Model Matematika SIR

MODEL MATEMATIKA SIR
(SUSCEPTIBLES, INFECTION, RECOVERY)
UNTUK PENYEBARAN WABAH PENYAKIT
PADA SUATU POPULASI TERTUTUP
Muhamad Zaki Riyanto
NIM: 02/156792/PA/08944
E-mail: [email protected]
http://zaki.math.web.id
Dosen Pembimbing: Dr. Lina Aryati, MS
Pendahuluan
Kejadian penularan wabah penyakit yang terjadi pada suatu populasi dapat
dimodelkan ke dalam bentuk matematis, salah satunya adalah model SIR (Susceptibles,
Infection, Recovery). Model SIR dikembangkan pertama kali untuk mengetahui laju
penyebaran dan kepunahan suatu wabah penyakit dalam suatu populasi tertutup dan
bersifat epidemik.
Model SIR Tanpa Kelahiran dan Kematian
Model SIR yang pertama menggunakan asumsi sebagai berikut :
1. Penyakit dapat disembuhkan, tidak menyebabkan kematian.
2. Hanya menular melalui kontak langsung dengan penderita.
3. Seseorang yang pernah sembuh dari penyakit tersebut tidak akan terserang lagi,
karena telah mempunyai kekebalan.
4. Populasi tetap (tidak ada kelahiran dan kematian).
5. Tidak ada masa inkubasi apabila terjadi proses penularan.
6. Masa terjangkit yang cukup lama.
Copyright © 2008 http://zaki.math.web.id
1
Selanjutnya, misalkan :
S = Ukuran subpopulasi yang rentan terserang penyakit
I = Ukuran subpopulasi yang terinfeksi dan dapat menularkan penyakit ke suatu
subpopulasi lainnya yang rentan tertular.
R = Ukuran subpopulasi yang sembuh dari penyakit dan telah mempunyai
kekebalan.
t = Waktu
Diasumsikan :
1. Laju kesembuhan α konstan.
2. Laju penularan penyakit β konstan.
Sesuai dengan permisalan dan asumsi di atas, maka model SIR dapat
digambarkan sebagai berikut.
β
α
S 
→ I 
→R
Gambar 1. Model SIR tanpa kelahiran dan kematian
Dengan demikian, dapat diperoleh model matematis berikut :
dS
= − β SI ,
dt
dI
= β SI − α I ,
dt
dR
= α I ............................................................................. (1)
dt
Proses suatu subpopulasi terinfeksi membutuhkan waktu yang dipengaruhi saat
terjadi kontak antara subpopulasi yang rentan dengan subpopulasi yang terinfeksi
berlangsung. Untuk mengetahui tingkat penyebaran penyakit saat terjadi kontak
digunakan basic reproduction ratio (Ro), yaitu laju pertumbuhan awal yang menyatakan
Copyright © 2008 http://zaki.math.web.id
2
nilai harapan (ekspektasi) jumlah kasus terserang setelah terjadi kontak terhadap kasus
sebelum terjadi kontak.
Berdasarkan sistem persamaan (1) di atas dapat diperoleh bahwa nilai basic
reproduction ratio-nya adalah
Ro =
βN
.
α
Model SIR dengan Kelahiran dan Kematian
Model SIR dikembangkan lebih lanjut berdasarkan asumsi-asumsi yang telah
dibuat pada model SIR pertama, tetapi ada perbedaan yaitu dengan asumsi bahwa dalam
populasi terjadi proses kelahiran dan kematian.
Selanjutnya, misalkan
1. Laju kematian µ konstan.
2. Laju kelahiran δ konstan.
Model SIR kedua ini dapat digambarkan sebagai berikut.
δ
β
α

→ S 
→ I 
→R
↓µ
↓µ
↓µ
Gambar 2. Model SIR dengan kelahiran dan kematian
Berdasarkan asumsi dan permisalan di atas, dapat diperoleh model matematis sebagai
berikut.
dS
= δ − β SI − µ S ,
dt
dI
= β SI − µ I − α I ,
dt
dR
= α I − µ R ............................................................................. (2)
dt
Copyright © 2008 http://zaki.math.web.id
3
Selanjutnya, dapat diperoleh bahwa nilai basic reproduction ratio-nya adalah
Ro =
βN
.
µ +α
Kestabilan Sistem
Perhatikan sistem persamaan di bawah ini.
dS
= δ − β SI − µ S ,
dt
dI
= β SI − µ I − α I .................................................................... (3)
dt
Akan diselidiki kestabilan sistem persamaan (3) di atas.
Misalkan
f ( S , I ) = δ − β SI − µ S
g ( S , I ) = β SI − µ I − α I
Maka untuk I ≠ 0 diperoleh titik kesetimbangan ( S , I ) = ( N ,0 ) , dengan N =
δ
.
µ
Selanjutnya dilakukan linearisasi pada persamaan (3) di atas.
Diketahui :
∂f ( S , I )
∂S
∂f ( S , I )
∂I
∂g ( S , I )
∂S
∂g ( S , I )
∂I
=
=
=
=
∂ (δ − β SI − µ S )
∂S
∂ (δ − β SI − µ S )
∂I
= βI −µ ,
= βS ,
∂ ( β SI − µ I − α I )
∂S
∂ ( β SI − µ I − α I )
∂I
= βS ,
= β S − µ −α .
Diperoleh matriks Jacobian pada ( S , I ) = ( N ,0 ) , yaitu
 −µ
 0
(J ) = 
Copyright © 2008 http://zaki.math.web.id
−β N

.
β N − µ − α 
4
Sehingga diperoleh sistem persamaan linear berikut.
 dS 
 dt   − µ
 =
 dI   0
 
 dt 
−β N
 S 
  .
β N − µ − α 
I
Dapat dilihat bahwa pada sistem persamaan (3) di atas, titik kesetimbangan
( S , I ) = ( N ,0 ) , dengan
N=
δ
βN
stabil asimtotik jika dan hanya jika Ro =
< 1.
µ
α +µ
Jika sistem persamaan (3) di atas mempunyai titik kesetimbangan (equilibrium)
( S , I ) = ( S , I ) dengan
1.
I > 0 , maka :
S
1
=
.
N Ro
2. I =
µ
( Ro − 1) ada, jika Ro > 1 .
β
Selanjutnya, jika berlaku
kesetimbangan
S
1
µ
βN
=
, I = ( Ro − 1) dan Ro =
, maka titik
N Ro
β
α +µ
( S , I ) = ( N ,0 )
stabil asimtotik.
Rata-rata Lama Infeksi
Untuk menentukan rata-rata lama waktu infeksi, digunakan fungsi density.
Diasumsikan bahwa proporsi kematian dan terinfeksi sama, dan sistem dalam keadaan
setimbang.
Selanjutnya, misalkan :
PS (a ) : Probabilitas seseorang yang rentan untuk tetap hidup dan belum terinfeksi
walaupun telah terjadi kontak dengan individu yang terinfeksi pada umur a
tahun.
PI (a ) : Probabilitas seseorang yang rentan terinfeksi dan tetap hidup setelah terjadi
kontak dengan individu terinfeksi pada umur a tahun.
k : Laju infeksi (konstan).
Copyright © 2008 http://zaki.math.web.id
5
Perhatikan gambar berikut ini.
k
S 
→I
↓µ
↓µ
Gambar 3.
Dapat dibentuk model laju probabilitas rentan dan laju probabilitas terinfeksi sebagai
berikut.
dPS
= − kPS − µ PS = − ( k + µ ) PS , PS (0) = 1 ,
da
dPI
= kPS − µ PI , PI (0) = 0 ........................................................................ (4)
da
Dari persamaan pertama pada sistem persamaan (4) di atas, diperoleh
dPS
= − ( k + µ ) PS = − ( k + µ ) da .
da
Jika kedua ruas diintegralkan, diperoleh
dPS
∫ da = ∫ − ( k + µ ) da ⇔ ln P
S
= − ( k + µ ) a + ln c .
Jadi, diperoleh
PS = e−( k + µ ) a .
Dengan demikian, nilai probabilitas individu terinfeksi pada umur a tahun adalah
kPS = ke −( k + µ ) a .
Selanjutnya, diperoleh rata-rata lama terinfeksi pada umur a tahun, yaitu
Copyright © 2008 http://zaki.math.web.id
6
∞
∞
∫ akPS (a)da
a =
0
∞
∫ ake
=
∫ kP (a)da
0
∞
0
−( k − µ ) a
da
0
∫ ae
0
∞
∫e
−( k − µ ) a
−( k − µ ) a
da
da
0
∞
=
∞
da
=
∫ ke
S
−( k − µ ) a

a
e −( k + µ ) a 
−

2
 − ( k + µ ) ( k + µ )  0
∞
 e −( k + µ ) a 


 −(k + µ )  0


1


 ( k + µ )2 


=
=
 1 


 (k + µ ) 
1
.
(k + µ )
Karena k = β I , maka diperoleh
a =
1
=
βI +µ
1
µ
β
β
=

( Ro − 1)  + µ

1
.
µ Ro
Jadi, dalam keadaan setimbang, maka rata-rata lama infeksi penyakit adalah
a=
1
1
=
.
µ + k µ Ro
Daftar Pustaka
Diekmann, O and Heesterbeek, J.A.P, 2000, Mathematical Epidemology of Infectious
Diseases: Model Building, Analysis and Interpretation, John Wiley, New York
Copyright © 2008 http://zaki.math.web.id
7