EK110-052098-677-1 1251KB Sep 19 2011 03

MATEMATIKA BISNIS
by : Dien Novita, S.Si
BAB I
HIMPUNAN
1.1 Pengertian Himpunan
Himpunan adalah suatu kumpulan atau gugusan
dari sejumlah obyek yang didefinisikan dengan
jelas.
Obyek-obyek yang mengisi atau membentuk sebuah
himpunan disebut anggota, elemen, atau unsur.
1.2 Penyajian Himpunan
Penyajian Himpunan :
1. Cara pendaftaran
Unsur himpunan ditulis satu persatu /
didaftar.
Contoh :
A = {a,i,u,e,o}
2. Cara pencirian
Unsur himpunan ditulis dengan
menyebutkan sifat-sifat atau ciri-ciri
unsur tersebut.
Contoh :
A = { x|x huruf vokal }
1.3 Himpunan Universal dan
Himpunan Kosong
1. Himpunan Semesta/Universal
Lambang : S atau U
Himpunan yang memuat seluruh objek
pembicaraan.
2. Himpunan kosong
Lambang : { } atau Ø
Himpunan yang tidak memiliki anggota.
1.4 Operasi Himpunan
1. Gabungan (Union)
A U B = {x| x Є A atau x Є B}
2. Irisan (Intersection)
A ∩ B = {x| x Є A dan x Є B}
3. Selisih
A - B = A|B {x| x Є A tetapi x  B}
4. Pelengkap (Complement)
Ā =A’ = Ac= {x| x Є U tetapi x  A} = U – A
Diagram Venn
Gabungan (A B)
Irisan (A  B)
Selisih ( A – B = A|B )
Pelengkap/ complement (Ac = Ā=A’)
1.5 Kaidah-kaidah Matematika dalam
Pengoperasian Himpunan
1. Hukum identitas :
A   A
AS  A
2.Hukum null/dominasi :
A   
AS  S
3.Hukum Komplemen :
A A  S
A A 
4.Hukum Idempoten :
A A  A
A A A
5.Hukum involusi :
( A)  A
6.Hukum penyerapan (absorpsi) :
A  (A  B)  A
A  (A  B)  A
7.Hukum komutatif :
A B  B A
A B  B A
8.Hukum asosiatif :
A  (B  C)  (A  B)  C
A  (B  C)  (A  B)  C
lanjutan ….
9.Hukum distributi f :
A  (B  C)  (A  B)  (A  C)
A  (B  C)  (A  B)  (A  C)
10.Hukum De Morgan :
A B  A B
A B  A B
11.Hukum 0/1 (atau hukum komplemen 2) :
S
S 
BAB II
SISTEM BILANGAN
Dalam matematika, bilangan-bilangan yang ada dapat
digolongkan sebagaimana terurai di dalam skema berikut ini.
Bilangan
Nyata
Irrasional
Khayal
Rasional
Bulat
Asli
Pecahan
2.1 Hubungan Perbandingan antar
Bilangan
• Pada sistem bilangan riil atau nyata, berlaku salah
satu dari 4 tanda ketidaksamaan berikut :
< (kurang dari)
> (lebih dari)
≤ (kurang dari atau sama dengan)
≥ (lebih dari atau sama dengan)
• Sedangkan pada sistem bilangan khayal atau
kompleks berlaku salah satu dari 2 sifat, yaitu =
dan ≠
2.2 Operasi Bilangan
(1) KAIDAH KOMUTATIF
a+b=b+a
axb=bxa
(2) KAIDAH ASOSIATIF
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab) c = a (bc)
(3) KAIDAH PEMBATALAN
a+c=b+c
ac = bc ( c ≠ 0)
(4) KAIDAH DISTRIBUTIF
a(b + c) = ab + ac
(5) UNSUR PENYAMA
a+0=a
a.1=a
(6) KEBALIKAN
a + (-a) = 0
a x 1/a = 1
2.3 OPERASI TANDA
• Operasi Penjumlahan

(+a)+(+b)=(+c)

(-a)+(-b)=(-c)


(+a)+(-b)=(+c)
(+a)+(-b)=(-d)
jika |a| > |b|
jika |a| < |b|


(-a)+(+b)=(+c)
(-a)+(+b)=(-d)
jika |a| < |b|
jika |a| > |b|
• Operasi Pengurangan


(+a)-(+b)=(+c)
(+a)-(+b)=(-d)
jika |a| > |b|
jika |a| < |b|


(-a)-(-b)=(+c)
(-a)-(-b)=(-d)
jika |a| < |b|
jika |a| > |b|

(+a)-(-b)=(+c)

(-a)-(+b)=(-c)
• Operasi Perkalian dan Pembagian
(+) x (+) = (+)
(+) : (+) = (+)
(+) x (-) = (-)
(+) : (-) = (-)
(-) x (+) = (-)
(-) : (+) = (-)
(-) x (-) = (+)
(-) : (-) = (+)
2.4 OPERASI BILANGAN PECAHAN
Penjumlahan Pecahan dan Pengurangan Pecahan
Untuk menjumlah atau mengurangi pecahan-pecahan yang
penyebutnya tidak sama.
Langkah pertamanya adalah menyamakan penyebutnya terlebih
dahulu, yaitu dengan mengubah ke bentuk pecahan yang senilai
sehingga penyebut-penyebut pecahan menjadi sama.
Penjumlahan Pecahan
Contoh :
1 2
  ...
3 5
Jawab :
Penyebut pecahan-pecahan tersebut disamakan.
Diperoleh :
1 2 5
6 11
 


3 5 15 15 15
Contoh :
2
1 1
  ...
4 8
Jawab :
2
1
diubah dahulu menjadi pecahan biasa.
4
1
9
Sehingga 2
=
4
4
Selanjutnya, 2
3
1 1 9 1 18 1 19
   
 
=2
8
4 8 4 8 8 8 8
Penyebut pecahan yang baru adalah 8
yang merupakan KPK dari 4 dan 8.
Contoh :
1.
2.
3.

1 2 56 1
 

3 5
15
15
2
2  2
2 
2 4 18  28 46
2 2 
       1 2    

7  3
7 
63
63
3  7 9
2
1 2
  
3 5
4.
32 
5.
3
2
2
5 6


15


2
 11 
 
 15 
2

1
 11 
 
 15 
2
2

15

112

1
1
1
1  72 73
3


2


8


3
2
9
9
9
2
3
3
2
1
1 1 1 17
 3  2   
8 9 72
2
3
225
221
Pengurangan Pecahan
Contoh :
1
1
8  5  ...
4
3
Jawab :
8
1
4
diubah dahulu menjadi pecahan biasa.
1
33
Sehingga 8
=
4
4
1
5
3
1
16
diubah dahulu menjadi pecahan biasa. Sehingga 5
=
3
3
Selanjutnya, 8 1  5 1  33  16  99  64  35  2 11
4
3
4
3
12
12
12
12
Contoh :
1.
2
1
1
1
1
   2  2  2 0
5
5
5
5
1
2.
2 2
2  2
 1    
5 5
5 5
1
2 1 2 5 4  25
21
1
 
  
   2
5 2 5 2
10
10
10
.
5
Soal-soal latihan
Selesaikanlah !
4
2
1
 2  ...
3
2
1.
2 1

3 6
 ...
6.
2.
1 1 1
   ...
2 3 4
7.
5 1
  ...
8 2
3.
2 1  3  ...
2 5
8.
2
1 1 2
   ...
4 2 3
4.
5 2  1  3  ...
3 2 5
9.
2
1
1
 3  ...
4
2
5
4 1
  ...
5 3
10.
4 3 1
   ...
5 4 2
Perkalian Pecahan
Langkahnya :
1. Jadikan semua pecahan itu menjadi pecahan biasa.
a c axc
2. Kalikan b x d  b x d
Contoh :
1.
2 4 2x4 8
x 

3 5 3 x 5 15
2.

3 7
3
x 
7 8
8
3.

5  3 3 1
x    
9  5 9 3
Pembagian Pecahan
Langkahnya :
1. Jadikan pecahan-pecahan menjadi pecahan biasa semua.
2. Ubahlah menjadi bentuk perkalian, dengan cara bilangan
pembagi dibalik.
3. Kerjakan seperti perkalian.
Contoh :
1
2 1 2 1 2 3 6
:

x


1
: 
5
5 3 5 3 5 1 5
Soal-soal latihan
Selesaikan !
1.
2 6
x  ...
3 11
5.
2 1
:  ...
5 4
2.
3 1
x  ...
4 5
6.
4 3
:  ...
15 4
3.
3 2
2 x  ...
4 3
7.
5 1
3 : 3  ...
6 2
4.
2
8.
4
3
1
1
x 1 x 2  ...
8
2
4
4 1
: 2  ...
5 2
Pengerjaan Hitung Campuran
Untuk mengerjakan hitung campuran perlu diingat lebih dahulu
aturan pengerjaannya, yaitu bahwa perkalian dan pembagian
lebih kuat dari pada penjumlahan atau pengurangan.
Contoh 1 :
1 1 1 1 1
x  :  
2 3 4 5 6
 1 1   1 1  1   1 5 1  2 15 2 15 5
1
x

:










1
 2 3   4 5  6   6 4 6  12 12 12 12 4
4
 



 
Contoh 2 :
11 1 1 1
  :   
23 4 5 6
1  4  3  6  5

:

2  12   30 
1 7  1
7  30  35
 :    
2  12  30 24  1  4
Contoh 3 :
32
 
53
3

4
3  8  9  3  17  17

  
5  12  5  12  20
Contoh 4 :
46
 5 3   1 2   25  21   5  6  46  1 
    


   
525
 7 5   3 5   35   15  35  15 
Contoh 5 :
1 4 2  1 5  2 5 2 15  8 7
  x    

1 5 3  4 1 3 4 3
12
12
Contoh 6 :
4  243  4  239
5
 2
 3      27  

 26
9
9
9
9
 3
2
3
Soal-soal latihan
Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar !
1.
2 1 3
x   ...
3 2 5
2  1 3
2.
x    ...
3  2 5
3.
1 2 1
 x  ...
4 3 2
4.  1  2  x 1  ...
4
3 2
2 1 3
5. 2 : x  ... 9.
3 2 4
5 2 5
   ...
6 3 6
 4 2 1
   x  ... 10.
 5 3 2
1  1 1
     ...
3  4 5
6.
7.  4  3  : 2 5  ...
 5 4 6
11.
4
1 2
 1   ...
5
4 3
5 1 2
 :  ...
8.
6 2 5
12.
4 3 2
     ...
3 5 3
BAB III
PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA
Pendahuluan
1
n
Pada umumnya, simbol
akar dapat digunakan untuk a
1
n
ditulis sebagai a n =
a , dimana disebut tanda akar,
n disebut indeks akar dan a disebut bilangan dasar.
Jika n = 2,
tanda akar
(
) digunakan untuk akar kuadrat.
Pengertian kedua simbol tersebut sama.
Bila indeks tidak ditulis, berarti n = 2.
Teorema :
 0 dan b  0
Jika a
 0 dan b > 0 maka
Jika a
0
Jika a
a
m
n
=
, m, n
 a
m
n
a
=
 a
n
m

a
a
b  ab dan
n

a
b
n
a
n
b
dan
b
bilangan bulat dan n
a
n
n
0
b  n ab
a
b
maka
 n am

Jika a < 0, m
m
n
maka
bilangan bulat dan n ganjil maka
 n am
Tidak didefinisikan apabila n genap.
Contoh :
(1)
( 3) 8
(4)
(5)
5  10
2
2
3
 8
(2)

2
3
 8
2
3
2
2 4
2
 
 25 4
2
 25
2
4
 25
2
2
=
 25 2
=

4 =
1
4
 25
4

2
2
3
atau 8
  8   2  4
2
3
12
 8 3
  25

4
 252
4
 3  8  3 64  4
, tidak riil.
 25

 3 8 2  3 64  4
2
atau
 6
 , tidak riil.
625  5
2
Penyederhanaan Akar
Kita gunakan faktor prima di dalam penyederhanaan akar.
Contoh :
28  2.2.7  2.2
1.
2.
3.
7 2 7
72  2.2.2.3.3  2.2 3.3 2  2.3. 2  6 2
588  2.2.3.7.7  2.2
7.7
3  2.7 3  14 3
Akar sama
Akar-akar dengan bilangan dasar dan indeks yang sama disebut akar sama.
Contoh :
1
7 3,
3 ,6 3 dan
2
3 3 3 ,  4 3 3 , 10 3 3
Akar Tidak Sama
Contoh :
7 , 8 , 10
3
7, 7, 4 7
dan
Hukum distributif digunakan untuk mengoperasikan akar- akar sama
seperti mengoperasikan suku-suku dari polinomial.
Contoh :
1.
7  7  1  1 7  2 7
2.
6 5  11 5  6  11 5  17 5
3.
7 3
4.
5.
1
1
3


3  6 3   7   6 3 
3
2
2
2


45  80  3 5 +
4 5  3  4 5  7 5
3
3
3 3 16  4 3 54  3 3 8.2  4 3 27.2 = 3.2 2  4.3 2
=6
3
2  12 2
3
=
6  12  3 2 = 18
3
2
Soal-soal Latihan
Selesaikan :
3 3
6.
4 3  27
11.
98  7 18
2.
2 7 7
7.
12  17 3
12.
5 12  8 75
3.
4 2 3 2
8.
11 11  4413.
16 99  5 176
4.
10 6  12 6  5 6 9.
24  6 6 14.
9 90  2 160
1.
5.
3 2 8
10.
44  5 11
15.
200  8 2