Ruang Baris Ruang Kolom

KS091206
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Ruang Baris
Ruang Kolom
Ruang Nol
TIM KALIN
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
Setelah menyelesaikan
mahasiswa diharapkan :
pertemuan
ini
– Dapat mencari ruang baris, ruang kolom,
ruang null dari suatu ruang vektor
RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL
Surabaya, 3 September 2012
2
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 2
Ruang Baris
Ruang Kolom
Ruang Nol
RUANG BARIS,RUANG VEKTOR,
RUANG NULL
3
A=
a11
a12
a13 ……. a1n
a21
a22
a23 ……. a2n
a31
a32
a33 ……. a3n
………………..…………..
am1
am2
am3 ……. amn
r1 = ( a11
a12
a13 ……. a1n ) ∈ Rn
disebut
r2 = (a21
a22
a23 ……. a2n ) ∈ Rn
vektor baris (A)
……………………………
rm = (am1
RUANG BARIS,RUANG VEKTOR,
RUANG NULL
am2
am3 ……. amn) ∈ Rn
4
c1 =
a11
c2 =
a12
…. cn =
a1n
a21
a22
a2n
a31
a32
a3n
…
…
…
am1
am2
amn
c1, c2, …, cn ∈ Rm
disebut vektor kolom (A)
RUANG BARIS,RUANG VEKTOR,
RUANG NULL
5
Ruang Baris / Row Space:
Ruang Kolom / Column Space:
Ruang Nol / Null Space:
RUANG BARIS,RUANG VEKTOR,
RUANG NULL
6
RUANG BARIS
Diketahui matriks A eselon 4 x 5 sebagai berikut :
1 −5
0 0

0 0

0 0
Vektor baris dari A :
r1 = (1, −5, 2, 7,3) 

r 2 = (0, 0,1, −3, 2) 

r 3 = (0, 0, 0,1, 6) 

r 4 = (0, 0, 0, 0, 0) 
2 7 3
1 −3 2 
0 1 6

0 0 0
Karena memuat vektor NOL
maka keempat vektor tersebut
bergantung linier
RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG
NULL
7
Subruang yang dibangun / direntang oleh 4 vektor
diatas disebut ruang baris dari matriks A ditulis
baris(A), dalam hal ini baris(A) = 4.
Dimensi dari ruang baris disebut rank baris dari
matriks A, dalam hal ini rank baris dari A adalah 3.
Surabaya, 3 September 2012
RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG
NULL
8
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 8
RUANG KOLOM
Diketahui matriks eselon,
E= 10 −05 12 −73 32

0

0
0
0 1
0
0 0

6

0
ketiga vektor kolom yang memuat elemen pivot merupakan
vektor yang bebas linier. Ketiga vektor tersebut adalah :
1 
2
7 
0 
1 
 −3
k1 =   , k3 =   , k4 =  
0 
0 
1 
 
 
 
0
0
 
 
0 
Surabaya, 3 September 2012
RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG
NULL
9
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 9
• Vektor kolom yang tidak memuat elemen pivot
merupakan
kombinasi
linier
dari.
Vektorvektormembentuk basis dari ruang kolom disebut
rank kolom, dalam hal ini adalah 3.
• Subruang di Rm yang dibangun oleh n vektor disebut
ruang kolom ditulis kolom (A) dalam hal ini = 5.
Surabaya, 3 September 2012
RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG
NULL
10
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 10
Jika A adalah matriks (m × n), maka
Rank (A) = dimensi basis ruang baris (A)
= dimensi basis ruang kolom (A)
Nullity (A) = dimensi basis ruang nol (A)
Rank (A) + Nullity (A) = n
RUANG BARIS,RUANG VEKTOR,
RUANG NULL
11
DEFINISI:
1. Jika A adalah sembarang matriks, maka ruang
baris dan ruang kolom A mempunyai dimensi
yang sama
2. Dimensi bersama dari ruang baris dan ruang
kolom dari suatu matriks A disebut rank(A),
dimensi ruang kosong atau kekosongan(A)
Surabaya, 3 September 2012
RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG
NULL
12
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 12
Daftar Teorema
RUANG BARIS,RUANG VEKTOR,
RUANG NULL
13
1. Ax = b konsisten ↔ b ∈ Ruang Kolom (A)
2. Salah satu solusi Ax = b adalah xo;
{v1, v2, v3 ,….., vk } basis dari Ruang Nol
(Ruang Solusi Ax = 0); maka
semua solusi Ax = b dapat dinyatakan sebagai
x = xo + c1v1+ c2v2 + c3v3…. + ckvk
3. O.B.E. tidak mengubah Ruang Nol (A)
4. O.B.E. tidak mengubah Ruang Baris (A)
RUANG BARIS,RUANG VEKTOR,
RUANG NULL
14
5. Matriks A ekivalen-baris dengan matriks B; maka
•
Himpunan vektor kolom di A bebas linier ↔ himpunan
vektor kolom di B yang bersesuaian bebas linier
•
Himpunan vektor kolom di A merupakan basis dari Ruang
Kolom (A) ↔ himpunan vektor kolom di B yang
bersesuaian merupakan basis dari Ruang Kolom (B)
6. Matriks R berbentuk eselon-baris; maka
•
vektor-vektor baris dari R dengan “1 utama” membentuk
basis dari Ruang Baris (R) dan
•
vektor-vektor kolom yang berisi “1 utama” membentuk
basis dari Ruang Kolom (R)
RUANG BARIS,RUANG VEKTOR,
RUANG NULL
15
Contoh(1):
• Anggap Ax=b adalah sistem linier. Tunjukkan bahwa b berada
dalam rauang kolom A
− 1 3 2   x1   1 
 1 2 − 3  x  =  − 9

 2   
 2 1 − 2  x3   − 3
sehingga _ x1 = 2, x2 = −1, x3 = 3
• Karena sistem tersebut konsisten, maka b berada dalam
ruang kolom A
RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG
NULL
16
Contoh(2):
X1 + 3X2 – 2X3
+ 2X5
= 0
2X1 + 6X2 – 5X3 – 2X4
– 3X6 = -1
5X3 + 10X4
+ 15X6 = 5
2X1 + 6X2
+ 6X4 + 4X5 + 18X6 = 6
Penyelesaian :
*) Augmented Matriksnya
1
2
0
2
3
6
0
6
-2
-5
5
0
0 2
-2 4
10 0
8 4
0
-3
15
18
0
-1
5
6
RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG
NULL
17
*) Matriks Eselon Tereduksi
1
0
0
0
3
0
0
0
0
1
0
0
4
2
0
0
2
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1/3
0
x1 = −3r − 4s − 2t ,
x4 = s,
x6 =1 / 3
*) Ditulis dalam bentuk vektor :
 x1   −3r − 4s − 2t   0 
 −3
 −4   −2 
x  



1
0 0
r
 2 
 0
 
   
 x3  
 0
−2s
0
 −2   0 
 =
 =   = r  + s +t  
s
 x4  
 0
0
1 0
x  
 0
0
0 1
t
 5 



 
   
1
1
/3
  / 3 
 x6  
0
0 0
Surabaya, 3 September 2012
RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG
NULL
18
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 18
Contoh(3):
• Cari suatu basis untuk matriks berikut:
1
2

0

2
−2
0
0
−5
5
−3
15
−2
10
6
18
8
3
6 
⇒
0

6
1
0

0

0
−2
0
0
1
0
3
1
2
1
0
0
0
3
0 
0

0
• Vektor baris tak nol nya adalah :
u = (1,-2,0,0,3), v = (0,1,3,2,0), w = (0,0,1,1,0)
vektor tsb membentuk suatu basis untuk ruang baris ,
sehingga membentuk basis untuk sub-ruang dari R5
RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG
NULL
19