Analisis kestabilan model sir, sir vaksinasi, seir dan

4
individu rentan yang dapat
menderita
penyakit yang disebabkan oleh satu individu
infeksi.
Kondisi yang akan timbul adalah satu diantara
tiga kemungkinan ini;
a. Jika
, maka penyakit akan
menghilang,
b. Jika
, maka penyakit
akan menetap (endemis),
c. Jika
, maka penyakit akan
meningkat menjadi wabah.
2.2 Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan reproduksi dasar
adalah
potensi penularan penyakit pada populasi
rentan, merupakan rata-rata jumlah individu
yang terinfeksi secara langsung oleh seorang
penderita selama masa penularannya bila
termasuk dalam populasi yang seluruhnya
masih rentan.
Untuk mengetahui tingkat penyebaran
suatu penyakit diperlukan suatu parameter
tertentu. Parameter yang biasa digunakan
dalam masalah penyebaran penyakit adalah
bilangan reproduksi dasar. Hethcote (2000)
menyatakan bahwa bilangan reproduksi dasar
merupakan rasio yang menunjukkan jumlah
(Giesecke 1994)
III PEMODELAN
(infeksi) dan kelompok individu yang telah
sembuh dan kebal dari penyakit (pulih).
Dalam kasus yang paling dasar kita membuat
asumsi bahwa sekali seorang individu telah
terinfeksi dan kemudian telah pulih, maka
individu tersebut tidak akan terjangkit kembali
dikarenakan adanya kekebalan tubuh yang
kuat. Dengan menganggap bahwa tingkat
penularan penyakit sebanding dengan jumlah
pertemuan antara individu rentan dan individu
yang terinfeksi.
3.1 Model SIR
Model SIR pada awalnya dikembangkan
untuk mengetahui laju penyebaran dan
kepunahan suatu wabah penyakit dalam
poulasi tertutup dan bersifat epidemik.
Hethcote (2000) menyatakan bahwa pada
model epidemi SIR klasik, populasi dibagi
menjadi tiga kelompok yaitu, kelompok
individu yang sehat tetapi dapat terinfeksi
penyakit (rentan), kelompok individu yang
terinfeksi dan dapat sembuh dari penyakit
β
μ
Rentan (S)
ξ
Infeksi (I)
μ
μ
Pulih (R)
µ
Gambar 1. Dinamika populasi dalam model SIR
Dari gambar 1 model SIR dapat dituliskan
sebagai berikut:
= -β S
= β S –ξI
= ξI – μR
Keterangan:
: populasi individu
: kelompok individu yang rentan
terinfeksi penyakit,
I : kelompok individu yang terinfeksi
(1)
penyakit dan dapat sembuh dari
penyakit,
R : kelompok individu yang telah
sembuh dan kebal dari penyakit,
β : laju penularan penyakit,
ξ : laju kesembuhan,
µ : laju kelahiran dan laju kematian
Dengan β, µ dan ξ adalah parameter
positif yang merupakan tingkat transmisi.
Sebagaimana ditetapkan, bahwa nilai dari (S
+ I + R) = N, sehingga S + I + R adalah
konstan. Dalam populasi individu bahwa laju
kelahiran sama dengan
laju kematian.
Populasi S akan meningkat seiring dengan
bertambahnya individu kedalam suatu
5
populasi dan berkurangnya kekebalan tubuh
yang disebabkan oleh infeksi alam yang
menyerang tubuh. Populasi I akan meningkat
dengan bertambahnya individu yang terinfeksi
dari kelas S.
Kekebalan tubuh yang terinfeksi akan
berubah seiring dengan berjalannya waktu,
maka individu yang terinfeksi akan pulih
memasuki individu R. Jadi, populasi R akan
meningkat sesuai dengan meningkatnya
individu yang pulih dari infeksi dan akan
bekurang seiring dengan perubahan kekebalan.
Penyebaran penyakit campak (measles)
diasumsikan muncul pada saat individu
kehilangan kekebalan tubuh dan hilang
kendali ketika virus itu datang. Hal ini
mengarah pada model endemik SIR. Proporsi
banyaknya individu pada masing-masing
kelompok dapat dinyatakan sebagai berikut;
s = , i = , dan r =
diperoleh persamaan sebagai berikut;
( )
=
(
*
βsi + μ – μs
( *
= βsi – (ξ+μ)i
(2)
=
( )
= ξi – μr
3.2 Model SIR dengan vaksinasi
Model
endemik
SIR
dengan
memeperhatikan faktor vaksinasi diturunkan
ulang dari model endemi SIR klasik. Model
penyebaran penyakit diturunkan menggunkan
asumsi atau batasan tertentu. Hethcote (2000)
menyebutkan bahwa asumsi-asumsi yang
digunakan dalam model penyebaran penyakit
sebagai berikut;
 Jumlah populasi diasumsikan cukup
besar,
 Populasi diasumsikan tertutup, oleh
karena itu tidak ada populasi yang
masuk ke dalam populasi atau keluar
dari populasi tersebut,
 Pada model SIR, faktor kelahiran dan
kematian
diperhatikan,
jumlah
kelahiran dan kematian dalam tiap
satuan waktu diasumsikan sama,
 Populasi diasumsikan bercampur
secara homogen yang berarti setiap
individu mempunyai kemungkinan
yang sama dalam melakukan kontak
dengan individu lainya,
 Individu yang terinfeksi penyakit
dapat sembuh dari penyakit dan dapat
pula menimbulkan kematian akibat
penyakit tersebut.
Selanjutnya,
program
vaksinasi
diperhatikan dalam model. Asumsi yang
digunakan terhadap vaksinasi tersebut adalah
sebagai berikut;
 Vaksinasi hanya diberikan pada
individu yang baru lahir atau yang
masih dalam usia anak- anak ( < 12
tahun ),
 Keampuhan vaksinasi adalah 100%,
hal ini berarti setiap individu yang
telah mendapatkan vaksinasi akan
kebal dari penyakit. Kekebalan yang
terjadi karena vaksinasi bersifat
permanen.
Individu yang memperoleh vaksinasi
kebal dari penyakit dan memasuki kelompok
pulih. Jumlah individu yang memperoleh
vaksin proposional dengan jumlah kelahiran.
Dengan demikian, jumlah individu yang kebal
dari penyakit karena telah memperoleh
vaksinasi μN.
6
𝛂
(Vaksin)
Type equat on here
𝝁
(1-𝛂)
ξ
β
Infeksi (I)
Rentan (S)
Pulih (R)
𝝁
𝝁
𝝁
Gambar 2. Dinamika populasi dalam model SIR dengan pengaruh vaksinasi
Gambar 2 di atas populasi yang lahir akan
Persamaan (3) dapat diskala dengan total
memasuki dua individu yaitu; pertama masuk
populasi
N untuk menyerderhanakan
ke individu rentan dan yang kedua populasi
persamaan (3) dan memudahkan analisis yang
bisa langsung memasuki individu pulih.
dilakukan. Proporsi banyaknya individu pada
Individu yang tidak memperoleh vaksinasi
masing-masing kelompok dapat dinyatakan
akan memasuki kelompok individu rentan dan
sebagai berikut;
berpotensi untuk terinfeksi penyakit campak
(measles) maka individu rentan akan
s = , i = , dan r =
memasuki individu pulih.
Dengan N = S + I + R. Untuk proses
diperoleh persamaan sebagai berikut;
tranmisi vaksinasi dengan menggunakan
asumsi yaitu:
 Terjadi penularan dari individu ke
(
)
= ( )
individu yang lain,
 Semua parameter dan variabel yang
= (
)
digunakan tidak negatif,
 Tidak
ada individu yang sudah
= ( )
terinfeksi masuk ke dalam individu
baru.
Model
endemik
SIR
dengan
= si( + μ)s
(4)
mempertimbangkan
pengaruh
vaksinasi
selengkapnya dapat diekpresikan sebagai
= ( )
berikut (lihat gambar 2);
=(
)
(3)
=
=
S(0) > 0, I(0) > 0 dan R(0)
,
μ + i - μr
3.3 Model SEIR
Pada model SEIR bahwa laju kelahiran
yang terjadi dalam populasi diasumsikan sama
dengan laju kematian, dimana tingkat
kelahiran dan tingkat kematian ditandai
dengan μ. Dalam keberadaan penyakit
menular, salah satu tugas utamanya adalah
pemberantasan
melalui
langkah-langkah
pencegahan dan jika mungkin, melalui
pembentukan program vaksinasi massal.
7
μ
(1-α)𝜖
ρ
Rentan (S)
ξ
Laten (E)
µ
Pulih (R)
Infeksi (I)
μ
μ
µ
β
Gambar 3. Dinamika populasi dalam model SEIR .
Sebuah penyakit dimana bayi yang baru
sehingga akan diperoleh
lahir divaksinasi (dengan vaksin memberikan
berikut;
kekebalan seumur hidup) dengan nilai
ϵ
(0,1) maka akan diperoleh model sebagai
=
berikut (lihat gambar 3);
=
=
=(
μE (
)
(
)
=
(
)
= ξi - μr
)
= ξI - μR
=
(5)
dengan S(0) > 0, I(0) > 0, E(0) > 0 dan R(0)
.
Keterangan:
N : populasi individu
S : kelompok individu yang rentan
terinfeksi penyakit,
E : kelompok individu laten,
I : kelompok individu yang terinfeksi
penyakit dan dapat sembuh dari
penyakit,
R : kelompok individu yang telah
sembuh dan kebal dari penyakit,
: laju penularan penyakit,
𝜖 : laju kesembuhan,
µ : laju kelahiran dan laju kematian,
: laju vaksinasi,
: laju kekebalan tubuh.
Dimana β, τ, μ, ρ,
𝜖 dan ξ adalah
parameter positif. Sistem dapat skala total
populasi N untuk menyerderhanakan sistem
(5) dan memudahkan analisis yang dilakukan,
model
sebagai
(6)
8
kelahiran tidak sama dengan laju kematian
dapat diekspresikan sebagai berikut (lihat
gambar 4);
3.4 Model MSEIR
Model
endemik
MSEIR
dengan
mempertimbangkan imunisasi dan laju
ɓ
ɓ
δ
M
S
µ
ξ
𝜖
β
µ
R
I
E
µ
µ
µ
Gambar 4. Dinamika populasi dalam model MSEIR
Diperoleh persamaan sebagai berikut;
sembuh dan kebal dari penyakit,
: laju penularan penyakit,
𝜖 : laju kesembuhan,
(
) (
)
µ : laju kelahiran dan laju kematian
: laju vaksinasi,
: laju perubahan imunitas,
Proporsi banyaknya individu pada
masing-masing kelompok dapat dinyatakan
sebagai berikut;
(𝜖
)
m = , s = , e = , i = , dan r =
(
𝜖
dimana, m + s + e + i + r = 1, diperoleh
persamaan sebagai berikut;
)
(
)
(7)
(
)
Dengan daerah asal sebagai berikut;
𝕯 ={(M, S, E, I, R) : M
E
,M+S+E+I+R
Keterangan:
N : populasi individu,
M : kelompok individu yang telah
mendapat imunitas,
S : kelompok individu yang rentan
terinfeksi penyakit,
E : kelompok individu laten,
I : kelompok individu yang terinfeksi
penyakit dan dapat sembuh dari
penyakit,
R : kelompok individu yang telah
(
, S
.
)
(
(𝜖
)
)
(8)
𝕯 ={(m,s,e,i,r) : m
, m + s + e + i+ r
e
, s