R3 - Binus Repository

Matakuliah
Tahun
: K0034/Aljabar Linier Terapan
: Februari 2007
Vektor dalam R3
Pertemuan 10 - 12
1
 R 3 = { (x, y, z) | x, y, z,  R}
0 = (0,0,0)
 a = (x 1 , y1 , z1 )
}
b = (x 2 , y 2 , z 2 )
}
a + b = (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 )
a - b = (x1 - x2 , y1 - y2 , z1 - z2 )
 a = (x1 , y1 , z1 )  -a = - (x1 , y1 , z1 )
= (-x1 ,-y1 ,-z1 )
a - b = a + (-b)
1. Sudut-sudut arah :
z
,  , 
(x,y,z)
y1
x1  y1 + z1 = a
2
x1
2
2
2
y
vektor nol : 0 = (0,0,0)
vektor satuan pada arah x,y,z :
i, j, k
Perkalian skalar dengan vektor :
a = (x 1 , y 1 , z 1 ) , c bilangan nyata
ca = (cx 1 ,cy 1 ,cz 1 )
Panjang, jumlah dan selisih vektor :
a = (x 1 , y 1 , z1 ), b = (x 2 , y 2 , z 2 )
3
( i) a
=
x 12  y 12 + z 12
( ii) a + b = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2 )
(iii) - a
= (-x 1 ,-y 1 ,-z 1 )
(iv) a - b = (x 1 - x 2 , y 1 - y 2 , z 1 - z 2 )
• Hukum-hukum penjumlahan Vektor dan perkalian dengan skalar
a , b, c vektor - vektor di R 3
p , q bilangan nyata
• Vektor Satuan
Vektor Satuan searah a : u = a / a
• Kesamaan Dua Vektor
a = (x 1 , y1 , z1 ) , b = (x 2 , y 2 , z 2 )
a = b  x1 = x 2 , y1 = y 2 , z1 = z 2
4
•
Sudut Antara Dua Vektor
 sudut antara a dan b
cos  =
a. b
a . b
• Perkalian Titik (Dot product)
a = (x 1 , y 1 , z1 ) , b = (x 2 , y 2 , z 2 )
a.b = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z1 z 2
5
Hukum-hukum :
a, b,c di R 3 ; p bilangan nyata
( i) a. b = b.a
( ii) a.(b + c) = a. b + a.c
(iii) (p a). b
= a.(pb)
(iv) 0.a
= 0
( v) a.a
2
= a , jika a  0
6
•
Perkalian Silang (Cross product)
a = (x 1 , y 1 , z 1 ) , b = (x 2 , y 2 , z 2 )
i
axb =
j
k
x1 y1
z1
x2 y2
z2
7
Hukum-hukum :
a, b,c di R 3 ; p bilangan nyata
( i) (axb)  a , (axb)  b ;
a dan b tak segaris
( ii) axb = - bxa
8
(iii) a x a
= 0
(iv) 0 x a
=
-a x 0 = 0
( v) a x (b + c) = axb + axc
(vi) (pa) x b
= a x (pb) = p(axb)
(vii) axb = a . b sin  ;
 sudut antara a dan b
(ix) a.( bxc) = (axb).c
9
•Persamaan Garis Lurus dalam Ruang
Garis melalui suatu titik dan // garis lain I garis lurus dalam
R3
Vektor arah I :
a = (x1,y1,z1) // l
P0 (x0,y0,z0) pada l
Vektor penyangga I :
P0 = OP0
X(x,y,z) pada I
x = ox
10
Persamaan untuk I :
Persamaan vektor
•
x = P0 + ta
t bilangan nyata
(parameter persamaan)
Persamaan parameter
x = x0 + tx1
y = y0 + ty1
z = z0 + tz1
•
11
• Persamaan koordinat
(x-x0)/x1 = (y-y0)y1 = (z-z0)/z1
• Garis melalui dua titik
I garis lurus dalam R3
A(x1,y1,z1)
B(x2,y2,z2)
X(x ,y ,z )
12
A , B , X pada I
a = OA
b = OB
x = OX
13
i  a  b  b  a
ii  a  b  c   a  b   c
iii  a  0  a
iv  a   a   0
v  pqa   pqa 
vi pa  b   pa  pb
vii p  q a  pa  qa
viii 1.a  a
14
• Sudut Arah Vektor
a = (x 1 , y 1 , z 1 )

sudut antara sumbu x positif dan a

sudut antara sumbu y positif dan a
y sudut antara sumbu z positif dan a
15
( i) cos  = x1 / a
cos ß = y1 / a
cos y = z1 / a
( ii)
cos  + cos ß + cos  = 1
2
2
2
16
Persamaan untuk I :
• Persamaan vektor


x  a  t ba ;
t bilangan nyata
(parameter persamaan)
• Persamaan parameter
 x  x1  t  x2  x1 

 y  y1  t  y 2  y1 
 z  z  t z  z 
1
2
1

17
• Persamaan koordinat
x  x1 y  y1 z  z1


x 2  x1 y 2  y1 z 2  z1
18
• Garis perpotongan dua bidang
* Dua bidang tak sejajar
* Penentuan garis potong
- Membentuk SPL
- Mencari jawab SPL
- Menentukan parameter
19
• Merumuskan Persamaan Garis
- Persamaan parameter
- Persamaan koordinat
20
Persamaan Bidang Datar dalam Ruang
• Bidang melalui suatu titik I suatu garis s bidang
datar di R3 :

nn1 , n 2 , n 3  vektor normal S n  S
X0 x 0 , y0 , z 0 dan Xx, y, z  pada s
x 0  0X0 dan x  0X
21
Persamaan untuk S :
• Persamaan vektor
x  x .n  0
0
• Persamaan
koordinat
n1 x  x 0   n 2 y  y 0   n 3 z  z 0   0
22
Bidang Melalui Dua Garis
• Persamaan kedua garis
• Titik potong kedua garis
• Vektor pada masing-masing garis;
berpangkal di titik potong
• Kros vektor dari vektor-vektor pada diatas
• Vektor bidang
• Persamaan bidang;
- Persamaan vektor
- Persamaan koordinat
23
Bidang Melalui Tiga Titik
• Pemeriksaanbahwa ketiga titik tidak
segaris
• Vektor posisi dari ketiga titik
• Kros vektor dari selisih vektor-vektor posisi
• Vektor normal bidang yang melalui ketiga
titik
• Persamaan bidang
- Persamaan vektor
- Persamaan koordinat
24
Bidang melalui suatu titik dan tegak
lurus dua bidang
•
•
•
•
•
•
•
Batasan dua bidang saling tegak lurus
Bidang S melalui titik A dan tegak lurus bidang β dan 
Koordinat A
Persamaan β dan 
Vektor Normal β dan 
Vektor Normal S tegak lurus Vektor normal β dan 
SPL homogen dari komponen-komponen vektor normal
S
• Vektor normal S (jawab SPL)
• Persamaan bidang S :
- Persamaan vektor
- Persamaan koordinat
25
Bidang melalui suatu titik dan sejajar suatu
bidang
•
•
•
•
•
•
•
Batasan dua bidang sejajar
Bidang S melalui titik A & sejajar bidang α
Koordinat A
Persamaan koordinat dari α
Persamaan vektor dari α
Persamaan vektor dari S
Persamaan parameter dari S
26
• Soal-soal Persamaan Bidang :
1. Tentukan persamaan bidang α yang melalui A
(3,2,1), B(1,1,-2), C(2,-1,3)!
2. Tentukn persamaan bidang α yang melalui
T(2,3,1) dan sejajar dengan bidang β :
4x-5y+3z=8 !
3. Tentukan persamaan bidang α yang melalui p
(3,1,2) dan sejajar dengan bidang β :
2x-7y+3z=8 !
27
4. Tentukan persamaan bidang α yang
melalui A(3,2,1), B(1,-2,1), dan C(2,1,3) !
5. Tentukan persmaan bidang α yang
melalui A(1,2,3), B(3,2,1), dan C(2,1,3) !
6. Tentukan persamaan bidang α yang
melalui P(3,2,1) dan sejajar dengan
bidang β :
3x-4y+5z=0 !
28