BAB ke 4 SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV)

SISTEM PERSAMAAN
LINEAR DUA VARIABEL
( SPLDV)
Peta Konsep
SPLDV
Pembahasan
Pengertian
SPLDV
Penyelesaian
SPLDV
Penggunaan metode
Grafik
Substitusi
Eleminasi
Dipakai untuk
Penyelesaian
Soal Cerita
Campuran
BAB ke 4
SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV)
1. Persamaan Linear Satu Variabel (SPLSV)
Persamaan linear satu variabel adalah persamaan linear yang
mempunyai satu variabel dan variabelnya berpangkat satu
dan dapat dinyatakan dalam bentuk ax = b atau ax + b = c , a
≠0
Contoh :
Tentukan penyelesaian dari 3(3y - 6) + y = 12, y ϵ C !
JAWAB :
3(3y – 6) + y = 12
9y – 18 + y = 12
10y = 12 + 18
10y = 30
y=3
Himpunan penyelesaiannya = {3}
KOMPETENSI
Tentukan nilai x dari PLSV berikut :
a. 2(x -3) + 4 = 10
b. 3x – 6 = 14 + 2x
c. 10 – 4(2x – 1) = 2(x – 8)
d.
3x − 4
7
- 12 = -10
e. 2(2x – 4) + 3(3x + 2) = 4(x + 2)
2. Persamaan Linear Dua Variabel
Persamaan linear dua varibel adalah persamaan linear
yang mempunyai dua variabel dan masing-masing variabel
tersebut berpangkat satu. Bentuk umum persamaan linear
dua variabel :
ax + by + c = 0, a ≠ 0, b ≠ 0, a, b, c ϵ R
Contoh :
2x + y = 10
2t – 3s + 12 = 0
2p = 6q + 8
𝒂
𝟑
+ 4b + 12
variabelnya x dan y
variabelnya s dan t
variabelnya p dan q
variabelnya a dan b
(ingat persamaan garis lurus)
Sistem Penyelesaian Persamaan
Linear Dua Variabel (SPLDV)
Sistem persamaan Linear dua varibel adalah sistem
persamaan yang terdiri dari dua persamaan linear
dengan dua variabel, yang mana variabel
tiap
persamaan adalah sama namun koefisien dan
konstanta untuk tiap persamaan belum tentu sama.
Bentuknya sebagai berikut :
𝐚𝐱 + 𝐛𝐲 = 𝐜
𝐦𝐱 + 𝐧𝐲 = 𝐩
dengan a, b, c, m, n, dan p bilangan nyata
Ada beberapa cara untuk menentukan penyelesaikan
suatu sistem persamaan yaitu dengan metode grafik,
metode substitusi, metode eliminasi dan campuran.
Metode Grafik
Langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan linear
dua variabel dengan metode grafik adalah sebagai berikut :
- Menentukan masing-masing persamaan dengan tabel.
- Membuat grafik persamaan pada bidang cartesius.
- Menentukan titik potong kedua grafik tersebut (jika ada)
- Titik potong kedua grafik merupakan penyelesaian
sistem persamaan tersebut.
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian SPLDV dari y = x + 2 dan
y=4–x
JAWAB :
Buatlah tabelnya
y=x+2
x
0
-2
y
2
0
(x, y)
(0, 2)
(-2, 0)
y
4
0
(x, y)
(0, 4)
(4, 0)
y=4-x
x
0
4
Titik potong kedua garis tersebut (1, 3)
Jadi himpunan penyelesaian nya {(1, 3}
KEGIATAN
Tentukan himpunan penyelesaian SPLDV berikut
dengan metode grafik !
1. 2x – 3y = 6 dan x + y = 4
2. x – y = 1 dan 3x – y = 9
3. 3x + y = 6 dan 2x + 2y = 4
4. y = 5 – 2x dan 3x – y = – 5
METODE SUBSTITUSI
Mensubstitusi berarti mengganti. Menggunakan metode substitusi berarti
mengganti satu variabel dengan variabel dari persamaan yang lain.
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan linear berikut dengan metode
substitusi :
x + y = 4 ...........(i)
2x + 5y = 17 ......(ii)
Jawab :
(i) x + y = 4
x = 4 - y ........(iii) (disubstitusikan ke persamaan (ii)
Untuk y = 3 substitusikan ke salah satu
(ii) 2(4 – y) + 5y = 17
persamaan (i) atau (ii)
8 – 2y + 5y = 17
(i) x + y = 4
- 2y + 5y = 17 – 8
x+3 =4
3y = 9
x =4–3
y=3
x = 1
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah = {(1, 3)}
KOMPETENSI
Selesaikan SPLDV berikut dengan metode substitusi :
1.
x+y=7
2x − y = 2
2.
x + 2y = 5
3x − 3y = 6
3.
2x + 5y = 16
x − y=1
4.
1
3x − 2y =
2
1
x + 4y = 1
3
METODE ELIMINASI
Menggunakan metode eliminasi berarti menghilangkan salah satu variabel dari
variabel yang akan di elimenasi harus mempunyai koefesien yang sama.
Jika sama-sama positif atau sama-sama negatif maka dikurangkan dan jika berbeda
maka dijumlahkan.
Jika berbeda koefesein berbeda pada variabel yang akan dieleminasi harus
menentukan KPK dengan cara mengalikan koefesien tersebut.
Contoh :
Dengan mtode eliminasi tentukan himpunan penyelesaian 3x – y = 7 dan x + 2y = 7
!
Jawab :
3x – y = 7 x2
x + 2y = 7 x1
6x – 2y = 14
x + 2y = 7
7x
= 21
x
=3
+
3x – y = 7 x1
x + 2y = 7 x3
Jadi himpunan penyelesaiann ya adalah = {(3, 2)}
3x – y = 7
3x + 6y = 21
-7y = -14
y =2
-
KOMPETENSI
Tentukan himpunan penyelesaian
SPLDV berikut dengan metode
substitusi atau metode eliminasi :
1. x + y = 3 dan 4x – 3y = 5
2. 2x – y = 2 dan x + y = 7
3. 5x + 5y = 25 dan 3x + 6y = 24
4. 2x + y = 5 dan 3x – 2y = 11
Metode Gabungan Eliminasi dan Substitusi
Contoh :
Selesaikan SPLDV berikut ini dengan metode gabungan !
2𝑥 + 2𝑦 = 4
𝑥 + 3𝑦 = 4
Jawab :
• Elemenasi x (cari y)
2x + 2y = 4 x1 2x + 2y = 4
x + 3y = 4 x2 2x + 6y = 8
-4y = -4
y=1
Jika y = 1 maka x = ....
Y = 1 subtitusikan ke
x + 3y = 4
x + 3.1 = 4
x+3=4
x=4–3
x=1
Jadi diperoleh Himpunan penyelesaian = {(1, 1)}
MENYELASAIKAN SOAL CERITA yang BERHUBUNGAN
DENGAN SPLDV
Langkah-langkah menyelesaikan permasalah terkait SPLDV
sebagai berikut :
1. Tentukan variabel-variabelnya kemudian lakukan
pemisalan.
2. Terjemahkan permasalahan kedalam bentuk model
matematika.
3. Selesian model matematika atau persamaan yang
diperoleh dari langkah II
Menyelesaikan soal cerita
Harga 3 gelas es teh dan dua mangkok bakso Rp
22.500,00. Sedangkan harga 2 gelas es teh dan tiga
mangkok bakso adalah Rp 30.000,00. Berapa harga 3
gelas es teh dan 3 mangkok bakso ?
Jawab :
Langkah –langkahnya :
1. Nyatakan dalam model matematika, misalkan x = es
teh dan y = bakso
2. Tentukan nilai x dan y
Misalkan :
X = es teh
Y = bakso
3x + 2y = 22.500 x3 9x + 6y = 67.500
2x + 3y = 30.000 x2 4x + 6y = 60.000
5x
= 7.500
x
= 1.500
2x + 3y = 30.000 Jadi harga 3 es teh dan 3 bakso
2(1.500) + 3y = 30.000 adalah ..
3.000 + 3y = 30.000 Harga = 3x +3y
= 3.(1.500) + 3(9.000)
3y = 27.000
= 4.500 + 27.000
y = 9.000
= 31.500
Soal :
1. Ibu membeli 5 kg beras dan 2 kg telur
harganya Rp 50.500,00. Jika ibu membeli 3 kg
beras dan 1 kg telur harganya Rp 27.500,00.
Tentukan harga 1 kg besar dan 1 kg telur !
2. Pada suatu ladang terdapat 12 ekor hewan
terdiri atas ayam dan kambing,sedangkan
jumlah kaki hewan tersebut adalah 40.
tentukan banyak kambing diladang tersebut !