Kalkulus_12012M02__Bilangan_Kompleks

1.7 Bilangan Kompleks
BILANGAN KOMPLEKS
Definisi :
Gabungan antara bilangan riil dan imajiner
Bentuk Umum:
Z= X + Yi
Dengan :
X = adalah bilangan riil, disebut bagian nyata atau X = R
Y = adalah bilangan riil, disebut bagian imajiner atau Y
= Im
i =  1 = Bilangan imajiner
1
1.7. Bilangan Kompleks
Sifat-sifat Bilangan Imajiner :
 i2 = ( ) 2 = ( ( -1 )1/2) 2 = (-1)1= -1
 i3 = i2. i = ( -1 ) . i = -i
 i4= i2. i2 = ( -1) ( -1) = 1
Contoh :
1) i203 = ( (i)4)50. i3 = ( 1 ) 50. –i = -i
2) i102 = ( (i) 4)25. i2 = (1)25. (-1) = -1
3) Z = 5 - i
X = 5 dan Y = - 1
4) Z = 23 + 5i
X = 23 dan Y = 5
2
1.7. Bilangan Kompleks
Aljabar Bilangan Kompleks
1. Dua bilangan kompleks sama besar bila bagian nyata dan
bagian imajiner kedua bil. sama
Contoh :
Z1 = X1 + Y1 i Z1 = Z2 X1 =X2
Z2 = X2 + Y2 i
Y1=Y2
2. Jumlah / selisih bilangan kompleks adalah bilangan kompleks
juga
Contoh :
Z1 = X1 + Y1 i
Z1 ± Z2 = (X1 ± X2 ) +(Y1 ± Y2) i
Z2 = X2 + Y2 i
3
1.7. Bilangan Kompleks
3.
Hasil kali bilangan kompleks adalah bil.
kompleks
Z 1 = X1 + Y 1 i
; Z2 = X 2 + Y 2 i
Z1 . Z2 = (X1 + Y1 i )(X2 + Y2 i)
= X1X2+X1Y2i +X2Y1i +Y1Y2 i2
= X1X2+X1Y2i +X2Y1i +Y1Y2 (-1)
= (X1X2 - Y1Y2) + (X1Y2 +X2Y1)i
Bagian Riil
bagian Imajiner
4
1.7.Bilangan Kompleks
4. Pembagian dua bilangan kompleks adalah
bilangan kompleks
z1 = x1 + y1 i
; z2 = x2 + y2 i
z1 / z2 = (x1 + y1 i ) / (x2 + y2 i)
Pembilangan dan penyebut dikalikan dengan
bilangan yang sama yaitu x2 - y2 i dan akan
didapat :
5
1.7. Bilangan Kompleks
( jika z = x + yi maka z = x – yi , z adalah
konjugasi ( sekawan )dari z )
dan pembagian di atas akan didapat :
z1 x1  y1i x 2  y 2i x1x 2  y1y 2
x 2 y1  x1y 2

.
 2
i
2
2
2
z 2 x 2  y 2i x 2  y 2i
x 2  y2
x 2  y2
6
1.7. Bilangan Kompleks
Sifat-sifat Bilangan kompleks
• Jika z1, z2 dan z3 sebarang bilangan-bilangan
komplek, maka berlaku :
• Hukum komutatif : z1 +z2 = z2 + z1 ; z1.z2 = z2. z1
• Hukum asosiatif : (z1 +z2) + z3 = z1 +(z2 + z3)
;
(z1 z2 ) z3 = z1 ( z2 z3)
• Hukum distributif : z1 (z2 + z3)= z1 z2 + z1 z3
7
1.7. Bilangan Kompleks
Melukis Bilangan kompleks
• Bilangan-bilangan riil dilukis sebagai titik
dalam sebuah garis yang disebut garis
bilangan Bilangan kompleks dilukiskan pada
bidang datar dimana didalamnya terdapat
sistem koordinat Cartesian . Titik P(x,y) adalah
suatu lukisan bilangan kompleks z = x+yi
8
1.7. Bilangan Kompleks
Cara Melukis :
Sb.imajiner
Sb.y
P(x,y) = x+yi
r
y
ᶿ
0
x
Q
Sb. riil
sb.x
9
1.7. Bilangan Kompleks
Perhatikan ∆OPQ Gambar di atas:
a.
2
2
r  OP 
x y

z
 modulus z
b. Cosθ  x ; sin θ  y maka tg θ  y atau θ  arc tg y
r
r
θ adalah argumen dari z
x
x
Notasi baku Bilangan Kompleks : z = x+yi
Jika x dan y disubstitusikan akan didapat
z = r cos θ +r sin θ i = r (cos θ + i sin θ )
= r cis θ ( Notasi Modulus/argumen= Polar)
10
1.7. Bilangan Kompleks
Contoh : Ubah menjadi notasi modulus argumen dari
bilangan kompleks z = 1-i
Penyelesaian : z = 1-i , maka x = 1 dan y = -1
r
x2  y2 
1 1  2
x
1
1
cos θ  

2  (Kw I, IV )
r
2 2
y
1
1
sin θ 


2  ( Kw III, IV )
r
2
2
shg θ yg memenuhi ada di Kw IV , θ  315o  k.360
Jadi z  1  i  rcis θ 
2 cis 315  k.360
o
11
1.7. Bilangan Kompleks
Menurut deret Mac Laurin ,
e  cos θ  i sin θ
iθ
maka z = x+yi (Notasi baku )
bisa diubah menjadi bentuk
z = r cis θ
(Notasi Modulus/argumen )/Polar
z=r e
iθ
( Notasi Euler )
12
1.7. Bilangan Kompleks
5. Pangkat Bilangan Kompleks
i n
z  (x  yi)  (re )  r cis n  De Moivre
n
n
n
Contoh : Hitung (1  i)
Penyelesaian : 1-i diubah dalam Mod-Arg, didapat
100
r
(1  i)
2 ,  315  k.360
100
 ( 2 cis 315 )
100
 2 cis 31500  2 cis 180
50
50
 2 (cos 180  i sin 180)  2 (-1)  -2
50
50
50
13
1.7 Bilangan Kompleks
6. Akar Bilangan Kompleks
n
z z
1
 r
n
1
n
cis

n
Hitung semua nilai z dari persamaan : z3 +1 = 0
1
3
3
3
3

z


1

z


1

(

1
)
1, 2,3
Penyelesaian : z +1 = 0
Bilangan -1 ditulis dalam bentuk Mod/arg ,
x = -1, y = 0 ,sehingga r =1,  =180+k.360
Jadi :
-1 = 1 cis (180+k.360)
(1)
1
3
180  k.360
 1 cis (
)  cis (60  k.120)
3
1
3
, k = bilangan bulat ( diambil yang berurutan)
14
15