ↔ wn = z
↔ (𝜌 cis 𝛼)n = r cis t
↔ 𝜌n cis n𝛼 = r cis t
Dari persamaan terakhir ini diperoleh:
𝑛
𝜌n = r dan n𝛼 = t + 2k𝜋, k ∈ Z,yang memberikan 𝜌 = √𝑟 =
r1/n dan 𝛼 =
t + 2k𝜋
𝑛
𝑛
𝑛
. Jadi, jika z = r cis 𝛼, maka √𝑧 = √𝑟 cis
t + 2k𝜋
𝑛
dengan nilai k = 0,1,2,...,(n – 1).
Contoh :
a. Hitung √1 + 𝑖
Jawab :
Misalkan √1 + 𝑖 = w dimana w = 𝜌 cis 𝛼, maka akan
diperoleh
w2 = 1 + i yang memberikan:( 𝜌 cis 𝛼 )2 = 1 + i ↔ 𝜌2 cis 2𝛼 =
𝜋
√2 cis 4
4
𝜋
persamaan terakhir ini menghasilkan 𝜌 = √2 dan 𝛼 = 8 + 2𝑘𝜋,
k = 0,1.
𝜋
4
Maka : w = √1 + 𝑖 = √2 cis 8 + 𝑘𝜋, k = 0,1.
4
𝜋
4
9𝜋
Jadi, k = 0 → w1 = √2 cis 8
k = 1→ w1 = √2 cis
5
8
`
b. Tentukan semua z yang memenuhi z4 = -2 + 2i√3
jawab :
Misalkan z = r cis t, maka diperoleh
(r cis t)4 = z4 = -2 + 2i√3 ↔ r4cis 4t = 4 cis
2𝜋
3
𝜋
Persamaan terakhir ini memberikan 𝜌 = 1 dan t = 6 +
𝑘𝜋
2
,
sehingga menghasilkan:
𝜋
z = cis 6 +
𝑘𝜋
2
, k = 0, 1, 2, 3, dan diperoleh:
𝜋
k = 0 → z1 = cis 6
k = 1 → z2 = cis
k = 2 → z3 = cis
k = 3 → z4 = cis
2𝜋
3
7𝜋
6
10𝜋
6
3. DEFENISI FUNGSI KOMPLEKS
Misalkan D himpunan titik pada bidang Z.
Fungsi kompleks f adalah suatu aturan yang memasangkan setiap
titik z anggota D dengan satu dan hanya satu titik w pada bidang
W, yaitu (z,w). Fungsi tersebut ditulis w =f(z).
Himpunan D disebut daerah asal (domain)dari f, ditulis Df dan f(z)
disebut nilai dari f atau peta dari z oleh f. Range atau daerah hasil
(jelajah) dari f ditulis Rf,yaitu himpunan f(z) untuk setiap z
anggota D.
Perhatikan fungsi f : I C , dengan I merupakan sub himpunan
bilangan real dan C himpunan bilangan kompleks. Maka fungsi f
ini merupakan fungsi bernilai
kompleks. Fungsi ini merupakan bentuk penyederhanaan fungsi
yang memetakan
sub himpuan bilangan real ke bidang, atau lebih dikenal sebagai
fungsi bernilai vektor. Sebagai contoh, diberikan fungsi f (t)
6
cost i sin t, 0 t 2 , maka kurva dari fungsi kompleks ini
berupa lingkaran satuan, yaitu lingkaran yang
berpusat di pusat koordinat dan berjari-jari satu. Sedangkan
fungsig(t) t it 2 , 1 t 1, akan berupa parabola y x 2 , dari
x = – 1 sampai x = 1,seperti gambar berikut.
Selanjutnya akan dibahas tentang fungsi kompleks
dengan domain bilangan
kompleks. Misalkan S merupakan sub himpunan bilangan
kompleks dan fungsi f
pada S adalah aturan yang menetapkan setiap z di dalam S
dengan tepat satu unsur
di C dan dituliskan sebagai
f : S C .
z w f ( z) .
Pada rumus di atas, z adalah bilangan kompleks, jadi S
merupakan domain definisi
fungsi f dan himpunan yang merupakan seluruh nilai
fungsi f disebut sebagai
range (jangkauan) dari f. Sedangakn w adalah juga
bilangan kompleks, sehingga dapat ditulis sebagai w = u +
iv , yang bergantung pada bilangan kompleks z = x + iy.
7
Jadi w dapat ditulis sebagai w f ( z) u( x, y) iv( x, y).
Dengan demikian fungsi kompleks f(z) ekuivalen dengan
pasangan fungsi u( x, y) dan v( x, y) yang keduanya
bergantung pada dua peubah x dan y.Himpunan S disebut
daerah asal (domain) dari f, ditulis Df dan f(z) disebut nilai
dari f atau peta dari z oleh f. Range atau daerah hasil
(jelajah) dari f ditulis Rf, yaitu himpunan f(z) untuk setiap z
anggota S.
Contoh:
Tuliskan f(z) = 2z2 – i dalam bentuk u dan v !
Jawab :
Misal z = x + iy, maka fungsi w = f(z) = 2z2–i
= 2(x + iy )2– i
= 2(x2+2xyi - y2) –
i
= 2(x2 – y2) + i(2xy
-1).
Jadi u = 2(x2 - y2) dan v = 2xy - 1.
4. OPERASI PADA FUNGSI KOMPLEKS
1.
Penjumlahan
(𝑎 + 𝑖𝑏) + (𝑐 + 𝑖𝑑) = 𝑎 + 𝑖𝑏 + 𝑐 + 𝑖𝑑 = (𝑎 + 𝑐) + 𝑖(𝑏 + 𝑑)
2. Pengurangan
(𝑎 + 𝑖𝑏) − (𝑐 + 𝑖𝑑) = 𝑎 + 𝑖𝑏 − 𝑐 − 𝑖𝑑 = (𝑎 − 𝑐) + 𝑖(𝑏 − 𝑑)
3. Perkalian
(𝑎 + 𝑖𝑏) . (𝑐 + 𝑖𝑑) = 𝑎𝑐 + 𝑎. 𝑖𝑑 + 𝑖. 𝑏𝑐 + 𝑏. 𝑑𝑖 2
= (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + 𝑖(𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)
NB : i2 = -1
8
4. Pembagian
𝑎+𝑖𝑏
𝑐+𝑖𝑑
=
𝑎+𝑖𝑏
𝑐+𝑖𝑑
.
𝑐−𝑖𝑑
𝑐−𝑖𝑑
=
𝑎𝑐−𝑎.𝑖𝑑+𝑖.𝑏𝑐−𝑖 2 bd
𝑐 2 −𝑑 2 𝑖 2
=
𝑎𝑐+𝑏𝑑+𝑖(𝑏𝑐−𝑎𝑑)
𝑐 2 + 𝑑2
=
𝑎𝑐+𝑏𝑑
𝑐 2 + 𝑑2
+
𝑏𝑐−𝑎𝑑
𝑐 2 + 𝑑2
.i
5. FUNGSI KOMPOSISI
Diberikan fungsi f(z) dengan domain Df dan fungsi g(z) dengan
domain Dg.
Jika Rf Dg, maka ada fungsi komposisi (g f) (z) = g (f (z)),
dengan domain Df.
Diberikan fungsi f(z) dengan domain Df dan fungsi g(z)
dengan domain Dg.
Jika Rf ∩ Dg ≠  maka ada fungsi komposisi (g∘f)(z) =g(f(z)),
dengan domain Df.
Jika Rg∩ Df ≠ , maka ada fungsi koSSmposisi (f ⃘g)(z) =
f(g(z)), dengan domain Dg.
9
Tidak berlaku hukum komutatif pada (g ⃘f) (z) dan (f ⃘g)(z).
Contoh :
Misal: f(z) = 3z – i dan g(z) = z2 + z –1 + i
Jika Rf ∩ Dg≠ ,
maka (g⃘f) (z) = g (f (z))
= g(3z – i)
= (3z – i)2 + (3z – i) –1 + i
= 9z2 – 6iz – 1 + 3z – i – 1 + i
= 9z2 – 3z – 2 – 6iz
Jika Rg∩ Df ≠ 
maka (f ⃘g) (z) = f (g (z))
= f(z2 + z –1 + i)
= 3z2 + 3z – 3 + 3i – i
Karena 9z2 – 3z – 2 – 6iz ≠ 3z2 + 3z – 3 + 3i – i
Jadi, (g ⃘f) (z) ≠ (f ⃘g)(z) atau
(g ⃘ f) ≠ (f ⃘g), (tidak komutatif).
10
BAB III
PENUTUP
1. KESIMPULAN
Pembuktian teorema de moivre dapat diperoleh dengan Misalkan
z,z1,z2,…, zn adalah bilangan kompleks dimana z = x+ yi, z1 = x1 +y1i, z2
= x2 +y2i dan zn = xn + yni Dalam koordinat kutub dapat dinyatakan:
Z = r(cos t + i sin t)
Z1 = r1(cos t1 + i sin t1)
Z2 = r2(cos t2+ I sin t2)
…
Zn = rn(cos tn + i sin tn)
Jika diketahui sebarang bilangan kompleks z = r cis t,bagaimana
𝑛
𝑛
menentukan √𝑧? , n ≥ 2, n ∈ N.Misalkan √𝑧 = w dimana w = 𝜌 cis 𝛼, maka akan
𝑛
ditentukan 𝜌 dan 𝛼 yang memenuhi √𝑧 = w
𝑛
√𝑧 = w ↔ wn = z
↔ (𝜌 cis 𝛼)n = r cis t
↔ 𝜌n cis n𝛼 = r cis t
Fungsi kompleks f adalah suatu aturan yang memasangkan setiap titik z
anggota D dengan satu dan hanya satu titik w pada bidang W, yaitu (z,w). Fungsi
tersebut ditulis w =f(z).Himpunan D disebut daerah asal (domain)dari f, ditulis Df
dan f(z) disebut nilai dari f atau peta dari z oleh f. Range atau daerah hasil
(jelajah) dari f ditulis Rf,yaitu himpunan f(z) untuk setiap z anggota D.
11
DAFTAR PUSTAKA
Panjaitan, Binur.2017,Analisis Kompleks.Medan:Media Pratama Raharja
http://digilib.uinsby.ac.id/20106/1/Fungsi%20komplek.pdf
https://korediantousman.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2018/09/Main1.pdf
12