TUGAS PEMODELAN – ELECTRIC CIRCUIT PROBLEM Nama : AISYAH ADELINA NIM : 4153111002 Kelas : MATEMATIKA DIK A 2015 Problem 1 An RLC Circuit has π = 180 Ω, πΆ = 280 πΉ, πΏ = 20 π»; and an applied Voltage πΈ(π‘) = 10 sin π‘; Assuming to initial charge on the Capacitor, but an initial current of 1 π΄ at π‘ = 0, when the Voltage is first applied, find the subsequent charge on the Capacitor; π(0) = 0, π ′ (0) = 0. Answer: Diketahui 1 : π = 180 Ω, πΆ = 280 πΉ, πΈ(π‘) = 10 sin π‘, π(0) = 0, Ditanya πΏ = 20 π», π ′ (0) = πΌ(0) = 1 : π(π‘) = . . . . . ? Penyelesaian : Dari sistem RLC, diperoleh : πΈπ + πΈπΆ + πΈπΏ = πΈπ‘ Sehingga, πΈπ + πΈπΆ + πΈπΏ = 10 sin π‘ 1 ππΌ ππ π + πΏ = 10 sin π‘ ; πΌ= πΆ ππ‘ ππ‘ ππ 1 π ππ π + π+πΏ . = 10 sin π‘ ππ‘ πΆ ππ‘ ππ‘ π πΌ + π ππ 1 π2 π + π + πΏ 2 = 10 sin π‘ ππ‘ πΆ ππ‘ πΏ π2π ππ 1 +π + π = 10 sin π‘ 2 ππ‘ ππ‘ πΆ Dengan mensubstitusi data pada soal, diperoleh : 20 π2 π ππ 1 + 180 + π = 10 sin π‘ 2 1 ππ‘ ππ‘ 280 π2 π ππ 20 2 + 180 + 280 π = 10 sin π‘ ππ‘ ππ‘ π2π ππ 1 +9 + 14 π = sin π‘ 2 ππ‘ ππ‘ 2 ; (× 1 ) 20 . . . . . . (∗) Mencari solusi PD Homogen, yaitu ππΏ = 0, sehingga : (π·2 + 9π· + 14)π = 0 π·2 + 9π· + 14 = 0 Persamaan karakteristik PD adalah : π2 + 9π + 14 = 0 (π + 2)(π + 7) = 0 Akar-akar persamaan karakteristik adalah : π1 = −2 dan π2 = −7 Maka diperoleh : ππΏ = π1 π −7π‘ + π2 π −2π‘ Mencari solusi PD tak homogen, yaitu ππ dengan menggunakan metode koefisien tak tentu dan aturan modifikasi. Jika π(π₯) = π sin ππ‘ maka ππ = π0 sin ππ‘ + π1 cos ππ‘, sehingga : πΈπΉ = ππ π¬π’π§ π + ππ ππ¨π¬ π Diferensiasi terhadap π‘, diperoleh : ππ ′ = π0 cos π‘ − π1 sin π‘ + ππ sin π‘ + π1 cos π‘ ; ππ sin π‘ + π1 cos π‘ = 0, maka : πΈ′πΉ = ππ ππ¨π¬ π − ππ π¬π’π§ π Diferensiasi lagi terhadap π‘ (karena berorde 2), diperoleh : ππ ′′ = −π0 sin π‘ − π1 cos π‘ + π0 cos π‘ − π1 sin π‘ ; π0 cos π‘ − π1 sin π‘ = 0, maka : πΈ′′ πΉ = −ππ π¬π’π§ π − ππ ππ¨π¬ π Substitusi ππ , ππ ′ , ππ ′′ ke persamaan (∗), sehingga : ππ ′′ + 9ππ ′ + 14 π = 1 sin π‘ 2 1 (−π0 sin π‘ − π1 cos π‘) + 9( π0 cos π‘ − π1 sin π‘) + 14(π0 sin π‘ + π1 cos π‘) = sin π‘ 2 1 2 (−π0 − 9π1 + 14π0 ) sin π‘ + (−π1 + 9π0 + 14π1 ) cos π‘ = sin π‘ 1 2 (13π0 − 9π1 ) sin π‘ + (9π0 + 13π1 ) cos π‘ = sin π‘ Diperoleh : 1 9 13π0 − 9π1 = 2 … . (1) | × 9| 117π0 − 81π1 = 2 9π0 + 13π1 = 0 … . (2) | × 13| 117π0 + 169π1 = 0 − 9 −250π1 = 2 −500π1 = 9 π1 = − Substitusi π1 ke persamaan (2), diperoleh : 9π0 = −13 (− 9 ) 500 ⇔ π0 = 13 500 Maka diperoleh : ππ = 13 9 sin π‘ − cos π‘ 500 500 Karena ππ‘ = ππΏ + ππ maka : π(π‘) = π1 π −7π‘ + π2 π −2π‘ + 13 9 sin π‘ − cos π‘ 500 500 π(0) = 0 π1 π −7(0) + π2 π −2(0) + π1 + π2 − 9 =0 500 13 9 sin 0 − cos 0 = 0 500 500 9 500 π1 + π2 = 9 500 … . (3) ′ π(π‘) = −7π1 π −7π‘ − 2π2 π −2π‘ + 13 9 cos π‘ + sin π‘ 500 500 ′ π(0) =1 −7π1 π −7(0) − 2π2 π −2(0) + 13 9 cos 0 + sin 0 = 1 500 500 13 =1 500 487 −7π1 − 2π2 = … . (4) 500 −7π1 − 2π2 + Dari persamaan (3) dan (4), diperoleh : 18 500 487 −7π1 − 2π2 = 500 505 −5π1 = 500 2π1 + 2π2 = π1 = − + 101 500 Substitusi π1 ke persamaan (3), diperoleh : − 101 9 + π2 = 500 500 π2 = 110 500 Sehingga diperoleh : π(π‘) = − 101 −7π‘ 110 −2π‘ 13 9 π + π + sin π‘ − cos π‘ 500 500 500 500