Solusi Masalah RLC Circuit: Tugas Pemodelan Matematika

TUGAS PEMODELAN – ELECTRIC CIRCUIT PROBLEM
Nama : AISYAH ADELINA
NIM : 4153111002
Kelas : MATEMATIKA DIK A 2015
Problem
1
An RLC Circuit has 𝑅 = 180 Ω, 𝐶 = 280 𝐹, 𝐿 = 20 𝐻; and an applied Voltage
𝐸(𝑡) = 10 sin 𝑡; Assuming to initial charge on the Capacitor, but an initial current
of 1 𝐴 at 𝑡 = 0, when the Voltage is first applied, find the subsequent charge on the
Capacitor; 𝑞(0) = 0, 𝑞 ′ (0) = 0.
Answer:
Diketahui
1
: 𝑅 = 180 Ω,
𝐶 = 280 𝐹,
𝐸(𝑡) = 10 sin 𝑡, 𝑞(0) = 0,
Ditanya
𝐿 = 20 𝐻,
𝑞 ′ (0) = 𝐼(0) = 1
: 𝑄(𝑡) = . . . . . ?
Penyelesaian :
Dari sistem RLC, diperoleh :
𝐸𝑅 + 𝐸𝐶 + 𝐸𝐿 = 𝐸𝑡
Sehingga,
𝐸𝑅 + 𝐸𝐶 + 𝐸𝐿 = 10 sin 𝑡
1
𝑑𝐼
𝑑𝑄
𝑄 + 𝐿 = 10 sin 𝑡 ;
𝐼=
𝐶
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑄 1
𝑑 𝑑𝑄
𝑅
+ 𝑄+𝐿 .
= 10 sin 𝑡
𝑑𝑡 𝐶
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑅𝐼 +
𝑅
𝑑𝑄 1
𝑑2 𝑄
+ 𝑄 + 𝐿 2 = 10 sin 𝑡
𝑑𝑡 𝐶
𝑑𝑡
𝐿
𝑑2𝑄
𝑑𝑄 1
+𝑅
+ 𝑄 = 10 sin 𝑡
2
𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝐶
Dengan mensubstitusi data pada soal, diperoleh :
20
𝑑2 𝑄
𝑑𝑄
1
+ 180
+
𝑄 = 10 sin 𝑡
2
1
𝑑𝑡
𝑑𝑡
280
𝑑2 𝑄
𝑑𝑄
20 2 + 180
+ 280 𝑄 = 10 sin 𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑2𝑄
𝑑𝑄
1
+9
+ 14 𝑄 = sin 𝑡
2
𝑑𝑡
𝑑𝑡
2
; (×
1
)
20
. . . . . . (∗)
Mencari solusi PD Homogen, yaitu 𝑄𝐿 = 0, sehingga :
(𝐷2 + 9𝐷 + 14)𝑄 = 0
𝐷2 + 9𝐷 + 14 = 0
Persamaan karakteristik PD adalah :
𝜆2 + 9𝜆 + 14 = 0
(𝜆 + 2)(𝜆 + 7) = 0
Akar-akar persamaan karakteristik adalah :
𝜆1 = −2
dan
𝜆2 = −7
Maka diperoleh :
𝑄𝐿 = 𝑐1 𝑒 −7𝑡 + 𝑐2 𝑒 −2𝑡
Mencari solusi PD tak homogen, yaitu 𝑄𝑅 dengan menggunakan metode koefisien
tak tentu dan aturan modifikasi.
Jika 𝑄(𝑥) = 𝑘 sin 𝜔𝑡 maka 𝑄𝑅 = 𝑎0 sin 𝜔𝑡 + 𝑎1 cos 𝜔𝑡, sehingga :
𝑸𝑹 = 𝒂𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝒕 + 𝒂𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝒕
Diferensiasi terhadap 𝑡, diperoleh :
𝑄𝑅′ = 𝑎0 cos 𝑡 − 𝑎1 sin 𝑡 + 𝑎𝑜 sin 𝑡 + 𝑎1 cos 𝑡 ; 𝑎𝑜 sin 𝑡 + 𝑎1 cos 𝑡 = 0, maka :
𝑸′𝑹 = 𝒂𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝒕 − 𝒂𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝒕
Diferensiasi lagi terhadap 𝑡 (karena berorde 2), diperoleh :
𝑄𝑅′′ = −𝑎0 sin 𝑡 − 𝑎1 cos 𝑡 + 𝑎0 cos 𝑡 − 𝑎1 sin 𝑡 ; 𝑎0 cos 𝑡 − 𝑎1 sin 𝑡 = 0, maka :
𝑸′′
𝑹 = −𝒂𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝒕 − 𝒂𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝒕
Substitusi 𝑄𝑅 , 𝑄𝑅′ , 𝑄𝑅′′ ke persamaan (∗), sehingga :
𝑄𝑅′′ + 9𝑄𝑅′ + 14 𝑄 =
1
sin 𝑡
2
1
(−𝑎0 sin 𝑡 − 𝑎1 cos 𝑡) + 9( 𝑎0 cos 𝑡 − 𝑎1 sin 𝑡) + 14(𝑎0 sin 𝑡 + 𝑎1 cos 𝑡) = sin 𝑡
2
1
2
(−𝑎0 − 9𝑎1 + 14𝑎0 ) sin 𝑡 + (−𝑎1 + 9𝑎0 + 14𝑎1 ) cos 𝑡 = sin 𝑡
1
2
(13𝑎0 − 9𝑎1 ) sin 𝑡 + (9𝑎0 + 13𝑎1 ) cos 𝑡 = sin 𝑡
Diperoleh :
1
9
13𝑎0 − 9𝑎1 = 2
… . (1)
| × 9|
117𝑎0 − 81𝑎1 = 2
9𝑎0 + 13𝑎1 = 0
… . (2)
| × 13|
117𝑎0 + 169𝑎1 = 0 −
9
−250𝑎1 = 2
−500𝑎1 = 9
𝑎1 = −
Substitusi 𝑎1 ke persamaan (2), diperoleh :
9𝑎0 = −13 (−
9
)
500
⇔
𝑎0 =
13
500
Maka diperoleh :
𝑄𝑅 =
13
9
sin 𝑡 −
cos 𝑡
500
500
Karena 𝑄𝑡 = 𝑄𝐿 + 𝑄𝑅 maka :
𝑄(𝑡) = 𝑐1 𝑒 −7𝑡 + 𝑐2 𝑒 −2𝑡 +
13
9
sin 𝑡 −
cos 𝑡
500
500
𝑄(0) = 0
𝑐1 𝑒 −7(0) + 𝑐2 𝑒 −2(0) +
𝑐1 + 𝑐2 −
9
=0
500
13
9
sin 0 −
cos 0 = 0
500
500
9
500
𝑐1 + 𝑐2 =
9
500
… . (3)
′
𝑄(𝑡)
= −7𝑐1 𝑒 −7𝑡 − 2𝑐2 𝑒 −2𝑡 +
13
9
cos 𝑡 +
sin 𝑡
500
500
′
𝑄(0)
=1
−7𝑐1 𝑒 −7(0) − 2𝑐2 𝑒 −2(0) +
13
9
cos 0 +
sin 0 = 1
500
500
13
=1
500
487
−7𝑐1 − 2𝑐2 =
… . (4)
500
−7𝑐1 − 2𝑐2 +
Dari persamaan (3) dan (4), diperoleh :
18
500
487
−7𝑐1 − 2𝑐2 =
500
505
−5𝑐1
=
500
2𝑐1 + 2𝑐2 =
𝑐1 = −
+
101
500
Substitusi 𝑐1 ke persamaan (3), diperoleh :
−
101
9
+ 𝑐2 =
500
500
𝑐2 =
110
500
Sehingga diperoleh :
𝑄(𝑡) = −
101 −7𝑡 110 −2𝑡
13
9
𝑒
+
𝑒
+
sin 𝑡 −
cos 𝑡
500
500
500
500