sistem persamaan linear dua variable

Kurikulum Ivan dan Sandi
Drs. Ivan Steven, Drs. Susandi Anggara
1
Persamaan linear
Persamaan linear merupakan sebuah persamaan aljabar dimana tiap sukunya
mengandung konstanta atau perkalian konstanta dengan tanda sama dengan
serta variablenya berpangkat satu. Persamaan ini dikatakan linear karena jika
kita gambarkan dalam koordinat cartesius berbentuk garis lurus.
Suatu system persamaan yang terdiri atas dua persamaan linear yang masingmasing bervariable dua dikenal dengan sistem persamaan linear dua variable.
1. Menyelesaikan SPLDV dengan metode grafik
Perhatikan sistem persamaan berikut :
x+y=8
x+y=7
Untuk membuat sebuah grafik kita membutuhkan sebuah titik potong, cara
mencari lebih mudah, tentukan sumbu x jika sumbu y=0 , begitu juga
sebaliknya tentukan sumbu y jika sumbu x=0. Hal ini dapat dilakukan dengan
memakai tabel dibawah ini :
x 0
Y
0
Dengan demikian diperoleh titik potong (0,…) dan (…,0) Dengan cara ini, untuk
melukiskan g1 dan g2 dapat dilakukan dengan cara berikut
A. g1 : x + y = 8
X 0
8
Y 8
0
Titik Potong garis g1 dengan sumbu koordinat adalah (0,8) dan (8,0)
B. g2 : x + y = 7
x 0
7
y 7
0
Titik Potong garis g2 dengan sumbu koordinat adalah (0,7) dan (7,0)
2
Buatlah diagram cartesius dari persamaan diatas.
Perlu diketahui bahwa posisi/ kedudukan antara kedua garis itu , yaitu sejajar ,
berpotongan , berhimpit maka akan menentukan SPLDV
Perhatikan gambar berikut
G=f
3.1
3.2
3.3
1) perhatikan gambar 3.1 jika kedua garis saling berpotongan maka
memiliki sebuah penyelesaian
2) perhatikan gambar 3.2 jika kedua garis saling sejajar maka tidak memiliki
sebuah penyelesaian
3) perhatikan gambar 3.3 jika kedua garis saling berhimpit maka memiliki
penyelesaian yang tak terhingga
2. Menyelesaikan SPLDV dengan metode substitusi
Sebagai contoh : 2x + 3y = 15
X+y=6
SPLDV diatas kita selesaikan dengan metode substitusi dengan cara ambil satu
persamaan yang akan kita pakai . Dari persamaan X + y = 6 kita dapat ubah
menjadi y = 6 – x lalu kita subsitusikan dengan persamaan 2x + 3y = 15
2x + 3y = 15
2x + 3(6-x) = 15
2x + 18 – 3x = 15
-x = 15 – 18
c -x = -3
3
x=3
Secara Umum, langkah-langkah untuk menyelesaikan SPLDV dengan
cara substitusi adalah sebagai berikut.
a) Pilihlah salah satu persamaan yang kalian anggap merupakan
persamaann yang paling sederhana. Nyatakan salah satu variable
persamaan yang kalian pilih ke dalam variable lain
b) Substitusikan persamaan itu ke persamaan yang sehingga
diperoleh nilai salah satu variable
c) Substitusikan nilai yang diperoleh pada langkah di atas ke salah
satu persamaan sehingga diperoleh nilai variable yang lain.
Kedua nilai variable itu merupakan penyelesaian yang dicari
3. Menyelesaikan SPLDV dengan metode Eliminasi
Untuk mengetahui cara menyelesaikan SPLDV dengan metode eliminasi
perhatikan sistem persamaan berikut :
3x+2y=8
5x+4y=13
Langkah-langkah penyelesaian
1. Pilihlah salah satu variable untuk dihilangkan
3x+2y=8
5x+4y=13
x2
x1
6x+4y=16
5x+4y=14
X=2
2. Hilangkan variable yang sudah di temukan
3x+2y=8
5x+4y=13
x5
x3
15x+10y=40
15x+12y=36
-2y=4
Y = -2
4
Sistem persamaan linear 3 variabel
Penyajian tiga persamaan linear dengan 3 variabel secara simultan atau
bersamaan di sebut SPLTV. Secara umum sistem persamaan linear dengan 3
variabel mempunyai bentuk seperti di bawah ini
ax + by + cz = d
ex + fy + gz = h
ix + jy + kz =l
dengan x,y, dan z atau ( x, y, z ) yang memenuhi sistem persamaan di atas di
sebut penyelesaian dari sistem persamaan tersebut. Disebut memenuhi sistem
persamaan jika pasangan x,y, dan z memenuhi ke tiga persamaan yang
membentuk sistem persamaan.
Contoh 1:
Misalkan diketahui sistem persamaan linear
2x + 3y – z= 5
4x – y +2z = 8
3x – y +3z = 10
maka :
1. (1,2,3) merupakan penyelesaian sistem persamaan di atas karena (1,2,3)
memenuhi ketiga persamaan, seperti di tunjukan berikut ini.
2x + 3y- z = 5
2.1 + 3.2 – 3 5
2+6–3
5
sama
4x – y + 2z = 8
4.1 – 2 + 2.3 8
4–2+6
8
sama
3x – y + 3z = 10
3.1 – 2 + 3.3 10
3 -2 + 9
10
sama
Sistem persamaan linear dengan 3 variabel dapat di selesaikan ( di tentukan
penyelesaiannya ) dengan menggunakan gabungan metode eliminasi subsitusi.
Penentuan penyelesaian sistem persamaan tersebut dapat di lakukan dengan
langkah – langkah berikut :
5
Misal sistem persamaannya adalah : ax + by + cz = d …. (1)
ex + fy + gz = h …. (2)
ix +jy +kz = l …. (3)
1. Eliminasi z
untuk mengeliminasi z dapat di gunakan kombinasi berikut ini :
i. Persamaan (1) dengan (2) dan (1) dengan (3)
ii. Persamaan (1) dengan (2) dan (2) dengan (3)
iii. Persamaan (1) dengan (3) dan (2) dengan (3)
dan supaya dapat di eliminasikan, maka koefisien z harus di samakan
terlebih dahul.
2. Eliminasi y
setelah langkah 1 di lakukan akan di peroleh sistem persamaan dengan 2
variabel yaitu x dan y. Dan misalkan persamaannya adalah :
px + qy = r… (4)
sx + ty = u … (5)
Selanjutnya salah satu dari variabelnya di eliminasi untuk memperoleh
persamaan dengan satu variable, yang kemudian dapat di tentukan
nilainya.
Misal di peroleh: x = m
3. Subsitusi x = m ke persamaan (4)
Nilai x yang di peroleh dapat di subsitusi ke persamaan (4) atau (5) untuk
memperoleh nilai y. Misalkan di peroleh y = n
Subsitusi x = m dan y = n ke persamaan (1)
Nilai x dan y yang di peroleh dapat di subsitusikan ke persamaan (1), (2) atau
(3) untuk memperoleh nilai z
Untuk lebih jelasnya mari kita lihat contoh berikut :
6
2x – 3y + z = 6
x + 2y + 2z = -6
4x – 5y + 3z = 10
2x – 3y + z = 6 … ( 1 ); x + 2y + 2z = -6 … (2); 4x – 5y + 3z = 10 … (3)
1. 2 x (1)-(2): 2x – 3y + z = 6 x 2 4x – 5y + 2z = 12
x + 2y + 2z = -6 x 1 x + 2y + 2z = -6
3x – 8y
= 18 … (4)
3 x (1)-(2) : 2x – 3y + z = 6
x3 6x – 9y + 3z = 18
4x – 5y + 3z = 10 x1 4x – 5y + 3z = 10
2x – 4y
= 8 … (5)
(4) – 2 x (5) : 3x – 8y = 18 x1 3x – 8y = 18
2x – 4y = 8 x2 4x – 8y = 16
-x = 2 x = -2
X=-2 subsitusi ke (4) :
3(-2) – 8y = 18 y=3
x = -2 dan y = -3 subsitusi ke (1) 2(-2)-3(-3)+z=6
Jadi penyelesaian nya adalah x = -2;y = -3 dan z=1
z=1
7
8