spanning sets and linear independence

HIMPUNAN RENTANGAN DAN BEBAS LINIER
HIMPUNAN RENTANGAN
Definisi (Kombinasi Linier)
Misalkan V suatu ruang vektor atas field F. w vektor di V, dan v1 ,
, vn juga vektor-
vektor di V. Vektor w dikatakan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor v1 ,
, vn
jika w dapat dinyatakan dalam bentuk
w  r1v1 
 rn vn
, rn  F .
di mana r1 ,
Suatu himpunan vektor merentang ruang vektor jika setiap vektor dalam ruang vektor
tersebut dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari beberapa vektor dalam
himpunan tersebut.
Definisi (Himpunan Rentangan)
Subruang yang direntang oleh S tak kosong, S suatu himpunan bagian dari V, adalah
himpunan dari seluruh kombinasi linier vektor- vektor dalam S:
S  span(S )  {r1v1 
Jika S  {v1 ,
span  v1 ,
 rnvn | ri  F , vi  S}
, vn } merupakan himpunan hingga, kita gunakan notasi v1 ,
, vn atau
, vn  . Suatu himpunan vektor S dalam V dikatakan merentang V, atau
membangun V, jika V  span(S ) .
S disebut himpunan rentangan.
Sembarang superset dari himpunan rentangan juga merupakan himpunan rentangan.
Semua ruang vektor memiliki himpunan rentangan, karena V merentang dirinya
sendiri.
1
BEBAS LINIER
Definisi (bebas linier)
Misalkan V suatu ruang vektor. Himpunan vektor-vektor S dalam V dikatakan bebas
linier jika untuk sebarang vektor yang berbeda s1 ,
a1s1 
 an sn  0

, sn dalam S,
ai  0
untuk semua i.
Dengan kata lain S bebas secara linier jika untuk vektor 0, jika seluruh koefisien dari
kombinasi liniernya dari S adalah 0.
Definisi lain dari bebas linier adalah S dikatakan bebas linier jika vektor 0 dapat
dinyatakan secara unik sebagai kombinasi linier vektor-vektor dari S.
Pernyataan 0  s1   1s1  memiliki dua interpretasi
1. 0  as1  bs1
Di mana a = 1 dan b = -1, akan tetapi pernyataan 1 tidak melibatkan dua vektor yang
berbeda sehingga tidak dapat dikatakan sebagai bebas linier.
2. 0  s1  t1
Di mana t1  s1  s1 (asumsi s1  0 ),
Jika S bebas linier, maka S tidak mengandung s1 dan  s1 .
Definisi (essentially unique)
Misalkan S himpunan vektor dalam ruang vektor V. Vektor tak nol v V dikatakan
sebagai kombinasi linier yang unik esensial dari vektor-vektor dalam S jika terdapat
satu dan hanya satu cara untuk menyatakan v sebagai kombinasi linier
v  a1s1 
 an sn
di mana si merupakan vektor yang berbeda dalam S, dan koefisien ai  0 .
Secara eksplisit, v  0 merupakan kombinasi linier yang unik esensial dari vektorvektor dalam S jika v  S dan jika ketika
v  a1s1 
 an sn dan v  b1t1 
 bmtm
di mana si vektor-vektor yang berbeda dalam S, begitu pun ti vektor-vektor yang
berbeda dalam S, dan semua koefisien ai dan bi tak nol, maka m = n dan setelah
2
dilakukan pengindeksan ulang bi ti , kita dapatkan ai  bi dan si  ti untuk semua
i  1, 2,..., n
Teorema 1.6
Misalkan S  {0} merupakan himpunan vektor tak nol dalam V. Maka pernyataan
berikut ekivalen:
1. S bebas secara linier
2. setiap vektor tak nol v  span(S ) dinyatakan secara unik esensial kombinasi
linier dari vektor-vektor di S.
3. tidak ada vektor dalam S yang merupakan kombinasi linier dari vektor-vekor
lainnya dalam S.
Bukti:
(1  2)
Misalkan S bebas linier dan
0  v  a1s1 
 an sn  b1t1 
 bmtm
di mana si vektor-vektor yang berbeda dalam S, begitu pun ti vektor-vektor yang
berbeda dalam S, dan koefisien ai dan bi tak nol. Dengan mengurangi dan
mengelompokkan s dan t yang sama,
0  (ai1  bi1 )si1 
 (aik  bik )sik  aik 1 sik 1 
 ain sin  bik 1 tik 1 
 bim tim
Karena S bebas linier mengakibatkan n = m = k, aiu  biu , dan siu  tiu untuk semua
i  1, 2,..., k .
(2  3)
Andaikan ada s  S yang dapat ditulis sebagai
s  a1s1 
 an sn
Di mana si  S dan berbeda dengan s, ambil vektor tak nol v  span(S )
0  v  k1s1 
 kn sn  ks
0  v  k1s1 
 kn sn  k (a1s1 
v  (k1  ka1 )s1 
 an sn )
 (kn  kan )sn
Sehingga v tidak unik esensial. Kontradiksi dengan yang diketahui.
(3  1)
3
Misalkan S tidak bebas linier dan a1s1 
 an sn  0
di mana si vektor-vektor yang berbeda dalam S dan ai tak nol, maka untuk n > 1,
s1  
1
(a2 s2 
a1
 an sn )
Berarti terdapat vektor dalam S yang merupakan kombinasi linier dari vektor lainnya
dalam S. Kontradiksi dengan yang diketahui bahwa tidak terdapat vektor dalam S
yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier vektor lainnya dalam S.
Teorema 1.7
Misalkan S himpunan vektor dalam V. Maka pernyataan berikut ekivalen:
1. S bebas secara linier dan merentang V
2. setiap vektor tak nol v V adalah kombinasi linier yang unik esensial dari
vektor-vektor di S
3. S himpunan terentang minimal, S merentang V tapi sebarang proper subset dari
S tidak merentang V
4. S himpunan bebas linier maksimal, S bebas linier tapi sebarang proper superset
dari S tidak bebas linier.
Suatu himpunan vektor di V yang memenuhi sembarang kondisi di atas disebut basis
dari V.
Bukti:
(1  2)
telah dibuktikan pada teorema sebelumnya.
(1  3)
S himpunan terentang. Andaikan ada S '  S juga merentang V, maka sebarang
vektor dalam
S – S’ merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor dalam S’. Sehingga terdapat
vektor dalam S yang merupakan kombinasi linier dari vektor- vektor di S’, S '  S .
Dengan kata lain terdapat vektor dalam S yang merupakan kombinasi linier dari
vektor-vektor lain di S. Maka S tidak bebas linier .Hal tersebut kontradiksi dengan
yang diketahui bahwa S bebas linier.
(3  1)
4
Andaikan S tidak bebas linier, terdapat vektor s  S merupakan kombinasi linier dari
vektor lainnya dalam S, sehingga S – {s} merupakan subhimpunan rentangan sejati
dari S. Kontradiksi dengan yang diketahui.
(1  4)
Andaikan S bukan maksimal, maka akan ada vektor v V  S sehingga S  {v}
bebas linier. Akan tetapi karena v bukan dalam rentangan S, maka kontradiksi dengan
yang diketahui bahwa S himpunan rentangan.
(4  1)
Jika S tidak merentang V, maka terdapat v V  S bukan kombinasi linier dari vekotr
– vektor dalam S. Sehingga S  {v} merupakan superset bebas linier sejati dari S,
yang merupakan kontradiksi.
Teorema 1.8
Himpunan hingga S  {v1 ,
, vn } di V merupakan basis untuk V jika dan hanya jika
V  v1 
 vn
Bukti:
Misalkan Si  {v | v  rvi , r  F}  Si  vi
()
S  {v1 ,
, vn } di V merupakan basis untuk V, artinya
S bebas linier dan merentang V.
Jika S merentang V maka V  span(S )  {r1v1 
V  {r1v1 
 rnvn | vi  S , ri  F}
n
 rn vn | vi  S , ri  F }   Si
jika S bebas linier maka r1v1 
1)
i 1
 rnvn  0 , ri  0 .
Ambil vektor tak nol v  Sk karena S bebas linier maka v tidak dapat dinyatakan
sebagai kombinasi linier {v1 ,..., vk 1 , vk 1 ,..., vn } . Sehingga vektor tak nol v bukan
5
elemen dari Sk 
n

i 1,i  k
Si . Sedangkan untuk 0  Sk , 0  0.vk dan 0 dapat dinyatakan
sebagai kombinasi linier dari {v1 ,..., vk 1 , vk 1 ,..., vn } ,
0  rv
1 1
 rk 1vk 1  rk 1vk 1 
sehingga 0 
n

i 1,i  k
 rnvn , rv
i i  Si
Si . Oleh karena 0  Sk dan 0 
Sk 
n

i 1,i  k
n

i 1,i  k
Si ,
Si  {0}
Dari 1) dan 2), didapat V  S1 
2)
 Sn  v1 
 vn
()
Diketahui V  v1 
 vn , akan dibuktikan S  {v1 ,
, vn } basis untuk V
Akan ditunjukkan: S merentang V dan bebas linier
Bukti:
Si  {v | v  rvi , r  F}  Si  vi
V  v1 
 vn , berarti
1. v V ,
v  r1v1 
 rnvn
n
di mana Si sehinggga V   Si {r1v1 
i 1
 rn vn | vi  S , ri  F } .
Pernyataan di atas menyatakan V sebagai kumpulan semua kombinasi linier dari
v1 ,
, vn , dengan kata lain {v1 ,..., vn } merentang V.
2. Sk 
n

i 1,i  k
Misalkan v1 ,
Si  {0}
, vn tidak bebas linier maka berdasarkan teorema 1.6, terdapat vektor
vk yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier vektor – vektor
{v1 ,..., vk 1 , vk 1 ,..., vn } , sehingga sebarang v  Sk dapat dinyatakan sebagai kombinasi
linier dari {v1 ,..., vk 1 , vk 1 ,..., vn } , v  r1v1 
 rk 1vk 1  rk 1vk 1 
 rn vn 
n

i 1,i  k
Si .
6
jadi didapat v  Sk 
Sk 
n

i 1,i  k
Jika Sk 
n

i 1,i  k
Si  {0} . Kontradiksi dengan yang diketahui
Si  {0}
n

i 1,i  k
Karena v1 ,
Si  {0} maka v1 ,
, vn bebas linier.
, vn merentang V dan bebas linier, maka  v1 ,
, vn  merupakan basis
untuk V.
Contoh 1.6
Vektor standar ke-i dalan Fn adalah vektor
ei yang bernilai 0 pada semua posisi
koordinat kecuali koordinat ke-i, dmana pada posisi ke-i bernilai 1.
e1  (1,0,...,0), e2  (0,1,...,0), ..., en  (0,0,...1)
Himpunan e1 ,..., en  merupakan basis standar untuk Fn .
Definisi (himpunan te rurut parsial)
Himpunan terurut parsial (poset) adalah pasangan ( P, ) di mana P himpunan tak
kosong dan  suatu relasi biner yang disebut terurut parsial, dengan memenuhi sifat
berikut:
1. (refleksif), untuk semua a  P
aa
2. (antismetri) untuk semua a, b, c  P
a  b dan b  a

a b

ac
3. (transitif) untuk semua a, b, c  P
a  b dan b  c
Definisi
Poset yang mana tiap pasang elemennya dapat dibandingkan disebut himpunan terurut
total atau himpunan terurut linier. Sembarang himpunan bagian terurut total dari poset
P disebut chain dalam P.
7
Zorn’s Lemma
Jika P adalah suatu himpunan terurut parsial (poset) yang mana tiap chain memiliki
batas atas, maka P memiliki suatu elemen maksimal.
Teorema 1.9
Misalkan V ruang vector tak nol. Misalkan I himpunan bebas linier dalam V dan
misalkan S himpunan merentang dalam V mengandung I. Maka terdapat basis B untuk
V di mana I  B  S .
1. sembarang ruang vektor, kecuali ruang vektor nol {0}, memiliki basis.
2. sembarang himpunan bebas linier dalam V dimuat dalam basis.
3. sembarang himpunan rentangan dalam V mengandung basis.
Bukti:
Pandang A sebagai semua subset bebas linier dari V yang mengandung I dan dimuat
oleh S. Himpunan tersebut tidak kosong, karena I  A . Misalkan
C  {I k | k  K}
merupakan chain di A, maka gabungan U 
I k juga bebas linier dan memenuhi
kK
I  U  S . Setiap chain di A memiliki batas atas dan menurut Zorn’s lemma, A pasti
memiliki elemen maksimal B, yang bebas linier.
Misalkan B basis untuk ruang vektor S  V .
Jika untuk sembarang s  S bukan kombinasi linier dari vektor-vektor di B, maka
B {s}  S bebas linier. Kontradiksi dengan yang diketahui, B elemen maksimal.
Sehingga S  B dan juga V  S  B .
8