diferensial fungsi sederhana D alam bidang ekonomi dan bisnis

6
diferensial
fungsi
sederhana
D
alam bidang ekonomi dan bisnis konsep diferensial biasanya digunakan untuk
membandingkan perubahan dari suatu keseimbangan lama ke suatu keseimbangan
yang baru. Bab ini akan membahas mengenai konsep limit, kontinuitas,
diskontinuitas, definisi derivatif pertama, aturan-aturan derivatif pertama, dan derivatif
kedua, serta yang lebih tinggi.
6.1.
Konsep Limit
Limit menggambarkan seberapa jauh sebuah fungsi akan berkembang apabila variabel
di dalam fungsi yang bersangkutan terus menerus berkembang mendekati suatu nilai
tertentu. Jika fungsi f(x) mendekati L manakala variabel x mendekati a, maka L
disebut limit fungsi f(x) untuk x mendekati a. Hubungan ini dilambangkan dengan
notasi :
lim f(x)  L
x a
52
Diferensial Fungsi Sederhana
Dan dibaca “ limit fungsi f(x) untuk mendekati a adalah L”. Artinya jika variable x
berkembang secara terus menerus hingga mendekati bilangan tertentu
Limit sisi-kiri dari sebuah fungsi adalah nilai yang didekati oleh fungsi tersebut
apabila variabelnya bergerak mendekati limitnya melalui nilai-nilai yang membesar
( x→a dari sisi-kiri, melalui nilai-nilai x < a).
Jadi jika : lim- f(x)  L- , berarti L- merupakan limit sisi kiri f(x) untuk x  a
xa
Limit sisi-kanan dari sebuah fungsi adalah nilai yang didekati oleh fungsi tersebut
apabila variabelnya bergerak mendekati limitnya melalui nilai-nilai yang mengecil
( x→a dari sisi-kanan, melalui nilai-nilai x > a).
Jadi jika : lim f(x)  L , berarti L merupakan limit sisi kanan f(x) untuk x  a
x a
Limit sebuah fungsi dikatakan ada jika dan hanya jika limit sisi-kiri dan limit sisikanannya ada serta sama.
lim f(x)  lim f(x)  lim f(x)
x a -
x a
x a
Apabila salah satu dari ketentuan-ketentuan diatas tidak terpenuhi, maka limit dari
fungsi yang bersangkutan tidak terdefinisi.
6.2.
Kaidah-Kaidah Limit
1. Jika y = f(x) = xn dan n > 0, maka lim x n  a n
x a
Contoh 6.1. : lim x 3  23  8
x 2
2. Limit dari suatu konstanta adalah konstanta itu sendiri. lim k  k
x a
Contoh 6.2. : lim 3  3
x 2
Matematika Bisnis
53
3. Limit dari suatu penjumlahan (pengurangan) fungsi adalah jumlah (selisih) dari
limit fungsi-fungsinya.
lim {f(x)  g(x)}  lim f(x)  lim g(x)
x a
x a
x a
Contoh 6.3. :
lim {(1 - 2x 2 )  (x 3 )}  lim (1 - 2x 2 )  lim (x 3 )
x 2
x 2
x 2
 (1 - 2.2 2 )  (2 3 )  - 7  8  1
4. Limit dari suatu perkalian fungsi adalah perkalian dari limit fungsi-fungsinya
lim {f(x) . g(x)}  lim f(x) . lim g(x)
x a
x a
x a
Contoh 6.4. :
lim {(1 - 2x 2 ) (x 3 )}  lim (1 - 2x 2 ) . lim (x 3 )  (-7)(8)  - 56
x 2
x 2
x 2
5. Limit dari suatu pembagian fungsi adalah pembagian dari limit fungsi-fungsinya,
dengan syarat limit fungsi pembaginya tidak sama dengan nol
f(x)
f(x) lim
 x a
g(x) lim g(x)
lim
x a
dengan syarat lim g(x)  0
x a
x a
Contoh 6.5. :
lim (x 2 - 25)
(x 2 - 25)
lim
 x 5
x 5 (x - 5)
lim (x - 5)
x 5

lim (x - 5)(x  5)
x 5
lim (x - 5)
x 5
 lim (x  5)  10
x 5
6. Limit dari suatu fungsi berpangkat n adalah pangkat n dari limit fungsinya
lim {f(x)} n  { lim f(x) }n
x a
54
x a
Diferensial Fungsi Sederhana
Contoh 6.6. :
lim (1 - 2x 2 ) 3  { lim (1 - 2x 2 )}3  (-7)3  343
x 2
x 2
7. Limit dari suatu fungsi terakar berpangkat positif adalah akar dari limit fungsinya.
lim {n f(x) }  n lim f(x) n  0
x a
x a
Contoh 6.7. :
lim
x 5
6.3.
3
(x 3 - x  44)  3 lim (x 3 - x  44)  3 64  4
x 5
Kontinuitas Suatu Fungsi
Sebuah fungsi f(x) dikatakan kontinu pada x = a jika
1. f(a) terdefinisi
2. lim f(x) terdefini si
xa
3. lim f(x)  a
x a
.
Fungsi f(x) dikatakan sinambung dalam suatu interval b ≤ x ≤ c atau b < x < c jika ia
sinambung pada setiap titik di dalam interval tersebut.
Fungsi f(x) yang tidak sinambung pada suatu titik dimana x = a dikatakan asinambung
pada x = a
6.4.
Konsep Diferensial
Diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan
perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Proses penurunan
sebuah fungsi, disebut juga pendiferensian atau diferensiasi, pada dasarnya
merupakan penentuan limit suatu kofisien diferensi dalam hal pertambahan variable
bebasnya sangat kecil atau mendekati nol. Hasil yang diperoleh dari proses
diferensiasi tersebut dinamakan turunan atau derivative (derivative).
Dengan demikian,
Jika y = f(x)
Matematika Bisnis
55
Maka kuosien diferensiasinya
Dan turunan fungsinya lim
x 0
 y f(x  x) - f(x)

x
x
y
f(x  x) - f(x)
 lim

x

0
x
x
Contoh 6.10. :
Dari persamaan y = 3x2 – x diperoleh kuosien diferensi
Δy
 6x  3 x - 1
x
y
 lim (6x  3 x - 1)  6 x  3 (0) - 1  6x - 1
x 0  x
x 0
lim
y
 6x - 1
x 0  x
Jadi turunan atau derivative dari fungsi y = 3x2 – x adalah lim
Cara menuliskan turunan dari sesuatu fungsi dapat dilakukan dengan beberapa macam
notasi atau lambing. Jika fungsi aslinya y = f(x), maka turunannya dapat dituliskan
dengan notasi-notasi:
y
dy d f(x)
 y '  f ' (x)  y x  f x (x) 

x 0  x
dx
dx
lim
6.5.
Kaidah-Kaidah Diferensiasi
1. Diferensiasi konstanta
Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka
dy
0
dx
Contoh 6.11. :
y = 5 maka
dy
0
dx
2. Diferensiasi fungsi pangkat
Jika y = xn , dimana n adalah konstanta , maka
dy
n 1
nx
dx
Contoh 6.12. :
y  x3 ,
dy
31
3x
 3 x2
dx
3. Diferensiasi perkalian konstanta dengan fungsi
56
Diferensial Fungsi Sederhana
Jika y = k v, dimana v = h(x), maka
dy
dv
k
dx
dx
Contoh 6.13. :
y  5 x3 ,
dy
 5(3 x 2 )  15 x 2
dx
4. Diferensiasi penjumlahan/pengurangan fungsi
Jika y  u  v, dimana u  g(x) dan v  h(x)
maka
dy du dv


dx dx dx
'
Contoh 6.14. :
y  4x 2  x 3
misalkan :
du
 8x
dx
dv

 3 x2
dx
dy du dv


dx dx dx
 8x  3 x 2
u  4 x2 
v  x3
maka
5. Diferensiasi perkalian fungsi
Jika y  u .v, dimana u  g(x) dan v  h(x)
maka
dy
dv
du
 u
v
dx
dx
dx
atau y '  uv '  u ' v
Contoh 6.15.;
y  (4x 2 )( x 3 )
maka
dy
dv
du
 u
v
dx
dx
dx
2
 (4x )( 3x 2 )  (x 3 )( 8x)
 12x 4  8 x 4  12x 4
6. Diferensiasi pembagian fungsi
Matematika Bisnis
57
u
, dimana u  g(x) dan v  h(x)
v
du
dv
v
- u
dy
u ' v  uv '
maka
 dx 2 dx
atau y ' 
dx
v
v2
Jika y 
Contoh 6.16. :
4x 2
x3
maka
y
du
dv
- u
dy
 dx 2 dx
dx
v
3
(x )(8x)  (4x 2 )(3x 2 )

(x 3 ) 2
v
8x 4  12 x 4
x6
-4
 2
x
 - 4x -2

7. Diferensiasi fungsi berpangkat
y  u n , dimana u  g(x) dan n adalah konstanta
maka
dy
du
 n u n -1 .
dx
dx
Contoh 6.17.:
y  (4x 3  5) 2 , misalkan u  4x 3  5 
du
2
 12 x
dx
dy
du
 n u n -1 .
dx
dx
3
 2(4x  5)(12 x 2 )
 96 x 5  120 x 2
6.6.
Derivatif dari derivatif
Setiap fungsi dapat diturunkan lebih dari satu kali. Turunan pertama (first
derivative) sebuah fungsi adalah turunan dari fungsi awal atau fungsi aslinya.
58
Diferensial Fungsi Sederhana
Turunan kedua (second derivative) sebuah fungsi adalah turunan dari turunan
pertama, turunan ketiga (third derivative)adalah turunan kedua, dan seterusnya
Fungsi awal : y = f (x)
Turunan pertama : y '  f ' (x) 
dy d f(x)

dx
dx
d 2 y d 2 f(x)
Turunan kedua : y  f' x)  2 
dx
dx 2
''
''
d 3 y d 3 f(x)
Turunan ketiga : y  f (x)  3 
dx
dx 3
'''
Turunan ke-n
'''
d r y d r f(x)
: y  f (x)  r 
dx
dx r
r
r
Contoh 6.18.:
y = f (x) = x3 – 4x2 + 5x – 7
y' 
dy
 3x 2 - 8x  5
dx
y '' 
d2y
 6x - 8
dx 2
y ''' 
d3y
6
dx 3
y iv 
6.7.
d4y
0
dx 4
Hubungan Antara Fungsi dan Derivatifnya.
6.7.1. Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun
Jika f ' (a) > 0 maka y = f(x) merupakan fungsi menaik pada kedudukan x = a
Jika f ' (a) < 0 maka y = f(x) merupakan fungsi menurun pada kedudukan x = a
Jika f ' (a) = 0 maka y = f(x) berada di titik ekstrimnya.
Jika f ' (x) > 0 untuk x <a dan f ' (x) < 0 untuk x > a, maka titik ektrimnya
adalah titik maksimum.
Sedangkan jika f ' (x) < 0 untuk x < a dan f ' (x) > 0 untuk x >a, maka titik
ektrimnya adalah titik minimum
Matematika Bisnis
59
Contoh 6.19. :
Tentukan apakah y = f(x) = 1/3 x3 – 4x2 + 12x -5 merupakan fungsi menaik
ataukah fungsi menurun pada x = 5 dan x = 7. Selidiki pula untuk x = 6.
Penyelesaian :
f ' (x) = x2 – 8x +12
f ' (5) = 52 – 8(5) +12 = -3 < 0, berarti y = f(x) menurun pada x = 5
f ' (7) = 72 – 8(7) +12 = 5 > 0 , berarti y = f(x) menaik pada x = 7
f ' (6) = 62 – 8(6) +12 = 0 , berarti y = f(x) berada dititik ekstrim pada x = 6 :
karena f ' (x) < 0 untuk x < 6 dan f ' (x) > 0 untuk x > 6, titik ekstrim pada x = 6
ini adalah titik minimum
6.7.2. Titik Ekstrim Fungsi Parabolik
Parabola y = f(x) mencapai titik ekstrim pada y ' = 0
Jika y '' < 0 pada y ' = 0 maka bentuk parabolanya terbuka kebawah, titik
ekstrimnya adalah titik maksimum
Jika y '' > 0 pada y ' = 0 maka bentuk parabolanya terbuka ke atas, titik
ekstrimnya adalah titik minimum
Contoh 6.20. :
Andaikan y = - x2 + 6x -2
Maka y ' = -2x + 6
y '' = -2 < 0
Karena y '' < 0 maka bentuk parabolanya terbuka kebawah, titik ektrimnya
adalah titik maksimum.
Koordinat titik maksimum :
Syarat y maksimum : y ' =0 → -2x + 6 = 0, x = 3
Untuk x = 3 → y = - (3)2 + 6(3) -2 = 7
60
Diferensial Fungsi Sederhana
Maka koordinat titik maksimumnya adalah (3,7)
Contoh 6.21.:
Andaikan y = x2 - 4x + 8
Maka y ' = 2x - 4
y '' = 2 > 0
Karena
y '' > 0 maka bentuk parabolanya terbuka keatas, titik ektrimnya
adalah titik minimum.
Koordinat titik minimum :
Syarat y minimum : y ' =0 → 2x - 4 = 0, x = 2
Untuk x = 2 → y = (2)2 - 4(2)+ 8 = 4
Maka koordinat titik minimumya adalah (2,4)
6.7.3. Titik Ektrim dan Titik Belok Fungsi Kubik
Fungsi Kubik y = f(x) mencapai titik ekstrim pada y ' = 0
Jika y '' < 0 pada y ' = 0 maka titik ekstrimnya adalah titik maksimum
Jika y '' > 0 pada y ' = 0 maka titik ekstrimnya adalah titik minimum
Fungsi Kubik y = f(x) berada di titik belok pada y '' = 0
Contoh 6.22.:
Tentukan titik ekstrim dan titik belok fungsi kubik y = - x3 + 15x2 - 48x
Penyelesaian :
y = - x3 + 15x2 -48x → y ' = -3x2 + 30x -48 → y '' = -6x + 30
Syarat y ekstrim : y ' = 0, -3x2 + 30x -48 = 0 → x1 = 2, x2 = 8
x1 = 2 → y = -8 +60-96 = -44
y '' = -12+30 = 18 > 0
Maka titik (2,-44) merupakan titik ekstrim minimum
x2 = 8 → y = -512 +960-384 = 64
y '' = -48+30 = -18 < 0
Matematika Bisnis
61
Maka titik (8,64) merupakan titik ekstrim maksimum
Syarat titik belok : y '' = 0 → x = 5
x = 5 → y = -125 +375-240 = 10
Maka titik (5,10) merupakan titik belok
6.7.
Soal-Soal Latihan
1. Diketahui fungsi-fungsi di bawah ini, tentukanlah turunan/diferensialnya !
a. y = -4
b. y = 3x + 1
c. y = 2x3 – 4 x2 + 7 x – 5
d. y = 9 – 3 x-1 + 6 x-2
e. y = (x2 – 4 ) ( 2x – 6 )
f. y = ( x + 2 ) ( x – 3 )
y
x2  4
2x  6
h. y 
5x  2
x3
g.
2. Tentukan nilai limit berikut ini:
a. lim 3x 2 - 2x  5
x 3
b.
x2 1
lim
x 3
x
c. lim
x 0
x2  x
x
3. Selidikilah apakah fungsi dibawah ini kontinu untuk setiap x ?
a.
62
x 2 ; x  1
f ( x)  
1 ; x  1
Diferensial Fungsi Sederhana
b.
x 2 ; x  0

f ( x)   x ; 0  x  1
1  x 2 ; x  1

c.
x 2 ; x  0

f ( x)   x ; 0  x  1
1  x 2 ; x  1

d.
; x  1
2

f ( x )   x ; - 1  x  1
x  2 ; x  1

4. Diketahui fungsi-fungsi sebagai berikut :
a. F(x) = x4 +2x3 – 3x2 – 4x + 4
b. F(x) = x4 – 2x2 + 10
c. F(x) = x3 – 6x2 + 12x – 6
d. F(x) = – x3 – 3x2 + 1
Pertanyaan :
1. Tentukanlah titik stationernya
2. Tentukanlah interval fungsi naik dan interval fungsi turun’
3. Gambarkan sketsa grafiknya
Matematika Bisnis
63