File - TIGA SERANGKAI

Standar Kompetensi:
Menggunakan
konsep
Barisan dan Deret dalam
Tahukah anda??
pemecahan masalah.
Johann
Karl
Kompetensi dasar:
Friedrich Gauss (17771855)
adalah
Matematikawan
seorang
Jerman
yang lahir pada tanggal
30 April. Bakat Matematika beliau sudah diperlihatkan semasa muda. Guru sekolah dasarnya
meminta Gauss menulis bilangan 1 sampai 100
kemudian menghitung jumlahnya. Dengan cepat
Gauss memberi jawaban 5050. Ia bisa menjawab
secepat itu dengan menghitung diluar kepala,
mengikuti pola berikut.
1 + 2 + 3 + ⋯ + 98 + 99 + 100
1 + 100 = 101
2 + 99 = 101
3 + 98 = 101
Karena ada 50 pasang bilangan, masingmasing
dengan
jumlah
101,
maka
seluruhnya adalah 50 × 101 = 5050.
jumlah
1. Menentukan suku ke-n
barisan dan jumlah n
suku deret aritmatika
dan geometri.
2. Menyelesaikan model
Matematika
masalah
berkaitan
deret.
dari
yang
dengan
Barisan dan Deret
Aritmatika
Geometri
Suku ke-n (Un)
Suku ke-n (Un)
Jumlah n suku
pertama
Jumlah n suku
pertama
Jumlah sampai tak
hingga suku
Aplikasi barisan dan deret dalam kehidupan sehari-hari
BUKU AJAR MATEMATIKA/Edisi Barisan dan Deret
2
A. Barisan dan Deret Aritmatika
A.1. Barisan Aritmatika
Barisan Aritmatika adalah barisan bilangan-bilangan yang suku
berikutnya didapatkan dengan cara menambahkan bilangan konstant kedalam
suku berikutnya. Bilangan konstant tersebut disebut dengan beda.
Contoh :
1. 1, 3, 5, 7, 9. . . . . beda = 2
2. 1, 4, 7, 10 . . . . . beda = 3
3. 80, 74, 68 . . . . . beda = −6
U1 , U2 , U3 . . . . . Un−1 , Un
a b
b
b
Keterangan :
U1 = a
U2 = a + b
U3 = a + 2b
Un = a + n − 1 b
Dari ilustrasi diatas dapat disimpulkan bahwa rumus umum suku ke-n
barisan aritmatika adalah
Un = a + n − 1 b dimana a adalah suku pertama dan b adalah beda
Contoh :
1. Tentukan rumus suku ke-n dan nilai dari suku ke-501 dari barisan 2, 5,
8, 11 . . . .
Jawab :
2, 5, 8, 11 ….
U1 = a = 2
b = U2 − U1 = 5 − 3 = 2
BUKU AJAR MATEMATIKA/Edisi Barisan dan Deret
3
Un = a + n − 1 b
Un = 3n − 1
=2+ n−1 3
= 3 501 − 1
= 2 + 3n − 3 = 3n − 1
= 1503 − 1 = 1502
∴ Un = 3n − 1 dan U501 = 1502
2. Diketahui barisan aritmatika suku ke-12 dan suku ke-21 sama dengan
29 dan 56. Tentukan rumus suku ke-n barisan tersebut!
Jawab :
U12 = 29 ⇒ U12 = a + 11b = 29
. . . . . .(1)
U21 = 56 ⇒ U21 = a + 20b = 56 −
. . . . . .(2)
−9b = −27
b=3
Substitusi b = 3 ke persamaan (1)
a + 11b = 29
Un = a + n − 1 b
a + 11 3 = 29
= −4 + n − 1 b
a + 33 = 29
= −4 + 3n − 3
a = 29 − 33 = −4
= 3n − 7
∴ Un = 3n − 7
A.1.1. Suku tengah (Ut) Barisan Aritmatika
Apabila banyak suku suatu barisan aritmatika ganjil dan minimal terdiri
atas tiga suku maka terdapat suatu suku tengah yang disebut Ut.
𝑈1 , 𝑈2 , 𝑈3 → suku tengahnya 𝑈2
𝑈1 , 𝑈2 , 𝑈3 , 𝑈4 , 𝑈5 → suku tenganya 𝑈3
Misalnya diberikan barisan aritmatika 𝑈1 , 𝑈2 , . . . 𝑈𝑡 , 𝑈𝑡+1 , . . . 𝑈2𝑡−1
dengan suku tengah 𝑈𝑡 dan banyanya suku 2𝑡 − 1, maka berdasarkan rumus
𝑈𝑛 diperoleh:
BUKU AJAR MATEMATIKA/Edisi Barisan dan Deret
4
𝑈𝑡 = 𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏
1
1
1
= 2 2𝑎 + 2 2 𝑡 − 1 𝑏 = 2 [2𝑎 + 2 𝑡 − 1 𝑏]
1
= 2 [𝑎 + 𝑎 + 2𝑡 − 2 𝑏] → 𝑈2𝑡−1
1
1
= 2 𝑎 + 𝑈2𝑡−1 = 2 𝑈𝑖 + 𝑈2𝑡−1
Jadi, besarnya suku tengah dapat dihitung dengan rumus:
𝑈𝑡 =
1
1
𝑈1 + 𝑈2𝑡−1 atau 𝑈𝑡 = 𝑈1 + 𝑈𝑛
2
2
Contoh :
1. Tentukan suku tengah dari barisan aritmatika berikut 1, 5, 9, 13, 17
Jawab:
1, 5, 9, 13, 17
𝑈𝑛 = 17
𝑎=1
1
𝑈𝑡 = 2 1 + 17 = 9
∴ Suku tengah barisan tersebut adalah 9
2. Diketahui barisan aritmatika 3, 8, 13, . . . , 283. Tentukan suku tengah
barisan tersebut dan suku ke berapakah suku tengah tersebut!
Jawab:
3, 8, 13, . . . , 283
𝑈𝑛 = 283
𝑎=3
𝑏 = 8−3 =5
1
𝑈𝑡 = 2 3 + 283 = 143
𝑈𝑛 = 𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏 maka 𝑈𝑡 = 𝑎 + 𝑡 − 1 𝑏
143 = 3 + 𝑡 − 1 5
143 = 3 + 5𝑡 − 5
5𝑡 = 143 + 2
𝑡=
145
5
= 29
BUKU AJAR MATEMATIKA/Edisi Barisan dan Deret
5
∴ Suku tengah dari barisan berikut adalah 143 dan suku tengah tersebut
merupakan suku ke-29
A.1.2. Sisipan Barisan Aritmatika
Jika diantara dua suku yang berurutan dalam suatu barisan aritmatika
dimasukkan satu atau lebih suku (bilangan) yang lain sehingga menjadi barisan
aritmatika yang baru, maka proses ini disebut menyisipkan atau interpolasi.
Misalkan, diantara dua suku (dua bilangan) U1 dan U2 disisipkan k bilangan
sehingga terjadi barisan aritmatika, maka:
Barisan pertama U1, U2 dimana beda 𝑏 = 𝑈2 − 𝑈1 .
Apabila beda barisan aritmatika yang baru dimisalkan 𝑏′, maka barisan
aritmatika baru ialah:
𝑈1 , 𝑈1 + 𝑏′ , 𝑈1 + 2𝑏′ , . . . , 𝑈1 + 𝑘𝑏′ , 𝑈2
𝑈1 + 𝑘𝑏 ′ + 𝑏 ′ = 𝑈2 ⇒ 𝑈1 + 𝑘 + 1 𝑏 = 𝑈2
Dimana
⇔ 𝑏′ =
𝑈2 −𝑈1
𝑘+1
atau 𝑏 ′ =
𝑏
𝑘+1
Jadi beda baru dari barisan aritmatika yang telah disisipkan sebuah
bilangan berbeda dapat dicari dengan menggunakan rumus:
𝑏′ =
𝑏
𝑘+1
Contoh :
1. Diantara bilangan 2 dan 50 disisipkan 5 bilangan sehingga membentuk
barisan aritmatika. Hitunglah beda dari barisan tersebut!
Jawab:
𝑘=5
BUKU AJAR MATEMATIKA/Edisi Barisan dan Deret
6
𝑏 = 50 − 2 = 48
𝑏
48
𝑏 ′ = 𝑘+1 = 5+1 =
48
6
=8
Jadi, beda barisan yang baru adalah 8
2. Sisipkanlah sebelas bilangan diantara 23 dan 119 sehingga terjadi
sebuah barisan aritmatika. Tentukanlah barisan itu!
Jawab:
23,119
𝑛 =2
𝑏 = 119 − 23 = 96
𝑘 = 11
𝑏′ =
𝑏
𝑘+1
=
96
11+1
=
96
12
=8
Banyak suku baru 𝑛′ = 𝑛 + 𝑛 − 1 𝑘
= 2 + 2 − 1 11 = 13
Jadi, barisan aritmatika yang dimaksud adalah
23, 23 + 𝑏 ′ , 23 + 2𝑏 ′ , 23 + 3𝑏 ′ , . . . , 23 + 11𝑏 ′ , 119 . . . . . . 1
23, 31, 39, 47, . . . 111, 119
Alternatif lain: Untuk menentukan beda baru 𝑏 ′ barisan aritmatika
dapat digunakan persamaan (1) dengan rumus:
23 + 12𝑏 ′ = 119 ⇒ 12𝑏 ′ = 119 − 23 ⇒ 𝑏 ′ =
96
=8
12
A.2. Deret Aritmatika
Deret Aritmatika adalah jumlah suku-suku dari barisan aritmatika.
Adapun bentuk umum dari deret aritmatika adalah:
U1 + U2 + U3 + . . . . . +Un atau a + a + b + a + 2b + . . . . . + a + n − 1 b
BUKU AJAR MATEMATIKA/Edisi Barisan dan Deret
7
Jika Sn merupakan jumlah n suku pertama dari suatu deret aritmatika,
maka rumus umum untu Sn dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai
berikut:
𝑆𝑛 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + . . . 𝑈𝑛
Maka
𝑆𝑛 = 𝑎 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑎 + 2𝑏 + . . . + 𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏
𝑆𝑛 = 𝑈𝑛 + 𝑈𝑛 − 𝑏 + 𝑈𝑛 − 2𝑏 + . . . +𝑎
+
2𝑆𝑛 = 𝑎 + 𝑈𝑛 + 𝑎 + 𝑈𝑛 + 𝑎 + 𝑈𝑛 +. . . + 𝑎 + 𝑈𝑛
Penjumlahan sebanyak n suku
1
2𝑆𝑛 = 𝑛 𝑎 + 𝑈𝑛 ⟹ 𝑆𝑛 = 𝑛 𝑎 + 𝑈𝑛
2
1
𝑆𝑛 = 2 𝑛[𝑎 + 𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏 ]
1
𝑆𝑛 = 2 𝑛[2𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏]
Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah:
1
1
𝑆𝑛 = 2 𝑛[2𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏] atau 𝑆𝑛 = 2 𝑛 𝑎 + 𝑈𝑛
Contoh :
1. Tentukan jumlah suku 200 suku pertama dari deret 2+5+8+11+. . . ,
Jawab:
2 + 5 + 8 + 11+. . .,
𝑎=2
𝑏 = 𝑈2 − 𝑈1 = 5 − 2 = 3
𝑛 = 200
U1 U2
1
𝑆𝑛 = 2 𝑛[2𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏]
BUKU AJAR MATEMATIKA/Edisi Barisan dan Deret
8
1
𝑆200 = 2 200[2.2 + 200 − 1 3]
= 100 4 + 199.3
= 100 4 + 597 = 100 601 = 60100
2. Tentukan jumlah bilangan pertama dari deret
4 + 8 + 12 +
16+ . . . +196
Jawab:
4 + 8 + 12 + 16+ . . . +196
𝑎=4
𝑏 = 𝑈2 − 𝑈1 = 8 − 4 = 4
𝑈𝑛 = 196
𝑈𝑛 = 𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏
1
𝑆𝑛 = 2 𝑛 𝑎 + 𝑈𝑛
196 = 4 + 𝑛 − 1 4
1
= 2 49 4 + 196
196 = 4 + 4𝑛 − 4
1
= 2 49 200
4𝑛 = 196
𝑛 = 49
= 49.100 = 4900
Soal Latihan
A. Berilah tanda silang (x) huruf a,b,c,d atau e pada jawaban yang
paling benar!
1. Suku ke 11 dari barisan 7,8,9,11,.... adalah..
a. 19
b. 20
c. 23
d. 27
e. 22
2. Diketahui suku ke-2 deret aritmatika sama dengan 5 suku ke-4 = 8.
Suku ke satu adalah..
a. -2
b. 3
c. 2
d. 1
e. 4
3. Diketahui deret aritmatika suku. Suku ke-4=17, dan suku ke-9=37.
Suku ke-21 adalah..
a. 65
c. 89
b. 69
d. 99
e. 84
BUKU AJAR MATEMATIKA/Edisi Barisan dan Deret
9
4. Dari suatu barisan aritmatika, suku ketiga adalah 7, jumlah suku ke dua
dan ketujuh adalah 20. Suku pertama deret tersebut adalah...
a. -2
b. 2
c. 1
d. -1
e. 3
5. Biaya penggalian parit sebagai berikut. Satu meter pertama biayanya
Rp 30.000,00; 1 m kedua biayanya bertambah Rp 5.000,00; 1 m ketiga
biayanya bertamabah Rp 5.000,00; demikian seterusnya. Jika biaya
penggalian seluruhnya habis Rp 525.000,00; maka dalamnya sumur
tersebut adalah... meter.
a. 100
c. 11
b. 98
d. 20
e. 20
6. Jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatia 80+77+74+... adalah...
a. 764
c. 692
e. 759
b. 763
d. 665
7. Suku ke-n barisn aritmatika dinyatakan dengan Un. Jika U1+U3 = 10
dan jumlah 3 suku pertama deret itu 15, nilai U1.U3 =....
a. 21
c. 16
b. 18
d. 12
e. 15
8. Diketahui suku pertama dari barisan aritmatika adalah -5 dan suku ke3 merupakan lawan dari suku pertama, maka besaran suku ke-7
adalah...
a.
5
c. 15
b. 20
d. 25
e. 10
9. Diketahui suku pertama dari barisan aritmatika adalah -5 dan suku ke3 merupakan lawan dari suku pertama, maka besaran suku ke-7
adalah...
a. 5
c. 20
e. 15
b. 10
d. 25
10. Suku ke-n suatu deret aritmatika adalah Un=2n-7. Jumlah 5 suku
pertama deret tersebut adalah...
a. -5
c. 1
e. -1
b. -2
d. 3
BUKU AJAR MATEMATIKA/Edisi Barisan dan Deret
10
B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan singkat dan
jelas!
1. Diketahui tiga bilangan membentuk barisan aritmatika. Jika jumlah
ketiga bilangan tersebut adalah 15 dan hasil kali ketiga bilangan
tersebut adalah 80, maka nilai ketiga bilangan tersebut!
2. Tentukan K jika -3+4+11+...+k=225!
3. Diketahui Matriks A=(
𝑈1 𝑈3
) Un adalah suku ke-n barisan
𝑈2 𝑈4
aritmatika. Jika U6=18 dan U10=30, maka tentukanlah determinan
matriks A!
4. Dari suatu deret aritmatika, diketahui U5=5 dan U10=15. Tentukan
S20!
5. Dari suatu deret aritmatika diketahui jumlah 4 suku pertamanya
sama dengan 20 dan jumlah 7 suku pertamanya sama dengan 35.
Tentukan suku pertama dari deret tersebut!
B. Barisan dan Deret Geometri
B.1. Barisan Geometri
Suatu barisan disebut barisan geometri jika perbandingan dua suku
berurutan selelu tetap (konstan).
Misal ada barisan sebagai berikut:
𝑈1 , 𝑈2 , 𝑈3 , … , 𝑈𝑛−1 , 𝑈𝑛
Jika
𝑈𝑛
𝑈𝑛−1
𝑈2
𝑈1
=
𝑈3
𝑈2
=⋯=
𝑈𝑛
𝑈𝑛−1
maka barisan tersebut adalah barisan geometri. Jika
disebut rasio (r) maka barisan geometri adalah barisan yang mempunyai
rasio tetap.
BUKU AJAR MATEMATIKA/Edisi Barisan dan Deret
11
B.1.1. Syarat Barisan Geometri
2
𝑈2
= 𝑈1 . 𝑈3 atau 𝑈𝑛
2
= 𝑈𝑛−1 . 𝑈𝑛+1
Contoh :
1
2𝑘 − 5 , 𝑘 − 4 , 5 𝑘 − 4 , … menjadi barisan
Supaya barisan
geometri maka tentukan nilai k!
Jawab :
𝑈2
𝑈1
𝑘−4
2𝑘−5
=
=
𝑈3
𝑈2
1
5
𝑘−4
𝑘−4
1
𝑘 − 4 𝑘 − 4 = 5 𝑘 − 4 2𝑘 − 5
1
𝑘 2 − 8𝑘 + 16 = 5 2𝑘 2 − 13 + 20
5 𝑘 2 − 8𝑘 + 16 = 2𝑘 2 − 13 + 20
5𝑘 2 − 40𝑘 + 80 = 2𝑘 2 − 13 + 20
5𝑘 2 − 2𝑘 2 − 40𝑘 + 13𝑘 + 80 − 20 = 0
3𝑘 2 − 27𝑘 + 60 = 0
𝑘 2 − 9𝑘 + 20 = 0
Dibagi 3 semua
Setelah itu di faktorkan
𝑘−5 𝑘−1
Jadi, nilai k nya adalah 𝑘 = 5 atau 𝑘 = 1
B.1.2. Rumus Suku ke-n Barisan Geometri
Jika 𝑈1 = 𝑎 dan
𝑈2
𝑈1
=
𝑈𝑛
𝑈𝑛−1
= 𝑟, maka
𝑈𝑛 = 𝑎 . 𝑟 𝑛−1
Contoh :
Tentukan suku ke-10 dari barisan geometri berikut: 3, 6, 12, 24,...!
Jawab :
𝑟=
𝑈2
𝑈1
6
= =2
3
𝑈10 = 𝑎 . 𝑟 9
BUKU AJAR MATEMATIKA/Edisi Barisan dan Deret
12
𝑈10 = 3 . 2
9
= 3 . 512 = 1536
Jadi, U10 dari barisan geometri diatas adalah 1536
B.1.3. Suku Tengah (Ut) Barisan Geometri
Misal 𝑈𝑡 adalah suku tengah dari barisan sebagai berikut:
𝑈1 , 𝑈2 , 𝑈3 , … , 𝑈𝑡 , 𝑈𝑛−2 , 𝑈𝑛−1 , 𝑈𝑛
Maka:
𝑡=
𝑈𝑡 = 𝑎. 𝑟 𝑡−1
𝑈𝑡 = 𝑎. 𝑟 (
= 𝑎. 𝑟
𝑛+1
2
𝑛+1
)−1
2
𝑛−1
2
= √𝑎. 𝑟 𝑛−1 =
𝑎. 𝑈𝑛
Jadi rumus yang dapat digunakan untuk mencari suku tengah adalah:
𝑈𝑡 =
𝑎. 𝑈𝑛
Contoh :
Diketahui barisan geometri sebagai berikut:
1 1
, , 1, … ,64. Tentukan
4 2
suku tengahnya!
Jawab:
𝑈𝑡 =
𝑎. 𝑈𝑛
1
𝑈𝑡 = √4 × 64
1
𝑈𝑡 = 2 × 8 = 4
B.1.4. Sisipan Barisan Geometri
Misalkan antara 2 suku berurutan barisan geometri, disisipkan k buah
bilangan sehingga terjadi arisan geometri yang baru sebagai berikut:
BUKU AJAR MATEMATIKA/Edisi Barisan dan Deret
13
a,.....................................,ar maka 𝑎, 𝑎𝑟 ′ , 𝑎 𝑟′ 2 , 𝑎 𝑟′ 3 , … , 𝑎 𝑟′ 4 𝑘, 𝑎𝑟
Disisipkan sebanyak k bilangan
Karena barisan diatas adalah barisan geometri maka:
𝑎𝑟
𝑎 𝑟′ 𝑘
𝑟′
𝑘+1
= 𝑟′
=𝑟
′
𝑟 = 𝑟
1
𝑘+1
Jadi rumus yang dapat digunakan untuk mencari rasio baru setelah
barisan geometri disisipkan beberapa bilangan adalah:
𝑟′ = 𝑟
1
𝑘+1
B.2. Deret Geometri
Seperti halnya pada deret aritmatika, jika kita memiliki suatu barisan
geometri maka dapat dibentuk suatu deret yang merupakan penjumlahan
berurut dari suku-suku barisan tersebut, yang disebut deret geometri. Deret
geometri terbagi menjadi beberapa jenis, yaitu:
B.2.1. Deret Geometri Berhingga
Secara umum dapat dinyatakan bahwa:
Jika 𝑈1 , 𝑈2 , 𝑈3 , … 𝑈𝑛 merupakan suku-suku dari suatu barisan geometri
maka 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + ⋯ + 𝑈𝑛 disebut deret geometri, dengan 𝑈𝑛 = 𝑎𝑟 𝑛−1 .
Jika 𝑆𝑛 merupakan jumlah n suku pertama dari deret geometri, maka
rumus untuk 𝑆𝑛 dapat ditentukan dengan langkah sebagai berikut.
𝑆𝑛 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + 𝑈4 + ⋯ + 𝑈𝑛
BUKU AJAR MATEMATIKA/Edisi Barisan dan Deret
14
Maka:
𝑆𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟 2 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑛−2 + 𝑎𝑟 𝑛−1
Kalikan 𝑆𝑛 dengan r
𝑟𝑆𝑛 = 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟 2 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑛−1 + 𝑎𝑟 𝑛
Kurangkan 𝑟𝑆𝑛 terhadap 𝑆𝑛
𝑆𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟 2 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑛−2 + 𝑎𝑟 𝑛−1
𝑟𝑆𝑛 = 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟 2 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑛−1 + 𝑎𝑟 𝑛
−
𝑆𝑛 − 𝑟𝑆𝑛 = 𝑎 − 𝑎𝑟 𝑛
𝑆𝑛 1 − 𝑟 = 𝑎 1 − 𝑟 𝑛
𝑆𝑛 =
𝑎 1−𝑟 𝑛
1−𝑟
Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret geometri adalah:
𝑆𝑛 =
𝑎 1−𝑟 𝑛
untuk 𝑟 < 1 atau 𝑆𝑛 =
1−𝑟
suku pertama, dan r adalah rasio.
𝑎 𝑟 𝑛 −1
𝑟−1
; untuk 𝑟 > 1, a adalah
Contoh :
1
1
Hitunglah jumlah 7 suku pertama deret geometr −2 + 1 − 2 + 4 − ⋯
Jawab:
Oleh karena
𝑎 = −2
1
𝑟 = − < 1,
2
Maka menggunakan rumus:
𝑎 1 − 𝑟𝑛
𝑆𝑛 =
1−𝑟
1
𝑟 = −2
𝑛=7
𝑆7 =
1 7
2
1
1−(−2)
−2[1−(− ) ]
−2(1+
=
3
2
1
)
128
=
−4(
129
)
128
3
129 1
43
𝑆7 = −4 (
). = −
128 3
32
BUKU AJAR MATEMATIKA/Edisi Barisan dan Deret
15
B.2.2. Deret Geometri Tak Hingga
𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + ⋯ = 𝑆
a
Ada (konvergen) untuk −1 < 𝑟 < 1 yaitu S~ = 1−r
S=
~ (divergen) untuk 𝑟 ≤ −1 atau 𝑟 ≥ 1
Contoh :
Seorang berjalan dengan kecepatan 12km/jam selama 1 jam pertama.
Pada 1 jam kedua kecepatan berkurang menjadi sepertiganya, demikian juga
pada 1 jam berikutnya kecepatannya menjadi sepertiga dari sebelumnya. Jarak
terjauh yang dapat ditempuh orang itu selama perjalanan adalah...(SBMPTN
2009)
Jawab:
a
S~ = 1−r =
12
1−
1
3
=
12
2
3
= 18
Soal Latihan
A. Berilah tanda silang (x) huruf a,b,c,d atau e pada jawaban yang
paling benar!
1. Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmatika dengan beda
empat. Jika suku kedua dikurangi 2 maka terbentuklah barisan
geometri dengan jumlah 13. Rasio barisan tersebut adalah ...
a. 9
c. 3
b. 2
d. 1
e. −1
BUKU AJAR MATEMATIKA/Edisi Barisan dan Deret
16
2. Jika Jumlah semua suku deret geometri tak berhingga adalah 6, sedangkan jumlah suku-sukunya yang bernomor genap adalah 2, maka
suku pertama deret itu adalah ...
a. 2
b. 3
c. 4
d. 5
e. 6
3. Rasio barisan geometri sebesar 3 dan suku ke-8 adalah 10.935, maka
suku ke-5 adalah ...
a. 400
b. 435
c. 420
𝑈4
4. Dari deret geometri diketahui
𝑈6
d. 415
e. 405
1
= p dan 𝑈2 × 𝑈8 = 𝑝 maka 𝑈1
adalah ...
a. P
1
c. 𝑝
b. 𝑝
5. Jika ℎ + 1, ℎ − 1, ℎ − 5
1
d.
e. 𝑝 𝑝
√𝑝
membentuk deret geometri, maka nilai h
adalah ...
a. 2
b. 3
c. 4
e. −5
d.−3
6. Suku pertama dan suku kedua suatu deret geometri berturut-turut adalah
𝑎−4 𝑑𝑎𝑛 𝑎 𝑥 . Jika suku kedelapan ialah 𝑎52 , maka 𝑥 sama dengan …
a. −32
7. Dalam
b. −16
sebuah
deret
c. 4
geometri
d. 8
diketahui
e. 5
𝑈9 = 128 𝑑𝑎𝑛 𝑈4 =
4. Nilai 𝑆10 = ⋯
a. 551
1
b. 511
1
c. 5112
d. 5122
e. 512
8. Diketahui 3 + 32 + 33 + ⋯ + 3𝑛 = 120. Banyaknya suku pada deret
tersebut adalah ...
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
e. 5
9. Jumlah 5 suku pertama sebuah deret geometri adalah −33. Jika nilai
perbandingannya adalah −2, maka jumlah suku ke-3 dan ke-4 deret ini
adalah ...
a. 18
b. 12
c. 15
1
d. 14
1
1
e. 45
1
10. Jumlah tak hingga dari 1 − 2 + 4 − 8 + 16 − ⋯ adalah ...
a.
1
3
2
b. 3
5
c. 6
4
d.3
5
e. 8
BUKU AJAR MATEMATIKA/Edisi Barisan dan Deret
17
B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan singkat dan
jelas!
1. Jumlah n suku pertama dari deret:
log 3 + log 9 + log 27 + log 81 + ⋯ adalah ...
2. Di ketahui deret: sin 𝑥 + sin 𝑥 cos 𝑥 + sin 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + ⋯
Suku ke − n dari deret tersebut adalah …
3. Suatu deret aritmatika tediri dari atas tiga suku. Bila suku yang di
tengah dikurangi 5, maka berubah menjadi deret geometri dengan
rasio=2. Suku ketiga deret tersebut adalah ...
4. Dari barisan geometri naik diketahui bahwa jumlah suku ke-3 dan
suku ke-5 sama dengan 40, dan jumalh logaritma dari 5 sukunya
yang pertama sama dengan 15 log 2. Rasio barisan itu adalah ...
5. Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jika hasil kali ketiga
bilangan = 8000 dan jumlah bilangan terkecil dan terbesar = 104,
maka rasio barisan di atas adalah ....
C. Aplikasi Deret Dan Barisan Dalam Kehidupan Sehari-Hari
Apakah kalian sering mendengar istilah untung, rugi, modal, jasa,
bunga, deposito, menabung, bunga tunggal, bunga majemuk,diskon, anuitas
dan lain-lain? Kata-kata tersebut sering kita dengarkan dalam istilah
perdagangan dan keuangan. Kata-kata tersebut merupakan contoh aplikasi
deret dan barisan matematika dalam kehidupan sehari-hari.
C.1. Bunga Tunggal
Bunga suatu modal dikatakan bunga tunggal apabila sepanjang waktu
transaksi keuangan, hanya modal semula yang berbunga.
BUKU AJAR MATEMATIKA/Edisi Barisan dan Deret
18
Dari definisi di atas,maka dapat diturunkan teorema sebagai berikut:
Teorema
Besar bunga tunggal dari sebuah modal 𝑀𝑜 , yang diinvestasikan selama
𝑛 satuan waktu(misal tahun atau bulan) dengan suku bunga = 𝑟 persatuan
waktu sam dengan 𝑏𝑛 = 𝑀𝑜 𝑟 𝑛, sedangkan besarnya modal pada akhir n
satuan waktu adalah 𝑀𝑛 = 𝑀𝑜 + 𝑏𝑛 = 𝑀𝑜 + 𝑀𝑜 𝑟 𝑛 = 𝑀𝑜 1 + 𝑟 𝑛
Contoh :
Pada awal tahhun, modal sebesar Rp 1.000.000,00 diinvestasikan dalam
sebuah perusahaan dengan presentase bunga tunggal 10% tiap tahun dalam
waktu 5 tahun. Tentukanlah besarnya bunga pada akhir tahun ke-5 dan besar
modal setelah uang diambil kembali.
Jawab:
Dik: 𝑀𝑜 = 𝑅𝑝1.000.000,00 ; 𝑟 = 10% ; 𝑛 = 5
𝑏𝑛 = 𝑀𝑜 𝑟 𝑛 = 1.000.000,00 × 10% × 5 = 5.00.000
Jadi , besarnya bunga pada akhir tahun ke-5 adalah 𝑅𝑝 500.000,00
𝑀5 = 𝑀𝑜 1 + 𝑟 𝑛
= 1.000.000,00 1 + 10% × 5
= 1.000.000,00 1,5
= 1.500.000
Jadi, modalnya menjadi 𝑅𝑝1.500.000,00
C.1.1. Macam-Macam Bunga Tunggal

Bunga Tunggal Eksak
Bunga tunggal eksak memperhitungkan 1 tahun 365 hari atau 366
hari untuk tahun kabisat.
o Bunga tunggal eksak dengan waktu yang sebenarnya.
1 tahun = 365 hari atau 366 hari, 1 bulan – jumlah hari dalam kalender
o Bunga tunggal eksak dengan waktu pendekatan
BUKU AJAR MATEMATIKA/Edisi Barisan dan Deret
19
1 tahun = 365 hari atau 366 hari, 1 bulan = 30 hari

Bunga Tunggal Biasa
Binga tunggal biasa memperhitungkan 1 tahun = 360 hari
o Bunga tunggal biasa dengan waktu sebenarnya
1 tahun= 360 hari 1 bulan = jumlah hari dalam kalender
o Bunga tunggal biasa dengan waktu pendekatan
1 tahun= 360 hari dan 1 bulan = 30 hari
Contoh :
Modal sebesar Rp5.000.000,00 diinvestasikan dari april 2009 sampai
dengan juli 2009, presentase bunga 6% per tahun. Tentukan :
1. Besar bunga tunggal eksak dengan waktu sebenarnya
2. Besar bunga tunggal eksak dengan waktu pendekatan
3. Besar bunga tunggal biasa dengan waktu sebenarnya
4. Besar bunga tunggal biasa dengan waktu pendekatan
Jawab:
a.
Dik: 𝑀𝑂 = 5.000.00,00 ; 𝑟 = 6% per tahun
Tahun 2005 bukan tahun kabisat, maka 1 tahun = 365 hari
Banyaknya hari dari 20 april sampai 1 juli = 30 − 20 + 31 + 30 +
1 = 72 ℎ𝑎𝑟𝑖
72
𝑛 = 72 ℎ𝑎𝑟𝑖 = 365 𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛
𝑏𝑛 = 𝑀𝑜 𝑟 𝑛 = 5.000.000 × 6% ×
72
= 59.178,08
365
Jadi, bunga tunggal eksak dengan waktu sebenarnya adalah 𝑅𝑝59.178,08
b.
Dik: Mo = 5.000.000 ; r = 6% per tahun; 1 tahun =
365 hari; 1 bulan = 30 hari
1-7-2009 ditulis
2009-6-31
20-4-2009 ditulis
2009-4-20
0-2-11
Jadi,
waktu
pendekatannya
ditulis
0 tahun + 2 bulan + 11 hari
= 0 + 2 × 30 + 11 = 71hari.
BUKU AJAR MATEMATIKA/Edisi Barisan dan Deret
20
71
𝑏𝑛 = 𝑀𝑜 𝑟 𝑛 = 5.000.000 × 6% × 365 = 58.365,16
Jadi, bunga tunggal eksak dengan waktu pendekatan = 𝑅𝑝58.365,16
c.
Dik: 𝑀𝑜 = 5.000.000; 𝑟 = 6% per tahun; 1 tahun = 360 hari
s
∑ hari dari 20 april 1 juli = 30 − 20 + 31 + 30 + 1 = 72 hari
d
72
𝑏𝑛 = 𝑀𝑜 𝑟 𝑛 = 5.000.000 × 6% ×
= 60.000
360
Jadi, bunga tunggal biasa dengan waktu sebenarnya = 𝑅𝑝60.000,00
d.
Dik: 𝑀𝑜 = 5.000.000; 𝑟 = 6% per tahun; 1 𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛 = 360 hari;
1 bulan = 30 hari
1-7-2009 ditulis
2009-6-31
20-4-2009 ditulis
2009-4-20
0-2-11
∴ waktu pendekatan 0 tahun + 2 bulan + 11 hari = 0 + 2 × 30 + 11 =
71 hari
𝑛 = 71 hari
71
tahun
360
𝑏𝑛 = 𝑀𝑜 𝑟 𝑛 = 5.000.000 × 6% ×
71
= 59.166,67
360
Jadi, bunga tunggal eksak dengan waktu pendekatan = 𝑅𝑝59.166,67
C.2. Bunga Majemuk
Jika sebuah modal dibungakan dan tiap periode waktu tertentu
digabungkan (ditambahkan) dengan modalnya, maka akan ada modal baru
pada periode berikutnya. Selanjutnya, modal baru ini juga dibungakan pada
periode berikutnya, dan demikian seterusnya. Bunga dengan sistem seperti ini
disebut bunga majemuk. Penggabungan bunga dan modal dalam periode
tertentu dapat dalam jangka tahunan, semesteran, caturwulan, triwulan, atau
dalam satuan waktu lainnya. Jika dalam 1 tahun terjadi 𝑛 kali penggabungan
BUKU AJAR MATEMATIKA/Edisi Barisan dan Deret
21
bunga dengan modalnya maka dikatakan frekuensi penggabungan bunga dan
modalnya sama dengan 𝑛. Jarak waktu antara penggabungan bunga yang
berurutan disebut periode bunga atau periode pengembalian. Untuk lebih
jelasnya perhatikan contoh berikut :
Contoh :
Sebuah modal sebesar Rp1.000.000,00 dibungakan selama setengah
tahun, dengan bunga majemuk 5% tiap tahun dan penggabungan modal dan
bunganya tiap tiga bulan. Tentukan :
a. Periode bunganya.
b. Frekuensi penggabungannya.
c. Suku bunga untuk periode bunganya.
d. Banyak periode bunga selama peminjaman.
e. Besar modal akhir selama setengah tahun.
Jawab:
a. Penggabungan bunga dan modal tiap tiga bulan, jadi periode bunganya 3
bulan.
b. Tiap 3 bulan terjadi penggabungan, maka dalam 1 tahun terjadi
12
3
penggabungan. Jadi, frekuensi penggabungannya = 4.
c. Suku bunga untuk periode bunga 𝑟 =
0,05
4
= 0,0125 atau 1,25%
1
d. Banyak periode bunga selama peminjaman = 2
e. Pada akhir periode bunga kesatu:
𝑏1 = 𝑀𝑜 𝑟 = 100.000 × 1,25% = 1250
Modal baru pada akhir periode bunga kesatu:
𝑀1 = 𝑀𝑜 + 𝑏1 = 100.000 + 1.250 = 101.250
Pada akhir periode bunga kedua:
𝑏2 = 101.250 × 1,25% = 1.265,63
𝑀2 = 101.250 + 1.265,63 = 102.515,63
Jadi, setelah setengah tahun adalah Rp102.515,63
Dari contoh diatasdapat diperoleh rumus sebagai berikut:
BUKU AJAR MATEMATIKA/Edisi Barisan dan Deret
22
Jika modal sebesar 𝑀𝑂 dibungakan dengan bunga majemuk r untuk
setiap periode bunga, maka modal akhir setelah n periode bunga sama dengan:
𝑀𝑛 = 𝑀𝑜 1 + 𝑟
𝑛
Contoh :
Modal sebesar Rp1.000.000,00 dibungakan dengan bunga majemuk
10% tiap tahunnya. Tentukan jangka waktunya agar nilai akhir menjadi 2 kali
nilai tunai.
Jawab:
Dik: 𝑀𝑜 = 1.000.000; 𝑟 = 10% tiap tahun;
𝑀𝑛 = 2 × 1.000.000 = 2.000.000;
Dit: 𝑟 =?
𝑀𝑛 = 𝑀𝑜 1 + 𝑟
𝑛
𝑀𝑛 = 𝑀𝑜 1 + 𝑟
−𝑛
𝑀𝑜 = 𝑀𝑜 1 + 𝑟
−𝑛
log 𝑀𝑜 = log 𝑀𝑜 1 + 𝑟
−𝑛
log 106 = log 2 × 106 − 𝑛 log 1 + 0,1
6 = log 2 × 106 − 𝑛 log 1,1
6 = log 2 + 106 − 𝑛 log 1,1
6 = 0,301 + 6 − 𝑛 0,0414
6 = 6,301 − 𝑛 0,0414
0,301
𝑛 = 0,0414 = 7,72 = 7
Jadi, harus dibungakan selama 7 tahun.
C.3. Anuitas
1. Pengertian Anuitas
Perhatikan contoh di bawah ini:
a.
Pembayaran gaji karyawan perusahaan pada akhir bulan
selama 1 tahun sesuai kontrak.
BUKU AJAR MATEMATIKA/Edisi Barisan dan Deret
23
b.
Pembayaran uang kos pada awal bulan selama kuliah.
Pada contoh diatas terlihat terjadi pembayaran berurutan yang tetap
dalam jangka waktu tertentu. Suatu pembayaran seperti inilah yang diberi
nama anuitas. Jangka waktu antara pembayaran-pembayaran tetap misal 1
minggu, 1 bulan,1 tahun, disebut interval(periode) pembayaran. Waktu
dari mulai iterval pertama sampai interval pembayaran terakhir disebut
jangka pembayaran / pelunasan.
Ada 2 Macam Anuitas yaitu:
a. Anuitas Pasti
Yaitu anuitas yang tanggal pembayarannya mulai dan
terakhirnya pasti. Contoh: pelunasan hutang.
b. Anuitas Tidak Pasti
Yaitu anuitas yang jangka pembayarannya tidak pasti. Contoh:
pembayaran santunan asuransi kecelakaan.
2. Pembuatan Tabel Rencana Angsuran Secara Anuitas
Perhatikan ilustrasi berikut:
Pak ali membeli rumah dari sebuah developer. Untuk itu ia
meminjam uang ke sebuah bank sebesar 𝑀𝑜 rupiah, dengan presentase
bunga sebesar r tiap bulan dalam jangka waktu n bulan. Uatang tersebut
akan dilunasi secara anuitas sebesar 𝐴 rupiah. Rencana angsurannya
digambarkan sebagai berikut.
Pada akhir bulan pertama
Pak ali membayar kepada bank sebesar A rupiah, uang ini
digunakan untuk membayar bunga dan angsuran bulan pertama 𝑏1)
sebesar 𝑀𝑜 𝑟 dan untuk angsuran pertama sebesar 𝑎1 sebesar 𝑎1 = 𝐴 −
𝑏1 = 𝑀𝑜 𝑟
Sehingga sisa utang akhir bulan pertama 𝑀1 = 𝑀𝑜 − 𝑎1 . sisa utang
ini akan menjadi utang awal bulan kedua.
BUKU AJAR MATEMATIKA/Edisi Barisan dan Deret
24
Pada akhir bulan kedua
Pak ali membayar kepada bank sebesar A rupiah, uang ini
digunakan untuk membayar bunga dan angsuran bulan kedua 𝑏2 sebesar
𝑀1 𝑟 dan untuk angsuran pertama 𝑎2 sebesar 𝑎2 = 𝐴 − 𝑏2 = 𝐴 − 𝑀1 𝑟
Sehingga sisa utang akhir pertama 𝑀2 = 𝑀1 − 𝑎2 . Sisa utang ini
akan menjadi utang awal bulan kedua........................dan seterusnya.
Pada akhir bulan terakhir.
Pak ali membayar kepada bank sebesar A rupiah, uang ini akan
digunakan untuk membayar bunga dan angsuran bulan terakhir 𝑏1
sebesar 𝑀𝑛−1 𝑟 dan untuk angsuran terakhir 𝑎𝑛 sebesar 𝑎𝑛 = 𝐴 − 𝑏𝑛 =
𝐴 − 𝑀𝑛−1 𝑟.
Sehingga sisa utang akhir bulan pertama 𝑀𝑛 = 𝑀𝑛−1 = 𝑎𝑛 = 0.
Tabel rencananya seperti dibawah ini:
BUKU AJAR MATEMATIKA/Edisi Barisan dan Deret
25
Dari ilustrasi tersebut, maka dapat diambil kesimpulan sebagai
berikut:
Pembayaran tiap akhir interval tetap sebesar A rupiah, dengan
perincian untuk membayar bunga tiap periode pembayaran yang nilainya
makin berkurang(mengapa?) sesuai naiknya nilai angsuran (𝐴 = 𝑎1 +
𝑏1 = 𝑎2 + 𝑏2 = ⋯ = 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 dan untuk membayar angsuran.
1. 𝑏𝑚 = 𝑀𝑚−1 𝑟
2. 𝑎𝑚 = 𝐴 − 𝑏𝑚
3. 𝑀0 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛
4. 𝑀𝑚 = 𝑀𝑚−1 + 𝑎𝑚
5. 𝑀𝑛 = 0
Keterangan:
𝐴 : besar anuitas
𝑎𝑚 : besar angsuran pada periode pembayaran ke-m
𝑏𝑚 : besar bunga selam periode ke-m
𝑟 : besar presentase bunga per periode
𝑀𝑜 : besar uang yang dipinjam
𝑀𝑛 : besar sisa pinjaman pada akhir periode pembayaran
𝑛 : jangka waktu pembayaran
Contoh :
Pak badu meminjam uang di bank sebesar Rp1.000.000,00 diangsur
selama anuitas dengan angsuran sebesar Rp230.974,80 selama 5 tahun,
dengan suku bunga 5% per tahun. Buatlah tabel rencana angsurannya.
Jawab:
Akhir tahun pertama
Dibayar
𝐴 = 𝑅𝑝230.974,80
Pembayaran bunga 5% × 1.000.000
𝑏1 = 𝑅𝑝50.000,00
Jadi angsuran pertama
𝑎1 = 𝑅𝑝180.974,80
BUKU AJAR MATEMATIKA/Edisi Barisan dan Deret
26
Sisa utang akhir tahun pertama = 𝑅𝑝1.000.000,00 − 𝑅𝑝180.974,80
𝑀1 = 𝑅𝑝819.025,20
Akhir tahun kedua
𝐴 = 𝑅𝑝230.974,80
Dibayar
Pembayaran bunga 5% × 𝑅𝑝819.025,20 𝑏1 = 𝑅𝑝40.951,26
Jadi angsuran kedua
𝑎1 = 𝑅𝑝190.023,54
Sisa utang akhir tahun kedua = 𝑅𝑝819.025,20 − 𝑅𝑝190.023,54
𝑀1 = 𝑅𝑝629.001,66
Akhir tahun ketiga
Dibayar
𝐴 = 𝑅𝑝230.974,80
Pembayaran bunga 5% × 629.001,66
𝑏1 = 𝑅𝑝31.450,00
Jadi angsuran tahun ketiga
𝑎1 = 𝑅𝑝199.524,72
Sisa utang akhir tahun ketiga = Rp429.476,94– Rp199.524,72
𝑀1 = 𝑅𝑝429.476,94
Akhir tahun keempat
Dibayar
𝐴 = 𝑅𝑝230.974,80
Pembayaran bunga 5% × 429.476,94
𝑏1 = 𝑅𝑝21.473,85
Jadi angsuran tahun keempat
𝑎1 = 𝑅𝑝209.500,95
Sisa utang akhir tahun keempat = 𝑅𝑝219.975,99 − 𝑅𝑝219.975,99
𝑀1 = 𝑅𝑝219.975,99
Akhir tahun kelima
Dibayar
𝐴 = 𝑅𝑝230.974,80
Pembayaran bunga 5% × 219.975,99
𝑏1 = 𝑅𝑝10.998,81
Jadi angsuran tahun kelima
𝑎1 = 𝑅𝑝219.975,99
Sisa utang akhir tahun kelima = 𝑅𝑝219.975,99 − 𝑅𝑝219.975,99
𝑀1 = 𝑅𝑝0
BUKU AJAR MATEMATIKA/Edisi Barisan dan Deret
27
Tabel rencana angsurannya sebagai berikut:
Anuitas = Rp 𝐴
Bulan
Utang Awal
Bunga 𝑏
ke-
Bulan
dengan Suku
Sisa Utang
Akhir Bulan
Angsuran 𝑎
𝑀
Bunga = 𝑟
1.
𝑅𝑝1.000.000,00 𝑅𝑝50.000,00
𝑅𝑝180.974,80 𝑅𝑝819.025,20
2.
𝑅𝑝819.025,20
𝑅𝑝40.951,26
𝑅𝑝190.023,54 𝑅𝑝629.001,66
3.
𝑅𝑝629.001,66
𝑅𝑝31.450,08
𝑅𝑝199.023,54 𝑅𝑝429.476,94
4.
𝑅𝑝429.476,94
𝑅𝑝21.473,85
𝑅𝑝209.500,95 𝑅𝑝219.975,99
5.
𝑅𝑝219.975,00
𝑅𝑝10.998,81
𝑅𝑝219.975,99
𝑅𝑝0
Soal Latihan
Jawablah pertanyaan berikut ini dengan benar!
1. Seorang tukang kayu meminjam uang kepada pengusaha meubel
sebesar Rp1.000.000. selama 1 tahun suku bunganya sebesar 15%.
Tentukan:
a. Besar modal
b. Besar bunga
c. Jumlah yang harus dikembalikan
d. Jenis bunganya
2. Badrun meminjam uang Rp2.000.000,00 kepada dini selama jangka
waktu 1 bulan. Badrun diminta untuk mengembalikan hutangnya
menjadi satu seperempat kali lebih besar. Berapa & suku bunga
pinjaman tersebut?
3. Diki meminjam uang Rp1.000.000,00 selama 75 hari dengan suku
bunga 5% pada tahun 2008 dan tahun 2009. Hitunglah dengn bunga
tunggal eksak dan bunga tunggal biasa.
BUKU AJAR MATEMATIKA/Edisi Barisan dan Deret
28
4. Berapa bunga majemuk yang diperoleh jika modal Rp1.000.000,00
disimpan di bank dengan suku bunga 6% selama 3 tahun dan 5 tahun
masing-masing?
5. Modal M disimpan dengan suku bunga 4% perbulan yang bunganya
sama dengan bila disimpan dengan bunga majemuk dengan suku bunga
x% per bulan selama 3 bulan.
Tentukan x!
6. Modal sebesar Rp1.00.000,00 sisimpan selama 1 tahun dengan suku
bunga 2% per bulan. Tentukan besarnya bunga majemuk.
BUKU AJAR MATEMATIKA/Edisi Barisan dan Deret
29
BIODATA PENULIS
Ery Eryani
Perempuan kelahiran Cirebon, 5 Juli 1995 merupakan anak
tunggal dari pasangan bapak Yanto dan ibu Panca Erni. Dia
seorang muslim yang bertempat tinggal di Jl. Ki Gede Mayung
blok desa Desa Buyut Rt/Rw 01/02 no 23 Kec. Gunung Jati
Kab. Cirebon. Riwayat pendidikannya dimulai dari TK AlIkhlas kemudian mengenyam pendidikan dasar di SDN 2
Mayung. Kemudian melanjutkan sekolah menengah pertama di
SMPN 2 Gunung Jati yang dilanjutkan dengan sekolah
menengah atas di SMAN 1 Sumber. Dia mempunyai hobi
menonton film. Dan film yang paling dia suka adalah Film
animasi. Motto hidupnya adalah “hari ini harus lebih baik dari
kemarin”. Alamat emaillnya
[email protected]
.
username facebook: ery eryani dan twitter: @eryaniery.
BUKU AJAR MATEMATIKA/Edisi Barisan dan Deret
30