Persamaan Kuadrat

MATERI 4
Persamaan Kuadrat
1. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
Definisi
Bentuk umum persamaan kuadrat dalam variabel x dapat dinyatakan
dengan
ax2 + b + c = 0 dengan a  0 dan a, b, dan c  R . a disebut
koefisien x2, b koefisien x, dan c disebut konstanta.
f (x) = ax + b dengan c  R dan a  0 .
Contoh bentuk persamaan kuadrat adalah sebagai berikut.
a. 2x2 + 8x + 6 = 0, maka a = 2, b = 8, c = 6
b. 3x2 + x - 10 = 0, maka a = 3, b = 1, c = -10
c. 3x2 - 27 = 0, maka a = 3, b = 0, c = -27
d. -x2 + x - 12 = 0, maka a = -1, b = 1, c = -12
e. x2 – 2kx +k + 2 = 0, maka a = 1, b = -2k, c = k + 2
Tidak semua persamaan kuadrat disajikan dalam bentuk umum, namun dengan
melakukan operasi aljabar tertentu kita dapat mengubahnya ke dalam bentuk
umum. Perhatikan contoh berikut agar kamu lebih memahaminya!
Contoh 13.
Ubahlah persamaan berikut ke dalam bentuk umum persamaan kuadrat!
a. 6 – 4x = 3 (5x2 – 2x)
Jawab:
a. 6 – 4x = 3 (5x2 – 2x)
6 – 4x = 15x2 – 6x
15x2 – 2x – 6 = 0
b.
6
1

4
x3 x4
b.
6
1

4
x3 x4
6
1

 4 ( kalikan dengan (x + 3)(x – 4))
x3 x4
6(x – 4) – (x + 3) = 4(x + 3)(x – 4)
6x – 24 – x – 3 = 4 (x2 – x – 12)
5x – 27 = 4x2 – 4x – 48
4x2 – 9x – 21 = 0
Menyelesaikan Persamaan Kuadrat
Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dapat digunakan beberapa cara sebagai
berikut.
a. Memfaktorkan
b. Melengkapkan bentuk kuadrat, dan
c. Menggunakan rumus abc (rumus kuadrat) .
a. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Cara Memfaktorkan
1) Memfaktorkan Bentuk ax2 + b + c
dengan a = 1
Untuk memfaktorkan bentuk x2 + b + c diperlukan nilai m dan n yang
memenuhi m + n = b dan mn = c. Secara umum dapat dituliskan sebagai
berikut.
x2 + b + c = (x + m)(x + n) dengan m + n = b dan mn = c.
2) Menggunakan Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan
Untuk memfaktorkan bentuk ax2 + b + c diperlukan nilai m dan n yang
memenuhi m + n = b dan mn = ac. Secara umum dapat dituliskan sebagai
berikut.
1
(ax  m)(ax  n) dengan m + n = b dan mn = ac.
a
Agar kamu lebih paham cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan
ax2 + b + c =
cara memfaktorkan, perhatikan contoh berikut ini!
Contoh 14.
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan kuadrat berikut dengan cara
memfaktorkan!
a. x2 + 2x – 15 = 0
Jawab:
a. x2 + 2x – 15 = 0
b. 4x2 + 5x – 21 = 0
x2 + 2x – 15 = (x + m)(x + n), dengan m + n = 2 dan mn = -15
Nilai m dan n yang mungkin adalah 5 dan -3, sehingga
x2 + 2x – 15 = 0
(x + 5)(x – 3) = 0
x = -5 atau x = 3
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-5, 3}.
b. 4x2 + 5x – 21 = 0
1
(4 x  m)(4 x  n)  0 , dengan m + n = 5 dan mn = 4(-21) = -84,
4
maka nilai m dan n yang mungkin adalah 12 dan -7, sehingga
4x2 + 5x – 21 = 0
1
(4 x  12)(4 x  7)  0
4
(x + 3)(x – 7) = 0
x = -3 atau x =
7
4
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
7

 3,  .
4

b. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Cara Melengkapkan Kuadrat
Penyelesaian dengan melengkapkan bentuk kuadrat dilakukan dengan cara
mengubah bentuk ax2 + b + c = 0 ke bentuk (x + p)2 = q. Hal yang
mendasari penggunaan cara ini adalah dengan mengubah ruas kiri persamaan
ax2 + b + c menjadi bentuk kuadrat sempurna.
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut!
Contoh 15.
Dengan cara melengkapkan kuadrat, tentukan penyelesaian dari persamaan
berikut!
a. x2 - 2x – 4 = 0
b. 2x2 + 8x + 7 = 0
Jawab:
a. x2 - 2x – 4 = 0
Mula-mula pindahkan konstanta (-4) ke ruas kanan, sehingga
2
2
x2 - 2x = 4, kemudian tambahkan kedua ruas dengan 
 1 ,
 2 
sehingga diperoleh:
x2 - 2x + 1 = 4 + 1
(x – 1)2 = 5
x 1  5
x  1  5 or x  1 5
b. 2x2 + 8x + 7 = 0
Mula-mula, buatlah koefisien x2 sama dengan 1 yaitu dengan cara
membagi persamaan dengan 2, sehingga diperoleh:
7
x2 + 4x + = 0
2
Pindahkan konstanta dari persamaan ke ruas kanan, maka
x2 + 4x = 
7
2
2
4
Kemudian tambahkan kedua ruas persamaan dengan    4 , sehingga
2
diperoleh:
x2 + 4x + 4
= 
7
+4
2
1
2
1
x+2= 
2
1
x+2= 
2
2
1
1
x = -2 +
2 atau x = -2 2
2
2
(x + 2)2 =
c. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Menggunakan Rumus Kuadrat
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + b + c = 0 dengan
a  0 . Maka nilai x1 dan x2 dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut.
 b  b 2  4ac
2a
Agar kamu memahami cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara
x1, 2 
menggunakan rumus, perhatikan contoh berikut!
Contoh 16.
Dengan menggunakan rumus kuadrat tentukan penyelesaian dari persamaan
kuadrat berikut!
2.
x2 + 3x – 4 = 0
b. 4x2 - 12x + 9 = 0
Jawab:
a. x2 + 3x – 4 = 0, koefisien dari x2 adalah a = 1, koefisien dari x adalah b =
3, dan suku tetap c = -4
 b  b 2  4ac  3  32  4  1   4   3  9  16
x1, 2 


2a
2 1
2
35

2
8
x1  1 atau x2 
 4
2
Jadi penyelesaiannya adalah 1 dan -4.
b. 4x2 - 12x + 9 = 0, nilai a = 4, b = -12, dan c = 9.
x1, 2
 b  b 2  4ac

2a

  12 
 122  4  4  9
24
12  144  144

8
12 3


8 2
3
x1  x2 
2
Jadi penyelesaiannya adalah
3
.
2