5. RUANG-RUANG VEKTOR

Diktat Aljabar Linear
RuangRuang-Ruang Vektor
5. RUANG-RUANG VEKTOR
5.1. RUANG-N EUCLIDIS
DEFINISI 5.1: RUANG -N
Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif maka n-pasangan terurut adalah (a1,a2,..,an)
dimana ai , i = 1,..,n adalah bilangan riil.
Himpunan semua n-pasangan terurut ini dinamakan ruang-n dan dinyatakan dengan ℜn
DEFINISI 5.2
Dua vektor u = (u1,u2,...,un) dan v = (v1,v2,..,vn) pada ℜn
• Dua vektor dinyatakan sama bila u1= v1, u2 = v2,...,un = vn
• Jumlahan u + v = (u1 + v1, u2 + v2 , …, un + vn)
• Jika terdapat k ∈ ℜ , k ≠ 0 maka perkalian scalar ku = (k u1, k u2,…,k un)
• Vektor Nol : 0 = (0,0,…,0)
• Invers aditif (negatif) : -u = (-u1,-u2,..., -un)
• Pengurangan : u – v = (u1 - v1, u2 - v2 , …, un - vn)
TEOREMA 5.3:
Jika U, V, W ∈ ℜn , k,l ∈ ℜ maka :
(a) Jika u,v ∈ V, maka u + v ∈ V
(b) u+v = v+u
(c) u+(v+w) = (u+v)+w
(d) Jika 0 ∈ V sehingga 0 + u = u+ 0, ∀ u ∈ V
(e) ∀ u ∈ V , ∃ - u ∈ V (negatif u). sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0
(f) Jika k,l ∈ ℜ, u ∈ V, maka k u ∈V
(g) k (u + v) , k u + k v
(h) (k+l) u = k u + l u
(i) k(l u) =(kl) u
(j) 1 u = u
DEFINISI 5.4: EUCLIDEAN INNER PRODUCT
Jika U, V ∈ ℜn maka yang disebut sebagai Euclidean Inner product adalah
U.V = u1 v1 + u2 v2 + ... + un vn
Jika U =
 u1 
! 
 
u n 
V=
 v1 
!
 
v 2 
(5.1)
maka U.V = Vt U
5.2. SUBSPACE (SUBRUANG)
DEFINISI 5.5 : SUBRUANG
Jika W ⊂ V , W dikatakan sebagai subruang V jika W itu sendiri adalah ruang vektor di
bawah penambahan dan perkalian skalar yang didefinisikan pada V.
Siana Halim- Teknik Industri UK. Petra 23
Diktat Aljabar Linear
TEOREMA 5.6
Jika W adalah himpunan dari satu atau lebih vector dari sebuah ruang vector V, maka W
adalah subruang dari V jika dan hanya jika kondisi-kondisi berikut berlaku:
(a) Jika u dan v adalah vector-vektor pada W, maka u + v terletak di W
(b) Jika k ∈ ℜ , u adalah sebarang vektor pada W maka ku berada di W.
DEFINISI 5.7 : KOMBINASI LINEAR
Sebuah vektor w dinamakan kombinasi linear dari vektor-vektor v1 , v2 ,..,vr jika vektorvektor tersebut dapat dituliskan dalam bentuk:
(5.2)
W = k1 v1 + k2 v2 + ...+kr vr dimana ki i = 1,2,..,r ∈ℜ
DEFINISI 5.8: SPAN
Jika v1 , v2 ,..,vr adalah vektor-vektor pada ruang vektor Vdan jika masing-masing vektor
pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari v1 , v2 ,..,vr maka vektor-vektor
ini dikatakan Span di V (merentang di V)
TEOREMA 5.9
Jika v1 , v2 ,..,vr adalah vektor-vektor pada ruang vektro V, maka :
(a) Himpunan w dari semua kombinasi linear v1 , v2 ,..,vr adalah subruang V
(b) W adalah subruang terkecil dari V yang mengandung v1 , v2 ,..,vr dalam arti bahwa
setiap subruang lain dari V yang mengandung v1 , v2 ,..,vr harus mengandung W.
NOTASI
Ruang Lin W yang span oleh himpunan vektor-vektor S = { v1 , v2 ,..,vr} akan dinyatakan
oleh :
Lin(S) atau Lin { v1 , v2 ,..,vr}
5.3. KEBEBASAN LINEAR
DEFINISI 5.10 : KEBEBASAN LINEAR
Jika S = { v1 , v2 ,..,vr} adalah himpunan vektor, maka persamaan vektor :
(5.3)
k1 v1 + k2 v2 + ...+kr vr = 0
mempunyai paling sedikit satu pemecahan yaitu, k1 = 0, k2 = 0, …, kr = 0
Jika ini adalah satu-satunya pememcahan dari (5.3), maka S dinyatakan sebagai
himpunan yang bebas linear.
Jika terdapat satu saja dri ki ≠ 0 , i = 1,2,…,r dan memenuhi persamaan (5.3) maka
himpunan S dinyatakan sebagai himpunan yang bergantung linear (tak bebas linear)
TEOREMA 5.11
Himpunan S dengan dua vektor atau lebih adalah :
(a) Tak bebas linear jika dan hanya jika paling tidak satu diantara vektor-vektor ini dapat
dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vector-vektor lainnya.
(b) Bebas linear jika dan hanya jika tidak ada vector-vektor yang dapat dinyatakan
sebagai kombinasi linear dari vector-vektor lain yang ada di S.
24 Siana Halim- Teknik Industri UK. Petra
Diktat Aljabar Linear
RuangRuang-Ruang Vektor
TEOREMA 5.12
(a) Jika sebuah himpunan mengandung vektor nol, maka himpunan itu tidak bebas linear
(b) Sebuah himpunan yang mempunyai persis dua vektor tak bebas linear jika dan hanya
jika salah satu dari vektor itu adalah perkalia skalar dari vektor lainnya.
TEOREMA 5.13
Misalkan S = { v1 , v2 ,..,vr } adalah himpunan vektor-vektor pada ℜn jika r > n, maka S
tak bebas linear.
5.4. BASIS DAN DIMENSI
DEFINISI 5.14 : BASIS
Jika V ada;aj sebarang ruang vektor dan S = { v1 , v2 ,..,vr } merupakan himpunan
berhingga dari vektor-vektor pada V, maka S dinyatakan sebagai basis untuk V jika
(a) S adalah bebas linear dan
(b) S span di V
DEFINISI 5.15
Sebuah ruang vector tak nol V dinyatakan berdimensi berhingga jika ruang vektor
tersebut mengandung sebuah himpunan berhingga dari vektor-vektor { v1 , v2 ,..,vn }
yang membentuk sebuah basis.
Jika tidak ada himpunan seperti itu maka V dinyatakan berdimensi tak berhingga
CATATAN 5.16
Ruang vektor nol dianggap sebagai ruang berdimensi berhingga, walaupun tidak
mempunyai himpunan bebas linear, dan tidak mempunyai basis, serta didefinisikan
berdimensi nol.
TEOREMA 5.17
Jika S = { v1 , v2 ,..,vn} adalah basis untuk ruang vector V, maka setiap himpunan dengan
lebih dari n vector adalah tak bebas linear
COROLLARY 5.18
Sebarang dua basis untuk ruang vektor berdimensi berhingga mempunyai jumlah vektor
yang sama.
DEFINISI 5.19
Dimensi sebuah ruang vektor V yang berdemensi berhingga didefinisikan sebagai
banyaknya vektor pada basis untuk V.
TEOREMA 5.20
(a) Jika S = { v1 , v2 ,..,vn} adalah sebuah himpunan n vekor bebas linear pada sebuah
ruang V yang berdimensi n, maka S adalah sebuah basis untuk V
(b) Jake S = { v1 , v2 ,..,vn} adalah sebuah himpunan n vektor yang span pada ruang V
yang berdimensi n, maka S adalah basis untuk V.
Siana Halim- Teknik Industri UK. Petra 25
Diktat Aljabar Linear
(c) Jika S = { v1 , v2 ,..,vr} adalah sebuah himpunan bebas linear pada ruang V yang
berdimensi n dan r < n , maka S dapat diperbesar menjadi basis untuk V, yaitu vektorvektor vr+1, ..., vn sedingga { v1 , v2 ,..,vr, vr+1, …, vn} adalah sebuah basis untuk V.
5.5. RUANG BARIS DAN KOLOM MATRIKS, RANK DAN PENERAPANNYA
UNTUK MENCARI BASIS
DEFINISI 5.21:
Tinjaulah matriks mxn
A=
Vektor-vektor :
 a11

a 21
 !

 a n1
a12
a 22
a n2
" a1n 
" a 2 n 
! 

" a nn 
r1 = (a11, a12, .., a1n)
r2 = (a21, a22, .., a2n)
!
rm = (am1, am2, .., amn)
terbentuk dari baris-baris A yang dinamakan sebagai vektor baris dari A, dan vektor–
vektor :
c1 =
 a11 


 a 21  , c2 =
 ! 


a m1 
 a12 


 a 22  ,
 ! 


a m 2 
… , cn =
 a1n 


 a 2n 
 ! 


a mn 
terbentuk dari kolom-kolom dari A yang dinamakan sebagai vektor–vektor kolom dari A.
Subruang ℜn yang span oleh vektor –vektor baris ini dinamakan sebagai ruang baris
(row space) A dan subruang ℜm yang span oleh vektor –vektor kolom dinamakan ruang
kolom (column space) dari A.
TEOREMA 5.22
Operasi baris elementer tidak mengubah ruang baris dari sebuah matriks.
TEOREMA 5.23
Vektor –vektor baris tak nol berbentuk eselon baris dari matriks A membentuk baris
untuk ruang baris A.
TEOREMA 5.24
Jake A adalah sebarang matriks, maka ruang baris dan ruang kolom dari A mempunyai
dimensi yang sama
DEFINISI 5.25: RANK
Dimensi ruang baris dan ruang kolom matriks A dinamakan rank A dan dinyatakan
dengan Rank(A)
26 Siana Halim- Teknik Industri UK. Petra
Diktat Aljabar Linear
RuangRuang-Ruang Vektor
TEOREMA 5.26
Jika A adalah matriks n x n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen satu sama lain:
(a) A dapat diinverskan
(b) Ax = 0 hanya mempunyai pemecahan trivial
(c) A ekivalen baris dengan In
(d) Ax = b konsisten untuk tiap-tiap matriks b yang berukuran n x 1
(e) Det (A) ≠ 0
(f) A mempunyai rank n
(g) Vektor –vektor baris A bebas linear
(h) Vektor –vektor kolom A bebas linear
TEOREMA 5.27
Sebuah sistem persamaan linear Ax = b adalah konsisten jika dan hanya jika b berada
pada ruang kolom A.
TEOREMA 5.28
Sebual sitem persamaan linear Ax = b akan konsisten jika dan hanya jika rank dari
matriks koefisien A sama dengan rank dari matriks yang diperbesar [A|b]
TEOREMA 5.29
Jika Ax = b adalah sistem persamaan linear konsisten dari m pasangan n bilangan tak
diketahui, dan jika A mempunyai rank r , maka pemecahan sistem persamaan linear
tersebut mengandung n-r parameter.
5.6. INNER PRODUCT SPACE (RUANG HASIL KALI DALAM)
DEFINISI 5.30
Sebuah inner product pada ruang vektor riil V adalah fungsi yang mengasosiasikan
bilangan riil <u,v> dengan masing-masing pasangan vektor u dan v pada V sedemikian
hingga aksioma-aksioma berikut dipenuhi untuk semua vektor u,v dan w di V dan juga
semua skalar k.
(1) <u,v> = <v,u>
aksioma simetris
(2) <u+v,w> = <u,w> + <v,w>
aksioma penambahan
(3) <k u,v> = k <u,v>
aksioma kehomogenan
(4) <v,v> ≥ 0, <v,v> = 0 ! v= 0
aksioma kepositifan
Sebuah ruang vektor riil dengan sebuah inner product dinamakan real inner product
space.
5.7. PANJANG DAN SUDUT DI INNER PRODUCT SPACE
MOTIVASI:
Di ℜ 2 panjang vektor u= (u1,u2) diberikan oleh
u = u12 + u 22 = u.u = (u.u )1 / 2
(5.4)
Siana Halim- Teknik Industri UK. Petra 27
Diktat Aljabar Linear
DEFINISI 5.31
Jika V adalah sebuah inner product space , maka norm vektor u yang dinyatakan oleh
u , dapat didefinisikan sebagai berkut :
1/2
(5.5)
u = < u,u>
MOTIVASI:
Di ℜ 2 , jarak antara dua titik u = (u1,u2) dan v = (v1,v2) diberikan oleh :
d(u,v) = (u1 − v1 ) 2 + (u 2 − v 2 ) 2 = u − v
(5.6)
DEFINISI 5.32
Jika V adalah sebuah inner product space, maka jarak antara dua titik (vektor )u dan v
dinyatakan oleh d(u,v) didefinisikan oleh :
d(u,v) = u − v
(5.7)
TEOREMA 5.33: PERTIDAKSAMAAN CAUCHI SCHWARZ
Jika u dan v adalah vektor pada sebuah inner product space, maka
(u,v)2 ≤ (u,u) (u,v)
(5.8)
TEOREMA 5.34
Jika V adalah inner product space, maka norm u = < u,u>1/2 dan jarak d(u,v) = u − v
memenuhi semua sifat-sifat berikut :
N1. u ≥ 0
D1. d(u,v) ≥ 0
D2. d(u,v) = 0 ! u = v
N2. u = 0 ! u = 0
N3. ku = k u
D3. d(u,v) = d(v, u)
D4. d(u,v) ≤ d(u,w) + d(w,v)
N4. u + v ≤ u + v
CATATAN 5.35
Pertidaksamaan Cauchi Schwarz dapat digunakan untuk mendefinisikan sudut-sudut pada
inner product space yang lebih umum.
Misal u dan v adalah vektor –vektor tak nol dalam inner product space V
2
 < u, v > 

 ≤1
 u v 


atau –1 ≤
< u, v >
u v
≤1
(5.9)
Jika θ adalah sudut yang mengukur radian dari 0 hingga π, maka cos θ akan mempunyai
nilai antara –1 sampai dengan 1
cos θ =
< u, v >
u v
dan 0 ≤ θ ≤ π
(5.10)
DEFINISI 5.36
Dalam inner product space, dua vector u dan v dikatakan orthogonal jika <u,v> = 0.
Selanjutnya jika u orthogonal terhadap setiap vektor pada himpunan w maka u dikatakan
orthogonal terhadap w.
28 Siana Halim- Teknik Industri UK. Petra
Diktat Aljabar Linear
RuangRuang-Ruang Vektor
TEOREMA 5.37
Jika u dan v adalah vektor–vektor orthogonal pada inner product space maka
u+v
2
= u
2
u+v
2
= (u + v ), (u + v )
+ v
2
(5.11)
Bukti:
= u
2
= u
2
+ 2 u, v + v
+ v
2
(karena u dan v orthogonal maka <u,v> = 0 )
2
5.8. BASIS ORTONORMAL , PROSES GRAM – SCHMIDT
MOTIVASI
Dalam banyak soal yang menyangkut ruang vektor , pemilihan basis untuk ruang tersebut
sangatlah penting untuk menyederhanakan pemecahan soal yang dihadapi.
Pada inner product space, sering ditemukan kasus yang pilihan terbaiknya adalah basis
yang semua vektornya orthogonal terhadap vektor yang lainnya.
DEFINISI 5.38:
Sebuah himpunan vektor pada inner product space dinamakan himpunan orthogonal jika
semua pasangan vector-vektor yang berbeda dalam himpunan tersebut orthogonal .
Sebuah himpunan orthogonal yang setiap vektor nya mempunyai norm satu dinamakan
ortonormal.
Jika v adalah tak nol pada inner product space, maka menurut sifat N3 dari teorema 5.34
vektor
v
v
= 1 karena
1
v
=
v =1
v
v
TEOREMA 5.39
Jika S = { v1 , v2 ,..,vr} adalah himpunan orthogonal.dan merupakan vektor tak nol dalam
inner product space, maka S bebas linear
TEOREMA 5.40
Misalkan V adalah inner product space dan { v1 , v2 ,..,vn } adalah himpunan ortonormal
dari vektor –vektor di V.
Jika W menyatakan ruang yang span oleh v1 , v2 ,..,vn maka setiap vektor u dalam V
dapat dituliskan dalam bentuk :
(5.12)
u = w1 + w2
dimana w1 terletak di W dan w2 ortogonal terhadap W dengan memisalkan
(5.13)
w1 = <u,v1> v1 + <u,v2> v2 + … + <u,vr> vr dan
w2 = u- <u,v1> v1 - <u,v2> v2 - … - <u,vr> vr
Siana Halim- Teknik Industri UK. Petra 29
Diktat Aljabar Linear
TEOREMA 5.41
Setiap inner product space berdimensi berhingga tak nol mempunyai sebuah basis
ortonormal.
Bukti :
Langkah 1: Misalkan v 1 =
u1
u1
vektor v1 mempunyai norm satu.
Langkah 2: Untuk membangun vektor v2 yang memiliki norm satu dan orthogonal
terhadap v1 , hitunglah komponen u2 yang orthogonal terhadap ruang w1
yang span oleh v1 , lalu normalkan komponen u2 tersebut.
v2 =
u 2 − u 2 , v1 v1
u 2 − Pr oy w1u 2
=
u 2 − Pr oy w1u 2
u 2 − u 2 , v1 v1
v3 =
u 3 − u 3 , v1 v1 − u 3 , v 2 v 2
u 3 − Pr oy w 2 u 3
=
u 3 − Pr oy w 2 u 3
u 3 − u 3 , v1 v1 − u 3 , v 2 v 2
!
dan seterusnya.
Proses inilah yang dinamakan sebagai proses Gram-Schmidt
30 Siana Halim- Teknik Industri UK. Petra