Uploaded by User14229

AISYAH ADELINA (TUGAS PEMODELAN)

advertisement
TUGAS PEMODELAN – ELECTRIC CIRCUIT PROBLEM
Nama : AISYAH ADELINA
NIM : 4153111002
Kelas : MATEMATIKA DIK A 2015
Problem
1
An RLC Circuit has 𝑅 = 180 Ξ©, 𝐢 = 280 𝐹, 𝐿 = 20 𝐻; and an applied Voltage
𝐸(𝑑) = 10 sin 𝑑; Assuming to initial charge on the Capacitor, but an initial current
of 1 𝐴 at 𝑑 = 0, when the Voltage is first applied, find the subsequent charge on the
Capacitor; π‘ž(0) = 0, π‘ž β€² (0) = 0.
Answer:
Diketahui
1
: 𝑅 = 180 Ξ©,
𝐢 = 280 𝐹,
𝐸(𝑑) = 10 sin 𝑑, π‘ž(0) = 0,
Ditanya
𝐿 = 20 𝐻,
π‘ž β€² (0) = 𝐼(0) = 1
: 𝑄(𝑑) = . . . . . ?
Penyelesaian :
Dari sistem RLC, diperoleh :
𝐸𝑅 + 𝐸𝐢 + 𝐸𝐿 = 𝐸𝑑
Sehingga,
𝐸𝑅 + 𝐸𝐢 + 𝐸𝐿 = 10 sin 𝑑
1
𝑑𝐼
𝑑𝑄
𝑄 + 𝐿 = 10 sin 𝑑 ;
𝐼=
𝐢
𝑑𝑑
𝑑𝑑
𝑑𝑄 1
𝑑 𝑑𝑄
𝑅
+ 𝑄+𝐿 .
= 10 sin 𝑑
𝑑𝑑 𝐢
𝑑𝑑 𝑑𝑑
𝑅𝐼 +
𝑅
𝑑𝑄 1
𝑑2 𝑄
+ 𝑄 + 𝐿 2 = 10 sin 𝑑
𝑑𝑑 𝐢
𝑑𝑑
𝐿
𝑑2𝑄
𝑑𝑄 1
+𝑅
+ 𝑄 = 10 sin 𝑑
2
𝑑𝑑
𝑑𝑑 𝐢
Dengan mensubstitusi data pada soal, diperoleh :
20
𝑑2 𝑄
𝑑𝑄
1
+ 180
+
𝑄 = 10 sin 𝑑
2
1
𝑑𝑑
𝑑𝑑
280
𝑑2 𝑄
𝑑𝑄
20 2 + 180
+ 280 𝑄 = 10 sin 𝑑
𝑑𝑑
𝑑𝑑
𝑑2𝑄
𝑑𝑄
1
+9
+ 14 𝑄 = sin 𝑑
2
𝑑𝑑
𝑑𝑑
2
; (×
1
)
20
. . . . . . (βˆ—)
Mencari solusi PD Homogen, yaitu 𝑄𝐿 = 0, sehingga :
(𝐷2 + 9𝐷 + 14)𝑄 = 0
𝐷2 + 9𝐷 + 14 = 0
Persamaan karakteristik PD adalah :
πœ†2 + 9πœ† + 14 = 0
(πœ† + 2)(πœ† + 7) = 0
Akar-akar persamaan karakteristik adalah :
πœ†1 = βˆ’2
dan
πœ†2 = βˆ’7
Maka diperoleh :
𝑄𝐿 = 𝑐1 𝑒 βˆ’7𝑑 + 𝑐2 𝑒 βˆ’2𝑑
Mencari solusi PD tak homogen, yaitu 𝑄𝑅 dengan menggunakan metode koefisien
tak tentu dan aturan modifikasi.
Jika 𝑄(π‘₯) = π‘˜ sin πœ”π‘‘ maka 𝑄𝑅 = π‘Ž0 sin πœ”π‘‘ + π‘Ž1 cos πœ”π‘‘, sehingga :
𝑸𝑹 = π’‚πŸŽ 𝐬𝐒𝐧 𝒕 + π’‚πŸ 𝐜𝐨𝐬 𝒕
Diferensiasi terhadap 𝑑, diperoleh :
𝑄𝑅′ = π‘Ž0 cos 𝑑 βˆ’ π‘Ž1 sin 𝑑 + π‘Žπ‘œ sin 𝑑 + π‘Ž1 cos 𝑑 ; π‘Žπ‘œ sin 𝑑 + π‘Ž1 cos 𝑑 = 0, maka :
𝑸′𝑹 = π’‚πŸŽ 𝐜𝐨𝐬 𝒕 βˆ’ π’‚πŸ 𝐬𝐒𝐧 𝒕
Diferensiasi lagi terhadap 𝑑 (karena berorde 2), diperoleh :
𝑄𝑅′′ = βˆ’π‘Ž0 sin 𝑑 βˆ’ π‘Ž1 cos 𝑑 + π‘Ž0 cos 𝑑 βˆ’ π‘Ž1 sin 𝑑 ; π‘Ž0 cos 𝑑 βˆ’ π‘Ž1 sin 𝑑 = 0, maka :
𝑸′′
𝑹 = βˆ’π’‚πŸŽ 𝐬𝐒𝐧 𝒕 βˆ’ π’‚πŸ 𝐜𝐨𝐬 𝒕
Substitusi 𝑄𝑅 , 𝑄𝑅′ , 𝑄𝑅′′ ke persamaan (βˆ—), sehingga :
𝑄𝑅′′ + 9𝑄𝑅′ + 14 𝑄 =
1
sin 𝑑
2
1
(βˆ’π‘Ž0 sin 𝑑 βˆ’ π‘Ž1 cos 𝑑) + 9( π‘Ž0 cos 𝑑 βˆ’ π‘Ž1 sin 𝑑) + 14(π‘Ž0 sin 𝑑 + π‘Ž1 cos 𝑑) = sin 𝑑
2
1
2
(βˆ’π‘Ž0 βˆ’ 9π‘Ž1 + 14π‘Ž0 ) sin 𝑑 + (βˆ’π‘Ž1 + 9π‘Ž0 + 14π‘Ž1 ) cos 𝑑 = sin 𝑑
1
2
(13π‘Ž0 βˆ’ 9π‘Ž1 ) sin 𝑑 + (9π‘Ž0 + 13π‘Ž1 ) cos 𝑑 = sin 𝑑
Diperoleh :
1
9
13π‘Ž0 βˆ’ 9π‘Ž1 = 2
… . (1)
| × 9|
117π‘Ž0 βˆ’ 81π‘Ž1 = 2
9π‘Ž0 + 13π‘Ž1 = 0
… . (2)
| × 13|
117π‘Ž0 + 169π‘Ž1 = 0 βˆ’
9
βˆ’250π‘Ž1 = 2
βˆ’500π‘Ž1 = 9
π‘Ž1 = βˆ’
Substitusi π‘Ž1 ke persamaan (2), diperoleh :
9π‘Ž0 = βˆ’13 (βˆ’
9
)
500
⇔
π‘Ž0 =
13
500
Maka diperoleh :
𝑄𝑅 =
13
9
sin 𝑑 βˆ’
cos 𝑑
500
500
Karena 𝑄𝑑 = 𝑄𝐿 + 𝑄𝑅 maka :
𝑄(𝑑) = 𝑐1 𝑒 βˆ’7𝑑 + 𝑐2 𝑒 βˆ’2𝑑 +
13
9
sin 𝑑 βˆ’
cos 𝑑
500
500
𝑄(0) = 0
𝑐1 𝑒 βˆ’7(0) + 𝑐2 𝑒 βˆ’2(0) +
𝑐1 + 𝑐2 βˆ’
9
=0
500
13
9
sin 0 βˆ’
cos 0 = 0
500
500
9
500
𝑐1 + 𝑐2 =
9
500
… . (3)
β€²
𝑄(𝑑)
= βˆ’7𝑐1 𝑒 βˆ’7𝑑 βˆ’ 2𝑐2 𝑒 βˆ’2𝑑 +
13
9
cos 𝑑 +
sin 𝑑
500
500
β€²
𝑄(0)
=1
βˆ’7𝑐1 𝑒 βˆ’7(0) βˆ’ 2𝑐2 𝑒 βˆ’2(0) +
13
9
cos 0 +
sin 0 = 1
500
500
13
=1
500
487
βˆ’7𝑐1 βˆ’ 2𝑐2 =
… . (4)
500
βˆ’7𝑐1 βˆ’ 2𝑐2 +
Dari persamaan (3) dan (4), diperoleh :
18
500
487
βˆ’7𝑐1 βˆ’ 2𝑐2 =
500
505
βˆ’5𝑐1
=
500
2𝑐1 + 2𝑐2 =
𝑐1 = βˆ’
+
101
500
Substitusi 𝑐1 ke persamaan (3), diperoleh :
βˆ’
101
9
+ 𝑐2 =
500
500
𝑐2 =
110
500
Sehingga diperoleh :
𝑄(𝑑) = βˆ’
101 βˆ’7𝑑 110 βˆ’2𝑑
13
9
𝑒
+
𝑒
+
sin 𝑑 βˆ’
cos 𝑑
500
500
500
500
Download
Random flashcards
sport and healty

2 Cards Nova Aulia Rahman

Nomor Rekening Asli Agen De Nature Indonesia

2 Cards denaturerumahsehat

Create flashcards