bilangan berpangkat dan bentuk akar

Daftar isi

1 Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Positif



2 Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Negatif



3 Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Pecahan
3.1 Bilangan Rasional dan Irasional
3.2 Bentuk Akar
3.3 Mengubah Bentuk Akar Menjadi Bilangan Berpangkat Pecahan dan Sebaliknya
4 Operasi Aljabar pada Bentuk Akar









4.1 Penjumlahan dan Pengurangan
4.2 Perkalian dan Pembagian
4.3 Perpangkatan
4.4 Operasi Campuran
5 Merasionalkan Penyebut
5.1 Penyebut Berbentuk √b
5.2 Penyebut Berbentuk (a+√b) atau (a+√b)
5.3 Penyebut Berbentuk (√b+√d) atau (√b+√d)
6 Referensi
Bilangan Bulat dengan Eksponen
Bilangan Bulat Positif
Masih ingat bentuk berikut :
32 = 3 x 3
23 = 2 x 2 x 2
56 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5
Demikian seterusnya sehingga diperoleh bentuk umum sebagai berikut.
Dengan a bilangan bulat dan n bilangan bulat positif Dari pengertian di atas akan diperoleh sifat-sifat berikut.
Sifat 1
an x an = am + n
24 x 23 = (2 x 2 x 2 x 2 )x(2 x 2 x 2 )
=2x2x2x2x2x2x2
= 27
= 24+3
Sifat 2
am : an = am - n, m > n
55 : 53 = (5 x 5 x 5 x 5 x 5) : (5 x 5 x 5)
=5x5
= 52
= 55 - 3
Sifat 3
(am)n = am x n
(34)2 = 34 x 34
= (3 x 3 x 3 x 3) x (3 x 3 x 3 x 3)
= (3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3)
= 38
= 34 x 2
Sifat 4
(a x b)m = am x bm
(4 x 2)3 = (4 x 2) x (4 x 2) x (4 x 2)
= (4 x 4 x 4) x (2 x 2 x 2)
= 43 x 23
Sifat 5
(a : b)m = am : bm
(6 : 3) 4 = (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3)
= (6 x 6 x 6 x 6) : (3 x 3 x 3 x 3)
= 64 : 34
Bilangan Bulat dengan Eksponen
Bilangan Bulat Negatif
Dari pola bilangan itu dapat disimpulkan bahwa 20 = 1 dan 2-n = 1/2n , secara umum dapat ditulis :
Pecahan Berpangkat Bilangan Bulat
Kita telah mengetahui bahwa pecahan adalah bilangan dalam bentuk dengun a dan b bilangan bulat (b ≠ 0). Bagaimanakah
jika pecahan dipangkatkan dengan bilangan bulat? Untuk menentukan hasil pecahan yang dipangkatkan dengan bilangan
bulat, caranya sama dengan menentukan hasil bilangan bulat yang dipangkatkan dengan bilangan bulat.
Contoh:
Tentukan hasil berikut ini!
(1/2)5
Jawab :
Bentuk Akar dan Bilangan
Berpangkat Pecahan
Bilangan Rasional dan Irasional
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0. Bilangan
rasional merupakan gabungan dari bilangan bulat, nol, dan pecahan. Contoh bilangan rasional adalah -5, -1/2, 0, 3, 3/4,
dan 5/9.
Sebaliknya, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuka/b dengan a, b bilangan bulat
dan b ≠ 0.
Contoh bilangan irasional adalah . Bilangan-bilangan tersebut, jika dihitung dengan kalkulator merupakan desimal yang tak
berhenti atau bukan desimal yang berulang. Misalnya
√2 = 1,414213562 .... Selanjutnya, gabungan anrara bilangan rasional dan irasional disebut bilangan real.
Bentuk Akar
Berdasarkan pembahasan sebelumnya, contoh bilangan irasional adalah √2 dan √5 . Bentuk seperti itu disebut bentuk akar.
Dapatkah kalian menyebutkan contoh yang lain?
Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang hasilnya bukan bilangan Rasional.
Bentuk akar dapat disederhanakan menjadi perkalian dua buah akar pangkat bilangan dengan salah satu akar memenuhi
definisi
√a2 = a jika a ≥ 0, dan –a jika a < 0
Contoh :
Sederhanakan bentuk akar berikut √75
Jawab :
√75 = √25x3 = √25 x √3 = 5√3
Mengubah Bentuk Akar Menjadi Bilangan Berpangkat Pecahan dan Sebaliknya
Bentuk √a dengan a bilangan bulat tidak negatif disebut bentuk akar kuadrat dengan syarat tidak ada bilangan yang hasil
kuadratnya sama dengan a. oleh karena itu √2,√3, √5, √10, √15 dan √19 merupakan bentuk akar kuadrat. Untuk
selanjutnya, bentuk akar n√amdapat ditulis am/n (dibaca: a pangkat m per n). Bentuk am/n disebut bentuk pangkat
pecahan.
contoh :
jawab :
Operasi Aljabar pada Bentuk Akar
Penjumlahan dan Pengurangan
Penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan jika memiliki suku-suku yang sejenis.
kesimpulan :
jika a, c = Rasional dan b ≥ 0, maka berlaku
a√b + c√b = (a + c)√b
a√b - c√b = (a - c)√b
Perkalian dan Pembagian
Contoh :
Tentukan hasil operasi berikut :
jawab :
Perpangkatan
Kalian tentu masih ingat bahwa (a^)" = a^'. Rumus tersebut juga berlaku pada operasi perpangkatan dari akar suatu
bilangan.
Contoh:
Operasi Campuran
Dengan memanfaatkan sifat-sifat pada bilangan berpangkat, kalian akan lebih mudah menyelesaikan soal-soal operasi
campuran pada bentuk akarnya. Sebelum melakukan operasi campuran, pahami urutan operasi hitung berikut.


Prioritas yang didahulukan pada operasi bilangan adalah bilangan-bilangan yang ada dalam tanda kurung.
Jika tidak ada tanda kurungnya maka
1.
pangkat dan akar sama kuat;
2.
kali dan bagi sama kuat;
3.
4.
Contoh :
tambah dan kurang sama kuat, artinya mana yang lebih awal dikerjakan terlebih dahulu;
kali dan bagi lebih kuat daripada tambah dan kurang, artinya kali dan bagi dikerjakan terlebih dahulu.
Merasionalkan Penyebut
Dalam perhitungan matematika, sering kita temukan pecahan dengan penyebut bentuk akar,
misalnya
Agar nilai pecahan tersebut lebih sederhana maka penyebutnya harus dirasionalkan terlebih dahulu. Artinya tidak ada
bentuk akar pada penyebut suatu pecahan. Penyebut dari pecahan-pecahan yang akan dirasionalkan berturut-turut
adalah
Merasionalkan penyebut adalah mengubah pecahan dengan penyebut bilangan irasional menjadi pecahan dengan penyebut
bilangan rasional.
Penyebut Berbentuk √b
Jika a dan b adalah bilangan rasional, serta √b adalah bentuk akar maka pecahan a/√bdapat dirasionalkan penyebutnya
dengan cara mengalikan pecahan tersebut dengan√b/√b .
Contoh :
Sederhanakan pecahan berikut dengan merasionalkan penyebutnya!
jawab :
Penyebut Berbentuk (a+√b) atau (a+√b)
Jika pecahan-pecahan mempunyai penyebut berbentuk (a+√b) atau (a+√b) maka pecahan tersebut dapat dirasionalkan
dengan cara mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan sekawannya. Sekawan dari (a+√b) adalah (a+√b) adalah dan
sebaliknya.
Bukti
Contoh :
Rasionalkan penyebut pecahan berikut.
jawab :
Penyebut Berbentuk (√b+√d) atau (√b+√d)
Pecahan tersebut dapat dirasionalkan dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan bentuk akar
sekawannya, yaitu sebagai berikut.
Contoh:
Selesaikan soal berikut!
Jawab :
SOAL – SOAL
Soal No. 1
Hasil dari
adalah....
Pembahasan
Soal No. 2
Hasil dari
adalah....
Pembahasan
Soal No. 3
Hasil dari
adalah....
Pembahasan
Soal No. 4
Hasil dari
adalah....
Pembahasan
Soal No. 5
Bentuk rasional dari
adalah....
Pembahasan
Soal No. 6
Hasil dari
adalah....
Pembahasan
Soal No. 7
Hasil dari
adalah....
Pembahasan
Soal No. 8
Hasil dari
adalah....
Pembahasan
Soal No. 9
Hasil dari 7√7 × √14 adalah....
A. 14√2
B. 14√3
C. 49√2
D. 49√3
Pembahasan
Soal No. 10
Hasil dari 2√8× √3 adalah....
A. 6√2
B. 4√5
C. 4√6
D. 8√3
Pembahasan
Soal No. 11
Hasil dari (√7 + √5)(√7 − √5) adalah....
A. − 2
B. 2
C. 12
D. 35
Pembahasan
atau dengan mengikuti pola
diperoleh
Soal No. 12
Nilai dari
sama dengan…
A. 3 − √5
B. 4 − √5
C. 3 + √5
D. 4 + √5
Pembahasan
SOAL ULANGAN HARIAN
BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR
adalah ….
1. Hasil dari
2. Hasil dari
adalah ….
3. Hasil dari
4. Hasil dari
5. Bentuk rasional dari
adalah....
6. Hasil dari
adalah....
7. Hasil dari
adalah....
8. Hasil dari
9. Hasil dari 7√7 × √14 adalah....
10. Hasil dari 2√8× √3 adalah....
adalah....